矩量法在电磁散射问题中应用的发展
第10章 矩量法讲解
第十章 矩量法解析方法仅适用于结构简单的散射体。
如果散射目标结构复杂，必须选用数值方法。
数值方法是对所求解的微分方程或积分方程实施离散，采用一组基函数表示电场、磁场或感应电流等未知量，然后将电磁场微分方程或积分方程转换为一组线性代数方程，即可按照标准的数值程序求解这些线性方程组。
数值方法的优点在于容易处理结构复杂的散射体，而且通常可以获得高精度解。
随着高性能计算机的飞速发展，数值方法已经成为解决实际问题的日益重要的工具。
现今已有多种数值方法，各具特色，分别适用于求解不同的电磁问题。
典型的数值方法是矩量法（MoM ）、时域有限差分法（FDTD ）和有限元法（FEM ）等。
本章讨论矩量法，后两章将分别介绍时域有限差分法和有限元法。
矩量法是求解算子方程的有效方法，这些算子通常是微分算子、积分算子或者是两者的组合。
20世纪60年代， R. F. Harrington 首先将矩量法用于电磁问题的求解[1]。
目前已经广泛地用于天线分析、微波器件的设计以及复杂目标的雷达散射截面（RCS ）的计算。
通常认为矩量法是精度最高的数值方法，因此引起更多的关注。
如今很多商用软件的开发都基于矩量法。
但是，矩量法需要求解稠密的矩阵方程。
对于电大尺寸的散射体，它将十分消耗大量机时及内存。
为了解决这个问题，人们作了很多努力，研发快速计算和有效的存储方法。
因此发展了很多有关积分方程的快速求解算法，大力推动了矩量法的应用。
10-1一般步骤典型的算子方程可以表示为下列形式h Lf = （10-1-1）式中L 为线性算子，可以是微分、积分或两者组合，h 为一个已知函数，f 为待求的未知函数。
这些函数可以是矢量或标量，且定义域可为一维、二维或三维空间。
因此，在电磁学中它们可以是空间及时间函数。
矩量法的一般步骤是，首先将未知函数表示为一组基函数的线性组合，然后匹配算子方程，最后由离散的线性方程组求出展开系数。
下面详述矩量法的具体步骤。
首先令N f f f ,,,21 为一组基函数，那么，未知函数)(x f 可以近似表示为∑==+++≈Nn n n N N x f a x f a x f a x f a x f 12211)()()()()(（10-1-2）式中),,3,2,1(N n a n =为展开系数，它们是未知的。
插值与拟合技术在电磁场频域和谱域问题中的应用
东南大学
硕士学位论文
插值与拟合技术在电磁场频域和谱域问题中的应用
姓名：王彩芹
申请学位级别：硕士
专业：电磁场与微波技术
指导教师：周后型
20070101
东南大学硕士学位论文
分为三个步骤。
第一步，确定指数函数的项数肘值．
假设在Ｓｏｍｍｅｆｆｅｌｄ积分的被积函数厂（，）半周期的采样点个数ｍ，贝塞尔函数的近似半周期为ｑ＝ｎ＇Ｉｐ。
．当对（４．１０）式左端，（ｆ）进行均匀采样时，取采样步长为△丁＝ｑｌｍ，则有
Ⅳ
乃＝，（ｐ△丁）＝∑Ｒ矽，ｐ＝０，１，…，Ｎ一１（４．Ｉｓ）
ｌ－ｌ
式中极点毛＝Ｐ枷（ｆ＝１，２，－－－，Ｍ），复指数ｓ一般具有负的实部；Ⅳ为采样点总个数，其确定公式Ｎ＝ｍＫ，Ｋ为有限整数。
依采样值‘（ｐ＝ｏ，１，…，Ｎ－））定义两个矩阵ｆＹｌ】和【Ｘ】如下：
【Ｙ２】＝
【Ｙｌ】＝石Ｚ
Ｚ五
：：
（４．１９）
“．２０）
三称为罚参数，取值范围为耐≤三≤Ⅳ一Ｍ。
虽然￡＜Ⅳ，但是，Ⅳ个采样值在构造矩阵【ＹＩ】和【Ｙ２】时都会被用到。
将这两个矩阵按以下方式进行分解
ｆＹ２】＝瞄】陋儿Ｚｏ】ｆ五】（４．２１）
ｆＹ】＝［ＺＩ］ＩＲ］ＩＺ，】一’（４．２２）式中
