计算机图形学--第十一讲 Bezier曲线
bezier曲线
Bezier 曲线什么是 Bezier 曲线？Bezier 曲线是一种数学曲线，由法国工程师 Pierre Bézier 于20世纪50年代发明。
它是计算机图形学中最基本和最常用的曲线之一。
由于其简单性和灵活性，Bezier 曲线被广泛应用于计算机图形、工业设计、动画制作等领域。
Bezier 曲线的特点Bezier 曲线由一系列控制点确定，并通过调整这些控制点的位置和参数来定义曲线的形状。
以下是 Bezier 曲线的一些特点：1.可调节性：调整控制点的位置和参数可以改变曲线的形状、弯曲程度和速度。
2.平滑性：Bezier 曲线能够平滑连接控制点，使得曲线在控制点之间呈连续曲率。
3.参数化形状：Bezier 曲线可以通过调整参数来生成无限多种形状，从简单的直线到复杂的曲线。
4.逼近性：Bezier 曲线可以用来逼近其他复杂的曲线，如圆弧、椭圆等。
Bezier 曲线的数学表达Bezier 曲线是通过插值和多项式生成的数学曲线。
根据控制点的个数，可以确定 Bezier 曲线的阶数。
一般情况下，Bezier 曲线的阶数等于控制点数减1。
对于一维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 1DBezier 1D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
对于二维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 2DBezier 2D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
Bezier 曲线的应用Bezier 曲线的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：1.计算机图形学：Bezier 曲线可以用来绘制平滑的曲线和曲面，用于构建2D和3D图形。
2.工业设计：Bezier 曲线可以用来设计平滑的汽车车身、家具等产品。
3.动画制作：Bezier 曲线可以用来定义动画路径，使得动画流畅而自然。
Bezier曲线
x(t) a3xt 3 a2xt 2 a1xt a0x
y(t) a3yt3 a2yt2 a1yt a0y z(t) a3zt 3 a2zt 2 a1zt a0z
t [0,1]
• 矢量表示
P(t
)
a3t
3
a2t
2
a1t
a0
t [0,1]
• 已知P(0),P(1),P’(0),P’(1)
• n+1个控制点构成由n条边组成 的折线集，称为控制多边形
• 控制多边形起点、终点和曲线 起点、终点重合。
• 控制多边形第一条边和最后一 条边表示曲线起点、终点处切 向量方向。
• 曲线形状趋向于控制多边形形 状。
Bezier曲线插值公式
• 给次定Be空zie间r参n+数1个曲点线的上位各置点矢坐量标P的i（插i=值0，公1式，是…：，n），则n
• 由(n+1)个控制点Pi(i=0, 1, ..., n)定义的n次Bezier曲线Pn0 可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次 Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法(IV)
一次Bezier曲线的生成
二次Bezier曲线的生成
例子：n=3时，用de Casteljeu算法 求3次Bezier曲线上的点
当n=3时，de casteljau 算法递推出的Pki呈直 角三角形，对应结果 如右图所示。从左向 右递推，最右边点P30 即为曲线上的点。
• 这一算法可用简单的几何 作图来实现。给定参数t， 就把定义域分成长度为的 两段。依次对原始控制多 边形每一边执行同样的定 比t：(1-t)分割，所得分点 就是第一级递推生成的中 间顶点。
nurbs曲线和贝塞尔曲线
NURBS曲线和贝塞尔曲线1. 引言在计算机图形学中，曲线是一种重要的数学工具，用于描述平面或空间中的形状。
NURBS（Non-Uniform Rational B-Spline）曲线和贝塞尔（Bezier）曲线是两种常见的曲线表示方法。
它们在计算机图形学、计算机辅助设计（CAD）、动画和游戏开发等领域中被广泛应用。
本文将介绍NURBS曲线和贝塞尔曲线的原理、特点以及应用。
2. NURBS曲线2.1 原理NURBS曲线是一种基于B样条（B-spline）的数学表示方法，它通过控制点和权重来描述一条平滑的曲线。
与贝塞尔曲线不同，NURBS曲线可以具有非均匀节点向量，这使得它更加灵活。
2.2 特点•控制点与权重: NURBS曲线由一系列控制点和对应的权重组成。
每个控制点都有一个权重值，用于调整其对整个曲线的影响程度。
•非均匀节点向量: 节点向量决定了参数空间中的曲线形状。
NURBS曲线允许节点向量非均匀，从而可以创建更加复杂的曲线形状。
•局部控制: 修改一个控制点只会影响其附近的局部区域，不会对整个曲线产生影响。
这使得NURBS曲线具有较好的局部编辑性。
