电磁场中的矩量法
第10章 矩量法讲解
第十章 矩量法解析方法仅适用于结构简单的散射体。
如果散射目标结构复杂，必须选用数值方法。
数值方法是对所求解的微分方程或积分方程实施离散，采用一组基函数表示电场、磁场或感应电流等未知量，然后将电磁场微分方程或积分方程转换为一组线性代数方程，即可按照标准的数值程序求解这些线性方程组。
数值方法的优点在于容易处理结构复杂的散射体，而且通常可以获得高精度解。
随着高性能计算机的飞速发展，数值方法已经成为解决实际问题的日益重要的工具。
现今已有多种数值方法，各具特色，分别适用于求解不同的电磁问题。
典型的数值方法是矩量法（MoM ）、时域有限差分法（FDTD ）和有限元法（FEM ）等。
本章讨论矩量法，后两章将分别介绍时域有限差分法和有限元法。
矩量法是求解算子方程的有效方法，这些算子通常是微分算子、积分算子或者是两者的组合。
20世纪60年代， R. F. Harrington 首先将矩量法用于电磁问题的求解[1]。
目前已经广泛地用于天线分析、微波器件的设计以及复杂目标的雷达散射截面（RCS ）的计算。
通常认为矩量法是精度最高的数值方法，因此引起更多的关注。
如今很多商用软件的开发都基于矩量法。
但是，矩量法需要求解稠密的矩阵方程。
对于电大尺寸的散射体，它将十分消耗大量机时及内存。
为了解决这个问题，人们作了很多努力，研发快速计算和有效的存储方法。
因此发展了很多有关积分方程的快速求解算法，大力推动了矩量法的应用。
10-1一般步骤典型的算子方程可以表示为下列形式h Lf = （10-1-1）式中L 为线性算子，可以是微分、积分或两者组合，h 为一个已知函数，f 为待求的未知函数。
这些函数可以是矢量或标量，且定义域可为一维、二维或三维空间。
因此，在电磁学中它们可以是空间及时间函数。
矩量法的一般步骤是，首先将未知函数表示为一组基函数的线性组合，然后匹配算子方程，最后由离散的线性方程组求出展开系数。
下面详述矩量法的具体步骤。
首先令N f f f ,,,21 为一组基函数，那么，未知函数)(x f 可以近似表示为∑==+++≈Nn n n N N x f a x f a x f a x f a x f 12211)()()()()(（10-1-2）式中),,3,2,1(N n a n =为展开系数，它们是未知的。
矩量法 边界元法
矩量法边界元法
矩量法和边界元法是计算机科学和应用数学中常用的两种数值
分析方法。
矩量法主要用于求解电场、磁场、声场等场问题，而边界元法主要用于求解弹性力学、流体力学、电磁学、声学等领域的边界问题。
矩量法是一种直接求解场量的方法，将求解区域分为若干个小区域，利用每个小区域的场量和边界条件求解整个区域的场量。
边界元法则是一种间接求解场量的方法，将求解区域分为内部区域和边界，将内部区域看成连续介质，在边界上采取适当的边界条件，由此可以求解整个区域的场量。
矩量法和边界元法在数值计算方面都有优点和不足之处。
矩量法的优点是计算简单，适用于解决规则几何形状的问题，而边界元法则可解决任意形状的问题，但计算量较大。
矩量法在求解电磁问题时存在逼近误差，边界元法则在求解声学问题时需要考虑介质的耗散和衰减。
因此，在实际应用中需要根据具体问题的特点选择合适的数值方法。
- 1 -。
计算电磁场的矩量法
计算电磁场的矩量法
计算电磁场的矩量法是一种通过求取电场和磁场的矩来计算电磁场行为的方法。
在矩量法中，电磁场被描述为一个有限数量的电荷和电流分布的集合。
这些分布被称为电荷和电流矩。
电荷矩是电荷分布的一种表示方式，它描述了电荷随其位置的变化而变化的程度。
电荷矩可以通过对电荷密度函数乘以相应的位置幂次项进行积分得到。
例如，一阶电荷矩可以通过对电荷密度函数乘以位置的一阶幂次项进行积分得到。
磁场矩是磁场分布的一种表示方式，它描述了磁场随其位置的变化而变化的程度。
