最新高考物理双基突破：专题32-电磁感应中的“单杆”模型(精讲)

单杆模型是电磁感应中常见的物理模型，此类题目所给的物理情景一般是导体棒垂直切割磁感线，在安培力、重力、拉力作用下的变加速直线运动或匀速直线运动，所涉及的知识有牛顿运动定律、功能关系、能量守恒定律等。

1．此类题目的分析要抓住三点：（1）杆的稳定状态一般是匀速运动（达到最大速度或最小速度，此时合力为零）。

（2）整个电路产生的电能等于克服安培力所做的功。

（3）电磁感应现象遵从能量守恒定律。

如图甲，导体棒ab 从磁场上方h 处自由释放，当进入磁场后，其速度随时间的可能变化情况有三种，如图乙，全过程其能量转化情况是重力势能转化为动能和电能，电能再进一步转化为导体棒和电阻R 的内能。

2．单杆模型中常见的情况及处理方法： （1）单杆水平式开始时a ＝Fm ，杆ab 速度v ⇒感开始时a ＝Fm ，杆ab 速度v ⇒感应电动势E ＝BLv，经过Δt势E ＝BLv ，电流I ＝ER ＝Blv R ，安培力F ＝BIL ＝B 2L 2vR，做减速运动：v ⇒F ⇒a ，当v ＝0时，F ＝0，a ＝0，杆保持静止此时a ＝BLEmr ，杆ab 速度v ⇒感应电动势BLv ⇒I ⇒安培力F ＝BIL ⇒加速度a ，当E感＝E 时，v 最大，且v m ＝E BL应电动势E ＝BLv ⇒I ⇒安培力F 安＝BIL ，由F －F安＝ma 知a ，当a ＝0时，v 最大，v m ＝FRB 2L 2【题1】如图所示，间距为L ，电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端用一阻值为R 的电阻连接，导轨上横跨一根质量为m ，电阻也为R 的金属棒，金属棒与导轨接触良好。

整个装置处于竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中．现使金属棒以初速度v 0沿导轨向右运动，若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为q 。

下列说法正确的是A ．金属棒在导轨上做匀减速运动B ．整个过程中电阻R 上产生的焦耳热为mv 202C ．整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为qRBLD ．整个过程中金属棒克服安培力做功为mv 202【答案】D【题2】如图所示，足够长的平行金属导轨内有垂直纸面向里的匀强磁场，金属杆ab 与导轨垂直且接触良好，导轨右端与电路连接．已知导轨相距为L ，磁场的磁感应强度为B ，R 1、R 2和ab 杆的电阻值均为r ，其余电阻不计，板间距为d 、板长为4d ，重力加速度为g ，不计空气阻力．如果ab 杆以某一速度向左匀速运动时，沿两板中心线水平射入质量为m 、带电荷量为＋q 的微粒恰能沿两板中心线射出，如果ab 杆以同样大小的速度向右匀速运动时，该微粒将射到B 板距其左端为d 的C 处。

（1）求ab 杆匀速运动的速度大小v ； （2）求微粒水平射入两板时的速度大小v 0；（3）如果以v 0沿中心线射入的上述微粒能够从两板间射出，试讨论ab 杆向左匀速运动的速度范围。

【答案】（1）3mgd qBL （2）2gd （3）21mgd 8qBL <v <27mgd8qBL【解析】（1）设ab 杆匀速运动的速度为v ，则ab 杆产生的电动势为E ＝BLv ① 两板间的电压为U 0＝13E ＝BLv3②ab 杆向左匀速运动时：qU 0d ＝mg ③由①②③式得：v ＝3mgdqBL ④（2）ab 杆向右匀速运动时，设带电微粒射入两极板时的速度为v 0，向下运动的加速度为a ，经（3）要使带电微粒能从两板间射出，设它在竖直方向运动的加速度为a 1、时间为t 1，应有 d2>12a 1t 21⑨ t 1＝4dv 0⑩由⑧⑨⑩得：a 1<g8⑪若a 1的方向向上，设ab 杆运动的速度为v 1，两板电压为：U 1＝13BLv 1⑫又有：qU 1d－mg ＝ma 1⑬联立⑪⑫⑬式得：v 1<27mgd8qBL⑭若a 1的方向向下，设ab 杆的运动速度为v 2，两板电压为：U 2＝13BLv 2⑮又有：mg －qU 2d ＝ma 1⑯由⑪⑮⑯式得：v 2>21mgd8qBL⑰，所以ab 杆向左匀速运动时速度的大小范围为21mgd 8qBL <v <27mgd8qBL ⑱方法技巧：巧用功能关系以及能量守恒思想1、在电磁感应现象中，当安培力是变力时，无法直接求安培力做的功，这时要用功能关系和能量守恒的观点来分析问题。