•数学精度: NURBS曲线可以通过增加控制点数量来提高其数学精度，从而更好地逼近所需的形状。
2.3 应用NURBS曲线在计算机图形学和CAD领域中得到广泛应用。
它们常用于描述和绘制复杂的二维和三维形状，如汽车外壳、船体、人体模型等。
此外，NURBS曲线还被用于动画和游戏开发中的角色建模、场景设计等方面。
3. 贝塞尔曲线3.1 原理贝塞尔曲线是一种基于贝塞尔多项式的数学表示方法。
它通过控制点来定义一条平滑的曲线。
贝塞尔曲线具有递归性质，即高阶贝塞尔曲线可以由低阶贝塞尔曲线递归计算得到。
3.2 特点•控制点: 贝塞尔曲线由一系列控制点组成，这些控制点决定了曲线的形状。
•局部控制: 修改一个控制点只会影响其附近的局部区域，不会对整个曲线产生影响。
这使得贝塞尔曲线具有较好的局部编辑性。
球域bézier曲线
球域bézier曲线
球域Bézier曲线是一种几何建模技术，它用于描述三维空间中球形区域内的曲线。
这种曲线是通过使用Bézier曲线和Bézier曲面在球面上的投影来定义的。
球域Bézier曲线的基本思想是将球面分割成一系列小的曲面片，然后将每个曲面片近似为Bézier曲面。
通过将这些Bézier曲面连接起来，形成一条平滑的曲线。
球域Bézier曲线的定义需要使用球面坐标系。
在球面坐标系中，球心位于原点，x 轴和y轴分别与球面上的经线和纬线对应。
球面上的任意一点P可以用经度θ、纬度φ和半径r来表示。
球域Bézier曲线的参数形式可以用以下公式表示：
P(t) = (r(t) * sin φ1(t) * cos θ1(t), r(t) * sin φ1(t) * sin θ1(t), r(t) * cos φ1(t))
其中，t是参数，r(t)、φ1(t)和θ1(t)是Bézier曲线和曲面在球面上的投影。
通过调整Bézier曲线和曲面的控制点，可以改变球域Bézier曲线的形状和弯曲程度。
同时，通过调整参数t的范围，可以控制曲线的长度和方向。
球域Bézier曲线在三维建模、动画制作、虚拟现实等领域有着广泛的应用。
它可以用于创建复杂的曲面和曲线，如地形、建筑物、植物等。
同时，球域Bézier曲线还可以
与其他几何建模技术结合使用，如NURBS、细分曲面等，以创建更加逼真的三维模型。
用四个顶点的函数表示bezier曲线代码
用四个顶点的函数表示bezier曲线代码Bezier曲线是一种广泛应用于计算机图形学中的数学曲线，由法国工程师和数学家Pierre Bezier于20世纪50年代发明。
它是一种参数曲线，通过数学公式描述曲线的控制点和曲线的形状。
在这篇文章中，我们将阐述如何用四个顶点的函数表示Bezier曲线代码。
第一步：定义控制点Bezier曲线使用控制点来确定曲线的形状。
曲线上的每个点都由相邻控制点之间的插值计算得出。
因此，我们需要声明四个控制点用于计算曲线。
这个过程可以用以下代码实现：```const p0 = {x: 0, y: 0};const p1 = {x: 50, y: 200};const p2 = {x: 150, y: -200};const p3 = {x: 200, y: 0};```这里我们定义了四个控制点，它们分别是 (0,0), (50,200), (150,-200)和 (200,0)。
第二步：计算Bezier曲线点的函数在本例中，我们将使用一个叫做“de Casteljau算法”的方法来计算Bezier曲线上的点。
de Casteljau算法是一种递归算法，它通过计算控制点之间的插值来生成Bezier曲线。
以下是一个用于计算Bezier曲线点的函数：```function getPointOnCurve(t) {const x = (1-t)*(1-t)*(1-t)*p0.x + 3*(1-t)*(1-t)*t*p1.x + 3*(1-t)*t*t*p2.x + t*t*t*p3.x;const y = (1-t)*(1-t)*(1-t)*p0.y + 3*(1-t)*(1-t)*t*p1.y + 3*(1-t)*t*t*p2.y + t*t*t*p3.y;return {x, y};}```上述代码会根据t值计算Bezier曲线上的一个点。
t值的范围是从0到1，它表示曲线上的位置。
bezier曲线表达式
bezier曲线表达式
贝塞尔曲线（Bezier Curve）是一种常用的数学曲线，用于计算机图形学和动画制作等领域。
贝塞尔曲线可以使用参数形式表示，也可以使用矢量表示。
贝塞尔曲线的矢量表示形式是：P(t) = ∑_{i=0}^{n} B_{i,n}(t) * P_i其中，P(t)表示曲线上的点，B_{i,n}(t)是贝塞尔基函数，P_i 是控制点。
n表示控制点的个数，t是一个参数，取值范围是[0,1]。
对于2次贝塞尔曲线，其基函数为：B_{0,2}(t) = 1-t^2, B_{1,2}(t) = 2t*(1-t), B_{2,2}(t) = t^2在参数t=0时，曲线起点为P_0；在参数t=1时，曲线终点为P_2。
对于3次贝塞尔曲线，其基函数为：B_{0,3}(t) = 1-t^3, B_{1,3}(t) = 3t*(1-t)^2, B_{2,3}(t) = 3t^2*(1-t), B_{3,3}(t) = t^3在参数t=0时，曲线起点为P_0；在参数t=1时，曲线终点为P_3。