磁场矩可以通过对磁场密度函数乘以相应的位置幂次项进行积分得到。
通过计算电荷和电流矩，可以得到电场和磁场的矩。
这些矩可以进一步用于计算电磁场的行为，例如电磁场的势能和辐射模式等。
矩量法在计算电磁场行为时具有一定的优点，例如可以处理复杂的几何形状和电磁场分布。
然而，在实际应用中，由于计算电荷和电流矩需要对电荷和电流分布进行积分，因此计算量较大。
此外，对于高阶电荷和电流矩，其计算误差可能会增加。
因此，在实际应用中需要综合考虑计算精度和计算效率等因素。
计算电磁学-第八章-矩量法概述
16 16
对于一维问题，如图2所示，假定函数的定义域 为 0 χ 1 ，将定义域分成 M 个宽度相同的子区 间，每个子区间的宽度为 n (n 1, 2, , M )，其中
n 1/ M
17 17
则脉冲基函数为
1(当x位于xn内) Pn ( x) 0(当x不在xn内)
B an 是 M 1 阶矩阵， 矩阵K mn 是 M M 阶矩阵， 是 M M 阶矩阵。
mn
Bmn (Wm N n ) d
9 9
所以矩量法利用基函数和权函数将最初 的本征值问题（式（6.1-1））转换成了矩 阵的本征值问题（式（6.1-6））,通过求 解矩阵方程可到近似解。 [a ] 有非零解,其系 为使矩阵方程（6.1-6） Kmn ] －[ Bmn ] 的行列式必须为零，即 数矩阵 [ det(K mn Bmn ) 0 （6.1-7）
K mn Wm , LN n
(r rm )LN n d
LN n (r rm )
Bmn (Wm , N n ) N n (r rm )
20 20
•例2求表示在图5中的微带片状电容器的电容。
解 设地为电位参考点，加在微带片上的电压 为 U ，根据电容的定义，微带片的电容为:
解
将本征函数近似表示成
a an N n
n 1
11 11
M
选定基函数和权函分别为 n N n x(1 x )
Wm x(1 x m )
将选定的基函数和权函数代入式（6.1-6） 其中:[ K mn ][an ] [ Bmn ][an ]
K mn
2 d m n χ (1 χ ) χ (1 ) d χ 2 0 dχ mn m n 1 1
电磁场矩量法解金属圆柱导体散射
用于天线和电磁散射问题， 至今已有 50 年的发展历史。 矩量法是一种将连续方程离散化为代数方程组的方法。 其基本原理是：先选定基函数对未知函数进行近似展开， 带入算子方程，再选取适当的权函数，使在加权平均的 意义下方程的余量等于零，由此将连续的算子方程转换 为代数方程。剩下的问题就是利用计算机进行大量的数 字计算。原则上，矩量法可用于求解微分方程和积分方 程，但用于微分方程时所得到的的系数矩阵往往是病态 的，故在电磁场中主要用于求解积分方程。矩量法是一 种严格的数值方法，求解精度高，加之格林函数直接满 足辐射条件，无需设置吸收边界条件，因而可以灵活解 决边界比较复杂的一些问题，在电磁辐射和散射、天线 电流分布、天线设计、微波网络、生物电磁学、辐射效 应研究、微带线分析、电磁兼容等方面得到广泛应用。 下面本文就将对 TM 波入射无限长金属圆柱导体的雷达 散射截面采用矩量法做进一步的计算分析。 2 问题分析 矩量法把泛函方程转化为矩阵方程，然后通过矩 阵方程求解。一般表达式会是如下的泛函方程： （1）
计算电磁学6-矩量法
∫ ∫ ∂F = ∂R2 dV = 2R ∂R dV =0
∂u j V ∂u j
V ∂u j
( j = 1, 2,", n)
从上式可以看出，我们取权函数 这样得到于MOM法一样的表达式。
Wj
= 2 ∂R ∂u j
，
还有其它权函数选择方法，如将场域剖分成多个子域， 定义子域内的权函数为1，构成子域匹配法。
cem@
一维静电场分布
基函数为全域基
因为解为幂级数形式，基函数含有幂级数
Ni = x − xi+1 (i = 1, 2,", n)
