第四章 时间序列的分解法和趋势外推法
《统计预测与决策》讲课资料
前言参考书目第一章统计预测概述第二章定性预测法第三章回归预测法第四章时间序列分解法和趋势外推法 4.2 趋势外推法第十三章统计决策概述第十四章风险型决策方法第十六章不确定型决策方法 13.3 决策的公理和原则一.决策的公理定义：是指所有理智健全的决策者都能接受或承认的基本原理，它们是许多决策者长期决策实践经验的总结．两个基本点： 1、决策者通常对自然状态出现的可能性有一个大致的估计，即存在着“主观概率”； 2、决策者对于每一行动方案的结果根据自己的兴趣、爱好等价值标准有自己的评价，即行动方案的“效用”. 六个公理： 1、方案的优劣是可比较和判别的； 2、方案必须具有独立存在的价值； 3、在分析方案时只有不同的结果才需要加以比较； 4、主观概率和方案结果之间不存在联系； 5、效用的等同性； 6、效用的替代性．二. 决策的原则 1、可行性原则；2、经济性原则；3、合理性原则回本章目录本章小结1、决策是对未来行动作出决定；具有三个特征、四个要素． 2、决策可从不同的角度进行分类． 3、一个完整的决策包括四个过程．4、决策的六个基本公理和决策时应遵守的三条原则．作业：第270页：1、2、3 回总目录 14.1 风险型决策的基本问题 14.2 不同标准的决策方法 14.3 决策树 14.4 风险决策的敏感性分析 14.5 完全信息价值 14.6 效用概率决策方法 14.7 连续型变量的风险型决策方法 14.8 马尔科夫决策方法小结 14.1 风险型决策的基本问题不确定型决策举例：有一工程，下月开工后如果天气好，可按期完工获利140万元，若开工后天气不好，则损失120万元. 若不开工，则无论天气如何都将窝工损失20万元. 自然状态发生的概率已知自然状态发生的概率完全未知完全不确定型决策风险型决策贝叶斯决策一. 概念所谓的风险型决策，是指根据预测各种事件可能发生的先验概率，然后再采用期望效果最好的方案作为最优方案．先验概率：根据过去经验或主观判断而形成的对各自然状态的风险程度的测算值. 简言之，原始的概率就称为先验概率. 二. 损益矩阵有三部分组成：1、可行方案； 2、自然状态及其发生的概率； 3、各种行动方案的可能结果． 11.1 预测精度的测定一. 预测精度的测定 1、预测精度的一般含义预测精度：预测模型拟合的好坏程度，即由预测模型所产生的模拟值与历史实际值拟合程度的优劣．如何提高预测精度是预测研究的一项重要任务。
第4章时间序列分解法和趋势外推法-精品文档
3
4 2019.1 2 3 4
3470
4525 5258 5189 3596 3881
4533
4590 4626 4562
4.2 趋 势 外 推 法 概 述
一、趋势外推法的概念和假设条件 概 念 假 设 目 的 当预测对象无季节变化依时间呈现某种上升 或下降趋势，且能找到一个合适的函数来反 映这种趋势，就可用趋势外推法进行预测。 1.影响经济现象的因素不变； 2.预测对象的变化呈渐进趋势。
yt ka
bt
数列取对数后逐期增长量的环比发展速度为常数 数列取倒数后逐期增长量的环比发展速度为常数
4.3 多项式曲线趋势外推法
一、多项式曲线模型及模型特征 2 3 t
ˆ y a bt ct dt
ˆ y a bt ct t
2
1.二次抛物线
2.参数的经济含义
a：原点的趋势水平值； b：时间每变化一个单位的趋势增长速度；
T S C I ｂ）乘法模型：y t t t t t
y T S C I t t t t t y T S C I t t t t t
人口、技术、消费者偏好
1）长期趋势（Trend）:受决定性因素的影响 ； 在较长时间内；持续上升或下降。 2）季节因子（Seasonal）:由于自然条件或社会 因素造成；一年内稳定的周期波动。 3）循环变动（Cyclical）:由于政治或经济因素； 以数年为周期；涨落相间的周期变动 a.）概念不同; b.）影响因素不同; c.）周期变动的规律不同。 4）不规则变动(Irregular)：由于偶然因素引起的 无规律变动。
时 间 90 91 92 93 94 95 96 97 98
7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
时间序列分解法
总额 （ yt ）
1163.6 1271.1 1339.4 1432.8 1558.6 1800.0 2140.0 2350.0 2570.0 2849.4
信息分析
（1）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为
y轴，年份为x轴。
信息分析
（2）从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合 的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确 定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们将 分别对该两种模型进行参数拟合。 适用的二次曲线模型为：
Yt A Bt
