振动力学(梁的横向振动)
梁的横向弯曲振动试验原理
梁的横向弯曲振动试验原理
梁的横向弯曲振动试验的原理是:
1. 将梁的两端固定,使其形成简支梁。
2. 在梁的中部施加一个短时的冲击力,使梁产生横向弯曲振动。
3. 根据牛顿第二定律,力的冲击会使梁发生位移和振动。
4. 梁的振动属于强迫谐振,振动周期取决于其本身的质量和刚度分布。
5. 通过测量梁的振动周期,可以计算出其横向振动的固有频率。
6. 调节激励力的参数,可以获得梁在不同激励下的响应规律。
7. 使用传感器测量梁的位移、应变等,结合信号分析,可以确定梁的动态特性和模态参数。
8. 控制梁的边界条件,使其接近理想的简支状态。
9. 进行多次试验取平均,可以提高结果准确性。
10. 试验符合梁横向弯曲振动的工程动力学理论。
通过该试验可以研究梁的动力学行为,获得其横向弯曲振动的动态特性。
振动力学(梁的横向振动)
（3）初始条件。按题意
u(x, 0) 0,
u t
t0
v 0
x1
2
x
x1
2
变换到主坐标下
l
qi0 0 AΦiu0 (x)dx 0
l
qi0 0 AΦiu0 (x)dx
A v x1
2
x1
2
2 sin i x dx Al l
i
sin it
响应求解步骤： （1）根据边界条件求解固有频率和固有振型; （2）利用标准化条件确定振型中的常数因子; （3）将初始条件变换到标准坐标; （4）求标准坐标下的响应; （5）求物理坐标下的响应。
【例4】长为l的均匀简支梁初始静止，设在x＝x1处的 微段d上有初始速度v，求系统对此初始条件的响应。
a2
方程的通解为
Φ(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
q(t) C5 sin t C6 cost
由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数 F(x)和频率方程，进一步确定系统的固有频率wi。用 四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。
解：边界条件为挠度和转角为0，即 Φ(0) 0,Φ(0) 0 Φ(l) 0,Φ(l) 0 代入特征方程的解得到
C2 C4 0, 以及
(C1 C3) 0
C1 sin l C2 cos l C3 sh l C4 ch l 0 C1 cos l C2 sin l C4 sh l C3 ch l 0
i 1
振动力学与结构动力学-(第一章).
摩擦力： Fd cdx2sgxn
c d ：阻力系数
在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：
Ecdx2sgxndx2
T/4
c T/4 d
x3dt
8 3
cd02
A2
等效粘性阻尼系数：
ce
8
3
cd0
A
24
四、结构阻尼
由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起 的阻尼称为结构阻尼
特征：应力－应变曲线存在滞回曲线
6
第一章 概 论
§1-1 动荷载及其分类 - 从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减
小的反复变化，就可以称这种运动为振动。 - 如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移
、速度、加速度、应力及应变等，这种振动便称为机械振动 。 - 各种物理现象，诸如声、光、热等都包含振动
7
– 知识要点：结构被动控制、主动控制的基本概念。常用主动 控制方法的原理。结构主动控制在机械、土木结构工程中应 用简介。
– 重点难点：理解各种控制方法的原理及其具体实现。 – 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合。
主要参考书： • 刘延柱.振动力学.北京：高等教育出版社,1998 • 倪振华. 振动力学. 西安：西安交通大学出版社，1989 • 张准、汪凤泉. 振动分析.南京：东南大学出版社，1991 • 陈予恕.非线性振动. 天津：天津科技出版社，1983 • 龙驭球等编著.《结构力学》下册. 北京：高等教育出版 社，1994
– 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合
• 第六章 结构反应谱与地震荷载计算（8学 时）
– 知识要点：结构反应谱、单自由度和多自由度地震 荷载计算公式、规范中地震荷载计算公式。
工程力学中的振动力学分析
工程力学中的振动力学分析振动力学是工程力学中的一个重要分支，研究物体在受到外力或扰动作用下，产生周期性的振荡运动的力学现象和规律。
在工程设计和实际应用中，对于机械、结构、电路等系统的振动性能进行分析是非常关键的，既可以用于确保系统的稳定性和可靠性，也可以用于优化系统的性能和寿命。
本文将从振动力学的基本概念、振动系统的建模与分析方法、振动控制等方面进行阐述。
1. 振动力学的基本概念振动力学研究的基础是力学和数学，涵盖了力学中的动力学和弹性力学以及数学中的微分方程和线性代数等基础知识。