【ＺＩ】＝１
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电磁场矩量法解金属圆柱导体散射
用于天线和电磁散射问题， 至今已有 50 年的发展历史。 矩量法是一种将连续方程离散化为代数方程组的方法。 其基本原理是：先选定基函数对未知函数进行近似展开， 带入算子方程，再选取适当的权函数，使在加权平均的 意义下方程的余量等于零，由此将连续的算子方程转换 为代数方程。剩下的问题就是利用计算机进行大量的数 字计算。原则上，矩量法可用于求解微分方程和积分方 程，但用于微分方程时所得到的的系数矩阵往往是病态 的，故在电磁场中主要用于求解积分方程。矩量法是一 种严格的数值方法，求解精度高，加之格林函数直接满 足辐射条件，无需设置吸收边界条件，因而可以灵活解 决边界比较复杂的一些问题，在电磁辐射和散射、天线 电流分布、天线设计、微波网络、生物电磁学、辐射效 应研究、微带线分析、电磁兼容等方面得到广泛应用。 下面本文就将对 TM 波入射无限长金属圆柱导体的雷达 散射截面采用矩量法做进一步的计算分析。 2 问题分析 矩量法把泛函方程转化为矩阵方程，然后通过矩 阵方程求解。一般表达式会是如下的泛函方程： （1）
矩量法在电磁散射中的应用介绍
矩量法在电磁散射中的应用一矩量法在电磁散射问题中的应用电磁散射问题是电磁学中的一个重要研究领域，研究电磁波的散射机理以及计算其散射场强的大小与散布，拥有十分重要的本质意义。
矩量法作为一种有效的数值计算方法在此中有着宽泛的应用。
但作为一种计算方法它也有着自己的缺点，为认识决这些问题，人们提出了各样方案，矩量法在这个过程中也获取了很大的发展。
MoM(Method of Moments) 本来是一种近似求解线性算子方程的方法，经过它能够将算子方程转变为一矩阵方程，从而经过求解此矩阵方程获取最后的近似解。
MoM 最早是由两位数学家L. V. Kantorovich和 V. I．Krylov 提出的，后出处K．K．Mei 引入计算电磁学，最后被R．F. Harryington 在其著作《计算电磁场中的矩量法》中加以系统描绘。
利用矩量法求解电磁问题的主要长处是：它严格地计算了各个子系统间的互耦，而算法自己又从根本上保证了偏差系统整体最小而不产生数值色散。
现在 MoM 被宽泛应用于计算电磁学中，固然它不可以办理电大尺寸目标的电磁问题，但鉴于 MoM 的各样加快方法仍遇到极大重视，如多层快速多极子方法 MLMFA 等。
电磁散射问题是电磁学中的一个重要研究领域，研究电磁波的散射机理以及计算其散射场强的大小与散布，拥有十分重要的本质意义。
在本质生活中，碰到的散射目标常常不单拥有复杂的几何形状，并且组成的资料也各不同样。
所以对复杂目标的电磁散射特征进行快速、高效的剖析，拥有重要的理论意义和适用价值。
电磁散射问题只有在相对简单的状况下才能够用严格的分析法来求解，比方对很少量形状规则的物体。
关于电大物体，能够用高频近似方法，比如几何光学法 (GO)、物理光学法 (PO)、几何绕射理论 (GTD)、物理绕射理论 (PTD)、一致性几何绕射理论 (UTD)、复射线法 (CT)等来求解散射场。
反之，关于电小物体，能够用准静态场来进行剖析。
小波分析在矩量法中的应用
２ 周期小波算法 为了说 明周期小波求解散射 问题， 我们列举一
Ｊ（） 一∑ 口 ） （ ｆ
采用点匹配方法， 得到矩阵方程 ：
（ ６ ）
［ 收稿 日期］２ ｌ 一１ 一１ Ｏｏ Ｏ ８ ［ 作者简介］钟读 贤（９ ４ ， ， １ ７ 一）女 合肥师范物理与电子工程系教 师， 硕士研究生 ， 研究方向 ： 电路与系统 。
