一维热传导方程的差分格式
一维热传导方程的差分法
一维热传导方程的差分法一维热传导方程是指在一维空间中，描述材料内部温度分布随时间的变化过程的方程式。
可以表示为：$$\frac{\partial u(x, t)}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}$$其中，$u(x, t)$ 是空间坐标为 $x$，时间为 $t$ 时的温度，$\alpha$ 是热扩散系数。
在边界条件确定的情况下，可以得到一维热传导方程的解。
然而，在实际应用中，解析解并不总是容易或可行的，因此需要使用数值方法进行近似求解。
常用的数值方法有有限差分法、有限元法和谱方法等，其中有限差分法是最为简单、易于实现的方法之一。
有限差分法的基本思想是将连续的空间区间离散化为若干个节点，将时间轴离散化为若干个时间步。
在空间和时间轴两个方向上，分别对热传导方程进行差分，得到离散的差分方程组，从而可以求得数值解。
在一维热传导方程的差分过程中，我们首先需要将空间区间 $(0, L)$ 划分为 $N$ 个等间距的节点，每个节点间距为 $h = \frac{L}{N}$。
我们使用 $u_i^n$ 表示节点$i$ 在时间步 $n$ 时的温度，其中 $i = 0, 1, ..., N$，$n = 0, 1, ..., M$。
接下来，我们对一维热传导方程进行中心差分，得到：$$\frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} = \alpha \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{h^2}$$其中，$\Delta t$ 是时间步长。
可以将上式改写为：其中，$r = \frac{\alpha \Delta t}{h^2}$。
由于在一维空间中，有两个边界，因此需要对边界进行特殊处理。
常见的边界处理方式有三种：1. 固定边界：将边界上的温度固定为某一值；2. 自然边界：假设边界处热通量为零，从而根据傅里叶定律可以求得边界处温度的梯度值，从而推算出边界的温度值；3. 第二类边界：将边界节点的温度根据边界条件与内部的节点做差分，从而计算出边界节点的温度值。
热传导方程的差分格式汇总
热传导方程的差分格式汇总1.显式差分格式：显式差分格式是最简单的一种方法，通过将导热方程时间和空间上的导数进行近似，引入差分算子，将方程转化为差分格式。
其中最常见的差分格式有：a. 前向差分法（Forward Difference Method）：利用当前节点和其相邻节点的温度值进行计算。
例如，在一维离散情况下，可以使用公式：u(i,j+1)=u(i,j)+α(u(i+1,j)-2u(i,j)+u(i-1,j))b. 后向差分法（Backward Difference Method）：利用当前节点和其相邻节点的温度值进行计算。
例如，在一维离散情况下，可以使用公式：u(i,j+1)=u(i,j)+α(u(i+1,j+1)-2u(i,j+1)+u(i-1,j+1))c. 中心差分法（Central Difference Method）：利用当前和其相邻节点的温度值进行计算。
例如，在一维离散情况下，可以使用公式：u(i,j+1)=u(i,j)+α(u(i+1,j)-2u(i,j)+u(i-1,j))+β(u(i+1,j)-u(i-1,j))其中α和β是时间和空间步长的比例因子。
2.隐式差分格式：显式差分格式具有较大的稳定性限制。
为了克服这个问题，可以使用隐式差分格式，其中使用下一个时间步长的温度值来求解当前时间步长。
常见的隐式差分格式有：a. C-N差分法（Crank-Nicolson Method）：利用前后两个时间步长的温度值进行计算。
例如，在一维离散情况下，可以使用公式：u(i,j+1)=u(i,j)+0.5α(u(i+1,j+1)-2u(i,j+1)+u(i-1,j+1))+0.5α(u(i+1,j)-2u(i,j)+u(i-1,j))b. 力学模拟法（Finite Element Method）：将空间离散化后，通过引入有限元方法，将热传导问题转化为线性方程组，再通过求解线性方程组得到温度分布。
一维热传导方程的差分法
一维热传导方程的差分法一维热传导方程描述了一个物体内部热的传递规律。
这个方程可用于解决各种问题，如材料的温度分布、传热速率等。
对于一维热传导方程，可以通过差分法来求解。
差分法是一种数值求解法，通过将原方程离散化成差分形式，将导数转化为有限差分，从而得到差分方程组。
通过求解差分方程组就可以得到离散点上的数值解。
关于一维热传导方程的差分法，以下是具体步骤。
1. 确定精度和空间网格数在差分法中，需要首先确定精度和空间离散化的步长。
通常情况下，精度越高，计算量越大，但是结果也越接近真实情况。
空间网格数越多，计算量也会越大，但是离散化的结果也越接近真实情况。
因此，需要在计算效率和结果准确性之间做出权衡。
2. 离散化热传导方程将一维热传导方程离散化，得到差分方程组。
通过 Taylor 展开，将导数转化为有限差分的形式，得到如下式子：$$ \frac{T_{i+1}-2T_{i}+T_{i-1}}{\Deltax^{2}}=\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}|_{x=i\Delta x,t}=\frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t}|_{x=i\Delta x,t} $$其中，$T_i$ 表示在 $x=i\Delta x$ 处的温度值，$\Delta x$ 表示空间分割步长，$\frac{1}{\alpha}$ 表示材料的热扩散系数。
3. 构建差分方程组通过对差分方程组进行简单的变形，得到一个带有时间变化的差分方程组：其中，$n$ 表示时间步长，$\Delta t$ 表示时间离散化步长。
4. 初始条件和边界条件为了有效地求解差分方程组，我们需要知道初始条件和给定的边界条件。
在一维热传导方程中，初始条件是物体最初的温度分布，而边界条件通常包括物体边界的温度和热流量。
5. 使用迭代算法求解差分方程组通过使用迭代算法（如欧拉法、隐式迭代法、迭代加速法等），可以求解差分方程组的数值解。
一维热传导方程(Richardson格式)
中南林业科技大学偏微分方程数值解法学生姓名：***学号：********学院：理学院专业年级：08信计1班设计题目：一维热传导方程的Richardson格式2011年06月一． 问题介绍考虑一维热传导方程：（1） ,0),(22T t x f xu a t u ≤<+∂∂=∂∂ 其中a 是正常数，)(x f 是给定的连续函数。
