第7章几何造型技术(计算机图形学)
计算机图形学 答案
计算机图形学Ⅰ专业：计算机科学与技术计算机科学与技术20922012年12月第1章绪论1、计算机图形学的概念？（或什么是计算机图形学？）计算机图形学是研究怎样利用计算机表示、生成、处理和显示图形的(原理、算法、方法和技术)一门学科。
2、图形与图像的区别？图像是指计算机内以位图(Bitmap)形式存在的灰度信息；图形含有几何属性，更强调物体（或场景）的几何表示，是由物体（或场景）的几何模型(几何参数)和物理属性(属性参数)共同组成的。
3、计算机图形学的研究内容？计算机图形学的研究内容非常广泛，有图形硬件、图形标准、图形交互技术、光栅图形生成算法、曲线曲面造型、实体造型、真实感图形计算与显示算法，以及科学计算可视化、计算机动画、自然景物仿真和虚拟现实等。
4、计算机图形学的最高奖是以 Coons 的名字命名的，而分别获得第一届（1983年）和第二届（1985年）Steven A. Coons 奖的，恰好是 Ivan E. Sutherland 和 Pierre Bézier 。
5、1971年，Gourand提出“漫反射模型+插值”的思想，被称为 Gourand 明暗处理。
6、1975年，Phong提出了著名的简单光照模型—— Phong模型。
7、1980年，Whitted提出了一个光透明模型—— Whitted模型，并第一次给出光线跟踪算法的范例，实现了Whitted模型。
8、以 SIGGRAPH 会议的情况介绍，来结束计算机图形学的历史回顾。
9、什么是三维形体重建？三维形体重建就是从二维信息中提取三维信息，通过对这些信息进行分类、综合等一系列处理，在三维空间中重新构造出二维信息所对应的三维形体，恢复形体的点、线、面及其拓扑关系，从而实现形体的重建。
10、在漫游当中还要根据CT图像区分出不同的体内组织，这项技术叫分割。
11、一个图形系统通常由图形处理器、图形输入设备和输出设备构成。
12、CRT显示器的简易结构图12、LCD液晶显示器的基本技术指标有：可视角度、点距和分辨率。
(完整word版)《计算机图形学》练习测试题及参考答案
《计算机图形学》测试题一、名词解释：(每个4分)1．计算机图形学2．图象处理3．模式识别4．计算几何5．凸多边形6．种子填充算法7．窗口8．视区9．光顺性10．拟合11．多项式插值12．小挠度曲线13．图形变换14．齐次坐标系15．凸包16．轮廓线17．等值线18．图形的翼边表示19．ER模型20．图形消隐21．本影22．半影23．用户坐标系24．规范化设备坐标系25．构造26．约束技术27．光线跟踪28、走样29、CRT（Cathode Ray Tube)30、隔行(interlaced)扫描31、输入模式32、取样方式（sample mode）33、区域34、边界表示法35、复合变换36、二维复合平移37．二维复合比例38．二维复合旋转39．视区（Viewport)40、投影变换41、平面几何投影42。
参数图43。
像素图44．人机界面45．地理信息系统46．虚拟现实47.几何造型技术48．扫描转换49. 插值曲线50．逼近曲线51. 用户接口52。
交互技术53. 交互式图形系统的基本交互任务54. 定位任务55。
选择任务56。
拾取任务57 。
选择技术58. 菜单技术59。
文字输入任务60. 数值输入任务61．动画62．帧63．场64。
消隐65。
物体空间的消隐算法66。
漫反射光67。
环境光68. 镜面反射光二、选择题（每题2分）1、计算机图形学与计算几何之间的关系是（）。
