2018中考数学专题复习 几何旋转综合题练习(含答案)
1、如图，已知ABC是等边三角形. （1）如图（1），点 E 在线段 AB 上，点 D 在射线 CB 上，且 ED=EC.将 BCE 绕点 C 顺时针旋转 60° 至ACF , 连
接 EF.猜想线段 AB,DB,AF 之间的数量关系; （2）点 E 在线段 BA 的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整，并猜想线段 AB,DB,AF 之间的数量关系; （3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明.
∴∠BED=∠GCE… … … … 6 分
又∵BE=CG,DE=CE
∴△BDE≌△GEC∴BD=EG=AE 又∵AF=BE
∴AB=BE+AE=AF+BD… … … … 8 分
如图（2），过点 E 作 EG∥BC 交 AC 于点 G,得△AEG 为等
边三角形
∵DE=CE,∴∠CDE=∠ECD,
又∵∠CDE-∠BED=∠ABC=∠ACD=∠ECD-∠GCE，
第 1 题图(1)
第 1 题图(2)
2、如图 1，△ACB、△AED 都为等腰直角三角形，∠AED＝∠ACB＝90°，点 D 在 AB 上，连 CE，M、N 分别为 BD、CE 的中点 (1) 求证：MN⊥CE (2) 如图 2 将△AED 绕 A 点逆时针旋转 30°，求证：CE＝2MN
3、在等腰 Rt△ABC和等腰 Rt△A1B1C1 中,斜边 B1C1 中点 O也是 BC的中点。
(1)如图①，点 E 在 BC 上，则线段 PC、PF 有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明． (2)如图②，将△BEF 绕点 B 顺时针旋转 a(O<a<450)，则线段 PC，PF 有何数量关系和位置关系？请写出你的结论 ，并证明．
(3)如图③，若 AB=1，△AEF为等腰直角三角形，且∠A EF=90°，△AEF绕点 A逆时针旋转过程中，能使点 F 落
图1
B1
A1
O
图2 C1
C B
C
A
1
1
O
图3
B
C
1
4、已知，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是对角线 BD 延长线上一点，AE＝BD．将△ABE 绕点 A 顺时针旋转α度 （0°＜α＜360°）得到△AB′E′，点 B、E 的对应点分别为 B′、E′ (1) 如图 1，当α＝30°时，求证：B′C＝DE (2) 连接 B′E、DE′，当 B′E＝DE′时，请用图 2 求α的值 (3) 如图 3，点 P 为 AB 的中点，点 Q 为线段 B′E′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段 PQ 长度的取值范围 为
(1)如图 1，则 AA1 与 CC 1 的数量关系是
；位置关系是
。
(2)如图 2，将△A1B1C1 绕点 O顺时针旋转一定角度，上述结论是否仍然成立，请证明你的结论。
(3)如图 3，在（2）的基础上，直线 AA1、CC1 交于点 P，设 AB=4，则 PB长的最小值是
。
A
A
A
A1
P
B
B B1 O C1 C
5、如图 P 为等边△ABC 外一点，AH 垂直平分 PC 于点 H，∠BAP 的平分线交 PC 于点 D (1) 求证：DP＝DB (2) 求证：DA＋DB＝DC
(3) 若等边△ABC 边长为 14 ，连接 BH，当△BDH 为等边三角形时，请直接写出 CP 的长度为
6、如图，四边形 ABCD 为正方形，△BEF 为等腰直角三角形（∠BFE=900，点 B、E、F，按逆时针排列），点 P 为 DE的 中点，连 PC，PF
∴∠BED=∠GCE… … … … 6 分
又 ∵BE=CG,DE=CE∴△BDE≌△GEC∴BD=EG=AE
又∵AF=BE 所以 AB=BE-AE=AF-BD… … … 8 分
2. 答案：（1）连 EM 并延长，使 MF=EM，连 BF，易 证△EDM≌△FBM 从而易证等腰 Rt△EAC≌Rt△FBC 易得 Rt△ECF∴MN⊥CE (2) 同样，证△EDM≌△FBM， ∴∠EAC+∠EDB+∠DBC=360°，∠MBF+∠FBC+∠DBC=360°，
在 BC 上，且 AB 平分 EF，直接写出 AE 的值是
．
A
D
A
D
A
D
P
P
F
F
E
B
E
C
B
C
E
B
F
C
图①
图②
图③
7、已知等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△EDF，其中 D、G 分别为斜边 AB、EF 的中点，连 CE，又 M 为 BC 中点，N 为 CE 的中点，连 MN、MG (1) 如图 1，当 DE 恰好过 M 点时，求证：∠NMG＝45°，且 MG＝ 2 MN (2) 如图 2，当等腰 Rt△EDF 绕 D 点旋转一定的度数时，第(1)问中的结论是否仍成立，并证明 (3) 如图 3，连 BF，已知 P 为 BF 的中点，连 CF 与 PN，直接写出 PN ＝
而∠EDB=∠MBF，∴∠EAC=∠FBC，易证△EAC≌△FBC，
易得等腰 Rt△ECF，CE=2MN
3、答案：（2）中点连顶点，易证△ AOA ≌△ COC
1
1
(3)易得 PC⊥ AA1，∴以 AC 为斜边的 Rt△，斜边不变，
参考答案
1.答案： (1)AB=AF+BD;… … … … 2 分 (2)如图（2）中的实线图 AB=AF-BD… … … … 4 分
第 1 题图
第 1 题图
(3)如图(1)，过点 E 作 EG∥BC 交 AC 于点 G,得△AEG 为
等边三角形
∵DE=CE,∴∠CDE=∠ECD,
又∵∠CDE+∠BED=∠ABC=∠ACD=∠ECD+∠GCE，
CF
8、已知：如图，在 Rt△ABC 中，AC=BC，CD⊥AB 于 D，AB=10，将 CD 绕着 D 点顺时针旋转 a（0°<a<90°） 到 DP 的位置，作 PQ⊥CD 于 Q，点 I 是△PQD 角平分线的交点，连 IP，IC， （1）如图 1，在 PD 旋转的过程中，线段 IC 与 IP 之间是否存在某种确定不变的关系？请证明你的猜想。 （2）如图 2：连 IA，当 AI⊥DP 时，求 DQ 的长。 （3）如图 3，若取 BC 的中点 M，连 IM，当 PD 旋转过程中，线段 IM 的长度变不变？若不变请求出其值；若变化， 求 出其变化范围。
中考数学压轴题专题复习——初中数学 旋转的综合含详细答案
中考数学压轴题专题复习——初中数学旋转的综合含详细答案一、旋转1．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．【详解】（1）CG=EG．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF=90°．在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=12FD，同理．在Rt△DEF中，EG=12FD，∴CG=EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG=NG．∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN．在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC．在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG，∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，∠MFE=∠EBC=90°，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB，∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=1MC，∴EG=CG．2（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形．∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG【点睛】本题是四边形的综合题．（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答．2．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF，设CE＝a，CF＝b．（1）如图1，当a＝42时，求b的值；（2）当a＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b的值；（3）如图3，请直接写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式．【答案】（1）42；（2）b＝8；（3）ab＝32．【解析】试题分析：（1）由正方形ABCD的边长为4，可得AC＝42，∠ACB＝45°．再CE＝a＝42，可得∠CAE＝∠AEC，从而可得∠CAF的度数，既而可得 b=AC；（2）通过证明△ACF∽△ECA，即可得；（3）通过证明△ACF∽△ECA，即可得.试题解析：（1）∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝42，∠ACB＝45°．∵CE＝a＝42，∴∠CAE＝∠AEC＝452︒＝22.5°，∴∠CAF＝∠EAF－∠CAE＝22.5°，∴∠AFC＝∠ACD－∠CAF＝22.5°，∴∠CAF＝∠AFC，∴b=AC＝CF＝42；（2）∵∠FAE＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FAC＋∠CAE＝45°，∠CAE＋∠AEC＝45°，∴∠FAC ＝∠AEC．又∵∠ACF＝∠ECA＝135°，∴△ACF∽△ECA，∴AC CFEC CA=，∴4242=，∴CF＝8，即b＝8．（3）ab＝32．提示：由（2）知可证△ACF∽△ECA，∴∴AC CFEC CA=，∴4242a=，∴ab＝32．3．如图1，在□ABCD中，AB=6，∠B= (60°<≤90°). 点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含的代数式表示).【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin(－90°)【解析】【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论；(2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－，利用菱形的性质得到∠FEN＝－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可.【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF，∴∠BAE=∠FEA，∴AB∥FE，∴四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF，∴四边形ABEF是菱形；（2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN.∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B∴∠1＝∠2又AM＝NM，AB＝MG∴△ABM≌△MGN∴∠B＝∠3，NG＝BM∵MG＝AB＝BE∴EG＝AB＝NG∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－又在菱形ABEF中，AB∥EF∴∠FEC＝∠B=∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90°②如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG＝AB，连接GN、EN.同理可得：∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90°综上所述，∠FEN＝－90°∴当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动(如图3)当FN⊥EH时，FN最小，其最小值为FE·sin(－90°)【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠FEN ＝－90°，再运用垂线段最短求出FN的最小值.4．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，点M，N是射线OC上两动点(OM＜ON)，且运动过程中始终保持∠MAN＝45°，小明用几何画板探究其中的线段关系．(1)探究发现：当点M，N均在线段OB上时(如图1)，有OM2+BN2＝MN2．他的证明思路如下：第一步：将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．第二步：证明△APM≌△ANM，得MP＝MM．第一步：证明∠POM＝90°，得OM2+OP2＝MP2．最后得到OM2+BN2＝MN2．请你完成第二步三角形全等的证明．(2)继续探究：除(1)外的其他情况，OM2+BN2＝MN2的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)新题编制：若点B是MN的中点，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)．【答案】(1)见解析；(2)结论仍然成立，理由见解析；(3)见解析.【解析】【分析】（1）将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN=OP．证明△APM≌△ANM，再利用勾股定理即可解决问题；（2）如图2中，当点M，N在OB的延长线上时结论仍然成立．证明方法类似（1）；（3）如图3中，若点B是MN的中点，求MN的长．利用（2）中结论，构建方程即可解决问题．【详解】（1）如图1中，将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．∵点A(0，4)，B(4，4)，∴OA＝AB，∠OAB＝90°，∵∠NAP＝∠OAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠MAP，∵MA＝MA，AN＝AP，∴△MAN≌△MAP(SAS)．（2）如图2中，结论仍然成立．理由：如图2中，将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．∵∠NAP＝∠OAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠MAP，∵MA＝MA，AN＝AP，∴△MAN≌△MAP(SAS)，∴MN＝PM，∵∠ABN＝∠AOP＝135°，∠AOB＝45°，∴∠MOP＝90°，∴PM2＝OM2+OP2，∴OM2+BN2＝MN2；（3）如图3中，若点B是MN的中点，求MN的长．设MN＝2x，则BM＝BN＝x，∵OA＝AB＝4，∠OAB＝90°，∴OB＝42，∴OM＝42﹣x，∵OM2+BN2＝MN2．