雅礼中学高二文科数学期中考试试卷及答案
2023-2024学年雅礼中学高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2023-2024学年雅礼中学高二数学上学期期中考试卷（时量：120分钟分值：150分）2023.11一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}220,RA x x x x =+-<∈，{}11B xx =-<，则A B ⋃=（）A ．{}12x x -<<B ．{}01x x <<C ．{}22x x -<<D ．{}02x x <<2．“2m =-”是“直线1:420l mx y ++=与直线2:10++=l x my 平行”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[)0,50、[)50,100、[)100,150、[)150,200、[)200,300和[]300,500六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（）．A ．这14天中有5天空气质量为“中度污染”B ．从2日到5日空气质量越来越好C ．这14天中空气质量指数的中位数是214D ．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日4．在平面直角坐标系xOy 中，直线240x y +-=与两坐标轴分别交于点A 、B ，圆C 经过A 、B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（）A ．226160x y y ++-=B ．226160x y y +--=C ．22890x y y ++-=D ．22890x y y +--=5．已知双曲线C ：22x a -22yb =1的焦距为10，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =16．抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且4MF OF =，MFO ∆的面积为A ．26y x=B ．28y x=C ．216y x =D ．2152y x =7．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且当0x <时，()0f x >．给出以下四个结论：①()00f =；②()f x 可能是偶函数；③()f x 在[],m n 上一定存在最大值()f n ；④()10f x ->的解集为{}1x x <．共中正确的结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．焦点在x 轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是2279,22b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则椭圆离心率的范围是（）A．⎣⎦B．⎣⎦C．⎣⎦D．⎣⎦二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．已知圆22:4O x y +=和圆22:2440M x y x y +-++=相交于,A B 两点，下列说法正确的是（）．A ．圆M 的圆心为()1,2-，半径为1B ．直线AB 的方程由为240x y --=C ．圆心O 到AB的距离为D ．线段AB的长为10．已知函数()()()2cos 10,0πf x x ωϕωϕ=++><<的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．π6ϕ=C ．()f x 在45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象关于直线π4x =对称11．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，点P 为线段1AD 上一动点，则下列说法正确的是（）A ．直线1//PB 平面1BC DB ．三棱锥1P BC D-的体积为23C ．三棱锥11D BC D -外接球的表面积为6πD ．直线1PB 与平面11BCC B 所成角的正弦值的最大值为12．曲线C 是平面内与两个定点()()120,1,0,1F F -的距离的积等于32的点P 的轨迹，则下列结论正确的是（）A ．曲线C 关于坐标轴对称B ．点P 到原点距离的最大值为C ．12F PF △周长的最大值为2+D ．点P 到y 轴距离的最大值为三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l 经过两点()1,A m -，(),1B m ，若直线l 的方向向量的坐标为()3,1．则m =．14．已知椭圆221259x y +=上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是.15．已知函数()2,0ln ,0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()()()232g x f x f x =-+零点的个数是．16．已知N 为抛物线24x y =上的任意一点，M 为圆()2254x y +-=上的一点，()0,1A ，则2MN MA +的最小值为．四､解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()()()cos ,sin m A B A B =--，()cos ,sin n B B =-，且35m n ⋅=-．(1)求sin A 的值；(2)若a =5b =，求ABC 的面积．18．2023年，某省实行新高考，数学设有4个多选题，在给出的A ，B ，C ，D 四个选项中，有两项或三项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．现正在进行数学学科期中考试．(1)根据以往经验，小李同学做对第一个多选的概率为34，做对第二个多选题的概率为12，对第三个多选题的概率为16．求小李同学前三个多选题错一个的概率．(2)若最后一道数学多选题有三个正确的选项，而小智和小博同学完全不会做，只能对这道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的，若小智打算从中随机选择一个选项，小博打算从中随机选择两个选项．（i ）求小博得2分的概率；（ii ）求小博得分比小智得分高的概率．19．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AD DC BC ===，60ABC ∠=︒，将ACD 沿边AC 翻折，使点D 翻折到P点，且PB =(1)证明：BC ⊥平面PAC ；(2)若E 为线段PC 的中点，求平面AEB 与平面ABC夹角的余弦值．20．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，ABC 的顶点都在抛物线上，满足0FA FB FC ++= ．(1)求FA FB FC++的值；(2)设直线AB 、直线BC 、直线AC 的斜率分别为AB k ，BC k ，AC k ，若实数λ满足：111AB BCAC k k k λ+=⋅上，求λ的值．21．已知双曲线E 的左、右焦点分别为()12,0F -，()22,0F ，点32,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在双曲线E 上．(1)求E 的方程；(2)过2F 作两条相互垂直的直线1l 和2l，与E 的右支分别交A ，C 两点和B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值．22．如图，设P 是228x y +=上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，Q 点满足QD PD λ=（0λ≠）．(1)当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹C 的方程；(2)若12λ=，设点(2,1)A ，A 关于原点的对称点为B ，直线l 过点1(1,2-且与曲线C 交于点M 和点N ，设直线AM 与直线BN 交于点T ，设直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ．（i ）求证：12k k 为定值；（ii ）求证：存在两条定直线1l 、2l ，使得点T 到直线1l 、2l的距离之积为定值．1．C【分析】首先解不等式求出集合A 、B ，再根据并集的定义计算可得.【详解】由220x x +-<，即()()210x x +-<，解得2<<1x -，所以{}{}220,R |21A x x x x x x =+-<∈=-<<，由11x -<，即111x -<-<，解得02x <<，所以{}{}11|02B x x x x =-<=<<，所以{}22A B x x ⋃=-<<.故选：C 2．A【分析】根据两直线平行求得m 的值，由此确定充分、必要条件.【详解】“直线1:420l mx y ++=与直线2:10++=l x my 平行”因为2m =-，所以直线1:210l x y --=，直线2:210l x y -+=，1l 与2l平行，故充分条件成立；当直线1:420l mx y ++=与直线2:10++=l x my 平行时，24m =，解得2m =或2m =-，当2m =时，直线1:210l x y ++=与直线2:210l x y ++=重合，当2m =-时，直线1:210l x y --=，直线2:210l x y -+=平行，故充要条件成立．故选：A ．3．B【分析】根据折线图直接分析各选项.【详解】A 选项：这14天中空气质量为“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A 选项错误；B 选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，B 选项正确；C 选项：这14天中空气质量指数的中位数是179214196.52+=，C 选项错误；D 选项：方差表示波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D 选项错误；故选：B.4．A【解析】求出点A 、B 的坐标，设圆心坐标为()0,b ，由AC BC=可求出圆心C 的坐标，并求出圆的半径，由此可求得圆C 的方程.【详解】易知，直线240x y +-=交x 轴于点()4,0A ，交y 轴于点()0,2B ，设圆心C 的坐标为()0,b ，由AC BC =2b =-，解得3b =-，所以，圆C 的半径为325BC =--=，因此，圆C 的方程为()22325x y ++=，即为226160x y y ++-=.故选：A.【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．5．A【详解】由题意得，双曲线的焦距为10，即22225a b c +==，又双曲线的渐近线方程为b y xa =0bx ay ⇒-=，点1(2)P ，在C 的渐近线上，所以2a b =，联立方程组可得，所以双曲线的方程为22=1205x y -．考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质．6．B【详解】设，则由得，即，则，则，则，解得，即抛物线的方程为28y x =．．考点：直线与抛物线的位置关系．7．B【分析】对于①，赋值得到()00f =；对于②，令y x =-得到()f x 为奇函数，结合0x <时，()0f x >，得到()f x 不可能是偶函数；对于③，设x y <，则0x y -<，结合函数的奇偶性和题目条件得到()()f x f y >，故()f x 是减函数，③错误；对于④，根据奇偶性和单调性得到不等式，求出解集.【详解】对于①，()()()f x y f x f y +=+中令0x y ==，则()()()000f f f =+，解得()00f =，①正确；对于②，()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-得()()()00f x f x f +-==，故()f x 为奇函数，又当0x <时，()0f x >，故()f x 不为常函数0y =，故不可能为偶函数，②错误；对于③，设x y <，则0x y -<，又()f x 为奇函数，当0x <时，()0f x >，故()()()()()0f x y f x f y f x f y -=+-=->，所以()()f x f y >，故()f x 是减函数，()f x 在[],m n 上最大值不是()f n ，③错误；对于④，因为()00f =，故()()100f x f ->=，因为()f x 是减函数，所以10x -<，解得1x <，所以()10f x ->的解集为{}1x x <，④正确.故选：B 8．