A)学术上的同义词B)计算机图形学以计算几何为理论基础C)计算几何是计算机图形学的前身D）．两门毫不相干的学科2、计算机图形学与计算机图象学的关系是( ).A）计算机图形学是基础，计算机图象学是其发展B）不同的学科,研究对象和数学基础都不同，但它们之间也有可转换部分C）同一学科在不同场合的不同称呼而已D）完全不同的学科,两者毫不相干3、触摸屏是（）设备。
A）输入B)输出C）输入输出D）既不是输入也不是输出4．计算机绘图设备一般使用什么颜色模型？（)A）RGB；B）CMY；C）HSV ；D）HLS5。
课件 计算机图形学 三维几何造型
V01
是双曲抛物面上的一块曲面片
（或叫马鞍面上的一块曲面）
u=0和u=1时，得到的两条边界为直线段 v=0和v=1时，得到的两条边界为直线段
它由四条直线段包围而成。 V00
V11 V10
2 双二次贝塞尔曲面：
（1）什么叫双二次贝塞尔曲面？ 当贝塞尔曲面中的两个参数m=n=2时，得到的是双二次 贝塞尔曲面。此时控制点有(m+1)*(n+1)=9个
P1,0
P3,1 P3,0
P0,0
16个控制点构成了特图征8网-9格双三次Bezier曲面及其控制网格 曲面通过网格的四个端点P00,P03,P30,P33 P0,0=P(0,0) (u=0,v=0) P0,3=P(0,1) (u=0,v=1) P3,0=P(1,0) (u=1,v=0) P3,3=P(1,1) (u=1,v=1) 曲面不通过其它12个控制点
p10
p01 p11
p02 p12
v 2 v
1
0
0 p20
p 21
p 22
1
（3）双二次贝塞尔曲面的图形： 该曲面通过四个端点
该曲面的4条边界线为4条抛物线 即该曲面由4条抛物线段包围而成 该曲面位于9个控制点连成的凸包内
3 双三次贝塞尔曲面
（1）什么叫双三次贝塞尔曲面？ 当贝塞尔曲面中的两个参数m=n=3时，得到的是双三次 贝塞尔曲面。此时控制点有(m+1)*(n+1)=16个
7.2 欧式几何造型
一 欧式几何造型的概念：
通过对简单的几何形体进行平移，旋转，变比等几何变换 和并，交，差等几何运算，产生物体模型的方法。
＋
＝
二 问题： 三维形体的数据是如何被存储的？
计算机图形学教学大纲
《计算机图形学》（Computer Graphics）教学大纲一、课程代码：03080251二、课程类型：必修课三、课程性质：专业基础课四、学分：3 课时：48(36理论+12实验)五、考核方式：考试六、先修课程：C程序设计，数据结构，高等数学，线性代数，计算机组成原理七、适用专业：计算机科学与技术专业八、课程教学目标：通过学习达到下列基本要求：1．掌握计算机图形学及图形系统的基本概念，了解图形外围设备的工作原理和特性，了解计算机图形标准的基本知识；2．掌握基本图元及常用曲线的生成算法；3．熟练掌握投影变换、图形变换、裁剪、填充等图形处理的常用算法；4．熟练掌握三维形体及常用曲面的表示方法，能够处理三维图形的消隐问题；5．熟练掌握一种语言的图形函数和图形程序的设计技能，具有开发以图形为主的软件设计基本能力。
九、说明：计算机图形学是一门复杂的综合性新兴学科，是建立在传统的图学理论，现代数学和计算机科学基础上的一门边缘性学科，是面向二十一世纪计算机学科的主科目。
通过本课程的学习使学生系统掌握计算机图形学的基本理论，基本算法；能正确评价、完善、编程实现所学的算法，具备创造更高效算法的意识；具有编写计算机图形应用软件的能力。
具备将图形学的研究思想运用到其它领域以解决相关问题的能力；初步具备在图形学领域进行研究的能力。
1、使用教材及参考资料教材选用：《计算机图形学基础教程》孙家广编著，清华大学出版社参考教材：《计算机图兴学》，孙家广编著，清华大学出社, 2002《计算机图形学》，张全伙张剑达编著，机械工业出版社《计算机图形学教程》，唐荣锡、汪嘉业等编著，科学出版社2005十、基本教学内容及课时分配：（一）教学内容：第一章：绪论【教学目的与要求】理解计算机图形学的基本思想。