这样，就把指数曲线模型转化为直线模型了。
信息分析
二、修正指数曲线模型及其应用 修正指数曲线预测模型为：
ˆ yt K a b
t
信息分析
指数曲线预测模型： 一次指数形式 ：
ˆ yt ab
t
修正的指数曲线预测模型 ：
ˆ yt K ab
t
信息分析
对数曲线预测模型：
信息分析
信息分析
2.建立模型 (1)二次曲线趋势模型：Ｙt=a+bt+ct2 经过计算，得到对扬州市1980～ 1990年农业总产值时间序列拟合的二次 曲线模型为： Y=316488.1+14584.3t－705.3t2。
信息分析
线性趋势模型：Y=a+bt 经过计算，得到对扬州市1991～1999年 农业总产值时间序列拟合的线性模型为： Y=524212+51090.5t
信息分析
三、时间序列的分解方法 （1）运用移动平均法得到序列TC。然后再用 按月（季）平均法求出季节指数S。 （2）做散点图，选择适合的曲线模型拟合序 列的长期趋势，得到长期趋势T。
信息分析
（3）计算周期因素C。用序列TC除以T即可得到 周期变动因素C。 （4）将时间序列的T、S、C分解出来后，剩余的 即为不规则变动，即：
时间序列分解法和趋势外推法
时间序列分解法和趋势外推法时间序列分解法和趋势外推法是两种常用的时间序列分析方法。
时间序列分析是一种用来预测未来数据趋势和周期性的统计学方法。
时间序列分解法是一种将时间序列数据分解成趋势、周期性和随机成分的方法。
它的基本假设是时间序列数据是由多个不同的组成部分构成的，通过将这些组成部分分离出来，我们可以更好地理解数据的特征和行为。
常用的时间序列分解方法有加法模型和乘法模型。
加法模型将时间序列数据分解为趋势、周期性和随机成分的和。
趋势指的是数据的长期演变趋势，周期性表示数据在一段时间内出现的重复模式，而随机成分则代表了无法归因于趋势和周期性的随机波动。
加法模型的优点是适用于各种类型的时间序列数据，并且容易理解和解释。
乘法模型将时间序列数据分解为趋势、周期性和随机成分的乘积。
乘法模型假设趋势和周期性分量与数据的幅度成比例，这意味着它适用于数据波动较大的情况。
与加法模型相比，乘法模型更适用于数据幅度随时间变化的情况。
趋势外推法是一种基于时间序列数据的趋势进行未来预测的方法。
它假设趋势是时间序列数据最主要的特征，通过拟合趋势线并对其进行外推，我们可以预测未来数据的变化趋势。
趋势外推法常用的方法包括线性趋势外推和指数趋势外推。
线性趋势外推假设趋势是线性的，即数据随时间的变化呈现线性增长或减少的趋势。
通过线性拟合找到数据的趋势线，然后根据趋势线的斜率和截距，预测未来数据的变化趋势。
线性趋势外推是最简单的趋势外推方法，但它假设趋势是恒定的，忽略了数据的非线性特征。
指数趋势外推假设趋势是指数增长或指数衰减的，即数据呈现幂函数的趋势。
通过拟合指数增长或衰减曲线找到数据的趋势线，然后根据趋势线进行未来数据的预测。
指数趋势外推较线性趋势外推更灵活，能够更好地适应不同的趋势模式。
总之，时间序列分解法和趋势外推法是时间序列分析的常用方法。
时间序列分解法可以将数据分解成趋势、周期性和随机成分，帮助我们更好地理解数据的特征和行为。
时间序列分解法和趋势外推法讲义(PPT46张)
y t na c t ty t b t t t
2 3 2
2
yt yt
a t c t b t d
d
2
t
4
4
4
t6
几点说明: 原点位置：时间数列的第一项或正中位置;
yt
n ty t
t
2
（2）选点法：
TR 每点选五项： b n 5 （n>10） R a 11 b
3
( 数列首 尾各 取 5 项加权平均
每点选三项 (6≤n<0)
TR b n 3 7 a R 3b
( 数列首 尾 各取 3 项加权平均
年＼季
实际销 售额
趋势循 环因子 （移动 平均） 3909 3982 4029 4111
3017 3043 2094 2809 2773 2820
2000.1 2 3 4
3849 3701 2642 3585
2004.1 2 3 4
4360 4360 3172 4223
1997.1
2 3 4 1998.1 2
yt ka
bt 数列取对数后逐期增长量的环比发展速度为常数
数列取倒数后逐期增长量的环比发展速度为常数
4.3
多项式曲线趋势外推法
一、多项式曲线模型及模型特征 2 3 t
ˆ y a bt ct dt
ˆ y a bt ct t
2
1.二次抛物线
2.参数的经济含义
a：原点的趋势水平值； b：时间每变化一个单位的趋势增长速度；
时间序列分解法和趋势外推法讲义
时间序列分解法和趋势外推法讲义一、时间序列分解法时间序列分解法是将一个时间序列数据分解为几个不同的成分，从而更好地理解和预测时间序列的趋势和季节性。
时间序列可以包含趋势（Trend）、季节性（Seasonality）、周期性（Cyclical）和随机性（Irregularity）等多个成分。
时间序列分解法的步骤如下：1. 平滑法：首先对原始数据进行平滑操作，以去除季节性和随机性的影响。
常用的平滑方法有简单平均法、加权平均法和指数平滑法等。
2. 趋势估计：通过对平滑后的序列进行趋势估计，得到时间序列的趋势线。
