一维热传导方程
钢丝加热时间计算
钢丝加热时间计算钢丝加热时间计算是工程领域中的一个重要问题。
在很多实际应用中，我们需要知道钢丝加热到一定温度所需的时间，以便进行生产计划和工艺设计。
本文将介绍如何计算钢丝加热时间，并讨论影响加热时间的因素。
1. 钢丝加热过程钢丝加热过程是一个热传导的过程。
当钢丝受到外界热源的加热时，热量会从外层逐渐传导到内层，使钢丝温度逐渐升高。
加热时间取决于钢丝的热导率、热容和质量，以及外界热源的温度和功率。
2. 热传导方程热传导方程描述了钢丝加热过程中的温度分布和变化。
一维热传导方程可以表达为：∂T/∂t = α * ∂²T/∂x²其中，T是钢丝的温度，t是时间，x是钢丝的位置，α是热扩散系数。
这个方程可以通过数值方法进行求解，得到钢丝在不同时间和位置的温度分布。
3. 加热时间计算要计算钢丝加热到一定温度所需的时间，可以通过以下步骤进行：步骤1：确定加热条件和要求温度。
根据具体的加热设备和工艺要求，确定外界热源的温度和功率，并确定钢丝需要达到的目标温度。
步骤2：估计初始温度。
钢丝加热过程中的初始温度是一个重要的参数。
可以通过测量或估算来确定钢丝的初始温度。
步骤3：建立数值模型。
根据钢丝的几何形状和材料参数，建立热传导方程的数值模型。
可以使用有限差分或有限元等方法进行离散和数值求解。
步骤4：求解热传导方程。
使用数值方法求解热传导方程，得到钢丝在不同时间和位置的温度分布。
步骤5：判断是否达到目标温度。
根据模拟结果，判断钢丝是否达到了目标温度。
如果达到了目标温度，则记录下加热时间；如果没有达到目标温度，则继续模拟并记录下时间。
步骤6：优化计算结果。
可以通过调整加热条件和材料参数，对模拟结果进行优化。
例如增加外界热源的功率、改变材料的热导率等。
4. 影响加热时间的因素钢丝加热时间的计算结果会受到多个因素的影响，包括：4.1 钢丝的材料参数：钢丝的热导率和热容是影响加热时间的重要因素。
热导率越大，热量传导越快，加热时间越短；热容越大，钢丝的温度上升越慢，加热时间也会相应增加。
《张朝阳的物理课》介绍一维热传导方程的求解
《张朝阳的物理课》介绍一维热传导方程的求解张朝阳是一位著名的物理学家和计算机科学家，他曾经在美国斯坦福大学获得了物理学博士学位，并且在互联网领域有着非常成功的经历。
他在其著名的《张朝阳的物理课》中，向我们介绍了一维热传导方程的求解方法。
在物理学中，热传导是一个非常重要的概念。
热传导是指物质内部的热量传递过程，它是由于物质内部的分子不断地碰撞而产生的。
在实际应用中，我们常常需要对热传导进行建模和求解，以便更好地理解和预测物质的热传导行为。
一维热传导方程是一个非常基本的模型，它描述了一维情况下物质内部的热传导过程。
该方程可以用下面的形式表示：u/t = k u/x其中，u(x,t)表示在时刻t和位置x处的温度，k是热传导系数。
这个方程的意义是，温度随时间变化的速度等于热传导系数乘以温度在空间上的二阶导数。
这个方程的求解可以帮助我们更好地理解物质内部的热传导行为。
张朝阳在他的物理课中，向我们介绍了一种求解一维热传导方程的方法，即有限差分法。
有限差分法是一种通过离散化空间和时间来近似求解微分方程的方法。
在有限差分法中，我们将时间和空间都离散化为有限个点，然后用差分近似微分，将微分方程转化为一个差分方程，最后通过求解差分方程得到微分方程的近似解。
这种方法非常适合计算机求解，因为计算机只能处理离散化的数据。
具体来说，我们可以将空间离散化为一些点，例如在区间[0,L]上取N个点，分别为x0,x1,...,xN，其中x0=0,xN=L。
我们将时间也离散化为一些点，例如取M个时间点，分别为t0,t1,...,tM。
然后，我们可以用u(i,j)表示在第i个空间点和第j个时间点处的温度。
根据一维热传导方程，我们可以得到如下的差分方程：(u(i,j+1) - u(i,j))/Δt = k(u(i+1,j) - 2u(i,j) + u(i-1,j))/Δx其中，Δt和Δx分别表示时间和空间的离散化步长。
这个差分方程可以通过迭代求解得到u(i,j)的近似解。
一维热传导方程数值解法及matlab实现分离变量法和有限差分法
一维热传导方程数值解法及matlab实现分离变量法和有限差分法一维热传导方程的Matlab解法：分离变量法和有限差分法。
问题描述：本实验旨在利用分离变量法和有限差分法解决热传导方程问题，并使用Matlab进行建模，构建图形，研究不同情况下采用何种方法从更深层次上理解热量分布与时间、空间分布关系。
实验原理：分离变量法：利用分离变量法，将热传导方程分解为两个方程，分别只包含变量x和变量t，然后将它们相乘并求和，得到一个无穷级数的解。
通过截取该级数的前n项，可以得到近似解。
有限差分法：利用有限差分法，将空间和时间分别离散化，将偏导数用差分代替，得到一个差分方程组。
通过迭代求解该方程组，可以得到近似解。
分离变量法实验：采用Matlab编写代码，利用分离变量法求解热传导方程。
首先设定x和t的范围，然后计算无穷级数的前n项，并将其绘制成三维图形。
代码如下：matlabx = 0:0.1*pi:pi;y = 0:0.04:1;x。
t] = meshgrid(x。
y);s = 0;m = length(j);for i = 1:ms = s + (200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t));endsurf(x。
t。
s);xlabel('x')。
XXX('t')。
zlabel('T');title('分离变量法（无穷）');axis([0 pi 0 1 0 100]);得到的三维热传导图形如下：有限差分法实验：采用Matlab编写代码，利用有限差分法求解热传导方程。
首先初始化一个矩阵，用于存储时间t和变量x。
然后计算稳定性系数S，并根据边界条件和初始条件，迭代求解差分方程组，并将其绘制成三维图形。
代码如下：matlabu = zeros(10.25);s = (1/25)/(pi/10)^2;fprintf('稳定性系数S为:\n');disp(s);for i = 2:9u(i。