振动力学分析主要涉及以下几个重要概念：1.1 自由振动：物体在无外界干扰的情况下，受到初位移或初速度激发后，以一定的频率和振幅沿某个方向进行振荡的现象。
1.2 强迫振动：物体在受到外界作用力驱动下，产生周期性振动。
1.3 阻尼：振动系统中由于与外界介质的相互作用，能量逐渐耗散而减小振幅的现象。
1.4 谐振：当外力频率与振动系统的固有频率相等或非常接近时，系统振幅达到最大值。
2. 振动系统的建模与分析方法振动系统的建模是研究振动问题的关键步骤之一，常用的建模方法包括单自由度系统、多自由度系统和连续系统。
其中，单自由度系统是最简单的模型，通常用弹簧和阻尼器模拟物体的弹性和阻尼特性。
2.1 单自由度系统: 单自由度系统是指只有一个独立的振动自由度，常用的模型是弹簧质点系统和单摆系统。
通过施加外力，可以分析系统的自由振动、强迫振动和阻尼振动。
2.2 多自由度系统: 多自由度系统是指在一个系统中存在多个相互独立的振动自由度。
常见的多自由度系统包括梁的弯曲振动、桥梁的横向振动等。
通过建立系统的动力学方程，可以求解各个自由度上的位移响应和系统共振频率。
2.3 连续系统: 连续系统是指物体的振动是连续的，例如梁和板的振动。
在连续系统中，可以利用变分原理、模态分析和有限元法等方法进行振动分析。
3. 振动控制振动控制是指通过控制手段，减小或消除系统的振动响应，以提高系统的性能和稳定性。
关于梁的振动
关于梁的振动结构的损伤首先表现为裂纹的出现和扩展，裂纹损伤是引起大型复杂结构破坏的主要原因之一［1］。
由于早期初始微小裂纹不易被发现，容易被人们忽略，但裂纹的深入扩展往往导致重大灾难性事故的发生，诸如航空灾难、桥梁的断裂坍塌、海洋平台的倒塌、油气管线的断裂泄漏等，给国家和社会造成了巨大的损失。
因此，监测并预示早期裂纹发生的位置与深度，预防重大事故发生，是损伤识别领域的一个重要研究方向。
近年来，结构裂纹损伤监测与识别方法的研究引起了国内外学者的广泛关注，成为工程结构健康诊断和安全评估研究的前沿课题之一。
虽然超声波、电涡流、磁粉、红外识别法等检测方法［2-3］在裂纹检测上取得了一定成就，但这些方法通常只适用于对静态对象的检测2 裂纹梁结构振动分析结构中裂纹的出现引起局部刚度的改变，从而在一定程度上影响了结构整体的动力特性，导致了固有频率的降低和振型的变化，裂纹梁的振动分析对于指导裂纹识别非常有意义。
裂纹梁振动分析的关键是裂纹的处理，常见处理方法有：等效降截面法［5-9］；局部柔度法［10-16］；一致裂纹梁理论［17-21］。
近年来裂纹梁的非线性特征研究得到了发展［20-25］．2.1等效降截面法等效降截面法是发展最早的一种方法。
Kirmsh—el［5］和Thomson［6］是两位研究具有类似切口缺陷局部不连续梁振动特征的先驱，首次对局部缺陷进行了量化分析。
文献[5—6]中使用局部弯矩或降截面模拟切口对结构柔度的影响，并通过试验对结果进行验证，提出了一种等效降截面法。
Petroski［7-8］多次使用Kirmshen和Thomson提出的等效降截面法求解损伤梁的振动问题。
Wendtland同样用切口模拟缺陷，使用了文献[5—6]提出的等效降截面法分析缺陷截面柔度，并通过试验研究比较不同几何形状及不同边界条件下裂纹梁固有频率的变化，在结论中清晰指出：等效降截面法不大适合分析真实裂纹，仅仅适合于切口的振动分析。
振动力学—连续系统
弦的横向振动
y(x,t)为弦上坐标为x处的横截面 在t时刻的横向位移l。
取微元，分析受力，如图
杆的纵向振动
假定：细长等截面杆, 振动时横截面仍保持为平面，横截 面上的质点只作沿杆件纵向的振动，横向变形忽略不计。 则同一横截面上各点在x方向作相等的位移。 参数：杆长l，截面积S，材料密度，弹性模量E
EI d 4Y d 2T a 2 , 4 Y IV , 2 T ，则上式为： 令 m dx dt IV T 2 Y a Y T
Y IV T a 2 Y T
2
梁的弯曲振动
方程
T 2T 0
Y
( 4)
2
a
2
Y 0
T Aei (t )
各态遍历过程
相关函数
自相关函数性质
1 偶函数
Rx ( ) Rx ( )
2 周期随机过程的自相关函数仍是周期函数 X (t ) X (t ) Rx ( ) Rx ( T ) 3 4
2 Rx (0) x
2 2 x x Rx ( ) Rx (0)
T(t ) 2T (t ) 0
X ( x)
2
a
2 0
X ( x) 0
杆的纵向振动
解为 时间域，初值问题 空间域，边值问题 固支边条件
T (t ) Aei (t )
X ( x) C1 sin
a0
x C2 cos
a0
x
x=0时，u(0,t)=X(0)· T(x)=0，即X(0)=0 x=l时，u(l,t)=X(0)· T(l)=0，即X(l)=0
x=H(0) f
梁的双向横振动
考虑到边界上变分，
对于 位移边界条件 等于
又对于 力边界条件 是任意的，0同时由于 域内
是任意的
得到梁双向振动微分方程
由于Jyz的存在，导致方程是耦合的
只有各个截面的 主惯性轴 相互平行，选取两个主惯性平面 为xoy 和xoz面，使各截面的Jyz=0，方程解耦。的轴线]和[简化到轴线的外载荷] 在同一个平面, 载荷和梁的主惯性轴一个平面
