第10章 电磁波的衍射与散射

∫
G ( r , r ′ ) ∇ ′ψ − ψ∇ ′G ( r , r ′ ) i en dS ′ = − ∫ ψ ( r ′ ) δ ( r − r ′ ) dV ′ ′ S V
根据δ函数的性质，得 函数的性质，
−ψ ( r ) , r 位于V内 ∫ S G ( r , r ′ ) ∇′ψ −ψ∇′G ( r , r ′ ) ien′ dS ′ = 0，r 位于V 外
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是惠更斯原理的数学表达式 积分式中的因子 e jkR ( 4π R ) 表示从表面S上的点 ′ 向体积V 表示从表面 上的点r 向体积 上的点 内的点r 传播的波， 内的点 传播的波，其波源强度由边界值确定 曲面S上的每一点可以看作次级波源， 区域V内的波可看作 曲面 上的每一点可以看作次级波源，区域 内的波可看作 上的每一点可以看作次级波源 曲面上所有次级波源所发出的波的叠加
亮区 入射线 过渡区
阴影区
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10.2.1 几何绕射理论
几何绕射理论是经典几何光学法的推广。 几何绕射理论是经典几何光学法的推广。 几何绕射理论认为：除了几何光学的入射线、 几何绕射理论认为：除了几何光学的入射线、反射线和透射 线外，还存在一种绕射线 绕射线。 线外，还存在一种绕射线。
关于绕射线的概述 产生于散射体表面几何形状或电特性不连续的地方 不仅可以进入几何光学亮区， 不仅可以进入几何光学亮区 ， 而且可以进入几何光学阴影 区 解决了几何光学在阴影区失效的问题， 解决了几何光学在阴影区失效的问题 ， 同时完善了亮区的 几何光学解 其初始幅度由绕射系数确定
电子科技大学 所以，区域V中任意点 处的场只是由S 上的次波源产生， 中任意点r处的场只是由 所以 ， 区域 中任意点 处的场只是由 0 上的次波源产生 ， 中的积分只需要在S 上进行， 式①中的积分只需要在 0上进行，即有 e jkR 1 R ′ψ ( r ′ ) + jk 1 + j ′ ) i en dS ′ ′ ψ (r ) = − ∫ Rψ (r ∇ S0 4π R kR 如果屏右边的观察点很远，即考虑远场衍射（夫琅和费衍射） 如果屏右边的观察点很远，即考虑远场衍射（夫琅和费衍射）， 上式可以简化为以下形式： 上式可以简化为以下形式： e − jkr ψ (r ) = − 4π r
( )
ρc e − jks sd ( ρc + sd )
d
Q1
Q2
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S
P
sd
尖顶绕射射线场 电磁波入射到圆锥顶点、 角锥顶点或平面扇形体的拐角点 电磁波入射到圆锥顶点 、 形成的顶点时， 会发生尖顶绕射。 形成的顶点时 ， 会发生尖顶绕射 。 投射到理想导体尖顶的入 射射线将激起无穷多条从尖顶向所有方向发射的绕射射线， 射射线将激起无穷多条从尖顶向所有方向发射的绕射射线 ， 尖顶绕射射线离开绕射点后服从几何光学定律。 尖顶绕射射线离开绕射点后服从几何光学定律 。 尖顶绕射场 可以表示为： 可以表示为： E i rQ i De − jksd E d ( rP ) ≈ e d s 其中， 为并矢尖顶绕射系数。 其中，De为并矢尖顶绕射系数。
ki S1 S0 en V S2
边界条件分析： 边界条件分析： 小孔孔面S 小孔孔面 0上 ψ , ∂ψ ∂n 与入射波相同 忽略边缘效应后，S1上 ψ , ∂ψ ∂n 处处为零 忽略边缘效应后，
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半球面S 半球面 2上的边条件可以由下述方法求得 设坐标原点在小孔中心处， 表示S 设坐标原点在小孔中心处，以r′表示 2上的一点，以r表示区 表示 上的一点， 表示区 域内距离小孔中心有限远处的任一点， 域内距离小孔中心有限远处的任一点，则在无限远处有 e jkr ′ ψ ( r ′ ) = f (θ ′ , ϕ ′ ) 与方向相关的函数 r′ ∂ψ ( r ′ ) 1 ′ = − en i∇ ′ψ ( r ′ ) = jk − ψ ( r ′ ) r′ ∂r ′ R 将上面两式代入式①，并且注意到 R → ∞时， ≈ e′ ,且 1 ≈ 1 ， 将上面两式代入式① n R R r′ 得在S 得在 2上有 1 R ′ψ ( r ′ ) + jk 1 − j ′ ) i e′ ≈ 0 Rψ (r ∇ kr ′
( )
ρc e − jks sd ( ρc + sd )
E
d
( rP ) ≈ E ( rQ )iT ( Q1 , Q2 )
i
为并矢传输函数，与入射点Q 和出射点Q 的位置、 式中 E i rQ 为并矢传输函数，与入射点 1和出射点 2的位置、 表面几何性质和电磁性质有关，如图。 表面几何性质和电磁性质有关，如图。
∇ 2G ( r , r ′ ) + k 2G ( r , r ′ ) = −δ ( r − r ′ )