给出的基函数满足给定的边界条件。
n
∑ ϕ ( x ) = ( x − x i+1 )ϕ i i =1
等间距的匹配点，权函数为狄拉克 δ 函数
第6章 矩量法
计算电磁学－矩量法 电子科技大学物理电子学院 赖生建
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主要内容
一． 矩量法思想 二． 加权余量法原理 三． MOM中基函数、权函数 四． 静场问题的MOM法 五． 细导线问题的MOM法
cem@
概述
矩量法（Method of Moment，MOM）在天 线、微波技术和电磁散射等方面广泛应用的一 种方法，这些实际工程问题涉及开域、激励场 源分布形态较为复杂。
分域基的数值稳定性较高，全域基的收效性较好。若选 择的基函数和实际解答愈接近，收敛愈快。
cem@
权函数的选取
由加权余量表达式 R(u) = Lu − g，不同的权函数选择，
将决定算子方程的余量 ∫vWj (Lu−g)dV =0 在不用意义下
取零，可得到不同计算模式的矩量法。
n
∑ ∫ ∫ ( ) ui
全波矩量法
全波矩量法全波矩量法是计算电磁场分布的一种数值方法，广泛应用于电磁学领域。
它基于麦克斯韦方程组和定理，通过离散化电磁场的域区域，将其分解为有限数量的单元，利用矩量法求解电磁场的分布。
全波矩量法的基本原理是将电磁场划分为较小的单元，通过求解每个单元内的电磁场分布，然后组合这些单元的解来得到整个问题的解。
全波矩量法可以更精确地描述电磁场的细节，并且适用于各种复杂的电磁场问题。
全波矩量法的求解过程中，首先需要将电磁场的域区域离散化为有限数量的单元。
然后，根据麦克斯韦方程组和边界条件，建立矩量方程。
通过求解矩量方程，可以得到每个单元内的电磁场分布。
最后，将各个单元的解组合起来，得到整个问题的解。
相比其他数值方法，全波矩量法具有一些明显的优势。
首先，它可以准确地模拟复杂的电磁场问题，包括微波、光波等。
其次，全波矩量法适用于各种不同的材料和结构，具有较好的通用性。
此外，全波矩量法能够考虑到电磁场中的散射和辐射现象，对于电磁场的全面分析有很好的效果。
然而，全波矩量法也存在一些限制。
首先，由于需要对域区域进行离散化处理，求解过程中需要大量的计算资源和时间。
此外，对于大规模问题，全波矩量法的求解效率可能较低。
因此，在实际应用中，需要根据问题的具体要求和计算资源的限制来选择合适的数值方法。
综上所述，全波矩量法是一种重要的数值方法，用于计算电磁场的分布。
它能够准确地模拟复杂的电磁场问题，并具有较好的通用性。
然而，它也存在一些限制，需要根据具体情况进行权衡和选择。
随着计算机技术的不断进步，相信全波矩量法将在电磁学领域发挥越来越重要的作用。
电磁场中的矩量法
第8章电磁场中的矩量法8.1矩量法的基本原理8.1.1矩量法是一种函数空间中的近似方法<8.1.1)(S. L2)(8.1,3)(8. L4)<8. L5)图8.1函数空间上的原函数、近似函数与误差函数NF =另8艮■ —1=CEJA8.1.2矩量法是一种变分法(8.1.6) (8.1. 7)(8, 1, 8)(8.1.9) (8.1. 10)<^ig> =—£L/他Q =（贬丄=另住显询丄几〉* i = 1②…侮 封 H(8.1.11)5、扎》=〈£ ,17 (另氐仞丹=刀爲 <化丄恤e 〉、t = lt2T --* r n (8, 1, 12)8.1.3子域基函数1. 狄拉克函数(Dirac delta function)2. 脉冲函数(pulse )或分段常数(piecewise constant )图8.2狄拉克函数,P(Xj, J|t y 2)图8.3脉冲函数3. 子域三角函数(subsectional triangle function)£|氐Xjp{f}=BoGr ）=肮工一工』Xi <2 x <Z J ：I其余(8. L 13)(8. 