不在一个平面？？分解到两个主方向上—---------两个平面内
如图所示，以变形前的轴线作为x轴，建立空间坐标系xyz 弹性线上各点的位移将有沿 y ，z 上的两个分量
V=v(x,t) W=w(x,t)
梁上任意一点a的位移，在三个方向上的 分量上分别为
得到a点的轴向应力及应变为 动能和势能的表达式为
Z轴的惯性矩 Y轴惯性矩
关于yz轴的惯 性积
考虑作用在梁上的分布载荷Fy(x，t)和Fz(x，t),以及作用于两 端的弯矩和剪力Qy0, Qz0, My0, 等，得到主动力的虚功为：
将动能 势能 虚功带入变分式
梁横向振动的近似解法
梁横向振动的近似解法弹性体的固有振动有两种提法，一种是微分方程的特征值问题，另一种是泛函的驻值问题。
从精确解得角度看，两者完全等价，从近似解得角度看，求泛函驻值问题比求微分方程的近似解容易。
精确解法主要是分离变量法，此处略去不谈。
一方程的建立假设：梁的各截面中心主惯性轴在同一平面，外载也在同一平面，梁在该平面内的横向振动引起弯曲变形，低频振动时可以忽略剪切变形及截面绕中性轴转动惯量的影响。
∂2∂x 2 EJ ∂2y ∂x 2 +ρA ∂2y ∂t 2=p x,t −∂∂xm x,t (1) p(x,t),m(x,t)分别为单位长度梁上分布的外力和外力矩。
假设：y(x,t)=Y(x)bsin(ωt +ϕ)代入(1)式的齐次形式，有：(EJY ′′)′′−ω2ρAY =0 (2)上式改写成：(EJY ′′i )′′=ω2ρAY i上式两边同时乘以Y i 并在全梁上积分，i ，j 互换得到两个式子并相减等于0可以得到主振型的关于质量和刚度正交性，并且可以得到相应的频率p378。
固有频率的变分式命题：这个式子与边界条件的组合所确定的特征值ω2及相应的特征函数Y(x) 等价于下列泛函所取驻值及相应的自变函数，该自变函数满足位移边界条件P389。
ω2=st EJ(Y ′′)2dx l 0ρAY 2dx l 0 (3)证明：1，(3)式各驻值及相应的函数Y(x)是(2)式的的特征值和特征函数。
驻值时，一阶变分等于0，δ(ω2)=0展开后，得到三个item 相加得0：EJY ′′ ′′−ω2ρAY δYdx − EJY ′′ ′l0δY ︱0l +EJY ′′δY ‘︱0l=0 (∗) 由δY 的任意性，第一个item 等于0，可以得到(2)式，由第二、三项可以得到Y(x)的边界条件。
2，(3)式加(2)式后反过来可以得到δ(ω2)=0。
从而证明泛函的驻值问题与微分方程的特征值问题完全等价。
另外，可以由泛函(3)证明主振型的正交性。
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求出后得i 到固i2a有频i2率
EI
A
,
(i 1, 2L )
Φ振(x型) 为 C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
C
sin
x
sh
x
sin l sh l ch l cos l
(cos
x
ch
x)
2u
x2
A
2u t 2
f
弹性体的振动
边界条件
和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程 成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。
梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例)。 （1）固定端：挠度和转角为0，即
u(0,t) 0, u(x,t) 0 x x0
弹性体的振动
（2）简支端：挠度和弯矩为0，即
对于均匀梁，振动方程为
a2 4u 2u 0 x4 t 2
其中
a EI
A
弹性体的振动
假定有分离变量形式的解存在，令
u(x,t) Φ(x)q(t)
代入方程得到
a2
2 x2
q(t)
d 2Φ(x)
dx2
Φ(x)
d 2q(t) dt 2
写为
a2
2 x2
d 2Φ(x)
dx2
d 2q(t) dt 2
以及
Φ(x) C1 cos x C2 sin x C4 sh x C3 ch x
Φ(x) C1 2 sin x C2 2 cos x C3 2 sh x C4 2 ch x
弹性体的振动
进一步化k简后得 到3 频率c方h 程l cos l 1
EI
ch l sin l cos l sh l
i x
l
)
第i阶振型有i－1 个节点。节点坐标
1
2
l2
EI
A
i
l
xk
k
即
xk
kl , i
(k 1, 2L i 1)
2
4 2
l2
EI
A
3
9 2
l2
EI
A
弹性体的振动
【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。
解：边界条件为挠度和转角为0，即
Φ(0) 0,Φ(0) 0 Φ(l) 0,Φ(l) 0
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0,Φ(0) 0
弹性体的振动
右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力