C【分析】设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，不妨设矩形ABCD 的对角线AC 所在的直线方程为：y kx =（假设0k >），与椭圆方程联立可得矩形ABCD 的面积2222244a b kS xy b a k ==+，变形利用基本不等式结合题意求解即可.【详解】设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，不妨设矩形ABCD 的对角线AC 所在的直线方程为：y kx =（假设0k >），联立22221x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，则222221x k x a b +=，解得：222222a b x b a k =+，2222222a b k y b a k =+，所以矩形ABCD的面积为：222222222224442a b k a b S xy abb b a k a k k ====++，当且仅当bk a =时取等，因为点在x 轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是2279,22b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以2279222b ab b ≤≤，则7944b a b ≤≤，即22249811616b a b ≤≤，()()2222249811616a c a a c -≤≤-，即()()22222281164916a a c a c a ⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得：222265813349c a c a ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，即e ∈⎣⎦.故选：C.9．ABD【分析】对于A ，化简圆M 即可；对于B ，由两圆相减得公共弦所在直线即可；对于C ，根据点到直线距离公式解决即可；对于D ，根据直线与圆位置关系，几何法解决即可.【详解】对于A ，圆22:2440M x y x y +-++=，化简得()()22:121M x y -++=，所以圆M 的圆心为()1,2-，半径为1，故A 正确；对于B ，已知圆22:4O x y +=和圆22:2440M x y x y +-++=相交于,A B 两点，所以两式相减得：240x y --=，所以直线AB 的方程为240x y --=，故B 正确；对于C ，由B 选项得直线AB 的方程为240x y --=，因为()0,0O ，所以圆心O 到AB 的距离为4455d -==，故C 错误；对于D ，因为()0,0,2O r =，圆心O 到AB 的距离为4555d -==，所以22164545AB r d =--，故D 正确.故选：ABD.10．ABD【分析】由图可知πT =，求得ω，可判断A ；由5π112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭结合0πϕ<<求得ϕ，可判断B ；利用三角函数的单调性求解可判断C ；求出π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的解析式，进而求出对称轴，可判断D.【详解】由图可知11π5π2π1212T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则2ω=，故A 正确.因为5π5π2cos 2111212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()5π2ππZ 6k k ϕ+=+∈，即()π2πZ 6k k ϕ=+∈.因为0πϕ<<，所以π6ϕ=，则B 正确.令2ππk -≤()22Z ππ6x k k +≤∈，解得()7ππππZ 1212k x k k -≤≤-∈，此时()f x 单调递增；令2πk ≤()22ππZ π6x k k +≤+∈，解得()π5πππZ 1212k x k k -≤≤+∈，此时()f x 单调递减.由4π5π,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得()f x 在4π17π,312⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在17π5π,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则C 错误.因为()π2cos 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以1ππ2cos 212sin 262f x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令π2π2x k =+，Z k ∈，得ππ24k x =+，Z k ∈.当0k =时，π4x =，则π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象关于直线π4x =对称，故D 正确.故选：ABD.11．ACD【分析】先证明平面11//AB D 平面1BC D ，再根据面面平行得线面平行可判断A ，用等体积法判断B ，求外接球表面积判断C ，利用空间向量先表示出直线1PB 与平面11BCC B 所成角的正弦值，进而求得最大值，即可判断D.【详解】对于A ，由长方体的性质得11//AD BC ，11//AB DC ，因为1AD ⊄平面1BC D ，1BC ⊂平面1BC D ，所以1//AD 平面1BC D ，同理，1AB ⊄平面1BC D ，1DC ⊂平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D ，又11AD AB A ⋂=，且1AD ⊂平面11AB D ，1AB ⊂平面11AB D ，所以平面11//AB D 平面1BC D ，又1PB ⊂平面11AB D ，从而直线1//PB 平面1BC D ，故A 正确；对于B ，由A 知，平面11//AB D 平面1BC D ，P 点在平面11AB D 上，所以111111112323P BC D A BC D C ABD V V V ---===⨯⨯⨯⨯=，故B 错误；对于C ，三棱锥11D BC D-外接球的半径112R AC =⋅所以三棱锥11D BC D -外接球的表面积为224π4π6πS R ==⋅=，故C 正确；对于D ，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，1(0,0,2)D ，1(1,1,2)B ，则1(1,0,2)AD =-，设1AP AD λ=，则(,0,2)AP λλ=-，即(1,0,2)P λλ-，1(,1,22)B P λλ=-- ，可得面11BCC B 的一个法向量(0,1,0)n = ，设直线1PB 与平面11BCC B 所成角为θ，则11sin n B P n B P θ⋅===⋅ 故4=5λ，sin θ有最大值为3，故D 正确.故选：ACD.12．AB【分析】A ：根据条件得到关于,x y 的方程，然后以x -替换,x y -替换y ，根据方程的变化进行判断；B ：先表示出12PF PF ⋅，结合PO 的坐标表示，得到PO 与cos θ的关系，从而求解出点P 到原点距离的最大值；C ：利用基本不等式求解出12F PF △周长的最小值再进行判断；D ：根据条件先求解出12F PF △面积的最大值，然后通过等面积法求解出点P 到y 轴距离的最大值.【详解】由题意，曲线C 是平面内与两个定点()()120,1,0,1F F -的距离的积等于32的点P 的轨迹，设(),P x y ，32=，即22229(1)(1)4x y x y ⎡⎤⎡⎤++⋅+-=⎣⎦⎣⎦，以x -替换,x y -替换y 方程不变，所以曲线C 关于坐标轴对称，故A 正确；由12123cos cos 2PF PF PF PF θθ⋅== ，又()()12,1,,1PF x y PF x y --=---= ，所以22121PF PF x y =⋅+- 且222PO x y =+，所以22335cos 1cos 1222PO PO θθ=-⇒=+≤，则2PO ≤，当12PF PF同向时取等，故max 2PO =，故B 正确，设a b ==，得到32ab =，则2a b +≥⋅，当且仅当a b =时等号成立，所以12F PF △周长的最小值为1222F PF l a b =++= ，故C 错误；过点P 作12PE F F ⊥，如下图所示：则22221244141cos 2233333a b a b F PF ab ab +-+∠==-≥⨯-=-，当且仅当2a b ==时等号成立，显然当122F PF π∠=时，12sin F PF ∠取得最大值，所以12F PF △的最大面积为1213sin 24S ab F PF ∠=⋅=，又由12121324F PF S F F PE == ，解得34PE =，即点P 到y 轴的最大距离为34，故D 错误；故答案为：AB .【点睛】方法点睛：本题考查曲线方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性、基本不等式求最值等问题，难度较大.判断曲线的对称性时，由曲线的方程入手：若以x -代换x ，曲线的方程不变，则曲线关于y 轴对称；若以y -代换y ，曲线的方程不变，则曲线关于x 轴对称；若以y 代换x ，曲线的方程不变，则曲线关于y x =对称.13．12##0.5【分析】根据直线的方向向量的定义，结合斜率的计算公式求解出m 的值.【详解】设直线的斜率为k ，因为直线l 的方向向量坐标是()3,1，所以13k =，因为直线l 经过()1,A m -和(),1B m ，所以1113m k m -==+，解得12m =.故答案为：12.14．4【分析】由椭圆的定义以及中位线的性质，可得解【详解】设椭圆的另一个焦点为E ，则|MF|+|ME|=10，又∵|MF|=2，∴|ME|=8，又ON 为△MEF 的中位线，∴|ON|=12|ME|=4.故答案为：415．6【分析】由题知()1f x =或()2f x =，进而作出函数()f x 的图象，数形结合求解即可.【详解】解：令()0g x =，即()()2320f x f x -+=，解得()1f x =或()2f x =，作出函数()f x 的图象如图，由图可知，方程()1f x =有3个实数解，()2f x =有3个实数解，且均互不相同，所以，()0g x =的实数解有6个，所以，函数()()()232g x f x f x =-+零点的个数是6个.故答案为：616．【分析】根据题意画出示意图，由图中几何关系取线段AM 中点E ，BC 中点D ，连接MD CE DN 、、，可证得所以ACE MBD = ，即AE MD=，可得2MA MD=，即可将2MN MA+转化为()2MN MD +，然后根据当D 、M 、N 三点不共线时，()22MN MD DN+>，当D 、M 、N 三点共线时，()22MN MD DN+=，将问题转化为2MN MA+的最小值即为2DN的最小值，再根据两点间距离公式求出2DN的最小值即可.【详解】根据题意可得抛物线24x y =与圆()2254x y +-=都关于y 轴对称，且圆()2254x y +-=的圆心坐标为()0,5B ，半径为2.因为()0,1A ，圆()2254x y +-=下方与y 轴交点坐标为()0,3C ，取线段AM 中点E ，BC 中点D ，可得()0,4D ，连接MD CE DN 、、，画出示意图如上图所示.因为C 、E 分别为AB 和AM 的中点，所以//CE BM ，112CE BM ==，所以ACE MBD ∠=∠，又因为BM AC=，BD CE=，所以ACE MBD = ，所以AE MD=，因为12AE MA =，所以2MA MD =，所以()222MN MA MN MD DN+=+≥，当且仅当D 、M 、N 三点共线时取到等号，此时M 点为线段DN 与圆的交点.所以2MN MA+的最小值即为2DN的最小值.因为N 为抛物线24x y =上的任意一点，设()N m ，0m ≥，因为()0,4D ，则DN =，当2m =时，min DN =即2MN MA+的最小值为故答案为：17．(1)45(2)2【分析】（1）利用数量积的坐标表示及两角和的余弦公式求出cos A ，即可求出sin A ；（2）由余弦定理求出c ，最后由面积公式计算可得.【详解】（1）因为()()()cos ,sin m A B A B =--，()cos ,sin n B B =-，且35m n ⋅=-，3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ∴---=-，()3cos cos 5A B B A ∴-+==-⎡⎤⎣⎦，又∵A 为ABC 内角，4sin 5A ∴==，（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得233225255c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得1c =或7c =-（舍去），故1c =，所以114sin 512225ABC S bc A ==⨯⨯⨯= ．