量法 ， 了连续小波 矩量法研究 的热潮 。连续 小波 开创 矩量法 ， 把小波基作 为一种整域基 或较 大分域 的全 是 域基来 展开未知 的电流 或磁 流 ， 用 小 波 的局 部化 ， 利 正负对 消的特点生成维 数较低 的近对角 化阻抗 矩 阵 ， 求解 电磁散射或辐射 问题 。 但 问题也 随之 而来 。正交 小波 基是 在整 个实 轴 的正 交 系 ， 而所 有 电磁 散 射 问题 中流 的分 布 是 局 限 在有 限的空 间或 表 面 上 的 。解 决 此 问题 的方 法 ， 也 就归 结为 边界处 理 的手 段 ， 即怎 样把 时域 有 限 的函
警 ｌｚ ） ５（ａＩｉｒ — （ Ｈ。 ２ ｓｒｅ ）Ｉ 一 Ｊ ’ ｋ ｎＱ ） 必
血 ｃ（ ｏ０ ｓ （） ５
数延拓到整个实轴上。有效而常用 的方法 ， 是零延 拓和周期延拓 ， 它等效 的小波就是传统小波和周期
小波 。
其次 ， 将电流展开成有限周期小波求和形式 ：
该 方法产 生一个庞 大而病态的阻抗矩阵 ， 结果 大量 的计算机 资源 因此 而耗 费。其 次 ， 出周期 小波 的两种改进 算法 ， 中物 提 其 理光 学预 处理 算法改善 了阻抗矩阵的病态性 ， 降低 了矩 阵维数 ， 高 了计算速度 。 提 ［ 关键词］矩量法 ； 小波矩量 法； 电磁散 射 ［ 中图分类号］Ｔ ２ Ｎ８ ０ １ 引 言 ［ 文献标识码］Ａ ［ 文章编号］１ ７—２ ３ ２ １ ） ３０ ３ —３ ６４２ ７ （０ １０ —０ ２０
分层粗糙面电磁散射的矩量法研究
（ Ｄｏ ｎ ｇ ｇ ｕ ａ ｎ Ｐ ｏ ｌ ｙ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｔｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｐ ｅ ｒ ｉ ｔ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｍａ ｇ ｎ ｅ ｔ ｉ ｃ ｓ ｃ ａ ｔ ｔ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ｆ ｒ ｏ ｍ ｔ ｗｏ — ｌ ａ ｙ ｅ ｒ ｅ ｄ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ｓ ｕ ｒ ｆ ａ ｃ ｅ ｈ ａ ｖ ｅ ｂ ｅ ｅ ｎ ｉ ｎ ｖ ｅ ｓ ｔ ｉ ｇ ａ ｔ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｈｒ ｔ ｏ ｕ ｇ ｈ ｔ ｈ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏ ｆ ｍ（ ） ｍｅ ｎ ｔ （ Ｍ｛ ） Ｍ） ｌ ’ ｈ ｅ ｉ ｎ ｔ ｃ ｇ ｎ ＇ ａ ｌ
Ｉ 一 发 …………………………一
分 层 粗 糙 面 电 磁 散 Ｊ ｂ ， Ｊ － 矩 量 法 研 究
东莞职业技术学 院电子工程 系 柴 草
【 摘要 】本文 主要采用矩量法（ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏ ｆ ｍ ｏ ｍ ｅ ｎ ｔ ＭＯ Ｍ ） 研 究了分层粗糙面 的电磁散射特性，首先给出 了该散 射问题 的积分方程和矩 阵方程 ，然后通过与 时域有 限差
