计算机图形学第六章

绘制曲线的基本方法
这就告诉了我们一个绘制任何曲线的基本原理， 就是要把曲线离散化---把它们分割成很多短直线段， 用这些短直线段组成的折线来逼近曲线。至于这些短 直线段取多长，则取决于图形输出设备的精度。 在实际工程中经常会遇到这样的问题：由离散 点来近似地决定曲线和曲面。如通过测量或实验得到 一系列有序点列，根据这些点列需构造出一条光滑曲 线，以直观地反映出实验特性、变化规律和趋势等。 通常，几何产品的几何形状大致可分为两类或 由这两类组成：
1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面 1974年，美国通用汽车公司，Cordon和 Riesenfeld, Forrest, B样条曲线曲面 1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条 80年代，Piegl和Tiller, NURBS方法

参数曲线基础（1/6）
拟合方法举例：最小二乘法
在科学研究中，通过实验或测量，可以获得大量 的实验数据。一般在获得数据之后，对这些数据进行 某种处理，然后绘成图形。 但由于实验本身会受到各种具体因素的影响，使 得通过实验测得的数据或多或少地带有误差。也就是 说，这些实验数据本身并不准确。因此如果仅仅是简 单地将这些数据点连成曲线，那么这种看起来似乎很 精确的方法恰恰不符合实际情况，也是不可取的。 正确的方法应该是用一条平滑的曲线以适当的方 式来尽可能地靠近这些数据点，以弥补由于误差造成 的数据点的跳动。
t [ a, b]

参数的含义
时间，距离，角度，比例等等 规范参数区间[0，1]

参数曲线基础（3/6）

参数矢量表示形式
例子：直线段的参数表示
P P(t ) P0 t (P1 P0) (1 t )P0 tP1 t [0,1]
参数曲线基础（4/6）

参数连续性
参数多项式曲线（1/4）

为什么采用参数多项式曲线
表示最简单 理论和应用最成熟

定义--n次多项式曲线
n
x(t ) x0 x1 t xn t n y (t ) y0 y1 t yn t z (t ) z z t z t n 0 1 n
6.1 概 述

研究内容
对几何外形信息的计算机表示 对几何外形信息的分析与综合 对几何外形信息的控制与显示
6.1 概 述

对形状数学描述的要求？
从计算机对形状处理的角度来看 （1）唯一性
（2）几何不变性
对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合， 用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。
6.1 概 述

从形状表示与设计的角度来看 （1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面
（2）易于实现光滑连接 （3）形状易于预测、控制和修改 （4）几何意义直观，设计不必考虑其数学表达




自由曲线曲面的发ห้องสมุดไป่ตู้过程
目标：美观，且物理性能最佳
1963年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲 面片 1964~1967年，美国MIT，Coons双三次曲面片

自由曲线曲面构造方法

已知条件的表示方法
一系列有序的离散数据点
型值点 控制点

边界条件
连续性要求
构造自由曲线曲面的方法

插值、 逼近是构造拟合曲线的重要方法。
插值
点点通过型值点 插值算法：线性插值、抛物样条插值、Hermite插 值

逼近
提供的是存在误差的实验数据
6.1 概 述
（3）易于定界 （4）统一性：
统一的数学表示，便于建立统一的数据库 标量函数：平面曲线 y = f(x) 空间曲线 y = f(x) z = g(x) 矢量函数：平面曲线 P(t) = [x(t) y(t)] 空间曲线 P(t) = [x(t) y(t) z(t)]
x x(t ) y y (t ) z z (t ) t [ a, b]
CATIA系统设计的轮船
Dassault System公司的CATIA
CAD/CAM
boeing777
CAD/CAM
CAD/CAM
CAD/CAM
工程图及其三维重建结果
CAD/CAM
用AutoCAD软件制作 三维实体模型
CAD/CAM
用AutoCAD软件制 作三维实体模型
第六章 自由曲线
t [0,1]
参数多项式曲线（2/4）

