上海交通大学2008年振动力学期末考试试题

上海交通大学2008年振动力学期末考试试题

第一题（20分）

1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1，匀质杆AB的质量m2，长为L，匀质轮O的质量m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。

解：

系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y＝0，此时系统的势能为零。

AB转角：

系统动能：

m1动能：

m2动能：

m3动能：

系统势能：

在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而

有：

上式求导，得系统的微分方程为：

固有频率和周期为：

2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过

定滑轮A连在质量为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求

系统的固有频率。

解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x＝0，此时系统的势能为零。

物体B动能：

轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为，转过的角度为。轮子动能：

系统势能：

在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：上式求导得系统的运动微分方程：

固有频率为：

第二题（20分）

1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m，每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。

解：

系统为二自由度系统。

当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k

当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k

因此系统刚度矩阵为：

系统质量矩阵为：

系统动力学方程为：

频率方程为：

解出系统2个固有频率：

，

2、在图示振动系统中，物体A、B的质量均为m，弹簧的刚度系数均为k，刚杆AD的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：

（1）以x1和x2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2）系统的固有频

率方程。

解：

系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A和B在铅垂方向的位移x1和

x2为系统的广义坐标。

当x1＝1，x2＝0时，AD转角为，两个弹簧处的弹性力分别为和。对D点取力矩平衡，有：；

另外有。

同理，当x2＝1，x2＝1时，可求得：

，

因此，系统刚度矩阵为：

系统质量矩阵为：

系统动力学方程为：

频率方程为：

即：

第三题（20分）

在图示振动系统中，已知：物体的质量m1、m2及弹簧的刚度系数为k1、k2、k3、k4。（1）采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）若k1=k3=k4= k0，又k2=2 k0，求系统固有频率；（3）取k0=1，m1=8/9，m2=1，系统初始位移条件为x1(0)=9和x2(0)=0，初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。

解：

（1）系统可以简化为二自由度振动系统。

当x1＝1，x2＝0时，有：

k11＝k1+k2+k4，k21＝－k2

当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝k2+k3，k12＝－k2。因此，系统刚度矩阵为：

系统质量矩阵为：

系统动力学方程为：

（2）当，时，运动微分方程用矩阵表示为：

频率方程为：

求得：

（3）当k0=1，m1=8/9，m2=1时，系统质量阵：系统刚度阵：

固有频率为：

，

主模态矩阵为：

主质量阵：

主刚度阵：

模态空间初始条件：

，

模态响应：

，

即：

，

因此有：

第四题（20分）

一匀质杆质量为m，长度为L，两端用弹簧支承，弹簧的刚度系数为k1和k2。杆质心C上沿x方向作用有简谐外部激励。图示水平位置为静平衡位置。（1）以x和为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）取参数值为m=12，L=1，k1 =1，k2=3，求出系统固有频率；（2）系统参数仍取前值，试问当外部激励的频率为多少时，能够使得杆件只有方向的角振动，而无x方向的振动？

解：

（1）系统可以简化为二自由度振动系统，选x、q为广义坐标，x为质心的纵向位移，q为刚杆的角位移，如图示。

当、时：，

当、时：

，

因此，刚度矩阵为：

质量矩阵为：

系统动力学方程：

（2）当m=12，L=，k1 =1，k2 =3时，系统动力学方程为：频率方程为：

即：

求得：

（3）令，代入上述动力学方程，有：

由第二行方程，解得，代入第一行的方程，有：

，

要使得杆件只有方向的角振动，而无x方向的振动，则需，因此。第五题（20分）

如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L，弹性模量为E，横截面对中性轴的惯性矩为I，梁材料密度为。在梁的位置作用有集中载荷。已知梁的初始条件为：，。（1）推导梁的正交性条件；（2）写出求解梁的响应的详细过程。

（假定已知第i阶固有频率为，相应的模态函数为，）

提示：梁的动力学方程为：，其中

，为函数。

解：

（1）梁的弯曲振动的动力学方程为：

可写为：

代入梁的动力学方程，有：