18．(1)1948(2)（i ）12；（ii ）18【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）（i ）利用古典概型的概率公式计算可得；（ii ）设小博得分为X ，小智得分为Y ，求出()0P X =，()2P X =，()0P Y =，()2P Y =，再根据独立事件的概率公式计算可得.【详解】（1）设事件A 为小李同学前三个多选题错一个题，则()1113113151942642648264P A =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（2）（i ）因为最后一道数学多选题有三个正确的选项，不妨设正确答案为ABC ，而小博打算从中随机选择两个选项，则共有4362⨯=种，其中选中错误答案D 的有3种，所以小博得2分的概率63162P -==.（ii ）设小博得分为X ，由（i ）可知()102P X ==，()122P X ==，设小智得分为Y ，则()104P Y ==，()324P Y ==，设小博得分比小智得分高为事件E ，则()111248P E =⨯=.19．(1)证明见解析【分析】（1）利用线面垂直判定定理去证明BC ⊥平面PAC ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求平面AEB 与平面ABC 夹角的余弦值．【详解】（1）等腰梯形ABCD 中，AD BC CD ==，//AB CD ，60ABC ∠=︒，则30CAB ACD DAC ∠=∠=∠=︒，则90ACB ∠=︒，∴AC BC ⊥，又由222BC PC PB +=，可知BC PC ⊥，又PC AC C ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，故BC ⊥平面PAC .（2）过点C 作CN ⊥平面ABC ，以C 为原点，分别以CA 、CB 、CN 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()0,2,0B，()A，12E ⎫⎪⎪⎝⎭，则()2,0AB =-，12EA ⎫=-⎪⎭ ，设面EAB 法向量为(,,)m x y z = ，则00m AB m EA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则20102y z ⎧-+=⎪-=，令1x =，则y =z =，则(m =，又面ABC 一个法向量为()0,0,1n =，所以cos ,m n m n m n ⋅=⋅ ，故平面AEB 与平面ABC20．(1)3p (2)1-【分析】（1）根据0FA FB FC ++= 向量和可知12332p x x x ++=，再利用抛物线定义即可得解；（2）根据1230y y y ++=及斜率公式化简即可得解.【详解】（1）设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为0FA FB FC ++=，所以1230222p p px x x -+-+-=，1230y y y ++=，即12332px x x ++=，由抛物线定义知，11||22p p FA x x ⎛⎫=--=+⎪⎝⎭，22||22p p FB x x ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，33||22p p FC x x ⎛⎫=--=+⎪⎝⎭，所以1233333222p p pFA FB FC x x x p ++=+++=+=.（2）由（1）知，1230y y y ++=．∵2121222121212()2AB y y p y y pk x x y y y y --===--+，同理132322,AC BC p pk k y y y y ==++，∴231321111222AB BCAC y y y y y y k k p p k p λλ++++=+=⋅=⋅，2222y y y λ∴-=-，解得1λ=-.21．(1)2213x y -=(2)6【分析】（1）设双曲线()2222:10,0x yE a b a b -=>>，依题意可得2222221134a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得即可；（2）设直线()1:2l y k x =-，()21:2l y x k =--，求得2133k <<，联立方程组，利用弦长公式，求得)22131k AC k +=-，)2213k BD k+=-，得到()()()222261313ABCD k S kk +=--，令21t k =+，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）设双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>，则2222221134a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得2231a b ⎧=⎨=⎩，所以双曲线E 的方程为2213x y -=.（2）根据题意，直线1l ，2l的斜率都存在且不为0，设直线()1:2l y k x =-，()21:2l y x k =--，其中0k ≠，双曲线的渐近线为3y x =±，因为1l，2l 均与E 的右支有两个交点，所以33k >，13k ->，所以2133k <<，将1l 的方程与2213x y -=联立，可得()222213121230k x k x k -+--=，设()()1122,,,A x y C x y ，则21221213k x x k -+=-，212212313k x x k --=-，所以12 AC x ==-=)22131kk+=-，用1k-替换k，可得)2213kBDk+=-，所以))()()()2222222211611122313313ABCDk k kS AC BDk k k k+++=⋅=⋅⋅=----．令21t k=+，所以241,,43k t t⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则222266661616316161131612ABCDtSt tt t t==≥-+-⎛⎫-+---+⎪⎝⎭，当112t=，即1k=±时，等号成立，故四边形ABCD面积的最小值为6．【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.22．(1)2221188x yλ+=；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【分析】（1）设出点,P Q的坐标，利用给定的向量关系，借助坐标代换法求出轨迹方程.（2）（i）求出曲线C的方程，并分别与直线,AM BN方程联立，求出点,M N的坐标，利用向量共线计算即得；（ii）由（i）的结论求出点T的轨迹方程，借助反比例函数图象确定直线1l、2l即可计算得解.【详解】（1）设点00(,),(,)Q x y P x y ，则0(,0)D x ，00(,),(0,)QD x x y PD y =--=-，由QD PD λ= ，得0x x =，01y y λ=，由P 是228x y +=上的动点，得22008x y +=，即有22218x y λ+=，整理得2221188x y λ+=，所以点Q 的轨迹C 的方程为2221188x y λ+=.（2）（i ）当12λ=时，由（1）知，曲线C 的方程为22182x y +=，显然点(2,1)A ，(2,1)B --在曲线C上，设1122(,),(,)M x y N x y ，直线AM 方程为11(2)y k x -=-，直线BN 方程为21(2)y k x +=+，由1122(21)48y k x k x y =--⎧⎨+=⎩，消去y 得2221111(41)8(21)4(21)80k x k k x k +--+--=，则21112188241k k x k --=+，221111112211882441(2)14141k k k k y k k k ----+=-+=++，由2222(21)48y k x k x y =+-⎧⎨+=⎩，消去y 得2222222(41)8(21)4(21)80k x k k x k ++-+--=，则22222288241k k x k -++=+，222222222222882441(2)14141k k k k y k k k -+++-=+-=++，令点1(1,)2-为E ，112211(1,),(1,)22EM x y EN x y =-+=-+ ，而点,,M E N 共线，即有1221(1)(21)(1)(21)x y x y -+=-+，22221122221122221221882441882441(1)(21)(1)(21)41414141k k k k k k k k k k k k --+--++--+-⋅=-⋅+++++，整理得222211222211222212214831281128148341414141k k k k k k k k k k k k --+--++--+⋅=⋅++++，21222211222211(483)(1281)(1281)(483)k k k k k k k k --+-=--+-，化简得2212121241230k k k k k k -+-=，即1212(41)(3)0k k k k +-=，观察图形知，直线,AM BN 的斜率同号，即120k k >，于是1230k k -=，即123k k =，所以12k k 为定值为定值3.（ii ）设(,)T x y ，则1222,11y y k k x x -+==-+，由（i ）知22311y y x x -+=⋅-+，即23321y x y x --=++，整理得642y x =---，显然函数642y x =---的图象是函数6y x =-的图象向右平移2个单位，再向下平移4个单位而得，函数6y x =-的图象是以x 轴、y 轴为渐近线的双曲线，因此函数642y x =---的图象，即点T 的轨迹是以直线2,4x y ==-为渐近线的双曲线，此双曲线上任意点(,)T x y 到直线2,4x y ==-的距离分别为|2|,|4|x y -+，显然6|2||4||2|||62x y x x -⋅+=-⋅=-，令直线2,4x y ==-分别为12,l l ，所以存在两条定直线1l 、2l ，使得点T 到直线1l 、2l的距离之积为定值.【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．。
雅礼高二期中考试数学试卷
一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 3.14C. 1/2D. 22. 已知等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，则a10的值为（）A. 19B. 20C. 21D. 223. 已知函数f(x) = 2x + 1，则函数f(x+1)的图像与f(x)的图像相比（）A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向上平移1个单位D. 向下平移1个单位4. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > x + 1B. 2x < x + 1C. 2x ≥ x + 1D. 2x ≤ x + 15. 在△ABC中，角A、角B、角C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b=4，c=5，则角A的余弦值为（）A. 1/2B. √2/2C. 1/3D. √2/3二、填空题（每题5分，共20分）6. 已知等比数列{an}中，a1=2，公比q=3，则a5的值为______。
7. 函数f(x) = -x^2 + 4x + 3的图像的对称轴为______。
8. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，其解为______。
9. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则sinC的值为______。
10. 已知等差数列{an}中，a1=5，公差d=3，则前10项的和S10为______。
三、解答题（共50分）11. （10分）已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求：（1）函数f(x)的图像的顶点坐标；（2）函数f(x)在区间[0, 3]上的最大值和最小值。
12. （10分）已知等差数列{an}中，a1=3，公差d=2，求：（1）数列的前10项；（2）数列的前n项和。
13. （10分）已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2，求：（1）函数f(x)的单调区间；（2）函数f(x)的极值。
