9.7 方向导数与梯度
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9.7 方向导数与梯度(新)
， 不 存 在.
同理，
( 0 ,0 )
不 存 在 ， 故 两 个 偏 导 数 均 不 存 在.
沿 任 意 方 向 l { x , y}的 方 向 导 数 z l
( 0 ,0 )
lim
f ( x , y ) f (0 , 0 )
(1) 0， 即 ， 向 量 e l 与 梯 度 g r a d f ( x 0 , y 0 ) 方 向 相 同 时 ， z f ( x, y ) 在 此 方 向 的 方 向 导 数 达 到 最 大 值 ， 且 最 大 值 为 | grad f ( x0 , y0 ) | .
12
( 2 ) ， 即 ， 向 量 el 与 梯 度 g r a d f ( x 0 , y 0 ) 方 向 相 反 时 ， z f ( x, y) 在 此 方 向 的 方 向 导 数 达 到 最 小 值 ， 且 最 小 值 为 | g ra d f ( x0 , y0 ) | .
2 2 2
,
( x) ( y ) ( z ) ，
设 方 向 l 的 方 向 角 为 , , ， x co s ， y co s ， z co s .
同 理 ： 当 f ( x, y, z ) 在 此 点 可 微 时 ， 则 在 该 点 沿 任 意 方 向 l的 方 向 导 数 都 存 在 ， 且 f l f x co s f y co s f z co s .
3 4
或
7 4
.
15
梯度的概念可以推广到三元函数
三 元 函 数 u f ( x, y, z ) 在 空 间 区 域 G 内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则 对 于 每 一 点 P ( x , y , z ) G， 都 可 定 义 一 个 向 量 (梯 度 )
9.7 方向导数与梯度(新)
解：射线l的方向取 PQ (1, 1)，
则 cos 1 ，cos 1 .
2
2
又 z e2y 1； z 2xe2y 2,
x (1,0)
(1,0)
y (1,0)
(1,0)
方向导数 z 1 1 2( 1 ) 2 .
l
2
2
2
7
推广到三元函数方向导数的定义
f lim f (x x, y y, z z) f (x, y, z) ,
| grad f (x, y) |
f x
2
f y
2
.
14
例 3 求 f (x, y) x2 xy y2 在(1,1)沿与 x 轴方向夹角为
的方向射线l 的方向导数. 并问在怎样的方向上此方
向导数有最大值、最小值以及等于零？
解 grad f (1,1) f i f j 1 i 1 j
grad f (x, y, z) f i f j f k x y z
类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得 最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.
16
例 4 求u x2 2y2 3z2 3x 2y 在点(1,1, 2)处的 梯度，并问在哪些点处梯度为零？ 解 由梯度计算公式得
grad u(x, y, z) u i u j u k x y z
(2x 3)i (4 y 2) j 6zk
故，grad u(1,1, 2) 5i 2 j 12k . 在点( 3 , 1 , 0)处梯度为0.
22
17
习题9 7 P108
2, 3, 7, 8, 10
18
思考题：讨论 z f (x, y) x2 y2 在点(0, 0)处的偏导数 是否存在？方向导数是否存在？
第七节 方向导数与梯度9-7
第七节 方向导数与梯度
教学内容 1 方向导数 2 梯度
本节考研要求 理解方向导数与梯度的概念，并掌握其
计算方法
第九章 第七节
1
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的
最大值．梯度的模为
| gradf ( x, y) |
f x
2
f y
2
.
gradf P
gradf
当f 不为零时，
x 轴到梯度x的转角的正切为 tan
f y ． f
x
2. 梯度的几何意义
x 0 P0 y
x
t
.x
y
第九章 第七节
z = f (x,y)
Q
N
f
y
P
l
9
例 1 求函数 z xe2 y 在点P(1,0) 处沿从点P(1,0)
到点Q(2,1) 的方向的方向导数.
解
这里方向l 即为PQ {1,1},
故x
轴到方向l
的转角
.