掌握下列概念：图像、图形、计算机辅助设计与制造、可视化、图形显示和图形绘制。
了解计算机图形学的研究内容及发展简史、计算机图形学的应用和图形设备的基本原理。
计算机图形学第7章课后习题参考答案
第七章1．什么叫几何造型？几何造型是一种技术，它能将物体的形状及其属性（如颜色、纹理等）存储在计算机内，形成该物体的三维几何模型，利用这个模型对原物体进行确切的数学描述或是对原物体某种状态进行真实模拟。
几何造型是用计算机及其图形工具表示、描述物体的形状，设计几何形体，模拟物体动态过程的一门综合技术。
它是集成CAD/CAM的基础，主要包括曲面造型、实体造型和特征造型三个分支。
2．几何造型有哪3种模型？各有什么特点？（1）线框模型线框模型表示的主体，不能充分反映出与计算机内部关于线数据和形状特征数据的关系；采用线框模型，在计算体积、重量等质量参数时，就无法利用隐线消去法，此外，这种模型很难表示圆筒或球之类的曲面立体。
由于线框模型的数据结构简单，具有计算机处理速度快的优点，因此用途还是很广的，特别是当未使用高性能计算机时，就能充分发挥其处理速度快的优点。
主体的线框模型在计算机生成后，利用投影法就可很容易得到立体的三视图，在制图领域中有很广泛的应用。
(2) 表面模型表面模型是在线框模型的基础上，增加了有关生成立体各表面的数据而构成的模型。
表面的定义就是一些指定某表面由哪些棱线按何种顺序组成的信息。
这种模型通常用于构造复杂的曲面物体，构形时常常利用线框功能，先构造一线框图，然后用扫描或旋转等手段变成曲面，当然也可以用系统提供的许多曲面图素来建立各种曲面模型。
表面模型由于比线框模型更高级、更优越，以及更易于在微机上实现等特点，在工程领域中有广泛的应用，特别是进行类似汽车外形设计这种有复杂表面设计工作的领域。
(3) 实体模型实体模型是3种模型中最重要的，也是出现最晚的。
实体模型的优点可以概括为：完整定义了立体图形，能区分内外部；能提供清晰的剖面图；能准确计算质量特性和有限元网格；方便机械运动的模拟。
3．分析比较CSG法与B-rep法优缺点。
CSG法（1）边界表示法强调的是形体的外表细节，详细记录了形体的所有几何和拓扑信息。
计算机图形学_PPT完整版
图形软件主要类型
3. 专用图形软件包 针对某一种设备或应用，设计/配置专用的图形 生成语言或函数集，例如： 场景描述：Open Inventor 建立虚拟世界的三维模型：VRML 生成三维Web显示：Java3D 创建Java applet中的二维场景：Java 2D 生成各种光照模型下的场景：Renderman Interface（Pixar）……
图元的绘制、显示过程
顶点
法向量、颜色、纹理…
像素
图元操作、像素操作 光栅化（扫描转换）
像素信息 帧缓存 显示器
调用底层函数，如 setPixel (x,y)；将当 前像素颜色设定值存 入帧缓存的整数坐标 位置（x,y）处。
图元描述与操作
几何图元由一组顶点（Vertex）描述 这一组顶点可以是一个或是多个。每个顶点信息二维或 三维，使用 2~4 个坐标。顶点信息由位置坐标、颜色 值、法向量、纹理坐标等组成。 图元操作： 几何变换、光照、反走样、消隐、像素操作等，然后准 备进行光栅化处理。 扫描转换或光栅化（Rasterization ） 将对象的数学描述、颜色信息转换成像素信息（像素段 写入帧缓存），送到屏幕显示。
应用程序
图形应用程序
图形语言连接 外部应用 数据库 内部应用 数据库 API GKS/GKS 3D PHIGS OpenGL
