中考二轮复习题型二：选择压轴题之几何图形最值问题-(数学)AlAKlU
题型二 选择压轴题之几何图形最值问题
类型一线段最值问题
1. 如图，在△ ABC 中，/ BAC = 90° AB = 3, AC =
4,
P 为边 BC 上一动点，PE 丄AB 于 E ,
PF 丄AC
于F , M 为EF 的中点，贝U PM 的最小值为（
）
和AC 上的动点，贝U PC + PQ 的最小值是（
3.如图，在 Rt A ABC 中，/ B = 90° AB = 3, BC = 4，点D 在BC 上，以 AC 为对角线的所有 ？ADCE 中，DE 的最小值是（
）
点，贝U PC + PD 的最小值为（
）
A.1.2
D. 2.4
2.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB = 90°
12 A ・5
B. 4
24 C.24
D. 5
A.3
B. 2
C.4
D. 5
4.如图，菱形 值是（
）
ABCD 中，/ ABC = 60° 边长为
1
3, P 是对角线BD 上的一个动点，则2PB + PC 的最小
C.3
D. 2 + ；3
5. 如图，在△ ABC 中，AC = BC , / ACB = 90° 点
D 在BC 上，BD = 3, DC = 1，点P 是AB 上的动
A.4
C.1.4
AC = 6,
若P , Q 分别是AD
第3题图
第4题图
C.6
第5题图 第6题图
6. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE = CF ,连接BF 、 DE ，贝U BF + DE 的最小值为（
）
边BC , CD 上，则△ AMN 周长的最小值为（
）
1
BP ,贝U AP + 2BP 的最小值为
A.2 .'5
B. 4 ,'5
7. 如图，在四边形 ABCD 中，/ BAD = 120° / C.2 /3
D. 4 ! 3
B =Z D = 90° AB = 2, AD = 4，点 M ，点 N 分别在
A.3 ：7
D. 11
8.如图，在直角坐标系中，点 （1，5）和（4，0），点C 是y 轴上的一个动点，且 B 、C 三点不在同一条直线上，当△
ABC 的周长最小时，点 C 的坐标是（
）
A.(0，1)
B. (0， 2)
C.(0， 3)
D. (0，4)
9.如图，矩形
ABCD 中，AB = 8, BC = 6，点 E , F , G , H 分别在矩形 ABCD 各边上，且 AE = CG ,
BF = DH ，则四边形 A.4 .'3
EFGH 周长的最小值为（
）
C.8 .' 7
B. 10
li
10.如图，在 Rt △ ABC
中，/ ACB = 90° CB = 4, CA = 6, O C 半径为2, P 为圆上一动点，连接 AP ,
A. 37
B. 6
C.2 . 17
D. 4
11.如图，在 Rt △ ABC
中, / ACB = 90° AC = 8, BC = 6，动点F 在边BC 上运动，连接 AF ，过点C
作CD 丄AF 于点D ，交AB 于点
E ，则B 、D 两点之间距离的最小值为 （
）
A.2
B. 4
C.2 . 13-3
D. 2 . 13-
4
A 、
B 的坐标分别为 \
II I ）
第9题图
第11题图 第12题图
12.如图，在等边△ ABC 中，BF 是AC 边上中线, 点D 在BF 上，连接AD ，在AD 的右侧作等边△ ADE ,
接AE 、BF ，交于点 G ,连接DG ,则DG 的最小值为（
）
16.在Rt A ABC 中，/ ACB = 90° AC = 8, BC = 6,点D 是以点 A 为圆心，4为半径的圆上一点，连 接BD ，点M 为BD 中点，线段CM 长度的最大值为（
）
类型二面积最值问题（拓展）
1.如图，点E 为边长为4的等边△ ABC 的BC 边上一动点（点E 不与B 、C 重合），以AE 为边作等边△ AEF ，则△ AEF 面积的最小值是（
）
2. （2017合肥蜀山区模拟）如图，O O 的半径是2,直线 两个动点，且在直线I 的异侧，若/ AMB = 45°,则四边形 MANB 面积的最大值是（
）
3. 如图，在矩形 ABCD 中，AD >AB ,点E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且 CE + CF = 8，若sin / ABD
连接EF ，当△ AEF 周长最小时，/ CFE 的大小是
A.30
B. 45
C.60
D. 90
13.在平面直角坐标系中，点
O 为坐标原点, 占 八
A 、
B 、
C 的坐标分别为 A （ .3, 0）、B （3.'3, 0）、C （0,
5），点D 在第一象限内，且/ ADB = 60 °则线段 CD 的长的最小值是（ ）
C.2 .'7 — 2
D. 2 . 10 — 2
14.如图, 在 Rt A ABC 中，/ C = 90° AC = 6, BC = 8,点 F 在边 AC 上，并且 CF = 2, 点E 为边BC
上的动点，将△ CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是（
A.3
3
C.3
15.如图
, 第14题图
第15题图
正方形 ABCD 的边长为2,点E 、F 分别是边BC 、CD 的延长线上的动点，且
CE =DF ，连
A. .;3 — 1
B. ,'5 — 1
C. ；'3
A.8
B. 7
C.6
D. 5
A.2
l 与O O 相交于A 、B 两点，M 、N 是O O 上的
A.2
B. 4
C.2 .2
D. 4 2
第1题图
C. 3
4
=4，BD = 20,则厶AEF 的面积的最小值为（ ）
5
+ Z CBP = 90°连接DP ,。
卩，则厶DCP 面积的最小值为（
）
类
型一
线段最值问题
1. A
2. C
3. A
4. B
5. B
6. B
7. B
8. D
9. D 10.
A
11
.D 12. D 13. C 14. B 15. B
16. B
类型二 面积最值问题 （拓
展）
1. D
2. D
3. B
4. D
A.24
B. 46
C.64
D. 96
4.如图，在菱形 f)
H
E C
第3题图
ABCD 中，/ BAD = 135° AB = 4羽,
点P 是菱形ABCD 内或边上的一点,
DAP
A.4 ,2
B. 8 - 5 3
C.4 — 2 ,2
D. 8 2- 8。
安徽中考重难题型精讲练2题型二 选择压轴题之几何图形最值问题
题型二
选择压轴题之几何图形最值问题
典例精讲
三、利用圆的相关性质求线段最值
典例精讲
例4 如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段 PQ的中点为M，连接OP，OM.若⊙O的半径为2，OP＝4， 则线段OM的最小值是( B ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】如解图，取OP的中点N，连接MN，OQ，可判断 1 MN为△POQ的中位线，则MN＝ OQ＝1，则点M在以N为 2 圆心，1为半径的圆上，所以当点M在ON上时，OM最小， 1 最小值为ON－MN＝ OP－MN＝1. 2
题型二 选择压轴题之几何图 形最值问题
题型二
选择压轴题之几何图形最值问题
典例精讲
典例精讲
类型一
线段最值问题
一、利用垂线端最短求线段的最值 例1 如图，点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E， PF⊥BC于F，BC＝6，AC＝8，则线段EF的最小值为( A ) A. 4.8 B. 3.2 C. 4 D. 5 【解析】如解图，连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，
例1题解图
题型二
选择压轴题之几何图形最值问题
典例精讲
二、利用轴对称与三角形三边关系求线段最值
典例精讲
例2 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC的中点． 若F为边AB上的一个动点，则△DEF的周长最小值为( D ) A. 6 5 B. 2 13＋ 5 C. 16 D. 3 5＋ 13 【解析】如解图，作点E关于AB的对称点E′，连接DE′交AB 于F，∵FE′＝FE，∴DF＋EF＝DF＋FE′＝DE′，根据两点 之间线段最短，得出△DEF周长最小值为DE＋DE′，DE＝ ＝ ＝ CD ，DE ′＝ EC
