二维三温热传导方程组的分数步隐式差分格式.

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6第六讲 典型模型方程-热传导方的差分格式程

6第六讲 典型模型方程-热传导方的差分格式程

ADE Methods
同一时间步,同时左右扫描
6、Hopscotch Method
Comments
2、Richardaon’s Method: CTCS
3、Simple Implicit(Laasonen) Method
算子表示:
其中:
未知,每一个时间步长需要求解三对角方程组
放大因子:
4、Crank-Nicolson Method: famous
1 N 1 1 uN uN j 1 2u j j 1
where
G 1
3-D: ADI Methods
假设
∆t左移,右端合并即为C-N格式
其中 rx x 2 , ry y 2
at
at
3-D: ADI Methods
4、Splitting or Fractional-step Methods
5、ADE Methods
1-D:

Simple Explicit Method
差分格式的放大因子与精确解的放大因子比较
精度高
Simple Explicit Method
Simple Explicit Method: Example
Simple Explicit Method: Example
没有相位误差,幅值误差:1.88%
2-D: Crank-Nicolson Scheme
通常采用迭代方 法,需要比三对 角更多的计算资 源
3、2-D: ADI Methods
time
1/ 2 n 1 / 2 1/ 2 uin , uin 1, j , ui , j 1, j
1 n 1 n 1 uin, j 1 , ui , j , ui , j 1

二维热传导方程的可视化计算

二维热传导方程的可视化计算

二维热传导方程的可视化计算二维热传导方程是描述二维物体热传导过程的数学模型。

在工程领域中,通过求解二维热传导方程,可以预测物体内部的温度分布,进而进行热设计和优化。

热传导是指物体内部由高温区向低温区传递热量的过程。

二维热传导方程是基于热传导定律和能量守恒定律建立的,它可以描述物体内部温度的时空变化。

二维热传导方程的一般形式如下:∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² = α ∂T/∂t其中,T是温度,x和y是空间坐标,t是时间,α是热扩散系数。

为了求解二维热传导方程,需要给定边界条件和初始条件。

边界条件是指在物体表面的温度分布情况,而初始条件是指在初始时刻物体内部各点的温度分布。

通常情况下,我们采用数值方法来求解二维热传导方程,其中最常用的方法是有限差分法。

有限差分法将连续的空间和时间离散化,将二维热传导方程转化为一组离散的代数方程。

在计算机中,可以使用计算软件来实现二维热传导方程的可视化计算。

首先,需要将物体的几何形状离散化为一个个小区域,然后对每个小区域进行温度计算。

在计算过程中,可以使用迭代方法来逐步求解离散方程,直到达到收敛条件。

通过迭代计算,可以得到物体在不同时间点的温度分布情况。

在可视化计算中,可以将温度用不同的颜色表示,从而直观地显示物体内部的温度分布。

通过观察温度分布的变化,可以了解物体的热传导特性,并对其进行优化设计。

除了温度分布的可视化,还可以计算物体的热流量、热传导速率等热学参数。

这些参数对于热设计和工程优化非常重要,可以帮助工程师在设计过程中做出准确的决策。

二维热传导方程的可视化计算在工程领域中具有重要的应用价值。

通过求解二维热传导方程,可以预测物体内部的温度分布,为工程设计提供参考依据。

同时,可视化计算也为工程师提供了直观的数据展示方式,帮助他们更好地理解和分析热传导过程。

第九章_热传导方程的差分解法_郑大昉

第九章_热传导方程的差分解法_郑大昉

类似地,其偏微分用差分近似为: 类似地 其偏微分用差分近似为 近似为
∂ui, j,k ui, j,k+1 − ui, j,k = ∂t τ 2 ∂ ui, j,k ui+1, j,k − 2ui, j,k + ui−1, j,k = 2 ∂x h2 ∂2ui, j,k ui, j+1,k − 2ui, j,k + ui, j−1,k = 2 ∂y h2
∂ui,k ∂x ∂ui,k − ∂x + h
(9-18)
二阶中心差商可近似为 二阶中心差商可近似为: 可近似为
∂2ui,k ∂x
即:
2
=

(9-19)
ui+1,k − 2ui,k + ui−1,k ∂2u = 2 2 ∂x i,k h
(9-20)
时间的一阶差商近似为 近似为: 另, 对时间的一阶差商近似为
(9-27)
u(x, y,0) = ϕ(x, y)
(9-28)
其边界条件留待后面给出 边界条件留待后面给出. 留待后面给出
差分方法 仍设空间步长 h 仍设空间步长: 空间步长 时间步长: 时间步长 空间为: 网格. 空间为 N× M 网格
τ
则:
Nh = l,
M =s h
t = kτ , k = 0,1 2,... , x = ih, i = 0,1 N ,..., y = jh, j = 0,1,..., M
∆t
∂u ∆Q = −K(x, y, z, t)∆t∆S ∂n
(9-1)
t1
t2 t1

Q =∫ 1
∂u dt ∫∫ K(x, y, z, t) dS ∂n (S)

