第10部分计算机图形学Bezier曲线
第10部分_计算机图形学_Bezier曲线
n 1
• 当t=0时，P’(0)=n(P1-P0)， • 当t=1时，P’(1)=n(Pn-Pn-1)， • 说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的 第一条边及最后一条边的走向一致。
2013-8-20
第10部分 Bezier曲线
第11页
– 二阶导矢
P(t ) n(n 1) ( Pi 2 2 Pi 1 Pi ) Bi ,n 2 (t )
第10部分 Bezier曲线 第19页
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– 由(n+1)个控制点Pi(i=0, 1, ..., n)定义的n次Bezier曲线 Pn0可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条 (n-1)次Bezier曲线 P0n-1与P1n-1的线性组合： P0n (1 t ) P0n 1 tPn 1 t [0,1] 1 – 由此得到Bezier曲线的递推计算公式
P0 P01
P1 P11
P02
P2
Bezier曲线上的点
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P1
P01 (1 t ) P0 tP 1
P11
P1 (1 t ) P tP2 1 1 P02 (1 t ) P01 tP1 1
P2
P01
P0
P02
P02 (1 t ) 2 P0 2t (1 t ) P t 2 P2 1
2013-8-20
Bezier 曲线历史
– 由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面 表示方法, 已不能满足用户的需求。 – 1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种 以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用 这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面 设计系统，1972年，该系统被投入了应用。
bezier曲线
Bezier 曲线什么是 Bezier 曲线？Bezier 曲线是一种数学曲线，由法国工程师 Pierre Bézier 于20世纪50年代发明。
它是计算机图形学中最基本和最常用的曲线之一。
由于其简单性和灵活性，Bezier 曲线被广泛应用于计算机图形、工业设计、动画制作等领域。
Bezier 曲线的特点Bezier 曲线由一系列控制点确定，并通过调整这些控制点的位置和参数来定义曲线的形状。
以下是 Bezier 曲线的一些特点：1.可调节性：调整控制点的位置和参数可以改变曲线的形状、弯曲程度和速度。
2.平滑性：Bezier 曲线能够平滑连接控制点，使得曲线在控制点之间呈连续曲率。
3.参数化形状：Bezier 曲线可以通过调整参数来生成无限多种形状，从简单的直线到复杂的曲线。
4.逼近性：Bezier 曲线可以用来逼近其他复杂的曲线，如圆弧、椭圆等。
Bezier 曲线的数学表达Bezier 曲线是通过插值和多项式生成的数学曲线。
根据控制点的个数，可以确定 Bezier 曲线的阶数。
一般情况下，Bezier 曲线的阶数等于控制点数减1。
对于一维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 1DBezier 1D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
对于二维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 2DBezier 2D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
Bezier 曲线的应用Bezier 曲线的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：1.计算机图形学：Bezier 曲线可以用来绘制平滑的曲线和曲面，用于构建2D和3D图形。
2.工业设计：Bezier 曲线可以用来设计平滑的汽车车身、家具等产品。
3.动画制作：Bezier 曲线可以用来定义动画路径，使得动画流畅而自然。
bezier曲线参数方程
bezier曲线参数方程贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的一种曲线插值方法，它通过一系列的控制点来定义曲线的形状。
贝塞尔曲线的参数方程描述了曲线上每个点的位置，是使用参数来表示曲线的方程。