中考数学压轴题动点问题专题复习--几何最值问题
中考数学动点问题专题复习--几何最值问题（2）垂线段最短（延伸：斜边大于直角边）方法技巧归纳类型一：在直线1上找到一点P，使得PA+PB最短做法如图，连接A、B与的交点即为所求类型二：在直线1上找到一点P，使得PA+PB最短做法如图，做点B关于直线1的对称点B，连接AB与的交点即为点P注：因为A、B两点是固定的，所以当题目要求找到一点P使得△PAB的周长最小时，做法也是样的类型三：在直线上找到两点EF（点E在点F的左侧），EF的距离是定值，使得AE+EF+FB最小做法如图，过A做AA＇∥且AA＇=EF，做B关于直线的对称点B＂，连接A＇B＇与直线z的交点即为F，过A做A＇F的平行线与直线1的交点即为点E注：同样地，因为AB两点是固定的，所以当题目要求使得四边形AEFB周长最小时，也是用同样的方法类型四：直线a与直线b平行，在直线a上找到一点A，过点A作直线b的垂线交于点B，如何确定点A的位置可以使PA+AB+BQ最短做法如图，做PD垂直直线b交直线a于点C，交直线b于点D，在PD上截取PE=CD，连接EQ，EQ与直线b的交点即为点B，过点B做直线a的垂线，交点即为点A，连接PA即可（这种方法在实际生活中的应用就是著名的修桥问题）类型五：在直线l 上找到一点M ，使得|MA - MB|最小；直线l 上找到一点N ，使得|NA - NB|最大做法如图，做AB 的中垂线与直线相交，交点即为M ，此时|MA - MB|有最小值0；延长BA 与直线1相交，交点即为N ，此时|NA - NB|有最大值为AB类型六：点P 是∠AOB 内部一点，在OA 上找到一点M ，OB 上找到一点N 使得三角形PMN 的周长最小做法如图，分别作点P 关于OA 、OB 的对称点1P ，2P ，连接21P P ，与OA 的交点即为M ，与OB 的交点即为N.此时，三角形PMN 的周长最短类型七：点P 是∠AOB 内部一点，在OA 上找到一点M ，过点M 作MN 垂直OB 交OB 于点N ，使得PM+MN 的最小做法如图，作点P 关于OA 的对称点Q ，做QN 垂直OB 于N ，则QN 与OA 的交点即为M经典例题精讲例1.在正方形ABCD中, AB=4,M是DC上的一点,且DM=1,N是AC上的动点, （1）求DN+MN的最小值与最大值. （2）求|DN - NM|的最小值与最大值.例2.（山东东营中考）如图5-2-15，已知形ABCD的周长为16，面积为8，E 为AB的动点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（）例3.（辽宁营口中考）如图所示，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）例4.（福建荔城区二模）如图8-6-11所示在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=6.点E是AB的中点，P，Q是BD上的动点，且始终保持PQ=2.则四边形AEPQ周长的最小值为（）例5. 如图，已知直线21//l l ，直线之间的距离为8，点P 到直线1l 的距离为6，例6.（山东日照模拟）如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ）例7. （安徽中考）如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，动点P 满足3S △PAB=S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA+PB 的最小值为（） A.29 B.34 C.52 D.41CA B例8.在直角坐标系中有A,B 两点,要在y 轴上找一点C,使得它到A,B 的距离之和最小,现有如下四种方案,其中正确的是( )例9.如图,正△ABC 的边长为2,过点B 的直线L ⊥AB,且△ABC 与''BC A 关于直线l 对称,D 为线段BC’上一动点,则AD+CD 的最小值是( )例12. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两例13.如图所示，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AC=5，BC=4.过点A 作直线l平行于BC，折叠三角形纸片AB，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN.当点P在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点MN分别在AB，BC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值之差为（）A.7B.6C.6+17D.1例14.如图,四边形ABCD中,AC⊥BD相交于E，且EC＞EA，ED﹤EB，,求证:.BC+AD＞AB+CD例15.如图,矩形ABCD 是一个长为1000米、宽为600米的货场,A 、D 是入口.现拟在货场内建一个收费站P,在铁路线BC 段上建一个发货站台H,设铺设公路AP 、DP 及PH 之长度和为L.(1)求L 的最小值.(2)请指出当l 取最小值时,收费站P 和发货站台H 的几何位置.例16. 如图 , E , F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点,满足 连接 CF 交 BD 于点 G ,连接 BE 交 于点 H .若正方形的边长为 2 ,则线段 长度的最小值是_________.BC 上的动点,BEF ∆沿直线EF 翻折到EF B '∆,连结'DB ,C B ',.当B D '最短时,则CF B 'sin ∠=______例18.如图1,平行四边形ABCD 中,BC AE ⊥于E,AD AE =,AB EG ⊥于G,延长GE 、DC 交于点F,连接AF.(2)求证:FC BG EG +=;沿ME 翻折得ME G '∆,连接'DG ,试求当'DG 取得最小值时GM 的长.。
中考数学题型二 选择压轴题之几何最值问题
考法 类型 1 线段最值问题
例3
高分技法
利用“到定点的距离等于定长的点位于同一个圆上”或“90°的圆周 角所对的弦是直径”等可以确定某些动点的运动轨迹是圆(或圆弧).当 圆外一定点与圆上一动点位于圆心同侧,且三点共线时,该动点到圆外 定点的距离最短; 当圆外一定点与圆上一动点位于圆心异侧,且三点共 线时,该动点到圆外定点的距离最长.
考法技法
[2019江苏无锡]如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=4 5 ,D为边AB 上一动点(不与B点重合),以CD为一边作正方形CDEF,连接BE, 则△BDE的面积的最大值为 8 .
思路分析
过点E作直线AB的垂线,垂足为点H,过点C作直线
AB的垂线,垂足为点G,设BD=x,易证△EDH ≌
考法 类型1 线段最值问题
2.利用“轴对称”求线段最值
例2
高分技法
（2019安徽）如图,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,
且AC=12,点P在正方形的边上,则满足PE+PF=9的点P的个数是 ( D
) A.0 B.4 C.6 D.8 思路分析
利用轴对称可求出PE+PF的最小值,再分别求出点P与点C、点P与
考法 类型 1 线段最值问题
3.利用圆的相关性质求线段最值
例3
高分技法
[2016安徽]如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部 的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC.则线段CP长的最小值为( B )
思路分析 根据已知条件分析得到点P在以AB为直径的圆上,根据圆的相关 性质即可求得CP的长的最小值.
线段MN长的最小值为 12 .
思路分析
5
先由勾股定理求出BC的长,再证明四边形 DMAN是矩形,连接AD,可得MN=AD,然后 根据“垂线段最短”和三角形面积公式即可 解决问题.
