计算机图形学第7章曲线和曲面分析
合集下载
计算机图形学 曲线和曲面 算法
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = [x(t ) = t y ( t ) z ( t )] = T * M B * G B −1 3 − 3 3 −6 3 t 1 * − 3 3 0 0 0 1 1 P 1 P 0 2 * 0 P3 0 P4
G1 g1x G g 2x G = 2 = G3 g 3 x G4 g 4 x g1 y g2 y g3 y g4 y g1z g2z g3z g4z
Q(t ) = [x(t )
G1 g1 x G g 2x G = 2 = G 3 g 3 x G 4 g 4 x
y (t ) z (t )] = t 3
g1 y g2 y g3 y g4 y g1 z g2z g3z g4z
[
t2
m11 m t 1 21 m31 m41
]
m12 m22 m32 m42
m13 m23 m33 m43
m14 G1 m24 G2 m34 G3 m44 G4
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = T * M H * GH = T * M H * ( M HB * GB ) = T * ( M H * M HB ) * GB = T * M B * GB
M B = M H * M HB −1 3 − 3 3 −6 3 = − 3 3 0 0 0 1 1 0 0 0
如何确定曲线的约束条件
Q(t ) = [x(t ) y ( t ) z ( t )] = T * C
拆分 C = M * G
计算机图形图像技术
7
最常用旳图形输入设备是键盘和鼠标。人们 一般经过某些图形软件由键盘和鼠标直接在屏幕 上定位和输入图形，如CAD系统就是用鼠标和键盘 命令制作多种工程图旳。另外还有跟踪球、空间 球、数据手套、光笔、触摸屏等输入设备。跟踪 球和空间球是根据球在不同方向受到旳推或拉旳 压力来实现定位和选择。数据手套则是经过传感 器和天线来发送手指旳位置和方向旳信息。这几 种输入设备在虚拟现实场景旳构造和漫游中尤其 有用。光笔是一种检测光旳装置，它直接在屏幕 上操作，拾取位置。
可用于美术创做旳软件诸多，如二维平面旳 绘图程序CorelDraw, photoshop, paintshop, 三 维动画建模和渲染软件3D MAX, Maya等
23
❖ 7.3 图形与图像旳区别与联络 图形和图像有着较大不同。因而计算机图形学和
数字图像处理目前仍被作为两门不同课程。 计算机图形学是指将点、线、面、曲面等实体生
计算机图形学一种主要旳目旳就是利用计算 机产生令人赏心悦目旳真实感图形。为此，必须 建立图形所描述旳场景旳几何表达，再用某种光 照模型计算在假想旳光源、纹理、材质属性下旳 光照明效果，所以，计算机图形学与计算机辅助 设计有着亲密联络。
4
❖ 7.1.2 计算机图形处理旳基本概念 计算机图形处理是指把由概念或数学描述
目前正在研究下一代顾客界面，开发面对主流 应用旳自然、高效多通道旳顾客界面。研究多通道 语义模型、多通道整合算法及其软件构造和界面范 式是目前顾客界面和接口方面研究旳主流方向，而 图形学在其中起主导作用。
21
➢ 地形地貌和自然资源图 国土基础信息是国家经济系统旳一种构成部
分。利用这些存储旳信息可绘制平面图、生成三 维地形地貌图，为高层次旳国土整改进行预测和 提供决策，为综合治理和资源开发研究提供科学 根据，在军事方面也有主要价值。