在二维空间中，贝塞尔曲线的参数方程可以表示为：B(t) = Σ [Pi * B(i,n,t)]其中，B(t)表示曲线上的某一点的坐标，Pi表示控制点的坐标，B(i,n,t)是贝塞尔基函数。
贝塞尔基函数是与参数t有关的函数，用来计算权重。
它是通过递归定义的，可以分为两种类型：线性基函数和二次基函数。
线性基函数表示为：B(i,1,t) = (1 - t) * Pi + t * P(i+1)其中，i表示控制点的索引，t表示参数，Pi和P(i+1)表示相邻的两个控制点的坐标。
二次基函数表示为：B(i,2,t) = (1 - t)^2 * Pi + 2 * t * (1 - t) * P(i+1) +t^2 * P(i+2)同样，i表示控制点的索引，t表示参数，而Pi、P(i+1)和P(i+2)分别表示相邻的三个控制点的坐标。
贝塞尔曲线的参数方程可以从一阶一直推导到任意阶的情况，这里只给出了二阶贝塞尔曲线的参数方程。
对于更高阶的曲线，基本原理是一样的，只是计算方法更加复杂。
贝塞尔曲线的参数t通常取值范围为[0,1]，当t=0时，曲线对应于起始点的坐标，当t=1时，曲线对应于结束点的坐标。
中间的参数值会在控制点之间插值，从而定义了曲线的形状。
贝塞尔曲线有很多应用，最常见的是在计算机图形学中用于绘制平滑的曲线和曲面。
控制点的位置决定了曲线的形状，通过控制点的调整，可以得到各种不同形状的曲线。
此外，贝塞尔曲线还可以用于动画和插值计算。
在动画中，可以通过调整控制点的位置，使得曲线在不同时间点上的形状发生变化，从而实现动态的效果。
在插值计算中，可以通过贝塞尔曲线来计算两个数值之间的插值，从而可以实现平滑的过渡效果。
贝塞尔曲线的参数方程是贝塞尔曲线计算的基础，它提供了一种便捷的方式来描述曲线的形状。
球域bézier曲线
球域bézier曲线
球域Bézier曲线是一种几何建模技术，它用于描述三维空间中球形区域内的曲线。
这种曲线是通过使用Bézier曲线和Bézier曲面在球面上的投影来定义的。
球域Bézier曲线的基本思想是将球面分割成一系列小的曲面片，然后将每个曲面片近似为Bézier曲面。
通过将这些Bézier曲面连接起来，形成一条平滑的曲线。
球域Bézier曲线的定义需要使用球面坐标系。
在球面坐标系中，球心位于原点，x 轴和y轴分别与球面上的经线和纬线对应。
球面上的任意一点P可以用经度θ、纬度φ和半径r来表示。
球域Bézier曲线的参数形式可以用以下公式表示：
P(t) = (r(t) * sin φ1(t) * cos θ1(t), r(t) * sin φ1(t) * sin θ1(t), r(t) * cos φ1(t))
其中，t是参数，r(t)、φ1(t)和θ1(t)是Bézier曲线和曲面在球面上的投影。
通过调整Bézier曲线和曲面的控制点，可以改变球域Bézier曲线的形状和弯曲程度。
同时，通过调整参数t的范围，可以控制曲线的长度和方向。
球域Bézier曲线在三维建模、动画制作、虚拟现实等领域有着广泛的应用。
它可以用于创建复杂的曲面和曲线，如地形、建筑物、植物等。
同时，球域Bézier曲线还可以
与其他几何建模技术结合使用，如NURBS、细分曲面等，以创建更加逼真的三维模型。
Bezier曲线和样条曲线的生成算法
计算机图形学实验报告实验名称 Bezier曲线和样条曲线的生成算法评分实验日期年月日指导教师姓名专业班级学号一、实验目的1、复习Bezier曲线和B样条曲线的参数表示法。
2、编程实现用二次Bezier曲线绘制。
3、编程实现用三次Bezier曲线绘制和分段光滑Bezier曲线图形的绘制。
4、用三次B样条函数绘制曲线。
二、实验要求1、编程实现在屏幕上绘制出两次Bezie曲线的几何图形和特征多边形图形，对于直线和曲线设置不同的线形和颜色。
2、现在屏幕上绘制出三次Bezie曲线的几何图形和特征多边形图形，对于直线和曲线设置不同的线形和颜色。
1、编程实现用分段三次Bezier曲线绘制光滑Bezier曲线图形。
1、编程实现在屏幕上绘制出三次B样条函数绘制曲线。
2、编程实现在屏幕上绘制出光滑连接的三次B样条曲线。
三、关键算法及实现原理1、二次Bezier曲线的计算公式为：P(t)=(P0-2P1+P2)t2+(-2P0+2P1)t+P0X(t)=(X0-2X1+X2)t2+(-2X0+2X1)t+X0Y(t)=(Y0-2Y1+Y2)t2+(-2Y0+2Y1)t+Y0其中P0、P1、P2为三个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2)。
2、次Bezier曲线的计算公式为：P(t)=(-P0+3P1-3P2+P3)t3+(3P0-6P1+3P2)t2+(-3P0+3P1)t+P0X(t)= (-X0+3X1-3X2+X3)t3+(3X0-6X1+3X2)t2+(-3X0+3X1)t+X0Y(t)= (-Y0+3Y1-3Y2+Y3)t3+(3Y0-6Y1+3Y2)t2+(-3Y0+3Y1)t+Y0其中P0、P1、P2、P3为四个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2) 、(X3、Y3)。