中学考试压轴题突破几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)
中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形最值问题在几何图形中分两大类：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
举例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r ≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。
简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。
（二）动点路径待确定例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。
(2020精校)中考二轮复习题型二：选择压轴题之几何图形最值问题
题型二 选择压轴题之几何图形最值问题类型一 线段最值问题1. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 的中点，则PM 的最小值为( )A.1.2B. 1.3C.1.4D. 2.4第1题图 第2题图2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC ＋PQ 的最小值是( ) A.125 B. 4 C.245D. 5 3. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有▱ADCE 中，DE 的最小值是( )A.3B. 2C.4D. 5第3题图 第4题图4. 如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则12PB ＋PC 的最小值是( )A. 3B. 332C.3D. 32＋ 3 5. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在BC 上，BD ＝3，DC ＝1，点P 是AB 上的动点，则PC ＋PD 的最小值为( )A.4B. 5C.6D. 7第5题图 第6题图6. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE ＝CF ，连接BF 、DE ，则BF ＋DE 的最小值为( ) A.2 5 B. 45 C.23 D. 4 37. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝2，AD ＝4，点M ，点N 分别在边BC ，CD 上，则△AMN 周长的最小值为( ) A.37 B. 47 C.27＋6 D. 11第7题图 第8题图 8. 如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1，5)和(4，0)，点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是( )A.(0，1)B. (0，2)C.(0，3)D. (0，4)9. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点E ，F ，G ，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE ＝CG ，BF ＝DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )A.4 3B. 10C.87D. 20第9题图 第10题图 10. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，则AP ＋12BP 的最小值为( ) A.37 B. 6 C.217 D. 411. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，动点F 在边BC 上运动，连接AF ，过点C 作CD ⊥AF 于点D ，交AB 于点E ，则B 、D 两点之间距离的最小值为( )A.2B. 4C.213－3D. 213－4第11题图第12题图12. 如图，在等边△ABC中，BF是AC边上中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是( )A.30°B. 45°C.60°D. 90°13. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为A(3，0)、B(33，0)、C(0，5)，点D在第一象限内，且∠ADB＝60°，则线段CD的长的最小值是( )A.23－2B. 25－2C.27－2D. 210－214. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是( )A.3B. 65C.35D. 2第14题图第15题图第16题图15. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边BC、CD的延长线上的动点，且CE＝DF，连接AE、BF，交于点G，连接DG，则DG的最小值为( )A.3－1B. 5－1C. 3D. 516. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为( )A.8B. 7C.6D. 5类型二面积最值问题(拓展)1. 如图，点E为边长为4的等边△ABC的BC边上一动点(点E不与B、C重合)，以AE 为边作等边△AEF，则△AEF面积的最小值是( )A.2B. 4C. 3D. 3 3第1题图第2题图2. (2017合肥蜀山区模拟)如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是( )A.2B. 4C.22 D. 423. 如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E、F分别是BC、DC上的点，且CE＋CF＝8，若sin∠ABD＝45，BD＝20，则△AEF的面积的最小值为( )A.24B. 46C.64D. 96第3题图第4题图4. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝135°，AB＝42，点P是菱形ABCD内或边上的一点，且∠DAP＋∠CBP＝90°，连接DP，CP，则△DCP面积的最小值为( )A.4 2B. 8－523 C.4－2 2 D. 82－8类型一线段最值问题1. A2. C3. A4. B5. B6. B7. B8. D9. D 10. A11. D 12. D 13. C 14. B 15. B 16. B类型二面积最值问题(拓展)1. D2. D3. B4. D参考答案。
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【通用版】中考数学二轮复习压轴题之解答题专题四几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。
几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。
【解题攻略】最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题．【解题类型及其思路】解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。
【典例指引】类型一【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】典例指引1．（2017年天津市东丽区立德中学模拟）如图，已知一次函数y1=12x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣5，0）．（1）求二次函数的最大值；（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程13113xa x⎛⎫++⎪--⎝⎭=0的根，求a的值；（3）若点F、G在图象C′上，长度为5的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．【解析】试题分析: （1）首先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出其最大值；（2）联立y1与y2，求出点C的坐标为C（72，114），因此使y2>y1成立的x的取值范围为0<x<72，得s=1+2+3=6；将s的值代入分式方程，求出a的值；（3）如图，四边形DEFG是一个梯形，将其面积用含有未知数的代数式表示出来，这个代数式是一个二次函数，根据其最值求出未知数的值，进而得到面积最大时点D、E的坐标．试题解析:解：（1）∵二次函数y2=﹣x2+mx+b经过点B（0，1）与A（250），∴2b=-1{-2-5+2-5m+b=0（）（）,解得4{1mb==,∴l：y1=12x+1；C′：y2=﹣x2+4x+1．∵y2=﹣x2+4x+1=﹣（x﹣2）2+5，∴y max=5；（3）∵点D、E在直线l：y1=12x+1上，∴设D（p，12p+1），E（q，12q+1），其中q＞p＞0．如答图1，过点E作EH⊥DG于点H，则EH=q﹣p，DH=12（q﹣p）．在Rt△DEH中，由勾股定理得：EH2+DH2=DE2，即（q﹣p）2+[12（q﹣p）]2=52，解得q﹣p=2，即q=p+2．∴EH=2，E（p+2，12p+2）．当x=p时，y2=﹣p2+4p+1，∴G（p，﹣p2+4p+1），∴DG=（﹣p2+4p+1）﹣（12p+1）=﹣p2+72p；当x=p+2时，y2=﹣（p+2）2+4（p+2）+1=﹣p2+5，∴F（p+2，﹣p2+5），∴EF=（﹣p2+5）﹣（12p+2）=﹣p2﹣12p+3．S四边形DEFG=12（DG+EF）•EH=12[（﹣p2+72p）+（﹣p2﹣12p+3）]×2=﹣2p2+3p+3 ∴当p=34时，四边形DEFG的面积取得最大值，∴D（34，118）、E（114，198）．如答图2所示，过点D关于x轴的对称点D′，则D′（34，﹣118）；连接D′E，交x轴于点P，PD+PE=PD′+PE=D′E，由两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小．设直线D′E的解析式为：y=kx+b，则有31148{111948k bk b+=-+=，解得158{8932kb==-∴直线D′E 的解析式为：y=158x ﹣8932． 令y=0，得x=8960， ∴P （8960，0）． 【名师点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、函数最值、分式方程的解、勾股定理、轴对称−最短路线等知识点，涉及考点众多，难度较大．本题难点在于第（3）问，涉及两个最值问题，第1个最值问题利用二次函数解决，第2个最值问题利用几何性质解决． 