14. （10分）已知等比数列{an}中，a1=4，公比q=1/2，求：（1）数列的前5项；（2）数列的前n项和。
雅礼中学高二数学月考试卷(文科)
雅礼中学高二第一次月考试卷（文科数学）时量：120分钟 分值：150分命题人：李斑 审题人：汤芳一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1、命题“∀x ∈R,X 2>0”的否定是A 、∀x ∈R,X 2>0B 、∃x 0∈R ,X 02>0C 、∃x 0∈R ,X 02<0D 、∃x 0∈R ,X 02≤02、已知命题P 对任意x ∈R,总有|X |≥0;q:x=1是方程X ÷2=0的根，则下列命题为真命题的是（ ）.A 、p ^¬qB 、¬p ^qC 、⇁p ^¬qD 、p^q3、“p v q 是真命题”是“P 为真命题”的（ ）A 、必要不充分条件B 、充分不必要条件C 、充要条件D 、即不充分也不必要条件4、若方程X 23−m +x 2m+1=1表示双曲线，则实数a 的取值范围是A 、（0、1）B 、（-1、 3）C 、（-∞、−1））D 、（1、 3）5、直线L 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到L 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A 、13B 、12C 、23D 、346、已知|a n |是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8= 4S 4则a 10=( )A 、172B 、 192C 、 10D 、 127、有下列四个命题：○1y=2x -2−x 是奇函数： ○2“p v q”为真，则“P ^q”为真 ○3ΔABC 中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件； ○4“平面内一个动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆”其中真命题的个数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8、设a=ln(3π),b=log 2e ,C=(13)0.3,则（ ）A 、a<b<CB 、b<c<aC 、a<c<bD 、c<b<a9、已知函数ƒ(x)=2cos x2-sin x2+2,则（）A、ƒ(x)的最小正周期为π，最大值为3B、ƒ(x)的最小正周期为π，最大值为4C、ƒ(x)的最小正周期为2π，最大值为3D、ƒ(x)的最小正周期为2π，最小值为410、在正方形ABCD-A1B1C1D1中，E为被CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为A、√22B、√32C、√52D、√7211、若A点坐标为（1,1），F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，点P是该椭圆上的动点，则|PA |+PF1的最大值为（）A、6-√2B、6+√2C、5-√2D、7+√212、已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点A关于原点的对称点为B、F2为其右焦点，若AF⊥BF2,设∠ABF2=a,且aϵ[ π6,π4],则该椭圆离心率e的取值范围为A、[ √22,√3-1 ] B、[ √22, 1 ] C、[√22,√32] D、[ √33,√6]二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）3、若a =(X,X-1),b=(2,1),a ⊥ b,则x=14、数列{a n}中，a1=2, a n+1=2a n, S n为{a n}的前n项和，若S n=126,则n=15、若x,y满足约束条件{x+2y−5≥0x−2y+3≥0x−5≤0，则Z=x÷y的最大值为16、已知函数ƒ(x)=|x2-4|+a| x-2|,若∀x∈[-3,3].ƒ(x)≤0则实数a的取值是三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17、（本小题满分10分）已知P:2<x<10,q:1-m≤x≤x+m(m>0),若¬p是¬q的必要不充分条件,求实数m的取值范围18.(本小题满分12分)ΔABC内角A、B、C、所对的边分别是a、b、c、向量vbvf =b、-√3a)与sin a cos a)垂直。
湖南省长沙市雅礼寄宿制中学2021年高二数学文月考试卷含解析
湖南省长沙市雅礼寄宿制中学2020-2021学年高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知F1，F2是双曲线的两个焦点，过F2作垂直于实轴的直线PQ交双曲线于P，Q两点，若∠PF1Q=，则双曲线的离心率e等于（）A． +2 B． +1 C．D．﹣1参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题设条件我们知道|PQ|=，|F1F2|=2c，|QF1|=，因为∠PF2Q=90°，则2（+4c2）=，据此可以推导出双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知通径|PQ|=，|F1F2|=2c，|QF1|=，∵∠PF2Q=90°，∴2（+4c2）=，∴b4=4a2c2∵c2=a2+b2，∴c4﹣6a2c2+a4=0，∴e4﹣6e2+1=0∴e2=3+2或e2=3﹣2（舍去）∴e=+1．故选B．2. 已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=( )A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合A，然后求出两个集合的交集．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．3. 函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2f′（2）﹣3x，则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（）A．f（﹣1）=f（1）B．f（﹣1）＞f（1）C．f（﹣1）＜f（1）D．不确定参考答案：B【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．【分析】因为函数关系式中的f′（2）为常数，先求出导函数f′（x）令x=2求出f′（2），即可得到f（x），把1和﹣1代入即可比较f（﹣1）与f（1）的大小关系．【解答】解：f′（2）是常数，∴f′（x）=2xf′（2）﹣3?f′（2）=2×2f′（2）﹣3?f′（2）=1，∴f（x）=x2﹣3x，故f（1）=1﹣3=﹣2，f（﹣1）=1+3=4．故选B．4. 圆的圆心坐标和半径分别为（）A． B． C． D．参考答案：D5. 若、两点分别在圆上运动，则的最大值为（）A．13 B．19 C．32D．38参考答案：C6. 设为椭圆的左，右焦点，点M在椭圆F上．若△为直角三角形，且，则椭圆F的离心率为（▲ ）A． B.C． D.参考答案：A7. 某质量监督局要对某厂6月份生产的三种型号的轿车进行抽检，已知6月份该厂共生产甲种轿车1 400辆，乙种轿车6 000辆，丙种轿车2 000辆，现采用分层抽样的方法抽取47辆进行检验，则这三种型号的轿车依次应抽取（）A. 14辆，21辆，12辆B. 7辆，30辆，10辆C. 10辆，20辆，17辆D. 8辆，21辆，18辆参考答案：B8. 为双曲线C：的左焦点，双曲线C上的点与关于轴对称，A．9 B．16 C． 18 D．27参考答案：C9. 已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F（，0）∵A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，∴x0=x0+，解得x0=1．故选：A．10. 若定义在R上的函数，则它能取到的最大值为A．2 B．4 C．2 D．2－1参考答案：D＝，当且仅当x2＋1＝时取等号，故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若命题p：常数列是等差数列，则￢p：．参考答案：存在一个常数列，它不是等差数列【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定￢：存在一个常数列，它不是等差数列，故答案为：存在一个常数列，它不是等差数列12. 已知，且满足，则的最大值为___________ .参考答案：3略13. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n= .参考答案： 19214. 若方程有解，则实数的取值范围是▲ ．参考答案：略15. 如图，圆O 上一点在直径上的射影为. ，，则____,___.参考答案：,略16. 关于x 的不等式的解集为{x|－1＜x ＜2}则关于x 的不等式的解集为________________．参考答案：17. 函数y=|﹣x 2+2x+3|的单调减区间为 ．参考答案：（﹣∞，﹣1]和[1，3] 【考点】3W ：二次函数的性质．【分析】根据题意化简函数y ，画出函数y 的图象，根据函数图象容易得出y 的单调减区间． 【解答】解：令﹣x 2+2x+3=0，得x 2﹣2x ﹣3=0， 解得x=﹣1或x=3；∴函数y=f （x ）=|﹣x 2+2x+3| =|x 2﹣2x ﹣3|=，画出函数y 的图象如图所示，根据函数y 的图象知y 的单调减区间是（﹣∞，﹣1]和[1，3]． 故答案为：（﹣∞，﹣1]和[1，3]．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
高二下学期期中数学(文科)试卷.doc
高二数学（文科）一、选择题（本小题共12小题,每小题5分）1．设复数z 满足()12z i i -=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2． 若复数z 满足||24,z z i z -=+=则（） A 34i + B 34i - C 43i + D 43i -3． 在一次实验中，测得(),x y的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ） A y=2x+1 B y=x+2 C y=x+1 D y=x-1 4．下面对相关系数r 描述正确的是（ ）A r ＞0表明两个变量负相关B r ＞1表明两个变量正相关C ︱r ︱越接近于0，两个变量相关关系越弱D r 只能大于零5. 把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子，盒子的容积最大时，切去的正方形边长是 （ ） A ．3aB ．4a C ．5aD ．6a6．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是 （ ） A ．总偏差平方和 B ．残差平方和 C ．回归平方和 D ．相关指数2R7．设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）A (3，π45)B (23-，π45)C (23，π43)D (-3，π43)8. 曲线的极坐标方程为θρsin 4=化成直角坐标方程为( )A 4)2(22=-+y xB 4)2(22=++y x C 4)2(22=+-y x D 4)2(22=++y x 9．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A.16 B.2524 C. 34 D.111210. 已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ）A 1=ρB θρcos =C θρcos 1=D θρcos 1-=11． 对于任意的两个实数对（a , b ）和(c, d),规定（a , b ）＝(c, d)当且仅当a ＝c, b ＝d; 运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p ，则=⊕),()2,1(q p ( ) A )2,0( B )0,4( C )0,2( D )4,0(-12.若sin cos [0,]2xx x k e x k π+≤⋅∈在上恒成立，在的最小值为（）A3 B 2 C 1 D 21/e π二、填空题（共4小题、每题5分） 13．在极坐标系中,设(4,)4P π,直线l 过点P 且与极轴所成的角为43π,则直线l 的极坐标方程 14. 在同一平面直角坐标系中，直线21x y -=变成直线42='-'y x 的伸缩变换是_____________；15. 已知直线l的极坐标方程为sin()4πρθ-=A的极坐标为74A π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 16．观察下列等式：1－1122=，1－1111123434+-=+，1－1111111123456456+-+-=++…………据此规律，第n 个等式可为________________三、解答题（共6小题，总分70分，解答写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.（本小题10分）实数m 取什么值时，复数z=(m 2+m-12)+(m 2-3m)i 是（1）虚数？（2）实数？（3）纯虚数？ （4）复数Z 对应的点位于第二象限？18.(1) （5分）设321,,a a a 均为正数，且m a a a =++321，求证ma a a 9111321≥++；（2）（7分）在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性110人，其中有10人患色盲，调查的205个女性中5人患色盲，（Ⅰ）根据以上的数据建立一个2×2的列联表；（Ⅱ）若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率会是多少对以上数据分别用2y bx a y cx d y x =+=+和来拟合与之间的关系，并用残差分析两者的拟合效果。
湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含解析)
雅礼教育集团2024年上期期中考试高二数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知{1,2,3,4,5,6},{2,4,5}U A ==，{1,3,5}B =，则()U A B = ð（ ）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{2,4,6}D ．{2,4}2．复数z 满足(2i)3i z +=-，则||z 等于（ ）A ．1BC ．2D ．43．“01k <<”是“方程2212x y k-=表示双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数24(1)()log (1)x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，则((1))f f =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．45．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且满足244,22a S ==，则5S =（ ）A ．65B ．55C ．45D ．356．有5名志愿者去定点帮扶3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有（ ）A ．180种B ．150种C ．90种D ．60种7．关于函数3()31f x x x =-+，下列说法正确的是（ ）①()f x 有两个极值点②()f x 的图象关于原点对称③()f x 有三个零点④()f x 在(1,1)-上单调递减A ．①④B ．②④C ．①③④D ．①②③8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 为C 上一点，满足12PF PF ⊥，以C 的短轴为直径作圆O ，截直线1PF，则C 的离心率为（ ）ABC ．23D二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．设m ，n 为不重合的两条直线，,αβ为不重合的两个平面，下列命题正确的是（ ）A ．若m α∥且n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥且n α⊥，则m n ∥C ．若m α∥且m β∥，则αβ∥D ．若m α⊥且m β⊥，则αβ∥10．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论正确的有（ ）A ．函数()y f x =的最小正周期为πB ．将函数()y f x =的图象右移3π个单位后，得到一个奇函数C ．56x π=是函数()y f x =的一条对称轴D ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心11．定义域为R 的函数()f x ，对任意,,()()2()()x y f x y f x y f x f y ∈++-=R ，且()f x 不恒为0，则下列说法正确的是（ ）A ．(0)0f =B ．()f x 为偶函数C ．若(1)0f =，则()f x 关于(1,0)中心对称D ．若(1)0f =，则02412()4048i f i ==∑三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知平面向量(2,1),(4,)a b x =-=- ，若b 与()a b +共线，则实数x =______．13．()2312(1)x x ++的展开式中3x 的系数为______．（用数字作答）14．若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则a 的取值范围是______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）设函数()2cos 2f x x x =+．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）a ，b ，c 分别为ABC △内角A ，B ，C 的对边，已知()1f A =，1b =，ABC △ABC △的周长．16．（15分）如图，已知多面体FABCDE 的底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥底面ABCD ，DE AF ∥，且22FA DE ==．（1）证明：CD ⊥平面ADEF ；（2）求四棱锥C ADEF -的体积；（3）求平面FCE 与平面FAB 所成角的余弦值．17．（15分）2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占45，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示。
湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 满足6786a a a ++=，则7a 等于（）A ．1B ．2C ．4D ．82．若圆224820x y x y m +-++=的半径为2，则实数m 的值为（）A ．-9B ．-8C ．9D ．83．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与椭圆22195x y +=的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A ．1x =-B ．1x =C ．2x =D ．2x =-4．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[)0,50、[)50,100、[)100,150、[)150,200、[)200,300和[]300,500六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（）．A ．这14天中有5天空气质量为“中度污染”B ．从2日到5日空气质量越来越好C ．这14天中空气质量指数的中位数是214D ．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日5．已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =16．定义22⨯行列式12142334a a a a a a a a =-，若函数22cos sin ()πcos 22x xf x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则下列表述正确的是（）A ．()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B ．()f x 的图象关于直线π2x =对称C ．()f x 在区间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 是最小正周期为π的奇函数7．已知ABC V 中，6AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，D 为BC 的中点，则AD =（）A ．25B ．19CD8．已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF FQ =，则椭圆C 的离心率为（）A．5BC．5D．7二、多选题9．设i 为虚数单位，下列关于复数z 的命题正确的有（）A ．2025i 1=-B ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12=z z C ．若1z =，则z 的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆D ．若复数1(1)i =++-z m m 为纯虚数，则1m =-10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是棱CD 上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（）A ．三棱锥11AB D E -的体积为定值B ．11EB AD ⊥C ．存在某个点E ，使直线1A E 与平面ABCD 所成角为60o D ．二面角11E A B A --的平面角的大小为π411．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的产物，曲线()32222:16C x y x y +=为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（）A ．方程()()32222160x y x y xy +=<，表示的曲线在第二和第四象限；B ．曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；C ．曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；D ．曲线C 上有5个整点（横､纵坐标均为整数的点）.三、填空题12．圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=的交点为A ，B ，则公共弦AB 所在的直线的方程是.13．若数列{}n a 满足111n nd a a +-=（*n ∈N ，d 为常数），则称数列{}n a 为“调和数列”，已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且12202220220b b b +++= ，则12022b b 的最大值是.14．如图，在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD的中心且AB =M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当AN MN ＋取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为．四、解答题15．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，84a =，1122S =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求n S 的最小值.16．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若3n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和.17．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，122PA PB AD BC ====，且E ，F 分别为PC ，CD 的中点，(1)证明：//DE 平面PAB ；(2)若直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.18．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(,6)P m 到焦点F 的距离为9.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 且倾斜角为5π6的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，点M 为抛物线C 准线上一点，且MA MB ⊥，求MAB △的面积.(3)过点(2,0)Q 的动直线l 与抛物线相交于C ，D 两点，是否存在定点T ，使得TC TD ⋅为常数？若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由.19．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：步骤1：在纸上画一个圆A ，并在圆外取一定点B ；步骤2：把纸片折叠，使得点B 折叠后与圆A 上某一点重合；步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕；步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A ，并在圆外取一定点,4B AB =，按照上述方法折纸，点B 折叠后与圆A 上的点T 重合，折痕与直线TA 交于点,P P 的轨迹为曲线C .(1)以AB 所在直线为x 轴建立适当的坐标系，求C 的方程；(2)设AB 的中点为O ，若存在一个定圆O ，使得当C 的弦PQ 与圆O 相切时，C 上存在异于,P Q 的点,M N 使得//PM QN ，且直线,PM QN 均与圆O 相切.（i ）求证：OP OQ ⊥；（ii ）求四边形PQNM 面积的取值范围.。
