计算机图形学 曲线和曲面 算法
精品课件-计算机图形学-第4章 曲线和曲面
第 4 章 曲线和曲面
2. 参数曲线的定义 如图4.1所示, 对于三维空间上连续的单值参 数曲线可定义为
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
0t 1
它是三维空间上的一个有界点集, t=0和t=1分别 为
参数曲线的两个端点参数。
第 4 章 曲线和曲面
BT
t＝1P(t) N zFra bibliotekt＝0
0
x
y
图 4.1 参数曲线及其几何量
T d P /dt dP/dt
对于弧长参数s,
T d P d P /dt d t d s /dt
通常称矢量T为单位切矢量。
第 4 章 曲线和曲面
3) 曲率 设以弧长s为参数, 则参数曲线上任一点的曲 率定义为k=|dT/ds|。 因此
T
dP dt
P(s),k
d2 P ds2
P(s)
即
k
d2 x d s2
(4-4)
P(t)=F1P0+F2P1+F3P′0+F4P′1
第 4 章 曲线和曲面
由于F=［F1 F2 F3 F4］可以写成
2 2 1 1
F t3 t2 t 1 3 3 2 1 TM 0 0 1 0
1 0
0
0
0 0 0 1 M 1 1 1 1 1
0 0 1 0 3 2 1 0
其矢量表示式为
(4-1)
P(t)=a3t3+a2t2+a1t+a0 t∈ ［ 0, 1 ］
其中, a3、 a2、 a1、 a0是其代数系数矢量, 它 们惟一地确定了一条曲线的形状和位置。 因而, 只要a3、 a2、 a1、 a0确定, 该三次参数曲线也就惟一地确定了。
计算机图形学的基本原理和算法
计算机图形学的基本原理和算法计算机图形学是计算机科学中的一个重要分支，它研究的是如何利用计算机来进行图像和模型的处理、生成和表示。
在现代社会中，计算机图形学已经广泛应用于游戏、电影、设计等领域，它不仅为人们带来了极大的乐趣和便利，也为科学技术的发展带来了重要的推动作用。
本文将介绍计算机图形学的基本原理和算法，包括三维图形学、二维图形学和几何计算等方面的内容。
一、三维图形学三维图形学是计算机图形学的核心领域之一，它研究的是如何使用计算机来生成、处理和显示三维图像。
三维图形学的基本原理是利用数学模型来描述和表示三维图像，其中最基本的数学模型是三维坐标系和向量。
三维坐标系中的每个点都可以用三个坐标来表示，而向量则是以两个点之间的差值来表示。
在三维图形学中，常用的向量运算包括加法、减法、点积和叉积，在这些运算中，向量的长度和方向都是非常重要的参数。
三维图形学中的常用算法包括三维渲染、立体几何、曲面细分和体绘制等。
三维渲染算法是将物体表面和光线结合起来，生成真实的三维图像的过程。
其中常用的三维渲染算法包括光线跟踪、简单光照和阴影投射算法等。
另外，立体几何和曲面细分算法则是用来对三维模型进行建模和细化的，它们可以帮助设计师快速地创造各种复杂的三维模型。
最后，体绘制算法则可以将三维模型表示为一系列立体图形，以使其更加直观和易于理解。
二、二维图形学二维图形学是计算机图形学中另一个重要的分支，它主要研究的是如何使用计算机来生成、处理和显示二维图像。
在二维图形学中，最常用的数学模型是笛卡尔坐标系和矩阵运算。
笛卡尔坐标系采用了直角坐标系的表示方法，在这种坐标系中，每个点都可以用一个有序的数对来表示，其中横坐标代表点在水平方向上的位置，纵坐标则代表点在垂直方向上的位置。
二维图形学中常用的算法包括图形转换、图形填充、线段裁剪和图像滤波等。
图形转换算法是将图像从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程，其中最常用的算法包括平移、缩放、旋转和剪切等。
计算机图形学 9、曲线曲面表示
n i 0 i n i n i i i n
C
P (t (1 t ) i
i
n Байду номын сангаасi
t
i 1
(1 t )
n i
i ) Cn 1 P (1)t i (1 t ) n 1i i i 0
n 1
Bezier曲线升阶
i i 5. 比较两边同类项的系数得：i (1)Cn1 PiCn Pi1Cn1 P i 6. 化简得： i (1) i Pi 1 (1 i ) Pi P
n i 0
增加控制点，提高对曲线的灵活控制。 升阶前后，曲线形状不发生变化。 通过公式变换，找出升阶前后控制点之间的关 系。 P(t ) C Pt (1 t ) 升阶前： n 1 i P(t ) Cn 1 P (1)t i (1 t ) n 1i i 升阶后： i 0 n 1 两者曲线相同： C Pt (1 t ) Cni 1Pi (1)t i (1 t ) n1i i 0 左式乘以(t+(1-t))：
• P(t)是空间点，用坐标形式表示为[x(t),y(t),z(t)] • 由式（9-3）可知，实际坐标值可用下式分别计算：
P(t)的三个分量
x(t ) X 0 (1 t )3 3X1t (1 t )2 3X 2t 2 (1 t ) X 3t 3
