第二章 直线和圆的方程 专题测试(解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一

第二章 直线和圆的方程

专题测试

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）

1．（2020·福建高二学业考试）已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（ ） A ．－2 B ．－1

C ．0

D ．1

【答案】D

【解析】已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，因为12//l l ，所以1k =故选：D

2．（2020·洮南市第一中学高一月考）直线()()1:2140l a x a y -+++=与()2:190l a x ay ++-=互相垂直，则a 的值是（ ）. A ．-0.25 B ．1

C ．-1

D ．1或-1

【答案】D

【解析】当10a +=时，1a =-，此时14

:3

l x =

，2:9l y =-，显然两直线垂直， 当0a =时，此时1:240l x y -++=，2:9l x =，显然两直线不垂直， 当10a +≠且0a ≠时，因为12l l ⊥，所以()()()2110a a a a -+++=，解得：1a =，

综上可知：1a =或1-.故选D.

3．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）直线:l (1)230m x my m ---+=（m R ∈）过定点A ，则点A 的坐标为（ ） A ．(3,1)- B ．(3,1)

C ．(3,1)-

D ．(3,1)--

【答案】B

【解析】根据直线(1)230m x my m ---+=得()230m x y x ---+=， 故直线过定点为直线20x y --=和30x -+=的交点，

联立方程得20

30

x y x --=??

-+=?，解得31x y =??=? ，所以定点A 的坐标为()3,1A .故选：B. 4．（2020·广东高二期末）设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y -1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件,

【答案】C

【解析】若直线ax+y -1=0与直线x+ay+1=0平行，则21a =,且1

1a

-

≠解得1a =故选C 5．（2020·黑龙江高一期末）若曲线y

与直线y ＝k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3,14??

???

B ．3,4??

+∞

???

C ．（1，+∞）

D ．（1，3]

【答案】A

【解析】作出曲线y

的图像，

直线y ＝k （x ﹣2）+4恒过定点()2,4，

当直线与曲线相切时，原点到直线240kx y k --+=的距离等于2

2=，解得3

4

k =，

由图可知， ()

3401422k -<≤=--，故选：A 6．（2020·浙江柯城。衢州二中高三其他）已知直线x y t +=与圆()2

2

2

2x y t t

t R +=-∈有公共点，则

()4t t -的最大值为（ ）

A ．4

B ．

289

C ．

329

D ．

327

【答案】C

【解析】因为()222

2x y t t

t R +=-∈表示圆，所以220->t t ，解得02t <<，

因为直线x y t +=与圆()2

2

2

2x y t t

t R +=-∈有公共点，所以圆心到直线的距离d r ≤，

即

≤

403t ≤≤

，此时403

t ≤≤， 因为()()()2

24424=-=-+=--+f t t t t t t ，在40,3??????递增，所以()4t t -的最大值3432

9??= ???f .

故选：C

7．（2020·广东高一期末）若两平行直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=

则m +n ＝（ ） A ．0 B ．1

C ．1-

D ．2-

【答案】A

【解析】由直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=平行可得2n -=即2n =-， 则直线20,(0)x y m m ++=>与230x y +-=

=2m =或8m =-（舍去），所以()220m n +=+-=.故选：A.

8．（2020·北京市第五中学高三其他）过直线y ＝x 上的一点作圆22

(5)(1)2x y -+-=的两条切线l 1，l 2，当

直线l 1，l 2关于y ＝x 对称时，它们之间的夹角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°

【答案】C

【解析】如图所示，过圆心C 作CP 垂直直线y x =于点P ，直线,PA PB 分别与圆:C 2

2

(5)(1)2

x y -+-=相切，切点分别为,A B ，根据几何知识可知，直线12,l l 也关于直线CP 对称，所以直线12,l l 的夹角为APB ∠（或其补角）． 在Rt CBP