一维热传导方程的推导
我们从建立描述热能传递的热流方程开始。
热能是由分子的不规则运动产生的。
在热能流动中有两种基本过程：传导和对流。
传导由相邻分子的碰撞产生，一个分子的振动动能被传送到其最近的分子。
这种传导导致了热能的传播，即便分子本身的位置没有什么移动，热能也传播了。
此外，如果振动的分子从一个区域运动到另一个区域，它会带走其热能。
这种类型的热能运动称为对流。
为了从相对简单的问题开始讨论，这里仅研究热流，在热流中，传导比对流显著得多。
因此，我们主要考虑固体中的热流，当然，若流体（液体和气体）的速度充分小，流体的热传递也是以传导为主。
模型建立一维杆中热传导方程的推导热能密度 考虑一根具有定横截面积A 的杆，其方向为x 轴的方向（由x=0至x=L ），如图1所示。
设单位体积的热能量为未知变量，叫做热能密度：e(x,t)≡热能密度假设通过截面的热量是恒定的，杆是一维的。
做到这一点的最简单方法是将杆的侧面完全绝热，这样热能就不能通过杆的侧面扩散出去。
对x 和t 的依赖对应于杆受热不均匀的情形；热能密度由一个截面到另一个截面是变化的。
图1 热能从薄片流入和流出的一维杆热能考察杆介于x 和x x +∆之间的薄片，如图1所示。
若热能密度在薄片内是常数，则薄片内的总能量是热能密度和体积的乘积。
一般来说，能量密度不是常数，不过x ∆非常小时，e(x,t)在薄片内可以近似为常数，这样由薄片体积为A x ∆，热能=(,)e x t A x ∆热能守恒在x 和x x +∆之间的热能随时间的变化都是由流过薄片两端（x 和x x +∆）的热能和内部（正的或负的热源）产生的热能引起。
由于假设侧面是绝热的，所以在侧面上没有热能变化。
基本的热流过程可由文字方程表述为热能瞬时变化率=单位时间流过边界的热能+单位时间内部产生的热能 这称作热能守恒。
对小薄片，热能的变化率是[(,)]e x t A x t ∂∆∂，其中使用偏导数t∂∂是由于x 为固定的。
热通量在一维杆中，热能的流向向右或向左。
热学方程热传导方程的解析解
热学方程热传导方程的解析解在热学中，热传导方程是一个重要的方程，用于描述热量在物体中的传导过程。
热传导方程的解析解是指能够用解析表达式准确描述热传导过程的解。
热传导方程一般形式为：$$\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = a \cdot \nabla^2 T$$其中，$\frac{{\partial T}}{{\partial t}}$表示温度$T$随时间$t$的变化率，$a$是热扩散系数，$\nabla^2 T$表示温度$T$的拉普拉斯算子。
为了求解热传导方程的解析解，我们需要考虑不同情况下的边界条件和初始条件。
1. 一维热传导方程的解析解首先，考虑一维情况下的热传导方程。
假设热传导发生在长度为$L$的直杆上，且直杆的两端保持温度固定，即边界条件为$T(0, t) = T_1$和$T(L, t) = T_2$，其中$T_1$和$T_2$为已知常数。
对于这种情况，可以使用分离变量法来求解热传导方程。
假设解为$T(x, t) = X(x) \cdot T(t)$，将其代入热传导方程得到两个常微分方程：$$\frac{{1}}{{aX}} \frac{{d^2X}}{{dx^2}} = \frac{{1}}{{T}}\frac{{dT}}{{dt}} = -\lambda^2$$其中，$\lambda$为常数。
将得到的两个方程进行求解，可以得到解析解为：$$T(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \cdot e^{-a \lambda_n^2 t} \cdot\sin(\lambda_n x)$$其中，$C_n$为系数，和边界条件相关。
对于给定的边界条件$T(0, t) = T_1$和$T(L, t) = T_2$，可以确定系数$C_n$的值。
2. 二维热传导方程的解析解接下来，考虑二维情况下的热传导方程。
假设热传导发生在一个矩形区域内，且边界上的温度已知。
一维热传导方程分离变量法与差分法Mb解法
u=u+8*(-1)^i/(pi*(2*i+1)^2)*(sin((2*i+1)/2*x).*exp(-(2*i+1)^2/4*t)); end; surf(x,t,u); xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('T'); title(' 分离变量法（无穷）'); disp(u);
结论：
比较可得由以上两种方法作出的三维图形基本相同，符合热传导的热量分布 随时间和空间的变化规律
第四题完成
u(1,j)=0; end
for j=1:99 for i=2:19 u(i,j+1)=s*u(i+1,j)+(1-2*s)*u(i,j)+s*u(i-1,j); end
end for j=1:100
u(20,j)=u(19,j); end; disp(u); [x,t]=meshgrid(1:100,1:20); surf(x,t,u); xlabel('t'),ylabel('x'),zlabel('T'); title(' 有限差分法解'); 我们得到如图所示的热传导方程：
得到如图所示的热传导方程：
有限差分法
u=zeros(20,100); %t=1 x=pi 20 行 100 列 横坐标为 x 纵坐标为 t s=(1/100)/(pi/20)^2; fprintf('稳定性系数 S 为:\n'); disp(s); for i=1:20
热传导的数学模型与应用
热传导的数学模型与应用热传导是研究热传输过程的一种方法，它基于物质的热运动，描述了热能在空间中沿着温度梯度传导的过程。
在现实世界中，热传导的应用广泛，例如工程传热、地质传热等。
本文将介绍热传导的数学研究领域及其在应用中的一些方法和技术。
一、一维热传导的数学模型考虑一根长为L的均匀导热杆，其温度分布随时间的变化可以描述为以下偏微分方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，u表示温度，k是杆的热导率。