图形编程软件包，如OpenGL、 VRML、Java2D、Java3D……
GKSM
图形设备驱动程序，如显卡驱动、 打印机/绘图仪驱动…… 支持图形处理的操作系统,如 Macintosh、Windows、Unix、 Linux 、各种嵌入式OS…… 图形输
计算机图形软件的标准化意义
可移植性 通用、与设备无关 推动、促进计算机图形学的推广、应用 资源信息共享
《计算机图形学》练习试题及参考答案(六)
《计算机图形学》练习试题及答案一、名词解释1、齐次坐标系2、光顺性3、种子填充算法4、镜面反射光5、投影变换6、光线跟踪7、复合变换8、走样9、几何造型技术10、虚拟现实二、简答题1、前截面距离F和后截面距离B定义了什么？2、计算机动画的制作主要步骤3、计算机图形显示器和绘图设备表示颜色的方法各是什么颜色系统？它们之间的关系如何？4、图形软件主语言的选择应考虑哪些因素？5、制定CGI,CGM,IGES标准的目的分别是什么？6、自由曲面的表示通常有哪两种？7、什么叫做走样？什么叫做反走样？反走样技术包括那些？8、简述区域连贯性、扫描线的连贯性以及边的连贯性。
9、简述Bezier曲线的不足之处。
10、建立图形软件可采用哪三种方法？11、在观察空间中，如何确定投影的类型和方向？12、简述编码裁剪法（即Cohen-Sutherland线段裁剪法）的算法过程。
三、应用题1、分析边标志算法的实现过程，并写出其算法的C语言描述。
2、简述深度缓存算法及其特点。
3、假设在观察坐标系下窗口区的左下角坐标为（wxl=10,wyb=10）,右上角坐标为（wxr=50，wyt=50）。
设备坐标系中视区的左下角坐标为（vxl=10,vyb=30）,右上角坐标为（vxr=50,vyt=90）。
已知在窗口内有一点p(20,30),要将点p映射到视区内的点p`,请问p`点在设备坐标系中的坐标是多少？（本题10分）4、如下表是采用DDA算法画出（0，0）到（5，2）的直线的数据，请填写空格处。
i xi yi yi+0.5 int(yi+0.5)1 0 0 0.5 02 13 24 35 46 5 2 2.5 25、已知三角形ABC各顶点的坐标A(1,2)、B(5,2)、C(3,5)，相对直线Y=4做对称变换后到达A’、B’、C’。
试计算A’、B’、C’的坐标值。
（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵）6、试对下图中的多边形进行裁剪，用图表示裁剪过程。
计算机绘图与几何造型幻灯片PPT
二、计算机图形系统的构成及其界面的标准化 计算机图形系统的构成，图2-1 由计算机、图形设备、存贮设备和特定程序构成 可移植性，设备互换性 1974年，美国国家标准化局（ANSI），“与机器无
关的图形技术” 会议，制定计算机图形标准的规则 1977年，美国计算机协会（ACM），图形标准化委
员会，“核心图形系统”（Core Graphics System）的 规范。
图2-1 计算机图形系统及其界面标准
计算机图形标准——图形系统及应用系统中 各界面之间进行数据传送和通信的接口标准（称之 为数据及文件格式标准），以及供图形应用程序调 用的子程序功能和格式标准（称之为子程序界面标 准）
CGM——计算机图形元文件 CGI——计算机图形接口和面向图形设备的接口标准 GKS——计算机图形核心系统 GKS-3D——三维图形核心系统 PHIGS——程序员层次的交互式图形系统 GL——图形程序库 IGES——基本图形转换规范 STEP——产品数据转换规范 GUI——图形化的用户界面