最常用旳图形输入设备是键盘和鼠标。人们 一般经过某些图形软件由键盘和鼠标直接在屏幕 上定位和输入图形，如CAD系统就是用鼠标和键盘 命令制作多种工程图旳。另外还有跟踪球、空间 球、数据手套、光笔、触摸屏等输入设备。跟踪 球和空间球是根据球在不同方向受到旳推或拉旳 压力来实现定位和选择。数据手套则是经过传感 器和天线来发送手指旳位置和方向旳信息。这几 种输入设备在虚拟现实场景旳构造和漫游中尤其 有用。光笔是一种检测光旳装置，它直接在屏幕 上操作，拾取位置。
可用于美术创做旳软件诸多，如二维平面旳 绘图程序CorelDraw, photoshop, paintshop, 三 维动画建模和渲染软件3D MAX, Maya等
23
❖ 7.3 图形与图像旳区别与联络 图形和图像有着较大不同。因而计算机图形学和
数字图像处理目前仍被作为两门不同课程。 计算机图形学是指将点、线、面、曲面等实体生
计算机图形学一种主要旳目旳就是利用计算 机产生令人赏心悦目旳真实感图形。为此，必须 建立图形所描述旳场景旳几何表达，再用某种光 照模型计算在假想旳光源、纹理、材质属性下旳 光照明效果，所以，计算机图形学与计算机辅助 设计有着亲密联络。
4
❖ 7.1.2 计算机图形处理旳基本概念 计算机图形处理是指把由概念或数学描述
目前正在研究下一代顾客界面，开发面对主流 应用旳自然、高效多通道旳顾客界面。研究多通道 语义模型、多通道整合算法及其软件构造和界面范 式是目前顾客界面和接口方面研究旳主流方向，而 图形学在其中起主导作用。
21
➢ 地形地貌和自然资源图 国土基础信息是国家经济系统旳一种构成部
分。利用这些存储旳信息可绘制平面图、生成三 维地形地貌图，为高层次旳国土整改进行预测和 提供决策，为综合治理和资源开发研究提供科学 根据，在军事方面也有主要价值。
贝塞尔曲线曲面
贝塞尔曲线曲面
贝塞尔曲线和曲面是计算机图形学中的重要概念。
贝塞尔曲线是由法国工程师皮埃尔·贝塞尔在20世纪60年代提出的一类参数曲线。
它通过控制曲线上的四个点（起始点、终止点以及两个相互分离的中间点）来创造、编辑图形。
其中起重要作用的是位于曲线中央的控制线。
这条线是虚拟的，中间与贝塞尔曲线交叉，两端是控制端点。
移动两端的端点时贝塞尔曲线改变曲线的曲率（弯曲的程度）；移动中间点（也就是移动虚拟的控制线）时，贝塞尔曲线在起始点和终止点锁定的情况下做均匀移动。
贝塞尔曲面则是通过贝塞尔曲线扩展到三维空间的结果，它是一类三维参数曲面，通过调整控制线，可以得到各种各样的曲面形状。
贝塞尔曲线和曲面广泛应用于计算机图形学中，如游戏设计、建筑设计、工业设计等领域。
在计算机图形学中，它们被用来创建各种复杂的形状和表面，使得设计更加灵活和高效。
计算机图形学 曲线
所以，P(t)是P0,P1,…,Pn凸线性组合。 这证明Bezier曲线 完全被包在其特征多边形的凸包内。
（4） 几何不变性 由给定控制顶点所确定的Bezier曲线的形状与坐标 系的选取无关。此性质就是Bezier曲线的几何不变 性。 几何不变性对几何图形来说是一种很重要的性质。 在计算机图形学中经常要作坐标变换，如果同一表 示式在不同坐标系下表示不同的曲线，则会给图形 变换带来很多不便之处。 （5）交互能力 控制多边形P0P1…Pn大致地勾画出Bezier曲线P(t) 的形状。 要改变P(t)的形状，只要改变P0,P1,…,Pn 的位置即可。
① 共点：P4和R1共点。 ② 共线：P3、P4(R1)、R2三点共线。 ③ Q1'(t)为Q2'(t)长度的λ 倍。
2）C²连续
若Q1(t)曲线为m次，而Q2(t)曲线为n次，则有：
Q(1) m(m 1)( P m 2 P m 1 P m 2) Q(0) n(n 1)( R 2 2 R1 R0)
该曲线的矢量表达式为：
p p(t ) A0 A1t A2t 2 A3t 3
上式为三次曲线的代数形 式,Ai(i=0,1,2,3)成为代数系数.