∴(42﹣x)2+x2＝(2x)2，解得x＝﹣22+26或﹣22﹣26(舍弃)∴MN＝﹣42+46．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．5．如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D 从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE．（1）求证：△CDE是等边三角形；（2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）存在【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，①当点D于点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s 时，此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s.试题解析：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD cm，∴△BDE的最小周长=CD；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14cm，∴t=14÷1=14s.综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．点睛：在不带坐标的几何动点问题中求最值，通常是将其表达式写出来，再通过几何或代数的方法求出最值；像第三小问这种探究性的题目，一定要多种情况考虑全面，控制变量，从某一个方面出发去分类.6．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.(1)设AB的长为a，PB的长为b(b<a)，求△PAB旋转到△P'CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积；(2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6.【解析】试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长．试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，∴△PAB≌△P'CB，∴S△PAB=S△P'CB，S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）；（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；又∵∠BP′C=∠BPA=135°，∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．PC==6．考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．7．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），点B（﹣2，0），把△ABO绕点A逆时针旋转，得△AB′O′，点B、O旋转后的对应点为B′、O′．（1）如图①，若旋转角为60°时，求BB′的长；（2）如图②，若AB′∥x轴，求点O′的坐标；（3）如图③，若旋转角为240°时，边OB上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+AP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）【答案】（1）252）点O′8545）；（3）点P′的坐标为（﹣83 5，365．【解析】分析：（1）由点A、B的坐标可得出AB的长度，连接BB′，由旋转可知：AB=AB′，∠BAB′=60°，进而可得出△ABB′为等边三角形，根据等边三角形的性质可求出BB′的长；（2）过点O′作O′D⊥x轴，垂足为D，交AB′于点E，则△AO′E∽△ABO，根据旋转的性质结合相似三角形的性质可求出AE、O′E的长，进而可得出点O′的坐标；（3）作点A关于x轴对称的点A′，连接A′O′交x轴于点P，此时O′P+AP′取最小值，过点O′作O′F⊥y轴，垂足为点F，过点P′作PM⊥O′F，垂足为点M，根据旋转的性质结合解直角三角形可求出点O′的坐标，由A、A′关于x轴对称可得出点A′的坐标，利用待定系数法即可求出直线A′O′的解析式，由一次函数图象上点的坐标特征可得出点P的坐标，进而可得出OP的长度，再在Rt△O′P′M中，通过解直角三角形可求出O′M、P′M的长，进而可得出此时点P′的坐标．详解：（1）∵点A（0，4），点B（﹣2，0），∴OA=4，OB=2，∴AB22OA OB5．在图①中，连接BB′．由旋转可知：AB =AB ′，∠BAB ′=60°，∴△ABB ′为等边三角形，∴BB ′=AB =25． （2）在图②中，过点O ′作O ′D ⊥x 轴，垂足为D ，交AB ′于点E ． ∵AB ′∥x 轴，O ′E ⊥x 轴，∴∠O ′EA =90°=∠AOB ．由旋转可知：∠B ′AO ′=∠BAO ，AO ′=AO =4，∴△AO ′E ∽△ABO ，AE AO ='O E BO ='AO AB，即4AE ='2O E =25，∴AE =85，O ′E =45，∴O ′D =45+4，∴点O ′的坐标为（8545，+4）． （3）作点A 关于x 轴对称的点A ′，连接A ′O ′交x 轴于点P ，此时O ′P +AP ′取最小值，过点O ′作O ′F ⊥y 轴，垂足为点F ，过点P ′作PM ⊥O ′F ，垂足为点M ，如图3所示． 由旋转可知：AO ′=AO =4，∠O ′AF =240°﹣180°=60°，∴AF =12AO ′=2，O ′F =32AO ′=23，∴点O ′（﹣23，6）．∵点A （0，4），∴点A ′（0，﹣4）．设直线A ′O ′的解析式为y =kx +b ，将A ′（0，﹣4）、O ′（﹣23，6）代入y =kx +b ，得： 4236b k b =-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：534k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线A ′O ′的解析式为y =﹣53x ﹣4． 当y =0时，有﹣53x ﹣4=0，解得：x =﹣43，∴点P （﹣43，0），∴OP =O ′P ′=43． 在Rt △O ′P ′M 中，∠MO ′P ′=60°，∠O ′MP ′=90°，∴O ′M =12O ′P ′=23，P ′M =32O ′P ′=65，∴点P ′的坐标为（﹣23+235，6+65），即（﹣833655，）．点睛：本题考查了函数图象及旋转变换、待定系数法求一次函数解析式、等边三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用等边三角形的性质找出BB′的长；（2）通过解直角三角形求出AE、O′E的长；（3）利用两点之间线段最短找出当O′P+AP′取得最小值时点P的位置．8．如图1，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，连CE，M、N分别为BD、CE的中点．（1）求证：MN⊥CE；（2）如图2将△AED绕A点逆时针旋转30°，求证：CE=2MN．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）延长DN交AC于F，连BF，推出DE∥AC，推出△EDN∽△CFN，推出DE EN DN==，求出DN=FN，FC=ED，得出MN是中位线，推出MN∥BF，证CF CN NF△CAE≌△BCF，推出∠ACE=∠CBF，求出∠CBF+∠BCE=90°，即可得出答案；（2）延长DN到G，使DN=GN，连接CG，延长DE、CA交于点K，求出BG=2MN，证△CAE≌△BCG，推出BG=CE，即可得出答案．试题解析：（1）证明：延长DN交AC于F，连BF，∵N为CE中点，∴EN=CN，∵△ACB和△AED是等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，DE=AE，AC=BC，∴∠EAD=∠EDA=∠BAC=45°，∴DE ∥AC ，∴△EDN ∽△CFN ， ∴DE EN DN CF CN NF== ， ∵EN=NC ，∴DN=FN ，FC=ED ， ∴MN 是△BDF 的中位线，∴MN ∥BF ，∵AE=DE ，DE=CF ，∴AE=CF ，∵∠EAD=∠BAC=45°，∴∠EAC=∠ACB=90°，在△CAE 和△BCF 中，CA BC CAE BCF AE CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△CAE ≌△BCF （SAS ），∴∠ACE=∠CBF ，∵∠ACE+∠BCE=90°，∴∠CBF+∠BCE=90°，即BF ⊥CE ，∵MN ∥BF ，∴MN ⊥CE ．（2）证明：延长DN 到G ，使DN=GN ，连接CG ，延长DE 、CA 交于点K ，∵M 为BD 中点，∴MN 是△BDG 的中位线，∴BG=2MN ，在△EDN 和⊈CGN 中，DN NG DNE GNC EN NC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△EDN ≌△CGN （SAS ），∴DE=CG=AE ，∠GCN=∠DEN ，∴DE ∥CG ，∴∠KCG=∠CKE ，∵∠CAE=45°+30°+45°=120°，∴∠EAK=60°，∴∠CKE=∠KCG=30°，∴∠BCG=120°，在△CAE 和△BCG 中，AC BC CAE BCG AE CG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△CAE ≌△BCG （SAS ），∴BG=CE ，∵BG=2MN ，∴CE=2MN ．【点睛】考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，平行线性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．9．已知：如图1，将两块全等的含30º角的直角三角板按图所示的方式放置，∠BAC=∠B 1A 1C =30°，点B ，C ，B 1在同一条直线上．（1）求证：AB =2BC（2）如图２，将△ABC 绕点Ｃ顺时针旋转α°（0＜α＜180），在旋转过程中，设AB 与A 1C 、A 1B 1分别交于点D 、E ，AC 与A 1B 1交于点F ．当α等于多少度时，AB 与A 1B 1垂直？请说明理由．（3）如图3，当△ABC 绕点C 顺时针方向旋转至如图所示的位置，使AB ∥CB 1，AB 与A 1C 交于点D ，试说明A 1D=CD ．【答案】（1）证明见解析（2）当旋转角等于30°时，AB 与A 1B 1垂直.（3）理由见解析【解析】试题分析：(1)由等边三角形的性质得AB =BB 1，又因为BB 1=2BC ，得出AB =2BC ;(2) 利用AB 与A 1B 1垂直得∠A 1ED=90°，则∠A 1DE=90°-∠A 1=60°，根据对顶角相等得∠BDC=60°，由于∠B=60°，利用三角形内角和定理得∠A 1CB=180°-∠BDC-∠B=60°，所以∠ACA 1=90°-∠A 1CB=30°，然后根据旋转的定义得到旋转角等于30°时，AB 与A 1B 1垂直；(3)由于AB ∥CB 1，∠ACB 1=90°，根据平行线的性质得∠ADC=90°，在Rt △ADC 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=12AC ，再根据旋转的性质得AC=A 1C ，所以CD=12A 1C ，则A 1D=CD ． 试题解析： （1）∵△ABB 1是等边三角形；∴ AB =BB 1∵ BB 1=2BC∴AB =2BC（2）解：当AB 与A 1B 1垂直时，∠A 1ED=90°，∴∠A 1DE=90°-∠A 1=90°-30°=60°，∵∠B=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACA 1=90°-60°=30°，即当旋转角等于30°时，AB 与A 1B 1垂直.（3）∵AB ∥CB 1，∠ACB 1=90°，∴∠CDB=90°，即CD 是△ABC 的高，设BC=a ，AC=b ，则由（1）得AB=2a ，A 1C=b ， ∵1122ABC S BC AC AB CD ∆=⨯=⨯， 即11222ab a CD =⨯⨯ ∴12CD b =，即CD=12A 1C ， ∴A 1D=CD. 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．10．如图，△ABC 是等边三角形，AB=6cm ，D 为边AB 中点．动点P 、Q 在边AB 上同时从点D 出发，点P 沿D→A 以1cm/s 的速度向终点A 运动．点Q 沿D→B→D 以2cm/s 的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）．（1）当点N落在边BC上时，求t的值．（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值．（3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．∴DQ=3∴2t=3．∴t=；（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，∴PD=DQ，当0＜t＜时，此时，PD=t，DQ=2t∴t=2t∴t=0（不合题意，舍去），当≤t＜3时，此时，PD=t，DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t，解得t=2；综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，∴MN=BQ∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如图①，当0≤t≤时，S△PNQ=PQ2=t2；∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，如图②，当≤t≤时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，∵△EMF是等边三角形，∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2．；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时＜t＜，t=1或．考点：几何变换综合题11．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.