二维三温热传导方程组的二阶分数步差分格式

二维三温热传导方程组的二阶分数步差分格式

1d i V( g a ) rd 一 . 7 . ) ( 一 ,
c 警= d( r 7 ) 丢i 坦d) ( , 一 v a 一 1 T ,
式 中 、 和 , 未 知 函 数 , 别表 示 电子 温 度 、 子 温 度 和 光 子 温度 ; 、 分 别 为 电子 与 离 是 分 离 % 子、 电子 与 光 子 的 能 量 交 换 系数 , P为 介 质 的 密 度 常 数 , 、 和 K 为 扩 散 系 数 , 为 已 知 函 K 均 数 。为 简 单 起 见 , 文 讨 论 扩 散 系 数 与 未 知 函 数 无 关 的情 形 。假 设 问题 是 正 定 的 , 本 即满 足
到离 散 日 数 的最 优 阶 先验 误 差估 计 及 稳定性 。 范 美蕾 词 中国 法分 类 号
0 引

在惯 性 约束 聚 变 的 二 维 数 值 模 拟 中 , 常 要 求 解 包 括 电子 热 传 导 , 子 热 传 导 和 光 子 热 传 常 离 导 方 程 耦 合 的 辐 射 流 体 力 学 方 程 组 I 其 中 带 有 不 同 能 量 之 间 交换 的 三 温 热 传 导 方 程 组 的 求 1 ] 解 占 有重 要 的位 置 。 尚武 等 [a 究 了三 温 热 传 导 方程 组 的 能 适 应 各 种 二 维 拉 格 朗 日网 格 的 符 2 ̄ -研
二 维 三 温 热 传 导 方 程 组 的
二 阶 分 数 步 差 分 格 式
谢耐森 薛 恒 李 春
( 岛海 洋 大 学 数 学 系 ,青 岛 .6 0 3 青 26 0 )


对 二 维三 温热 传 导 方 程 组提 出一 类 分 数步 有 限 差分 格 式 。利 用 变 分 形 式及 能 量 方 法 . 得 三温 热 传 导方 程 组 ; 数步 有 限 差分 格 式 { 敛性 ; 定性 分 收 稳 02 1 8 4 .2 文 章 编号 ] 0 —8 2 2 0 ) 3 0 9 6 0 11 6 (0 2 0 — 4 50

【文献综述】热传导方程差分格式的收敛性和稳定性

【文献综述】热传导方程差分格式的收敛性和稳定性

文献综述信息与计算科学热传导方程差分格式的收敛性和稳定性在实际研究物理问题过程中, 往往能给出问题相应的数学表达式, 但是由于实际物理问题的复杂性, 它的解却一般不容易求出. 由此计算物理应运而生, 计算物理是以计算机为工具, 应用数学的方法解决物理问题的一门应用性学科, 是物理、数学和计算机三者结合的交叉性学科. 它产生于二战期间美国对核武器的研究, 伴随着计算机的发展而发展.计算物理的目的不仅仅是计算, 而是要通过计算来解释和发现新的物理规律. 这一点它与传统的实验物理和理论物理并无差别, 所不同的只是使用的工具和方法. 计算物理早已与实验物理和理论物理形成三足鼎立之势, 甚至有人提出它将成为现代物理大厦的“栋梁”.在一个物理问题中一个数值解往往比一个式子更直观, 更有价值. 在实际求解方程时, 除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外, 在一般情况下, 当方程或定解条件具有比较复杂的形式, 或求解区域具有比较复杂的形状时, 往往求不到, 或不易求到其精确解. 这就需要我们去寻找方程的近似解, 特别是数值近似解, 简称数值解. 这里主要研究的是热传导方程.有限差分法是微分方程和积分微分方程数值解的方法. 其基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替, 这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似, 积分用积分和来近似, 于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组, 即有限差分方程组, 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解. 然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解.热传导的差分法是求解热传导方程的重要方法之一. 对于差分格式的的求解, 我们首先要关注差分格式的收敛性和稳定性. 对于一个微分方程建立的各种差分格式, 为了有实用意义, 一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程, 即相容性要求. 一个差分格式是否有用, 就要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解, 即收敛性的概念. 此外, 还有一个重要的概念必须考虑, 即差分格式的稳定性. 因为差分格式的计算过程是逐层推进的, 在计算第n +1层的近似值时要用到第n 层的近似值 , 直到与初始值有关. 前面各层若有舍入误差, 必然影响到后面各层的值, 如果误差的影响越来越大, 以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖, 这种格式是不稳定的, 相反如果误差的传播是可以控制的, 就认为格式是稳定的. 只有在这种情形, 差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解. 由Lax 等价定理告诉我们, 对于各适定的线性的初值问题, 对相容性的差分逼近来说, 稳定性则是差分方程的解收敛于微分方程的解的充分必要条件. 收敛是差分方程的本质要求, 稳定是差分方程的基本特性, 对于计算的问题来说, 数值稳定性事差分格式必须要具备的条件, 一个不稳定的差分格式, 即使其他方面有很多的优点, 也是不能用来计算的. 可见由于收敛性和稳定性的重要性, 对于他们的研究是非常具有价值的.热传导方程: 2222222.u u u u a t x y z ⎛⎫∂∂∂∂=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 一维热传导方程的初边值问题:22200120(0,0),()(0),(),()(0).t x x l u u a x l t t x u x x l u t u t t ϕμμ===⎧∂∂==<<>⎪∂∂⎪⎪ =<<⎨⎪⎪⎪ = =>⎩用, , 及分别表示初边值问题的解及其偏导数及n j u n j u t ∂⎛⎫ ⎪∂⎝⎭22nj u x ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭(,)u x t (,)u x t t ∂∂在点之值, 表示求解区域内网格节点. 当初边值问题的解在22(,)u x t x ∂∂(,)j n x t (,)j n x t 区域内部适当光滑时, 对任一区域内部的节点利用泰勒展开公式, 然后化简得(,)j n x t 到显示差分格式:1112200220,()()(1,,1),(),()(0,1,2,).n n nn n j j j j j j n n J U U U U U a t x U j x j J U n t U n t n ϕμμ++-⎧--+-=⎪∆∆⎪⎪=∆=⋅⋅⋅-⎨⎪⎪⎪=∆=∆=⋅⋅⋅⎩这里由于差分方程的解与原初边值问题的解一般是不同的, 故用不同的记号表示.U u 明显的用上式近似热传导方程的初边值问题, 所忽略掉的项, 即截断误差是. 记 2()(())O t O x ∆+∆22()t a x λ∆=∆ 其隐式格式: 111110012(12),()(1,,1),(),()(0,1,2,).n n n n j j j j j n n J U U U U U j x j J U n t U n t n λλλϕμμ+++-+⎧-++-=⎪⎪=∆=⋅⋅⋅-⎨⎪=∆=∆=⋅⋅⋅⎪⎩ 其中. 22()t a x λ∆=∆参考文献[1] 谷超豪, 李大潜, 陈恕行等. 数学物理方程[M ]. 北京: 高等教育出版社, 2002.[2] 刘盾. 实用数学物理方程[M ]. 重庆: 重庆大学出版社, 1996.[3] 张锁春. 抛物型方程定解问题的有限差分数值计算[M ]. 北京: 科学出版社, 2010.[4] (美)哈伯曼. 实用偏微分方程[M ]. 北京: 机械工业出版社, 2007.[5] 陆金甫, 关治. 偏微分方程数值解法[M ]. 北京: 清华大学出版社, 2003.[6] K. W. Morton, D. F. Mayers. 偏微分方程数值解[M ]. 北京: 人民邮电出版社, 2006.[7] 戴嘉尊, 邱建贤. 微分方程数值解法[M ]. 南京: 东南大学出版社, 2002.[8] 徐琛梅. 一类非线性偏微分方程差分格式的稳定性分析[J ]. 江西科学, 2008,27(3) :227~230.[9] 张天德, 张希华, 王玮. 偏微分方程差分格式的构造[J]. 山东工业大学学报, 1997,26(2) :245~246.[10] P. Darania and A. Ebadian. A method for the numerical solution of integrodifferentialequations [J]. Applied Mathematics and Computation , 2007, 188(1): 657~668.[11] Yang Zhang. A finite difference method for fractional partial differential equation [J].Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, 215(2):524~529.。