y(t ) Y0 (1 t )3 3Y1t (1 t )2 3Y2t 2 (1 t ) Y3t 3 z(t ) Z0 (1 t )3 3Z1t (1 t )2 3Z2t 2 (1 t ) Z3t 3
n 1
n 1
例：一段3次曲线，控制点为P0,P1,P2,P3 ，升阶为4 次曲线控制点为Q0,Q1,Q2,Q3,Q4 ，两者关系为 Q0=P0，Q1=1/4P0+3/4P1 ，Q2=2/4P1+2/4P2 Q3=3/4P2+1/4P3 ， Q4=P3。
计算机图形学的基本算法
计算机图形学的基本算法计算机图形学是研究如何利用计算机生成、处理和显示图像的学科。
图形学的基本算法涵盖了多个方面，包括图像绘制、几何变换、光照和渲染等。
以下将详细介绍计算机图形学的基本算法及其步骤。
1. 图像绘制算法：- 像素绘制算法：基于像素的图形绘制算法包括点绘制、线段绘制和曲线绘制。
例如，Bresenham线段算法可用于绘制直线。
- 多边形填充算法：多边形填充算法用于绘制封闭曲线图形的内部区域。
常见的算法包括扫描线填充算法和种子填充算法。
2. 几何变换算法：- 平移变换：平移变换算法用于将图像在平面上进行上下左右的平移操作。
- 旋转变换：旋转变换算法用于将图像按照一定的角度进行旋转。
- 缩放变换：缩放变换算法用于按照一定的比例对图像进行放大或缩小操作。
- 剪切变换：剪切变换算法用于按照一定的裁剪方式对图像进行剪切操作。
3. 光照和渲染算法：- 光照模型：光照模型用于模拟物体与光源之间的相互作用。
常见的光照模型有Lambert模型和Phong模型等。
- 阴影生成算法：阴影生成算法用于在渲染过程中生成逼真的阴影效果。
例如，阴影贴图和阴影体积等算法。
- 光线追踪算法：光线追踪算法通过模拟光线的路径和相互作用，实现逼真的光影效果。
常见的光线追踪算法包括递归光线追踪和路径追踪等。
4. 图像变换和滤波算法：- 傅里叶变换算法：傅里叶变换算法用于将图像从时域转换到频域进行分析和处理。
- 图像滤波算法：图像滤波算法用于对图像进行平滑、锐化、边缘检测等操作。
常见的滤波算法包括均值滤波、高斯滤波和Sobel算子等。
5. 空间曲线和曲面生成算法：- Bézier曲线和曲面算法：Bézier算法可用于生成平滑的曲线和曲面，包括一阶、二阶和三阶Bézier曲线算法。
- B样条曲线和曲面算法：B样条算法可用于生成具有更高自由度和弯曲度的曲线和曲面。
以上列举的是计算机图形学中的一些基本算法及其应用。
计算机图形学第七章自由曲线与曲面
x(t)
y(t)
axt3 ayt3
bxt 2 byt 2
cxt cyt
dx dy
，t∈〔0,1〕；
z(t)
azt3
bzt
2
czt
dz
矢量表示：
p(t) at 3 bt 2 ct d
t∈〔0,1〕；
矩阵表示：
a
p(t) t 3
t2
t
1
b
c
t∈〔0,1d 〕；
7.1.3 拟合和逼近
曲线曲面的拟合：当用一组型值点（插值点） 来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定 的型值点序列确定，称为曲线曲面的拟合，如 图7-2所示。
曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线 曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点， 称为曲线曲面的逼近，如图所示。
图7-2 拟合曲线
1
p(t) Pi Bi,1 (t) (1 t) P0 t P1 i0
可以看出，一次Bezier曲线是一段直线。
2.二次Bezier曲线
当n＝2时，Bezier曲线的控制多边形有 三个控制点P0、P1和P2，Bezier曲线 是二次多项式。
2
p(t) Pi Bi,2 (t) (1 t) 2 P0 2t(1 t) P1 t 2 P2 i0 (t 2 - 2t 1) P0 (2t 2 2t) P1 t 2 P2
可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物 线。
3.三次Bezier曲线
当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形 有四个控制点P0、P1、P2和P3， Bezier曲线是三次多项式。
3
p(t) Pi Bi,3 (t) (1 t)3 P0 3t(1 t)2 P1 3t 2 (1- t) P2 t3 P3 i0
(计算机图形学)自由曲线曲面
参数连续性，用C 表示 C0连续（0阶参数连续） —— 指曲线相连，前一段曲线的终点
阶数
t=1与后一段曲线的起点t=0相同，即 相邻两段曲线结合点处有相同坐标。
C1连续（一阶参数连续） ——代表两个相邻曲线段的方程在相交
点处有相同的一阶导数（切线）。 （一阶导数反映了曲线对参数 t 的变 化速度）
B2,3(t)ຫໍສະໝຸດ Ot4个基函数
7.2.2 Bernstein基函数及曲线的性质
Bi ,n (t ) n! i i t i (1 t ) ni C n t (1 t ) ni i!(n i)!
