轴向运动矩形薄膜的横向振动控制

T
T
式中 , i = 1 , 2 , 3 , … , m ; j = 1 , 2 , 3 , … , n 。
w 0 , j = 0 ; w m+1 , j = 0 w i , 0 = 0 ; w i , n+1 = 0
T T
( 5)
设 W = [ w 1 , 1 w 1 , 2 … w 2 , 1 w 2 , 2 …
(・ ) 的范数 。可以证明 [ 8 ] : X0 P X0 的上限为矩阵 P
的迹 , 这样 , 性能指标 J 用 Tr ( P) 表示 。
4 数值计算
需要指出的是 , 轴向运动矩形薄膜存在一个临 界速度 ccr = 1 。在 c < 1 时 , 系统呈线性稳定性状 态 ; 当 c > ccr 时 , 系统会出现非线性稳定性现象 。本 文仅考虑 c < 1 的情况 , 取无量纲轴向运动速度 c = 0 . 5 。在 c = 0 . 5 ,λ= 0 . 5 ,μ= 1 的情况 , 用 4 × 4 的网 格进行计算 , 如图 3 所示 。
式中 , g ij 为矩阵 G = F - F 的第 i 行第 j 列元素 。 该式还可以写成 :
J
3 3
=
Tr ( F - F 3 ) T ( F - F 3 )
3 T T -1 K = F C (C C )
( 16) ( 17)
对 J 取极小 , 可求得 : 由式 ( 13 ) 可见 , 性能指标 J 与初始状态矢量 X0 有 关 。为消除 J 对 X0 的依赖性 , 令 X0 为分布在范数 为 1 的球面上的随机变量 , 记 ‖X0 ‖= 1 , ‖・‖ 为
T y 为其受到的单位长度的拉力 , a 、 b 分别为 x 和 y
方向的长度 。 作动器作用在 ( x i , y j ) 处 , R 为反馈控 制力 。 在坐标系 ox y z 中 , 其横向振动的微分方程为 : 2 2 5 w 52 w 2 5 w 52 w 52 w ρ 2 + 2v + v - Tx = 2 2 - Ty 5 x5 t 5t 5x 5x 5 y2 δ( x - x i , y - y j ) ( 1) R
The Transverse Vibration Control of an Axially Moving Rectangular Membrane
L IU Ding2qiang , WAN G Zho ng2min
( Faculty of Sciences ,Xi’ an U niversity of Technology ,Xi’ an 710048 ,China)
摘要 : 利用有限差分法 ,导出了轴向运动矩形薄膜横向振动控制系统的状态方程 。应用次最优控 制法和速度反馈法 ,对轴向运动矩形薄膜横向振动的控制问题进行了研究 ,给出了最优控制律 ,保 证了控制系统的稳定性 。Matlab 仿真结果表明 , 该方法能够有效地控制轴向运动矩形薄膜的振 动 ,减少控制能量的消耗 。 关键词 : 轴向运动薄膜 ; 横向振动 ; 振动控制 中图分类号 : O327 文献标识码 : A
最优控制法对匀速轴向运动矩形薄膜系统进行控 制 ,并用最小范数法求取了最优常反馈增益 ; 最后给 出了数值仿真结果 。
1 振动微分方程
如图 1 所示 , 设 w ( x , t) 为轴向运动矩形薄膜 横向振动的挠度函数 , t 为时间 , ρ为薄膜单位面积 的质量 , 薄膜的轴向运动速度 v 是恒定的 , T x 和
h
式中 , Q 为正定 ( 或半正定 ) Hermite 矩阵或实对称 矩阵 ; R 为正定 Hermite 矩阵或实对称矩阵 。矩阵 Q 和 R 确定了误差和能量损耗的相对重要性 。 式 ( 8) 可写成 U = - KCX , 将其代入式 ( 9 ) , 确定 K , 并使其满足性能指标 J 极小 , 即 :
图2 控制系统 Fig. 2 Co nt rol system
μ = a ; u =
并代入方程 ( 1) , 可得无量纲形式方程 : 2 52ψ 52ψ ( 2 52ψ λ 2 5ψ + c - 1) 2 + 2c 2 - μ 2 = ξ τ τ ξ η 5 5 5 5 5 δ(ξ - ξ η- η ( 2) u i , j) 对四边固支的轴向运动薄膜 , 其边界条件为 : ψ( 0 ,η,τ ) = 0; ψ( 1 ,η,τ ) = 0 ψ(ξ, 0 ,τ ) = 0; ψ(ξ, 1 ,τ ) = 0
根据图 2 , 对状态方程式 ( 7 ) 确定最佳控制向 量:
U ( t) = - KY( t) ( 8)
( 3)
使性能指标 J 达到极小 。J 的表达式为 : 1 ∞( T T J = X QX + U RU ) d t 2 0