热传导方程三层并行差分格式初始条件的计算

热传导方程三层并行差分格式初始条件的计算

1001-246X ( 2011 )04-0488-05热传导方程三层并行差分格式初始条件的计算左风丽1崔霞2袁光伟2(1.北京应用物理与计算数学研究所高性能计算中心,北京100088;2.北京应用物理与计算数学研究所计算物理重点实验室,北京100088)摘要:给出二维热传导问题的三层差分格式初始条件的一种显式计算方法,对于由此形成的内边界预估校正三层并行差分算法,证明稳定性和收敛性定理.并行数值试验表明,方法稳定,且与通常采用隐式格式计算初始条件的方法相比,易于程序实现;与已有的扰动算法相比,能大幅度减小误差.三层差分格式;初始条件;稳定显式计算方法 O241.82;O246A2010-08-122011-02-18国防基础科研项目( B1520110011)、中国工程物理研究院科学技术基金(2010A0202010)、计算物理实验室基金、国家自然科学基金(60973151,61033009)、863课题(2009AA01A134,2010AA012303)及973 课题(2011CB309702)资助项目左风丽(1971 -),女,河南,副研究员,硕士,主要从事大规模科学与工程并行计算研究.第4期490@@[ 1 ] Thomas J W. Numerical partial differential equations finite difference methods [ M]. Springer-Verlag, 1997.@@[2] Richtmyer R D,Morton K W.初值问题的差分方法[M].袁国兴,杜明笙,王汉强,译.广州:中山大学出版社,1992.@@[3]李德元,陈光南.抛物型方程差分方法引论[M].北京:科学出版社,1995.@@[4]陆金甫,关治.偏微分方程数值解法[M].第二版.北京:清华大学出版社,2004.@@[ 5 ] Yuan G W, Zuo F L. Parallel difference schemes for heat conduction equation [ J ]. International Journal of Computer Mathematics, 2003, 80 ( 8 ) : 995 - 999.@@[ 6 ] Günter S, Lackner K. A mixed implicit-explicit finite difference scheme for heat transport in magnetized plasmas [ J ]. Journal of Computational Physics, 2009, 228 : 282 - 293.@@[ 7 ] Yuan G W, Hang X D, Sheng Z Q. Parallel difference schemes with interface extrapolation terms for quasi-linear parabolic systems [J]. Science in China Series A: Mathematics, 2007, 50(2) : 253 -275.@@[ 8 ] Sheng Z Q, Yuan G W, Hang X D. Unconditional stability of parallel difference schemes with second order accuracy for parabolic equation [ J ]. Applied Mathematics and Computation, 2007, 184 : 1015 - 1031.@@[ 9 ] Yuan G W, Sheng Z Q, Hang X D. The unconditional stability of parallel difference schemes with second order convergence for nonlinear parabolic svstem [ J ]. Journal of Partial Differential Equations, 2007, 20 ( 1 ) : 1 - 20.@@[10]许士良.计算机常用算法[M].第二版.北京:清华大学出版社,1995.Initialization Method in Three-layer Parallel Difference  Scheme for Heat EquationZUO FengliCUI Xia YUAN Guangwei。