4
z e2 y 1;
6x2 8 y2 14. z2
P
故
u n P
(ucos
x
ucos
y
u cos ) 11.
z
7
P
第九章 第七节
教学内容 1 方向导数 2 梯度
本节考研要求 理解方向导数与梯度的概念，并掌握其
计算方法
第九章 第七节
1
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的
最大值．梯度的模为
| gradf ( x, y) |
f x
2
f y
2
.
gradf P
gradf
当f 不为零时，
x 轴到梯度x的转角的正切为 tan
f y ． f
x
2. 梯度的几何意义
x 0 P0 y
x
t
.x
y
第九章 第七节
z = f (x,y)
Q
N
f
y
P
l
9
例 1 求函数 z xe2 y 在点P(1,0) 处沿从点P(1,0)
到点Q(2,1) 的方向的方向导数.
解
这里方向l 即为PQ {1,1},
故x
轴到方向l
的转角
.
4
z e2 y 1;
6x2 8 y2 14. z2
P
故
u n P
(ucos
x
ucos
y
u cos ) 11.
z
7
P
第九章 第七节
高等数学 第九章 第七节 方向导数与梯度
处的指向外侧的法向量，求函数
u
1 (6 x 2
8
1
y2 )2
在此处沿方向
n
的方向导数。
z
解 令 F(x , y , z) 2x2 3y2 z2 6
Fx P 4x P 4 , Fy P 6 y P 6 , Fz P 2z P 2
故 n (Fx , Fy , Fz ) (4 , 6 , 2)
O cos sin x
|PP0|t
lim
f ( x0
t cos
,
y0
t cos )
f ( x0
,
y0 )
t 0
t
依y 轴定正义向，函e2 数 (0f
(x , y) 在点 P 沿 x 轴正向
, 1)的方向导数分别是 fx
e1
,
(1 , 0)，
fy ；
沿 x 轴负向，y 轴负向的方向导数分别是 fx , f y 。
2
f f l x f f l x
三元函数 u f (x , y , z) 有类似的公式
f
f
cos f
cos f
cos
l x
y
z
第九章 第七节
8
方向导数的物理意义：
函数 z=f (x , y) 在点 P0 处沿方向 l 的变化率；
z M
t
方向导数的几何意义： 曲面 z=f (x , y) 在点 M 处
第九章 第七节
22
下面我们介绍数量场与向量场的概念。 如果对于空间区域 G 内的任一点 M ，都有一个确定 的数量 f (M) ，则称在这空间区域 G 内确定了一个数 量场。一个数量场可用一个数量函数 f (M) 确定。如 果与点 M 相对应的是一个向量 F(M) ，则称在这空间 区域 G 内确定了一个向量场。一个向量场可用一个向 量值函数 F(M) 来确定， 其中 P(M) , Q(M) , R(M) 是点 M 的数量函数。
9.7 方向导数与梯度
是否存在？
定义 函数的增量 f ( x x , y y ) f ( x , y ) 与
2 2 PP 两点间的距离 ( x ) ( y ) 之比值，
当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存 在， 则称这极限为函数在点P 沿方向 l 的方向导数．
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) 记为 lim . l 0 x 轴正向e1 {1,0} 、 P 沿着 依定义， 函数 f ( x , y ) 在点 y 轴正向e 2 {0,1} 的方向导数分别为 f x , f y ；
n 42 62 22 2 14,
方向余弦为
2 3 1 cos , cos , cos g . 14 14 14
u 6x x P z 6 x 2 8 y 2 u 8y y P z 6 x 2 8 y 2
P
6 ; 14
8 ; 14
P
l
P0
x
O 证明：∵函数zf (x，y)在点P (x，y)是可微分的 f f xx, y y ) f ( x, y ) f x f y o( ) x y f f ( x x, y y ) f ( x, y ) f f lim cos sin x y l 0
沿着 x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
方向导数与偏导数的关系：
如果函数zf (x，y)在点P (x，y)是可微分的，那么函 y 数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在，且有 定理
f f f = cos sin ， y l x
其中为x 轴到方向l 的转角．
高等数学@9.7 方向导数与梯度
y
cos
f l
fx cos
f y cos
fz cos
= ( fx , fy , fz ) e
梯度
二、 梯 度
定义 设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶
连续偏导数，对D内任意点(x,y)
称向量
f
i
f
j
x y
为z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度,
向量为 e (cos ,cos)
向量为 e (cos ,cos,cos )
则：f(x,y)在点P沿l 方向 则： f(x,y,z)在点P沿l 方
的方向导数:
向的方向导数:
f l
=
fx cos f ( fx , fy ) e
y
cos
= grad f(x,y) e
若极限 lim f ( x0 t cos , y0 t cos) f ( x0, y0 ) 存在，
t0
t
称此极限为函数z=f(x,y)在点P0沿方向l的方向导数，
记为: f l ( x0 , y0 )
f lim f ( x t cos , y t cos) f ( x, y)
u 8 ，
y (1,1,1)
14
cos 3 , 14
u 14， x (1,1,1)
cos 1 . 14
u 6 2 8 3 1 14 11.