一、图形的数学描述与物理实现 图形——客观事物的几何抽象 机械产品，欧几里德几何 点、线、面、体 数学描述，真实形态，物理实现，存在差异，本质不同 物理实现——显示、绘画、印刷、模型、实物等 抽象的点、线、面、体，不存在，物理表现也无法实现 抽象的数学描述，抓住了客观对象的主要几何特征，以便度量、
图形的物理实现——图形设备（如显示器、 绘图仪、打印机等）将图形呈现出来，与设备密 切相关，设备的属性和特征将体现于最终的图形 中
光栅显示器，象素点集 象素有大小，象素点阵有分辨率
图形与图像不同 图形——由描述点、线、面、体等几何元素的形状 参数和描述灰度、色彩、线型、线宽等表观特征的属性参 数以及描述图形的方程等构成，可以进行数学运算和变换 图像——由二维坐标、灰度值或色彩值所描述的像 素阵列构成，可以进行表观涂改，不能进行几何运算和变 换 光栅式显示器和点阵式输出设备→由参数和方程表 示的图形需要通过某种转换算法，变成点阵表示的图像， 才能进行显示或输出
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计算机图形学
7.3.5 分解表示法（D-rep） 2、八叉树 原理同四叉树。
计算机图形学
用八叉树表示空间实体具有许多优点，可以用统一而 简单的形体（即立方体）表示空间任意形状的实体，因而 数据结构简单划一；易于实现物体之间的集合运算,易于计 算物体的性质，如物体的体积、质量、转动惯量等。但采 用八叉树表示物体的最大缺点是它占用内存很多，但可用 线性八叉树方法来解决这个问题，即用一个可变长度的一 维数组来存放一棵八叉树，这样很容易将空间任一物体转 化为线性八叉树的编码表示。 一个功能完善的八叉树造型系统应包括如下几类算法： （l）八叉树的生成。 （2）集合运算。 （3）几何运算。 （4）分析例程。 （5）显示生成。
1973年在英国剑桥大学由I· C· Braid等建成了BUILD系统 1973年日本北海道大学公布了TIPS-1系统 1978年，Shape Data的ROMULUS系统问世 1980年 Evans和Sutherland开始将ROMULUS投放市场
目前市场上已有许多商品化的几何造型系统。
国外： AUTOCAD、CATIA、I - DEAS 、Pro/Engineer、
利用投影变换，从三维线框模型可方便 地生成各种正投影图、轴测图和任意观 察方向的透视投影图。
计算机图形学
缺点:
中间打孔的长方体
— 易出现二义性理解； — 缺少曲面边缘侧影轮廓线；
—缺少边与面、面与体之间关系的信息，不能描述产品
。
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7.2 几何造型系统三种模型 2、表面模型 在线框模型基础上，增加了有关生成立体各表面的数据 而构成的模型。
表面模型的数据结构
计算机图形学
按生成方式不同，表面模型有以下几种：
（1）基本面：通过对一条线扫描操作得到 （2）旋转面：对一个平面绕某一轴旋转得到 （3）相交面 （4）分析法表面 （5）雕塑曲面（自由曲面） （6）组合平面：通过四边形网格和纵横边界构成
计算机图形学
表面模型的优点与不足：
优点
利用曲面造型能够构造诸如汽车、飞机、船舶、模具 等非常复杂的物体。
并且，由于表面模型比线框模型提供了形体更多的几 何信息，因而还可实现消隐、生成明暗图、计算表面 积、生成表面数控刀具轨迹及有限元网格等。
计算机图形学
缺点
操作复杂，需具备一定的曲面造型知识。 由于缺乏面与体的关系，不能区别体内与体外， 不能指出哪里是物体的内部与外部信息，
因此，表面模型仅适用于描述物体的外壳。
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7.3.3 构造实体几何法（CSG） 1、正则集合运算