中，BC =

CP ==所以1

sin 2

BPC ∠=

，而BPC ∠为锐角，即有30BPC ∠=，

60APB ∠=．

故选：C ．

二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，每题5分，共20分）

9．（2020·江苏省苏州第十中学校高一期中）圆22

1:20x y x O +-=和圆22

2:240O x y x y ++-=的交点

为A ，B ，则有（ ）

A ．公共弦A

B 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=

C ．公共弦AB

D ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB

1+ 【答案】ABD

【解析】对于A ，由圆22

1:20x y x O +-=与圆22

2:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，

两式作差可得440x y -=，

即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，故A 正确；

对于B ，圆22

1:20x y x O +-=的圆心为()1,0，1AB k =，

则线段AB 中垂线斜率为1-，

即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-?-，整理可得10x y +-=，故B 正确； 对于C ，圆2

2

1:20x y x O +-=，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为

2

d =

=

1r =

所以AB ==，故C 不正确；

对于D ，P 为圆1O 上一动点，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为

2

d =

，半径1r =，即P 到直线AB 1，故D 正确.故选：ABD

10．（2020·江苏徐州.高一期末）已知直线12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=，则下列说法正确的

是（ ）

A ．若12l l //，则m =-1或m =3

B ．若12l l //，则m =3

C ．若12l l ⊥，则1

2m =- D ．若12l l ⊥，则12

m =

【答案】BD

【解析】直线12l l //，则3(2)0m m --=，解得3m =或1m =-，但1m =-时，两直线方程分别为

10x y --=，3330x y -++=即30x y --=，两直线重合，只有3m =时两直线平行，A 错，B 正确；

12l l ⊥，则230m m -+=，1

2

m =

，C 错，D 正确． 故选：BD ．

11．（2020·江苏扬州.高一期末）已知直线l 与圆22

:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中

点为()0,1M ，则实数a 的取值可为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【答案】AB

【解析】圆C 的标准方程为：()()2

2

125x y a ++-=-，故5a <. 又因为弦AB 的中点为()0,1M ，

故M 点在圆内，所以()()2

201125a ++-<-即3a <. 综上，3a <. 故选：AB.

12．（2020·江苏省江阴高级中学高一期中）下列说法正确的是（ ） A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)

B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2- C

10y ++=的倾斜角为60°

D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y += 【答案】ABD

【解析】32()y ax a a R =-+∈可化为()23y a x -=-，则直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)，故A 正确；

令0x =，则2y =-，即直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确；

10y ++=

可化为1y =-

，则该直线的斜率为，即倾斜角为120?，故C 错误；

设过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的斜率为k 因为直线230x y -+=的斜率为

1

2，所以112

k ?=-，解得2k =- 则过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的方程为22(1)y x -=-+，即20x y +=，故D 正确； 故选：ABD

第II 卷（非选择题）

三、填空题(每题5分，共20分）

13．（2020·湖南张家界。高一期末）圆C 的圆心为(21),-，且圆C 与直线3450x y --=相切，则圆C 的方程为_________________. 【答案】2

2

(2)(1)1x y -++=

【解析】圆C 的圆心为(2,1)-，与直线:3450l x y --=相切， 圆心到直线的距离等于半径，即

1r d ==

=，

∴圆C 的方程为22(2)(1)1x y -++=．

故答案为：2

2

(2)(1)1x y -++=．

14．（2020·勃利县高级中学高一期末）经过点P （2，1）作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，当△AOB 面积最小时，直线l 的方程为_____. 【答案】x +2y ﹣4＝0；