n (1,1,1) 14 14 14 14 14
7
(1)二元函数
(2)三元函数
设z=f(x,y)在点P(x,y)可微， 设z=f(x,y,z)在P(x,y,z)可微，
高等数学9-7 方向导数和梯度
在点 (0, 0) 可偏导， 且 fx(0, 0) fy(0, 0) 0, 但不可微，
故不能利用定理1中的公式计算出方向导数，即
f l
fx(0, 0)
2 2
f y(0, 0)
2 0. 2
(0,0)
（实际上 f 不存在）。 因此例2表明定理1 l
(0,0)
条件中的“可微”不可减弱为“可偏导”。
方向导数.
2021/1/5
定理2: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,且有
f f cos f cos f cos
l x
y
z
例4.求
在点 P(1,1,1)处沿方向 l {2, 1,3}
的方向导数 .
解: 由 l {2 , 1,3} 得cos 2 ,cos 1 ,cos 3 ,
y p
z p
p
所以最大值为 gradu 12 12 02 2 ． p
备用题 1. 函数
处的梯度
2 (1, 2, 2) 9
在点
(92考研)
解:
则
注意 x , y , z 具有轮换对称性
2 (1, 2, 2) 9
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2. 函数 u ln(x y2 z2 )在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是
1 2
.(96考研)
提示:
则
{cos , cos , cos }
ln(x 1)
ln(1 y2 1)
1 2
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内容小结
高等数学：9-7方向导数和梯度
20-9
例 9.7.1 求 f (x, y)=x2 y2 在点（1, 2）处沿点（1, 2）到 2,2 3 的方向
l 的方向导数．
解 由题设，得方向l = {1, 3}，其单位向量l0 { 1 , 3} {1 , 3} . l l 22
故
cos 1 ,sin
2
3 2
，又
fx(1, 2)
也记为gradf .
前面对二元函数梯度讨论的重要结论对三元函数梯度仍成立.
20-17
例 9.7.4 设在一金属球内任意一点处的温度T 与该点到球心（设为坐标
原点）的距离（单位: m）成反比，且已知在点1,2,2 处的温度为 120oC .