按照定解条件的不同给法，可将方程（1）的定解问题分为两类：第一类、初值问题（也称Cauthy 问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方程（1）（∞<<∞-x ）和初始条件：（2）),()0,(x x u ϕ= ∞<<∞-x 第二类、初边值问题（也称混合问题）：求具有所需次数偏微商的函数),(t x u ，满足方程（1）（l x <<0）和初始条件：（3） ),()0,(x x u ϕ= l x <<0及边值条件(4).0),(),0(==t l u t u T t ≤≤0 假定)(x ϕ在相应区域光滑，并且在l x ,0=满足相容条件，使上述问题有唯一充分光滑的解。
二． 区域剖分考虑边值问题（1），（4）的差分逼近。
去空间步长N l h /=和时间步长M T /=τ，其中N,M 都是正整数。
用两族平行直线：),,1,0(N j jh x x j ===),,1,0(M k k t t k ===τ 将矩形域}0;0{T t l x G ≤≤≤≤=分割成矩形网格，网格节点为),(k j t x 。
以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；h Γ=h G --h G 是网格界点集合。
三． 差分格式第k+1层值通过第k 层值明显表示出来，无需求解线性代数方程组，这样的格式称为显格式。
第k+1层值不能通过第k 层值明显表示出来，而由线性代数方程组确定，这样的格式称为隐格式。
一维热传导方程的差分格式
一维热传导方程的差分格式一维热传导方程的差分格式《微分方程数值解》学生姓名1：许慧卿学号： 20214329 学生姓名2：向裕学号： 20214327 学生姓名3：邱文林学号： 20214349 学生姓名4：高俊学号： 20214305 学生姓名5：赵禹恒学号： 20214359 学生姓名6：刘志刚学号： 20214346 学院：理学院专业： 14级信息与计算科学指导教师：陈红斌2021年6 月25日《一维热传导方程的差分格式》论文一、《微分方程数值解》课程论文的格式 1）引言：介绍研究问题的意义和现状 2）格式：给出数值格式3）截断误差：给出数值格式的截断误差 4）数值例子：按所给数值格式给出数值例子 5）参考文献：论文所涉及的文献和教材二、《微分方程数值解》课程论文的评分标准 1）文献综述：10分；2）课题研究方案可行性：10分； 3）数值格式：20分；4）数值格式的算法、流程图：10分； 5）数值格式的程序：10分；6）论文撰写的条理性和完整性：10分； 7）论文工作量的大小及课题的难度：10分； 8）课程设计态度：10分； 9）独立性和创新性：10分。
一维热传导方程的差分格式考虑如下一维非齐次热传导方程Dirichlet 初边值问题=a 2+f (x , t ), cu (x ,0) =ϕ(x ), c ≤x ≤d , (1.2)u (c , t ) =α(t ), u (d , t ) =β(t ), 0的有限差分方法, 其中a 为正常数, f (x , t ), ϕ(x ), α(t ),β(t ) 为已知常数, ϕ(c ) =α(0),ϕ(d ) =β(0). 称(1.2)为初值条件, (1.3)为边值条件.本文将给出(1.1) (1.3)的向前Euler 格式, 向后Euler 格式和Crank -Nicolson 格式, 并给出其截断误差和数值例子. 经对比发现, Crank -Nicolson 格式误差最小, 向前Euler 格式次之, 向后Euler 格式误差最大.2 差分格式的建立2.1 向前Euler 格式将区间[c , d ]作M 等分, 将[0, T ]作N 等分, 并记 h =(d -c ) /M , τ=T /N ,x j =c +jh , 0≤j ≤M , t k =k τ, 0≤k ≤N . 分别称h 和τ为空间步长和时间步长. 用x =x j , 0≤j ≤M , t =t k , 0≤k ≤N将Ω分割成矩形网格. 记Ωh =x j |0≤j ≤M , Ωτ={t k |0≤k ≤N }, Ωhτ=Ωh ⨯Ωτ. 称x j , t k 为结点.定义Ωh τ上的网格函数Ω=U j |0≤j ≤M ,0≤k ≤N , 其中U j =u x j , t k .在结点x j , t k 处考虑方程(1.1),有∂u (x j , t k )=a∂2u (x j , t k )+f (x j , t k ), 1≤j ≤M -1, 1≤k ≤N -1. (2.1)将u (x j , t k +1)以结点(x j , t k )为中心关于t 运用泰勒级数展开, 有u (x u ''(x j , t k )τ2j , t k +1)=u (x j , t k )+u '(x j , t k )τ++o (τ2).u (x 2j , t k +1)-u (x j , t k )=∂u (x j , t k )τ∂u (x j , t k )τ∂t +2∂t+o (τ). (2.2) 再将(x j -1, t k ), (x j +1, t k )分别以结点(x j , t k )为中心关于x 运用泰勒级数展开, 有u (x j , t k （)-h ）j -1, t k )=u (x j , t k )+u '(x j , t k )(-h )j , t k )(-h ）+u ''(x 2!u '''(x 3u (4)(x j , t k )(-h )+o (h 4) , (x u (x u ''(x j , t k )h 2u '''(x j , t k )h 3u j +1, t k )=j , t k )+u '(x j , t k )h +u (4)(x j , t k )h 4+o (h 4).由上述两式可得u (x j -1, t k )-2u (x j , t k )+u (x j +1, t k )∂2u (x j , t k h 2=)∂x 2+h 2∂4(x j , t k )12∂x+o (h 2) . (2.3) 将(2.2), (2.3)两式代入(2.1)中, 得u (x j , t k +1)-u (x j , t k )k )+u (x j +1, t k )u (x j -1, t k )-2u (x j , t h+f (x j , t k )+R k j . (2.4)2其中R k ah ∂4u (x j , t k)τ2∂2(x j , t k )j=-12∂x 4+2∂t 2+o (τ+h 2) 为方程(2.1)的截断误差. 舍去截断误差, 用u kj 代替u (x j , t k ), 得到如下差分方程u k +1-u k j ju k k kj -1-2u j +u j +1+f k j , 1≤j ≤M -1, 0≤k ≤N -1. 