这个方程是著名的热传导方程，它描述了热传导现象的基本规律。
对于一维的情况，我们可以设计一些边界条件来求解这个方程。
例如，假设杆的两端分别接触两个热库，温度分别为$u_0$和$u_L$，则可以给出如下的边界条件：$$u(0,t)=u_0,\quad u(L,t)=u_L$$此外，还需确定初始条件，即$t=0$时的温度分布：$$u(x,0)=f(x)$$为了求解这个问题，我们可以采用变量分离法或者傅里叶变换等数学工具求解上述偏微分方程，进而得到温度分布随时间的变化规律。
这个问题在工程中有很多应用，例如热传导计算、材料热处理等。
二、二维热传导的数学模型对于二维的情况，即热传导在一个平面上进行时，我们需要引入两个空间变量$x,y$，此时热传导方程变为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\left(\frac{\partial^2 u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$$同样地，我们还需要给出边界条件和初始条件。
例如，假设平面上存在一个温度分布为$u(x,y,0)=f(x,y)$的初始温度分布，则边界条件可以取如下形式：$$u(x,0,t)=u(x,L,t)=u(0,y,t)=u(W,y,t)=0$$其中，L和W分别表示平面的长度和宽度。
一维稳态热传导方程的数值解法及其
由上两式有：
xe xe xe
e
P
E
（5）
此式即为界面上的当量导热系数调和平均公式，
它可以看成是串联过程中热阻叠加原则的反映。
当网格划分为均匀网格时
e
2P E P E
（4）
6.3 两种方法的比较
1）当λ E 0时，由4式λe 0，说明在一个绝热层
界面）
4）把物性阶跃面设置成一个节点的位置比作为控 制容积分界面，使计算结果会更加精确。（由于此种情
况阶跃面两侧温度梯度不同，如按3处理，相当于用平均值来代替，采用此种方法处理 时，物性阶跃面两侧温度梯度单独计算，提高了计算精度。）
一维稳态导热方程的离散形式可表示成：
aP T PaE T Ea W T W b
的表面上qe=0，合乎实际；但 3 式 λe 0;
2）如 P
分时， e
E
P
2
，按算术平均法，当网格为均匀划
E
P
2
则P，E间的导热阻力为
2
x
e
P
，说明P，E间的导
热热阻由导热系数大的决定 ，这是不对的。
若按调和平均法计算，由5式则导热热阻为
xe xexexe
w
TPxTwW
整理得：
TExT PTPxT WxSCSPTP0
e
w
e
w
TPxee xwwSpxTExeeTWxwwScx
简化成 aP T PaE T Ea W T W b （2）
§6 一维稳态热传导方程的数 值解法及其应用
6.1 一维稳态导热的通用控制方程
一维稳态导热方程离散化、边界条件及源项的处 理及非线性代数方程的求解方法等对对流问题数 值解也适用。 一维稳态导热微分方程的通用形式为
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一维热传导方程一． 问题介绍考虑一维热传导方程： （1）,0),(22T t x f xu atu ≤<+∂∂=∂∂其中a 是正常数，)(x f 是给定的连续函数。
按照定解条件的不同给法，可将方程（1）的定解问题分为两类：第一类、初值问题（也称Cauthy 问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方程（1）（∞<<∞-x ）和初始条件： （2）),()0,(x x u ϕ= ∞<<∞-x第二类、初边值问题（也称混合问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方程（1）（l x <<0）和初始条件： （3）),()0,(x x u ϕ=l x <<0及边值条件 (4).0),(),0(==t l u t u T t ≤≤0假定)(x ϕ在相应区域光滑，并且在l x ,0=满足相容条件，使上述问题有唯一充分光滑的解。
二． 区域剖分考虑边值问题（1），（4）的差分逼近。
去空间步长N l h /=和时间步长M T /=τ，其中N,M 都是正整数。
用两族平行直线：),,1,0(N j jh x x j ===),,1,0(M k k t t k ===τ将矩形域}0;0{T t l x G ≤≤≤≤=分割成矩形网格，网格节点为),(k j t x 。
以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；h Γ=h G --h G 是网格界点集合。
三． 离散格式第k+1层值通过第k 层值明显表示出来，无需求解线性代数方程组，这样的格式称为显格式。
第k+1层值不能通过第k 层值明显表示出来，而由线性代数方程组确定，这样的格式称为隐格式。
1. 向前差分格式 （5） ,22111j kj k j k j kjk jf hu u u au u ++-=--++τ)(j j x f f =，)(0j j j x u ϕϕ==， 00==kN k u u ，其中j = 1,2,…，N-1，k = 1,2,…,M-1。
以2/h a r τ=表示网比。
则方程（5）可以改写为：j k j kj kj k jf ruu r ruu τ++-+=-++111)21(易知向前差分格式是显格式。
2. 向后差分格式 （6） ,11111)21(j kj k j k jk j f u ruu u ruτ+=-++-+-+++)(0j j j x u ϕϕ==， 00==kN ku u ，其中j = 1,2,…，N-1，k = 1,2,…,M-1，易知向前差分格式是显格式。
3. 六点对称格式（Grank-Nicolson 格式）将向前差分格式和向后差分格式作算术平均，即得到六点对称格式：（7） 111112)1(2+-+++-++-k j k jk j ur ur ur=j k j kj kj f ur u r u rτ++-+-+112)1(2利用0j u 和边值便可逐层求到kj u 。