常系数扩散方程三层十五点差分格式的稳定性

常系数扩散方程三层十五点差分格式的稳定性

第28卷㊀第5期2023年10月㊀哈尔滨理工大学学报JOURNAL OF HARBIN UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY㊀Vol.28No.5Oct.2023㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀常系数扩散方程三层十五点差分格式的稳定性刘㊀莹,㊀毕㊀卉(哈尔滨理工大学理学院,哈尔滨150080)摘㊀要:基于向后差分格式和Crank-Nicolson 格式对二维扩散方程提出一种三层十五点隐式差分格式㊂采用泰勒展开求出截断误差,证明了该格式的相容性,接着用傅里叶变换和Von Neumann 条件证明了该格式的无条件稳定性㊂由于三层差分格式需要两层启动条件,在数值实验中,利用二维Saulᶄev 差分格式作为三层十五点隐式差分格式的启动格式㊂数值试验表明Saulᶄev 格式与三层十五点差分格式相结合误差小,精度高,并且网比的变化对误差的影响不大㊂关键词:三层十五点差分格式;二维扩散方程;稳定性;误差估计;Saulᶄev 格式DOI :10.15938/j.jhust.2023.05.018中图分类号:O241.3文献标志码:A文章编号:1007-2683(2023)05-0143-07Stability of Three-level Fifteen-point Difference Scheme for Diffusion Equations with Constant CoefficientsLIU Ying,㊀BI Hui(School of Sciences,Harbin University of Science and Technology,Harbin 150080,China)Abstract :Based on backward difference and Crank-Nicolson scheme,a three-level fifteen-point implicit difference scheme for two-dimensional diffusion equation is proposed.The truncation error is obtained by Taylor expansion,and the compatibility of the scheme is proved,then the unconditional stability of the scheme is proved by Fourier transform and Von Neumann condition.Since the three-level difference scheme needs two-level starting conditions,two-dimensional Saulᶄev difference scheme is used as the starting scheme of three-level fifteen-point implicit difference scheme in numerical experiments.Numerical experiments show that the combination of Saulᶄev scheme and three-level fifteen-point difference scheme has small error and high accuracy,and the change of network ratio has littleeffect on the error.Keywords :three-level fifteen-point difference scheme;two-dimensional diffusion equation;stability;error estimation;Saulᶄev scheme㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀收稿日期:2022-05-22基金项目:黑龙江省自然科学基金联合引导项目(LH2020A015).作者简介:刘㊀莹(1996 ),女,硕士研究生.通信作者:毕㊀卉(1982 ),女,博士,教授,博士研究生导师,E-mail:bihui@.0㊀引㊀言扩散方程是一类反映液体渗透㊁气体扩散㊁半导体材料杂质扩散等现象的数学模型,在化学㊁生物㊁物理等领域都有着非常多的应用㊂因此,扩散方程数值解法的研究具有重要科学价值㊂由于有限差分方法(finite difference method,简称FDM)简单灵活且具有很强的通用性,该方法成为一种求解扩散方程数值解的热门方法[1-9],越来越多的数值解法[10-11]也被广泛关注㊂基本的差分格式大多是一层和二层的,由于多层差分格式一般具有较高的精确度,本文旨在研究三层差分格式[12-17]㊂Zhan 等[18]用待定系数法构造了求解一维热传导方程的三层隐式格式,并研究了该方法的截断误差和稳定性条件㊂Amina 等[19]针对扩散方程提出了一种三层九点隐式差分格式,并证明该差分格式与扩散方程相容,二阶收敛且无条件稳定㊂本文基于三层九点差分格式提出一种三层十五点差分格式,并证明该差分格式与二维常系数扩散方程相容且无条件稳定㊂论文第1节给出了二维扩散方程的三层十五点差分格式;第2节计算了格式的截断误差并判断了相容性;第3节证明了差分格式的稳定性;第4节通过数值实验验证了理论结果;最后在第5节给出了结论㊂1㊀三层十五点差分格式二维常系数扩散方程[20]∂u∂t =a ∂2u ∂x 2+∂2u ∂y 2(),x ,y ɪR ,t >0(1)其中a 是一个正常数㊂初始条件为u (x ,y ,0)=g (x ,y ),x ,y ɪR首先,给出一个近似于微分方程(1)的三层十五点差分格式u n +1jk -u n -1jk 2τ-a 3h 2(δ2x u n +1jk +δ2x u n jk +δ2x u n -1jk +δ2y u n +1jk+δ2y u n jk +δ2y u n -1jk )=0(2)其中:τ为时间步长;h 为空间步长;x 和y 的步长相同,都为h ㊂δ2x u jk =u j +1,k -2u jk +u j -1,kδ2y u jk =u j ,k +1-2u jk +u j ,k -1{2㊀截断误差对式(2)中的各项进行泰勒展开,得到u n +1jk -u n -1jk2τ=∂u ∂t []n jk +13!