结合初边值条件, 可得如下差分格式+1u k -u k j ju k j -1-2u j +u j +1+f j k , 1≤j ≤M -1, 1≤k ≤N -1, (2.6)u 0j =ϕ(x j ), 0≤j ≤M , (2.7)k k u 0=α(t j ), u M =β(t k ), 1≤k ≤N . (2.8)2.2 向后Euler 差分格式在结点x j , t k +1处考虑方程(1.1), 有∂u (x j , t k +1)∂t∂2u (x j , t k +1)∂x 2+f (x j , t k +1), 1≤j ≤M -1, 1≤k ≤N . (2.9)将u x j , t k 以x j , t k +1为中心关于t 运用泰勒级数展开, 有u (x j , t k )=u (x j , t k +1)+u '(x j , t k +1)(-τ) +u ''(x j , t k +1)(-τ) 2+o (τ2).u (x j , t k +1)-u (x j , t k )∂u (x j , t k +1)τ∂2u (x j , t k +1)=-+o (τ). (2.10) 2再将u x j -1, t k +1, u x j +1, t k +1分别以x j , t k +1为中心关于x 运用泰勒级数展开, 有u (x j -1, t k +1)=u (x j , t k +1)+u '(x j , t k +1)(-h ）+u ''(x j , t k +1)(-h )u '''(x j , t k +1（)-h ）u (4)(x j , t k +1)(-h )+o (h 4), u ''(x j , t k +1)h 22! +o (h 4).u '''(x j , t k +1)h 3u (x j +1, t k +1)=u (x j , t k +1)+u '(x j , t k +1)h +u (4)(x j , t k +1)h 4由上述两式可得u (x j -1, t k +1)-2u (x j , t k +1)+u (x j +1, t k +1)∂2u (x j , t k +1)h 2∂4(x j , t k +1)=++o (h 2) . (2.11) 224h ∂x 12∂x将(2.10), (2.11)两式代入(2.9)中, 得+f (x j , t k +1)+R k j . (2.12)τ∂(x i , t k +1)ah 2∂u (x i , t k +1)+o (τ+h 2) 为方程(2.9)的截断误差.舍去截断误差, 用u j 代替u x j , t k , 得到如下差分方程+1u k -u k j j+1k +1+1u k +u k j -1-2u j j +1+f j k +1, 1≤j ≤M -1, 1≤k ≤N . (2.13)结合初边值条件, 可得如下差分格式u k -u k j j+1k +1+1u k +u k j -1-2u j j +1+f j k +1, 1≤j ≤M -1, 1≤k ≤N , (2.14)u 0j =ϕ(x j ), 0≤j ≤M , (2.15)k k u 0=α(t k ), u M =β(t k ), 1≤k ≤N . (2.16)2.3 Crank -Nicolson 差分格式在结点x j , t k +1/2处考虑方程(1.1), 有∂u (x j , t k +1/2)∂t∂2u (x j , t k +1/2)∂x+f (x j , t k +1/2), 1≤j ≤M -1, 0≤k ≤N -1. (2.17)将u x j , t k +1, u x j , t k 以x j , t k +1/2为中心关于t 运用泰勒级数展开, 有u ''(x j , t k +1/2)⎛τ⎛2u (x j , t k +1)=u (x j , t k +1/2)+u '(x j , t k +1/2)+ ⎛22! ⎛2⎛u '''(x j , t k +1/2)⎛τ⎛3+ ⎛+o (τ).τ⎛u ''(x j , t k +1/2)⎛τ⎛⎛u (x j , t k )=u (x j , t k +1/2)+u '(x j , t k +1/2) -⎛+ -⎛22! ⎛⎛⎛2⎛u '''(x j , t k +1/2)⎛τ⎛3+ -⎛+o (τ).将上述两式整理得=++o (τ3). (2.18) 3∂t 24∂t再将u x j -1, t k , u x j +1, t k 分别以x j , t k 为中心关于x 运用泰勒级数展开, 有u (x j -1, t k )=u (x j , t k )+u '(x j , t k )(-h ）+u ''(x j , t k )(-h )u '''(x j , t k （) -h ）u (4)(x j , t k )(-h )4! u ''(x j , t k )h 2+o (h 4) , u '''(x j , t k )h 3u (4)(x j , t k )h 4u (x j +1, t k )=u (x j , t k )+u '(x j , t k )h ++o (h 4).u (x j -1, t k )-2u (x j , t k )+u (x j +1, t k )∂2u (x j , t k )h 2∂4(xj , t k )2=++o (h ). (2.19) 224h ∂x 12∂x同理, 将u x j -1, t k +1, u x j +1, t k +1分别以x j , t k +1为中心关于x 泰勒级数展开, 整理得u (x j -1, t k +1)-2u (x j , t k +1)+u (x j +1, t k +1)∂2u (x j , t k +1)h 2∂4(x j , t k +1)=++o (h 2). (2.20) 224h ∂x 12∂x此时，分别将u x j , t k +1, u x j , t k 以u x j , t k +1/2为中心关于t 泰勒级数展开，有∂2u (x j , t k +1)∂2u (x j , t k +1/2)∂3u (x j , t k +1/2)τ1∂4u (x j , t k +1/2)⎛τ⎛2=+++o τ, () ⎛22222∂x ∂x ∂x ∂t 22! ∂x ∂t ⎛2⎛∂2u (x j , t k )∂2u (x j , t k +1/2)∂3u (x j , t k +1/2)⎛τ⎛=+ -⎛ 222∂x ∂x ∂x ∂t ⎛2⎛1∂u (x j , t k +1/2)⎛τ⎛2+ -⎛+o (τ). 