t∈〔0，1〕（i＝0，1，2……n） ，t∈〔0，1〕
1.非负性： Bi,n (t ) 0
void CTestView::DrawBezier()//绘制Bezier曲线 { CDC *pDC=GetDC(); CPen NewPen,*pOldPen; NewPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(0,0,255));//曲线颜色 pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen); pDC->MoveTo(P[0]); for(double t=0.0;t<=1.0;t+=0.01) { double x=0,y=0; for(int i=0;i<=n;i++) { x+=P[i].x*C(n,i)*pow(t,i)*pow(1-t,n-i); y+=P[i].y*C(n,i)*pow(t,i)*pow(1-t,n-i); } pDC->LineTo(Round(x),Round(y)); } pDC->SelectObject(pOldPen); NewPen.DeleteObject(); ReleaseDC(pDC); }
计算机图形学曲线和曲面造型ppt课件
• 如果参数曲线有n阶连续的导矢，则称该曲线为Cn或n阶连续。
一般来说，如果曲线连续的阶数越高，那么曲线就越光滑。 在几何上，C0，C1，C2依次表示曲线的位置、切线方向，曲 率连续。
• 对于组合曲线，整条曲线的参数连续性取决于公共连接点的
连续性。如果在公共连接点达到k阶参数连续，则称该曲线
具有Ck或k阶参数连续性。
| | dpk (u)
duk
u u0
dpk (u) duk
u
u
0
k 0,1,, n
12
y
y(u, v)
z z(u, v)
曲面的范围通常用两个参数u和v的变化区间的矩形区域 u1 u u2 , v1 v v2 给出。这种曲面通常叫做矩形域曲面。参数u和v的变化区间一般规范为0，1，
10
矢量方程式为 s s(u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v))
计算机图形学
第专题
曲线和曲面造型
1
一. 曲面造型的发展
• 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何
设计 (Computer Aided Geometric Design,CAGD) 和计算机图形学(Computer Graphics)的一项重要 内容，主要研究在计算机图形系统中对曲面的表 示、设计、显示和分析。
多样性 特殊性 拓扑结构复杂性 一体化 集成化 网络化
三维数据采样技术 及硬件设备完善
曲 基于网格细分 面 的离散造型 造 型 曲面变形 研 究 曲面重建 的 开 曲面简化 拓 创 曲面转换 新
计算机图形学的基础理论与算法
计算机图形学的基础理论与算法计算机图形学是研究如何利用计算机来生成、显示和处理图像的学科。
它涵盖了很多基础理论和算法，本文将详细介绍计算机图形学的基础理论和算法，并分点列出内容。
以下为详细步骤：1. 背景介绍- 简要介绍计算机图形学的定义和应用领域- 引出图形学的基础理论和算法的重要性2. 基础理论2.1. 数学基础- 向量和矩阵运算的基本概念和公式- 坐标转换和变换矩阵的原理和应用- 齐次坐标和透视投影的概念和计算方法2.2. 几何学基础- 点、线、面的描述和表示方法- 几何变换（平移、旋转、缩放）的理论和计算方法- 几何运算（交点、重合、距离等）的基本原理和算法3. 图形生成算法3.1. 点、线、面的生成算法- DDALine算法：基于斜率的直线生成算法- BresenhamLine算法：基于整数运算的直线生成算法- MidpointCircle算法：中点画圆算法3.2. 曲线和曲面的生成算法- Bezier曲线：控制点和插值基函数的概念和计算方法 - B样条曲线：节点矢量和基函数的定义和计算方法- 曲面生成算法：基于曲线的旋转、细分等方法4. 光栅化和填充算法- 图形的光栅化原理和步骤- 扫描线填充算法：处理凸多边形和凹多边形的填充算法 - 边界填充算法：处理带洞多边形的填充算法- 区域填充算法：处理具有复杂形状的区域填充算法5. 三维图形学5.1. 三维坐标和投影- 世界坐标、视觉坐标和屏幕坐标的转换方法- 透视投影和正交投影的概念和计算方法5.2. 三维变换和可视化- 平移、旋转、缩放、镜像等三维变换的理论和计算方法 - 数据可视化的基本原理和算法6. 图像处理和渲染- 图像处理的基本概念和方法：滤波、边缘检测、色彩转换等- 图像渲染的基本概念和方法：光照、阴影、纹理映射等7. 应用实例- 介绍一些计算机图形学在实际应用中的案例，如计算机游戏、虚拟现实、动画制作等- 引出计算机图形学的发展趋势和挑战总结：通过本文详细介绍了计算机图形学的基础理论和算法，包括数学基础、几何学基础、图形生成算法、光栅化和填充算法、三维图形学、图像处理和渲染等方面的内容。