（1）定义 对两个实体进行普通的布尔运算产生的结果并不一定 是实体。
为此，我们不使用普通布尔运算，而是采用正则布尔 运算。正则化运算符可以分别用∪*，∩*和－*表示。定义 这些运算符后，对实体进行布尔运算时总是产生实体。
计算机图形学
计算机图形学
小结
由于计算机辅助设计和动画技术的飞速发展，在传统的 几何造型技术得到了广泛应用的同时，其它造型技术正
在迅速兴起和发展。其特点是不断拓宽造型技术的覆盖
域，由规则形体发展到不规则形体，而形体的表示方法 则不断从低层向高层发展，以尽可能减少用户的负担， 将更多工作交给计算机去做，也更便于与应用系统相结 合。
计算机图形学
7.2 几何造型系统三种模型
3、实体模型 反映物体三维形貌，明确定义表面哪一侧存在实体。
实体表示模型
实体模型的优点： （1）完整定义了立体图形，能区分内外部； （2）能提供清晰的剖面图； （3）能准确计算质量特征和有限元网格； （4）方便机械运动的模拟。
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7.3 实体模型的构造
计算机图形学
7.3.5 分解表示法（D-rep） 先讨论四叉树再讨论八叉树。
1、四叉树
四叉树处理图形基本思想：假定图形由N ×N个像素构成， 且 N＝ 2m。将图形四等分，划分后可能出现三种情况： （1）图形不占区域：白色区域，不必再划分； （2）图形全占区域：黑色区域，不必再划分；
（3）不一致，继续划分。
计算机图形学
2、表面模型
3、实体模型
7.2 几何造型系统三种模型 1、 线框模型 最早表示形体模型，用线框表示物体，如图。
线框模型的数据结构
计算机图形学
线框模型的优缺点
优点: 构造模型时操作简便，处理速度快且占 用内存少。 特别适用于设计构思、建立 设计图的总体空间位置关系及图形的动态 交互显示。
计算机图形学
下面考察正则集合运算C＝AB。
对于形体A，令bA表示A的边界点集，iA表示A的内部点集 ，由前面定义则有：
A=bA ∪ iA 同理，对形体B则有：
B=bB ∪ iB
计算机图形学
A∩*B的边界
如图所示，A的边界bA可分为在B内、在B上和B外三种可能， 分别表示bA∩ib、bA∩bB和bA∩cB，其中cB表示位于形体 B外的点集合。同理，bB也可分为bB∩iA、bB∩bA和bB∩cA 三部分，其中bB∩bA＝bA∩bB。由点集求交可知，A、B 的边界位于对方体内的部分组成 C的部分边界，A、B分别 位于对方体外的部分边界不在 C的边界上，也就是说 bA∩iB和bB ∩ iA组成C的部分边界，另外C的部分边界则由 图可以看出是由bA∩bB∩k（iA∩iB）组成。
构造实体几何法是当前许多CAD／CAM系统采用的 表示三维形体的一种方法。CSG用系统定义的简单几何形 体（体素）经正则集合运算，构造出所需要的复杂实体。 通过下图大家可以很容易地发现这种方法的基本思想： 一个三维形体可以通过一些基本形体（这里是两个长方体 和一个圆柱体）的并、差等集合运算来得到正确表示。
计算机图形学
7.2 几何造型系统三种模型
1、线框模型
由构成物体的一组顶点和 边来表示物体的几何形状 ，其中边可以是直线，也 可以是曲线，如圆弧、二 次曲线、B 样条曲线和 Bezier曲线。 表面模型是以物体的各个 表面为单位来表示其形体 特征的，在线框模型的基 础上增加了有关面和边的 几何信息、拓扑信息。 实体模型的核心问题是采用什 么方法来表示实体。与线框模 型和表面模型的根本区别在于 ：实体模型不仅记录了全部几 何信息，而且记录了全部点、 线、面、体的拓扑信息。
计算机图形学
正则集合运算
故