六点对称格式是隐格式，由第k 层计算第k+1层时需解线性代数方程组（因系数矩阵严格对角占优，方程组可唯一求解）。
将其截断误差)(x R kj 于),(21+k j tx （21+k t=τ)21(+k ）展开，则得)(x R k j =)(22h O +τ。
4. Richardson 格式 （8） τ211-+-k j k ju u j kj k j k j f hu u u a++-=-+2112，或（9）j k jk j k j k j k jf u u u u r u τ2)2(21111+++-=--++。
这是三层显示差分格式。
截断误差阶为)(22h O +τ。
为了使计算能够逐层进行，除初值0ju外，还要用到1j u ，这可以用前述二层差分格式计算（为保证精度，可将[0,τ]分成若干等份）。
四．格式稳定性通过误差估计方程1111)2(2--++++-=k jkj kj kj k je e e e r e（1） 可知对任意的r ，Richardson 格式都不稳定，所以Richardson 格式绝对不稳定。
（2） 当210≤<r 时，向前差分格式趋于稳定；当21>r 时，向前差分格式的误差无限增长。
因此向前差分格式是条件稳定。
（3） 向后差分格式和六点对称格式都绝对稳定，且各自的截断误差阶分别为)(2h O +τ和)(22h O +τ。
五． 数值例子例1 令f ( x ) = 0和a = 1，可求得u （x,t ）一个解析解为u ( x , t ) =exp ( x + t )。
1． 用向前差分格式验证得数值结果如下： 请输入n 的值(输入0结束程序): 2请输入m 的值(输入0结束程序):17xj tk 真实值x[i][k] 近似值u[i][k] 误差err[i][k] 0.333333 0.055556 1.475341 1.473867 0.001474 0.666667 0.055556 2.059004 2.056947 0.002057 0.333333 0.111111 1.559623 1.557037 0.002586 0.666667 0.111111 2.176630 2.173719 0.002911 0.333333 0.166667 1.648721 1.645619 0.003102 0.666667 0.166667 2.300976 2.297385 0.003591 0.333333 0.222222 1.742909 1.739373 0.003536 0.666667 0.222222 2.432425 2.428445 0.003981 0.333333 0.277778 1.842477 1.838647 0.003831 0.666667 0.277778 2.571384 2.567048 0.004337 0.333333 0.333333 1.947734 1.943620 0.004114 0.666667 0.333333 2.718282 2.713651 0.004630 0.333333 0.388889 2.059004 2.054632 0.004372 0.666667 0.388889 2.873571 2.868644 0.004927 0.333333 0.444444 2.176630 2.171992 0.004638 0.666667 0.444444 3.037732 3.032512 0.0052200.333333 0.500000 2.300976 2.296068 0.004908 0.666667 0.500000 3.211271 3.205744 0.005526 0.333333 0.555556 2.432425 2.427233 0.005193 0.666667 0.555556 3.394723 3.388878 0.005845 0.333333 0.611111 2.571384 2.565894 0.005491 0.666667 0.611111 3.588656 3.582475 0.006181 0.333333 0.666667 2.718282 2.712476 0.005805 0.666667 0.666667 3.793668 3.787133 0.006535 0.333333 0.722222 2.873571 2.867434 0.006137 0.666667 0.722222 4.010392 4.003483 0.006908 0.333333 0.777778 3.037732 3.031243 0.006488 0.666667 0.777778 4.239496 4.232193 0.007303 0.333333 0.833333 3.211271 3.204411 0.006859 0.666667 0.833333 4.481689 4.473969 0.007721 0.333333 0.888889 3.394723 3.387472 0.007251 0.666667 0.888889 4.737718 4.729556 0.008162 0.333333 0.944444 3.588656 3.580991 0.007665 0.666667 0.944444 5.008373 4.999745 0.008628 当n等于2和m等于17时最大误差为0.008628其中r = 1/2，格式是稳定的。