1. 14)图8.4三角函数子域4. 二次折线(quadratic spline )函数f 9丄3丄分忑+豆+莎*3 x B W9 3 ■ J 3 T Zd 十莎10»5. 拉格朗日插值多项式( Lagrangian interpolation polynomials图8.6拉格朗日插值多项式函数B 2(X ) = t jc z ，工』=tB 3(X ) =qix f(8.1.16)）函数6. 厄密多项式函数7. 其他展开函数r—矗工1)sin(^j：3—kjCi)S(x> = Jsin(^j：3—kjc~)sint^^g —kx2)(8.1.22) 8.1.4截断误差和数值色散1. 截断误差2. 数值色散器十K它二工）=02E. —Ejp-i —E.+i —护捏(百Em 卜W E R_I+ zEg_i \ = 0- \ 3 “5■& /萨叱曲—丄口-屮―如）e，严（1 + （塑冲/訂H单元尺寸引起的戴値華果的溟蚤(8.1.23) (8.1.24) (8. 1.25)8.2典型的矩量法问题8.2.1积分方程形式x —x \» 旦V 工V由x -► 0円評“工）1 -j —Inx21 ——4和=yj 1\,(左)£| 尤一盘"])djr'tkc)T{9(旬+赤-却叫旬F}+心〉F{ A(x) J = X<K x) = | A(x)e_i^* dxJ —EF^{A(K f)} = AM =君「A(KJ^dK#Z TT J—<»* B(x) = f — j J)dx^J —Ml►F^l{A(x)*fi(x)} = ACK.) - B(KJB n<x) = B(x —竝)]T…(x) = TX JE —J?J JG = ^T(x) * [班刃# H評@ | xF(x) = (冷十"J 評 4 I x —x\)dx\ a <Z JC <Z b1-=佇倦+ F)TS *叫*叽|讪}丄(8.2. 1> (fi.2. 2) (8.2. 3) (8.2,4)<8.2.5) <8,2.6) (& 2f 7) <8.2.8) (&2+9> (8.2.10)C8. 2. m822圆柱体散射的积分求解^0）=決沪・（亠只在圆柱上成立科J t （f ）心另人九⑷F j\为展开系数1N r 1障切切刀#丹評（航}d/■ -1丿加哽1(8.2.12) (8. 2. 13) <8. £ 14)1 4<8.2.15)<8.2.16) H 評(g(l —斗)—j{j(旬 +In(8. 2- 17)2 it 2rt1 - j -In, -2 du — w_ —[ —叫瞥）T]}(& 2, 19)823误差分析1. 建模误差2. 数字化误差（discretization errors ）3. 近似误差4. 数值计算误差ll/r-J?" II = 严一J严 | 独（8.2.22）基函数级栓验函数级甜分段时的误差甜分段时的误差0 34*911,31 35.011.31235.611.3335.811.3435. Q11.3536.211.30「11+7 一(X 891 1L70b 892211.80.89311.90.89411, 90b 890 E 550. 103 1 & 510. 102 S.530. 103 6. 550. 10 8.2.4本征值问题的矩量法<S, 2+23)(8, 2+24) <8. 2.25)N N2〈丁e丄鼠匕=人另《九,及冶,m = li2P—■ ■1算・1Le = ASeS~'L^ =le (E. 2.26) (8-2.27) (fi.2.28)825伽略金法的收敛性= <a , LZr>as > 0(dr by 2 = 3 取 LiA 〉-f)> = 0<兔，严—Th = 0(8,2.29> (& 2.30) 個2. 31) (8. 