222! ∂x ∂t ⎛2⎛利用上述两式得∂2u (x j , t k +1/2)∂x 21⎛∂u (x j , t k +1)∂u (x j , t k )⎛1⎛∂u (x j , t k +1/2)⎛τ⎛⎛2⎛ ⎛= +-+o τ. () ⎛2222⎛ ⎛2∂x ∂x 2∂x ∂t ⎛2⎛⎛⎛⎛⎛利用(2.19), (2.20)两式, 整理有∂2u (x j , t k +1)∂x∂2u (x j , t k )∂xu (x j -1, t k )-2u (x j , t k )+u (x j +1, t k )u (x j -1, t k +1)-2u (x j , t k +1)+u (x j +1, t k +1)h 2∂(x j , t k ) -h 2∂(x j , t k +1)2-+o h . (2.22) ()412∂x结合(2.21),(2.22)两式, 整理得∂2u (x j , t k +1/2)∂xu (x j -1, t k )-2u (x j , t k )+u (x j +1, t k )u (x j -1, t k +1)-2u (x j , t k +1)+u (x j +1, t k +1)1⎛∂u (x j , t k +1/2)⎛τ⎛⎛- ⎛⎛⎛2 ∂x 2∂t 22⎛⎛⎛⎛⎛1⎛h 2∂(x j , t k )h 2∂(x j , t k +1)2- ++o (h )⎛. (2.23) 44⎛212∂x 12∂x ⎛⎛将(2.18), (2.23)式代入(2.17)得u (x j , t k +1)-u (x j , t k )u (x j -1, t k )-2u (x j , t k )+u (x j +1, t k )u (x j -1, t k +1)-2u (x j , t k +1)+u (x j +1, t k +1)+f (x j , t k )+R k j . (2.24)⎛h 2∂4(x j , t k )h 2∂4(x j , t k +1)∂4u (x j , t k +1/2)⎛τ⎛2⎛τ2∂3u (x j , t k +1/2)a⎛+R k ++ j =- ⎛44223⎛2 12∂x 12∂x ∂x ∂t 224∂t ⎛⎛⎛⎛+o (τ3+h 2) 为方程(2.17)的截断误差.舍去截断误差, 用u j 代替u (x j , t k ) , 可得如下差分方程u k -u k j ju k j -1-2u j +u j +1+1k +1+1u k +u k j -1-2u j j +1+f j k +1/2,1≤j ≤M -1, 0≤k ≤N -1. (2.24)结合初边值条件, 可得如下差分格式u k -u k j ju k j -1-2u j +u j +1+1k +1+1u k +u k j -1-2u j j +1+f j k +1/2,1≤j ≤M -1, 0≤k ≤N -1, (2.25)u 0j =ϕ(x j ), 0≤j ≤M , (2.26)k k u 0=α(t k ), u M =β(t k ), 1≤k ≤N . (2.27)3 差分格式的求解3.1 向前Euler 格式记r =a τ, 称r 为步长比. 差分格式(2.6) (2.8)中(2.6)可改写为u k +1j =r ⋅u k ) u k k kj -1+(1-2r j +r ⋅u j +1+τ⋅f j ,1≤j ≤M -1 , 0≤k ≤N -1 .将(3.1)写成如下形式U k +1=A ⋅U k +τ⋅F k +r ⋅F 1 .U k +1=⎛u k +1, u k +1, , u k +1⎛TU k =⎛u k , u k k⎛12M -1⎛, ⎛12, , u M -1⎛, F k =⎛f k , f k , , f k⎛T F =⎛u k , 0, k ⎛T⎛12M -1⎛, 1⎛00, , 0, u M ⎛(M -1)*1, ⎛ 1-2r r ⎛r 1-2r r ⎛A = ⎛⎛r 1-2r ⎛⎛(M -1)*(M -1)3.2 向后Euler 格式记r =a τ, 称r 为步长比. 差分格式(2.14) (2.16)中(2.14)可改写为-u k j =r ⋅u k +1k +1k +1k +1j -1-(1+2r ) u j +r ⋅u j +1+τ⋅f j1≤j ≤M -1 , 1≤k ≤N .将(3.2)写成如下形式A ⋅U k +1=-U k -τ⋅F k +1-r ⋅F 1 .k +1k +1k +1k k k k⎛⎛⎛U k +1=⎛u , u , , u U =u , u , , u , 12M -112M -1⎛, ⎛⎛⎛ k +1k +1k +1k +1k +1⎛⎛⎛F k +1=⎛f , f , , f F =u , 0, 0, , 0, u , 12M -110M ⎛⎛⎛⎛T T (M -1)*1r ⎛-(1+2r ) ⎛r -(1+2r ) r ⎛⎛A = . rr -(1+2r ) ⎛⎛⎛(M -1)*(M -1)3.3 Crank -Nicolson 格式记r =a τ, 称r 为步长比. 差分格式(2.25) (2.27)中(2.25)可改写为+1k +1k +1k k k k +1/2, -[r /2⋅u k -(1+r ) u +r /2⋅u ]=r /2⋅u +(1-r ) u +r /2⋅u +τ⋅f j -1j j +1j -1j j +1j将(3.3)写成如下形式1≤j ≤M -1 , 0≤k ≤N -1 .. -A 2⋅U k +1=A 1⋅U k +τ⋅F k +1/2+r (F 1+F 2）k +1k +1k +1k k k k⎛⎛⎛U k +1=⎛u , u , , u U =u , u , , u , 12M -112M -1⎛, ⎛⎛⎛k k k +1k +1F 1=⎛⎛u 0, 0, 0, , 0, u M ⎛⎛(M -1)*1, F 2=⎛⎛u 0, 0, 0, , 0, u M ⎛⎛(M -1)*1,k +1/2k +1/2⎛=⎛, f 2k +1/2, , f M -1⎛, ⎛f 1⎛1-r r /2⎛⎛r /21-r r /2 ⎛⎛A 1= , r /2r /21-r ⎛⎛⎛(M -1)*(M -1)r /2⎛-(1+r ) ⎛ ⎛r /2-(1+r ) r /2 ⎛⎛A 2= . r /2r /2-(1+r ) ⎛⎛⎛(M -1)*(M -1)在本文中, 将应用向前Euler 格式(2.6) (2.8), 向后Euler 格式(2.14) (2.16)和Crank -Nicolson 格式(2.25) (2.27)分别来求解如下算例.算例现有如下定解问题∂u ∂2u x +2t=2+e , 0u (x ,0) =e x , 0≤x ≤1,u (0,t ) =e 2t , u (1,t ) =e 1+2t , 0上述定解问题的精确解为u (x , t ) =e 4.1 向前Euler 格式在表4.1.1中给出了取步长h =1/10和τ=1/200(步长比r =1/2) 时计算得到的部分数值结果. 表4.1.2给出了取步长h =1/10和τ=1/100(步长比r =1) 时计算得到的部分数值结果, 随着计算层数的增加, 误差越来越大, 数值结果是发散的. 经步长比r 的多次取值发现, 当r ≤1/2时, 其数值结果是收敛的, 当r >1/2时, 其数值结果是发散的. 表4.1.3给出了r =1/2时, 取不同步长, 数值解的最大误差E ∞(h , τ) =max |u (x j , t k ) -u j k |.1≤j ≤M -11≤k ≤N从表4.1.3可以看出当空间步长缩小到原来的1/2, 时间步长缩小到原来的1/4时, 最大误差约缩小到原来的1/4.图4.1.1给出了t =1时的数值解曲线(h =1/10,τ=1/200) 与精确解曲线. 