【举一反三】（2018年湖北省宜昌市夷陵区模拟）如图，已知二次函数的图象经过点A （3，3）、B （4，0）和原点O ．P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D （m ，0），并与直线OA 交于点C ． （1）求直线OA 和二次函数的解析式； （2）当点P 在直线OA 的上方时， ①当PC 的长最大时，求点P 的坐标； ②当S △PCO =S △CDO 时，求点P 的坐标．【解析】试题分析： ()1设()4y ax x =-， 把A 点坐标代入即可求出二次函数解析式.设出直线OA 的解析式，把点A 坐标代入即可.()2①根据点的坐标求出23PC m m =-+，化成顶点式即可求出线段PC 的最大值； ②根据点的坐标设出点P 和点C 的坐标，表示出PC 和CD 的长度，要使得PCO CDO S S =V V ， 则有PC CD =， 代入求出坐标即可；()2 ()0D m Q ，， PD x ⊥ 轴，P 在24y x x =-+上，C 在y x =上， ()()2,4P m m m C m m ∴-+，，，2243PC PD CD m m m m m ∴=-=-+-=-+， ①10-<Q ， ∴当()33212m =-=⨯- 时，PC 的长最大，315,24P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；②当PCO CDO S S =V V 时，即PC CD =，当PC CD =时，则有23m m m -+=， 解得1220m m ==，（舍去），()24P ∴，．类型二 【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】典例指引2．（广东省深圳市宝安区2017届中考数学二模）如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．（3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．【解析】试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，表示PD=﹣2334m m +，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC V V 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365，求L 的最大值即可；（3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4+94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析:（1）由OC=3OA ，有C （0，3），将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：0{1640 3a b c a b c c -+=++==，解得： 349{ 43a b c =-==， 故抛物线的解析式为：y=﹣234x +94x+3； （2）如图2，设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3）， 设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，则40{3k b b +==解得： 3{ 43k b =-=∴直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3， 则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2334m m +，∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ， ∴∠BDE=∠BCO ， ∵∠BDE=∠PDF ， ∴∠PDF=∠BCO ， ∵∠PFD=∠BOC=90°， ∴△PFD ∽△BOC ， ∴=PED PDBOC BCV V 的周长的周长，由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5， 故△BOC 的周长=12，∴2334125m m L -+=， 即L=﹣95（m ﹣2）2+365， ∴当m=2时，L 最大=365；（3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3， 当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ， 当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ， ∴∠PCQ=∠CPD ， ∴∠PCD=∠CPD ， ∴CD=PD ， ∴CD=DP=PQ=QC ，∴四边形CDPQ 是菱形， 过D 作DG ⊥y 轴于点G ，设P （n ，﹣234n +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣334n +）， 在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣34n+3）﹣3]2+n 2=22516n ， 而|PD|=|（﹣239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34n+3）|=|﹣234n +3n|，∵PD=CD ，∴﹣235344n n n +=①， ﹣235344n n n +=-②， 解方程①得：n=73或0（不符合条件，舍去），解方程②得：n=173或0（不符合条件，舍去），当n=73时，P （73， 256），如图3，当n=173时，P （173，﹣253），如图4，综上所述，存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73， 256）或（173，﹣253）． 【名师点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．【举一反三】（2017年天津市红桥区中考数学三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数5 4y x m=+（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究1212·M P M PM M是否为定值，并写出探究过程．【解析】试题分析：（1）首先求得m的值和直线的解析式，根据抛物线对称性得到B点坐标，根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式；（2）存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．如答图1所示，过点E作EG⊥x轴于点G，构造全等三角形，利用全等三角形和平行四边形的性质求得E点坐标和平行四边形的面积．注意：符合要求的E点有两个，如答图1所示，不要漏解；解：（1）∵54y x m=+经过点（﹣3，0），∴0=154-+m，解得m=154，∴直线解析式为51544y x=+，C（0，154）．∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0），∴另一交点为B（5，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），∵抛物线经过C（0，154），∴154=a•3（﹣5），解得a=14-，∴抛物线解析式为y=14-x2+12x+154；（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则AC∥EF且AC=EF．如答图1，（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，又∵90{EGF COAGFE OACFE AC∠=∠=︒∠=∠=，∴△CAO≌△EFG，∴EG=CO=154，即y E=154，∴154=14-x E2+12x E+154，解得x E=2（x E=0与C点重合，舍去），∴E（2，154），S▱ACEF=152；（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，同理可求得E′（31+1，154-），S▱ACF′E′=1531105+．（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．∵B（5，0），C（0，154），∴直线BC解析式为y=34-x+154，∵x P=1，∴y P=3，即P（1，3）．令经过点P（1，3）的直线为y=kx+b，则k+b=3，即b=3﹣k，则直线的解析式是：y =kx +3﹣k ， ∵y =kx +3﹣k ，y =14-x 2+12x +154， 联立化简得：x 2+（4k ﹣2）x ﹣4k ﹣3=0， ∴x 1+x 2=2﹣4k ，x 1x 2=﹣4k ﹣3． ∵y 1=kx 1+3﹣k ，y 2=kx 2+3﹣k ， ∴y 1﹣y 2=k （x 1﹣x 2）． 根据两点间距离公式得到：M 1M 2()()221212x x y y -+-()()2221212x x k x x -+-()22121?k x x +-∴M 1M 2()2212121?4k x x x x ++-()()221?24443k k k +----（1+k 2）．又M 1P ()()221113x y -+-()()2211133x kx k -++--()2211?1k x +-；同理M 2P ()2221?1k x +-∴M 1P •M 2P =（1+k 2）•()()221211x x --=（1+k 2）•()212121x x x x ⎡⎤-++⎣⎦=（1+k 2）()243241k k ⎡⎤----+⎣⎦（1+k 2）． ∴M 1P •M 2P =M 1M 2， ∴1212·M P M PM M =1为定值．类型三 【确定三角形、四边形的面积最值或符合条件的点的坐标】典例指引2．（2017届江苏省东海县南辰中学模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 、B 、C 的坐标分别为(-1，0)，(5，0)，(0，2)．（1）求过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；（2）若点P 从A 点出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B 点移动，连接PC 并延长到点E ，使CE=PC ，将线段PE 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PF ，连接FB ．若点P 运动的时间为t 秒(0≤t≤6)，设△PBF 的面积为S ； ①求S 与t 的函数关系式；②当t 是多少时，△PBF 的面积最大，最大面积是多少？