常用的趋势估计方法有移动平均法、自回归法和多项式拟合法等。
3. 季节性调整：将平滑后的序列减去趋势线，得到季节性成分。
季节性成分可以用于对未来季节性的预测。
4. 周期性调整：将季节性成分减去周期性成分，得到去除季节性和周期性的序列。
5. 随机性分析：对去除季节性和周期性的序列进行随机性分析，以检查是否存在随机性波动。
时间序列分解法的优点是能够更好地理解时间序列的组成成分，并且能够提供对未来趋势和季节性的预测。
然而，该方法的缺点是对于包含较多周期性成分的序列，可能无法准确地分解出趋势和季节性等成分。
二、趋势外推法趋势外推法是利用时间序列数据中的趋势成分进行未来数值的预测。
该方法假设时间序列的趋势相对稳定，根据过去的趋势发展，推断未来的发展方向。
趋势外推法的步骤如下：1. 趋势估计：首先对时间序列进行趋势估计，得到趋势线。
常用的趋势估计方法有移动平均法、自回归法和多项式拟合法等。
2. 趋势外推：根据趋势线的发展趋势，预测未来的数值。
可以利用历史数据的增长速率进行线性外推，也可以利用拟合的趋势函数进行非线性外推。
趋势外推法的优点是简单易用，速度快，适用于短期或趋势相对稳定的预测。
然而，该方法的缺点是对于趋势波动较大或突变的时间序列，预测结果可能存在较大的误差。
三、实施过程实施时间序列分解法和趋势外推法的具体步骤如下：1. 收集时间序列数据：收集需要分析和预测的时间序列数据，可以是销售数据、股票交易数据等。
时间序列预测方法
81
12.1
-24.2
4
48.4
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13.1
-13.1
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16 零 售 12 量
（亿件）8
4
零售量
趋势值
0
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
针织内衣零售量二次曲线趋势
（年份）
（二）指数曲线(Exponential curve) 用于描述以几何级数递增或递减的现象 1、一般形式为
Yˆt abt
▪ a、b为未知常数 ▪ 若b>1，增长率随着时间t的增加而增加 ▪ 若b<1，增长率随着时间t的增加而降低 ▪ 若a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以0为极限
47.50
49
57.00
64
66.50
81
76.00
100
85.50
121
95.00
144
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169
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196
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时间序列分解法和趋势外推法
二 时间序列分解和预测模型
ａ加法模型： ytTtStCtIt
ｂ乘法模型： yt TtStCtIt
yt T tS t C tIt yt T tS tC tIt
人口 技术 消费者偏好
1长期趋势Trend:受决定性因素的影响 ； 在较长 时间内；持续上升或下降
2季节因子Seasonal:由于自然条件或社会 因素造成；一年内稳定的周期波动
yˆt 4.03*1.34 t
作业： 1;古典时间序列分解法的基本思路是什么 此方法使用时应 该注意哪些问题
居民储蓄存款 5 67 7 89 9 56 13 87 16 75 21 62 28 34 39 86 54 16 74 84 94 38 129 94
解：1用最小平方法建立模型：
年份
t
1990 11 1991 9 1992 7 1993 5 1994 3 1995 1 1996 1 1997 3 1998 5 1999 7 2000 9 2001 11 ∑
(数列尾 首各 取5项加权平均 (数列尾 首 各取 3项加权平均
例：某地居民历年储蓄存款余额资料如下;试预测
2002年该地居民历年储蓄存款余额
资料来源：中国统计年鉴2002
单位：亿元
时间 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
1 指数曲线预测模型：
２ 参数的经济含义：
ａ：基期发展水平； ｂ：时间每变化一个单位环比发展速度； ｔ：时间变量
3 判别标准：时间数列的环比发展速度为常数
4 特点：在半对数坐标轴中为线性趋势
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第四章 时间序列的分解法和趋势外推法
基本内容
一、时间序列的分解
经济时间序列的变化受到长期趋势、季节变动和不规则变动这四个因素的影响。
其中：
（1） 长期趋势因素（T ）
长期趋势因素（T ）反映了经济现象在一个较长时间内的发展方向，它可以在一个相当长的时间内表现为一种近似直线的持续向上或持续向下或平稳的趋势。
（2） 季节变动因素（S ）