(1) 证明球内任一点处温度T 升高最快的方向总是指向原点的方向；
点 P0 (x0, y0 ) 处沿任一方向l( 0) 的方向导数都存在，且
f l
( x0 , y0 )
fx(x0, y0 ) cos
f y(x0, y0 )sin
．
（9.7.5）
其中 为 l 对 x 轴正向的转角．
证 由于 f (x, y)在点 P0 (x0, y0 ) 处可微，因此 f (x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 处的
20-2
设二元函数 z f (x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 的某邻域U (P0 ) 内有定义，l
是 xOy 坐标面上的一个非零向量，设 l 对 x 轴正向的转角为 （图
9-7-1），则与l 同向单位向量为
l0 {cos,sin}
（9.7.1）
以点 P0 为起点，沿l 方向作射线 L， 则 L 的参数方程为
为 f (x, y)的梯度，有时也记为gradf . 如果三元函数u f (x, y, z) 在点(x, y, z) 处偏导数存在，同样可
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z
与法线方程. 解: 令 法向量
n
即 法线方程
z n ( y, x, e 1)
(2,1,0)
(1, 2, 0)
切平面方程
( x 2) 2( y 1) 0
x 2 y 1 z 0 1 2 0
第6节内容回顾
2) 显式情况. 空间光滑曲面 法向量
n ( f x , f y , 1)
z (1,2) cos y
例3. 设 n 是曲面 指向外侧的法向量, 求函数
方向 n 的方向导数. 解:
在点 P(1, 1, 1 )处
在点P 处沿
n (4 x , 6 y , 2 z ) P 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cos , cos , cos 14 14 14 u 6x 6 而 2 2 x P z 6x 8 y P 14
当 l 0 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值： f G max l
这说明 G : 方向：f 变化率最大的方向
模 : f 的最大变化率之值
1. 定义 向量 记作grad
G
称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),
f ,即
f f f , , x y z
同样可定义二元函数
在点 P( x, y ) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
例4、u f ( x, y, z) x 2 y 2 z 2 , 求gradf (1, 1, 2)
解： gradf( x, y, z) ( f x , f y , f z )
( 2 x, 2 y , 2 z )
即
16 x 9 y z 24 0
第6节内容回顾
曲面 在点
2. 曲面的切平面与法线 1) 隐式情况 . 空间光滑曲面
的法向量
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切平面方程
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
P
证明: 由函数 f ( x, y, z ) 在点 P 可微 , 得 f f f f x y z o ( ) x y z
P( x, y, z )
故
o ( )
f f f f f lim cos cos cos l 0 x y z
推广：三元函数的方向导数
定义: 若函数 f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处
l
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限: f lim
0
P
P( x, y, z )
f ( x x, y y, z z ) f ( x, y, z ) 记作 f lim l 0
所得曲线在xoy面上投影如图
y f ( x, y) c2
P
f ( x, y) c1
gradf ( x , y )
梯度为等值线上的法向量
f ( x, y ) c
等值线
o
x
等值线的画法
播放
例如,
函数 z sin xy 图形及其等高线图形．
4、物理意义
数量场 (数性函数)
解: 设所求点为 法向量 n ( z
0
, z y , 1) ( y , x , 1) n ( x , y , z ) ( y0 , x0 , 1)
x
0 0
法线垂直于平面可知以上向量平行，即 y0 x0 1 3 1 因此得：x 3, y 1, z x y 3 1
n1 (2 x 3 , 2 y , 2 z ) (1,1,1) (1, 2 , 2 )
n 2 (2 , 3 , 5 )
因此切线的方向向量为 l n1 n 2 (16 , 9 , 1) x 1 y 1 z 1 由此得切线:
16
9
1
法平面: 16( x 1) 9( y 1) ( z 1) 0
0 0 0 0 0
又平面x 3 y z 9 0的法向量为（1,3,1）
x 3 y 1 z 3 法线方程为： 1 3 1
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
第九章
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有 一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点 处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2) 处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才 能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行．
2. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u ) C grad u (4) grad ( u v ) u grad v v grad u
3. 梯度的几何意义 在几何上 z f ( x , y ) 表示一个曲面
曲面被平面 z
c
z f ( x, y) , 所截得 z c
P
P ( x, y )
f 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. l
定理: 若函数 z f ( x, y) 在点 P( x, y) 处可微 , 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
f f f cos cos l x y
l
证明: 由函数 z f ( x, y) 在点 P 可微 , 得
法线方程 x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
2、求曲面
e z xy 3在点(2,1,0) 的切平面
f f • 当 l 与 x 轴同向 0 , 时, 有 2 l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 l x 2
f f • 当 l 与 y轴反向 , 时, 有 l y 2
(t0 )( x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
x 2 y 2 z 2 3x 0 练习1. 求曲线 在点(1,1,1) 的切线 2 x 3 y 5 z 4 0 与法平面. 解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为
例1. 求函数
3) 的方向导数 .