图4.1.2给出了t =1时不同步长数值解的误差曲线图(r =1/2) , 由图4.1.2可知, 当步长比r 保持不变, 随着时间与空间方向上的加密, 误差越来越小. 图4.1.3给出了不同步长的误差曲面图.表4.1.1 算例在部分结点处数值解、精确解和绝对误差(h =1/10,τ=1/200)(x , t )(0.5,0.1)数值解 1.802810精确解 1.803988|精确解-数值解|1.178e-360 80 100 120 140 160 180 200(0.5,0.3) (0.5,0.4) (0.5,0.5) (0.5,0.6) (0.5,0.7) (0.5,0.8) (0.5,0.9) (0.5,1.0)2.6886513.2838564.010886 4.8988975.983523 7.308290 8.926366 10.9026872.6912343.2870814.014850 4.9037495.989452 7.315534 8.935213 10.9134942.583e-33.225e-3 3.965e-34.852e-35.929e-3 7.243e-3 8.847e-3 1.081e-3表4.1.2 算例在部分结点处数值解、精确解和绝对误差(h =1/10,τ=1/100)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17(x , t )(0.5,0.01) (0.5,0.02) (0.5,0.03) (0.5,0.04) (0.5,0.05) (0.5,0.06)(0.5,0.07) (0.5,0.08) (0.5,0.09) (0.5,0.10) (0.5,0.11) (0.5,0.12) (0.5,0.13) (0.5,0.14) (0.5,0.15) (0.5,0.16) (0.5,0.17)数值解 1.521674 1.552123 1.583184 1.614870 1.647386 1.679785 1.716057 1.741446 1.807089 1,744143 2.092546 1.164923 4.148393 -4.709415 21.998093 -57.422399 178.294623精确解 1.521962 1.552707 1.584074 1.616074 1.648721 1.682028 1.7160071.750673 1.786038 1.822119 1.858928 1.896481 1.934792 1.9738782.0137532.054433 2.095936|精确解-数值解|2.879e-4 5.845e-4 8.901e-4 1.205e-3 1.336e-3 2.242e-3 5.051e-5 9.227e-3 2.105e-2 7.798e-2 2.336e-1 7.316e-1 2.213e+0 6.684e+0 1.998e+1 5.948e+11.762e+2表4.1.3 算例取不同步长时数值解的最大误差(r =1/2)1/10 1/20 1/40 1/801/200 1/800 1/3200 1/12800E ∞(h , τ)1.178e-22.973e-3 7.431e-4 1.858e-4E ∞(2h ,4τ) /E ∞(h , τ)* 3.964 4.000 4.000图4.1.1 算例取t =1时的数值解曲线(h =1/10,τ=1/200) 与精确解曲线图4.1.2 算例取t =1时不同步长数值解的误差曲线(r =1/2)图4.1.3 算例取不同步长数值解的误差曲面(r =1/2)4.2 向后Euler 格式在表4.2.1和表4.2.2中分别给出了h =1/10,τ=1/200(步长比r =1/2) 和h =1/10, τ=1/100(步长比r =1) 时计算得到的部分数值结果, 发现两表的数值结果都是收敛的, 经步长比r 的多次取值发现, 无论r 取任何值, 其数值结果都是收敛的. 表4.2.3 给出了r =1/2时, 取不同步长, 数值解的最大误差E ∞(h , τ) =max |u (x j , t k ) -u j k |.1≤j ≤M -11≤k ≤N从表4.2.3可以看出当空间步长缩小到原来的1/2, 时间步长缩小到原来的1/4时, 最大误差缩小到原来的1/4. 表4.2.4给出了r =1时的类似结论.图4.2.1给出了t =1时的数值解曲线(h =1/10,τ=1/200) 与精确解曲线. 图4.2.2给出了t =1时, 取不同步长数值解的误差曲线图(r =1/2) , 由图4.2.2可知, 当步长比r 保持不变, 随着时间与空间方向上的加密, 误差越来越小. 图4.2.3和图4.2.4分别当给出了步长比r =1/2和r =1下不同步长的误差曲面图.表4.2.1 算例在部分结点处数值解、精确解和绝对误差(h =1/10,τ=1/200)20 40 60 80 100 120 140 160 180 200(x , t )(0.5,0.1) (0.5,0.2) (0.5,0.3) (0.5,0.4) (0.5,0.5) (0.5,0.6) (0.5,0.7) (0.5,0.8) (0.5,0.9) (0.5,1.0)数值解 1.805343 2.205674 2.694258 3.290867 4.019509 4.909453 5.9964257.324052 10.926203 10.926203精确解 1.803988 2.203396 2.691234 3.287081 4.014850 4.903749 5.989452 7.315534 8.935213 10.913494|精确解-数值解|1.355e-32.278e-33.023e-3 3.785e-34.659e-35.704e-36.973e-3 8.518e-3 1.041e-2 1.271e-2表4.2.2 算例在部分结点处数值解、精确解和绝对误差(h =1/10,τ=1/100)10 20 30 40 50 60 70 80 90 100(x , t )(0.5,0.1) (0.5,0.2) (0.5,0.3) (0.5,0.4) (0.5,0.5) (0.5,0.6) (0.5,0.7) (0.5,0.8) (0.5,0.9) (0.5,1.0)数值解 1.788500 2.185742 2.670171 3.261551 3.983745 4.865788 5.943098 7.258921 8.866068 10.829041精确解 1.786038 2.181472 2.664456 3.254374 3.974902 4.854956 5.929856 7.242743 8.846306 10.804903|精确解-数值解|2.461e-3 4.269e-3 5.715e-3 7.177e-3 8.843e-3 1.083e-2 1.324e-2 1.618e-2 1.976e-2 2.414e-2表4.2.3 