Φ(l) 0
Q dM EIq d 3Φ
dx
dx3
qkΦ(l)
xl
弹性体的振动
Φ(l) 0
Q
dM dx
EIq
d 3Φ dx3
qkΦ(l)
xl
代入特征方程的解
Φ(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
sh
x
sin ch
l l
sinh l cos l
C1
ch
x
C
sin
x
sh
x
sin l sh l ch l cos l
(cos
x
ch
x)
弹性体的振动
【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的 均匀梁弯曲振动的频率方程。
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0,Φ(0) 0
弹性体的振动
2
Φ(x)
q(t)
弹性体的振动
则有
d
2q(t dt 2
)
2
q(t
)
0
d
4Φ ( x) dx4
4Φ ( x)
（称为特征方程）
其中
4
2
a2
弹性体的振动
方程的通解为
Φ(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
q(t) C5 sin t C6 cost
u(0, t )
0,
EI
2u( x, t ) x2
0
x0
（3）自由端：弯矩和剪力为0，即
EI
2u( x, t ) x2
x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0,
x
EI
2u(x,t)
x2
x0
0
其它边界条件用类似的方法给出。
弹性体的振动
2、梁弯曲自由振动的解
令振动方程中的干扰力为0，得到
2 x2
EI
2u x2
A
2u t 2
由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数 F(x)和频率方程，进一步确定系统的固有频率wi。用 四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。
弹性体的振动
【例1】 求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。
解：边界条件为挠度和弯矩为0。
Φ
(0)
0,
d 2Φ dx2
0
x0
代入特征方程的解
Φ(l
)
0,
d 2Φ dx2
代入特征方程的解得到
C2 C4 0, 以及
(C1 C3) 0
C1 sin l C2 cos l C3 sh l C4 ch l 0 C1 cos l C2 sin l C4 sh l C3 ch l 0
弹性体的振动
求得 C3 C1
C2
C4
sin l sh l ch l c o s l
弹性体的振动
振动力学
------弹性体的振动
弹性体的振动
梁的横向振动
仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振 动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材 料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。
弹性体的振动
1、运动微分方程
在梁的主平面上取坐标xoz，原点位于梁的左端截 面的形心，x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振 动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。
弹性体的振动
取微段梁dx，截 面上的弯矩与剪力为 M和Q，其正负号的 规定和材料力学一样。
则微段梁dx沿z方向的运动方程为：
Q
Q
Q x
dx
fdx
Adx
2u t 2
弹性体的振动
即
Q x
A
2u t 2
f
利用材料力学中的关系
Q M x
M EI 2u x2
得到梁的弯曲振动方程
2 x2
EI
以及
C1 sin l C3 sh l 0
C1 2 sin l C3 2 sh l 0
则
C3 0
以及频率方程
sin l 0
由此解得
i
i
l
,
(i 1, 2L )
弹性体的振动
所以固有频率 振型为
i
i2a
i2 2
l2
Φ(i) (x) C sin i x
EI ,
A
C sin
(i 1, 2L
C1
化简后得到频率方程
cos l ch l 1
求出后得到固有频率
i i2a i2
EI ,
A
(i 1, 2L )
弹性体的振动
振型为
Φ(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
C1
sin
x
sin ch l
l sh cos
l l
C1
cos
x
C1
0
xl
(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
以及
Φ(x) C1 2 sin x C2 2 cos x C3 2 sh x C4 2 ch x
弹性体的振动
得到 则
C2 C4 0, C2 C4 0
2 (C2 C4 ) 0