（1）求证：BE＝CE（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；62【解析】【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，3，6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，∴∠BEM=∠CEN，∵EB=EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，∴S△BMN=12•x（4-x）=-12（x-2）2+2，∵-12＜0，∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，3m，6m．∴EG=m+3m=（1+3）m ，∵S △BEG =12•EG•BN=12•BG•EH ， ∴EH=3?(13) m m +=3+3m ， 在Rt △EBH 中，sin ∠EBH=3+36226m EH EB m+==． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，12．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F .（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H .①求证ADB AOB △△≌；②求点H 的坐标.（Ⅲ）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE △的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）.【答案】（Ⅰ）点D 的坐标为(1,3).（Ⅱ）①证明见解析；②点H 的坐标为17(,3)5.（Ⅲ）303343033444S -+≤≤. 【解析】分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x ，在直角三角形ACD 中运用勾股定理可CD 的值，从而可确定D 点坐标；（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；②由①知BAD BAO ∠=∠，再根据矩形的性质得CBA OAB ∠=∠.从而BAD CBA ∠=∠，故BH=AH ，在Rt △ACH 中，运用勾股定理可求得AH 的值，进而求得答案；（Ⅲ）3033430334S -+≤≤.详解：（Ⅰ）∵点()5,0A ，点()0,3B ，∴5OA =，3OB =.∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5BC OA ==，90OBC C ∠=∠=︒.∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴5AD AO ==.在Rt ADC V 中，有222AD AC DC =+，∴22DC AD AC =- 22534=-=.∴1BD BC DC =-=.∴点D 的坐标为()1,3.（Ⅱ）①由四边形ADEF 是矩形，得90ADE ∠=︒.又点D 在线段BE 上，得90ADB ∠=︒.由（Ⅰ）知，AD AO =，又AB AB =，90AOB ∠=︒，∴Rt ADB Rt AOB V V ≌.②由ADB AOB V V ≌，得BAD BAO ∠=∠.又在矩形AOBC 中，//OA BC ，∴CBA OAB ∠=∠.∴BAD CBA ∠=∠.∴BH AH =.设BH t =，则AH t =，5HC BC BH t =-=-.在Rt AHC V 中，有222AH AC HC =+，∴()22235t t=+-.解得175t=.∴175BH=.∴点H的坐标为17,3 5⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅲ）3033430334S-+≤≤.点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.13．如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿的方向以的速度运动，当不与点重合是，将绕点逆时针方向旋转得到，连接.（1）求证：是等边三角形；（2）当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由.（3）当点在射线上运动时，是否存在以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）存在，2+4；（3）当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s．试题解析：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=2cm，∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC ＞0°，∴∠BDE ＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14cm ，∴t=14÷1=14s ，综上所述：当t=2或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．考点：旋转与三角形的综合题.14．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 是线段AB 上的一点（不与A 、B 重合）．过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ．将线段CE 绕点C 顺时针旋转90︒，得到线段CF ，连结EF ．设∠BCE 度数为α.（1）①补全图形；②试用含α的代数式表示∠CDA ．（2）若3EF AB = ，求α的大小． （3）直接写出线段AB 、BE 、CF 之间的数量关系．【答案】（1）①答案见解析；②45α︒+；（2）30α=︒；（3）22222AB CF BE =+．【解析】试题分析：（1）①按要求作图即可；②由∠ACB=90°，AC=BC ，得∠ABC=45°,故可得出结论；（2）易证FCE ∆∽ ACB ∆，得3CF AC =FA ，得△AFC 是直角三角形，求出∠ACF=30°，从而得出结论；（3）222A 22B CF BE =+.试题解析：（1）①补全图形．②∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠ABC=45°∵∠BCE=α ∴∠CDA=45α︒+（2）在FCE ∆和ACB ∆中，45CFE CAB ∠=∠=︒ ，90FCE ACB ∠=∠=︒ ∴ FCE ∆∽ ACB ∆ ∴ CF EF AC AB = Q 3EF AB = ∴ 32CF AC = 连结FA ．Q 90,90FCA ACE ECB ACE ∠=︒-∠∠=︒-∠∴ FCA ECB ∠=∠=α在Rt CFA ∆中，90CFA ∠=︒，3cos FCA ∠= ∴ 30FCA ∠=︒即30α=︒.（3）22222AB CF BE =+15．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且OA ＝6，点D 是射线OM 上的动点，当点D 不与点A 重合时，将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，连接DE ．（1）如图1，求证：△CDE 是等边三角形．（2）设OD ＝t ，①当6＜t ＜10时，△BDE 的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE 周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．【答案】(1)见解析;(2) ①见解析; ②t＝2或14.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）①当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；②存在，当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2=t；当6＜t＜10时，此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14．【详解】（1）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；（2）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝3，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝3；②存在，∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴t＝2；当6＜t＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴t＝14，综上所述：当t＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．。
天津市2018届中考数学复习《旋转问题》专项训练有答案
天津市2018年中考数学题型专项训练：旋转问题1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A 的坐标为(0,2),△A B O 为等边三角形,P是x 轴上的一个动点(不与O 点重合),将线段A P 绕A 点按逆时针方向旋转60°,P 点的对应点为点Q . (Ⅰ)求点B 的坐标;(Ⅱ)当点P 在x 轴负半轴运动时,求证:∠A B Q =90°;(Ⅲ)连接O Q ,在点P 运动的过程中,当O Q 平行A B 时,求点P 的坐标.图① 图② 第1题解图2.在直角坐标系中,O A =C D ,O B =O D ,C D ⊥x 轴于D ,E 、F 分别是O B 、O D 中点,连接E F 交A C 于点G .(Ⅰ)如图①,若点A 的坐标为(－2,0),S △O C D =5,求点B 的坐标; (Ⅱ)如图②,当O B =2O A 时,求证:点G 为A C 的中点;(Ⅲ)如图③,当O B ＞2O A ,△A B O 绕原点O 顺时针旋转α(0°＜α＜45°),(Ⅱ)中的结论是否还成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.∵O B=O D,O E=E B,O F=D F,∴O E=D F,∵∠A O E=∠F D C,O A=C D,∴△A O E≌△C D F,∴A E=C F=C H,∠A E O=∠C F D,∵O E=O F,∴∠O E F=∠O F E,∵∠A E G=∠A E O＋∠O E F,∠C H G=180°－∠C H F=180°－∠C F H=180°－(180°－∠O F E－∠C F D)=∠O F E＋∠C F D,∴∠A E G=∠C H G,∵∠A G E=∠C G H,∴△A E G≌△C H G,∴A G=C G,即点G为A C的中点.图①图②第2题解图3.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(－8,0),直线B C经过点B(－8,6),C(0,6),将四边形O A B C绕点O按顺时针方向旋转角度α得到四边形O A′B′C′,此时边O A′与边B C交于点P,边B′C′与B C的延长线交于点Q,连接A P.(Ⅰ)求证:四边形O A B C是矩形;(Ⅱ)在旋转过程中,当∠P A O=∠P O A,求P点坐标.(Ⅲ)在旋转过程中,当P为线段B Q中点时,连接O Q,求△O P Q的面积.第3题图(Ⅰ)证明:∵点A的坐标为(－8,0),点B(－8,6),C(0,6),∴∠C O A=∠O A B=∠B=90°,∴四边形O A B C是矩形.(Ⅱ)解:如解图①,过点P作P E⊥A O于点E,∵∠P A O=∠P O A,∴P A=P O,∵P E⊥A O,∴A E=E O=4,∴P(－4,6);(Ⅲ)解:如解图②,在R t △O C Q 和R t △O C 'Q 中,CO COOQ OQ⎧⎨＝＝,2244图① 图② 第3题解图4.如图,在平面直角坐标系中A (3,0),B (0,1)P O 、P A 、P B ,将△A B 绕着点A 顺时针旋转(Ⅰ)求点B ′的坐标;(Ⅱ)当△O P A 与△A P 满足什么条件时,P O ＋小值;(Ⅲ)试直接写出(Ⅱ)中的点P 坐标.解:(Ⅰ)∵A (3,0),B (01), ∴A B =2,∠B A O =30°,∵将△A B P 绕着点A 顺时针旋转60°得到△∴A B ′=2,∠B ′A O =90°,∴B ′(3,2);(Ⅱ)由旋转可得,△A P ′是等边三角形, ∴P P ′=P A ,又∵P ′B ′=P B ,∴P O ＋A ＋P B =P O ＋P P ′＋P ′B ∴如解图①,当O 、P 、P ′、B ′四点共线时,P O ∴当∠O P A =∠A P B =∠A P ′B ′=120°时,P O ＋P A此时,P O ＋P A ＋P B =O B ′=22 2(3) =7;(Ⅲ)如解图②,将(Ⅱ)中的△O P B 绕着点O 逆时针旋转60°得到△O B ″P ″,则∠B O B ″=60°,O B ″=O B =1∴点B ″的坐标为(－32,12),由(Ⅱ)可知A 、P 、P ″、B ″四点共线, ∴点P 为O B ′与A B ″的交点,根据A 、B ″两点的坐标可得直线A B ″的解析式为y =－39x ＋13,根据B ′的坐标可得直线O B ′的解析式为y =233x ,联立方程组,解得P (37,27).图① 图② 第4题解图5.如图,将两块直角三角板摆放在平面直角坐标系中,有∠C O D =∠A B O =90°,∠O C D =45°,∠A O B =60°,且A O =C D =8.现将R t △A O B 绕点O 逆时针旋转,旋转角为β(0°≤β≤180°).在旋转过程中,直线C D 分别与直线A B ,O A 交于点F ,G . (Ⅰ)当旋转角β=45°时,求点B 的坐标; (Ⅱ)在旋转过程中,当G F =A F ,求β的值; (Ⅲ)在旋转过程中,当∠B O D =60°时,求直线A B 的解析式.解:(Ⅰ)如解图①,过点B 作B H ⊥x 轴于点H , 在R t △A O B 中,∠A O B =60°,O A =8,∴O B =12O A =4,当β=45°时,即∠B O C =45°,图①图②图③图④当点D落在△A O′B′内部(包括边界第6题图解:(Ⅰ)∵点A的坐标是(3,0),B的坐标是(0,－4),∴O A=3,O B=4.∵C D∥A B,∴△A O B∽△C O D,4 Array第6题解图7.如图,O A B C是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,O A=9,O C=15,将矩形纸片O A B C绕O点顺时针旋转90°得到矩形O A1B1C1.将矩形O A1B1C1折叠,使得点B1落在x轴上,并与x 轴上的点B2重合,折痕为A1D.(Ⅰ)求点B2的坐标;(Ⅱ)求折痕A1D所在直线的解析式;(Ⅲ)在x轴上是否存在点P,使得∠B P B1为直角？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.的坐标(直接写出结果即可3图①图②图③第8题解图9.在平面直角坐标系中,点A(－2,0),B(2,0),C(0,2),点D,点E分别是A C,B C的中点,将△C D E绕点C逆时针旋转得到△C D′E′,旋转角为α,连接A D′,B E′. (Ⅰ)如图①,若 0°＜α＜90°,当A D′∥C E′时,求α的大小;(Ⅱ)如图②,若 90°＜α＜180°,当点D′落在线段B E′上时,求s i n∠C B E′的值; (Ⅲ)若直线A D′与直线B E′相交于点P,求点P的横坐标m的取值范围.第9题图解:(Ⅰ)如解图①,∵A(-2,0),B(2,0),C(0,2),∴OA=OB=OC,∴∠ACB=90°,∵△C D′E′是△C D E旋转得到的,图① 图②图③ 图④ 第9题解图10.如图,在平面直角坐标系中,正方形A B C D 的顶点A 、B 、C 、D 的坐标分别为(3,0)、(0,3)、(－3,0)、(0,－3),点M 为A B 上一点,A M :B M =2:1,∠E M F 在A B 的下方以M 为中心旋转且∠E M F =45°,M E 交y 轴于点P ,M F 交x 轴于点Q .(Ⅰ)求点M 的坐标;(Ⅱ)设A Q 的长为y ,B P 的长为x .求y 与x 的函数关系式;(Ⅲ)当P 为O B 的中点时,求四边形O Q M P 的面积.图①图②图③第10题解图。