应用端点P0和P1，以及端点切矢P0’和P1’,可得：
p 0 A0 p A1 0 p1 A0 A1 A2 A3 p A1 2 A2 3 A3 1 A0 p 0 A1 p 0
2. 4
三次Bezier曲线的拼接
三次Bezier曲线曲线的拼接，工程上经常采用分段绘制三次 Bezier曲线，然后将分段的Bezier曲线连接起来，形成Bezier 样条曲线。 设有两条Bezier曲线Q1(t)和Q2(t)，其特征多边形顶点分别 为：Ｐ1、Ｐ2、Ｐ3、Ｐ4和R1、R2、R3、R4，如图。
计算机图形学第7讲贝塞尔曲线
i 0,1, , n;
（7）最大值。Bi ,n (t ) 在 t
i n
处达到最大值。
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（8）升阶公式
(1
t ) Bi ,n
(t
)
(1
n
i
) 1
Bi,n1
(t
)
i 1 tBi,n (t) n 1 Bi1,n1(t)
Bi,n
(t)
(1
n
i
) 1
计算机图形学
Bezier曲线的性质
n2
c.）二阶导矢 P(t) n(n 1) (Pi2 2Pi1 Pi )Bi,n2 (t) i0
当t=0时，P"(0) n(n 1)(P2 2P1 P0 )
当t=1时，P" (1) n(n 1)(Pn 2Pn1 Pn2 )
上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，
n 1 n
(Pn1
Pn2 ) (Pn Pn Pn1 3
Pn 1 )
计算机图形学
Bezier曲线的性质
d.）k阶导函数的差分表示
n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为：
Pk
(t)
(n
n! k)!
nk i0
k
Pi Bi,nk
(t)
t [0,1]
其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定
Bi
,n1
(t
)
i 1 n 1
Bi 1,n 1 (t )
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（9）积分
1
0
Bi,n (t)
1 n 1
计算机图形学
图形学复习大纲
图形学复习大纲计算机图形图像学复习大纲：第一章1.关于计算机图形学的含义（填空、选择、判断）2.关于图形分类及举例3.关于图形的表示方法（两种）<概念、区别>4.图形与图像的区别5.图形学的另一种解释6.阴极射线管组成（五部分）7.什么是分辨率及特性8.习题3（图形、图像含义）第二章1.什么是CDC类（P31下）设备上下文对象的基类2.例2.4、例2.5（P35、P38）第三章1.什么是直线的扫描转换2.程序：利用中点Bresenham绘直线第四章1.多边形定义及分类，三种。
（P73）2.多边形表示方法有哪两种（顶点、点阵）及其概念3.什么是多边形扫描转换4.什么是多边形填充5.有效边表填充原则（下闭上开、左闭右开）6.什么是有效边、有效边表7.分析题：分析某个多边形关于某条扫描线的有效边表8.什么是桶表（又名边表）9.什么是边缘填充？[P80]10.什么是种子填充算法？11.什么是四/八邻接点（连通域）。
简答第五章二维变换和裁剪1.什么是图形几何变换？分为几种？2.什么是（规范化）齐次坐标？点的表达式3.三维变换矩阵的形式，和子矩阵功能：T1、T2、T3、T4形式、作用4.二维图形基本几何变换5.什么是平移（比例）变换，概念和过程？6.如何使用比例变换改变图形形状（P92中）7.什么是旋转变换（概念、结论）8.什么是反射变换（概念、3个结论矩阵）9.错切变换（概念）10.例1、例2（P95、97）11.什么是用户、观察、设备、规格化设备坐标系12.窗口、视区的关系，概念13.什么是裁剪、算法原理14.习题1.2.4（P106）第六章三维变换和投影1.三维几何变换矩阵2.平移、比例矩阵3.什么是平行投影，特点和分类？4.什么是三视图、哪三个，加以区分5.透视投影的特点6.什么是透视投影、视心、视点、视距7.透视变换坐标区包含3个（区别）8.什么是灭点、性质是什么？P1259.什么是主灭点、性质？10.什么是一、二、三点透视第七章自由变换曲线和曲面1.什么是样条曲线/面2.曲线曲面的表示形式3.什么是拟合、逼近4.什么是Bezier曲线及性质？P1375.一次、二次、三次Bezier的形状？6.Bezier性质（简答）第九章动态消隐1.什么是消隐？P1872.什么是图形的几何信息、拓扑信息？3.线框、表面实体模型的区别4.什么是消隐图5.消隐算法分类6.隐线算法原理（简答）7.隐线算法的特性8.凸面体的性质第十章真实感图形1.什么是颜色2.颜色的三要素和概念3.三刺激理论4.三原色性质5.常用颜色模型6.灰度和彩色的区分7.颜色渐变的方法8.关于直线的渐变9.三角形颜色渐变10.什么是材质第一章导论1.关于计算机图形学的含义（填空、选择、判断）？计算机图形学是一种使用图形生成原理和算法将二维或三维图形转化为光栅化的计算机显示的学科。