∂3u ∂t 3[]n jk τ2+ (3)δ2xu n +1jk=∂2u ∂x 2[]n +1jk h 2+112∂4u∂x 4[]n +1jk h 4+ =∂2u ∂x 2[]n jk h 2+112∂4u ∂x 4[]njk h 4+∂∂t ∂2u∂x 2[]njk+[h 212∂4u ∂x 4[]njk ]τh 2+12!∂2∂t 2∂2u ∂x 2[]njk[+h 212∂4u∂x 4[]njk]τ2h 2+(4)δ2xu n jk=∂2u ∂x2[]n jkh 2+112∂4u∂x 4[]njkh 4+ (5)δ2xun -1jk=∂2u ∂x 2[]njk h 2+112∂4u ∂x 4[]njkh 4-∂∂t ∂2u ∂x 2[]n jk +[h 212∂4u ∂x 4[]n jk]τh 2+12!∂2∂t 2∂2u ∂x2[]njk+[h 212∂4u∂x 4[]njk]τ2h 2+ (6)δ2yun +1jk =∂2u ∂y 2[]n +1jkh 2+112∂4u ∂y 4[]n +1jkh 4+ =∂2u ∂y2[]njk h 2+112∂4u ∂y 4[]n jk h 4+∂∂t ∂2u∂y 2[]njk+[h 212∂4u ∂y 4[]njk]τh 2+12!∂2∂t 2∂2u ∂x 2[]njk[+h 212∂4u ∂x 4[]njk ]τ2h 2+(7)δ2y u n jk=∂2u ∂y2[]n jkh 2+112∂4u∂y 4[]njk h 4+ (8)δ2yu n -1jk=∂2u ∂y 2[]n jk h 2+112∂4u∂y 4[]njkh 4-∂∂t ∂2u ∂y 2[]n jk+[h 212∂4u∂y 4[]njk]τh 2+12!∂2∂t 2∂2u ∂x2[]njk+[h 212∂4u∂x 4[]njk]τ2h 2+ (9)把式(3)~式(9)代入差分格式(2),有u n +1jk -u n -1jk 2τ-a 3h2[δ2x u n +1jk +δ2x u n jk +δ2x u n -1jk+δ2yun +1jk +δ2yu n jk+δ2yun -1jk ]=∂u ∂t[][njk-a ∂2u ∂x 2[]njk-a ∂2u ∂y2[]njk]+13!∂3u∂t 3[]njk τ2-a 12∂4u ∂x 4[]njkh 2-a 12∂4u ∂y 4[]njkh 2-a 3∂2∂t 2∂2u ∂x 2[][n jk+∂2u ∂y 2[]njk+h 212∂4u ∂x 4[]njk+h 212∂4u ∂y 4[]n jk]τ2+假设方程(1)的解是光滑的,则有T (x ,y ,τ)=13!∂3u∂t 3[]n jk-a 3∂2∂t 2∂2u ∂x 2[][n jk+[∂2u ∂y 2[]n jk +h 212∂4u ∂x 4[]n jk+h 212∂4u ∂y 4[]n jk]]τ2-a 12∂4u ∂x 4[]njk+a 12∂4u ∂y 4[]njk[]h 2+因此差分格式(2)的截断误差具有二阶精度ο(τ2+h 2)㊂由τң0,h ң0得到T (x ,y ,τ)ң0,因此差分格式(2)与微分方程(1)相容㊂定理1 设u (x ,t )是定解问题的解,u n j 是差分格式的解,如果当时间步长τ和空间步长h 都趋于441哈㊀尔㊀滨㊀理㊀工㊀大㊀学㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀零时有e n j =u (x j ,t n )-u nj ң0那么差分格式是收敛的㊂3㊀稳定性把差分格式(2)写成方便计算的形式12(u n +1jk -u n -1jk )=13aλ(δ2x u n +1jk +δ2x u n jk +δ2x u n -1jk +δ2y u n +1jk +δ2y u n jk +δ2y u n -1jk )其中λ=τh 2,整理得到1-23aλδ2x -23aλδ2y ()u n +1jk =1+23aλδ2x +(23aλδ2y )u n -1jk +23aλ(δ2x +δ2y )u n jk (10)为了证明稳定性,给出了等价于式(10)的两层方程:1-23aλ(δ2x +δ2y )()u n +1jk=1+23aλ(δ2x+δ2y)()vn jk +23aλ(δ2x +δ2y )u n jk ㊀㊀㊀㊀㊀㊀v n +1jk=u njk üþýïïïïïï(11)将δ2x u jk ,δ2y u jk (此处省略上标)代入上述两层差分方程(11),得到u n +1jk-23aλ(δ2x u n +1jk +δ2y u n +1jk )=v njk +23aλ(δ2x v n jk +δ2y v n jk )+23aλ(δ2x u n jk +δ2y u njk )㊀㊀㊀㊀㊀㊀v n +1jk =u njk üþýïïïïïï如果取U njk=(u n jk,v n jk)T,其中U n jk是一个两行一列的矩阵,然后把上面的方程写成向量形式,得到D 1U n +1j +1k +D 2U n +1jk +D 1U n +1j -1k +D 1U n +1jk +1+D 1U n +1jk -1=D 3U n j +1k +D 4U n jk +D 3U n j -1k +D 3U n jk +1+D 3U n jk -1(12)其中D 1=-23aλ000éëêêêùûúúú㊀D 2=1+83aλ001éëêêêùûúúúD 3=23aλ23aλ00éëêêêùûúúú㊀D 4=-83aλ1-83aλ10éëêêêùûúúú如果U n jk =V n e(i (fjh +gkh )),其中V n 与U n 形式相同,都是两行一列矩阵,那么由式(12)有D 1Vn +1eih (f (j +1)+gk )+D 2Vn +1eih (fj +gk )+D 1V n +1e ih (f (j -1)+gk )+D 1V n +1e ih (fj +(k +1)g )+D 1V n +1e ih (fj +(k -1)g )=D 3V n e ih (f (j +1)+gk )+D 4V n e ih (fj +gk )+D 3V n e ih (f (j -1)+gk )+D 3V n e ih (fj +(k +1)g )+D 3V n e ih (fj +(k -1)g )(13)为了简化矩阵,令γf =e ihf +e -ihf ,γg =e ihg +e -ihg ,ω=cos(hf )+cos(hg )将式(13)消去公因式得到1-φ001éëêêùûúúV n +1=φ1+φ10éëêêùûúúV n 其中φ=23aλγf +23aλγg -83aλ㊂由于e ihf =cos(hf )+i sin(hf )e -ihf =cos(hf )-i sin(hf ){,于是有-43aλω+1+83aλ001éëêêêùûúúúV n +1=43aλω-83aλ43aλω+1-83aλ1éëêêêùûúúúV n 