【解析】由题意可知，直线的斜率一定存在，故设直线方程y ﹣1＝k （x ﹣2），k ＜0， 令x ＝0可得，y ＝1﹣2k ，令y ＝0可得x ＝2﹣1

k

， 则11121222AOB

S

OA OB k k =?=?--＝()111

4444422

k k ??--+≥+= ???， 当且仅当﹣4k ＝﹣

1k

即k ＝﹣1

2时取等号，

此时直线方程y ﹣1＝﹣

1

2

（x ﹣2）,即x +2y ﹣4＝0． 故答案为：x +2y ﹣4＝0．

15．（2020·包头市田家炳中学高二期中）在圆22

420x y x y +-+=内，过点1,0（）M 的最短弦的弦长为_____；

【答案】【解析】圆2

2

420x y x y +-+=化简得：()()22

215x y -++=，

点M 在圆内部，记圆心为()2,1C -，

根据几何性质知过M 且与OM 垂直的弦最短，CM =

由垂径定理得弦长为==

故答案为：16．（2019·浙江拱墅。杭州四中高二期中）圆()()2

2

1:29C x m y -++=与圆()()2

2

2:14C x y m ++-=内切，则m 的值为______. 【答案】2-或1-

【解析】圆1C 的圆心为(),2m -，半径为13r =， 圆2C 的圆心为()1,m -，半径为22r =，

所以两圆的圆心距d =

1=，

解得2m =-或1m =-.故答案为：2-或1-. 四、解答题（17题10分，其余12分，共70分）

17．（2020·福建高二学业考试）已知圆C 的方程为()()2

2

215x y -+-=．

（1）写出圆心C 的坐标与半径长；

（2）若直线l 过点()0,1P ，试判断与圆C 的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）圆心C 的坐标为()2,1，半径长r =（2）相交，理由见解析．

【解析】（1）圆心C 的坐标为()2,1，半径长r =

（2）当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为0x =，与圆有2个交点； 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为1y kx =+， 将1y kx =+代入()()2

2

215x y -+-=整理，得(

)2

2

1410k x

x +--=，

因为210k +≠，且(

)2

16410k ?=++>恒成立，所以直线l 与圆C 相交．

综上所述，直线l 与圆C 相交．

18．（2020·勃利县高级中学高一期末）已知圆C ：（x +2）2+y 2＝5，直线l ：mx ﹣y +1+2m ＝0，m ∈R . （1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；

（2）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.

【答案】（1）相交，理由见解析；（2）()2

2

11224x y ??++-= ??

?

【解析】（1）直线l ：120mx y m -++=，也即()12y m x -=+， 故直线恒过定点()2,1-，

又()2

22215-++<，故点()2,1-在圆C 内，

此时直线l 一定与圆C 相交. （2）设点(),M x y ， 当直线AB 斜率存在时，1

2

AB y k x -=+， 又2MC y

k x =

+，1AB MC k k ?=-， 即

1122

y y

x x -?=-++， 化简可得：()()2

2

112,224x y x ??++-=≠- ??

?； 当直线AB 斜率不存在时，显然中点M 的坐标为()2,1-也满足上述方程.

故M 点的轨迹方程为：()2

2

11224x y ??++-= ??

?. 19．（2020·民勤县第一中学高一期末（理））已知圆()()22

:1225C x y -+-=和直线

()():211740l m x m y m +++--=.

（1）证明：不论 m 为何实数，直线l 都与圆 C 相交于两点； （2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时直线l 的方程；

（3）已知点P （

,x y ）在圆C 上，求2

2x y +的最大值.

【答案】（1）证明见解析；（2）250x y --=；（3）30+ 【解析】（1）因为()():211740l m x m y m +++--=

所以()()2740x y m x y +-++-=令27040x y x y +-=??+-=?解得3

1x y =??

=?

所以直线l 过定点()3,1.

而()()2

2

311225-+-<，即点()3,1在圆内部.

所以直线l 与恒交于两点.

（2）.过圆心()1,2与点()3,1的直线1l 的方程为1522

y x =-+， 被圆 C 截得的弦长最小时，直线l 必与直线1l 垂直， 所以直线l 的斜率2k =，

所以直线l 的方程为()123y x -=-，即250x y --=.

（3）因为2222

(0)(0)x y x y +-+-=，表示圆上的点(),x y 到()0,0的距离的平方，

因为圆心到原点的距离d =

所以2a 2m x 2)(530(+==+x y

20．（2020·广东高一期末）在平面直角坐标系中，直线x +y ＝0与圆C 相切，圆心C 的坐标为(1,-1)． （1）求圆C 的方程；

（2）设直线y ＝kx +2与圆C 没有公共点，求k 的取值范围；

（3）设直线y ＝x +m 与圆C 交于M ，N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值．

【答案】（1）2

2

()(11)9x y -++=；（2）30,4?

? ???

；（3

）1m =-±

【解析】（1

）∵直线0x y ++=与圆C 相切，且圆心C 的坐标为(1,1)-，

∴圆C

的半径3r =

=，

则圆C 的方程为2

2

()(11)9x y -++=； （2）∵直线y ＝kx +2与圆C 没有公共点， ∴点(1,1)C -

3>，解得3

04

k <<

， ∴k 的取值范围为30,4?? ???