（3）点P 在移动的过程中，△PBF 能否成为直角三角形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由．【解析】分析：（1）因为抛物线过A 、B 、C 三点，所以此三点的坐标使抛物线的解析式成立．（2）①此题要分作两种情况进行讨论：一、当P 点位于原点左侧，线段OA 上；此时0≤t<1，可用t 表示出OP 、BP 的长，欲求△BPF 的面积，关键要求出BP 边上的高，可过F 作FD⊥x 轴于D ；由于∠CPF=90°，易证得△OPC∽△DFP，根据已知条件可知PF=PE=2PC ，即两个相似三角形的相似比为2，那么DF=2OP ，由此可得到DF 的长，以BP 为底，DF 为高，即可求得△BPF 的面积表达式，也就得到了关于S 、t 的函数关系式；二、当P 点位于原点右侧，线段BP 上；此时1<t<6，可仿照一的方法进行求解；②根据①得到的S 、t 的函数关系式，及相应的自变量的取值范围，即可根据函数的性质求得S 的最大值及对应的t 值，然后进行比较即可得到结果．（3）当P 位于线段OA 上时，显然△PFB 不可能是直角三角形；由于∠BPF<∠CPF=90°，所以P 不可能是直角顶点，可分两种情况进行讨论：①F 为直角顶点，过F 作FD ⊥x 轴于D ，由（2）可知BP=6-t ，DP=2OC=4，在Rt △OCP 中，OP=t-1，由勾股定理易求得CP=t2-2t+5，那么PF²=22CP （）=4（t²-2t+5）；在Rt △PFB 中，FD ⊥PB ，由射影定理可求得PB=PF²÷PD=t²-2t+5，而PB 的另一个表达式为：PB=6-t ，联立两式可得t²-2t+5=6-t ，即t=52； ②B 为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=2．本题解析：（1）（法一）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c （a≠0）， 把A （﹣1，0），B （5，0），C （0，2）三点代入解析式得： 025502a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得25852a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴228255y x x =-++； （法二）设抛物线的解析式为y=a （x ﹣5）（x+1）， 把（0，2）代入解析式得：2=﹣5a ，∴25a =-； ∴()21(-55y x x =-+），即228255y x x =-++；（2）①过点F 作FD⊥x 轴于D ，当点P 在原点左侧时，BP=6﹣t ，OP=1﹣t ； 在Rt△POC 中，∠PCO+∠CPO=90°， ∴∠FPD+∠CPO=90°， ∵∠PCO=∠FPD； ∴∠POC=∠FDP，∴△CPO∽△PFD， ∴FD FPPO PC=∴PF=PE=2PC， ∴FD=2PO=2（1﹣t ）； ∴S △PBF =12BP DF ⨯=t 2﹣7t+6（0≤t＜1）； 当点P 在原点右侧时，OP=t ﹣1，BP=6﹣t ； ∵△CPO∽△PFD， ∴FD=2（t ﹣1）；∴S △PBF =12BP DF ⨯=﹣t 2+7t ﹣6（1＜t ＜6）； ②当0≤t＜1时，S=t 2﹣7t+6；此时t 在t=3.5的左侧，S 随t 的增大而减小， 则有：当t=0时，S max =0﹣7×0+6=6；当1＜t＜6时，S=﹣t2+7t﹣6；由于1＜3.5＜6，故当t=3.5时，S max=﹣3.5×3.5+7×3.5+6=6.25；综上所述，当t=3.5时，面积最大，且最大值为6.25．（3）能；①若F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，由（2）可知BP=6﹣t，DP=2OC=4，在Rt△OCP中，OP=t﹣1，由勾股定理易求得CP2=t2﹣2t+5，那么PF2=（2CP）2=4（t2﹣2t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥P B，由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2﹣2t+5，而PB的另一个表达式为：PB=6﹣t，联立两式可得t2﹣2t+5=6﹣t，即t=15+，P点坐标为（51-，0），则F点坐标为：（5，51-）；②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，那么BP=2OC=4，即OP=OB﹣BP=1，此时t=2，P点坐标为（1，0）．FD=2（t﹣1）=2，则F点坐标为（5，2）．【名师点睛】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，三角形面积的求法，直角三角形的判定，相似三角形的判定与性质，知识点较多，在求关于动点问题时，要分情况讨论结果，即注意分类讨论思想的运用.【举一反三】如图，二次函数 21y ax bx =+-的图象与x 轴与交于点A 、点B （2，0），与y 轴交于点C ，∠ACB =90o．(1)求二次函数解析式;（2）直线l 与y 轴平行，分别交线段AB 、CB 于点E 、F ，且与抛物线交于点P ． ①求线段PF 取得最大值时，OE 的长；②四边形ACPB 的面积是否存在最大值？如果存在求出此最大值和点P 的坐标；如果不存在，说明理由．(3)不解方程组，直接写出212,{21y x y ax bx =-=+-的解．【解析】分析：（1）由△AOC ∽△COB 得：OA=12 ,则点A （-12，0），把A 、B 代入联立方程组，即可求解；（2）①由题意得到直线BC 的解析式为： 112y x =-，分别设出点E 、F 、P 的坐标，用含m 的式子表示，从而求出线段PF 取得最大值时，OE 的长；②利用ABC CPF BPF ACPE S S S S ∆∆∆=++四边形 ,得到关于m 的二次函数，配成顶点式，即可求解；（4）根据函数图象可得出结果. 本题解析：（1）∵∠ACB =90o， OC AB ⊥,∴12OA OC OC OB == ∴12OA =,∴点A 的坐标为102-（，∴11 01, 42 0421a ba b⎧=--⎪⎨⎪=+-⎩∴1,32ab=⎧⎪⎨=-⎪⎩∴2312y x x=--（2）①设直线BC的解析式为1y kx=-，由图象得：021k=- , ∴12k=∴直线BC的解析式为：112y x=-．如图，设：E(),0m，则F1,12m m⎛⎫-⎪⎝⎭，p23,12m m m⎛⎫--⎪⎝⎭，221311222(102)mFP m m mm m m⎛⎫∴=----⎪⎝⎭=-+=-+≤≤（∴当m=1时，=1FP最大∴OE=1②如图：四边形ACPB的面积存在最大值,111222ABC CPF BPFACPBS S S S AB OC FP CM FP BE =++=⋅+⋅+⋅V V V四边形=()()22111921m221)022224m m m⎛⎫+⨯+-+⨯=--+≤≤ ⎪⎝⎭（ ,914ACPEm S==四边形面积最大当时，,∴P(1,32-).（3）由图可知：方程组: 212,21y x y ax bx ⎧=-⎪⎨⎪=+-⎩的解为1,32x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩【新题训练】1．如图，一次函数122y x =-+分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点。
2012年中考二轮专题复习专辑十二 几何图形中的最值问题
专题十二 关于几何图形计算中的最大（小）值问题解题思路提示：1. 先分析是否在特定位置存在最大（小）值问题再计算；2.求直线上一点到两点的距离和最短的问题，主要是对称作图合二为一，先确定点的位置再进行计算. 训练题：例1.已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的长的最大值是 ．例2．如图所示，如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为 .练习.1. 在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 的周长的最小值是 _ ．2.如图：在梯形ABCD 中，AD//BC,AB=CD=AD=1, ∠B=600,直线MN 为梯形的对称轴，点P 为MN 上的一点，那么△PCD 周长的最小值为 .3.如图，在面积为7的梯形ABCD 中，AD//BC,AD=3,BC=4,P 为边AD 上不与A 、D 重合的一动点，Q 是边BC 上的任意一点，连接AQ 、DQ ，过点P 作PE//DQ 交AQ 于点E ，作PF//AQ 交DQ 于点F,则△PEF 的面积最大值是 .4.如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值 …5.如图抛物线y ＝ 1 2x 2-23x －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且顶点为D ．点(0)M m ，是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时m 的值．6.已知：抛物线的对称轴为x=-1,与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，． （1）求这条抛物线的函数表达式： ．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．7.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。
中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)
中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形例 1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。
（二）动点路径待确定例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B 重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。
（三）动线（定点）位置需变换线段变换的方法：（1）等值变换：翻折、平移；（2）比例变换：三角、相似。
几何图形中求线段,线段和,面积等最值问题(4题型)—2024年中考数学压轴题(全国通用)(解析版)
几何图形中求线段，线段和，面积等最值问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略 【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）几何图形中求线段、线段和、面积最值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，几何图形中的性质综合问题，是高频考点、也是必考点。