对于更高次的贝塞尔曲线，其基函数可以递推得到。
此外，贝塞尔曲线的参数形式表示为：C(t) = ∑_{i=0}^{n} C_i * t^i其中，C_i是控制点，t是一个参数，取值范围是[0,1]。
该公式可用于绘制贝塞尔曲线。
bezier曲线算法
bezier曲线算法摘要：一、贝塞尔曲线算法概述1.贝塞尔曲线的定义2.贝塞尔曲线在计算机图形学中的应用二、贝塞尔曲线算法的原理1.伯恩哈德·兰伯特·贝塞尔方程2.控制点和结束点的关系3.细分方法三、常见的贝塞尔曲线算法1.线性插值法2.二次插值法3.三次插值法（de Casteljau 算法）四、贝塞尔曲线算法的应用实例1.绘制简单的贝塞尔曲线2.使用贝塞尔曲线绘制复杂图形五、贝塞尔曲线算法的优化1.减少计算量2.提高精度正文：贝塞尔曲线算法是一种在计算机图形学中广泛应用的数学方法，它能够根据给定的控制点和结束点，生成平滑的曲线。
这种算法基于伯恩哈德·兰伯特·贝塞尔方程，通过细分方法，可以得到精确的曲线。
贝塞尔曲线是由三个点（控制点）和两个结束点组成的，其中控制点和结束点的关系可以通过伯恩哈德·兰伯特·贝塞尔方程来描述。
在计算过程中，首先需要根据控制点和结束点计算出曲线的中间点，然后通过细分方法，将曲线分为两段，继续计算每一段的控制点和结束点，直到达到所需的精度。
在计算机图形学中，贝塞尔曲线算法被广泛应用于绘制复杂的图形和动画。
例如，可以利用贝塞尔曲线绘制平滑的曲线、折线、多边形等。
此外，该算法还可以用于生成纹理、阴影等视觉效果。
常见的贝塞尔曲线算法包括线性插值法、二次插值法和三次插值法（de Casteljau 算法）。
线性插值法是一种简单的方法，但是生成的曲线精度较低；二次插值法可以提高精度，但是计算量较大；而三次插值法（de Casteljau 算法）则在精度和计算量之间取得了较好的平衡。
在实际应用中，贝塞尔曲线算法需要考虑计算量和精度的平衡。
为了减少计算量，可以采用一些优化方法，例如使用分治策略、减少插值次数等。
为了提高精度，可以采用更高阶的插值方法或者增加细分次数。
总之，贝塞尔曲线算法是一种在计算机图形学中具有重要意义的数学方法。
bezier bezier曲线、b-样条生成原理
贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。
本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。
一、贝塞尔曲线的生成原理贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。
其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。
贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。
2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。
3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。
在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。
二、B样条的生成原理B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具有一定的优势。
B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项式函数的分段插值来描述曲线的形状。
B样条的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向量（Knot Vector）来描述曲线的形状。
2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。
3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。
相比于贝塞尔曲线，B样条更为灵活，可以更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
三、应用比较与总结贝塞尔曲线和B样条是两种常用的曲线生成方法，它们各自具有一些优势和劣势，在实际应用中需要根据具体情况做出选择。
1. 灵活性比较：B样条相对于贝塞尔曲线更加灵活，能够更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
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任课教师：李陶深教授tshli@任课教师：李陶深教授tshli@12 曲线的基本概念Bézier 曲线5曲线与曲面的概述 4 3 6 B 样条曲线NURBS 曲线 常用的曲面Bézier曲线是由法国雷诺汽车公司工程师的Pierre Bézier在1971年发明的一种构造样条曲线和曲面的方法, 用来进行雷诺汽车的车身设计, 现在Bézier曲线曲面广泛应用在计算机图形学中的外形设计, 以及字体表示中.◆Bé◆在折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上且作为曲线的起始处和终止处，其他的点用于控制曲线的形状及阶次。