ｅ ｑ ｕａ ｔ ｉ ｏｎｓ ａ ｎ ｄ ｈｅ ｔ ｍａ ｍｘ ｅ ｑｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｆ ｏ ｒ ｓ ｏｌ ｖ ｉ ｎｇ ｈｉ ｔ ｓ ｓ ｃ ａ ｔ ｔ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ｐｒ ｏｂ ｌ ｅ ｍ ｈａ ｖｅ ｂ ｅ ｅ ｎ ｐ ｒ ｏ ｖ ｉ ｄ ｅ ｄ ｉ ｆ ｒ ｓ ｔ ｌ ｙ Ｔｈ ｅ ｖ ａ ｌ ｉ ｄｉ ｔ ｙ ｏｆ ｈｉ ｔ ｓ ａ ｐｐｒ ｏａ ｃ ｈ ｈａ ｓ ｂｅ ｅ ｎ ｓ ｈｏ ｗｎ ｂｙ ｃ ｏ ｍｐａ ｒ ｉ ｎ ｇ ｈｅ ｔ ｎ ｕｍｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｒ ｅ ｓ ｕｌ ｔ ｓ ｔ Ｏ
CG-FFT在电磁散射中的应用及雷达成像技术
CG-FFT在电磁散射中的应用及雷达成像技术目标电磁散射特性的研究一直备受关注。
一方面电磁学的本身发展需要更好地解决此类问题;另一方面,各种新技术的发展,客观上也需要对各类复杂构型、大尺度的散射问题进行求解。
随着计算机的蓬勃发展,原先用解析方法无法求解的电磁散射问题,可以用数值模拟的方法加以解决。
自R.F.Harrington于1968年提出矩量法(MOM)以来,各种数值方法也陆续发展起来,帮助人们更快速、更准确地求解大规模的电磁问题。
共轭梯度快速傅利叶变换(CG-FFT)算法是二十世纪八十年代发展起来的一种求解大型的线性方程组快速迭代算法。
本文介绍了CG法基本原理并详细分析了其收敛性,推导出收敛速度公式。
同时,关于FFT算法原理以及在求解Toeplitz矩阵向量积中的应用文中也有涉及。
然后,CG-FFT算法依次计算了线天线的辐射场、平面波垂直入射的导带散射场以及金属方板在偶极子天线辐射下的散射场。
在求解过程中所建立起来的积分方程均以等效电流为未知量。
该方法所得数值结果与精确值对比,均吻合较好,因此验证了CG-FFT算法的计算精度;另一方面,还给出归一化迭代误差的收敛曲线,证明CG-FFT算法具有较好的收敛性。
在求解大尺寸、复杂构造目标的电磁散射问题时,CG-FFT算法计算量较小,所需计算机内存较少,是一种比较有效的方法。
雷达成像是本文的又一研究内容,主要包括一维和二维成像两部分内容。
利用距离-多普勒(R-D)算法对雷达目标RCS仿真数据进行成像处理,可以使工程设计人员实时地、直观地观察并分析目标的散射规律。
通过球和导弹模型的
仿真结果验证了R-D算法的有效性。
二维介质目标电磁散射特性的矩量法分析
结合（ ３ ） 、 （ ４ ）式 ， 并将 ｔ ， 和 做 相应 的替换 ， 可 得
电场积分方程 ， 代入（ Ｉ ） 式得到
Ｅ ＝ （ ｐ ） （ ｌ Ｐ—Ｐ １ ） （ ５ ）
二维 情况 下 ， ｒ 的定 义 为 ： ｏ
１ ． １ 推 导 二维介 质 目标 的 电场 积分 方程
矩量 法 是一 种求 解散 射 体 上感 应 电 流 的方
法， 将待求的微积分方程转化为包含算符的算子方
程， 用 选定 的权 函数 对 算 子 方 程 求矩 量 ， 得 到 矩 阵
方 程后 ， 求解 方 程得 到 电磁场． 对 于非 齐次 方程
Ｌ （ ＝ｇ （ ７ ）
２ 数 值计 算与 结果
关 键 词： 介 质 目标 ； Ｒ Ｃ Ｓ ； 矩 量 法
中图分类号 ： Ｏ ４ ４ １ ． ４
文献标识码 ： Ａ
文章 编号 ： １ ６ ７ ３—１ ６ ７ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２— ０ ０ ３ ０— ０ ３