2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一 线段最值问题【例1】（2024·四川成都·一模）如图1，在四边形ABFE 中，90F ∠=︒，点C 为线段EF 上一点，使得AC BC ⊥，24AC BC ==，此时BF CF =，连接BE ，BE AE ⊥，且AE BE =．(1)求CE 的长度；(2)如图2，点D 为线段AC 上一动点（点D 不与A ，C 重合），连接BD ，以BD 为斜边向右侧作等腰直角三角形BGD ．①当DG AB ∥时，试求AD 的长度；②如图3，点H 为AB 的中点，连接H G ，试问H G 是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．【答案】(2)①103；②2【分析】（1）取AB 的中点H ，连接,EH HC ，证明FEB CAB ∠=∠，得出1tan tan 2FB FEB CAB EF ∠==∠=则12BF EF =，进而根据CE EF CF =−（2）①如图所示，过点D 作DM EF ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥于点N ，证明DBC GBF ∽得出DC ，即可得出DM GF =，证明DMG GFB ≌，进而证明G 在EF 上，根据已知条件证明D 在EB上，然后解直角三角形，即可求解；②如图所示，过点H 作HP EF ⊥于点P ，连接EH ，由①可得G 在EF 上运动，当HG EF ⊥时，H G 取得最小值，即,G P 重合时，HP 的长即为HG 的最小值，由①可得103AT =，求得sin ETA ∠=45HEF ETA α∠=+︒=∠，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，取AB 的中点H ，连接,EH HC ，∵BF CF =，90F ∠=︒，∴45BCF ∠=︒，BC ， 又∵AC BC ⊥ ∴45ECA ∠=︒ ∵AE BE =，BE AE ⊥ ∴45EBA ∠=︒ ∴45ECA ABE ∠=∠=︒ ∴FEB CAB ∠=∠ ∵24AC BC ==， ∴2BC =∴BF CF = ∴1tan 2CB CAB AC ∠== ∴1tan tan 2FB FEB CAB EF ∠==∠= ∴12BF EF =∴EF =∴CE EF CF =−（2）①如图所示，过点D 作DM EF ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥于点N ，由（1）可得45ACE ABE ∠=∠=︒ ∴CDM V 是等腰直角三角形，∴CD ，∵,CBF DBG 都是等腰直角三角形，∴CB DBBF BG==∴BD BGBC BF= 又∵DBG CBF ∠=∠ ∴DBC GBF ∠=∠ ∴DBC GBF ∽∴DC DBGF GB==∴DC ∴DM GF = 在,DMG GFB 中，DM GF DMG F DG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DMG GFB ≌ ∴MGD FBG ∠=∠ ∵90FBG FGB ∠+∠=︒∴90MGD FGB ∠+∠=︒ 又∵90DGB ∠=︒ ∴180MGF ∠=︒ ∴G 在EF 上，∵DG AB ∥，90DGB ∠=︒ ∴90GBA ∠=︒∵45,45ABE DBG ABD ∠=︒∠=︒=∠ ∴D 在EB 上， ∵1tan 2CAB ∠=，∴12DN AN =，则AD ∵,45DN AB ABE ⊥∠=︒ ∴DN DB = ∴3AB DN =， ∵4AC =，2CB =∴AB ==∴13DN AB ==∴103AD ==， ②如图所示，过点H 作HP EF ⊥于点P ，连接EH ，由①可得G 在EF 上运动，∴当HG EF ⊥时，HG 取得最小值，即,G P 重合时，HP 的长即为H G 的最小值， 设,AC EB 交于点T ，即与①中点D 重合，由①可得103AT =∵AB =∴AE 12EH AB ==∴sin 3AE ETA AT ∠=== 设FEB CAB α∠=∠= 则45HEF ETA α∠=+︒=∠，在Rt PEH △中，sin sin 102PH HEF EH ETA EH =∠⨯=∠⨯= 【点睛】证明G 点在EF 上是解题的关键．【例2】（2024·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，点()0,0O ，()2,0A ， (2,B )，C ，D 分别为OA ，OB 的中点．以点O 为中心，逆时针旋转OCD ，得OC D ''，点C ，D 的对应点分别为点C '，D ¢．(1)填空∶如图①，当点D ¢落在y 轴上时，点D ¢的坐标为_____，点C '的坐标为______； (2)如图②，当点C '落在OB 上时， 求点D ¢的坐标和 BD '的长； (3)若M 为C D ''的中点，求BM 的最大值和最小值(直接写出结果即可)． 逆时针旋转OCD ，得OC D ''，知为中心，逆时针旋转OCD，得OC D''，可得(2,23B为中心，逆时针旋转OCD，得OC D''，()A，2,0()A2,0,(2,23 B是AOB的中位线，为中心，逆时针旋转OCD，得OC D''，'==，D CD3M是C'(2,23B1．（2024·山东济宁·模拟预测）已知，四边形ABCD 是正方形，DEF 绕点D 旋转（DE AB <），90EDF ∠=︒，DE DF =，连接AE CF ，．(1)如图1，求证：ADE CDF ≅； (2)直线AE 与CF 相交于点G ．①如图2，BM AG ⊥于点M ，⊥BN CF 于点N ，求证：四边形BMGN 是正方形；②如图3，连接BG ，若6AB =，3DE =，直接写出在DEF 旋转的过程中，线段BG 长度的最小值为 ． 再证明AMB CNB ≅可得MB ，证明BGM 是等腰直角三角形，然后求出【详解】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，90ADC ∠=︒，DE DF =，90EDF ∠=︒，ADC EDF ∴∠=∠，ADE CDF \Ð=Ð，在ADE V 和CDF 中，DA DC ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， SAS ADE CDF ∴（）≌． （2）解：①证明：如图2中，设AG 与CD 相交于点P ，90ADP ∠=︒， 90DAP DPA ∴∠+∠=︒，ADE CDF ≅，DAE DCF ∴∠=∠，DPA GPC ∠∠=，90DAE DPA GPC GCP ∠∠∠∠∴+=+=︒， 90PGN ∠∴=︒，BM AG ⊥，BN GN ⊥，∴四边形BMGN 是矩形，90MBN ∴∠=︒，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC MBN∠∠==︒，ABM CBN ∴∠=∠，又90AMB BNC ∠∠==︒，AMB CNB ∴≅，MB NB ∴=，∴矩形BMGN 是正方形；∵DAH BAM ABM ∠+∠=∠∴DAH ABM ∠=∠，又∵AD BA =，DHA ∠∴AMB DHA ≌△△， BM AH ∴=，2AH AD =DH ∴最大时，可知，BGM 是等腰直角三角形，23⨯=(1)若AC AB AD BC >⊥，，当点E 在线段AC 上时，AD BE ，交于点F ，点F 为BE 中点．①如图1，若37BF BD AD ===，，求AE 的长度；②如图2，点G 为线段AF 上一点，连接GE 并延长交BC 的延长线于点H ．若点E 为GH 中点，602BAC DAC EBC ∠=︒∠=∠，，求证：12AG DF AB +=． (2)如图3，若360AC AB BAC ︒==∠=，．当点E 在线段AC 的延长线上时，连接DE ，将DCE △沿DC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到DCM △，连接AM ，当AM 取得最小值时，ABC 内存在点K ，使得ABK CAK ∠=∠，当KE 取得最小值时，请直接写出2AK 的值．的长，证明(AAS)FDB FGE ≌AD BC EG AD ⊥⊥，， 90BDF ∴∠=︒，EGF ∠=BDF EGF ∴∠=∠，在Rt BDF △中，90BDF ∠=点(AAS)FDB FGE ∴≌3BD GE ∴==DFAD=，7∴=AG ADRt AGE中，2⊥，AD BC90∴∠=︒，ADC点E为GH的中点，∴=，GE HE在AGE和KHE△中，=AE KE∴≌(SAS) AGE KHE∴∠=∠34∠=DAC∴设EBC∠点和KEF中，(SAS)AFB KEF ∴≌89AB FK ∴=∠=∠，BAC ∠=Rt FDM 中，1由题意可知：160∠=︒，AC 30CAM ∴∠=︒，1322CM AC ∴==， ABK ∠=ABK ∴∠+∠EKQ EOA ∴∽，KE KQ QE（1）如图①，在ABC 中，点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，若BC =MN 的长为__________． 问题探究：（2）如图②，在正方形ABCD 中，6AD =，点E 为AD 上的靠近点A 的三等分点，点F 为AB 上的动点，将AEF △折叠，点A 的对应点为点G ，求CG 的最小值． 问题解决：（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心ABCDE ，已知120ABC ∠=︒，60BCD ∠=︒，40m AB AE ==，80m BC CD ==，点C 处为参观入口，DE 的中点P 处规划为“优秀”作品展台，求点C 与点P 之间的最小距离．是ABC 的中位线，由中位线的性质，即可求解，Rt EDC 中，根据勾股定理，求出∵点E为AD上的靠近点∴11633AE AD==⨯=在Rt EDC中，EC 根据折叠的性质，【问题提出】（1）如图1，点D 为ABC 的边BC 上一点，连接2,,3BD AD BDA BAC AB ∠=∠=，若ABD △的面积为4，则ACD 的面积为______； 【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，6,5AB BC ==，在射线BC 和射线CD 上分别取点E F 、，使得65BE CF =，连接AE BF 、相交于点P ，连接CP ，求CP 的最小值； 【问题解决】（3）如图3，菱形ABCD 是某社区的一块空地，经测量，120AB =米，60ABC ∠=︒．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线AD 上取一点E ，沿BE CE 、修两条小路，并在小路BE 上取点H ，将CH 段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，BHC BCE ∠=∠，为了节省铺设成本，要求休闲通道CH 的长度尽可能小，问CH 的长度是否存在最小值？若存在，求出CH 长度的最小值；若不存在，请说明理由．