3、三次B样条函数绘制曲线的计算公式为：P(t)=[(-P0+3P1-3P2+3P3)t3+(3P0-6P1+3P2)t2+(-3P0+3P2)t+(P0+4P1+P2)]/6X(t)=[(-X0+3X1-3X2+3X3)t3+(3X0-6X1+3X2)t2+(-3X0+3X2)t+(X0+4X1+X2)]/6Y(t)=[(-Y0+3Y1-3Y2+3Y3)t3+(3Y0-6Y1+3Y2)t2+(-3Y0+3Y2)t+(Y0+4Y1+Y2)]/6其中P0、P1、P2、P3为四个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2) 、(X3、Y3)。
opencv 贝塞尔曲线
opencv 贝塞尔曲线贝塞尔曲线简介贝塞尔曲线是一种数学曲线，由法国工程师Pierre Bézier在20世纪50年代提出，用于计算机图形学和计算机辅助设计中的曲线插值。
它通过在给定的控制点上进行插值来生成曲线，具有平滑、连续和可调控的特点。
贝塞尔曲线广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计、动画与游戏开发等领域。
贝塞尔曲线的控制点贝塞尔曲线的生成是基于一组控制点的插值计算。
通常情况下，贝塞尔曲线的控制点包括起始点、终止点和若干个中间点。
起始点和终止点为曲线的起点和终点，而中间点则决定了曲线的形状。
通过控制点的位置和数量的调整，可以获得不同形状的贝塞尔曲线。
贝塞尔曲线的计算方法贝塞尔曲线的计算方法主要有两种：de Casteljau算法和求解贝塞尔曲线参数值的方程求解法。
de Casteljau算法de Casteljau算法是一种递归的计算方法，通过不断地对控制点进行插值，最终得到贝塞尔曲线的坐标。
其具体步骤如下：1.将控制点按照递增的参数值t进行排序；2.初始化插值的控制点集合为原始控制点集合；3.对插值的控制点集合中的每个点，根据参数值t进行插值计算，得到插值后的新点，并将新点加入到插值的控制点集合中；4.重复步骤3，直到插值的控制点集合中只剩下一个点，该点即为贝塞尔曲线上的一个坐标。
方程求解法求解贝塞尔曲线参数值的方程求解法通过求解多项式方程组来计算贝塞尔曲线的坐标。
设贝塞尔曲线的控制点为P0,P1,...,P n，贝塞尔曲线的参数值为t，则贝塞尔曲线的坐标可以表示为：n⋅B i n(t)B(t)=∑P ii=0其中，B i n(t)是n次贝塞尔基函数，可以表示为：B i n(t)=C n i⋅(1−t)n−i⋅t i求解方程组的方法有多种，可以使用牛顿法、二分法等。
opencv中的贝塞尔曲线绘制opencv是一个开源的计算机视觉库，提供了丰富的图像处理和计算机视觉算法。
opencv中可以通过函数cv::bezierCurveTo来绘制贝塞尔曲线。
bezier曲线算法
bezier曲线算法摘要：一、贝塞尔曲线算法概述1.贝塞尔曲线的定义2.贝塞尔曲线在计算机图形学中的应用二、贝塞尔曲线算法的原理1.伯恩哈德·兰伯特·贝塞尔方程2.控制点和结束点的关系3.细分方法三、常见的贝塞尔曲线算法1.线性插值法2.二次插值法3.三次插值法（de Casteljau 算法）四、贝塞尔曲线算法的应用实例1.绘制简单的贝塞尔曲线2.使用贝塞尔曲线绘制复杂图形五、贝塞尔曲线算法的优化1.减少计算量2.提高精度正文：贝塞尔曲线算法是一种在计算机图形学中广泛应用的数学方法，它能够根据给定的控制点和结束点，生成平滑的曲线。
这种算法基于伯恩哈德·兰伯特·贝塞尔方程，通过细分方法，可以得到精确的曲线。
贝塞尔曲线是由三个点（控制点）和两个结束点组成的，其中控制点和结束点的关系可以通过伯恩哈德·兰伯特·贝塞尔方程来描述。
在计算过程中，首先需要根据控制点和结束点计算出曲线的中间点，然后通过细分方法，将曲线分为两段，继续计算每一段的控制点和结束点，直到达到所需的精度。
在计算机图形学中，贝塞尔曲线算法被广泛应用于绘制复杂的图形和动画。
例如，可以利用贝塞尔曲线绘制平滑的曲线、折线、多边形等。
此外，该算法还可以用于生成纹理、阴影等视觉效果。
常见的贝塞尔曲线算法包括线性插值法、二次插值法和三次插值法（de Casteljau 算法）。
线性插值法是一种简单的方法，但是生成的曲线精度较低；二次插值法可以提高精度，但是计算量较大；而三次插值法（de Casteljau 算法）则在精度和计算量之间取得了较好的平衡。
在实际应用中，贝塞尔曲线算法需要考虑计算量和精度的平衡。
为了减少计算量，可以采用一些优化方法，例如使用分治策略、减少插值次数等。