令α=43aλω-83aλ=43aλ(cos(hf )+cos(hg ))-83aλ显然αɤ0,得到1-α001éëêêùûúúV n +1=α1+α10éëêêùûúúV n 于是得到增长因子G (τ,k )=1-α001éëêêùûúú-1α1+α10éëêêùûúú=α1-α1+α1-α10éëêêêùûúúúG (τ,k )的特征值函数可以被写成μ2-α1-αμ-1+α1-α=0(14)为了得到格式的稳定性,需要如下引理㊂引理1[20]㊀实系数二次方程aμ2-bμ-c =0的根按模小于等于1的充要条件是:|b |ɤ1-c ɤ2㊂已知αɤ0,根据式(14),有b =α1-α,c =1+α1-α541第5期刘㊀莹等:常系数扩散方程三层十五点差分格式的稳定性并且|b |ɤ1-c =1-1+α1-α=-2α1-α且1-c =-2α1-αɤ2㊂由引理1,可以得到|μi |ɤ1(i =1,2),所以|G |ɤ1㊂这样就满足了Von Neumann 条件,因此差分格式(2)无条件稳定㊂定理2㊀(Von Neumann 条件)差分格式稳定的必要条件是当τɤτ0,nτɤT ,对所有k ɪR 有|λj (G (τ,k ))|ɤ1+Mτ,j =1,2, ,p ,其中λj (G (τ,k ))表示G (τ,k )的特征值,M 为常数㊂4㊀数值算例已知扩散方程∂u∂t=4-2(u xx +u yy )(x ,y )ɪG =(0,1)ˑ(0,1),t >0u (0,y ,t )=u (1,y ,t )=0,0ɤy ɤ1,t >0u (x ,0,t )=u (x ,1,t )=0,0ɤx ɤ1,t >0u (x ,y ,0)=sinπx sinπyüþýïïï(15)通过变量分离可以得到方程的解析解u =sinπx sinπy exp -π28t()(x ,y )ɪG =(0,1)ˑ(0,1),t >0㊂离散方程(15)的定义域:令x j =jh ,y k =kh (j ,k =0,1, ,J ),t n =nτ(n =1,2, ),其中τ为时间步长,网格比λ=τh 2,重新排列(2),得到u n +1jk-23aλu n +1j +1k +43aλu n +1jk -23aλu n +1j -1k -23aλu n +1jk +1+43aλu n +1jk -23aλu n +1jk -1=u n -1jk +23aλu n -1j +1k -43aλu n -1jk +23aλu n -1j -1k +23aλu n -1jk +1-43aλu n -1jk +23aλu n -1jk -1+23aλu n j +1k -43aλu n jk +23aλu n j -1k +23aλu n jk +1-43aλu n jk +23aλu n jk -1令j =1:J -1,k =1:J -1U n =[u n 11,u n 21, ,u n (J -1)1,u n 12,u n22, ,u n (J -1)2, ,u n 1(J -1),u n 2(J -1), ,u n (J -1)(J -1)]T 取J -1阶方阵A ii ,B ii ,C ii ,F 1,F 2,F 3如下:A ii =1+83aλ-23aλ-23aλ1+83aλ-23aλ⋱⋱⋱-23aλ1+83aλ-23aλ-23aλ1+83aλæèçççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷B ii =-83aλ23aλ23aλ-83aλ23aλ⋱⋱⋱23aλ-83aλ23aλ23aλ-83aλæèçççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷C ii =1-83aλ23aλ23aλ1-83aλ23aλ⋱⋱⋱23aλ1-83aλ23aλ23aλ1-83aλæèçççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷F 1=diag -23aλ, ,-23aλ{}F 2=diag 23aλ, ,23aλ{}F 3=diag 23aλ, ,23aλ{}记A =A 11F 1F 1A 22F 1⋱⋱⋱F 1A J -2,J -2F 1F 1A J -1,J -1æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷B =B 11F 2F 2B 22F 2⋱⋱⋱F 2B J -2,J -2F 2F 2B J -1,J -1æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷641哈㊀尔㊀滨㊀理㊀工㊀大㊀学㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀C =C 11F 3F 3C 22F 3⋱⋱⋱F 3C J -2,J -2F 3F 3C J -1,J -1æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷显然A ,B ,C 均为(J -1)2阶方阵㊂用A ,B ,C 作为系数矩阵,于是有AU n +1+M =BU n +CU n -1+Q其中M =m 1m 2︙m J -2m J -1æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷㊀㊀Q =q 1q 2︙q J -2q J -1æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷m 1=-23aλu n +10,1-23aλu n +11,0-23aλu n +12,0-23aλu n +13,0︙-23aλu n +1J -2,0-23aλu n +1J ,1-23aλu n +1J -1,0æèççççççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷q 1=23aλu n 01+u n 10()+23aλu n -101+u n -110()23aλu n 20+23aλu n -12023aλu n 30+23aλu n -130︙23aλu n J -2,0+23aλu n -1J -2,023aλu n J ,1+u n J -1,0()+23aλu n -1J ,1+u n -1J -1,0()æèççççççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷m 2=-23aλu n +10,200︙0-23aλu n +1J ,2æèççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷㊀q 2=23aλu n 0,2+23aλu