季节变动因素（S ）是经济现象受季节变动影响所形成的一种长度和幅度固定的周期波动。
（3） 周期变动因素（C ）
周期变动因素也称循环变动因素，它是受各种经济因素影响形成的上下起伏不定的波动。
（4） 不规则变动因素（I ）
不规则变动又称随机变动，它是受各种偶然因素影响所形成的不规则变动。
二、时间序列分解模型
时间序列Y 可以表示为以上四个因素的函数，即：
(,,,)t t t t t y f T S C I =
时间序列分解的方法有很多，较常用的模型有加法模型和乘法模型。
加法模型为：
t t t t t y T S C I =+++
乘法模型为：
t t t t t y T S C I =⨯⨯⨯
乘法模型分解的基本步骤是：
（1）运用移动平均法剔除长期趋势和周期变化，得到序列TC 。
然后再用按月（季）平均法求出季节指数S 。
（2）作散点图，选择适合的曲线模型拟合序列的长期趋势，得到长期趋势T 。
（3）计算周期因素C 。
用序列TC 除以T 即可得到周期变动因素C 。
（4）将时间序列的T 、S 、C 分解出来后，剩余的即为不规则变动，即：
Y I TSC
=
三、趋势外推法
当预测对象以时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。
应用趋势外推法有两个假设条件：（1）假设事物发展过程没有跳跃式变化；（2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展，其条件是不变或变化不大。
选择合适的趋势模型是应用趋势法的重要环节，图形识别和差分法是选择趋势模型的两种基本方法。
（1） 多项式曲线外推法模型的一般性形式为：
2012k t k y b b t b t b t =+++⋅⋅⋅+
当k=1时，为直线模型； 01t y b b t =+
当k=2时，为二次抛物线模型。
2012t y b b t b t =++
当k=3时，为三次抛物线模型。
230123t y b b t b t b t =+++
多项式曲线外推模型的参数一般是根据最小二乘法求得的。
（2） 指数模型
一般形式为：
bt t y ae =
求解指数曲线模型参数方法是现做对数变换，将其化为直线模型，然后用最小二乘法求出模型参数。
修正的指数曲线预测模型为：
t t y a bc =+
求解方法是：
时序数据最好是3的倍数。
随后按时间先后把数据分为三组：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。
则：()()1211111n
n n IIIy IIy c IIy Iy c b IIy Iy c c a Iy b n c ⎧⎛⎫-⎪= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎪-⎪=-⋅⎨-⎪⎪⎛⎫-⎪=-⋅ ⎪⎪-⎝⎭⎩
∑∑∑∑∑∑∑ （3） 对数曲线模型：
常见的对数曲线预测模型有： ln t y a b t =+
求解参数的方法是运用最小二乘法。
（4） 很多的经济现象都经历发生、发展到成熟的过程。
到成熟期后，很难超过一个极限值而继续保持指数增长的趋势。
对于这种现象的预测就因该应用生长曲线趋势外推法。
其中，龚珀兹与皮尔曲线是两个最有使用价值的预测模型。
龚珀兹曲线预测模型的一般形式为：
t b t y ka =
求解上述模型参数方法是先做对数变换：
lg lg lg t y k b a =+
然后通过将时间序列分为三组而求得其参数
()()12lg lg lg lg 1lg lg lg 111lg lg lg 1n n n III y II y b II y I y b a II y I y b b k I y a n b ⎧⎛⎫-⎪= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎪-⎪=-⋅⎨-⎪⎪⎛⎫-⎪=-⋅ ⎪⎪-⎝⎭⎪⎩
∑∑∑∑∑∑∑ 皮尔曲线预测模型的一般形式为：
1t bt L
y ae -=+
求解参数的方法是先做变量代换，然后应用最小二乘法。
（5） 趋势模型的选择
1）图形识别法
这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时间序列的数据绘制成以时间t 为横轴，时序观察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型。
2）差分法
利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。
一阶差分可以表示为：
1t t t y y y -'=-
二阶差分可以表示为：
1122t t t t t t y y y y y y ---''''=-=-+
紧紧依靠图形法等直观方法来选择趋势曲线模型并不总能取得较好的拟合优度。
为了找出最优的拟合曲线，一般使用不同的曲线模型拟合，并比较它们的拟合标准差，标准误差最小的曲线模型为最好的拟合曲线模型。
这一过程可以通过计算机很方便完成。
差分法识别标准：。