为了提高精度，可以采用更高阶的插值方法或者增加细分次数。
总之，贝塞尔曲线算法是一种在计算机图形学中具有重要意义的数学方法。
osg贝塞尔曲线
在计算机图形学和计算机辅助设计（CAD）领域，贝塞尔曲线是一种用于表示平滑曲线的数学曲线。
OpenSceneGraph（OSG）是一个用于渲染三维图形的开源图形库。
在OSG中，贝塞尔曲线通常用于描述三维曲线的路径。
OSG中的贝塞尔曲线类：
在OSG中，贝塞尔曲线通常通过osg::Bezier类或osg::BezierCurve类来表示。
这些类提供了创建和控制贝塞尔曲线的方法。
基本的贝塞尔曲线操作：
以下是使用OSG中的贝塞尔曲线的基本步骤：
1.导入必要的头文件：
2.创建贝塞尔曲线对象：
3.设置控制点：
4.生成曲线：
5.获取曲线上的点：
6.使用曲线上的点进行渲染或其他操作。
示例代码：
下面是一个简单的示例代码，演示了在OSG中创建和渲染贝塞尔曲线：
请注意，这只是一个简单的例子。
在实际应用中，您可能需要更复杂的控制点配置、颜色和其他属性来满足您的需求。
此外，根据您的场景，您可能需要调整渲染设置以确保贝塞尔曲线的外观符合您的预期。
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3/21/2019
Bezier 曲线的拼接
拼接的需求
– 几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的 曲线形状。这是由于增加由于特征多边形的顶点数， 会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会 带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。 所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接 起来，并在接合处保持一定的连续条件。
* i 0 i 0 i 0 i 0 n n n n
t [0,1]
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第10部分 Bezier曲线
第13页
3.
凸包性
– –
B
i 0
n
i ,n
(t ) 1 且
0 Bi ,n (t ) 1(0 t 1, i 0,1,, n) Bezier曲线P(t)在 t [0,1] 中各点是控制点Pi的凸线性
i 0 n
t [0,1]
其中：Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n 次Bernstein基函数：
i i Bi ,n (t ) C n t (1 t ) n i
n! t i (1 t ) n i i!(n i )! (i 0,1, , n)
(1 t ) Bi ,n 1 (t ) tBi 1,n 1 (t )
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第10部分 Bezier曲线
第8页
6.
导函数
Bi,n (t ) n[ Bi 1,n 1 (t ) Bi ,n 1 (t )], i 0,1, , n;
i i Bi ,n (t ) C n t (1 t ) n i
第5页
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第10部分 Bezier曲线
Bernstein基函数的性质
1.
正性
t 0,1 t (0,1) i 1,2, , n 1
0 Bi ,n (t ) 0 2. 端点性质
(i 0) 1 Bi ,n (0) 0 otherwise (i n) 1 Bi ,n (1) 0 otherwise
1 2 1 P0 P t 1 2 2 0 1 0 0 1 P2
二次
1 P0 P 0 1 0 P2 0 P3
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C (t ) t 3
t2
三次
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Bezier 曲线历史
– 由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面 表示方法, 已不能满足用户的需求。 – 1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种 以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用 这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面 设计系统，1972年，该系统被投入了应用。
第10部分 Bezier曲线 第15页
5.