n -10,200︙023aλu n J ,2+23aλu n -1J ,2æèççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷m 3=-23aλu n +10,300︙0-23aλu n +1J ,3æèççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷㊀q 3=23aλu n 0,3+23aλu n -10,300︙023aλu n J ,3+23aλu n -1J ,3æèççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷m 4=-23aλu n +10,400︙0-23aλu n +1J ,4æèççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷㊀q 4=23aλu n 0,4+23aλu n -10,400︙023aλu n J ,4+23aλu n -1J ,4æèççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷一直到m J -2和q J -2㊂m J -1=-23aλu n +10,J -1+u n +11,J ()-23aλu n +12,J-23aλu n +13,J ︙-23aλu n +1J -2,J -23aλu n +1J ,J -1+u n +1J -1,J()æèçççççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷q J -1=23aλ(u n 0,J -1+u n 1,J )+23aλ(u n -10,J -1+u n -11,J )23aλu n 2,J +23aλu n -12,J ︙23aλu n J -2,J +23aλu n -1J -2,J 23aλ(u n J ,J -1+u n J -1,J )+23aλ(u n -1J ,J -1+u n -1J -1,J )æèçççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷显然M =0,Q =0㊂这样有U n +1=A -1BU n +A -1CU n -1(16)对于三层格式,U 0是已知的初始条件,U 1未知,这里选择二维Saulᶄev 差分格式[21]计算U 1:u ɵn +1jk=aλ1+(θ1+θ2)aλθ1u n +1j +1,k +[θ2u n +1j ,k +1+(1-θ1)u n j +1,k +(1-θ2)u n j ,k +1+u nj -1,k +u n j ,k -1-(4-θ1-θ2-1aλ)u n j ,k](17)741第5期刘㊀莹等:常系数扩散方程三层十五点差分格式的稳定性uɵn +1jk=aλ1+(θ1+θ2)aλθ1u n +1j -1,k +[θ2u n +1j ,k -1+(1-θ1)u n j -1,k +(1-θ2)u n j ,k -1+u nj +1,k +u nj ,k +1-(4-θ1-θ2-1aλ)u nj ,k](18)可以把式(17)㊁(18)结合来提高精确度㊂例如,u ɵn +1jk 和u ɵn +1jk 同时满足式(15)给定的初边值条件,则第一层可以由它们的算数平均数U 1=12(u ɵ1+u ɵ1)给出㊂Saulᶄev 格式的截断误差为Oτh+τ+h 2()㊂这里取θ1=θ2=12来计算U 1的值,容易证明矩阵A可逆,于是回到式(16)可得到n =2,3, ,N 各时间层的数值解㊂接下来给出数值解在不同时刻的图像㊂图1和图2分别给出了当λ=1时在T =1以及T =5时刻对应的数值解㊂表1给出了在不同网比下不同时刻的数值解与真解㊂图1㊀λ=1,T =1时数值解Fig.1㊀Numerical solution when λ=1,T =1图2㊀λ=1,T =5时数值解Fig.2㊀Numerical solution when λ=1,T =5表1㊀三层十五点差分格式下T =1和T =5时不同网格比下的数值解和误差Tab.1㊀Numerical solution anderror under different gridratios when T =1and T =5in three-levelfifteen-point difference scheme T =1T =5λ数值解误差λ数值解误差0.20.0126030.0000150.29.1046ˑ10-55.12ˑ10-70.60.0126030.0000150.69.1046ˑ10-55.12ˑ10-710.0126030.00001519.1047ˑ10-55.13ˑ10-730.0126030.00001539.1053ˑ10-55.19ˑ10-750.0126030.00001559.1064ˑ10-55.3ˑ10-75㊀结㊀论本文讨论了常系数扩散方程三层十五点差分格式的稳定性和误差估计问题㊂然后用Saulᶄev 格式求出第一层,再结合三层十五点差分格式求出数值解㊂数值结果表明,Saulᶄev 格式与三层十五点差分格式相结合误差小,精度高㊂λ的变化对误差的影响不大㊂算法的全部处理表明本文所讨论的三层十五点差分方法是无条件稳定㊁可行的㊂参考文献:[1]㊀WANG Tingchun,GUO Boling.Analysis of Some FiniteDifference Schemes for Two-Dimensional Ginzburg-Lan-dau Equation [J].Numer Methods Partial Differential E-quations,2011,27(5):1340.[2]㊀孙志忠.偏微分方程数值解法[M].北京:科学出版社,2005.[3]㊀武莉莉.不可压磁流体力学方程组的高精度紧致有限差分方法[D].宁夏:宁夏大学,2021.[4]㊀余德浩,汤华中.微分方程数值解法[M].北京:科学出版社,2003.[5]㊀张鲁明,常谦顺.复Schrödinger 场和实Klein-Gordon场相互作用下一类方程组守恒差分格式的收敛性和稳定性[J].高等学校计算数学学报,2000(4):362.ZHANG Luming,CHANG Qianshun.Convergence and Stability of a Conservative finite Difference Scheme for aClass of Equation system in Interaction of Complex Schrödinger Field and 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二维热传导方程的差分格式