算例取不同步长时数值解的最大误差(r =1/2)1/10 1/20 1/40 1/801/200 1/800 1/3200 1/12800E ∞(h , τ)1.386e-2 3.509e-3 8.779e-42.195e-4E ∞(2h ,4τ) /E ∞(h , τ)* 3.950 3.997 3.999表4.2.4 算例取不同步长时数值解的最大误差(r =1)1/10 1/20 1/401/100 1/400 1/1600E ∞(h , τ)2.659e-2 6.744e-3 1.688e-3E ∞(2h ,4τ) /E ∞(h , τ)* 3.943 3.9551/6400 4.222e-4 3.999图4.2.1 算例取t =1时的数值解曲线(h =1/10,τ=1/200) 与精确解曲线图4.2.2 算例取t =1 时不同步长数值解的误差曲线(r =1/2)图 4.2.3 算例取不同步长数值解的误差曲面(r =图 4.2.4 算例取不同步长数值解的误差曲面(r =1)4.3 Crank -Nicolson 格式在表4.3.1中给出了取步长h =1/10,τ=1/10时计算得到的部分数值结果, 表4.3.2给出了取步长h =1/100,τ=1/100时计算得到的部分数值结果, 发现两表的数值结果都是收敛的, 经步长比r 的多次取值发现, 无论r 取任何值, 其数值结果都是收敛的. 表4.3.3给出了取不同步长时, 所得数值解的最大误差E ∞(h , τ) =max |u (x j , t k ) -u j k |.1≤j ≤M -11≤k ≤N从表可以看出当空间步长缩小到原来的1/2, 时间步长缩小到原来的1/2时, 最大误差缩小到原来的1/4.图4.3.1给出了t =1时的数值解曲线(h =1/10,τ=1/10)与精确解曲线. 图4.3.2给出了t =1时, 取不同步长数值解的误差曲线图, 由图4.3.2可知, 当步长比r 保持不变, 随着时间与空间方向上的加密, 误差越来越小. 图4.3.3给出了取不同步长时所得数值解的误差曲面图. 图4.3.4给出了向前Euler , 向后Euler 和Crank -Nicolson 三种方法数值解的误差对比图(h =1/10,τ=1/200) , 由图4.3.4分析可得, 当时间方向t 与空间方向x 都取相同步长时, Crank -Nicolson 方法误差最小, 精度最高, 向前Euler 方法次之,向后Euler 方法所得误差最大, 精度最低.表4.3.1 算例在部分结点处数值解、精确解和绝对误差(h =1/10,τ=1/10)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10(x , t )(0.5,0.1) (0.5,0.2) (0.5,0.3) (0.5,0.4) (0.5,0.5) (0.5,0.6) (0.5,0.7) (0.5,0.8) (0.5,0.9) (0.5,1.0)数值解 1.823114 2.227196 2.720414 3.322776 4.058460 4.957021 6.054520 7.395008 9.032284 11.032056精确解 1.822119 2.225541 2.718282 3.320217 4.055200 4.953032 6.049647 7.389056 9.025013 11.023176|精确解-数值解|9.949e-4 1.656e-3 2.132e-3 2.659e-3 3.260e-3 3.988e-3 4.873e-3 5.952e-3 7.271e-3 8.880e-3表4.3.2 算例在部分结点处数值解、精确解和绝对误差(h =1/100,τ=1/100)10 20 30 40 50 60 70 80 90 100(x , t )(0.5,0.1) (0.5,0.2) (0.5,0.3) (0.5,0.4) (0.5,0.5) (0.5,0.6) (0.5,0.7) (0.5,0.8) (0.5,0.9) (0.5,1.0)数值解 1.993726 2.435147 2.974297 3.632815 4.437131 5.919524 6.619421 8.084979 9.875016 12.061372精确解 1.993715 2.435130 2.974297 3.632786 4.437096 5.419481 6.619369 8.084915 9.874938 12.061276|精确解-数值解|1.081e-5 1.749e-52.296e-5 2.864e-53.521e-54.308e-55.266e-56.433e-57.857e-5 9.597e-5表4.3.3 算例取不同步长时数值解得最大误差1/10 1/20 1/40 1/80 1/160 1/320 1/6401/10 1/20 1/40 1/80 1/160 1/320 1/640E ∞(h , τ)9.588e-3 2.429e-3 6.078e-4 1.520e-4 3.799e-5 9.499e-6 2.375e-6E ∞(2h ,2τ) /E ∞(h , τ)* 3.9457 3.9961 3.9990 3.9998 3.9999 4.0000图4.3.1 算例取t =1时数值解曲线(h =1/10,τ=1/10)与精确解曲线图4.3.2 算例取t 1时不同步长数值解的误差曲线图4.3.3 算例取不同步长数值解的误差曲面图4.3.4 算例取t =1时三种方法数值解的误差对比曲线(h =1/10,τ=1/200)在本文中, 给出了向前Euler , 向后Euler 和Crank -Nicolson 三种差分格式, 分别对抛物型方程进行求解, 其中向前Euler 格式是条件稳定的, 后两者是无条件稳定的. 经对比发现, Crank -Nicolson 格式的精度最高, 误差最小, 向前Euler 格式次之, 向后Euler 格式精度最低, 误差最大.[1] 孙志忠. 偏微分方程数值解法[M]. 第二版. 北京: 科学出版社, 2021.[2] 李荣华. 偏微分方程数值解法[M]. 第二版. 北京: 高等教育出版社, 2021.[3] 刘卫国. MATLAB程序设计教程[M]. 第二版. 北京: 中国水利水电出版社, 2021.◆ 程序流程图1 向前Euler 法2 向后Euler 法3 Crank Nicolson 法(向前Euler 法）建立函数文件ForwardEuler.m ，如下：% 求解一维非齐次热传导方程 ut-uxx=e^(x+2t), 0% u(x,0)=e^x, 0% u(0,t)=e^(2t), u(1,t)=e^(1+2t), 0% 该问题的定解为 u(x,t)=e^(x+2t).% 其中取a=1, h1表示时间t 方向上的步长, h2表示空间x 方向上的步长.function [uxy,u,eps]=ForwardEuler(h1,h2,M,N,T)% 求解一维非齐次热传导方程 ut-uxx=f(x,t),(a>0)% 其中M,N 分别为x 与t 方向上的网格数。