变差缩减性
–
–
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Bezier曲线的矩阵表示
1 1 P0 C (t ) t 1 P 1 0 1
一次
1 3 3 3 6 3 t 1 3 3 0 0 0 1
C (t ) t 2
Pi Pi k k 1 k 1 ( 1 t ) P tP i i 1 k 0 k 1,2,..., n i 0,1,..., n k
– 这便是著名的de Casteljau算法。 – Pn0即为曲线P(t)上具有参数t的点。
3/21/2019 第10部分 Bezier曲线 第20页
P0
P 1 P2 P3 n=3时
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P01
1 P 1
P02
2 P 1
P21
P03
Pi n 的递推关系
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第10部分 Bezier曲线
2 P 1
P
2 0 1 P 0
P 1
P
1 1
P 2
1 P 2
P 0 0
3 P (1 / 3) P 0
P 3
1/3
1
几何作图法求Bezierቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线 上一点（n=3，t=1/3）
P1 P11 P01
P02
P2
P0 Bezier曲线上的点
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P1
P01 (1 t ) P0 tP 1
P11
1 P 1 (1 t ) P 1 tP 2 1 P02 (1 t ) P01 tP 1
P01
P0
P02
n! t i (1 t ) n i i!(n i )! (i 0,1, , n)
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第10部分 Bezier曲线
第9页
Bezier 曲线的性质
1.
端点性质
– 曲线端点位置矢量
• 由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时， P(0)=P0 ；当t=1时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲线的 起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。
– 其一是Bezier曲线或曲面不能作局部修改； – 其二是Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂。
1972 年，Gordon、Riesenfeld等人提出了B样条方法 ，在保留Bezier方法全部优点的同时，克服了Bezier方 法的弱点。
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第10部分 Bezier曲线
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B样条曲线
第10部分 Bezier曲线
Bezier曲线的递推算法
需求
– 计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使 用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。
基本递推算法
– 抛物线三切线定理
1 2 1 P0 P01 P P P 0P 0 1 1 1 2 1 P01 P P P P 1 1 2 0 P 1
(i 0) 1 Bi ,n (0) 0 otherwise (i n) 1 Bi ,n (1) 0 otherwise
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第10部分 Bezier曲线
第10页
– 切矢量
•
'
P (t ) n Pi [ Bi 1,n 1 (t ) Bi ,n 1 (t )]
Bezier曲线
Ray
ray@
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李辉 副教授
内容
Bezier 曲线历史 Bezier 曲线的定义 Bernstein基函数的性质 Bezier 曲线的性质 Bezier 曲线的递推算法 Bezier 曲线的拼接 Bezier 曲线的升阶和降阶
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第10部分 Bezier曲线
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Bezier曲线的升阶与降阶
原始控制顶点P0,P1,...,Pn 新控制顶点为P0*,P1*,...,Pn+1*
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第10部分 Bezier曲线
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从Bezier曲线到B样条曲线
以Bernstein基函数构造的Bezier曲线或曲面有许多优 越性，但有两点不足：
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第10部分 Bezier曲线
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– 由(n+1)个控制点Pi(i=0, 1, ..., n)定义的n次Bezier曲线 Pn0可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条 (n-1)次Bezier曲线 P0n-1与P1n-1的线性组合： n 1 P0n (1 t ) P0n1 tP t [0,1] 1 – 由此得到Bezier曲线的递推计算公式
Pi* Pn i ,(i 0,1,..., n)
构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同， 走向相反。因为：
C * (t ) Pi Bi ,n (t ) Pn i Bi ,n (t ) Pn i Bn i ,n (1 t ) Pi Bi ,n (1 t )
n i Bn i ,n (t ) C n [1 (1 t )] n ( n i ) (1 t ) n i i i Cn t (1 t ) n i Bi ,n (1 t )
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第10部分 Bezier曲线
第7页
5.
递推性
Bi ,n (t ) (1 t ) Bi ,n 1 (t ) tBi 1,n 1 (t ), (i 0,1,..., n)
Ｂ样条曲线
Pi ,n (t )
i 0
n 1
• 当t=0时，P’(0)=n(P1-P0)， • 当t=1时，P’(1)=n(Pn-Pn-1)， • 说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的 第一条边及最后一条边的走向一致。
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第10部分 Bezier曲线
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– 二阶导矢
P(t ) n(n 1) ( Pi 2 2 Pi 1 Pi ) Bi ,n 2 (t )
第10部分 Bezier曲线 第6页
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3.
权性
n
B
i 0 i 0
n
i ,n n
(t ) 1
t (0,1)
i i n i n B ( t ) C t ( 1 t ) [( 1 t ) t ] 1 i ,n n i 0
4.
对称性
Bi ,n (t ) Bni ,n (t )
i 0 n2
• 当t=0时
• 当t=1时