◆曲线的形状趋向于多边形折线的形状，要修改曲线，只要修改折线的各顶点就可以了。
多边形折线又称的控制多边形，其顶点称为控制点。
6.3 Bézier 曲线—曲线的定义Bézier 曲线是由一组控制顶点和Bernstein 基函数混合(blending)得到的曲线.()[],0(), 0,1n i i n i t B t t ==∈∑C P 其中, P i (i =0,1,…,n)称为控制顶点; 顺序连接控制顶点生成控制多边形.()()[],1,0,1n i i i i n n B t C t t t -=-∈为Bernstein 基函数.Bézier 曲线的次数, 就是Bernstein 基函数的次数; Bézier 曲线的阶数, 就是控制顶点的个数. 阶数为次数加1.6.3 Bézier曲线—定义（2）给定空间n+1个点的位置矢量P i（i=0，1，2，…，n），则n次Bézier曲线上各点坐标的插值公式定义为：B i,n(t)是n次Bernstein基函数P i构成该Bézier曲线的特征多边形6.3 Bézier曲线—曲线的定义（3）Bézier曲线曲线的形状趋于特征多边形的形状①正性②权性由二项式定理可知：③对称性: 若保持原全部顶点的位置不变, 只是把次序颠倒过来, 则新的Bézier曲线形状不变, 但方向相反。
④③对称性:④递推性:高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数线性组合而成⑤导函数①端点性质(a)端点位置矢量当t=0时，C(0)=P0；当t=1时，P(1)=P nBézier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合(b)切矢量：Bézier 曲线在点P 0处与P 0P 1相切, 在点P n 处与P n -1P n 相切.当t =0时，C ’(0)=n (P 1-P 0)，当t =1时，C ’(1)=n (P n -P n -1)，Bézier 曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。
()()()[]()()()()11,11010, 0,1; 0,1.n i i i n n n i t n B t t n n -+--='''=-∈=-=-∑C P P C P P C P P(c)曲率当t=0时，当t=1时，2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关将、及、代入曲率公式，可得到Bézier曲线在端点的曲率分别为：(d) r阶导函数的差分表示n次Bezier曲线的r阶导数可用差分公式为：其中②对称性由控制顶点构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反.因为：这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。
③凸包性由于，且，这一结果说明当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，C(t)是的加权平均，权因子依次是特征多边形各顶点Pi在几何图形上，意味着Bezier曲线C(t) 是控制点P i的凸线性组合，并且曲线上各点均落在Bézier特征多边形构成的凸包之中。
④几何不变性.这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。
Bézier 曲线位置与形状与其特征多边形顶点的位置有关，它不依赖坐标系的选择.⑤变差缩减性.若Bézier曲线的特征多边形是一个平面图形，则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。
此性质反映了Bézier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说Bézier曲线比特征多边形的折线更光顺.一次多项式，有两个控制点，其数学表示及矩阵表示为：显然，这是一条连接P0、P1的直线段。
6.3 Bézier 曲线—一次Bézier 曲线(n =1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-=+==∑=10101,111,0011,0111]1[)1()()()()(P P ttP P t t B P t B P t BP t Q i i iin i n i t t i n i n t B ---=)1()!(!!)(,]1,0[∈t二次多项式，有三个控制点，其数学表示及矩阵表示为：由上式的结果可知，二次Bezier 曲线为抛物线。