一维热传导方程的差分法
一维热传导方程的差分法一维热传导方程是描述材料内部温度分布随时间变化的重要方程，在工程和科学领域有着广泛的应用。
而差分法是解决微分方程数值解的一种有效方法。
本文将介绍一维热传导方程的差分法，并探讨其在实际问题中的应用。
一维热传导方程描述如下：\[\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\]\(u(x, t)\)表示材料内部温度分布，\(t\)为时间，\(x\)为空间坐标，\(\alpha\)为热传导系数。
差分法是将微分方程转化为差分方程，通过有限差分逼近微分算子，将连续的时间和空间离散化，然后利用离散格式进行数值计算。
在一维热传导方程中，可以采用显式差分格式进行计算。
以空间离散步长为\(\Delta x\)，时间离散步长为\(\Delta t\)，将空间和时间分别离散化为\(x_i = i \Delta x\)和\(t_n = n \Delta t\)，其中\(i = 0, 1, 2, \dots, N\)，\(n = 0, 1, 2, \dots, M\)。
在位置\(x_i\)和时间\(t_n\)的温度值用\(u_i^n\)表示，其中\(i\)为空间索引，\(n\)为时间索引。
接下来，我们将通过显式差分法来逼近一维热传导方程中的偏导数，得到差分格式。
\[\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}\]\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n +u_{i-1}^n}{\Delta x^2}\]将上述逼近代入一维热传导方程中，得到差分格式：整理得到：这就是一维热传导方程的显式差分格式，可以通过该差分格式进行数值计算。
一维热传导方程的差分法
一维热传导方程的差分法
热传导方程是描述物体内部温度变化随时间和位置的方程，可以用来研究热传导现象。
一维热传导方程是最简单的一种，适用于只考虑物体在一条直线方向上的温度变化的情
况。
一维热传导方程可以用下述形式表示：
∂u/∂t = α * ∂²u/∂x²
u是温度，t是时间，x是位置，α是热扩散系数。
这个方程描述了温度随时间的变化率与温度随位置的变化率之间的关系。
为了数值计算一维热传导方程，我们可以采用差分法来近似求解。
差分法是将连续的
问题离散化为离散的问题，使得计算机可以进行计算。
常用的差分方法包括显式差分法和
隐式差分法。
显式差分法是一种较为简单的差分方法，它的基本思想是使用中心差分来近似高阶导数。
具体步骤如下：
1.将时间和空间区域离散化，得到网格点。
2.根据差分近似，将一维热传导方程转化为差分方程。
3.根据初始条件和边界条件，确定网格点上的温度初始值。
4.按照差分方程进行迭代计算，更新网格点上的温度值。
差分法计算一维热传导方程的优点是简单易用，可以得到较为准确的结果。
差分法也
存在一些不足之处，比如需要选择适当的离散化步长和求解方程组等问题。
一维热传导方程的差分法
一维热传导方程的差分法一维热传导方程是描述材料内部温度分布随时间变化的数学模型。
它在许多实际工程问题中起着重要的作用，比如热传导、材料加工、建筑设计等。
差分法是一种用于数值求解偏微分方程的常用方法，其原理是将偏微分方程中的导数项用差分近似代替，然后将求解区域划分为离散点，最终得到一个代数方程组。
本文将介绍一维热传导方程的差分法求解过程。
一维热传导方程可以写成如下形式：\[\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\]\(u(x, t)\)表示材料内部温度分布，\(x\)是空间坐标，\(t\)是时间，\(\alpha\)是热扩散系数。
为了使用差分法求解该方程，我们需要对空间和时间进行离散化。
假设求解区域为\(0 \leq x \leq L\)，时间区间为\(0 \leq t \leq T\)，将空间和时间分别划分成\(N_x\)和\(N_t\)个小区间，步长分别为\(\Delta x = \frac{L}{N_x}\)和\(\Delta t = \frac{T}{N_t}\)。
接下来，我们将使用显式差分格式对一维热传导方程进行离散化。
我们定义离散点\(u_i^n = u(i\Delta x, n\Delta t)\)，用\(u_i^n\)表示时间\(n\)、空间\(i\)处的温度。
那么热传导方程可以用差分格式表示为：\[\frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} = \alpha \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n +u_{i-1}^n}{\Delta x^2}\]为了进行数值求解，我们需要给定初始条件和边界条件。
初始条件可以表示为：\[u_i^0 = f(i\Delta x)\]边界条件可以是温度固定或热传导定律，比如：\[u_0^n = g_1(t), u_{N_x}^n = g_2(t)\]或者\[\frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = 0, \frac{\partial u}{\partial x}(L, t) = 0\]接下来，我们可以通过迭代计算离散点的温度值来求解一维热传导方程。
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2u
x j , tk1
2u
xj ,tk
u
x j1, tk
2u
xj ,tk
u x j1,tk
x2
x2
h2
-7-
一维热传导方程的差分格式
u
x j1, tk1
2u
x j , tk1
u
x j1, tk1
h2 4
xj ,tk
h2
12 x4
h2 4
x j , tk1
u xj ,tk1/2 t
2u a
x j , tk1/2 x2
f
x j , tk1/2 ,
1 j M 1,
0 k N 1. (2.17)
将 u xj ,tk1 , u xj ,tk 以 xj ,tk1/2 为中心关于 t 运用泰勒级数展开, 有
u
x j , tk1
(1.3)
的有限差分方法, 其中 a 为正常数, f (x, t), (x), (t), (t) 为已知常数, (c) (0),
(d) (0). 称(1.2)为初值条件, (1.3)为边值条件.
本文将给出(1.1) (1.3)的向前 Euler 格式, 向后 Euler 格式和 Crank Nicolson 格 式, 并给出其截断误差和数值例子. 经对比发现, Crank Nicolson 格式误差最小, 向前 Euler 格式次之, 向后 Euler 格式误差最大.
h3 u(4)
xj ,tk 4!
h4 o(h4).
