简述bezier曲线的特点
bezier曲线
Bezier 曲线什么是 Bezier 曲线？Bezier 曲线是一种数学曲线，由法国工程师 Pierre Bézier 于20世纪50年代发明。
它是计算机图形学中最基本和最常用的曲线之一。
由于其简单性和灵活性，Bezier 曲线被广泛应用于计算机图形、工业设计、动画制作等领域。
Bezier 曲线的特点Bezier 曲线由一系列控制点确定，并通过调整这些控制点的位置和参数来定义曲线的形状。
以下是 Bezier 曲线的一些特点：1.可调节性：调整控制点的位置和参数可以改变曲线的形状、弯曲程度和速度。
2.平滑性：Bezier 曲线能够平滑连接控制点，使得曲线在控制点之间呈连续曲率。
3.参数化形状：Bezier 曲线可以通过调整参数来生成无限多种形状，从简单的直线到复杂的曲线。
4.逼近性：Bezier 曲线可以用来逼近其他复杂的曲线，如圆弧、椭圆等。
Bezier 曲线的数学表达Bezier 曲线是通过插值和多项式生成的数学曲线。
根据控制点的个数，可以确定 Bezier 曲线的阶数。
一般情况下，Bezier 曲线的阶数等于控制点数减1。
对于一维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 1DBezier 1D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
对于二维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 2DBezier 2D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
Bezier 曲线的应用Bezier 曲线的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：1.计算机图形学：Bezier 曲线可以用来绘制平滑的曲线和曲面，用于构建2D和3D图形。
2.工业设计：Bezier 曲线可以用来设计平滑的汽车车身、家具等产品。
3.动画制作：Bezier 曲线可以用来定义动画路径，使得动画流畅而自然。
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2．2．3 Bezier曲线在工程设计中，由给定型值点进行曲线设计往往由于型值点的误差而得不到满意的结果。
另一方面，在一些更注重外观的设计中，型值点的精度又不很重要。
从1962年起，法国雷诺汽车公司的Bezier开始构造他的以“逼近”为基础的参数曲线表示法。
以这种方法为基础，完成了一种自由型曲线和曲面的设计系统UNIS-URF，1972年在雷诺汽车公司正式使用。
Bezier曲线的形状是通过一组多边折线（称为特征多边形）的各顶点唯一地定义出来的。
在多边形的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上，其余的顶点则使用控制曲线的导数、阶次和形式。
第一条和最后一条折线则表示出曲线在起点和终点处的切线方向。
曲线的形状趋向仿效多边折线的形状。
改变控制点与改变曲线形状有着形象生动的直接联系。
如图2．6所示。
1）Bezier曲线的定义给定 n＋ l个空间向量bi(i= 0，l，…，n），称 n次参数曲线段为Bezier曲线。
式中使用了Bernstein多项式Bi，n（u）作为基函数：u是局部参数，u∈[0，1]。
我们给出n＝3的Bezier曲线的矩阵表示：则有 P(u)=UMB2）Bezier曲线的性质Bezier曲线的基本数学表达式：这说明Bezier曲线在始点和终点处的切线方向是与Bezier控制多边形的第一边及最后一边的走向一致。
这说明曲线在起点和终点处的二阶导数仅与相邻的二点位置有关，而与其余各点的位置关。
Bezier曲线的这一特性说明，只需适当移动控制点就能获得满意的曲线位置和形状。
利用这个特性，当采用分段Bezier 曲线时，只要保证曲线在接点处的折线共线，就可以得到C1连续性。
如图2．7所示的一个公共端点的二条Bezier曲线，当两段曲线的控制折线在接点处共线时，就保证了它们连成的曲线在公共端点的一阶连续。
Bezier曲线还具有凸包性，即B6zier曲线均落在由它的控制点形成的凸壳内。
所谓凸壳是指用橡皮图从外面去套所有控制点所形成的凸多边形。
Bezier曲线函数
（一）Bezier 曲线定义如下：设有 1+n 个点：),(i i y x ，n i ,,2,1,0 = ，下列参数曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==∑∑=-=-n i i n i i n i n i i n i i n i t t C y t y y t t C x t x x 00)1()()1()( ，10≤≤t ， 称为由这 1+n 个点确定的 n 次Bezier 曲线。
例如，已知有下列4个点：)100,100(),(00=y x ,)200,200(),(11=y x ,)100,300(),(22=y x ,)200,400(),(33=y x , 它们可以确定一条3次Bezier 曲线。
这条Bezier 曲线的参数表达式为：⎩⎨⎧+-⨯+-⨯+-=+-⨯+-⨯+-=32233223200)1(3100)1(3200)1(100400)1(3300)1(3200)1(100tt t t t t y t t t t t t x ，10≤≤t 。