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
解: 向量 l 的方向余弦为
u l
P
2 2x yz 14
3 x y 14
2
例2 : 求z x 2 y 2在P(1, 2)处沿l ： P到N (5,5)的方向导数 解： l PN (4,3) | l | 5
同理得
1 11 6 2 8 3 14 1 14 7
思考题： 讨论函数 z f ( x , y ) x y 在 (0,0) 点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
2 2
z 分析： x
( 0,0 )
z 同理： y
沿任意方向l { x , y , z }的方向导数,
故沿任意方向的方向导数均存在且相等.
二、梯度
f f f f cos cos cos 方向导数公式 l x y z
f f f , , 令向量 G x y z
l 0 (cos , cos , cos )
gradf (1,1,2) (2,2,4)
2i 2 j 4k
例5、函数u xyz在点P(1,1, 2)处 沿什么方向的方向导数最大 ? 值为多少 ?
解： gradu (ux , u y , uz )
( yz, xz, xy)
所求方向为： m ( yz , xz , xy ) (1,1,2) (2, 2,1) 所求值为： | m | 3.
第6节内容回顾
x (t ) 1) 参数式情况. 空间光滑曲线 : y (t ) z (t ) 切向量 T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
切线方程 法平面方程 1. 空间曲线的切线与法平面
x x0 y y0 z z0 (t0 ) (t0 ) (t0 )
| y | 故两个偏导数均不存在. ( 0 , 0 ) lim y 0 y
| x | f ( x ,0) f (0,0) lim lim 不存在 x 0 x 0 x x
z l
( 0,0 )
2 2 ( x ) ( y ) f ( x , y ) f (0,0) lim 1 lim 2 2 0 0 ( x ) ( y )
练习6：
x 2 y 2 z 2 3x 0 1、求曲线 在点(1,1,1) 的切线 2 x 3 y 5 z 4 0
与法平面方程.
2、求曲面
e z xy 3在点(2,1,0) 的切平面
z
与法线方程.
3、在曲面z xy上求一点，使这点处的法线 垂直于平面x 3 y z 9 0, 并写出该法线方程。
切平面方程
z z0 f x ( x0 , y0 ) ( x x0 ) f y ( x0 , y0 ) ( y y0 )
与法线方程. 解: 令 法向量
n
即 法线方程
z n ( y, x, e 1)
(2,1,0)
(1, 2, 0)
切平面方程
( x 2) 2( y 1) 0
x 2 y 1 z 0 1 2 0
第6节内容回顾
2) 显式情况. 空间光滑曲面 法向量
n ( f x , f y , 1)
z (1,2) cos y
例3. 设 n 是曲面 指向外侧的法向量, 求函数
方向 n 的方向导数. 解:
在点 P(1, 1, 1 )处
在点P 处沿
n (4 x , 6 y , 2 z ) P 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cos , cos , cos 14 14 14 u 6x 6 而 2 2 x P z 6x 8 y P 14
当 l 0 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值： f G max l
这说明 G : 方向：f 变化率最大的方向
模 : f 的最大变化率之值
1. 定义 向量 记作grad
G
称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),
f ,即
f f f , , x y z
同样可定义二元函数
在点 P( x, y ) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
例4、u f ( x, y, z) x 2 y 2 z 2 , 求gradf (1, 1, 2)
解： gradf( x, y, z) ( f x , f y , f z )
( 2 x, 2 y , 2 z )
即
16 x 9 y z 24 0
第6节内容回顾
曲面 在点
2. 曲面的切平面与法线 1) 隐式情况 . 空间光滑曲面
的法向量
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切平面方程
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
P
证明: 由函数 f ( x, y, z ) 在点 P 可微 , 得 f f f f x y z o ( ) x y z
P( x, y, z )
故
o ( )
f f f f f lim cos cos cos l 0 x y z
推广：三元函数的方向导数
定义: 若函数 f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处
l
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限: f lim
0
P
P( x, y, z )
f ( x x, y y, z z ) f ( x, y, z ) 记作 f lim l 0
所得曲线在xoy面上投影如图
y f ( x, y) c2
P
f ( x, y) c1
gradf ( x , y )
梯度为等值线上的法向量
f ( x, y ) c
等值线
o
x
等值线的画法
播放
例如,
函数 z sin xy 图形及其等高线图形．
4、物理意义
数量场 (数性函数)
解: 设所求点为 法向量 n ( z
0