雅礼中学 2023 年高二下学期入学检测数学试题及参考答案
一、单项选择雅礼中学2023年下学期入学检测试题高二数学 参考答案题7.【答案】A【解析】因为++-=f x y f x y f x f y )()()()(，令=x 1，=y 0， 可得，=f f f 2110)()()(， 所以=f 02)(，令=x 0，可得，+-=f y f y f y 2)()()(， 即=-f y f y )()(， 所以函数f x )(为偶函数，令=y 1得，++-==f x f x f x f f x 111)()()()()(， 即有++=+f x f x f x 21)()()(，从而可知+=--f x f x 21)()(，-=--f x f x 14)()(， 故+=-f x f x 24)()(， 即=+f x f x 6)()(，所以函数f x )(的一个周期为6.因为=-=-=-f f f 210121)()()(，=-=--=-f f f 321112)()()(，=-==-f f f 4221)()()(，=-==f f f 5111)()()(，==f f 602)()(，所以一个周期内的+++=f f f 1260)()()(.由于22除以6余4， 所以∑=+++=---=-=f k f f f f k 123411213122)()()()()(.故选：A.8.【答案】C【解析】作直线EF ，分别交DA ，DC 于M ，N 两点，连接1D M ，1D N 分别交1A A ，1C C 于H ，G 两点，如图所示，过点1D ，E ，F 的截面即为五边形1D HEFG ，设正方体的棱长为2a ，因为点E ，F ，分别是AB ，BC 的中点. 所以1AE AM BE BF ==，1CN CFBE BF==， 即AM CN a ==，因为113AM AH MD DD ==，113CN CG DN DD ==， 所以23a AH CG ==. 则过点1D ，E ，F 的截面下方体积为：3111112253322323239a V a a a a a a =⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=， ∴另一部分体积为33322547899V a a a =-=， ∴1225:47V V =. 故选：C.二、多项选择题12.【答案】BC【解析】对于选项A ，以D 点为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，10,1,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,1D . 从而()10,0,1DD =，11,1,2AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而1102DD AF ⋅=≠，所以直线1DD 与直线AF 不垂直，选项A 错误； 对于选项B ，取11B C 的中点为M ，连接1A M ，GM ，则易知1//A M AE ， 又1A M ⊂/平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， 故1//A M 平面AEF ，又//GM EF ，GM ⊂/平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以//GM 平面AEF ， 又1A MGM M =，1A M ，GM ⊂平面1A GM ，故平面1//A MG 平面AEF ，又1A G ⊂平面1A MG ，从而1//A G 平面AEF ， 选项B 正确；对于选项C ，连接1AD ，1D F ，如图所示， ∵正方体中11////AD BC EF ， ∴A ，E ，F ，1D 四点共面，∴四边形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面四边形，且截面四边形1AEFD 为梯形，又由勾股定理可得12D F AE ==，1AD =2EF =，∴梯形1AEFD=，∴11928AEFD S =⨯=⎭梯形， 选项C 正确；对于选项D ，由于1111224GEF S =⨯⨯=△，11112228ECF S =⨯⨯=△， 而13A GEFEFG V S AB -=⋅△，13A ECF BCF V S AB -=⋅△， ∴2A GEF A BCF V V --=，即2G AEFC AEF V V --=，点G 到平面AEF 的距离为点C 到平面AEF 的距离的2倍，选项D 错误. 故选：BC.三、填空题13.1015.()(),01,-∞+∞16.8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.【答案】8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】首先证明一个结论：在三棱锥S ABC -中，棱SA ，SB ，SC 上取点1A ，1B ，1C ，则111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC--⋅⋅=⋅⋅，设SB 与平面SAC 所成角为θ，则11111111111111sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABC B SAC SA SC SB ASC V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC SB ASC θθ----⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠⋅⋅===⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠；现业解答本题：设PE x PB =，PF y PD =，184233P ABCD V -=⨯⨯=， 则43P AEF P ABD V x y V xy --=⋅⋅=，1223P MEF P BCD V x y V xy --=⋅⋅⋅=，223P AFM P ACD y V V y --=⋅=，223P AEM P ABC x V V x --=⋅=，∴()223P AEMF P AEF P MEF P AFM P AEM V V V V V xy x y -----=+=+==+，则3x y xy +=， ∴31yx y =-， ∴010131x y y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨⎪=⎪-⎩， 则112y ≤≤， ∴()222233331331P AEMFy y V x y y y y -⎛⎫=+=+=⋅⎪--⎝⎭，令31t y =-，则()2211123199t yt y t t +⎛⎫==++ ⎪-⎝⎭， ∵1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当112t ≤<时，函数1y t t =+单调递减，当12t <≤时，函数1y t t=+单调递增， 故1y t t =+最小值为2，当12t =，2时，1y t t =+都取到最大值52，则()22111412,319992t y t y tt +⎛⎫⎡⎤==++∈ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦(当且仅当1t =时，取最小值)， ∴282,1319P AEMFy V y -⎡⎤=⋅∈⎢⎥-⎣⎦，故答案为：8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦.四、解答题17.【解析】(1)根据函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图像，可得2A =，3254123πππω⋅=+， ∴2ω=.再根据五点法作图，52122ππϕ⨯+=， ∴3πϕ=-，故有()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 根据图像可得，,03π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的图像的一个对称中心， 故函数的对称中心为,03k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈. (2)先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再向右平移12π个单位，得到sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，即()cos 2g x x =-，令222k x k πππ-≤≤，k Z ∈， 解得2k x k πππ-≤≤，k Z ∈，可得()g x 的减区间为,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 结合3,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()g x 在3,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 又32,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故当2,2x x ππ==时，()g x 取得最大值，即()max 1g x =； 当26x π=，12x π=时，()g x 取得最小值，即()min2g x =-.18.(1)【证明】如图，连接1A B ，1CD ，∵正方体1111ABCD A B C D - ∴四边形11ABB A 为正方形， ∴11AB B A ⊥，又∵正方体1111ABCD A B C D -， ∴BC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥， 又11B CA B B =，∴1AB ⊥平面11A D CB ，又∵1D E ⊂平面11A D CB ， ∴11AB D E ⊥.(2)【证明】如图，连接DE ，1CD ，AD DC =，DF EC =，ADF DCE ∠=∠，∴ADF DCE ≌△△， ∴DAF CDE ∠=∠. ∵90CDE ADE ∠+∠=︒， ∴90DAF ADE ∠+∠=︒， 即DE AF ⊥.又∵正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ， ∴1AF DD ⊥， ∵1DD DE D =，1,D D DE ⊂平面1D DE ，∴AF ⊥平面1D DE . 又∵1D E ⊂平面1D DE ， ∴1AF D E ⊥. 由(1)可知11AB D E ⊥ 又∵1AB AF A =，1AB ，AF ⊂平面1AB F ，∴1D E ⊥平面1AB F .又∵1MN C D ⊥，11//AB C D ， ∴1MN AB ⊥，， 又∵MN AF ⊥，1AB AF A =，1AB ，AF ⊂平面1AB F所以MN ⊥平面1B AF 所以1//MN D E .(3)【解析】存在.如图，当点P 为棱1CC 的中点时，平面1CD E ⊥平面AFP . 连接FP ，AP ，∵点P ，F 分别为棱1CC ，CD 的中点， ∴1//FP C D ，∵正方体1111ABCD A B C D -， ∴11//AD B C ， ∴11AB C D∴11//C D AB ， ∴1//FP AB ，∴FP 与1AB 共面于平面1AB PF .由(2)知1D E ⊥平面1B AF ，即1D E ⊥平面AFP . 又因为1D E ⊂平面1CD E ， ∴平面1CD E ⊥平面AFP .19.