中考数学复习旋转专项综合练含详细答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，矩形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，点B的坐标为（4，m）（5≤m≤7），反比例函数y＝16x（x＞0）的图象交边AB于点D．（1）用m的代数式表示BD的长；（2）设点P在该函数图象上，且它的横坐标为m，连结PB，PD①记矩形OABC面积与△PBD面积之差为S，求当m为何值时，S取到最大值；②将点D绕点P逆时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在x轴上时，求m的值．【答案】（1）BD＝m﹣4（2）①m＝7时，S取到最大值②m＝5【解析】【分析】（1）先确定出点D横坐标为4，代入反比例函数解析式中求出点D横坐标，即可得出结论；（2）①先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的面积得出S＝﹣12（m﹣8）2+24，即可得出结论；②利用一线三直角判断出DG＝PF，进而求出点P的坐标，即可得出结论．【详解】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴AB⊥x轴上，∵点B（4，m），∴点D的横坐标为4，∵点D在反比例函数y＝16x上，∴D（4，4），∴BD＝m﹣4；（2）①如图1，∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，m），∴S矩形OABC＝4m，由（1）知，D（4，4），∴S△PBD＝12（m﹣4）（m﹣4）＝12（m﹣4）2，∴S＝S矩形OABC﹣S△PBD＝4m﹣12（m﹣4）2＝﹣12（m﹣8）2+24，∴抛物线的对称轴为m＝8，∵a＜0，5≤m≤7，∴m＝7时，S取到最大值；②如图2，过点P作PF⊥x轴于F，过点D作DG⊥FP交FP的延长线于G，∴∠DGP＝∠PFE＝90°，∴∠DPG+∠PDG＝90°，由旋转知，PD＝PE，∠DPE＝90°，∴∠DPG+∠EPF＝90°，∴∠PDG＝∠EPF，∴△PDG≌△EPF（AAS），∴DG＝PF，∵DG＝AF＝m﹣4，∴P（m，m﹣4），∵点P在反比例函数y＝16x，∴m（m﹣4）＝16，∴m＝2+25或m＝2﹣25（舍）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定，构造出全等三角形是解本题的关键．2．在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，固定等边△AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°）（1）当OC ∥AB 时，旋转角α＝度；发现：（2）线段AC 与BD 有何数量关系，请仅就图2给出证明． 应用：（3）当A 、C 、D 三点共线时，求BD 的长．拓展：（4）P 是线段AB 上任意一点，在扇形COD 的旋转过程中，请直接写出线段PC 的最大值与最小值．【答案】（1）60或240；(2) AC=BD ，理由见解析；（313+1131-4）PC 的最大值=3，PC 的最小值31． 【解析】分析：（1）如图1中，易知当点D 在线段AD 和线段AD 的延长线上时，OC ∥AB ，此时旋转角α=60°或240°．（2）结论：AC =BD ．只要证明△AOC ≌△BOD 即可． （3）在图3、图4中，分别求解即可．（4）如图5中，由题意，点C 在以O 为圆心，1为半径的⊙O 上运动，过点O 作OH ⊥AB 于H ，直线OH 交⊙O 于C ′、C ″，线段CB 的长即为PC 的最大值，线段C ″H 的长即为PC 的最小值．易知PC 的最大值=3，PC 的最小值31．详解：（1）如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴∠AOB =∠COD =60°，∴当点D 在线段AD 和线段AD 的延长线上时，OC ∥AB ，此时旋转角α=60°或240°． 故答案为60或240；（2）结论：AC =BD ，理由如下：如图2中，∵∠COD =∠AOB =60°，∴∠COA =∠DOB ．在△AOC 和△BOD 中，OA OBCOA DOB CO OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD ，∴AC =BD ；（3）①如图3中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．在Rt△COH中，∵OC=1，∠COH=30°，∴CH=HD=12，OH=32．在Rt△AOH中，AH=22OA OH-=132，∴BD=AC=CH+AH=1132+．如图4中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．易知AC=BD=AH﹣CH=131-．综上所述：当A、C、D三点共线时，BD的长为1312+或1312-；（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值=3﹣1．点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．3．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.(1)设AB的长为a，PB的长为b(b<a)，求△PAB旋转到△P'CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积；(2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6.【解析】试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长．试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，∴△PAB≌△P'CB，∴S△PAB=S△P'CB，S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）；（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；又∵∠BP′C=∠BPA=135°，∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．PC==6．考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．4．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求BE2+DG2的值．【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25．【解析】分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和．详解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴BC CG b==，DC CE a又∵∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25．点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．5．已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD．探究下列问题:（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；（3）如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数.【答案】（1）；（2）；（3）当∠ACB=120°时，CD有最大值是a+b.【解析】【分析】（1）a=b=3，且∠ACB=60°，△ABC是等边三角形，且CD是等边三角形的高线的2倍，据此即可求解；（2）a=b=6，且∠ACB=90°，△ABC是等腰直角三角形，且CD是边长是6的等边三角形的高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差；（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E．连接AE，CE，当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b．【详解】（1）∵a=b=3，且∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴OC=，∴CD=3；（2）3；（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E．连接AE，CE，∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB=a，∴△CDE为等边三角形，∴CE=CD．当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE＜AE+AC=a+b；当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b；只有当∠ACB=120°时，∠CAE=180°，即A、C、E在一条直线上，此时AE最大∴∠ACB=120°，因此当∠ACB=120°时，CD有最大值是a+b．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，以及轴对称的性质，正确理解CD有最大值的条件，是解题的关键．6．（特例发现）如图1，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC 为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．求证：EP=FQ．（延伸拓展）如图2，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，请思考HE与HF之间的数量关系，并直接写出你的结论．（深入探究）如图3，在△ABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向△ABC外作任意△ABE和△ACF，射线GA交EF于点H．若∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC，AB=kAE，AC=kAF，上一问的结论还成立吗？并证明你的结论．（应用推广）在上一问的条件下，设大小恒定的角∠IHJ分别与△AEF的两边AE、AF分别交于点M、N，若△ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且∠IHJ=∠AGB=θ=60°，k=2；求证：当∠IHJ在旋转过程中，△EMH、△HMN和△FNH均相似，并直接写出线段MN的最小值（请在答题卡的备用图中补全作图）．【答案】(1)证明参见解析；(2)HE=HF；(3)成立，证明参见解析；(4)证明参见解析，MN最小值为1.【解析】试题分析：(1)特例发现：易证△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，FQ=AG，即可解题；(2)延伸拓展：过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．易证△ABG∽△EAP，△ACG∽△FAQ，得到PE=AG，FQ=AG，∴PE=FQ，然后证明△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(3)深入探究：判断△PEA∽△GAB，得到PE=AG，△AQF∽△CGA，FQ=，得到FQ=AG，再判断△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(4)应用推广：由前一个结论得到△AEF为正三角形，再依次判断△MHN∽△HFN∽△MEH，即可得出结论．试题解析：(1)特例发现，如图：∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∵∠EPA=∠AGB，AE=AB，∴△PEA≌△GAB，∴PE=AG，同理，△QFA≌△GAC，∴FQ=AG，∴PE=FQ；(2)延伸拓展，如图：∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∴∠EPA=∠AGB，∴△PEA∽△GAB，∴，∵AB=kAE，∴，∴PE=AG，同理，△QFA∽△GAC，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴PE=FQ，∵EP∥FQ，∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；(3)深入探究,如图2，在直线AG上取一点P，使得∠EPA═∠AGB，作FQ∥PE，∵∠EAP+∠BAG=180°﹣∠AGB，∠ABG+∠BAG=180°﹣∠AGB，∴∠EAP=∠ABG，∵∠EPA=∠AGB，∴△APE∽△BGA，∴，∵AB=kAE，∴PE=AG，由于∠FQA=∠FAC=∠AGC=180°﹣∠AGB，同理可得，△AQF∽△CGA，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴EP=FQ，∵EP∥FQ，∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；(4)应用推广,如图3，在前面条件及结论，得到，点H是EF中点，∴AE=AF，∵∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC∴∠EAB+∠FAC=180°∴∠EAF=360°﹣（∠EAB+∠FAC）﹣∠BAC=60°，∴△AEF 为正三角形．又H为EF中点，∴∠EHM+∠IHJ=120°，∠IHJ+∠FHN=120°，∴∠EHM=∠FHN．