这条Bezier 曲线的图像为Bezier 曲线的特点是：曲线只通过开头的一点和结尾的一点，不通过中间的各点。
如果我们要求曲线通过中间的各点，显然Bezier 曲线是不符合我们要求的。
（二）如果要求曲线通过给出的每一点，可以采用“3次样条曲线”。
3次样条曲线是这样一种曲线：它在已知的每两个点 ),(11--i i y x 与 ),(i i y x 之间，用一段段3次曲线 32x d x c x b a y i i i i +++= 作连接，而且保证在各段连接处，一阶、二阶导数都是连续的，整条曲线是处处光滑的。
例如，已知有下列4个点： )100,100(),(00=y x ,)200,200(),(11=y x ,)100,300(),(22=y x ,)200,400(),(33=y x ,通过这4个点可以作一条3次样条曲线。
这条3次样条曲线在各段上的函数表达式为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+-≤≤+-+-≤≤-+-=4003000002.021.07282003002000002.015.03626002001000002.009.012600323232x x x x x x x x x x x x y 。
第四章 Bezier曲线曲面(上)
j =1,2, n L
这时，Bezier曲线的方程变为：
r p (t ) = 0 £ t £ 1
其中:
j B j , n (t ) = Cn t j (1 - t ) n - j
Bernstein基函数
j = 0,1, n L
2、Bernstein-Bezier曲线
当n＝3 时： ( ) = ( - t ) 3 B0 , 3 t 1
¢ 证明： B j , n (t )
j n = Cnj jt j -1 (1 - t ) n - j - Cn (n - j )t j (1 - t ) - j -1 -1 j n = nCnj-1 t j -1 (1 - t ) n - j －nCn -1 t j (1 - t ) - j -1
二、Bezier曲线的性质
1、Bernstein基函数的性质 1）非负性：
0 £ Bi , n (u ) £ 1 0 £ u £ 1, i = 0,1, n L
2）规范性：
n
å B
i = 0
i , n
( u ) º 1 ,
n n i n
0 £ u £ 1
n i n -i
i i n = Cn -1u i (1 - u ) n -i + Cn -1 u i (1 - u ) -i -1
= (1 - u ) Bi ,n -1 (u ) + uBi -1, n -1 (u )
贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结
Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。
贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。
贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。
2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。
与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。
这些基函数决定了曲线上每一点的形状。
B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。
B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。
NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。
NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。
总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
贝兹尔曲线
贝兹尔曲线贝兹尔曲线是一种光滑曲线，由法国工程师皮埃尔·贝齐埃尔（Pierre Bézier）在20世纪50年代开发的。
该曲线适用于计算机辅助设计（CAD）和计算机图形学等领域，可以用来描述和绘制复杂的曲线形状。
贝兹尔曲线凭借其灵活性和精确性，成为了二维和三维图形设计的重要工具之一。
贝兹尔曲线的主要特点是可以通过有限数量的点来确定曲线的形状，这些点被称为控制点。
通过调整这些控制点的位置和权重，可以改变曲线的形状，从而实现任意复杂的曲线绘制。
贝兹尔曲线可以是直线、二次曲线或高阶曲线，具体取决于控制点的数量和权重。
贝兹尔曲线的数学表示形式是通过控制点和权重的线性组合来计算曲线上的点的坐标。
通常使用的参数化表示形式是贝兹尔曲线的一个常见形式，其中曲线上的点的坐标由参数t来表示。
参数t的取值范围通常是0到1之间，可以用来控制曲线的起点和终点位置。
使用参数化表示形式，可以方便地对曲线进行插值和插入操作。
绘制贝兹尔曲线的关键是确定合适的控制点。
控制点的数量和位置直接影响曲线的形状。
一般来说，至少需要两个控制点来绘制一条贝兹尔曲线的直线段，而更多的控制点可以用来描述复杂的曲线形状。
贝兹尔曲线的弯曲程度和流畅性可以通过调整控制点的位置和权重来实现。
贝兹尔曲线的计算和插值方法在计算机图形学中有广泛的应用。