2.32) (B. 2.33)8.3静电场的矩量法8.3.1静电场中的算子方程—总¥卿=严有限边界 『0-常数.r-sS = p, L _1L^ = LpL=-E V 1,0 = 17》©(工，了，“ — j]JL_1制盏wwL =-V * UV ) S.0〉=T r) dxdjjds<L^j = jj — €(V ' 0)0drJJc0V 2^-OT 2^)dr = 6 W 警一少曾4jrejR(&M 1)(8.3. 2)(8,3. 3> (8,3. 4) (&3. 5>(8.3. 6) (8.3. 7)(8.3. 8)ds/.V .姑//-*r*厂 ~7?// //丄/ i/ / //L-L ——1 Z --------/— ■— ■—&~~ —图8.8带电平板切分为矩形单元(8.：(氐3. 8.3.2带电平板的电容■* 4开衆[jQ'(7©』〉SM 斗為几/・={NV Q = 宀.m = …，Nn-1a 3 Fj/ldj/di/在2上 苴余It 0, _______ ___________ ,_ Ay dx fh*』略4磁p(孔—无丁 H- (y^ — y y 1 Nc = —=艺心△民VD i=lan ” 仁=「r, wf J _i4 ire sj (x m — x}2-\- (.y m — yY"-- :,心Sts -------------- ””ne J (九一 h •严+伉一风尸 ' ----------- dytU = —ln(l+72) = —(0.8814)J 4nc 7x 3 +yKSKe4 =進质Ei & 4s_ "、4=E R 士10)<8. 3. 11) <8.3.12> <S. 3. 13)<8.3, 14) <8.3.15) <8.3. 16)<8.3. 17)(8.3. 18)(8.119) (8.3. 20)(8.3.21) (8. 3. 22)尺* = C J — 芷$ +（了加_孑3严 + （拓曲_比）h = y ^0.282 质 +(8. 3.23)833导体系问题rV] T 在民上,K a 一眄'在民上+护跃临血=*严科，在：上rb P e AS ,(0，户毎N矶〔乳閔)=S ai/n B= 1图8.9角形区域细长时所采用的近似方法十-------- 林工」丿 ------------ 旳应J 」・4寸灰匸丙〒E 三万7(8.3.24)(8.乱 25)(8.3.26)(8.3. 27)(8.3. 28)V L =「「——U 4TT £ JCr —工9 + © —,43； * **'皿；? *** ptfN皿：LQW =［飯］⑴叮12 =______________ 护蚯駅叶_您』（几二忑护+ （%—几尸________________ 巴________________jt£J a*—召）’ +（了亓一旳），+ 用s ggge} 2礙£■(2b)<8. 3,29)<8. 3.30)(8. £31)<8, 3, 32)<8. 3,33)c = a&*S (严-严 >-mA8.4微带天线的矩量法平面波人射捲地板图8.10平面电磁波入射微带天线心II (止一去‘)]+ jA a min [盘 i (注一左“)]ki cos k i / + j“ u sin kid8.4.1理论分析= — V XE (応，*)= 晋憑)+ ¥(章*心{工心注打]V l A 1 (■!<>»♦£)+ K 2A 1 Gy* =—)/iJs (x\y t z*) *介质中 VA 11(工」以)+KlA^ = X 空气中A L/Q= |T J s {x ,y(x,y t z I x t y r t z f )(3,4.1) <8,4. 2) (8M.3) (8M.4) <S. 4. 5)V f y f z}十 K z C(x^t^=—逼卷(h —— y r ，)8(x — zV 巳11Q FX I 工‘、$』)十 KuC D Q"z 韵匚匚0+"(8. 4.6) <8. 4.7>+ | Xtkt -F JttiyjG 1 (匕桃}E ：(也“门。