二维热传导方程的差分格式

二维热传导方程的差分格式
二维热传导方程是描述热量在二维平面内传导的方程。

在数值计算中,我们通常采用差分法来求解二维热传导方程。

差分法的基本思想是将求解区域划分为若干个小区域,然后在每个小区域内近似求解热传导方程。

具体来说,我们可以采用有限差分法来离散化热传导方程,将偏导数转化为有限差分近似值,然后再用迭代方法求解离散化后的方程组。

常用的差分格式有显式差分格式、隐式差分格式、Crank-Nicolson差分格式等。

其中,显式差分格式计算简单,但是需要满足一定的时间步长条件才能保证稳定性;隐式差分格式较为稳定,但是计算量较大;Crank-Nicolson差分格式结合了显式和隐式的优点,是一种较为稳定且计算量较小的差分格式。

在实际应用中,我们可以根据具体问题的性质选择合适的差分格式来求解二维热传
导方程。

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3
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n+1 Teh,ij − Teh,ij n+ 1 2
n 2 Teh,ij − Teh,ij
n+ 1
(2.4a)
n+1 Cve,ij
∆t
=
1 n+1 n n δy (ke δy (Teh − Teh ))ij , ρ
1 ≤ j ≤ N − 1. (2.4b)
Zd 8Gj/ (1.2) MnL"4<'n{<e
Cve 1 ∂Te = div (K (ρ, Te ) grad Te ) + ωei (Ti − Te ) + ωer (Tr − Te ), ∂t ρ 1 ∂Ti Cvi = div (K (ρ, Ti ) grad Ti ) − ωei (Ti − Te ), ∂t ρ 1 ∂Tr = div (K (ρ, Tr ) grad Tr ) − ωer (Tr − Te ), Cvr ∂t ρ (1.1) (1.2) (1.3)
S 27 L S 1 1 H 2004
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ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA
Vol. 27 No. 1 Jan., 2004
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(2.1) (2.2) (2.3)
=h
−2
n+1 n kα,i,j (Tαh,i,j 43;1 Tαh,ij )

n+1 n kα,i,j (Tαh,ij −1 2

n+1 Tαh,i,j −1 )
,
∇h ·
n+1 n (kα ∇h Tαh )ij
=
n+1 n δx (kα δx Tαh )ij
+
n+1 n δy (kα δy Tαh )ij .
n+1 Cvi,ij
∆t
=
1 n+1 n n δy (ki δy (Tih − Tih ))ij , ρ
1
cg)l 9Hk0iNoM#5=(o|= d 8Gj/ (1.3) MnL"4<'n{<e
n+1 Cvr,ij n 2 Trh,ij − Trh,ij n+ 1
J-Q
29
∆t 1 n+1 n n n n + δy (kr δy Trh )ij − ωer,ij (Trh − Teh )ij , ρ
Vd 8Gj/ (1.1) MnL"4<'n{<e
n+1 Cve,ij
1 1 n+ 1 n n n δx (ke δx Teh 2 )ij + δy (ke δy Teh )ij ∆t ρ ρ n+1 n+1 n n n n + ωei,ij (Tih − Teh )ij + ωer,ij (Trh − Teh )ij , 1 ≤ i ≤ N − 1, =
n%;
+4
0 < C∗ ≤ Cvα ≤ C ∗ , ∂K (ρ, Tα ) ≤ D∗ , ∂Tα 0 < K∗ ≤ K (ρ, Tα ) ≤ K ∗ , α = e, i, r. (1.6) (1.7)
7 C ∗ , C∗ , K ∗ , K∗ , D∗ MeP*L +4tYM<!j/M~LK@BEM 2 qt 1 n n n , xi = ih, yj = jh; ∆t = T mh= N L , t = n∆t, Wij = W (xi , yj , t ). : α e, i, r YM!.)~ : Tαh ? Tα M'nDQ (
n n n kα,i + 1 ,j = K (ρ, Tαh,i+1,j ) + K (ρ, Tαh,ij ) 2, n n n Kα,i + 1 ,j = K (ρ, Tα,i+1,j ) + K (ρ, Tα,ij ) 2,
2 2
?
(
n n kα,i,j , Kα,i,j +1 +1
2 2
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n+1 Cvi,ij n 2 Tih,ij − Tih,ij n+ 1
∆t 1 n+1 n n n n + δy (ki δy Tih )ij − ωei,ij (Tih − Teh )ij , ρ
n+1 2 Tih,ij − Tih,ij n+ 1
=
1 n+ 1 n δx (ki δx Tih 2 )ij ρ 1 ≤ i ≤ N − 1, 1 ≤ j ≤ N − 1. (2.5b) (2.5a)
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