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5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = [x(t ) = t y ( t ) z ( t )] = T * M B * G B −1 3 − 3 3 −6 3 t 1 * − 3 3 0 0 0 1 1 P 1 P 0 2 * 0 P3 0 P4
G1 g1x G g 2x G = 2 = G3 g 3 x G4 g 4 x g1 y g2 y g3 y g4 y g1z g2z g3z g4z
Q(t ) = [x(t )
G1 g1 x G g 2x G = 2 = G 3 g 3 x G 4 g 4 x
y (t ) z (t )] = t 3
g1 y g2 y g3 y g4 y g1 z g2z g3z g4z
[
t2
m11 m t 1 21 m31 m41
]
m12 m22 m32 m42
m13 m23 m33 m43
m14 G1 m24 G2 m34 G3 m44 G4
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = T * M H * GH = T * M H * ( M HB * GB ) = T * ( M H * M HB ) * GB = T * M B * GB
M B = M H * M HB −1 3 − 3 3 −6 3 = − 3 3 0 0 0 1 1 0 0 0
如何确定曲线的约束条件
Q(t ) = [x(t ) y ( t ) z ( t )] = T * C
拆分 C = M * G
G 为四个元素的几何约束行向量矩阵
M 为基矩阵
m11 m 21 m31 m41 m12 m22 m32 m42 m13 m23 m33 m43 m14 m24 m34 m44
3 2
0 ≤ t ≤1
令 T = [t 3
ax b x C= cx d x ay by cy dy
t2
t 1
]
则系数矩阵 曲线 x(t) = axt3 +bxt 2 + cxt + dx
y(t) = ayt3 +byt 2 + cyt + dy z(t) = azt3 +bzt 2 + czt + dz 0 ≤ t ≤1
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
G B = [P1 P2 P3
1 0 = − 3 0
P4 ]
0
T
R1 = Q' (0) = 3( P2 − P ) R4 = Q ' (1) = 3( P4 − P3 ) 1
GH = [P 1
P2
R1
R4 ]
T
0 P 1 0 0 1 P2 = M HB * GB 3 0 0 P3 0 − 3 3 P4 0
曲线是几何矩阵中约束元素的加权和。每个权 曲线是几何矩阵中约束元素的加权和。 的三次多项式，称为调和函数, 都是关于 t 的三次多项式，称为调和函数,记 为
B =T *M
于是
Q (t ) = B * G
5.1.2 Hermite 曲线
由端点P1、P4和端点处切向量R1、R4的约束确 由端点P 和端点处切向量R 定 ，其几何矩阵为
x ' ( t ) = 3t 2
x ( 0 ) = P1 x = [ 0
0 1
0 1
1 ]* M
1] * M
H H
* G Hx * G Hx
x ' ( 0 ) = R 1 x = [0 x ' (1) = R 4 x = [3
[
2t 1 0 * M H * G Hx
]
0 2
1 1
0 ]* M
0 ]* M
P1
P4
P4点切向量R4，每条曲线的大小方向 都相同； P1点的切向量R1的方向相 同，大小不同。R1越大，曲线越高
两段Hermite曲线 两段Hermite曲线 Hermite
G1
连续
P4 P 1 P P 4 and 7 kR4 R1 R4 R7
高次函数一般有三种表示方法
直接将y 表示成x 直接将y和z表示成x的显函数 y = f(x), z = g(x) f(x,y,z) = 0 的隐式方程 曲线的参数表示 x = x(t) ，y = y(t), z = z(t)