, z y , 1) ( y , x , 1) n ( x , y , z ) ( y0 , x0 , 1)
x
0 0
法线垂直于平面可知以上向量平行，即 y0 x0 1 3 1 因此得：x 3, y 1, z x y 3 1
n1 (2 x 3 , 2 y , 2 z ) (1,1,1) (1, 2 , 2 )
n 2 (2 , 3 , 5 )
因此切线的方向向量为 l n1 n 2 (16 , 9 , 1) x 1 y 1 z 1 由此得切线:
16
9
1
法平面: 16( x 1) 9( y 1) ( z 1) 0
0 0 0 0 0
又平面x 3 y z 9 0的法向量为（1,3,1）
x 3 y 1 z 3 法线方程为： 1 3 1
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
第九章
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有 一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点 处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2) 处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才 能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行．
2. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u ) C grad u (4) grad ( u v ) u grad v v grad u
3. 梯度的几何意义 在几何上 z f ( x , y ) 表示一个曲面
曲面被平面 z
c
z f ( x, y) , 所截得 z c
P
P ( x, y )
f 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. l
定理: 若函数 z f ( x, y) 在点 P( x, y) 处可微 , 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
f f f cos cos l x y
l
证明: 由函数 z f ( x, y) 在点 P 可微 , 得
法线方程 x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
2、求曲面
e z xy 3在点(2,1,0) 的切平面
f f • 当 l 与 x 轴同向 0 , 时, 有 2 l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 l x 2
f f • 当 l 与 y轴反向 , 时, 有 l y 2
(t0 )( x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0
x 2 y 2 z 2 3x 0 练习1. 求曲线 在点(1,1,1) 的切线 2 x 3 y 5 z 4 0 与法平面. 解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为
例1. 求函数
3) 的方向导数 .
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
解: 向量 l 的方向余弦为
u l
P
2 2x yz 14
3 x y 14
2
例2 : 求z x 2 y 2在P(1, 2)处沿l ： P到N (5,5)的方向导数 解： l PN (4,3) | l | 5
同理得
1 11 6 2 8 3 14 1 14 7
思考题： 讨论函数 z f ( x , y ) x y 在 (0,0) 点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
2 2
z 分析： x
( 0,0 )
z 同理： y
沿任意方向l { x , y , z }的方向导数,
故沿任意方向的方向导数均存在且相等.
二、梯度
f f f f cos cos cos 方向导数公式 l x y z
f f f , , 令向量 G x y z
l 0 (cos , cos , cos )
gradf (1,1,2) (2,2,4)
2i 2 j 4k
例5、函数u xyz在点P(1,1, 2)处 沿什么方向的方向导数最大 ? 值为多少 ?
解： gradu (ux , u y , uz )
( yz, xz, xy)
所求方向为： m ( yz , xz , xy ) (1,1,2) (2, 2,1) 所求值为： | m | 3.
第6节内容回顾
x (t ) 1) 参数式情况. 空间光滑曲线 : y (t ) z (t ) 切向量 T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
切线方程 法平面方程 1. 空间曲线的切线与法平面
x x0 y y0 z z0 (t0 ) (t0 ) (t0 )
| y | 故两个偏导数均不存在. ( 0 , 0 ) lim y 0 y
| x | f ( x ,0) f (0,0) lim lim 不存在 x 0 x 0 x x
z l
( 0,0 )
2 2 ( x ) ( y ) f ( x , y ) f (0,0) lim 1 lim 2 2 0 0 ( x ) ( y )
练习6：
x 2 y 2 z 2 3x 0 1、求曲线 在点(1,1,1) 的切线 2 x 3 y 5 z 4 0
与法平面方程.
2、求曲面
e z xy 3在点(2,1,0) 的切平面
z
与法线方程.
3、在曲面z xy上求一点，使这点处的法线 垂直于平面x 3 y z 9 0, 并写出该法线方程。
切平面方程
z z0 f x ( x0 , y0 ) ( x x0 ) f y ( x0 , y0 ) ( y y0 )