994CBAABDSS ==，即可得到ACD 的面积；为直径的O 上交O 于点P ）证明,CBH EBC ∽得到，再证明,ABH EBA ∽得到在O 的劣弧与O 相交于点ABDCBAS S=994CBAABDSS ==，∴ACD 的面积为9CBAABDS S−=故答案为：为直径的O 上运动，交O 于点P，作ABH 的外接圆O ，连接∴,CBH EBC ∽ BC BH∴,ABH EBA ∽ 120AHB EAB ∠=∠=在O 的劣弧120=︒在AOB 中，则1602BM AM AB ===米， 与O 相交于点题型二 线段和的最小值问题【例1】（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在OAB 中，3OB =，若将OAB 绕点O 逆时针旋转120︒得OA B ''，连接BB '，则BB '=________． 【问题探究】（2）如图2，已知ABC 是边长为BC 为边向外作等边BCD △，P 为ABC 内一点，连接AP BP CP ，，，将BPC △绕点C 逆时针旋转60︒，得DQC △，求PA PB PC ++的最小值； 【实际应用】（3）如图3，在长方形ABCD 中，边1020AB AD ==，，P 是BC 边上一动点，Q 为ADP △内的任意一点，是否存在一点P 和一点Q ，使得AQ DQ PQ ++有最小值？若存在，请求出此时PQ 的长，若不存在，请说明理由．将AQD 绕点BC ⊥在OAB 中，3OB =，将OAB 绕点120BOB '∴∠=︒，3OB OB '==，OBB OB B ''∴∠=∠，OBB '∠+OC BB ⊥OCB '∴∠将∴++=+PA PB PC PA∴当点D、Q、P、A⊥连接AD，作DE AC∠=，ABC边长为DCBDCE BCA∴∠=∠=60）如图所示，将AQD绕点，90EA︒=【例2】（2024·贵州毕节·一模）在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进行探究．已知ABC 是边长为2的等边三角形．(1)【动手操作】如图1，若D 为线段BC 上靠近点B 的三等分点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE ，连接CE ，则CE 的长为________；(2)【探究应用】如图2,D 为ABC 内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE ，连接CE ，若,,B D E本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，解题的关键在于利用旋转构造等边三角形，从而把三条不在一条直线的线段之和的问题，转换成几点共线求线段的最值问题是解题的关键．三点共线，求证：EB 平分AEC ∠；(3)【拓展提升】如图3，若D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点D 顺时针旋转60︒得到线段DE ，连接CE ．请求出点D 在运动过程中，DEC 的周长的最小值． 证明BAD CAE ≌，的三等分点和ABC 是边长为ADB AEC =∠60BEC ∠=︒EB（3）由ABD ACE ≌△△，得CE BD =，可得DEC 的周长BC DE =+，而DE AD =，知AD 的最小时，DEC的周长最小，此时AD BC ⊥，即可求得答案．∵ABC 是等边三角形，AB AC =，∴SAS ABD ACE ≌（）BD CE =；的三等分点，且ABC 是边长为∵ABC 是等边三角形，AB AC =，∴SAS ABD ACE≌（），120ADB AEC ∠=∠=上时，DEC 的周长存在最小值，如图：∵ABD ACE ≌△△， ∴CE BD =，∴DEC 的周长DE CE =++∴当点D 在线段BC 上时，DEC 的周长∵DEC 为等边三角形，DE AD =，的最小时，DEC 的周长最小，此时∴DEC 的周长的最小值为【点睛】本题考查几何变换综合应用，旋转性质、涉及等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂1．（2024·陕西·二模）在平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，且4OA OB ==，连接AB ．(1)如图1，C 为线段AB 上一点，连接OC ，将OC 绕点O 逆时针旋转90︒得到OD ，连接AD ，求AC AD +的值．(2)如图2，当点C 在x 轴上，点D 位于第二象限时，90ADC ∠=︒，且AD CD =，E 为AB 的中点，连接DE ，试探究线段AD DE +是否存在最小值？若存在，求出AD DE +的最小值；若不存在，请说明理由．≌，可得出点，证明AND CMDAOC的平分线对称，由∴AND CMD≌，DN DM=，P大值和最小值分别是______和______；（2）如图2，在矩形ABCD中，4AB=，6AD=，点P在AD上，点Q在BC上，且AP CQ=，连接CP、QD，求PC QD+最小时AP的长；（3）如图3，在ABCDY中，10AB=，20AD=，点D到AB的距离为动点E、F在AD边上运动，始终保持3EF=，在BC边上有一个直径为BM的半圆O，连接AM与半圆O交于点N，连接CE、FN，求CE EF FN++的最小值．()SASABP CDQ≌=的O 外有一点在O 上， 如图，当点P 在AO 的延长线上时，此时PA 的最大值为：PO OA +故答案为：11；3；（2）延长BA 至点B '，使AB ∵在矩形ABCD 中，4AB =，∴DAB BAP CBA DCQ '∠=∠=∠=∠在ABP 和CDQ 中，AB CD =∴()SAS ABP CDQ ≌Rt B BC '中，AB P BB ''=∠ （3）如图，过点F 作FG EC ∥，交BC OG '，NO ，∵在ABCD Y 中，10AB =，20AD =，点∴AD BC ∥，即EF CG ∥，BC AD =EFGC【点睛】本题考查圆的基本性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，两点之间线段最短等知识点．灵活运用所学知识、弄清题意并作出适当辅助线是解题的关键．3．（2024·陕西西安·三模）【问题提出】（1）如图①，AB 为半圆O 的直径，点P 为半圆O 的AB 上一点，BC 切半圆O 于点B ，若10AB =，12BC =，则CP 的最小值为 ； 【问题探究】（2）如图②，在矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点P 为矩形ABCD 内一点，连接PB 、PC ，若矩形ABCD 的面积是PBC 面积的3倍，求PB PC +的最小值； 【问题解决】（3）如图③，平面图形ABCDEF 为某校园内的一片空地，经测量，AB BC ==米，=60B ∠︒，150BAF BCD ∠=∠=︒，DE DC ⊥，20CD =米，劣弧E F 所对的圆心角为90︒，E F 所在圆的圆心在AF 的延长线上，10AF =米．某天活动课上，九（1）班的同学准备在这块空地上玩游戏，每位同学在游戏开始前，在BC 上选取一点P ，在弧E F 上选取一点Q ，并在点P 和点Q 处各插上一面小旗，从点A 出发，先到点P 处拔下小旗，再到点Q 处拔下小旗，用时最短者获胜．已知晓雯和晓静的跑步速度相同，要使用时最短，则所跑的总路程()AP PQ +应最短，问AP PQ +是否存在最小值？若存在，请你求出AP PQ +的最小值；若不存在，请说明理由．交O于点P⊥PH BC交O于点P点P为半圆O的AB上一点，∴当点P与点P不重合时，1当点P与点P重合时，BC切半圆∴∠=ABC=OB OP矩形ABCD 的面积是PBC 面积的13553PBCS∴=⨯⨯=CF PH =又5BC =，60ABC ∠=︒，AB BC ==ABC ∴是等边三角形， 60BAC BCA ∴∠=∠=︒，150BAF BCD ∠=∠=︒，DE AA M '∴和CMN ∴∠=点'A Q OQ+∴的最小值为A Q'ABC为等边三角形，点∴点为BC△,E G分别作,,⊥⊥与EF交于点F，连接CF．EF AD FG AB FG特例感知（1）以下结论中正确的序号有______；ED CF BG为边围成的三角形不是直①四边形AGFE是矩形；②矩形ABCD与四边形AGFE位似；③以,,角三角形；类比发现（2）如图2，将图1中的四边形AGFE绕着点A旋转，连接BG，观察CF与BG之间的数量关系和位置关系，并证明你的发现；拓展应用（3）连接CE ，当CE 的长度最大时， ①求BG 的长度；②连接,,AC AF CF ，若在ACF △内存在一点P ，使CP AP ++的值最小，求CP AP ++的最小值．先证明APF AKL ∽，得到∴HF DE =，CH BG =，∴CHF 是直角三角形，∵四边形ABCD 是矩形，∴43AB CD ==，AD =∴228AC AB BC =+=，则由（2）知，90CEF ∠=︒，∵2247CF CE EF =+=，根据旋转，可得30PAF KAL ∠=∠=，根据两边对应成比例且夹角相等可得APF AKL ∽， ∴3KL PF =，过P 作PS AK ⊥于S ，则12PS AP =题型三 面积的最小值问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边ABC 中，点D 在边BC 上，3BD =，连接AD ，则ACD 的面积为 ； 【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，且45EAF ∠=︒，若5EF =，求AEF △的面积； 【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在4AB =米，AD =ABCD 区域内开挖一个AEF △的工作面，其中B 、F 分别在BC CD 、边上（不与B 、C 、D 重合），且60EAF ∠=︒，为了减少对该路段的拥堵影响，要求AEF △面积最小，那么是否存在一个面积最小的AEF △？若存在，请求出AEF △面积的最小值；若不存在，请说明理由．，证明()SAS ABG ADF ≌，再证明()SAS AEF AEG ≌，得到ABG ，则)()33AEF AEG SS==最小值最小值∵ABC 是边长为 ∴()SAS ABG ADF ≌∴()SAS AEF AEG ≌，得到ABG ， )()33AEF AEG SS==最小值最小值【例2】（2024·陕西西安·二模）图形旋转是解决几何问题的一种重要方法．如图1，正方形ABCD 中，E F 、分别在边AB BC 、上，且45EDF ∠=︒，连接EF ，试探究AE CF EF 、、之间的数量关系．解决这个问题可将ADE V 绕点D 逆时针旋转90︒到CDH △的位置（易得出点H 在BC 的延长线上），进一步证明DEF 与DHF △全等，即可解决问题．(1)如图1，正方形ABCD 中，45,3,2EDF AE CF ∠=︒==，则EF =______；(2)如图2，正方形ABCD 中，若30EDF ∠=︒，过点E 作EM BC ∥交DF 于M 点，请计算AE CF +与EM 的比值，写出解答过程；(3)如图3，若60EDF ∠=︒，正方形ABCD 的边长8AB =，试探究DEF 面积的最小值． 