2、一个注意点：在应用能 量守恒观点解决电磁感应问题时，一定要分析清楚能量的转化情况，尤其要注意电能往往只是各种形式能转化的中介。

3．单棒导体切割磁感线一般运动过程4．收尾状态5．两种状态及处理方法【题7】相距L＝1.5 m的足够长金属导轨竖直放置，质量为m1＝1 kg的金属棒ab和质量为m2＝0.27 kg 的金属棒cd均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图（a）所示，虚线上方磁场方向垂直纸面向里，虚线下方磁场方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同。

ab棒光滑，cd棒与导轨间的动摩擦因数为μ＝0.75，两棒总电阻为1.8 Ω，导轨电阻不计。

ab棒在方向竖直向上，大小按图（b）所示规律变化的外力F作用下，从静止开始，沿导轨匀加速运动，同时cd棒也由静止释放。

（g取10 m/s2）（1）求出磁感应强度B 的大小和ab 棒加速度的大小；（2）已知在2s 内外力F 做功40J ，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热；（3）判断cd 棒将做怎样的运动，求出cd 棒达到最大速度所需的时间t 0，并在图（c ）中定性画出cd 棒所受摩擦力f cd 随时间变化的图象。

【答案】（1）1.2 T 1 m/s 2（2）18 J （3）2 s 图见解析（2）在2 s 末金属棒ab 的速率v t ＝at ＝2 m/s 所发生的位移s ＝12at 2＝2 m由动能定理得W F －m 1gs －W 安＝12m 1v 2t，又Q ＝W 安 联立以上方程，解得Q ＝W F －m 1gs －12m 1v 2t ＝40 J －1×10×2 J －12×1×22 J ＝18 J 。

（3）cd 棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当cd 棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；然后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动。

当cd 棒速度达到最大时，有m 2g ＝μF N ， 又F N ＝F 安，F 安＝BIL ，I ＝E R ＝BLv m R ，v m ＝at 0，整理解得t 0＝m 2gR μB 2L 2a ＝0.27×10×1.80.75×1.22×1.52×1s ＝2 s f cd 随时间变化的图象如图所示。

【题8】（多选）如图所示，MN 和PQ 是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L ，左侧为半径为R 的14光滑圆弧轨道，其最低位置与右侧水平粗糙平直导轨相切，右端接一个阻值为r 的定值电阻。

平直导轨部分的左边区域有宽度为d 、磁感应强度大小为B 、方向竖直的匀强磁场质量为m 、电阻也为r 的金属棒从圆弧轨道最高处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。

已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好。

则在此过程中，以下说法正确的是A ．金属棒在磁场中做匀减速运动B ．通过金属棒横截面的电荷量为BdLrC ．定值电阻r 产生的焦耳热为12mg （R －μd ）D ．金属棒运动到圆弧轨道最低位置时对轨道的压力为3mg 【答案】CD错误；通过金属棒横截面的电荷量为q ＝I Δt ，又I ＝E2r ，E ＝ΔΦΔt ，则得q ＝ΔΦ2r ＝BdL2r，故B 错误；根据能量守恒定律得：定值电阻r 产生的焦耳热为Q ＝12（mgR －μmgd ）＝12mg （R －μd ），故C 正确；设金属棒运动到圆弧轨道最低位置时速度为v ，金属棒在圆弧轨道运动过程中，根据机械能守恒定律得：mgR ＝12mv 2，在轨道最低位置时，由牛顿第二定律得：N －mg ＝m v 2R ，联立解得：轨道对金属棒的支持力为：N ＝3mg ，根据牛顿第三定律得金属棒对轨道的压力为：N ′＝N ＝3mg ，故D 正确。

【题9】如图甲所示，匀强磁场的磁感应强度B 为0.5 T ，其方向垂直于倾角θ为30°的斜面向上。

绝缘斜面上固定有“∧”形状的光滑金属导轨MPN （电阻忽略不计），MP 和NP 长度均为2.5 m ，MN 连线水平，长为3 m 。

以MN 中点O 为原点，OP 为x 轴建立一维坐标系Ox 。

一根粗细均匀的金属杆CD ，长度d 为3 m 、质量m 为1 kg 、电阻R 为0.3 Ω，在拉力F 的作用下，从MN 处以恒定速度v ＝1 m/s 在导轨上沿x 轴正向运动（金属杆与导轨接触良好）。

g 取10 m/s 2（1）求金属杆CD 运动过程中产生的感应电动势E 及运动到x ＝0.8 m 处电势差U CD ；（2）推导金属杆CD 从MN 处运动到P 点过程中拉力F 与位置坐标x 的关系式，并在图乙中画出F －x 关系图象；（3）求金属杆CD 从MN 处运动到P 点的全过程产生的焦耳热。

【答案】（1）1.5 V －0.6 V （2）F ＝12.5－3.75x （m ） 图象见解析（3）7.5 J（2）金属杆做匀速直线运动，故始终受力平衡，即F ＝mg sin θ＋BIl I ＝BlvR x所其中l ＝OP －x OP d ＝3 m －32x ，R x ＝l ×0.1 Ω/m代入可得F ＝12.5－3.75x （m ）（0≤x ≤2） 关系图象如下图所示所以F ＝mg sin θ＋B 2l 2vR x。