计算机图形学 第七讲 曲线和曲面
'
又由式（3.1.6），曲线段P（u）的二阶导矢为
将其代到式（3.1.14），得到如下关系
将其展开并加以整理得到连续性方程
对于空间曲线，式（3.1.15）包含三组方程，分别对应于x，y和z 坐标。与样条函数类似， 为了求得全部型值点处的切矢，还需要指定合成曲线首、末两端的端点条件。
4.端点条件
（1） 指定首、末两端的切矢 T0 和 Tn 在某些情况下，曲线段首、末端切矢的方向是已知的，但其模长需根据经验确定，如飞机的 机身截面左右对称，取其一半构造曲线时，其首、末端的切矢方向必与Z轴平行（图2.2）。 若已知曲线首、末端切矢分别为 T0 和 Tn ，则两个补充方程为 P0' T0 （3.1.16） Pn' Tn 由式（3.1.15）和式（3.1.16），可得求解型值点处切矢 pi （i=0,1…..,n）的方程组：
n
法平面
b P ρ t
从切面
4．曲率
以弧长S为参数 切矢t(s)对弧长 s求导， 所得导矢dt(s)/ds与切矢 相垂直，称为曲率矢量， 其单位矢量称为曲线的单 位主法矢，记为n(s)，其 模长称为曲线的曲率，记 为k(s)。曲率的倒数称为 曲线的曲率半径，记为 ( s)
密切平面
法平面
b
从切面 t
'' 0 '' n
P 1 (u ) B 1u C1u D 1
其二阶导矢分别为：
2 P ( u ) B u Cnu Dn n n
'' P 1 (u ) 2 B1 '' pn (u ) 2 Bn
显然，二次函数的二阶导数为常数，即
'' '' P ( 0 ) P 1 1 (1)
又由式（3.1.6），曲线段P（u）的二阶导矢为
将其代到式（3.1.14），得到如下关系
将其展开并加以整理得到连续性方程
对于空间曲线，式（3.1.15）包含三组方程，分别对应于x，y和z 坐标。与样条函数类似， 为了求得全部型值点处的切矢，还需要指定合成曲线首、末两端的端点条件。
4.端点条件
（1） 指定首、末两端的切矢 T0 和 Tn 在某些情况下，曲线段首、末端切矢的方向是已知的，但其模长需根据经验确定，如飞机的 机身截面左右对称，取其一半构造曲线时，其首、末端的切矢方向必与Z轴平行（图2.2）。 若已知曲线首、末端切矢分别为 T0 和 Tn ，则两个补充方程为 P0' T0 （3.1.16） Pn' Tn 由式（3.1.15）和式（3.1.16），可得求解型值点处切矢 pi （i=0,1…..,n）的方程组：
n
法平面
b P ρ t
从切面
4．曲率
以弧长S为参数 切矢t(s)对弧长 s求导， 所得导矢dt(s)/ds与切矢 相垂直，称为曲率矢量， 其单位矢量称为曲线的单 位主法矢，记为n(s)，其 模长称为曲线的曲率，记 为k(s)。曲率的倒数称为 曲线的曲率半径，记为 ( s)
密切平面
法平面
b
从切面 t
'' 0 '' n
P 1 (u ) B 1u C1u D 1
其二阶导矢分别为：
2 P ( u ) B u Cnu Dn n n
'' P 1 (u ) 2 B1 '' pn (u ) 2 Bn
显然，二次函数的二阶导数为常数，即
'' '' P ( 0 ) P 1 1 (1)
计算机图形学第七章自由曲线与曲面
参数方程表示：
x(t)
y(t)
axt3 ayt3
bxt 2 byt 2
cxt cyt
dx dy
，t∈〔0,1〕；
z(t)
azt3
bzt
2
czt
dz
矢量表示：
p(t) at 3 bt 2 ct d
t∈〔0,1〕；
矩阵表示：
a
p(t) t 3
t2
t
1
b
c
t∈〔0,1d 〕；
7.1.3 拟合和逼近
曲线曲面的拟合：当用一组型值点（插值点） 来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定 的型值点序列确定，称为曲线曲面的拟合，如 图7-2所示。
曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线 曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点， 称为曲线曲面的逼近，如图所示。
图7-2 拟合曲线
1
p(t) Pi Bi,1 (t) (1 t) P0 t P1 i0
可以看出，一次Bezier曲线是一段直线。
2.二次Bezier曲线
当n＝2时，Bezier曲线的控制多边形有 三个控制点P0、P1和P2，Bezier曲线 是二次多项式。
2
p(t) Pi Bi,2 (t) (1 t) 2 P0 2t(1 t) P1 t 2 P2 i0 (t 2 - 2t 1) P0 (2t 2 2t) P1 t 2 P2