用格林函数G替换 替换， 将格林公式中的 ϕ 用格林函数 替换 ， 并将积分变为对源点坐 标积分， 标积分，同时考虑格林函数的对称性 G ( r , r ′ ) = G ( r ′, r ) ，得
代入格林函数，即可得到基尔霍夫公式： 代入格林函数，即可得到基尔霍夫公式： e jkR 1 R ′ψ ( r ′ ) + jk 1 + j ′ ) i en dS ′ ① ′ ψ (r ) = − ∫ Rψ (r ∇ S 4π R kR
关于基尔霍夫公式的讨论 将区域内任一点r处的场用边界值表示 将区域内任一点 处的场用边界值表示
∫
S0
′ e − jk i r ′ en i∇ ′ψ ( r ′ ) + j k i enψ ( r ′ ) dS ′ ′
理想导体屏上的小孔衍射 设理导体屏上有一个小孔， 一个平行极化的平面波以θ 设理导体屏上有一个小孔 ， 一个平行极化的平面波以 1 为 入射角入射，如图。 入射角入射，如图。假设平面波为
电子科技大学 边缘绕射射线场 射线入射在物体的边缘时会发生边缘绕射。 射线入射在物体的边缘时会发生边缘绕射。 一条入射线将激励起无穷多条绕射线， 一条入射线将激励起无穷多条绕射线 ， 绕射线都位于一个 圆锥面上，称为凯勒圆锥 凯勒圆锥。 圆锥面上，称为凯勒圆锥。 凯勒圆锥
绕射线 绕射点
关于凯勒圆锥的概述
值。 ψ ( r ′ ) = ψ 0e − jk i r ′ , 其中ψ 0为原点处的ψ 值。
1
电子科技大学 可以得到空间屏右边远处任意点r处的场为 处的场为： 可以得到空间屏右边远处任意点 处的场为： je − jkr j k k ir′ ψ (r ) = − k ( cos θ1 + cos θ 2 ) ∫ ψ 0 e − ( 1 − 2 ) dS ′ S0 4π r 当平面波垂直入射时， 且设电场在y 当平面波垂直入射时， 令 θ1 = 0, θ 2 = θ , k2 = k ，且设电场在 方向， 方向，则可以得到上半空间任意点的电场 jke − jkr E=− ( 1 + cos θ ) ∫ S0 E y 0e − jk i r ′ dS ′ 4π r P y 屏
电子科技大学 几何绕射理论概念 几何绕射理论（ 几何绕射理论（OTD）由凯勒于 ）由凯勒于1951年在几何光学的基础上 年在几何光学的基础上 提出，其基本概念为： 提出，其基本概念为： 绕射场沿绕射射线传播，其轨迹遵循广义费马原理 遵循广义费马原理， 绕射场沿绕射射线传播 ， 其轨迹 遵循广义费马原理 ， 即射 线沿从源点到场点取极值（最短） 线沿从源点到场点取极值（最短）的路径传播 在高频极限情况下， 在高频极限情况下 ， 反射和绕射现象只取决于反射点和绕 射点邻域的电磁特性和几何特性，这就是局部性原理 射点邻域的电磁特性和几何特性，这就是局部性原理 离开绕射点后， 绕射线遵守几何光学定律， 离开绕射点后 ， 绕射线遵守几何光学定律 ， 即在绕射射线 管的能量守恒， 管的能量守恒，沿绕射线路径的相位延迟等于波数与距离之积 射线管：由射线组成， 射线管： 由射线组成，场线限制在 管内，能量在其中传播， 管内 ，能量在其中传播，任意截面上 通过的能量相同。 通过的能量相同。
入射线
尖劈
圆锥面顶点在绕射点 圆锥轴为绕射点所在边缘或边缘的切线 绕射线分布在圆锥面上
边缘
圆锥半顶角等于入射线与边缘或边缘切线的夹角
绕射场可以用入射场和绕射系数表示为： 绕射场可以用入射场和绕射系数表示为：
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d
E
d
( rP ) ≈ E ( rQ )iDe
i
其中， 为绕射点Q处的入射场 处的入射场， 为并矢边缘绕射系数， 其中，E i rQ 为绕射点 处的入射场，De为并矢边缘绕射系数， sd为绕射点 到场点 的距离， 为绕射点Q到场点 的距离， 到场点P的距离 为与场源和场点位置有关的 ρc 边缘绕射射线的焦散距离。 边缘绕射射线的焦散距离。 表面绕射射线场 电磁波掠入射到光滑曲面上时， 将产生表面绕射， 电磁波掠入射到光滑曲面上时 ， 将产生表面绕射 ， 表面绕 射场可表示为： 射场可表示为：
第10章 章
10.1.1 衍射问题
电磁波的衍射和散射
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10.1 电磁波的衍射
电磁波在传播过程中遇到障碍物或者透过小孔时， 电磁波在传播过程中遇到障碍物或者透过小孔时 ， 其传播 方向会发生改变，这种现象称为电磁波的衍射。 方向会发生改变，这种现象称为电磁波的衍射。 口面天线和缝隙天线的辐射属于衍射问题。 口面天线和缝隙天线的辐射属于衍射问题。 光学中分析光的衍射利用惠更斯原理。 光学中分析光的衍射利用惠更斯原理 。 电磁波衍射的研究 则利用基尔霍夫公式－惠更斯原理的数学公式。 则利用基尔霍夫公式－惠更斯原理的数学公式。
10.1.2 基尔霍夫公式
基尔霍夫公式是将封闭区域内的标量场用其边值来表示。 基尔霍夫公式是将封闭区域内的标量场用其边值来表示。设 无源封闭区域V，其边界为S， 无源封闭区域 ，其边界为 ，区域外的电流和磁流源在观察点 P(r)处产生的标量场为ψ，则标量场ψ满足亥姆霍兹方程 处产生的标量场为