∵∠AEF=∠AFE，∴△HEM∽△HFN，∴，∵EH=FH，∴，且∠MHN=∠HFN=60°，∴△MHN∽△HFN，∴△MHN∽△HFN∽△MEH，在△HMN中，∠MHN=60°，根据三角形中大边对大角，∴要MN最小，只有△HMN是等边三角形，∴∠AMN=60°，∵∠AEF=60°，MN∴MN∥EF，∵△AEF为等边三角形，∴MN为△AEF的中位线，∴MN min=EF=×2=1．考点：1.几何变换综合题；2.三角形全等及相似的判定性质.7．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为. 在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG.（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；（2）当点C在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD 的度数；（3）如图3，如果=45°，AB =2，AE=，求点G到BE的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）45°或135°；（3）.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再求出∠BAE=∠DAG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.（2）当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，据此求解即可.（3）根据和求解即可.试题解析：（1）如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°.∵四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°.∴∠BAE=∠DAG..∴△ABE≌△ADG（SAS）.∴BE=DG..（2）如图，当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，此时∠FCD 的度数为45°或135°.（3）如图3，连接GB、GE.由已知α=45°，可知∠BAE=45°.又∵GE为正方形AEFG的对角线，∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.∵，∴GE =8.∴.过点B作BH⊥AE于点H.∵AB=2，∴. ∴..设点G到BE的距离为h.∴.∴.∴点G到BE的距离为.考点：1.旋转的性质；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.平行的判定和性质；5.勾股定理；6.分类思想的应用．8．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB,求∠BAB′的度数．【答案】40°.【解析】【分析】先根据平行线的性质，由CC′∥AB得∠AC′C=∠CAB=70°，再根据旋转的性质得AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，于是根据等腰三角形的性质有∠ACC′=∠AC′C=70°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠CAC′=40°，从而得到∠BAB′的度数．【详解】∵CC′∥AB，∴∠A CC′=∠CAB=70°，∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，在△ACC′中，∵AC=AC′∴∠ACC′=∠AC′C=70°，∴∠CAC′=180°-70°-70°=40°，∴∠BAB′=40°．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．。
2018全国各地中考数学真题汇编_平移及旋转[含答案解析]
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中考数学真题汇编:平移与旋转一、选择题1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C2. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A3. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（）A. 55°B. 60°C. 65°D. 7 0°【答案】C4. 在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（）A.（4，-3）B.（-4，3）C.（-3，4）D.（-3，-4）【答案】B5. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点，的坐标分别为、，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A6.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B7.在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系如图,在平面上取定一点称为极点；从点出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径点的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即或或等,则点关于点成中心对称的点的极坐标表示不正确的是( )A. B. C. D.【答案】D8.如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为25，，则的长为（）A. 5B.C. 7D.【答案】D9.如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 主视图和左视图【答案】C10. 如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（-1，0），（0，）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB’，则点B的对应点B’的坐标是（）A. （1，0）B. （，）C. （1，）D. （-1，）【答案】C11. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若，则等于（）A. 2B. 3C.D. 【答案】A12.如图，直线都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN=1，正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止，记点C 平移的距离为x ，正方形ABCD 的边位于 之间分的长度和为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A二、填空题13.在平面直角坐标系中，将点（3,-2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得的点的坐标是________. 【答案】（5,1）14.如图，将含有30°角的直角三角板ABC 放入平面直角坐标系，顶点AB 分别落在x 、y 轴的正半轴上，∠OAB ＝60°,点A 的坐标为（1,0），将三角板ABC 沿x 轴右作无滑动的滚动（先绕点A 按顺时针方向旋转60°，再绕点C 按顺时针方向旋转90°，…）当点B 第一次落在x 轴上时，则点B 运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.【答案】+ π15.如图,正方形 的边长为1,点 与原点重合,点 在 轴的正半轴上，点 在 轴的负半轴上将正方形绕点逆时针旋转至正方形的位置,与相交于点,则的坐标为________．【答案】16.如图，正比例函数y=kx与反比例函数y= 的图象有一个交点A(2，m)，AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是________ .【答案】y= x-317.如图，中，，，，将绕点顺时针旋转得到，为线段上的动点，以点为圆心，长为半径作，当与的边相切时，的半径为________.【答案】或18.设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”当双曲线的眸径为6时，的值为________.【答案】三、解答题19.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点.（1）①在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段（点A，B 的对应点分别为）.画出线段;②将线段绕点逆时针旋转90°得到线段.画出线段;（2）以为顶点的四边形的面积是________个平方单位.【答案】（1）解：如图所示：（2）2020.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．【答案】（1）证明：∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，∴∠DCE=90°，CD=CE，又∵∠ACB=90°∴∠ACB=∠DCE.∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∵CD=CE，∠ACD=∠BCE，AC=BC，∴△ACD≌△BCE（SAS），（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°由（1）知△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CBE=∠A=45°，又∵AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=∠BFE= =67.5°.21. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上.（1）的大小为________（度）；（2）在如图所示的网格中，是边上任意一点. 为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应点为.当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）【答案】（1）（2）解：如图，即为所求.22. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）①作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；②作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（2）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（－4，－2），请直接写出直线l的函数解析式.【答案】（1）解：如图所示，C1的坐标C1（-1,2）, C2的坐标C2（-3,-2）（2）解：∵A（2,4），A3（-4，-2），∴直线l的函数解析式：y=-x.23. 在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针得到（点，的对应点分别为，）射线，分别交直线于点，.（1）如图1，当与重合时，求的度数；（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；（3）在旋转过程时，当点分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）由旋转的性质得：.，，，，，.（2）为的中点，.由旋转的性质得：，.， .，，.（3），最小，即最小，.法一：（几何法）取中点，则..当最小时，最小，，即与重合时， 最小.，，，.法二：（代数法）设 ， .由射影定理得：，当最小，即最小，.当 时，“ ”成立， .24. 在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点 ，点 ，点.以点 为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，.（1）如图①，当点 落在 边上时，求点的坐标；（2）如图②，当点 落在线段上时，与交于点.①求证 ；②求点 的坐标.（3）记为矩形对角线的交点， 为的面积，求 的取值范围（直接写出结果即可）.WORD 资料可编辑专业整理分享 【答案】（1）解：∵点，点， ∴，. ∵四边形是矩形， ∴，，. ∵矩形是由矩形旋转得到的， ∴. 在中，有， ∴.∴. ∴点的坐标为 . （2）解：①由四边形是矩形，得. 又点在线段上，得. 由（Ⅰ）知，，又，， ∴. ②由，得. 又在矩形中，， ∴.∴.∴. 设，则，. 在中，有， ∴.解得.∴. ∴点的坐标为 .（3）解：。
北京市东城区普通中学2018届初三数学中考复习 图形的旋转 专项复习练习题 含答案