可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物 线。
3.三次Bezier曲线
当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形 有四个控制点P0、P1、P2和P3， Bezier曲线是三次多项式。
3
p(t) Pi Bi,3 (t) (1 t)3 P0 3t(1 t)2 P1 3t 2 (1- t) P2 t3 P3 i0
x(t)
y(t)
axt3 ayt3
bxt 2 byt 2
cxt cyt
dx dy
，t∈〔0,1〕；
z(t)
azt3
bzt
2
czt
dz
矢量表示：
p(t) at 3 bt 2 ct d
t∈〔0,1〕；
矩阵表示：
a
p(t) t 3
t2
t
1
b
c
t∈〔0,1d 〕；
7.1.3 拟合和逼近
曲线曲面的拟合：当用一组型值点（插值点） 来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定 的型值点序列确定，称为曲线曲面的拟合，如 图7-2所示。
曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线 曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点， 称为曲线曲面的逼近，如图所示。
图7-2 拟合曲线
1
p(t) Pi Bi,1 (t) (1 t) P0 t P1 i0
可以看出，一次Bezier曲线是一段直线。
2.二次Bezier曲线
当n＝2时，Bezier曲线的控制多边形有 三个控制点P0、P1和P2，Bezier曲线 是二次多项式。
2
p(t) Pi Bi,2 (t) (1 t) 2 P0 2t(1 t) P1 t 2 P2 i0 (t 2 - 2t 1) P0 (2t 2 2t) P1 t 2 P2
可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物 线。
3.三次Bezier曲线
当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形 有四个控制点P0、P1、P2和P3， Bezier曲线是三次多项式。
3
p(t) Pi Bi,3 (t) (1 t)3 P0 3t(1 t)2 P1 3t 2 (1- t) P2 t3 P3 i0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基矩阵: Ms
几何约束条件: G
基函数(blenging function)，或称混合函数。
08:43
曲线和曲面
7.2 三次样条
给定n+1个点，可得到通过各个点的分段三次多项式曲线：
x(t) y(t)
axt ayt
3 3
bxt byt
2 2
cxt cyt
dx dyz(t)源自azt3bzt
6．参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来
08:43
曲线和曲面
7.1.4 插值和逼近样条
▪ 采用模线样板法表示和传递自由曲线曲 面的形状称为样条。
▪ 样条曲线是指由多项式曲线段连接而成 的曲线，在每段的边界处满足特定的连 续条件。
▪ 样条曲面则可以用两组正交样条曲线来 描述。
08:43
曲线和曲面
x(t) y(t)
ant n bnt n
a2t b2t
2 2
a1t1 b1t1
a0 b0
z(t)
cnt n
c2t
2
c1t1
c0
t [0,1]
08:43
曲线和曲面
x(t )
p(t)
y(t)
tn
z(t)
t
an
1 aa10
bn
b1 b0
cn
c1 c0
T C T M S G t[0,1]
特点: 只适用于型值点分布比较均匀的场合 不能“局部控制”
08:43
曲线和曲面
7.2.2 三次Hermite样条
定 义 ： 假 定 型 值 点 Pk 和 Pk+1 之 间 的 曲 线 段 为 p(t),t∈[0,1]，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，则 满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样条 曲线：
曲线和曲面
第七章 曲线和曲面
▪ 引言 ▪ 7.1曲线曲面基础知识 ▪ 7.2三次样条 ▪ 7.3几种典型的曲线曲面介绍 ▪ 7.4曲线曲面的转换和计算
08:43
引言
曲线和曲面
▪ 问题的提出:
如何根据已知的一系列离散点来构造出一 条光滑的曲线或一个光滑的曲面?(举例)
初等几何平面:平面、圆柱面、球面
pi pi (t) t [t i0 , ti1 ]