矢量表示形式
x(t ) x0 y P(t ) y ( t ) 0 z (t ) z0
加权和形式
x1 xn 1 t 记为 y1 yn C T n z1 zn t
绘制曲线的基本方法
先确定一些满足条件的、位于曲线上的坐标点， 然后借用曲线板把这些点分段光滑地连接成曲线。绘 出的曲线的精确程度，则取决于所选择的数据点的精 度和数量，坐标点的精度高，点的数量取得多，则连 成的曲线愈接近于理想曲线。
其实，上面所说的方法也就是用计算机来绘制各 类曲线的基本原理。 由于图形输出设备的基本动作是显示像素点或者 是画以步长为单位的直线段，所以，一般除了水平线 和垂直线以外，其它的各种线条，包括直线和曲线， 都是有很多的短直线段构成的锯齿形线条组成的。从 理论上讲，绝对光滑的理想曲线是绘不出来的。
几何矩阵
t [0,1]
G G0 G1 Gn
控制顶点 Gi 基矩阵M M T 确定了一组基函数
参数多项式曲线（4/4）
例子—直线段的矩阵表示
P(t ) P0 tP 1 P 0 (1 t ) ( P 0 P 1 )t P0
几何矩阵G
1 1 1 P0 P t [0,1] 1 0 1 t
绘制曲线的基本方法
一类由初等解析曲面，如平面、圆柱面、圆锥面、球面等 组成，它们可以用画法几何与机械制图完全清楚地表达和传递 所包含的全部形状信息。 另一类由以复杂方式自由变化的曲线曲面，即所谓的自由 曲线曲面组成。如飞机、汽车、船舶的外形零件等。显然，这 一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能表达清楚的。 随着计算机的普及和应用，人们发现可以用数学方法惟一 地定义自由曲线曲面的形状，由此导致了一门学科的诞生：计 算机辅助几何设计CAGD（Computer Aided Geometric Design） CAGD是综合了微分几何、代数几何、数值计算、逼近论、 拓扑学以及数控技术等的一门边缘性学科。依据定义形状的几 何信息可建立相应的曲线曲面方程，即数学模型。并在计算机 上通过计算和处理程序，计算出曲线曲面上大量的点及其它信 息。
t [0,1]
n P(t ) C T P0 t P t Pn t [0,1] 1 缺点
P i
没有明显的几何意义 P i 与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难
参数多项式曲线（3/4）

矩阵表示
矩阵分解
C GM
P(t ) C T G M T
样条概念 在利用计算机自动绘图之前，航空、 汽车和船舶制造业中常借助于称为样条 (spline)的工具手工绘制自由曲线。绘图用 的样条工具是一根富有弹性的匀质细木条、 金属或有机玻璃条，可让它按要求通过一组 指定点来生成平滑曲线。绘图时，绘图员用 压铁强迫弹性条通过给定的数据点。 三次样条曲线 二次样条曲线
0阶几何连续

称曲线P=P(t)在 t t0 处0阶几何连续，如果它在 t 0 处位置连续，即 记为 GC 0

P(t0 ) P(t0 )


1阶几何连续

称曲线P=P(t)在 t t0 处1阶几何连续，如果它在该 处 GC 0 ,并且切矢量方向连续 记为 GC
1

P(t0 ) P(t0 )

参数表示的好处
(5)便于曲线、曲面的分段、分片描述。 (6) 提供了更大的自由度来控制曲线、曲面 的形状。 (7)易于用向量和矩阵的表示来简化方程， 达到简化计算的目的。

所有参数插值曲线的缺点：
只限于作一条点点通过给定数据点的曲线
只适用于插值场合，如外形的数学放样 不适合于外形设计
传统的、严格的连续性 称曲线P
= P(t)在 t t0处n阶参数连续，如果 它在 t 0 处n阶左右导数存在，并且满足
d P(t ) k dt
记号
k
t t 0

d P(t ) k dt
k
t t 0

, k 0,1, n
C
n
参数曲线基础（5/6）

几何连续性
直观的、易于交互控制的连续性
6.1 概 述
曲面也分为规则曲面和拟合曲面(不规则曲面 )两 大类。规则曲面就是具有确定描述函数的曲面，如二 次曲面 ( 圆柱、圆锥、 圆球、 双曲面、 抛物面等 ) 、 螺旋面、直纹曲面、扫描曲面 ( 旋转扫描面即旋转曲 面、 拉伸曲面)等， 它们都是轨迹曲面。 由离散特 征点构造函数来描述的曲面称为拟合曲面，也称自由 曲面，如 Coons 曲面、 Bézier 曲面、 B 样条曲面、非 均匀有理B样条曲面等。
P0+P1
基矩阵MT
P1 P0
绘制曲线的基本方法
在平面直角坐标系内，如果一条曲线上的点都能符 合某种条件，而满足该条件的点又均位于这条曲线上， 那么可以把这种对应关系写成一个确定的函数式：
y f ( x)
这个函数式就称为曲线的方程；同样，该曲线即 为这个方程的曲线。如圆、椭圆、双曲线等的方程。 在绘制这些曲线的时候，可以借助于各种标准工 具。如画圆可以用圆规等。但对于非圆曲线，绘制时 的更一般方法是借助于曲线板。