北京市东城区普通中学2018届初三数学中考复习 图形的旋转 专项复习练习题1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是( )2．如图，将△ABC 绕点P 顺时针旋转得到△A ′B ′C ′，则点P 的坐标是( )A ．(1，1)B ．(1，2)C ．(1，3)D ．(1，4)3. 如图，△ABC 以点O 为旋转中心，旋转180°后得到△A ′B ′C ′.ED 是△ABC 的中位线，经旋转后为线段E ′D ′.已知BC ＝4，则E ′D ′＝( )A ．2B ．3C ．4D ．1.54. 如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则四边形AB 1OD 的面积是( )A.34B.2－12C.2－1 D ．1＋ 2 5. 如图，图形中一个矩形是另一个矩形顺时针旋转90°后形成的，这个图形是( )6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝5，BC＝9，以A为中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，连结DE，则△ADE的面积等于( )A．10 B．11 C．12 D．137. 如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A＝____°.8. 如图，将等边三角形ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合，得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是________．9. 如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC内一点，△ABD经过旋转后到达△ACP的位置，(1)旋转中心是______；(2)旋转角度为______；(3)△ADP是_______三角形．10. 如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③△EPF是等腰三角形；④EF＝AP；⑤S四边形AEPF＝S△APC.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，其中正确的序号有________________.11. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，(0°<α<90°)若∠1＝110°，则α＝_______．12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(－2，0)，等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD.(1)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是____个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是______；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是_______度；(2)连结AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．13. 如图，将给出的4张扑克牌摆成第一行的样子，然后将其中的1张牌旋转180°成第二行的样子，你能判断出被旋转的1张牌是哪一张吗？为什么？14. 正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.(1)求证：EF＝FM；(2)当AE＝1时，求EF的长．15．如图①，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2，宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α.(1)当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；(2)如图②，G为BC中点，且0°<α<90°，求证：GD′＝E′D；(3)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．答案：1---6 ABACA A7. 558. 60°9. 点A 60° 等边10. ①②③⑤11. 20°12. (1) 2 y轴 120(2) 解：∠AEO＝90°13. 解：被旋转过的1张牌是第二张牌．理由如下：第一张牌因为最中间的图案不是中心对称图形，所以不是中心对称图形；第二张牌是中心对称图形；第三张牌因为最中间的一个图案旋转180°后位置变了，所以不是中心对称图形；第四张牌，因为最中间的图案不是中心对称图形，所以不是中心对称图形．∵将其中的1张牌旋转180°成第二行的样子，∴被旋转过的1张牌只能是中心对称图形，即第二张牌14. 解：(1)由旋转知∠DCM＝∠A＝∠DCF＝90°，DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴F，C，M在一条直线上，又∠EDF＝45°，∴∠EDA＋∠FDC＝45°，∴∠EDF＝∠FDM，∴△DEF≌△DMF(SAS)，∴EF＝FM(2)∵AE＝CM＝1，设EF＝x，则FC＝x－1，BF＝4－x，BE＝2，在Rt△EBF中，x2＝22＋(4－x)2，解得x＝52，即EF＝5215. 解：(1)α＝30°(2)∵G为BC的中点，∴GC＝CE′＝CE＝1，∵∠D′CG＝∠DCG＋∠DCD′＝90°＋α，∠DCE′＝∠D′CE′＋∠DCD′＝90°＋α，∴∠D′CG＝∠DCE′，又∵CD′＝CD，∴△GCD′≌△E′CD，∴GD′＝E′D(3)能，α＝135°或315°。
2018版中考数学：6.2-轴对称、平移、旋转(含答案)
§6.2轴对称、平移、旋转一、选择题1．(原创题)永州的文化底蕴深厚，永州人民的生活健康向上，如瑶族长鼓舞，东安武术，宁远举重等，下面的四幅简笔画是从永州的文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是()解析由轴对称图形的定义可知选项C中图形是轴对称图形，故选C.答案C2．(原创题)如图，有a，b，c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线()A．a户最长B．b户最长C．c户最长D．三户一样长解析相邻电路的电线等距排列说明三条电线中水平部分是相等的，若将三条电线的铅直部分的下段都向右，使铅直部分在同一条直线上，可知这三条电线是相等的，故电线的总长相等，选D.答案D3．(改编题△)如图，在ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△A BC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C△′，再将A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别A．4，30°()B．2，60°C．1，30°D．3，60°解析由平移的性质可得A′B′＝AB＝4，A′B′∥AB，∠A′B′C＝∠B＝60°.由旋转的性质可得A′C＝A′B△′，∴A′B′C是等边三角形，∴B′C＝A′B′＝4.∴BB′＝BC－B′C＝2，即平移的距离为△2.∵A′B′C是等边三角形，∴∠B′A′C＝60°，即旋转角的度数为60°.故选B.答案B4．(改编题△)如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝△20°，若将ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的E处，则∠ADE的度数是()A．30°B．40°C．50°D．55°解析由折叠可知∠CED＝∠B＝90°－∠A＝90°－20°＝70°.又∵∠CED△是AED的外角，∴∠ADE＝∠CED－∠A＝70°－20°＝50°，选C.答案C5．(原创题)在方格纸中，选择某一个白色小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形，则不同的涂法有()A．1种C．3种B．2种D．4种解析如图，可以有下面3种不同的涂法，分别涂黑①②③的位置．故选C.答案C6．(改编题)如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB＝6，AD＝10，则CE等于()A．1B．1.58C.3D．2解析在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC，AD＝10，由勾股定理可得BF＝8，∴CF＝2.由折叠可知∠AFE＝90°，∴∠EFC＝AB BF FC·BF2×88∠BAF△.∴ABF∽△FCE，FC＝CE.∴CE＝AB＝6＝3.故选C.答案C二、填空题7．(原创题)使平行四边形ABCD是轴对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是________(只要填写一种情况)．解析若平行四边形ABCD是矩形、菱形、正方形，就是轴对称图形，故可添加：∠A＝90°(或其它角为直角)或AC＝BD，使成为矩形；也可添加：AB ＝BC(或其它邻边相等)，AC⊥BD，使成为菱形；因为添加一个条件不能成为正方形，故可添加的条件可以是∠A＝90°，AC＝BD，AB＝BC，AC⊥BD等．答案答案不唯一，如∠A＝90°(或AC＝BD，AB＝BC，AC⊥BD) 8．(改编题)矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A、点C恰好落在对角AD线BD上，若得到的四边形BEDF是菱形，则A B＝________．解析由折叠与菱形的性质可知∠ABF＝30°，∴∠ABD＝60°.在Rt△ABDAD中，AB＝tan60°＝ 3.答案3三、解答题9．(改编题)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A(3，2)，B(1，△3)．AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.(1)点A关于点O成中心对称的点的坐标为________；(2)点A1的坐标为________；(3)在旋转过程中，求点B经过的路径的长．解(1)(－3，－2)；(2)如图，在坐标系中画出将△AOB绕点O逆时针旋转△90°的A1OB1，点A1的坐标为(－2，3)︵︵(3)点B经过的路径为BB1，OB＝12＋32＝10，BB1的长＝90×π×1010180＝2π.10．(改编题)实践与操作：如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．(1)请你仿照图1，用两段相等的圆弧(小于或等于半圆)，在图3中重新设计一个不同的轴对称图形．(2)以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形．解答案不唯一，仅供参考：(1)在图3中设计出符合题目要求的图形如下图1.(2)在图4中画出符合题目要求的图形如下图2.。
2018初三数学中考复习图形的旋转专题综合练习题含答案
2018 初三数学中考复习图形的旋转专题综合练习题1. 图 1 和图 2 中全部的小正方形都全等，将图 1 的正方形放在图 2 中①②③④的某一地点，使它与本来 7 个小正方形构成的图形是中心对称图形，这个地点是( C )A．①B．②C．③D．④2．以下图案中，中心对称图形是( D )A．①②B．②③C．②④D．③④3．如图，将 Rt△ABC绕直角极点 C顺时针旋转 90°，获得△ A′B′C，连接AA′，若∠ 1＝25°，则∠ BAA′的度数是 ( D )A．55°B．60°C．65°D．70°4．如图，用一个半径为 5 cm的定滑轮带动重物上涨，滑轮上一点 P 旋转了 108°，假定绳子 ( 粗细不计 ) 与滑轮之间没有滑动，则重物上涨了( C )A．π cm B．2π cm C．3π cm D．5π cm5．如图，将△ ABC绕点 B 顺时针旋转 60°得△ DBE，点 C的对应点 E 恰巧落在AB延伸线上，连接 AD.以下结论必定正确的选项是 ( C )A．∠ ABD＝∠ E B．∠ CBE＝∠CC．AD∥BC D．AD＝BC6．若点 M(3，a－2) ，N(b，a) 对于原点对称，则a＋b＝__－2__．7．如图，直线 a，b 垂直订交于点 O，曲线 c 对于点 O成中心对称，点 A 的对称点是点 A′， AB⊥a于点 B，A′D⊥b 于点 D，若 OB＝ 3，OD＝2，则暗影部分的面积之和为 __6__．8．已知：如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3 cm，BO＝4 cm，将△AOB绕极点 O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段 OB1与 AB的交点 D 恰巧为 AB 的中点，则线段 B1 D＝__1.5__cm.9.如图，半径为 5 的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，而后把半圆沿直线 b 进行无滑动转动，使半圆的直径与直线 b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度等于 __5π__．10．如图，把正方形铁片 OABC置于平面直角坐标系中，极点 A 的坐标为 (3 ，0) ，点P(1，2) 在正方形片上，将正方形片其右下角的点按方向挨次旋 90°，第一次旋至①地点，第二次旋至②地点⋯，正方形片旋 2 017 次后，点 P 的坐__(6_053，2)__ ．11．如，在平面直角坐系中，△ABC各点的坐分A(－2，－2) ，B(－4，－ 1) ，C(－4，－4) ．(1)作出△ ABC对于原点 O成中心称的△A1B1C1；(2)作出点 A 对于 x 的称点 A′，若把点 A′向右平移 a 个位度后落在△A1B1C1 的内部(不包含点和界)，求a的取范．解： (1) 如所示，△ A1B1C1即所求．(2)∵点 A′坐 ( －2，2) ，∴若要使向右平移后的 A′落在△A1B1C1的内部， a 的取范 4＜a＜6.12．如，已知 AC⊥BC，垂足 C，AC＝4，BC＝3 3，将段 AC点 A 按逆方向旋60°，获得段 AD， DC，DB.(1)线段 DC＝__4__；(2)求线段 DB的长度．解：作 DE⊥BC于点 E. ∵△ ACD是等边三角形，∴∠ ACD＝60°. 又∵ AC⊥BC，∴∠D CE＝∠ ACB－∠ ACD＝ 90°－ 60°＝ 30°，13∴Rt△CDE中， DE＝2DC＝2，CE＝DC· cos30°＝ 4×2＝23，∴ BE＝BC－CE＝3 3－2 3＝ 3. ∴Rt△BDE中， BD＝2222DE＋BE＝ 2 ＋（3）＝ 7.13．已知△ ABC是等腰三角形， AB＝AC.(1)特别情况：如图①，当 DE∥BC时，有 DB___＝__EC.( 填“＞”“＜”或“＝”)(2)发现研究：若将图①中的△ ADE绕点 A 顺时针旋转α(0 °＜α＜180°) 到图②地点，则 (1) 中的结论还建立吗？若建立，请赐予证明；若不建立，请说明原因．(3)拓展运用：如图③， P 是等腰直角三角形 ABC内一点，∠ ACB＝90°，且 PB ＝1，PC＝2，PA＝3，求∠ BPC的度数．解：(2) 建立．证明：由(1) 易知 AD＝AE，∴由旋转性质可知∠ DAB＝∠ EAC.在△ DAB4 / 62018 初三数学中考复习图形的旋转专题综合练习题含答案AD＝AE，和△ EAC中，∠DAB＝∠ EAC，∴△ DAB≌△ EAC(SAS)，∴ DB＝EC.AB＝ AC，(3)如图，将△ CPB绕点 C顺时针旋转 90°得△ CEA，连接 PE，∴△CPB≌△ CEA，∴CE＝CP ＝2，AE＝BP＝1，∠PCE＝90°，∴∠ CEP＝∠ CPE＝45°. 在 Rt △PCE中，由勾股定理可得， PE＝ 222)22222＝2，在△ PEA 中， PE＝(2＝8，AE＝1＝1，PA＝32229. ∵PE＋AE＝AP，∴△ PEA是直角三角形，∴∠ PEA＝90°，∴∠ CEA＝135°.又∵△ CPB≌△ CEA，∴∠ BPC＝∠ CEA＝135°.14.如图，将等腰△ ABC绕极点 B逆时针方向旋转α到△ A1 BC1的地点，AB与 A1C1订交于点 D，AC与 A1C1，BC1分别交于点 E，F.①求证：△ BCF≌△ BA1D；②当∠ C＝α时，判断四边形A1BCE的形状并说明原因．解：①证明：∵△ ABC是等腰三角形，∴ AB＝BC，∠ A＝∠ C.由旋转性质得A1B ＝A B＝BC，∠A＝∠ A1＝∠ C，∠ A1BD＝∠ CBC1，∴△ BCF≌△BA1D(ASA)．②四边形 A1BCE是菱形．原因：∵∠ A1＝∠ A，∠ADE＝∠ A1DB，∴∠ AED＝∠ A1 BD ＝α，∴∠ DEC＝180°－α. ∵∠ C＝α，∴∠ A1＝α，∴∠ A1BC＝360°－∠ A12018 初三数学中考复习图形的旋转专题综合练习题含答案－∠ C－∠ A1EC＝180°－α，∴∠ A1＝∠ C，∠A1 BC＝∠ A1EC.∴四边形 A1BCE是平行四边形．∵ A1B＝BC，∴四边形 A1BCE是菱形．。
北京市海淀区普通中学2018届初三中考数学复习 图形的旋转 专题复习练习题 含答案