b（A∩*B）=（bA∩iB）∪（bB∩iA）∪（bA∩bB∩k(iA∩iB））
同理可得： b（A∪*B）=（bA∩cB）∪（bB∩cA）∪（bA∩bB∩k(cA∩cB)）
b（A－*B）=（bA∩cB）∪（bB∩iA）∪（bA∩bB∩k(iA∩cB)）
计算机图形学
2、构造实体几何法（CSG法）
计算机图形学
小结
除上述四种实体造型方法以外，还有其它一些方法，如 基本体素表示法、空间位置枚举法、描述性造型和基于
物理的造型。
对于不规则形体的造型，例如山、水、树、草、云、烟 等自然界丰富多彩的物体，不能用欧氏几何加以描述， 可用分形理论的随机插值模型、粒子系统模型和基于文 法模型等对这些不规则形体进行造型。
画、边、点之间的拓扑关系
计算机图形学
7.3.2 边界表示（B-rep）法
2、形体边界表示法 （1）分层表示 将形体面、边、顶点的信息分别记录，建立层与层 之间的关系，其信息包括几何信息和拓扑信息。 （2）翼边结构 以边为核心来组织形体数据
（3）优缺点 优点：可直接用几何体面、边、点来定义数据， 方便图形绘制。 缺点：数据结构复杂，存储量大。
CSG方法示意图
计算机图形学
7.3.4 扫描法
通过在空间移动的几何集合，扫描出一个实体。 a、要定义移动物体，如曲线、曲面或实体 b、要定义移动轨迹 1、平移扫描法 一个二维图形沿着轨迹作直线移动而形成三维图形，这种方 法称为平移扫描。如图，扫描线是一条直线，扫描得到曲面。
平移扫描
旋转扫描
2、旋转扫描法 绕某以轴线旋转某一角度而形成实体。如图，扫描体是一条 曲线，旋转轴是一直线，旋转后得到一个曲面。
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7.3.5 分解表示法（D-rep） 分解表示法是把一个几何体有规律地分解为有限个单元， 这种方法不仅可以表示平面的几何体，也可以表示复杂的 包括内部有孔的几何体。 D-rep法主要有：八叉树法、细胞分解法、空间堆叠法等。 D-rep法便于进行几何体的并、交、差运算，容易计算几 何体几何特性。但这种方法不是一种精确的表示法，其近 似程度完全取决于分割精度，与几何形体的复杂程度无关 。
7.3.3 构造实体几何法（CSG）
1、正则集合运算
任意一个三维形体都可用三维欧氏空间中点的集合表示，
而三维空间中任意点的集合却不一定对应一个形体，因此 必须定义正则集。 数学上正则集的定义是：
S=kiS
给定一个集合S,如果此集合内部闭包与所给原集合相等， 则原集合称为正则集。
式中k表示闭包，i表示内部，S表示集合。该式定义是：
7.3.1 概述
目前常用实体造型方法有：边界方法、构造实体几何法、
扫描法和分解表示法。 1、形体描述 在计算机内，通常用体、面、环、边、顶点五 个层次来 描述。 （1）体：由封闭表面围成，如 右图。 （2）面：由外环和内环所定范 (a)正则形体 (b) 非正则形体 围，如图 (a) 有六个环。 图8.5 正则形体和非正则形体 （3）环：有序、有向边组成的 面上封闭边界，如图 (a) V5V6V7V8 （4）边：环的组成元素 （5）顶点：边端点或曲线的型值点
UnigraphicsⅡ、 ACIS、Parasolid等。
国内：高华、金银花、管道CAD、 制造工程师 （ME）、
NPU-CAD/CAM系统
计算机图形学
第七章 几何造型简介
7.1 概述 7.1.3 几何造型应用 工业上应用：1、航空工业：飞机设计 2、汽车工业：车身设计 3、船舶工业 4、模具设计 医学上应用：1、CT图象三维模型 2、模拟解剖 建筑工业： 1、建筑图自动绘制 2、物理特性计算，如：计算重心、体积 3、结构有限元分析 服装业应用、动画制作、人体造型、计算机辅助教学