由上述两式得
u xj1,tk
2u xj ,tk
u x j1, tk
2u =
xj ,tk
h2 4
xj ,tk
o(h2 ).
(2.19)
h2
x2
12 x4
同理, 将 u xj1,tk1 , u xj1,tk1 分别以 x j , tk1 为中心关于 x 泰勒级数展开, 整理得
u
x j1, tk
=u
xj ,tk
u
xj ,tk
(h） u
xj ,tk h2 u(xj ,tk（) -h）3
2!
3!
u(4)
xj ,tk
h4
o(h4 ) ,
4!
u
x j1, tk
=u
xj ,tk
u
xj ,tk
u h
xj ,tk 2!
h2 u
xj ,tk 3!
2 差分格式的建立
2.1 向前 Euler 格式
将区间[c, d ] 作 M 等分, 将0,T 作 N 等分, 并记 h (d c) / M , T / N ,
x j c jh , 0 j M , tk k , 0 k N . 分别称 h 和 为空间步长和时间步长.用
两组平行直线
.
在结点 xj ,tk 处考虑方程(1.1),有
-3-
一维热传导方程的差分格式
u xj ,tk t
a
2u
xj x2
,
tk
f
xj ,tk ,
1 j M 1, 1 k N 1. (2.1)
将 u xj ,tk1 以结点 xj ,tk 为中心关于 t 运用泰勒级数展开, 有
o h2
.
12 x4
结合(2.21),(2.22)两式, 整理得
(2.22)
2u xj ,tk1/2
x2
u
x j1, tk
2u xj ,tk 2h2
u x j1,tk
u
x j1, tk1
2u
x j , tk1 2h2
1 2!
4u x j , tk1/ x2t 2
2
2
2
o
2
.
利用上述两式得
2u xj ,tk1/2 x2
1 2
2u
x j , tk1 x2
2u xj x2
,
tk
1 2
4u x j , tk1/ x2t 2
2
2
2
o
2
.
(2.21)
利用(2.19), (2.20)两式, 整理有
u
x j1, tk1
2u
x j , tk1
u
x j1, tk1
2u =
x j ,tk1
h2 4
x j ,tk1
o(h2 ).
(2.20)
h2
x2
12 x4
此时，分别将 u xj ,tk1 , u xj ,tk 以 u xj ,tk1/2 为中心关于 t 泰勒级数展开，有
《微分方程数值解》 课程论文
学生姓名 1： 许慧卿
学 号： 20144329
学生姓名 2： 向裕
学 号： 20144327
学生姓名 3： 邱文林
学 号： 20144349
学生姓名 4： 高俊
学 号： 20144305
学生姓名 5： 赵禹恒
学 号： 20144359
学生姓名 6： 刘志刚
学 号： 20144346
2
3
o
3
.
将上述两式整理得
-6-
一维热传导方程的差分格式
u xj ,tk1 u xj ,tk
u
x j , tk1/2
t
2
3u
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx j , tk1/2
24
t3
o( 3).
(2.18)
再将 u xj1,tk , u xj1,tk 分别以 xj ,tk 为中心关于 x 运用泰勒级数展开, 有
整理有
u
x j , tk1
u
xj ,tk
u
xj ,tk
u
xj ,tk 2!
2 o( 2).
u xj ,tk1 u xj ,tk
u
xj ,tk
t
2
2u
xj t 2
,
tk
o( ).
再将 xj1,tk , xj1,tk 分别以结点 x j ,tk 为中心关于 x 运用泰勒级数展开, 有
u k 1 j
u
k j
a
uk j 1
2u
k j
h2
uk j 1
f
k j
,
1 j M 1, 0 k N 1.
(2.5)
结合初边值条件, 可得如下差分格式
-4-
一维热传导方程的差分格式
u k 1 j
u
k j
a
uk j 1
2u
k j
h2
uk j 1
f
k j
,
1 j M 1, 1 k N 1,
f
k j
1
,
1 j M 1, 1 k N, (2.14)
u0j (xj ), 0 j M ,
(2.15)
u0k (tk ), uMk (tk ),
1 k N.
(2.16)
2.3 Crank Nicolson 差分格式
在结点 xj ,tk1/2 处考虑方程(1.1), 有
舍去截断误差,
用
u
k j
代替
u
xj ,tk
,得到如下差分方程
u k 1 j
u
k j
a
u k 1 j 1
2u
k j
1
h2
u k 1 j 1
f
k j
1
,
1 j M 1, 1 k N.
(2.13)
结合初边值条件, 可得如下差分格式
u k 1 j
u
k j
a
u k 1 j 1
2u
k j
1
h2
u k 1 j 1
2u xj ,tk1 x2
2u =
x j , tk1/2 x2
3u
x j , tk1/2 x2t
2
1 2!
4u x j , tk1/2 x2t 2
2 2
o
2
,
2u xj ,tk
x2
2u =
x j , tk 1/2 x2
3u
xj ,tk x2t
1/ 2
2
1 j M 1, 1 k N.
将 u xj ,tk 以 x j ,tk1 为中心关于 t 运用泰勒级数展开, 有
(2.9)
u
xj ,tk
u
x j , tk1
u
x j , tk1
u ( )
x j , tk1 2!
( )2 o( 2).
将上式整理得
u xj ,tk1 u xj ,tk
(2.6)
u0j (xj ),
0 j M,
(2.7)
u0k (t j ),
uMk (tk ), 1 k N.
(2.8)
2.2 向后 Euler 差分格式
在结点 x j ,tk1 处考虑方程(1.1), 有
u xj ,tk1 t
2u a
x j , tk1
x2
f
x j , tk1 ,
(2.2)
u
x j1, tk
=u
xj ,tk
u
xj ,tk
u (h）
xj ,tk
h2 u
2!
xj ,tk （-h）3 3!
u(4)
xj ,tk
h4
o(h4 ) ,
4!
u
x j1, tk
=u
xj ,tk
u
xj ,tk
u h
xj ,tk 2!
h2 u
xj ,tk 3!
u
x j ,tk1
t
2
2u
x j ,tk1 t 2