北京市海淀区普通中学2018届初三中考数学复习图形的旋转专题复习练习题1. 如图，把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是( )A．6 2 B．6 C．3 2 D．3＋3 22. 将如图所示的正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是( )3. 如图，该图形围绕自己的旋转中心旋转之后能够与它自身相重合，最少需要旋转( )A．60° B．30° C．90° D．120°4. 如图，按a，b，c的排列规律，在空格d上的图形应该是( )A B C D5. 如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在的平面内可作为旋转中心的点共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为_______________．7. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC ＝30°，将△ABC 绕点B 逆时针旋转50°后得到△A′BC′，若A′C′∥BC，则∠A ＝________．8. 如图，在正方形ABCD 中，AD ＝23，把边BC 绕点B 逆时针旋转30°得到线段BP ，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接PC ，则三角形PCE 的面积为_______________．9. 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α度，得到△A 1BC 1，A 1B 交AC 于点E ，A 1C 1分别交AC ，BC 于点D ，F ，下列结论：①∠CDF ＝α度；②A 1E ＝CF ；③DF ＝FC ；④BE ＝BF.其中正确的有____________．(只填序号)10. (1)如图1，在△ABC 中，BA ＝BC ，D ，E 是AC 边上的两点，且满足∠DBE＝12∠ABC(0°＜∠CBE＜12∠ABC)．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC，得到△BE′A(点C的对应点A，点E的对应点E′)，连接DE′.求证：DE′＝DE；(2)如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝12∠ABC(0°＜∠CBE＜45°)．求证：DE2＝AD2＋EC2.11. 如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.(1)证明：△COD是等边三角形；(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)请直接写出当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．12. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)图中哪两个三角形可以通过旋转得到？怎样进行旋转？(3)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？答案： 1---5 ACADC 6. 1－337. 100° 8. 9－5 3 9. ①②④10. 证明：(1)由题意，得BE ′＝BE ，∠E ′BA ＝∠EBC.∵∠DBE ＝12∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC ＝12∠ABC.∴∠ABD ＋∠E′BA ＝12∠ABC，即∠E ′BD ＝12∠ABC .∴∠E ′BD ＝∠DBE.又∵BD＝BD ，∴△E ′BD ≌△EBD(SAS)，∴DE ′＝DE.(2)如图所示，把△CBE 逆时针旋转90°得到△AE′B(点C 的对应点A ，点E 的对应点E′)，连接DE′，由(1)知DE′＝DE.由旋转的性质知E′A＝EC ，∠E′ AB ＝∠ECB.又∵BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°.∴∠E′AD＝∠E′AB＋∠BAC ＝90°.在Rt △DE′A 中，DE′2＝AD 2＋E′A 2，∴DE 2＝AD 2＋EC 2.11. 解：(1)∵将△BOC 绕点C 顺时针旋转60°得△ADC ，∴∠OCD ＝60°，OC ＝CD ，∴△COD 是等边三角形．(2)△AOD 为直角三角形，理由如下：∵△COD 是等边三角形，∴∠ODC ＝60°，由旋转的性质知∠ADC ＝∠BOC ＝α＝150°，∴∠ADO ＝∠ADC －∠ODC ＝150°－60°＝90°，∴△AOD 是直角三角形．(3)α＝125°或110°或140°时，△AOD 是等腰三角形．12. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴BC ＝DC ，∠B ＝∠CDF＝90°.在△CBE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF，BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF.(2)∵△CBE≌△CDF，∠BCD ＝90°， ∴△CBE 可以通过△CDF 绕点C 逆时针旋转90°得到，△CDF 可以通过△CBE 绕点C 顺时针旋转90°得到．(3)GE ＝BE ＋GD 成立. 理由如下：由(1)知△CBE≌△CDF, ∴∠BCE ＝∠DCF ，∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE＝45°.在△ECG 和△FCG 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF，GC ＝GC ，∴△ECG≌△FCG(SAS ). ∴GE＝GF.∴GE＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.。
天津市2018届中考数学复习《旋转问题》专项训练含答案
天津市2018届中考数学复习《旋转问题》专项训练含答案天津市2018年中考数学题型专项训练：旋转问题1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,2),△A B O为等边三角形,P 是x轴上的一个动点(不与O点重合),将线段A P绕A点按逆时针方向旋转60°,P点的对应点为点Q.(Ⅰ)求点B的坐标;(Ⅱ)当点P在x轴负半轴运动时,求证:∠A B Q=90°;(Ⅲ)连接O Q,在点P运动的过程中,当O Q平行A B时,求点P的坐标.第1题图解:(Ⅰ)如解图①,过点B作B C⊥x轴于点C,∵△A O B为等边三角形,且O A=2,∴∠A O B=60°,O B=O A=2,∴∠B O C=30°,而∠O C B=90°,(Ⅱ)∵△A P Q、△A O B均为等边三角形,∴A P=A Q,A O=A B,∠P A Q=∠O A B,∴∠P A O=∠Q A B,在△A P O与△A Q B中,AP AQPAO QAB AO AB⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝,∴△A P O≌△A Q B,∴∠A B Q=∠A O P=90°;(Ⅲ)当点P在x轴正半轴上时,∵∠O A B=60°,∴将A P绕点A逆时针旋转60°时,点Q在点B上方,∴O Q和A B必相交,当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方,∵A B∥O Q,∠B Q O=90°,∠B O Q=∠A B O=60°.在R t△B O Q中,O B=2,∠O B Q=90°－∠B O Q=30°,由(Ⅱ)可知,△A P O≌△A Q B,图①图②第1题解图2.在直角坐标系中,O A=C D,O B=O D,C D⊥x轴于D,E、F分别是O B、O D中点,连接E F交A C于点G.(Ⅰ)如图①,若点A的坐标为(－2,0),S△O C D=5,求点B的坐标;(Ⅱ)如图②,当O B=2O A时,求证:点G为A C的中点;(Ⅲ)如图③,当O B＞2O A,△A B O绕原点O顺时针旋转α(0°＜α＜45°),(Ⅱ)中的结论是否还成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.第2题图解:(Ⅰ)∵A(－2,0),∴O A=2,∵C D⊥O D,C D=O A=2,又∵S△O C D=5,∴O D=5,∴O B=O D=5,∴B(0,5);(Ⅱ)如解图①,连接E C、A E、C F.∵O B=2O A,C D=O A,O D=O B,∵E B=E O,O F=D F,∴O E∥C D,O E=C D,∴四边形O E C D是平行四边形,∴E C=O D,∵A F=O D=E C,∴E C=A F,E C∥A F,∴四边形A E C F是平行四边形,∴A G=C G,即点G为A C的中点;(Ⅲ)成立.理由:如解图②,连接A E、C F,在F E上取一点H,使得C H=C F.∵O B=O D,O E=E B,O F=D F,∴O E=D F,∵∠A O E=∠F D C,O A=C D,∴△A O E≌△C D F,∴A E=C F=C H,∠A E O=∠C F D,∵O E=O F,∴∠O E F=∠O F E,∵∠A E G=∠A E O＋∠O E F,∠C H G=180°－∠C H F=180°－∠C F H=180°－(180°－∠O F E－∠C F D)=∠O F E＋∠C F D,∴∠A E G=∠C H G,∵∠A G E=∠C G H,∴△A E G≌△C H G,∴A G=C G,即点G为A C的中点.图① 图② 第2题解图3.如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(－8,0),直线B C 经过点B (－8,6),C (0,6),将四边形O A B C 绕点O 按顺时针方向旋转角度α得到四边形O A ′B ′C ′,此时边O A ′与边B C 交于点P ,边B ′C ′与B C 的延长线交于点Q ,连接A P .(Ⅰ)求证:四边形O A B C 是矩形;(Ⅱ)在旋转过程中,当∠P A O =∠P O A ,求P 点坐标.(Ⅲ)在旋转过程中,当P 为线段B Q 中点时,连接O Q ,求△O P Q 的面积.第3题图(Ⅰ)证明:∵点A 的坐标为(－8,0),点B (－8,6),C (0,6), ∴∠C O A =∠O A B =∠B =90°, ∴四边形O A B C 是矩形.(Ⅱ)解:如解图①,过点P 作P E ⊥A O 于点E , ∵∠P A O =∠P O A ,∴P A =P O , ∵P E ⊥A O , ∴A E =E O =4, ∴P (－4,6);(Ⅲ)解:如解图②,在R t △O C Q 和R t △O C 'Q 中,CO COOQ OQ⎧⎨⎩＝＝, ∴R t △O C Q ≌R t △O C 'Q ,∴∠O Q C =∠O Q C ', 又∵O P ∥C 'Q , ∵∠P O Q =∠O Q C ',∴∠P O Q =∠P Q O ,∴P O =P Q , ∵B P =Q P ,∴B P =O P =x ,图①图② 第3题解图P A 、P B ,将△A B P 绕着点A 顺时针旋转60°得到△A B ′P ′,连接P P ′.(Ⅰ)求点B′的坐标;(Ⅱ)当△O P A与△A P B满足什么条件时,P O＋P A＋P B的值最小,并求出此最小值;(Ⅲ)试直接写出(Ⅱ)中的点P坐标.∴A B=2,∠B A O=30°,∵将△A B P绕着点A顺时针旋转60°得到△A B′P′,∴A B′=2,∠B′A O=90°,(Ⅱ)由旋转可得,△A P P′是等边三角形,∴P P′=P A,又∵P′B′=P B,∴P O＋P A＋P B=P O＋P P′＋P′B′,∴如解图①,当O、P、P′、B′四点共线时,P O＋P A＋P B的值最小,∴当∠O P A=∠A P B=∠A P′B′=120°时,P O＋P A＋P B的值最小,(Ⅲ)如解图②,将(Ⅱ)中的△O P B绕着点O逆时针旋转60°得到△O B″P″,则∠B O B″=60°,O B″=O B=1由(Ⅱ)可知A 、P 、P ″、B ″四点共线, ∴点P 为O B ′与A B ″的交点,图① 图② 第4题解图5.如图,将两块直角三角板摆放在平面直角坐标系中,有∠C O D =∠A B O =90°,∠O C D =45°,∠A O B =60°,且A O =C D =8.现将R t △A O B 绕点O 逆时针旋转,旋转角为β(0°≤β≤180°).在旋转过程中,直线C D 分别与直线A B ,O A 交于点F ,G .(Ⅰ)当旋转角β=45°时,求点B 的坐标; (Ⅱ)在旋转过程中,当G F =A F ,求β的值;(Ⅲ)在旋转过程中,当∠B O D =60°时,求直线A B 的解析式.第5题图解:(Ⅰ)如解图①,过点B作B H⊥x轴于点H,在R t△A O B中,∠A O B=60°,O A=8,当β=45°时,即∠B O C=45°,∴O H=B H,∴O H2＋B H2=42(Ⅱ)当75°＜β＜180°时,存在F A=F G(如解图④),∴∠A=∠F G A=30°,∴∠C O G=45°－30°=15°=∠A O M,∴β=∠B O C=180°－15°－60°=105°,∴当F G=A F时，β=105°;(Ⅲ)①当点B在第一象限时(如解图②),过点B作B M⊥O C于点M,∵∠B O D=60°,∴∠B O C=30°,∵点A 在y 轴上 ∴A (0,8),设直线A B 的解析式为y =k x ＋b ,②当点B 在第二象限时,(如解图③),过点B 作 B E ⊥x 轴于点E ,过点A 作A H ⊥B E 于H , ∵∠B O D =60°, ∴∠B O E =30°, ∴∠E B O =60°, ∴∠A B H =30°, 又∵O B =4,∵∠B E O =∠A H B =90°,∠A B H =∠B O E , ∴△O B E ∽△B A H ,设直线A B的解析式为y=k x＋b,图①图②图③图④第5题解图6.如图.在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(0,－4),C是x轴上一动点,过C作C D∥A B交y轴于点D.(Ⅱ)若以A,B,C,D为顶点的四边形的面积等于54,求点C的坐标;(Ⅲ)将△A O B绕点A按顺时针方向旋转90°得到△A O′B′,设D的坐标为(0,n),当点D落在△A O′B′内部(包括边界)时,求n的取值范围.(直接写出答案即可)第6题图解:(Ⅰ)∵点A的坐标是(3,0),B的坐标是(0,－4),∴O A=3,O B=4.∵C D∥A B,∴△A O B∽△C O D,(Ⅱ)设O C=3x,则O D=4x,则A C=3＋3x,B D=4＋4x,当点C在x轴负半轴上时:∵四边形A B C D的面积是54,解得:x=2或－4(舍去).则点C的坐标是(－6,0);当点C 在x 轴的正半轴上时,(Ⅲ)O ′的坐标是(3,3),则O ′B ′与y 轴的交点坐标是(0,3); 则B ′的坐标是(－1,3). 设A B ′的解析式是y =k x ＋b ,根据题意得:303k b k b ⎨⎩+-+⎧＝＝,4⎪⎪第6题解图7.