【解析】(1)设每一轮罚球中，甲队球员罚进点球的事件为A ，未罚进点球的事件为A ；乙队球员罚进点球的事件为B ，未罚进点球的事件为B .设每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的事件为C ，由题意，得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种：甲、乙均未罚进点球，或甲、乙均罚进点球，则()()()()()1212111112323632P C P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=-⨯-+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率为12. (2)因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分， 即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2. ①比分为2:1的概率为()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅121212121111111112323232318189⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯-+-⨯-⨯-⨯=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ②比分为2:2的概率为()()()()121211123239P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.③比分为3:2的概率为()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅121221223239⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭. 综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为11249999++=. 20.(1)【证明】以点C 为坐标原点，向量CD 、CB 、DP 方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立坐标系，则()2,0,0D ，()2,0,2P ，()0,0,0C，()B，()A ，()1,0,1E ，所以()2PB =--， 因为13PF PB =，设(),,F a b c ，则()2,,2PF a b c =--， 所以()()12,,223a b c --=--，解得4343a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以4433F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，同理可得8233G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， ∴()1,0,1DE =-，2433DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2233DG ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， 令DF xDE yDG =+，则()2422221,0,1333333x y x y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2233334233x y y x y ⎧-=-+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩， ∴112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴12DF DE DG =+，∴D 、E 、F 、G 四点共面.(2)【解析】由(1)可知()2,0,0D ，()1,0,1E，4433F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴()1,0,1DE =-，2433DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则0n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0240333x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，则x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 令2y =，则(3,2,n =-取平面PDE 的一个法向量为()CB =，则2cos ,510n CB n CB n CB⋅===，所以215sin ,1cos ,5n CB nCB =-=，∴二面角F DE P --. 21.【解析】(1)如图，在AEM △中，由余弦定理得，2222cos93AE MA ME MA ME π=+-⋅=，所以()2293932MA ME MA ME MA ME +⎛⎫+=+⋅≤+⨯ ⎪⎝⎭，所以6MA ME +≤，(当且仅当3MA ME ==时等号成立)， 故两机器人运动路程和的最大值为6.(2)(i)在AEM △中，由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍， 故2AM EM =，由正弦定理可得()sin sin AM EM πθα=-， 所以()sin 11sin sin sin 223EM AM πθπαθ-====， (ii)设EM x =，则22AM EM x ==，()1,3x ∈，由余弦定理可得()()222323cos 2322x x x x x πθ+--==-⨯⨯， 所以3cos 22x xθ=-， 所以sin x θ=== 由题意得sin AD x θ≥对任意()1,3x ∈恒成立，故()max sin 2AD x θ≥=，当且仅当x =.答：矩形区域ABCD 的宽AD 至少为2米，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲.22.【解析】(1)因为13πθ=，223πθ=，3θπ=， 所以()22200012sin sin sin 333ππμθθπθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()2222200000131131cos sin sin sin cos 322322θθθθθ⎛⎫=++=⨯+= ⎪⎝⎭， 所以“正弦方差”μ的值是与0θ无关的定值12. (2)因为14πθ=，2θα=，3θβ=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(),2βππ∈， 所以()()2220001sin sin sin 34πμθαθβθ⎡⎤⎛⎫=-+-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()()0001cos 21cos 221cos 22123222πθαθβθ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥----⎝⎭⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()()00000sin 2cos2cos2sin 2sin 2cos2cos2sin 2sin 2126θαθαθβθβθ++++=-()()00sin 2sin 21sin 2cos 2cos 2cos 2126αβθαβθ++++=-， 因为实数1θ，2θ，3θ对0θ的“正弦方差”μ的值是与0θ无关的定值， 所以cos 2cos 20sin 2sin 21αβαβ+=⎧⎨+=-⎩， 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(),2βππ∈， 所以()2,2αππ∈，()22,4βππ∈，由cos 2cos 20αβ+=，得225αβπ+=或22βαπ-=， 即52παβ+=或2πβα-=， 由()()22cos 2cos 2sin 2sin 21αβαβ+++=，得()1cos 222βα-=-， 又因为()220,3βαπ-∈， 所以2223πβα-=或4223πβα-=或8223πβα-=， 即3πβα-=或23πβα-=或43πβα-=， 当523παβπβα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，解得13121712παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验不符合题意； 当5223παβπβα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，解得11121912παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验符合题意； 当5243παβπβα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，解得7122312παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验符合题意. 综上可知：11121912παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或7122312παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.。
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雅礼中学高二期中考试试卷（文数）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合2M x x ，230N x x x ，则M N ＝( )Ａ．3Ｂ．0Ｃ．0,2Ｄ．0,32．已知0a b ，则A. 2a abB. 2ab bC. 22a bD. 22a b 3．命题“?x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是()A ．?x ∈(－∞，0)，x 3＋x<0B ．?x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0C ．?x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0D ．?x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥04．我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20,40,40,60,60,80,80,100，若低于60分的人数为15，则该班的人数为（）A ．40B ．50C ．60D ．705.已知数列n a 的前n 项和为n S ，且)1(2n n a S , 则2a 等于( )A ．4B ．2C ．1D ．-26．如果实数x ,y 满足约束条件10,10,10,x y y x y 则2x y 的最大值为（）A ．3B ．2C ．2D ．17．已知1sin 24，则cos 2（）A ．78B ．78C ．78或78 D ．1548．执行下边的程序框图，若输入1,1,1a b c ，则输出的结果满足（）A ．1e fB ．1e fC ．5e fD ．5e f 9．一个几何体的三视图如图所示，其中府视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（）A ．3 B ．23 C ． D ．4310．若“:p xa ”是“:13q x x 或”的充分不必要条件，则a 的取值范围是A ．1a B ．1a C ．3a D ．3a 11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A ．54钱B ．43钱C ．32钱D ．53钱12．已知函数()f x 为定义在R 上减函数，且函数()y f x 的图象关于原点成中心对称.若,a b 满足不等式22(2)(2)f aa fb b ,则当[1,4]a 时，2ba ab 的取值范围是( ) A.1[3,)2 B. 1[3,]2 C. 1[5,)2 D. 1[5,]2二、填空题：本大题共3小题，每小题5分13．已知向量,2,1,1m a n a ，且m n ，则实数a 的值为14．已知命题p:“实数a 满足30a a ”，命题q:“方程2220x ax a 无解”；若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是___________．15.