将上式改写为矩阵形式：i n i ni t t i n i n t B ---=)1()!(!!)(,0012012221022,222,112,0022,)(2)2()1(2)1()()()()()(P t P P tP P P P t P t t P t t B P t B P t B P t BP t Q ii i +-++-=+-+-=++==∑⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2102001022121]1[)(P P P ttt Q ]1,0[∈t ]1,0[∈t三次多项式，有四个控制点，其数学表示如下：其矩阵形式为 332212033,333,223,113,0033,)1(3)1(3)1()()()()()()(P t P t t P t t P t t B P t B P t B P t B P t B P t Q ii i +-+-+-=+++==∑]1,0[∈t ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=3210230001003303631331]1[)(P P P P t ttt Q6.3 Bézier 曲线—n 次Bézier 曲线给定n 次Bézier 曲线的控制顶点P 0, P 1, …, P n , 和参数t , 令：则 就是n 次Bézier 曲线上参数为t 处的点.1111,...,; 0,...,()(1)()(), ()r r r i ii i i r n i n rt t t t t P u P --+==-⎧=-+⎨=⎩P P P其中()0nt P已知四个控制顶点P 0(4,0,0), P 1(6,1,1),P 2(8,-3,2), P 3(10,0,1)，以这四个点作为控制多边形构造一条三次Bézier 曲线，写出曲线的参数方程.332212033,333,223,113,0033,)1(3)1(3)1()()()()()()(P t P t t P t t P t t B P t B P t B P t B P t B P t Q ii i +-+-+-=+++==∑6.3 Bézier 曲线— Bézier 曲线实例计算Bézier曲线上的点，可用Bézier曲线方程，但使用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。
设、、是一条抛物线上顺序三个不同的点。
过和点的两切线交于点,在点的切线交和于和，则如下比例成立：这是所谓抛物线的三切线定理。
几何设计中，一条Bézier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加由于特征多边形的顶点数，会引起Bézier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。
所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
下面讨论两段Bézier曲线达到不同阶几何连续的条件。
假设两段三次Bezier 曲线B 1和B 2的控制点分别为P 0、P 1、P 2、P 3和Q 0、Q 1、Q 2、Q 3，讨论满足连续的条件。
(1) 满足C 0连续。
即只要P 3和Q 0为同一点即可。
(2) 满足G 1连续。
端点处对t 一阶导数为， 和二者成比例即为G 1连续：)(3)0(01'2Q Q B -=)(3)1(23'1P P B -=)0()1('2'1B B α=)(0123Q Q P P -=-α当 时, 达到C 1连续即：P 2、P 3(Q 0)、Q 1三共线要使它们达到G2连续的充要条件是：在G1连续的条件下，并满足:•密切平面重合, 副法线矢量同向•曲率相等两段Bezier曲线的连接6.3 Bézier曲线—反求Bézier的控制点例：已知三次Bezier曲线上的4个点分别为Q0(120, 0)，Q1(45, 0)，Q2(0, 45)，Q3(0, 120), 其对应的参数分别为0， 1/3，2/3，1，反求三次Bezier曲线的控制顶点.解:由已知条件可得方程组：Q0 = P0 (t=0)Q1 = (8/27)P0 + (4/9)P1 + (2/9)P2 + (1/27)P3 (t=1/3)Q2 = (1/27)P0 + (2/9)P1 + (4/9)P2 + (8/27)P3 (t=2/3)Q3 = P3 (t=1)分别将Q0、Q1、Q2、Q3的x、y坐标代入方程组求解得：P0(120, 0), P1(35, -27.5), P2(-27.5, 35), P3(0, 120)6.3 Bézier曲线—Bézier曲线的升阶(1)通过增加控制顶点，不改变原来曲线的形状, 提高对曲线的灵活控制，还在构造曲面方面有着重要的应用.将n次的Bézier曲线表示为n+1次的Bézier曲线, 称为Bézier曲线的升阶。
升阶后，原控制顶点会发生变化，控制多边形更加贴近Bézier曲线。
设给定原始控制顶点 , 定义了一条n次Bézier曲线：增加一个顶点后，定义同一条曲线的新控制顶点则有：左边乘以(t+(1-t))比较等式两边项的系数，☐新控制点P*是原特征多边形在参数值i/(n+1)处线性插值得到。