为什么参数曲线次数为3 为什么参数曲线次数为3？
低于三次的函数控制曲线形状时不够灵活， 低于三次的函数控制曲线形状时不够灵活，高 于三次的曲线会增加不必要的摆动其增加计算 量。
5.1.4 B样条曲线 B样条曲线
B样条通常用m +1个控制点 样条通常用m +1个控制点 （P0、P1、…Pm）产生m-2个曲线段 P 产生m 3。 (Q3、Q4、…Qm), m >= 3。 Q 样条曲线一般不过控制点。 B样条曲线一般不过控制点。
三次参数曲线是三维空间中次数最低的 非平面曲线。 非平面曲线。 高于3 高于3次的曲线还是有应用的
5.1.1 3次参数曲线的基本特征 3次参数曲线的基本特征
Q(t ) = [x(t )
3
y ( t ) z ( t )]
2
T
x(t ) = a x t + bx t + c x t + d x y (t ) = a y t 3 + b y t 2 + c y t + d y z (t ) = a z t + bz t + c z t + d z
3 2 2
P = [2t
2
[
3
− 3t + 9t + 17, 3t − 3t − 3t + 5
2 3 2
]
]
曲线与约束的关系
曲线段可以用端点、切向量和曲线段之间的连 曲线段可以用端点、 续性等约束条件来定义 两个端点和两端点处的切向量定义Hermite Hermite曲 两个端点和两端点处的切向量定义Hermite曲 线； 两个端点和另外两个控制端点切向量的点定义 Bezier曲线 曲线； 的Bezier曲线； 由四个控制顶点定义的样条曲线。 由四个控制顶点定义的样条曲线。
−2 3 0 0 1 −2 1 0 1 − 1 0 0
M
H
2 − 3 = 0 1
Q(t ) = [x(t )
y ( t ) z ( t )] = T * M H * G H = t 3
[
t2
1 P 2 −2 1 1 − 3 3 − 2 − 1 P * 4 t 1 0 0 1 0 R1 1 0 0 0 R4
[
3
t
2
]
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = (1 − t )3 P + 3t (1 − t ) 2 P2 + 3t 2 (1 − t ) P3 + t 3 P4 1
BB = (1 − t )3 3t (1 − t )2
[
3t 2 (1 − t ) t 3
]
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
az bz cz dz
写成
Q (t ) = [ x (t )
y ( t ) z ( t )] = T * C
曲线的导数表示曲线的切向量
d d Q(t ) = Q' (t ) = (T * C ) dt dt = 3t
[
2
2t 1 0 * C
]
曲线段之间的连续性
几何连续G 与参数连续C 几何连续Gi 与参数连续Ci 连续(C 两条曲线段拼接成一条曲线。 G0 连续(C0)：两条曲线段拼接成一条曲线。 G1连续： 两条曲线段拼接点处切向量方向相 连续： 若相等（方向、大小）－ ）－C 同。若相等（方向、大小）－C1 连续： Gｎ连续：两条曲线段拼接点处切向量的阶导 数方向相同。 数方向相同。 n阶导数相等 －Cn
H H
* G Hx * G Hx
P 0 1 P 1 2 = G = Hx P3 0 3 P4 x
0 1 = 0 3 0 1 0 2 0 1 1 1
0 1 0 2
1 1 0 0
−1
0 1 1 1
1 1 * M H * GHx 0 0
R1和R4的方向可直观 R1和R4的方向可直观 看出， 看出，便于控制曲线 形状。 形状。 两段Bezier曲线， Bezier曲线 两段Bezier曲线，当 P4 – P3 = k(P5 - P4) 时（三点相异且共 线）， k >0 端点连 接处是连续的。 接处是连续的。如果 ,则连续 则连续。 k = 1 ,则连续。
x (t ) = T * M * G 展开
x(t ) = (t 3m11 + t 2m21 + tm31 + m41 )g1x + (t 3m12 + t 2m22 + tm32 + m42 )g2 x + (t 3m13 + t 2m23 + tm33 + m43 )g3x + (t 3m14 + t 2m24 + tm34 + m44 )g4 x
k >0
绘图过程 给定两个端点和端点处切向量，利用M 给定两个端点和端点处切向量，利用M矩 1，计算中间点P 阵, t = 0 : step : 1，计算中间点P， 依次连线, 依次连线, 构成最后曲线