2. 用向后差分格式验证得数值结果如下：请输入n的值(输入0结束程序):6请输入m的值(输入0结束程序):6xj 真实值x[i] 近似值u[i] 误差err[i]第1层结果时间节点Tk=0.1428570.142857 1.330712 1.335002 0.0042890.285714 1.535063 1.542358 0.0072950.428571 1.770795 1.779949 0.0091540.571429 2.042727 2.052524 0.0097970.714286 2.356418 2.365346 0.0089270.857143 2.718282 2.724256 0.005974第1层的最大误差是0.009797第2层结果时间节点Tk=0.2857140.142857 1.535063 1.541797 0.0067340.285714 1.770795 1.782424 0.0116290.428571 2.042727 2.057345 0.0146180.571429 2.356418 2.371895 0.0154770.714286 2.718282 2.732070 0.0137880.857143 3.135715 3.144633 0.008919第2层的最大误差是0.015477第3层结果时间节点Tk=0.4285710.285714 2.042727 2.057518 0.014791 0.428571 2.356418 2.375010 0.018592 0.571429 2.718282 2.737884 0.019602 0.714286 3.135715 3.153041 0.017326 0.857143 3.617251 3.628337 0.011086 第3层的最大误差是0.019602第4层结果时间节点Tk=0.571429 0.142857 2.042727 2.052888 0.010161 0.285714 2.356418 2.374062 0.017644 0.428571 2.718282 2.740457 0.022175 0.571429 3.135715 3.159058 0.023343 0.714286 3.617251 3.637827 0.020576 0.857143 4.172734 4.185851 0.013117 第4层的最大误差是0.023343第5层结果时间节点Tk=0.714286 0.142857 2.356418 2.368276 0.011857 0.285714 2.718282 2.738880 0.020598 0.428571 3.135715 3.161600 0.025886 0.571429 3.617251 3.644485 0.027234 0.714286 4.172734 4.196716 0.023982 0.857143 4.813520 4.828788 0.015268 第5层的最大误差是0.027234第6层结果时间节点Tk=0.857143 0.142857 2.718282 2.732017 0.013735 0.285714 3.135715 3.159578 0.023864 0.428571 3.617251 3.647240 0.029989 0.571429 4.172734 4.204278 0.031544 0.714286 4.813520 4.841287 0.027767 0.857143 5.552708 5.570378 0.017670 第6层的最大误差是0.031544当n等于6时最大误差为0.0315443. 用六点对称格式验证数值结果如下：请输入n的值(输入0结束程序):6请输入m的值(输入0结束程序):6xj 真实值x[i] 近似值u[i] 误差err[i] 第1层结果时间节点Tk=0.142857 0.142857 1.330712 1.330988 0.000276 0.285714 1.535063 1.535522 0.000459 0.428571 1.770795 1.771368 0.000573 0.571429 2.042727 2.043350 0.0006230.857143 2.718282 2.718692 0.000410 第1层的最大误差是0.000623第2层结果时间节点Tk=0.285714 0.142857 1.535063 1.535424 0.000361 0.285714 1.770795 1.771435 0.000640 0.428571 2.042727 2.043538 0.000810 0.571429 2.356418 2.357268 0.000849 0.714286 2.718282 2.719016 0.000734 0.857143 3.135715 3.136162 0.000447 第2层的最大误差是0.000849第3层结果时间节点Tk=0.428571 0.142857 1.770795 1.771233 0.000438 0.285714 2.042727 2.043476 0.000749 0.428571 2.356418 2.357355 0.000937 0.571429 2.718282 2.719268 0.000986 0.714286 3.135715 3.136592 0.000877 0.857143 3.617251 3.617825 0.000574 第3层的最大误差是0.000986第4层结果时间节点Tk=0.571429 0.142857 2.042727 2.043222 0.000495 0.285714 2.356418 2.357287 0.000869 0.428571 2.718282 2.719377 0.001095 0.571429 3.135715 3.136867 0.001153 0.714286 3.617251 3.618261 0.001010 0.857143 4.172734 4.173365 0.000631 第4层的最大误差是0.001153第5层结果时间节点Tk=0.714286 0.142857 2.356418 2.356999 0.000581 0.285714 2.718282 2.719284 0.001003 0.428571 3.135715 3.136973 0.001258 0.571429 3.617251 3.618573 0.001322 0.714286 4.172734 4.173900 0.001166 0.857143 4.813520 4.814271 0.000751 第5层的最大误差是0.001322第6层结果时间节点Tk=0.857143 0.142857 2.718282 2.718945 0.000663 0.285714 3.135715 3.136871 0.001157 0.428571 3.617251 3.618705 0.001455 0.571429 4.172734 4.174265 0.001531 0.714286 4.813520 4.814867 0.001347 0.857143 5.552708 5.553559 0.000851 第6层的最大误差是0.001531当n等于6时最大误差为0.0015314．