∫
( 9)
2 振动控制系统的状态方程
采用有限差分法 , 对方程 ( 2 ) 及边界条件 ( 3 ) 关 于空间坐标离散 , 得 : 5 w i- 1 , j 52 w i , j c 5 w i+1 , j + + 2 τ τ τ 5 5 h 5 2 c - 1( w i+1 , j - 2 w i , j + w i- 1 , j ) 2
刘定强等 : 轴向运动矩形薄膜的横向振动控制
63 0
- M
-1
A = B = C 为输出矩阵 。
I H - M
-1
G W W
0
- M
-1
D
X =
3 基于速度反馈的次最优控制
图1 轴向运动矩形薄膜 Fig. 1 Axially moving rectangular membrane
w m , n - 1 w m , n ] , U = [ 0 … ui , j … 0 ] 。将式 ( 4 ) 写成如下动力学方程 : MW ¨ + GW + HW = DU ( 6)
由李亚普诺夫稳定性理论 , 系统 X = A1 X 在平 衡状态 x = 0 是渐近稳定的充要条件为 : 给定一个 正定的实对称矩阵 Q1 , 使方程
引入下列无量纲量 : ξ= x ; η= y ; τ= t
a b c = v Tx
采用 At hans 提出的次最优控制法 [ 8 , 9 ] , 分析轴 向运动矩形薄膜的振动控制 。控制系统如图 2 所 示 , 图中 K 为反馈控制矩阵 。
ρa2
;
ρ
Tx
; w = b
w λ = Ty ; ; a Tx R T xb
62
西安理工大学学报 Jo urnal of Xi’ an U niversity of Technology ( 2007) Vol. 23 No . 1
文章编号 : 100624710 ( 2007) 0120062204
轴向运动矩形薄膜的横向振动控制
刘定强 , 王忠民
( 西安理工大学 理学院 ,陕西 西安 710048)
Abstract : U sing t he finite difference met ho d , t he state equatio n of t he t ransver se vibratio n of an axially moving rectangular membrane is derived. Based o n t he subop timal co nt rol met ho d and ve2 locit y feedback met hod , t he t ransver se vibratio n co nt rol of an axially moving rectangular mem2 brane is st udied , and t he op timal co nt rol law is o btained. Accordingly t he stabilit y of t he co nt rol system is ensured. The simulatio n result s of Matlab show t hat t his met ho d can effectively co nt rol t he t ransver se vibratio n of an axially moving membrane and reduce t he co nsumptio n of t he co n2 t rolling energy. Key words : axially moving membrane ; t ransverse vibratio n ; vibratio n co nt rol
PA 1 + A1 P + Q1 = 0
T
( 12)
式中 , M 、 G、 H 和 D 分别为质量矩阵 、 阻尼矩阵 、 刚 度矩阵及输入矩阵 ; M 为单位矩阵 ; U 为无量纲反 馈控制力 。 引入状态变量 X , 将式 ( 6) 写成状态空间方程 : ( 7) X = AX + BU ; Y = CX 式中
min J = min 1 2
X Q Xd t ∫
T 0 1
∞
( 10)
其约束条件为 :
( 4) X = A1 X ( 11)
λ μ
h
2
2
( w i , j + 1 - 2 w i , j + w i , j - 1 ) = ui , j
式中
Q1 = Q + C K R KC ; A1 = A - B KC
的解 P 为正定矩阵 。 将式 ( 12) 代入式 ( 10) 得 : 1 ∞ T( 1 T T J =X PA 1 + A1 P) Xd t = X0 PX0 2 0 2
∫
( 13)