０ 引言
时， 将 在柱 体截 面上 产生极 化 电流 ． ， ， ． ， 产 生散 射场
—
于是 ， 将 ，写 成 ｆ＝ ［ ］ ［ ａ ］＝ ［ ］ ［ ］ ［ ｇ ］ ，
Ｅ Ｉ
・∞
和Ｗ 的确 定将 决定 ， 的值 是精 确值 还是 近似 值．
其 中伽 略金法 是 矩 量 法 中 的 一 种 特 殊 情 况 ， 此 时
Ｗ ＝ ．
１ ． ２ 矩 量 法 原 理
波 暗室 或实 际场 地． 实 际 目标 （ 如飞 机 、 导弹等） 具
Ｅ ＝Ｌ （ － ， ）
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矩量法在电磁散射问题中应用的发展
摘要：
电磁散射问题是电磁学中的一个重要研究领域，研究电磁波的散射机理以及计算其散射场强的大小与分布，具有十分重要的实际意义。
矩量法作为一种有效的数值计算方法在其中有着广泛的应用。
但作为一种计算方法它也有着自己的缺陷，为了解决这些问题，人们提出了各种方案，矩量法在这个过程中也获得了很大的发展。
关键词：电磁散射，矩量法（MoM）
MoM(Method of Moments)原本是一种近似求解线性算子方程的方法，通过它可以将算子方程转化为一矩阵方程，进而通过求解此矩阵方程得到最终的近似解。
MoM最早是由两位数学家L. V. Kantorovich和V. I．Krylov提出的，后来由K．K．Mei引入计算电磁学，最终被R．F. Harryington在其著作《计算电磁场中的矩量法》中加以系统描述。
利用矩量法求解电磁问题的主要优点是：它严格地计算了各个子系统间的互耦，而算法本身又从根本上保证了误差系统总体最小而不产生数值色散。
如今MoM被广泛应用于计算电磁学中，虽然它不能处理电大尺寸目标的电磁问题，但基于MoM的各种加速方法仍受到极大重视，如多层快速多极子方法MLMFA等。
[1]
电磁散射问题是电磁学中的一个重要研究领域，研究电磁波的散射机理以及计算其散射场强的大小与分布，具有十分重要的实际意义。
在实际生活中，遇到的散射目标往往不仅具有复杂的几何形状，而且构成的材料也各不相同。
因此对复杂目标的电磁散射特性进行快速、高效的分析，具有重要的理论意义和实用价值。
电磁散射问题只有在相对简单的情况下才可以用严格的解析法来求解，比如对极少数形状规则的物体。
对于电大物体，可以用高频近似方法，例如几何光学法(GO)、物理光学法(PO)、几何绕射理论(GTD)、物理绕射理论(PTD)、一致性几何绕射理论(UTD)、复射线法(CT)等来求解散射场。
反之，对于电小物体，可以用准静态场来进行分析。
介乎这两者之间的物体，一般采用数值方法。
目前分析电磁散射问题的数值方法主要有微分方程法和积分方程法。
微分方程法有有限差分法(FDM)、时域有限差分法(FDTD)、频域有限差分法(FDFD)、时域平面波法(PWTD)、时域多分辨分析法(MRTD)、有限元法(FEM)、传输线矩阵法(TLM)等，积分方程法有表面积分方程法(SIEM)、矩量法(MOM)、边界元法(BEM)、体积分方程法(VIEM)、快速多极子法(FMM)、时域积分方程法(IETD)等。
这些方法各有优缺点，有的是为了避免矩阵求逆，有的是为了加快收敛，有的是为了提高精度，还有的是为了减少贮存等。
它们被广泛应用于求解复杂的工程电磁场问题中。
应用微分方程法求解电磁散射问题时，由于散射体的外空间为无限大，需要人为设置截断边界使求解区域有限，这种截断边界的引入会导致非物理的反射现象。