如图,O A B C是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为坐标原点,点A 在x轴上,点C在y轴上,O A=9,O C=15,将矩形纸片O A B C绕O点顺时针旋转90°得到矩形O A1B1C1.将矩形O A1B1C1折叠,使得点B1落在x轴上,并与x轴上的点B2重合,折痕为A1D.(Ⅰ)求点B2的坐标;(Ⅱ)求折痕A1D所在直线的解析式;(Ⅲ)在x轴上是否存在点P,使得∠B P B1为直角？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.第7题图解:(Ⅰ)由条件知,B2A1=B1A1=B A=15,A1O=B1C1=B C=9,∴点B2坐标为(12,0);(Ⅱ)B2C1=15－12=3,D C1=m,则B1D=9－m,∵B1D=B2D,解得m=4,∴D点的坐标为(15,4),又∵A1(0,9),设折痕A1D所在直线的解析式为y=k x＋b(k≠0),(Ⅲ)假设存在P 点,∵∠B P A ＋∠B P B 1＋∠B 1P C 1=180°,∠B P B 1=90°, ∴∠B P A ＋∠B 1P C 1=90°,∵∠B A P =90°,∠A B P ＋∠B P A =90°, ∴∠A B P =∠B 1P C 1.在△B A P 和△P C 1B 1中,111190ABP B PC BAP PC B ∠∠∠⎨⎩∠⎧︒＝＝＝,∴△B A P ∽△P C 1B 1.∵A B =15,C 1B 1=9,A C 1=24,设P C 1的长为m, 解得m 1=15或m 2=9.经检验m 1=15或m 2=9是方程的两根, 当P C 1=15时,P 点坐标为(0,0); 当P C 1=9时,P 点坐标为(6,0). 综上所述,P 点坐标为(0,0),(6,0).第7题解图8.如图,在平面直角坐标系中,已知△A O B 是等边三角形,点A 的坐标是(0,4),点B 在第一象限,点P 是x 轴上的一个动点,连接A P ,并把△A O P 绕着点A 按逆时针方向旋转,使边A O 与A B 重合,得到△A B D . (Ⅰ)求点B 的坐标及直线AB 的解析式;(Ⅱ)当点P 运动到点(t ,0)时,试用含t 的式子表示点D 的坐标;的坐标(直接写出结果即可)第8题图解:(Ⅰ)如解图①,过点B 作B E ⊥y 轴于点E ,作B F ⊥x 轴于点F .设直线A B 的解析式是y =kx ＋b (k ≠0),(Ⅱ)∵△A B D由△A O P旋转得到,∴△A B D≌△A O P.∴A P=A D,∠D A B=∠P A O.∴∠D A P=∠B A O=60°,∴△A D P是等边三角形.如解图②,过点D作D H⊥x轴于点H,延长E B交D H于点G,则B G⊥D H. 在R t△B D G中,∠B G D=90°,∠D B G=60°,(Ⅲ)存在.下面分三种情况讨论:②∵当D在x轴上时,如解图③,32图① 图② 图③ 第8题解图9.在平面直角坐标系中,点 A (－2,0),B (2,0),C (0,2),点 D ,点E 分别是 A C ,B C 的中点,将△C D E 绕点C 逆时针旋转得到△C D ′E ′,旋转角为α,连接 A D ′,B E ′. (Ⅰ)如图①,若 0°＜α＜90°,当 A D ′∥C E ′时,求α的大小;(Ⅱ)如图②,若 90°＜α＜180°,当点 D ′落在线段 B E ′上时,求 s i n ∠C B E ′的值; (Ⅲ)若直线A D ′与直线B E ′相交于点P ,求点P 的横坐标m 的取值范围.第9题图解:(Ⅰ)如解图①,∵A (-2,0),B (2,0),C (0,2), ∴OA =OB =OC ,∴∠ACB =90°, ∵△C D ′E ′是△C D E 旋转得到的, ∴∠D ′C E ′=90°,∵A D ′∥C E ′,∴∠A D ′C =∠D ′C E ′=90°,在∴α=60°;(Ⅱ)设F为D′E′的中点，连接CF,如解图②,∵C D′=C E′,∠E′C D′=90°,∴在Rt(Ⅲ)如解图③中,以C为圆心,C D′为半径作⊙C,当B E′与⊙C相切时A P最长,则四边形C D′P E′是正方形,作P H⊥A B于H.′=C D=1A C=2,∵在Rt如解图④中,当B E′与⊙C相切时A P最短,则四边形C D′P E′是正方形,作PH⊥A B于H.图①图②图③图④第9题解图10.如图,在平面直角坐标系中,正方形A B C D的顶点A、B、C、D的坐标分别为(3,0)、(0,3)、(－3,0)、(0,－3),点M为A B上一点,A M:B M=2:1,∠E M F 在A B的下方以M为中心旋转且∠E M F=45°,M E交y轴于点P,M F交x轴于点Q.(Ⅰ)求点M的坐标;(Ⅱ)设A Q的长为y,B P的长为x.求y与x的函数关系式;(Ⅲ)当P为O B的中点时,求四边形O Q M P的面积.第10题图解:(Ⅰ)∵正方形A B C D的顶点A、B、C、D的坐标分别为(3,0)、(0,3)、(－3,0)、(0,－3),∴O A=O B=O C=O D=3,在R t△A O B中由勾股定理,得∵A M:B M=2:1,作M G⊥A C于点G,∴M G∥B D,∴△A M G∽△A B O,BO∴M G=2,∴A G=2,∴O G=1,∴M(1,2);(Ⅱ)∵四边形A B C D是正方形,且A C、B D是对角线,∴∠1=∠5=45°,∴∠3＋∠4=135°,∵∠E M F=45°,∴∠2＋∠4=135°,∴∠2=∠3,有∠1=∠5,(Ⅲ)∵P为O B的中点,作M H⊥B D于H,M S⊥A C于S,由勾股定理可以求得:M H=1,M S=2,图①图②图③第10题解图。
人教版2018年数学中考旋转专项复习 (含答案)
2018年九年级数学中考旋转专项复习1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移1个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；（3）求（2）中点A1旋转到点A2所经过的弧长A1A2（结果保留π）．2.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．3.如图,点P的坐标为（4，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．（1）写出点Q的坐标是；（2）若把点Q向右平移m个单位长度，向下平移2m个单位长度后，得到的点Q′恰好落在第三象限，求m的取值范围．4.如图，△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和AD的长．5.如图1，四边形ABCD是正方形，△ADE经旋转后与△ABF重合．（1）旋转中心是；（2）旋转角是度；（3）如果连接EF，那么△AEF是三角形．（4）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°．求证：EF=BE+DF．6.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．7.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形．8.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AB/C/D/，点C的对应点C/恰好落在CB的延长线上，边AB交边C/D/于点E．（1）求证：BC=BC/．（2）若AB=2，BC=1，求AE的长．9.如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．10.如图，已知在△ABC中，∠BAC=1200，以BC为边向形外作等边三角形△BCD，把△ABD绕着点D 按顺时针方向旋转600后得到△ECD，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数与AD的长.11.直角坐标系中，已知点P（﹣2，﹣1），点T（t，0）是x轴上的一个动点．（1）求点P关于原点的对称点P′的坐标；（2）当t取何值时，△P′TO是等腰三角形？12.如图，已知Rt△ABC中，AB=AC=，点D为直线BC上的动点（不与B、C重合），以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE（点A，D，E按逆时针顺序排列），连结CE．（1）当点D在线段BC上时，①求证：BD=CE；②求CD+CE的值；（2）当点D在直线BC上运动时，直接写出CD与CE之间的数量关系．13.探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得EF=BE+DF，请写出推理过程；②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有EF=BE+DF；（2）拓展:如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.若BD=1,求DE长．14.如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．15.等边△OAB在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），将△OAB绕点O顺时针方向旋转a°（0＜a＜360）得△OA1B1．（1）求出点B的坐标；（2）当A1与B1的纵坐标相同时，求出a的值；（3）在（2）的条件下直接写出点B1的坐标．参考答案1.解：（1）如图，△AB1C1为所作；1（2）如图，△A2B1C2为所作；（3）（2）中点A1旋转到点A2所经过的弧长==π．2.解：（1）如图所示：△AB′C′即为所求；（2）∵AB==5，∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为： =π．3.解：（1）点Q的坐标为（﹣3，4）；故答案为（﹣3，4）；（2）把点Q（﹣3，4）向右平移m个单位长度，向下平移2m个单位长度后,得到的点Q′的坐标为(﹣3+m，4﹣2m),而Q′在第三象限,所以-3+m<0,4-2m<0,解得2＜m＜3,即m范围为2＜m＜3．4.由∠BAC=120°知∠ABC＋∠ACB=60°.又∵∠ABD=∠ABC＋∠CBD=∠DCE，∠CBD=∠BCD=60°，∴∠ACB＋∠BCD＋∠DCE=∠ACB＋∠BCD＋∠ABC＋∠CBD=180°，即点A、C、E在一条直线上．又∵AD=ED，∠ADE=60°，∴△ADE为等边三角形．∴∠BAD=∠E=60°，AD=AE=AC＋CE=AC＋AB=5.5.解：（1）由图1可得，旋转中心是点A，故答案为：点A；（2）由图1可得，旋转角=∠DAB=90°，故答案为：90；（3）根据∠EAF=∠DAB=90°，AE=AF可得，△AEF是等腰直角三角形；故答案为：等腰直角；（4）如图所示，将△ABE绕A点逆时针旋转90°，得到△ADE′，因为∠EAF=45°，所以∠BAE+∠DAF=45°，因为∠BAE=∠DAE′，所以∠FAE′=45°，所以∠FAE′=∠FAE，又因为AF=AF，AE=AE′，所以△EAF≌△E′AF（SAS），所以EF=E′F，因为E′F=DF+DE′，E′D=BE，所以EF=BE+DF．6.解：（1）如图1所示：（2）如图2所示：（3）找出A的对称点A′（﹣3，﹣4），连接BA′，与x轴交点即为P；如图3所示：点P坐标为（2，0）．7.（1）证明：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，∴∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAD=∠CAE=100°，又∵AB=AC，∴AB=AC=AD=AE，在△ABD与△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）解：∵∠CAE=100°，AC=AE，∴∠ACE===40°；（3）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，∴∠BAE=∠BFE，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AB=AE，∴平行四边形ABFE是菱形．8.解：（1）连结AC、AC/，如图．∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=90°，即AB⊥CC/．由旋转，得AC=AC/，∴BC=BC/．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC,∠D=∠ABC/=90°．∵BC=BC/，∴BC/=AD/．由旋转，得AD=AD/，∴BC/=AD/．∴△AD/E≌△C/BE．∴BE=D/E．设AE=x，则D/E=2-x．在Rt△AD/E中，∠D/=90°，由勾股定理，得x2-(2-x)2=1．解得x=．∴AE=．9.证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2．10.（1）证明：∵△BCD为等边三角形，∴∠3=∠4=60°，DC=DB，∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴∠5=∠1+∠4=∠1+60°，∴∠2+∠3+∠5=∠2+∠1+120°，∴∠2+∠3+∠5=60°+120°=180°，∴点A、C、E在一条直线上；（2）∵点A、C、E在一条直线上，而△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴∠ADE=60°，DA=DE，∴△ADE为等边三角形，∴∠DAE=60°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°；（3）∵点A、C、E在一条直线上，∴AE=AC+CE，∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴CE=AB，∴AE=AC+AB=2+3=5，∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE=5．解：11.12.（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ACD和△BCE中，有，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2×=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，∴BE==BN．∵AD=BE，AE=AD+DE，∴AE=BE+DE=BN+2CM．13.（1）如图1所示过点B作BC⊥OA，垂足为C．∵△OAB为等边三角形，∴∠BOC=60°，OB=BA．∵OB=AB，BC⊥OA，∴OC=CA=1．在Rt△OBC中，，∴BC=．∴点B的坐标为（1，）．（2）如图2所示：∵点B1与点A1的纵坐标相同，∴A1B1∥OA．①如图2所示：当a=300°时，点A1与点B1纵坐标相同．如图3所示：当a=120°时，点A1与点B1纵坐标相同．∴当a=120°或a=300°时，点A1与点B1纵坐标相同．（3）如图2所示：由旋转的性质可知A1B1=AB=2，点B的坐标为（1，2），∴点B1的坐标为（﹣1，）．如图3所示：由旋转的性质可知：点B1的坐标为（1，﹣）．∴点B1的坐标为（﹣1，）或（1，﹣）．。