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是．16．已知关于x 的一元二次不等式220ax x b 的解集为{|}x x c ，则227a b a c （其中0a c ）的取值范围为__________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）设锐角△ABC 内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,．已知b Ba 3sin 2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若7a ，2b ，求sinB ．18. （本题满分12分）已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足12354a a a ，且123aa a .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设5log nn b a ，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列的1{}n S 的前n 项和n T .19．（本题满分12分）随机抽取某中学高二年级甲，乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图，其中表格中甲，乙两班各有一个数据被污损．若已知甲班同学身高众数有且仅有一个为179，乙班同学身高的中位数为172，（1）求表格中污损处的两个数据；（2）从乙班这10名同学中随机抽取两名身高高于175cm 的同学，求身高为181cm 的同学被抽中的概率．20．（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1A A AB ，11CB A ABB 面（1）求证：1AB 平面1A BC ；（2）若15,3,60A C B C AA B ，求三棱锥1C AA B 的体积．21.（本题满分12分）某产品在一个生产周期内的总产量为100吨，平均分成若干批生产。
设每批生产需要投入固定费用75元，而每批生产直接消耗的费用与产品数量x 的平方成正比，已知每批生产10吨时，直接消耗的费用为300元（不包括固定的费用）。
（1）若每批产品数量为20吨，求此产品在一个生产周期的总费用（固定费用和直接消耗的费用之和）。
（2）设每批产品数量为x 吨，一个生产周期内的总费用y 元，求当x 为多少时，y 有最小值，并求出y 的最小值。
22．（本题满分12分）已知函数2()1f x x ，()1g x a x ．（1）若fx g x 有且仅有一个根，求a 的取值范围；（2）若xR 时，不等式()()f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若0a 时，求()()G x f x g x 在[2,2]上的最大值．雅礼中学高二期中考试试卷（文数）1．若集合2Mx x ，230N x x x ，则M N ＝( ) Ａ．3Ｂ．0Ｃ．0,2Ｄ．0,3【答案】B2．已知0ab ，则A. 2a ab B. 2ab b C.22a b D. 22a b 【答案】D 3．命题“?x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是()C A ．?x ∈(－∞，0)，x 3＋x<0B ．?x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0C ．?x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0D ．?x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥04．我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20,40,40,60,60,80,80,100，若低于60分的人数为15，则该班的人数为（）A ．40 B．50 C ．60 D ．70【答案】B【解析】试题分析：低于60分的人数看前两个条形，易知其概率为其面积即0.3，故该班人数为50人，选项为B ．考点：频率分布直方图．5.已知数列n a 的前n 项和为n S ，且)1(2n n a S , 则2a 等于( )A ．4B ．2C ．1D ．-2 【答案】：A 6．如果实数x ,y 满足约束条件10,10,10,xy y x y 则2x y 的最大值为（）A ．3 B ．2 C．2 D ．1【答案】D 【解析】不等式组对应的可行域为直线10,10,10x y y x y 围成的三角形区域，顶点为1,0,0,1,2,1，令2z x y，则当直线z2x y过点0,1时，z取得最大值 1.考点：求线性目标函数的最值.7．已知1sin24，则cos2（）A．78B．78C．78或78D．14【答案】A8．执行下边的程序框图，若输入1,1,1a b c，则输出的结果满足（）A．1e f B．1e f C．5e f D．5e f【答案】B【解析】试题分析：模拟执行程序框图，计算e，f的取值范围即可得解．模拟执行程序框图，可得a=1，b=1，c=-1d=5满足条件d≥０，1515222e f，, 输出e，f的值．9．一个几何体的三视图如图所示，其中府视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（）A ．3B ．23C ．D ．43【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为一个球体的43，缺口部分为挖去的41．∵球的半径1R ，∴13443V ，故选：C ．考点：由三视图求面积，体积．10．若“:p xa ”是“:13q x x 或”的充分不必要条件，则a 的取值范围是A ．1a B ．1a C ．3a D ．3a 【答案】A【解析】试题分析：由题意1a ．故选A ．考点：充分必要条件．11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A ．54钱B ．43钱C ．32钱D ．53钱【答案】B【解析】试题分析：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d ,则由题意可知,22ad a d a a d a d , 即6a d ,又2255ad a d a a d a d a , 1a ，则4422633aa d a a ，故选 B. 12．已知函数()f x 为定义在R 上减函数，且函数()y f x 的图象关于原点成中心对称.若,a b 满足不等式22(2)(2)f aa fb b ,则当[1,4]a 时，2ba ab 的取值范围是( ) A.1[3,)2 B. 1[3,]2 C. 1[5,)2 D. 1[5,]213．已知向量,2,1,1m a n a ，且m n ，则实数a 的值为A ．0 B．2 C ．2或1 D ．2【答案】B【解析】试题分析：因为m n ，所以2(1)20m na a a ，即2a ，故选 B.考点：向量的坐标运算. 14．已知命题p:“实数a 满足30a a ”，命题q:“方程2220x ax a 无解”；若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是___________．【答案】 (0,1)15.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是．【答案】194【解析】试题分析：则题意可知，前19行共有119191902，所第20行从左到右的数字依次191,192,193,194,，所以第4个数为194.考点：1.归纳推理； 2.等差数列的前n 项和公式.【名师点睛】本题考查的是归纳推理、等差数列的前n 项和公式，属中档题；归纳推理是从特殊事例中归纳出一般性结论的推理，解题关键点在于从有限的特殊事例中寻找其中的规律，要注意从运算的过程中去寻找.注意运算的准确性.16．已知关于x 的一元二次不等式220ax x b 的解集为{|}x x c ，则227a b a c （其中0a c）的取值范围为__________.(,6][6,)试题分析：由题设0a 且044ab ,即1ab ,此时不等式变为01222ax x a ,即0)1(2ax ,所以01ax ,即a x1,即a c 1,所以227a b a ca a aa 17122,令a a t 1,则227a b a c t tt t a a aa 99171222. 故应填答案(,6][6,).17.设锐角△ABC 内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,．已知b B a 3sin 2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若7a ，2b ，求sinB ．【解析】试题解析：（Ⅰ）因为b B a 3sin 2，由正弦定理得：2sin sin 3sin A B B .所以3sin 2A .又因为A 是锐角，所以60A. （Ⅱ）由正弦定理得sin sin abA B .21sin 7B 18.已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足12354a a a ，且123a a a .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设5log n n b a ，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列的1{}n S 的前n 项和n T .【答案】（I ）5n n a ；（II ）21n n n 【解析】试题分析：（I ）利用基本元的思想，将已知条件化为1,a q ，列方程组求得15a q ，故5nn a ；（II ）化简5log nnb a n ，故(1)2nn n S ，12112()(1)1nS n n nn ，利用裂项求和法求得21nn T n .试题解析：（Ⅰ）设等比数列的公比为q ，由题意知0q ，∴2111211154,.a a qa q a a q a q ，解得15a q ，故5nna .（Ⅱ）由（Ⅰ），得5log n nb a n ，所以(1)2nn n S .∴12112()(1)1nS n n nn ，故数列1{}nS 的前n项和为111112[(1)()()]2231nT nn 122(1)11n n n .19．随机抽取某中学高二年级甲，乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图，其中表格中甲，乙两班各有一个数据被污损．若已知甲班同学身高众数有且仅有一个为179，乙班同学身高的中位数为172，（1）求表格中污损处的两个数据；（2）从乙班这10名同学中随机抽取两名身高高于175cm 的同学，求身高为181cm 的同学被抽中的概率．【答案】（1）9，4；（2）170.9，171.2；（3）①9；②12．【解析】试题分析：（1）根据众数和中位数的概念可知甲班污损处是9，乙班污损处是4；（2）设“身高为181cm 的同学被抽中”为事件A ，从乙班10名同学中抽取两名身高高于175cm 的同学有：176,178,176,179,176,181,178,179,178,181,179,181共6个基本事件，而事件A 含有176,181,178,181,179,181共3个基本事件，所以3162P A．20．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1A A AB ，11CB A ABB 面（1）求证：1AB 平面1A BC ；（2）若15,3,60ACBCA AB，求三棱锥1CAA B 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）34．【解析】试题分析：（1）先通过AB AA 1，得到四边形11A ABB 为菱形，利用菱形的对角线相互垂直得11AB A B ，在利用线垂直于面，线将垂直于面内所有直线可得11ABB A CB得到1CBAB ，最后结合线面垂直判定定理即可得到结论；（2）由勾股定理可得：4AB，由601ABA 可得三棱锥AB A C1的底面AB A 1的面积，由（1）知BC 为棱锥的高，由体积公式可得结果．试题解析：（1）在侧面11A ABB 中，因为1A A AB ，所以四边形11A ABB 为菱形，所以11AB A B ，因为CB 平面111,A ABB AB 平面11A ABB ，所以1CBAB ，又因为11,A BBCB AB 平面1A BC ．（2）因为CB平面11,A ABB AB平面11A ABB ，AB平面11A ABB ，CB AB ，在Rt ABC 中，5,3AC BC，所以由勾股定理，得4AB，又在菱形11A ABB 中，160A AB，所以1A A B为正三角形，则111113443433322CAA BAA BV SCB三棱锥．21.某产品在一个生产周期内的总产量为100吨，平均分成若干批生产。