曲线段相连包括两种意义上的连续性: ➢ 参数连续性 ➢ 几何连续性
08:43
参数连续性
曲线和曲面
▪ 0阶参数连续性:记作C0连续性，是指曲线的几何位置连 接，即
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1)0 )
1阶参数连续性:记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段的 方程在相交点处有相同的一阶导数：
2
czt
d
z
t [0,1]
在此,介绍两种三次样条:
▪ 自然三次样条 ▪ 三次Hermite样条
08:43
曲线和曲面
7.2.1 自然三次样条
定义：给定n+1个型值点，现通过这些点列构造一 条自然三次参数样条曲线，要求在所有曲线段的公 共连接处均具有位置、一阶和二阶导数的连续性， 即自然三次样条具有C2连续性。
▪ B样条方法：解决局部控制 ▪ 有理Bezier ▪ 非均匀有理B样条方法
08:43
曲线和曲面
7.1.2 曲线曲面的表示要求
1.唯一性 2.几何不变性 3.易于定界 4.统一性 5.易于实现光滑连接 6.几何直观
08:43
曲线和曲面
7.1.3 曲线曲面的表示
曲线和曲面的表示分为:
非参数形式(y=kx+b,f(x,y))
pi (ti1) p(i1) (t(i1)0 ) 且pi(ti1) p(i1) (t(i1)0 )
2阶参数连续性:记作C2连续性，指两个相邻曲线段的方程
在相交点处具有相同的一阶和二阶导数。（举例 P218）
08:43
几何连续性
曲线和曲面
▪ 0阶几何连续性，记作G0连续性，与0阶参数连 续性的定义相同，满足：
08:43
曲线和曲面
7.1.1 曲线曲面数学描述的发展
▪ 美国波音公司弗格森双三次曲面片,引入参数法表 示自由区面的标准形式（参数矢量方法）
▪ MIT孔斯双三次曲面片具有一般性，给定四条边界 可定义一块去面片
▪ 舍恩伯格（1964）的样条函数解决连接问题，通过 曲线、曲面插值构造整体
▪ Bezier方法：以逼近为基础，有控制多边形定义曲 线、曲面。
参数形式 p p(t) t [0,1]
p(t)=(x,y,z)=(x(t),y(t),z(t)) t∈[0,1]
参数表示相对非参数表示的优越性:
1．点动成线
2．选取具有几何不变性的参数曲线曲面表示形式。
3．避免了斜率无穷大的问题
4．t∈[0,1] ，使其相应的几何分量是有界的
5．可对参数方程直接进行仿射和投影变换
▪ 曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲
面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。
图8-1 曲线的拟合
08:43
曲线和曲面
▪ 曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线
曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点列
图8-2 曲线的逼近
08:43
曲线和曲面
7.1.5 连续性条件
假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1)0 )
1阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数在 相邻段的交点处成比例
2阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线段 在交点处其一阶和二阶导数均成比例。
08:43
曲线和曲面
7.1.6 样条描述
n次样条参数多项式曲线的方程: (计算机图形学中多采用多项式)
自由变化的曲线和曲面：飞机、汽车的外形
对复杂方式表示的自由曲线曲面的表示:
传统方法: 模线样板法表示，以模拟量传递形状信 息
CAGD(计算机辅助几何设计): 用数学方法表示，以数 值量传递形状信息（美国犹他大学，1974）
08:43
曲线和曲面
7.1 曲线曲面基础
7.1.1 曲线曲面数学描述的发展 7.1.2 曲线曲面的表示要求 7.1.3 曲线曲面的表示 7.1.4 插值和逼近样条 7.1.5 连续性条件 7.1.6 样条的描述
p(0) Pk , p(1) Pk1 p(0) Rk , p(1) Rk1
08:43
曲线和曲面
7.3 几种典型的曲线曲面介绍
▪ Bezier 曲线曲面 ▪ B样条曲线曲面 ▪ 有理样条曲线曲面(NURBS)
08:43
曲线和曲面
7.3.1 Bezier曲线的定义
▪ Bezier曲线是参数多项式曲线，它由一组控制多 边形折线的顶点唯一地定义。如下图所示，在各 个控制多边形的顶点中，只有第一个和最后一个 在曲线上，其它的用来定义曲线的导数、阶次和 形状。