用Richardson格式验证数值结果如下：请输入n的值(输入0结束程序):5请输入m的值(输入0结束程序):5xj tk 真实值x[i][k] 近似值u[i][k] 误差err[i][k]0.166667 0.166667 1.395612 1.396080 0.0004680.333333 0.166667 1.648721 1.649481 0.0007600.500000 0.166667 1.947734 1.948649 0.0009150.666667 0.166667 2.300976 2.301888 0.0009120.833333 0.166667 2.718282 2.718949 0.0006670.166667 0.333333 1.648721 1.645540 0.0031820.333333 0.333333 1.947734 1.944806 0.0029280.500000 0.333333 2.300976 2.297583 0.0033930.666667 0.333333 2.718282 2.713600 0.0046820.833333 0.333333 3.211271 3.204099 0.0071710.166667 0.500000 1.947734 1.988145 0.0404110.333333 0.500000 2.300976 2.291621 0.0093550.500000 0.500000 2.718282 2.707514 0.0107680.666667 0.500000 3.211271 3.195685 0.0155860.833333 0.500000 3.793668 3.907779 0.1141110.166667 0.666667 2.300976 1.214156 1.0868200.333333 0.666667 2.718282 3.293822 0.5755410.500000 0.666667 3.211271 3.164907 0.0463640.666667 0.666667 3.793668 5.400692 1.6070240.833333 0.666667 4.481689 1.545878 2.9358110.166667 0.833333 2.718282 35.747074 33.0287920.333333 0.833333 3.211271 -24.211361 27.4226310.500000 0.833333 3.793668 31.083927 27.2902590.666667 0.833333 4.481689 -69.891509 74.3731980.833333 0.833333 5.294490 95.148891 89.854401附录1#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#define Max_N 1000double u[Max_N][Max_N],b[Max_N],a[Max_N],c[Max_N],f[Max_N],err[Max_N][Max_N],x[Max_N][Max_N],y[Max_N],beta[Max_N],Err[Max_N]; int n,m; //将空间区间【0，1】分为n等份；时间区间【0，1】分为m等份void catchup(){int i;beta[1]=c[1]/b[1];for(i=2;i<n;i++)beta[i]=c[i]/(b[i]-a[i]*beta[i-1]);y[1]=f[1]/b[1];for(i=2;i<=n;i++)y[i]=(f[i]-a[i]*y[i-1])/(b[i]-a[i]*beta[i-1]);u[n][1]=y[n];for(i=n-1;i>0;i--)u[i][1]=y[i]-beta[i]*u[i+1][1];}int main() //一维热传导方程的向前差分格式{int k,i;double h,t,r;double pi=3.1415627;printf("请输入n的值(输入0结束程序):\n");if(scanf("%d",&n)) printf("请输入m的值(输入0结束程序):\n");while(scanf("%d",&m)&&m&&n) //u(x,t)=exp(x+t),u(x,0)=exp(x),f(x)=0,x属于[0,1],t属于[0,1],a=1.{h=1.0/(n+1);t=1.0/(m+1);r=t/(h*h);for(i=0;i<=n+1;i++)//初值条件{u[i][0]=exp(i*h);}for(k=0;k<=m+1;k++)//边值条件{u[0][k]=exp(k*t);u[n+1][k]=exp((n+1)*h+k*t);}printf("xj tk 真实值x[i][k] 近似值u[i][k] 误差err[i][k]\n");for(k=1;k<=m;k++){for(int j=1;j<=n;j++){u[j][k]=r*u[j+1][k-1]+(1-2*r)*u[j][k-1]+r*u[j-1][k-1];}}double T=0;for(k=1;k<=m;k++){for(i=1;i<=n;i++){x[i][k]=exp(i*h+k*t);err[i][k]=x[i][k]>u[i][k]?x[i][k]-u[i][k]:u[i][k]-x[i][k];printf("%lf %lf %lf %lf %lf\n",i*h,k*t,x[i][k],u[i][k],err[i][k]);if(err[i][k]>T) T=err[i][k];}}printf("当n等于%d和m等于%d时最大误差为%lf\n",n,m,T);printf("请输入n的值(输入0结束程序):");if(scanf("%d",&n)) printf("请输入m的值(输入0结束程序):");}system("PASUE");return 0;}附录2#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#define Max_N 1000double u[Max_N],b[Max_N],a[Max_N],c[Max_N],f[Max_N],err[Max_N],x[Max_N],y[Max_N],beta[Max_N],Err[Max_N];int n,m; //将空间区间【0，1】分为n等份；时间区间【0，1】分为m等份void catchup(){int i;beta[1]=c[1]/b[1];for(i=2;i<n;i++)beta[i]=c[i]/(b[i]-a[i]*beta[i-1]);y[1]=f[1]/b[1];for(i=2;i<=n;i++)y[i]=(f[i]-a[i]*y[i-1])/(b[i]-a[i]*beta[i-1]);u[n]=y[n];for(i=n-1;i>0;i--)u[i]=y[i]-beta[i]*u[i+1];}int main() //一维热传导方程的六点对称格式{int k,i;double h,t,r;//int j=0;double pi=3.1415627;printf("请输入n的值(输入0结束程序):\n");if(scanf("%d",&n)) printf("请输入m的值(输入0结束程序):\n");while(scanf("%d",&m)&&m&&n) //u(x,t)=exp(x+t),u(x,0)=exp(x),f(x)=0,x属于[0,1],t属于[0,1],a=1.{h=1.0/(n+1);t=1.0/(m+1);r=t/(h*h);printf("xj 真实值x[i] 近似值u[i] 误差err[i]\n");double M=0;//double temp=0;for(k=1;k<=m;k++){b[1]=1+2*r;c[1]=-r;a[n]=-r;b[n]=1+2*r;if(k==1){f[1]=exp(h)+r*exp(t);f[n]=exp(n*h)+r*exp((n+1)*h+t);}else{f[1]=u[1]+r*exp(k*t);f[n]=u[n]+r*exp((n+1)*h+k*t);}for(i=2;i<n;i++){b[i]=1+2*r;a[i]=-r;c[i]=-r;if(k==1) f[i]=exp(i*h);else f[i]=u[i];}catchup();printf("第%d层结果时间节点Tk=%lf\n",k,k*t);double T=0;//double tem=0;for(i=1;i<=n;i++){x[i]=exp(i*h+k*t);err[i]=x[i]>u[i]?x[i]-u[i]:u[i]-x[i];printf("%lf %lf %lf %lf\n",i*h,x[i],u[i],err[i]);if(err[i]>T) T=err[i];//tem=tem+err[i]*err[i]*h;}printf("第%d层的最大误差是%lf\n",k,T);if(T>M) M=T;//temp=temp+tem;}printf("\n");//Err[j]=temp;printf("当n等于%d时最大误差为%lf\n",n,M);//printf("当n等于%d时其二范数为%lf\n",n,Err[j]);//if(j!=0) printf("log(Err[j-1]/Err[j])=%lf\n\n",log(Err[j-1]/Err[j]));//j++;printf("请输入n的值(输入0结束程序):");if(scanf("%d",&n)) printf("请输入m的值(输入0结束程序):");}system("PASUE");return 0;}附录3#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#define Max_N 1000double u[Max_N],b[Max_N],a[Max_N],c[Max_N],f[Max_N],err[Max_N], x[Max_N],y[Max_N],beta[Max_N],Err[Max_N];int n,m; //将空间区间【0，1】分为n等份；时间区间【0，1】分为m等份void catchup(){int i;beta[1]=c[1]/b[1];for(i=2;i<n;i++)beta[i]=c[i]/(b[i]-a[i]*beta[i-1]);y[1]=f[1]/b[1];for(i=2;i<=n;i++)y[i]=(f[i]-a[i]*y[i-1])/(b[i]-a[i]*beta[i-1]);u[n]=y[n];for(i=n-1;i>0;i--)u[i]=y[i]-beta[i]*u[i+1];}int main() //一维热传导方程的六点对称格式{int k,i;double h,t,r;//int j=0;double pi=3.1415627;printf("请输入n的值(输入0结束程序):\n");if(scanf("%d",&n)) printf("请输入m的值(输入0结束程序):\n");while(scanf("%d",&m)&&m&&n) //u(x,t)=exp(x+t),u(x,0)=exp(x),f(x)=0,x属于[0,1],t属于[0,1],a=1.