；

（3）联立22

(1)(1)9

y x m

x y =+??-++=?，得2222270x mx m m +++-=， 由(

)

2

2

48270m m m ?=-+->

，解得22m --<<-+， 设()()1122,,,M x y N x y ，

则2121227

,2

m m x x m x x +-+=-=，

∵OM ON ⊥，∴12120OM ON x x y y ?=+=，

即()()()2

1212121220x x x m x m x x m x x m +++=+++=，

∴2270m m +-=

，解得1m =-±

∴1m =-±

21．（2020·武汉市新洲区第一中学高一月考）已知圆C ：22

40x y mx ny ++++=关于直线10x y ++=对

称，圆心C 在第四象限，半径为1. （1）求圆C 的标准方程；

（2）是否存在直线与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.

【答案】（1）()()22

121x y -++=；（2）存在，3

4

y x =-

或1y x =--± 【解析】（1）将圆C 化为标准方程，得222216

()()224

m n m n x y +-+++=

∴ 圆心C （,22m n --）

，半径r =

由已知得10222

41m n

m n ?--+=?=-???=?

=或42m n =??=-? 又C 在第四象限， ∴()1,2C -

∴圆C 的标准方程为22(1)(2)1x y -++=

（2）当直线过原点时，l 斜率存在，则设:l y kx =

3

14k =?=-

此时直线方程为3

4

y x =-

； 当直线不过原点时，设:0l x y t +-=

1=

解得

1t =-±

10x y +++=

或10x y ++= 综上，所求直线的方程为：3

4

y x =-

或1y x =--22．（2020·江苏淮安。高一期末）平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,4P ，圆22

:4O x y +=与x 轴的正

半轴的交于点Q ．

（1）若过点P 的直线1l 与圆O 相切，求直线1l 的方程； （2）若过点P 的直线2l 与圆O 交于不同的两点A ，B ． ①设线段AB 的中点为M ，求点M 纵坐标的最小值；

②设直线QA ，QB 的斜率分别是1k ，2k ，问：12k k +是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．

【答案】（1）2x =和34100x y -+=；（2

）①2 ②是定值，1-． 【解析】（1）圆2

2

:4O x y +=的圆心为()0,0，半径为2，

若过点()2,4P 直线1l 垂直于x 轴，则方程为2x =，与圆相切，符合题意； 若过点()2,4P 直线1l 不垂直于x 轴，设直线1l 的斜率与k ， 则直线1l 方程为()42y k x -=-，即240kx y k --+=，

因为直线1l 与圆22

:4O x y +=相切，

所以圆心到直线1l

的距离2d =

=，解得34

k =，

所以切线方程为34100x y -+=；

综上得：切线1l 的方程为2x =和34100x y -+=；

（2）①设点(),M x y ，因为M 为弦AB 中点，所以MO MP ⊥， 又因为(),OM x y =，()2,4PM x y =--，

所以由OM PM ⊥得(2)(4)0x x y y -+-=化简得22

240x y x y +--=．

联立2222

4240x y x y x y ?+=?+--=?得20x y =??=?或6585x y ?=-

????=??

； 又因为点M 在圆22

:4O x y +=内部，

所以点M 的轨迹是圆22

240x y x y +--=中以点68,55??

-

???

和()2,0为端点的一段劣弧（不包括端点），

由2

2

240x y x y +--=即()()22

125x y -+-=，令1x =

得2y =±

根据点(1,2-在22

:4O x y +=内部，所以点M

纵坐标的最小值是2-；

②由题意点()2,0Q ,联立22

4(2)4

y k x x y -=-??+=?得()222

14(2)(24)40k x k k x k +--+--=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12

2

2122

4(2)1(24)410k k x x k k x x k -?

+=?+?

--?

=?+?

?>???

， 所以()()121212121224242222

k x k x y

k k x x x y x -+-++=

+=+---- ()()121212214444222224

x x k k x x x x x x +-=+

+=+---++ 22

22

4(2)444(84)1221(24)44(2)16

24

11k k k k k k k k k k k -??

?-??++??=+=-=-----?+++． 所以12k k +是定值，定值为1-．