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第8章电磁场中的矩量法8.1矩量法的基本原理
8.1.1矩量法是一种函数空间中的近似方法
图8.1函数空间上的原函数、近似函数与误差函数
2
计算机辅助绘图基础（第4版）8.1.2矩量法是一种变分法
8.1.3子域基函数
1. 狄拉克函数（Dirac delta function）
2. 脉冲函数（pulse）或分段常数（piecewise constant）
图8.2狄拉克函数
图8.3脉冲函数
3. 子域三角函数（subsectional triangle function）
计算机辅助绘图基础（第4版） 3
图8.4三角函数子域
4. 二次折线（quadratic spline）函数
图8.5二次折线函数
5. 拉格朗日插值多项式（Lagrangian interpolation polynomials）函数
图8.6拉格朗日插值多项式函数
4
计算机辅助绘图基础（第4版）
6. 厄密多项式函数
7. 其他展开函数
8.1.4截断误差和数值色散
1. 截断误差
2. 数值色散
计算机辅助绘图基础（第4版） 5 8.2典型的矩量法问题
8.2.1积分方程形式
6
计算机辅助绘图基础（第4版）8.2.2圆柱体散射的积分求解
图8.7 TM波在理想导体
计算机辅助绘图基础（第4版）7 8.2.3误差分析
1. 建模误差
2. 数字化误差（discretization errors）
3. 近似误差
4. 数值计算误差
8.2.4本征值问题的矩量法
8
计算机辅助绘图基础（第4版）8.2.5伽略金法的收敛性
8.3静电场的矩量法
8.3.1静电场中的算子方程
计算机辅助绘图基础（第4版）9
图8.8带电平板切分为矩形单元
8.3.2带电平板的电容
10
计算机辅助绘图基础（第4版）
图8.9角形区域细长时所采用的近似方法8.3.3导体系问题
8.4微带天线的矩量法
图8.10平面电磁波入射微带天线
8.4.1理论分析
图8.11微带天线贴片处的切向场边界条件
8.4.2矩形微带天线
图8.12矩形微带天线切分为单元
8.4.3微带天线与传输线的连接
图8.13微带天线与传输线的连接举例8.5孔缝耦合问题中的矩量法
8.5.1基本电磁学方程
图8.14边界条件G(ρ,ρ′)=14jH(2)0(K|ρ-ρ′|)
8.5.2基本原理
图8.15等效原理
图8.16导体平面上的孔缝结构
图8.17电磁波入射区导体平面孔缝的等效原理
图8.18平面上孔缝区内的等效原理
8.5.3厚金属板上具有共享微波负载的多孔散射的研究
1. 问题描述
2. 理论分析
3. 矩量解
8.6基于线网模型的矩量法
8.6.1简介
8.6.2线网模型的有关问题
1. 麦克斯韦方程
图8.19 散射问题结构示意图
2. 良导体的亥姆霍兹方程解
图8.20 等效问题示意图
3. 边界条件
4. 细线近似
5. 由平面波激励波产生的电流
6. 伯柯灵顿（Pocklington）积分方程
7. 海伦方程
8. 基于反应（reaction）技术的方程
图8.22基于反应技术的互易定理
8.6.3线网法
1. 简介
2. 线网连接处必须满足的条件
3. 各种近似方法
图8.23处理三角函数跨越连接点的两种方法
4. 线网结构的矩量法
图8.24三角函数展开法
图8.25三角展开函数可以用4个段元上的阶梯代替
图8.26三角形展开中，起始点和终点之间的距离关系
图8.27场点与源点重合时导线表面的位置关系
图8.28一般求解时的场点和源点的位置关系
图8.29求线网散射场时采用的坐标关系
图8.30用Chao网格法计算平面电磁波在飞机上的感应电流
图8.31网格法计算的平面脉冲电磁波在飞机上的部分感应电流波形。