{h=1.0/(n+1);t=1.0/(m+1);r=t/(h*h);printf("xj 真实值x[i] 近似值u[i] 误差err[i]\n");double M=0;//double temp=0;for(k=1;k<=m;k++){b[1]=1+r;c[1]=-r/2;a[n]=-r/2;b[n]=1+r;if(k==1){f[1]=r/2*exp(2*h)+(1-r)*exp(h)+r/2+r/2*exp(t);f[n]=r/2*exp((n+1)*h)+(1-r)*exp(n*h)+r/2*exp((n-1)*h)+r/2*exp((n+1)*h+t);}else{f[1]=r/2*u[2]+(1-r)*u[1]+r/2*exp((k-1)*t)+r/2*exp(k*t);f[n]=r/2*u[n-1]+(1-r)*u[n]+r/2*exp((n+1)*h+(k-1)*t)+r/2*exp((n+1)*h+k*t);}for(i=2;i<n;i++){b[i]=1+r;a[i]=-r/2;c[i]=-r/2;if(k==1) f[i]=r/2*exp((i+1)*h)+(1-r)*exp(i*h)+r/2*exp((i-1)*h);else f[i]=r/2*u[i+1]+(1-r)*u[i]+r/2*u[i-1];}catchup();printf("第%d层结果时间节点Tk=%lf\n",k,k*t);double T=0;double tem=0;for(i=1;i<=n;i++){x[i]=exp(i*h+k*t);err[i]=x[i]>u[i]?x[i]-u[i]:u[i]-x[i];printf("%lf %lf %lf %lf\n",i*h,x[i],u[i],err[i]);if(err[i]>T) T=err[i];//tem=tem+err[i]*err[i]*h;}printf("第%d层的最大误差是%lf\n",k,T);if(T>M) M=T;//temp=temp+tem;}printf("\n");//Err[j]=temp;printf("当n等于%d时最大误差为%lf\n",n,M);//printf("当n等于%d时其二范数为%lf\n",n,Err[j]);//if(j!=0) printf("log(Err[j-1]/Err[j])=%lf\n\n",log(Err[j-1]/Err[j]));//j++;printf("请输入n的值(输入0结束程序):");if(scanf("%d",&n)) printf("请输入m的值(输入0结束程序):");}system("PASUE");return 0;}附录4#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#define Max_N 1000double u[Max_N][Max_N],b[Max_N],a[Max_N],c[Max_N],f[Max_N],err[Max_N][Max_N],x[Max_N][Max_N],y[Max_N],beta[Max_N],Err[Max_N]; int n,m; //将空间区间【0，1】分为n等份；时间区间【0，1】分为m等份void catchup(){int i;beta[1]=c[1]/b[1];for(i=2;i<n;i++)beta[i]=c[i]/(b[i]-a[i]*beta[i-1]);y[1]=f[1]/b[1];for(i=2;i<=n;i++)y[i]=(f[i]-a[i]*y[i-1])/(b[i]-a[i]*beta[i-1]);u[n][1]=y[n];for(i=n-1;i>0;i--)u[i][1]=y[i]-beta[i]*u[i+1][1];}int main() //一维热传导方程的Richardson格式{int k,i;double h,t,r;double pi=3.1415627;printf("请输入n的值(输入0结束程序):\n");if(scanf("%d",&n)) printf("请输入m的值(输入0结束程序):\n");while(scanf("%d",&m)&&m&&n) //u(x,t)=exp(x+t),u(x,0)=exp(x),f(x)=0,x属于[0,1],t属于[0,1],a=1.{h=1.0/(n+1);t=1.0/(m+1);r=t/(h*h);for(i=0;i<=n+1;i++)//初值条件{u[i][0]=exp(i*h);}for(k=0;k<=m+1;k++)//边值条件{u[0][k]=exp(k*t);u[n+1][k]=exp((n+1)*h+k*t);}printf("xj tk 真实值x[i][k] 近似值u[i][k] 误差err[i][k]\n");b[1]=1+r;c[1]=-r/2;a[n]=-r/2;b[n]=1+r;f[1]=r/2*u[2][0]+(1-r)*u[1][0]+r/2+r/2*u[0][1];f[n]=r/2*u[n+1][0]+(1-r)*u[n][0]+r/2*u[n-1][0]+r/2*u[n+1][1];for(i=2;i<n;i++){b[i]=1+r;a[i]=-r/2;c[i]=-r/2;f[i]=r/2*u[i+1][0]+(1-r)*u[i][0]+r/2*u[i-1][0];}catchup();for(k=2;k<=m;k++){for(int j=1;j<=n;j++){u[j][k]=2*r*(u[j+1][k-1]-2*u[j][k-1]+u[j-1][k-1])+u[j][k-2];}}for(k=1;k<=m;k++){for(i=1;i<=n;i++){x[i][k]=exp(i*h+k*t);err[i][k]=x[i][k]>u[i][k]?x[i][k]-u[i][k]:u[i][k]-x[i][k];printf("%lf %lf %lf%lf %lf\n",i*h,k*t,x[i][k],u[i][k],err[i][k]);}}printf("请输入n的值(输入0结束程序):");if(scanf("%d",&n)) printf("请输入m的值(输入0结束程序):");}system("PASUE");return 0;}。