矩量法是一种将连续方程离散化成代数方程组的方法，经常被看作数值“精确解”。
它既适用于电磁场积分方程又适用于微分方程，由于已经有有效的数值
计算方法求解微分方程，所以目前矩量法大都用来求解积分方程。
由于此方法能解决边界比较复杂的一些问题，因而得到了广泛的应用。
如2008年，李西敏等人对传统低阶矩量法(MoM)几何建模复杂、计算量大等缺点，采用高阶矩量法和双线性表面技术对介质体电磁散射问题进行了研究[2]。
2009年，麻军就矩量法及其并行计算方法在粗糙面以及复杂目标的电磁散射中的应用开展了系统的理论研究工作，利用矩量法及其并行计算方法研究了一维、二维粗糙面，三维复杂目标电磁散射特性以及一维粗糙面与二维目标的复合电磁散射特性[3]。
2010年，耿方志等人对三维复杂电大尺寸金属目标，在传统MoM—PO混合法的基础上，引入基于射线密度归一化(RDN)概念的射线弹跳法(SBR)，计算电大PO区域内部的多次反射影响，从而得到一种新的MoM．SBR／PO混合方法，该方法区别于大部分改进的MoM—P0混合法对P0区域内多次反射贡献的处理，避免了迭代物理光学法涉及的多次矩阵相乘问题[4]。
需要注意的是，虽然矩量法中求解阻抗矩阵的表达式较为简单，但其计算工作量很大，对于以积分方程为基础的离散方程，其系数矩阵通常为满矩阵，所有元素都需大量的数值计算。
尤其随着目标电尺寸的增大，矩量法得到的系数矩阵将迅速增大，这将给计算机内存和CPU带来沉重的负担。
为了克服这些困难，人们对传统矩量法进行了一些改进，提出了一些快速、有效的方法，如(1)快速多极子方法(FMM)和多层快速多极子方法(MLFMM)，(2)阻抗矩阵局部化(IML)方法和压缩或稀疏化阻抗矩阵的小波分解法，(3)基于快速Fourier变换的CG—FFT法、稀疏矩阵规则网格(SMCG)法和自适应积分法(AIM)，来降低计算机内存和计算量的需求。
在这些快速分析方法中，需要的计算量和内存分别降为D(NlogW)和0(N)，N为未知变量数。
但是，这些改进的方法仍然受传统矩量法离散尺寸的限制。
采用整域基函数代替分域基函数可以降低矩量法系数矩阵的维数。
然而，在绝大多数情况下，难以找到合适的整域基函数。
为此，近年来，人们又相继开展了一些基于部分域(子域或块)概念来降低矩阵维数的研究，如多层矩量法(MMM)、子域多层法(SMA)、合成基函数(SBF)法等。
这些方法通过对问题的部分域进行分析来构造宏基函数，宏基函数的域比传统矩量法的大，因此可以降低未知变量数。
这几种方法是通过迭代的方式递归地修正互耦项来改进解的收敛性。
特征基函数法(CBFM)是近两年提出来的一种新的求解电磁散射问题的有效方法。
[5]
可以看出，矩量法自提出以来在电磁散射问题中取得了广泛的应用。
虽然它在实际应用中受到计算量的限制，但是为了克服这些问题人们做了许多工作，它依然是非常实用的一种方法。
参考文献：
[1] 李茁. 复杂电磁问题的算法研究与软件实现[D]. 南京：东南大学，2009：21-22.
[2] 李西敏，童创明，付树洪. 介质体电磁散射的矩量法快速求解[J]. 系统工程与
电子技术，2008，30（3），470-471
[3] 麻军. 矩量法及其并行计算在粗糙面和目标电磁散射中的应用[D]. 西安：西
安电子科技大学，2009: 1-5
[4] 耿方志，彭世蕤，秦开兵，潘英锋，孙宏伟. 一种新的计算复杂目标电磁散
射的MoM-SBR/PO混合法[J]. 计算物理，2010，27（2），269-270
[5] 张奕. 特征基函数法及其在电磁散射中的应用[D]. 安徽：安徽大学，2005：
3-4。