进一步证明DEF,,,D F H G 四点共圆；进而可得30FHG ∠=，根据1tan 30AE CF CH CF FH EM GH GH ++====︒（3）过点E 作EK CD ⊥于K ，交DF 于M ，作FT EK ⊥于T ，得出 4DEFS EM =，进而根据（2）的方法得出EM GH =，根据FC AE CH ==时，面积最小，得出32OF =− 【详解】（1）解：∵将ADE V 绕点D 逆时针旋转90︒， ∴90DCH A DCB ∠=∠=︒=∠，DH DE HDC EDA =∠=∠， ∴点H 在BC 的延长线上， ∵四边形ABCD 是正方形 ∴90ADC ∠=︒， ∵45EDF ∠=︒，∴45HDF CDH FDC ADE FDC EDF ∠=∠+∠=∠+∠=︒=∠ 又∵DF DF =，∴DEF ()SAS DHF ≌，∴235EF FH FC CH FC AE ==+=+=+=， 故答案为：5．（2）解：将ADE V ，DEM △绕点D 逆时针旋转90︒，得,DCH DHG∴,AED CHD DEM DHG ∠=∠∠=∠， ∵EM BC ∥，则EM AB ⊥， ∴90AEM ∠=︒，∴90CHG CHD DHG AED DEM AEM ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， ∵30EDF ∠=︒，EM BC ∥则EM AD ∥， ∴ADE CDH ∠=∠，30GDH MDE ∠=∠=︒， ∵EM BC ∥， ∴EMF DFC ∠=∠，∴180EMD EMF EMD DFC ∠+∠=∠+∠=︒， 即180DFC DGH ∠+∠=︒， ∴,,,D F H G 四点共圆； ∴30GFH GDH ∠=∠=︒， 又30FHG ∠=︒∴1tan 30AE CF CH CF FH EM GH GH ++====︒（3）如图，过点E 作EK CD ⊥于K ，交DF 于M ，作FT EK ⊥于T ，90FTK TKC BCD ∠=∠=∠=︒∴四边形CFTK 是矩形， FT CK ∴=8DK CK DK FT ∴+=+= 111()4222DEFEMDEMFSSSEM DK EM FT EM DK FH EM ∴=+=⋅+⋅=+=同（2）将ADE V ，DEM △绕点D 逆时针旋转90︒，得,DCH DHG ， 可得60GFH EDM ∠=∠=︒，EM GH = 取得最小值时，DEF 的面积最小，∵2220−=≥，∴FH x y =+≥ 当且仅当x y =时取得等于号， 此时FC AE CH ==， 设,,,D F H G 的圆心为O ， ∵DC FH ⊥，FC CH =， ∴DC 经过点O ，∴OF OD =，sin 602OC OF =︒= ∵8OD OC +=8OF +=解得：32OF =−∴232FH FC OF ===−∴48GH =，∴()44448192DEFSEM GH ====，即DEF 面积的最小为192．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆等知识，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．1．（2023·陕西西安·一模）问题发现（1）在ABC 中，2AB =，60C ∠=︒，则ABC 面积的最大值为 ；（2）如图1，在四边形ABCD 中，6AB AD ==，90BCD BAD ∠=∠=︒，8AC =，求BC CD +的值． 问题解决（3）有一个直径为60cm 的圆形配件O ，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC ，要求60O B ∠=∠=︒，OA OC =OABC 的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC ？若存在，请求出四边形OABC 面积的最小值及此时OA 的长；若不存在，请说明理由．为弦的确定的圆上，作ABC 的外接圆，可得当点时，ABC 的面积最大，求出，再根据三角形的面积公式计算即可；将ABC 绕点A 逆时针旋转、D 、E 在同一条直线上，求出BCES，可得要使四边形面积最小，就要使BCE 的面积最大，然后由（时，BCE 的面积最）的方法求出BCE 面积的最大值，可得四边形，根据OA 如图，作ABC 的外接圆，∴当点C 在C '的位置，即时，ABC 的面积最大，∴C A C B ''=，BD =∴ABC '△是等边三角形，∴ABC 面积的最大值为）如图，将ABC 绕点∴B ADE ∠=∠，BAC ∠∵6AB AD ==，BCD ∠∴180B ADC ∠+∠=︒，∵60AOC ∠=︒，OA OC =∴将AOB 绕O 点顺时针旋转至COE ，连接∴60BOE ∠=︒，OE OB =∴BOE △是等边三角形，AOBBCOSS+COEBCOSS+ BOE BCES S− BCESBCES，的面积最小，就要使BCE 的面积最大，作BCE 的外接圆I ，点F 是I 上一点，CF 交由（1）可知，当CF 是直径，且CF BE ⊥时，BCE 的面积最大，∴BCE 面积的最大值为150BCES=（1）如图①，已知ABC 是面积为AD 是BAC ∠的平分线，则AB 的长为______． 问题探究：（2）如图②，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，4AB =，点D 为AB 的中点，点E ，F 分别在边AC ，BC 上，且90EDF ∠=︒．证明：DE DF =．问题解决：（3）如图③，李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园ABCD ，然后将其分割种植三种不同的花卉．按照他的分割方案，点P ，Q 分别在AD ，BC 上，连接PQ 、PB 、PC ，60BPC ∠=︒，E 、F 分别在PB 、PC 上，连接QE 、QF ，QE QF =，120EQF ∠=︒，其中四边形PEQF 种植玫瑰，ABP 和PCD 种植郁金香，剩下的区域种植康乃馨，根据实际需要，要求种植玫瑰的四边形PEQF 的面积为2，为了节约成本，矩形花园ABCD 的面积是否存在最小值？若存在，请求出矩形ABCD 的最小面积，若不存在，请说明理由．）设ABC 的边长为EQG ，根据四边形则当PQ BC ⊥时，矩形ABCD 的面积最小，根据2ABCD PEQF S S =四边形四边形，即可求解．【详解】解：（1）∵ABC 是面积为AD 是BAC ∠的平分线， ∴12BD CD AB ==设ABC 的边长为a∴AD ==∴2112224ABCS BC AD a =´=´´=∴24a =解得：4a =， 故答案为：4．（2）如图所示，连接CD ，∵在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，4AB =，点D 为AB 的中点， ∴CD AD =，90ADC ∠=︒，45A DCF ∠=∠=︒ 又∵90EDF ∠=︒∴ADE ADC CDE EDF EDC CDF ∠=∠−∠=∠−∠=∠ 在,ADE CDF △△中，45A DCF ADE CDF AD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE CDF V V ≌ ∴DE DF =； （3）如图所示，∵60BPC ∠=︒，120EQF ∠=︒， ∴36060120180PFQ PEQ ∠+∠=︒−︒−︒=︒ 将QFP △绕点Q 逆时针旋转120︒，得到EQG ， ∴,,P E G 三点共线，∴四边形PEQF 的面积等于PQG ， 又∵120,PQG PQ GQ ∠=︒=，∴30QPG QGP ∠=∠=︒过点Q 作QN PG ⊥于点N ，则12QN PQ =设PQ b =，则1,22NQ b PN ==∴2PG PN ==∴2111222PQGSPG NQ b =⨯=⨯=∵四边形PEQF 的面积为 ∴16b =，即16PQ =,如图所示，作QM PM ⊥于点M ，∵30EPQ FPQ ∠=∠=︒，QM PM ⊥，QN PG ⊥，则QN QM =， 在,ENQ FMQ 中，QN QM EQ FQ =⎧⎨=⎩∴()HL ENQ FMQ ≌， 同理可得PNQ PMQ ≌ 则2PNQPEQF S S=四边形∴PEQF PNQM S S =四边形四边形，作点Q 关于PE 的对称点T ，连接PT ，则PTQ 是等边三角形，则PTQS=如图所示，依题意，当PQ BC ⊥时，矩形ABCD 的面积最小，此时,E F 与,N M 重合，，∴22ABCD PEQF S S ==⨯四边形四边形∴矩形ABCD 的最小面积为2【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．3．（2024·陕西榆林·二模）（1）如图1，AB CD ∥，1,2AB CD ==，AD ，BC 交于点E ，若4=AD ，则AE = ；（2）如图2，矩形ABCD 内接于O ， 2,AB BC ==点 P 在AD 上运动，求 PBC 的面积的最大值； （3）为了提高居民的生活品质，市政部门计划把一块边长为 120米的正方形荒地 ABCD (如图3)改造成一个户外休闲区，计划在边AD ，BC 上分别取点P ，Q ，修建一条笔直的通道PQ ，要求 2CQ AP =，过点 B 作 BE PQ ⊥于点E ，在点E 处修建一个应急处理中心，再修建三条笔直的道路BE CE DE ，，，并计划在 CDE 内种植花卉， DEP 内修建老年活动区， BCE 内修建休息区，在四边形ABEP 内修建儿童游乐园．问种植花卉的 CDE 的面积是否存在最小值？ 若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．得ABE DCE ∽，得对应成比例的线段，于是得到结论；时，PBC 的面积有最大值，解直角三角形求出PBC 的高即可得到结论；于点M ，作BME 的外接圆O ，过点OF DC ⊥₂E CD ₂的面积最小． （）∥AB CD DCE ，是O的直径．₂的面积最大．P BC上任意另取一点P₁PBC的面积最大．Rt OBE中，．S=PBC。
中考数学压轴题：几何最值问题专项，建议老师、家长为学生收藏
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考点一：几何图形中的最小值问题
方法：
1.找对称点求线段的最小值；
步骤：（1）找已知点的对称点，动点在哪条线上动，就是对称轴；
（2）连接对称点与另一个已知点；
（3）与对称轴的交点即是要找的点；通常用勾股定理求线段长；
2.利用三角形三边关系：两边之差小于第三边；
3.转化成其他线段，间接求线段的最小值；例如：用点到直线的距离最短，通过作垂线求最值；
4.用二次函数中开口向上的函数有最小值；
考点二：几何图形中的最大值问题
方法：
1.当两点位于直线的同侧时，与动点所在的直线的交点，这三点在同一直线时，线段差有最大值；
2.当两点位于直线的异侧时，先找对称点，同样三点位于同一直线时，线段差有最大值；
3.利用三角形三边关系：两边之和大于第三边；
4.用二次函数中开口向下的函数有最大值；。