例如，它可以用来绘制平滑的曲线路径，以实现图形的动画效果。
它也可以用来生成复杂的几何形状，如汽车外壳、船体等。
此外，贝兹尔曲线还可以用来表示字体的轮廓和生成曲线字形，以及绘制自然景观和虚拟环境等。
贝兹尔曲线的优点之一是它的灵活性和可控性。
通过调整控制点的位置和权重，可以精确地控制曲线的形状和曲率。
与其他曲线表示方法相比，贝兹尔曲线具有更大的设计自由度和可变性。
此外，贝兹尔曲线具有良好的局部控制性，即对曲线的一部分进行修改不会影响其他部分，这使得在进行曲线编辑和修改时更加方便。
贝兹尔曲线的缺点之一是它对于非均匀参数化的敏感性。
简述bezier曲线的性质
简述bezier曲线的性质一、 bezier曲线的定义1． bezier曲线的概念： bezier曲线就是函数y=f(x)， y=f(-x)，f(x)随x的变化而变化，并且所有这些随机点的集合都包含在一条直线上。
2． bezier曲线的图象： bezier曲线可以由点M(x， y)表示，由点M'(x'， y')表示，由点O(x， y)表示，因为这四个点都属于[-x，0]，这样，它们围成了一个四边形，我们称这个四边形为[-x， 0]A ∪[0， y]B ∩[0， -y]的bezier曲线图象。
3． bezier曲线的性质：①当x→0时， bezier曲线是开口向上的抛物线，②当x→0时， bezier曲线是以y轴为中心对称的双曲线，③当x→0时， bezier曲线是倾斜的;若y=f(x)， f(-x)， f(x)是直线，这是一条平行线;4． bezier曲线的拐点：曲线上某一点到x轴、 y轴的距离相等，或该点既不在x轴上，也不在y轴上，则称这一点是bezier曲线的拐点。
拐点有三类：一类是x=0， y=0;第二类是x=y=0;第三类是x=0， y=y=0。
4． bezier曲线的应用：在线性规划问题中，需要确定使得目标函数值达到最大的水平或垂直线段， bezier曲线可以帮助我们做出正确选择， bezier曲线也可以帮助我们分析解决一些实际问题，如果求极值的问题，求两条或多条实际可行线段交点的问题，通过使实际可行线段交点最小来分析问题和找到最佳点。
总之， bezier曲线是我们解决实际问题的有力工具。
5．综合练习，解答1．利用bezier曲线，讨论函数在某一点的取值范围，再由此判断函数的单调区间; 2．求已知函数f(x)的图象与其一阶导数f'(x)的图象的交点坐标; 3．利用bezier曲线及其图象求下列各函数的一阶导数; 4．已知一元二次方程x=1/2-1/3，用bezier曲线法求解; 5．讨论函数f(x)=-x-7/x是否为增函数，并说明理由。
Bézier曲线
t 从0变到1
P01 (1 t )P0 tP1 P11 (1 t )P1 tP2 P02 (1 t )P01 tP11
(1) (2) (3)
抛物线三切线定理
这表明：这二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前
在此输入文本内两容个，在顶此点输(文P0本,P内1容)和，后两个顶点(P1,P2)决定的一次
（6）导函数 B'i,n t n Bi1,n1 t Bi,n1 t i 0,1,..., n
（7）最大值
Bin
(t)在t
i n
处达到最大值
（8）升阶公式
(1 t)Bi,n(t) (1 i )Bi, n 1(t) n 1
tBi, n(t) i 1 Bi 1, n 1(t) n 1
如图所示，设P0、P02、P2 是一条抛物线上顺序 三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点，在 点成P立02：的切线pp交001ppP0110P1和pp111Ppp1212P1于ppP00120pp101和12 P11 ，则如下比例
这是所谓抛物线的三切线定理 。
图抛物线三切线定理
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
Cni ti (1 t)ni
(n
n! ti i)!i!
(1 t)ni , (i
0,1,...,
n)
Bernstein基函数的性质
（1）正性
Bi,n (t) 0 (t (0,1), i 1,2, , n 1)
（2）端点性质
Bi,n(0) =
1, i = 0 0, i ≠ 0
Bi,n(0) =
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简述bezier曲线的特点
贝塞尔曲线是一种常见的计算机图形学曲线，其特点如下：
1. 可控性强
贝塞尔曲线是通过一系列控制点来定义的，控制点的位置会直接影响曲线的形状。
因此，可以通过调整控制点的位置来实现对曲线的微调和变形。
2. 线性变换下不变性
贝塞尔曲线在进行平移、旋转、缩放等线性变换时，其形状不会发生改变。
这使得贝塞尔曲线在计算机图形学中使用非常广泛。
3. 高阶平滑
贝塞尔曲线可以通过增加控制点的数量来提高曲线的平滑性。
在使用二次或三次贝塞尔曲线时，可以通过增加控制点来获得非常平滑的曲线。
4. 自然美感
贝塞尔曲线的形状可以通过控制点的位置来自由调整，因此可以创造出各种不同的图形。
在正确的使用下，贝塞尔曲线可以创造出非常自然美观的图形。
5. 应用广泛
贝塞尔曲线在计算机图形学中广泛应用，比如在Photoshop和Illustrator中使用的绘制曲线工具，以及3D建模软件中的平滑曲线工具等等。
此外，在基于贝塞尔曲线的动画和视频编辑中，也有广泛的应用。