第二章 直线和圆的方程 专题测试(解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一
人教A版新教材选择性必修第一册第二章直线与圆的方程单元测试题
人教A版新教材选择性必修一第二章直线与圆的方程单元测试题时间：120分钟满分：150分命卷人：审核人：一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（）A. B. C. D.2. 已知直线过定点,点在直线上,则的最小值是( )A. B. C. D.3. 由三条直线，和围成的三角形是()A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 锐角三角形4. 直线与圆的位置关系是（）A. 相交B. 相离C. 相切或相离D. 相切或相交5. 直线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.6. 圆与圆的公切线有（）A. 条B. 条C. 条D. 条7. 已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（）A. B. C. 或 D.8. 已知点在圆上，点，则线段的中点的轨迹方程是（）A. B.C. D.9. 若直线与圆相切,且为锐角,则该直线的斜率是( )A. B. C. D.10. 圆上到直线的距离为的点共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 由直线上的点P向圆引切线，则切线长的最小值为()A. 1B.C.D. 912. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为,若将军从点处出发,河岸线所在直线方程为,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为( )A. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 已知直线不通过第一象限，则实数的取值范围__________．14. 已知圆经过直线与圆的交点,且圆的圆心在直线上,则圆的方程为__________.15. 一束光线从点出发，经轴反射到圆上，则最短路程是__________．16. 关于方程表示的圆，下列叙述中：①圆心在直线上；②其圆心在轴上；③过原点；④半径为．其中叙述正确的是__________(要求写出所有正确的序号).三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 已知的顶点的平分线所在直线方程为边上的高所在直线方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求的面积.18.(2020安徽高二月考)设直线的方程为..(1)若在两坐标轴上的截距相等,求的方程;(2)若与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的值.19.已知点及圆C：.（1）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为，求l的方程；（2）求过P点的圆C的弦的中点D的轨迹方程.20.(2020东莞市东华高级中学高二期中)已知圆,圆,则(1)若两圆心距为,求的值.(2)直线与坐标轴的交点,.点在圆上,求三角形面积最小值.21.已知实数、满足方程.（1）求的最大值和最小值；（2）求的最小值；（3）求的最大值和最小值.22. 曲线上两点、满足：（1）关于直线对称，（2），求直线的方程.人教A版新教材选择性必修一第二章直线与圆的方程单元测试题答案和解析第1题：【答案】A【解析】提示：因为两直线平行，故，所以.将代入直线的方程并化简得.由平行线的距离公式得两直线的距离为，故选A.第2题：【答案】B【解析】直线方程可化为:,令,得,所以点,又点在直线上,所以的最小值为点到直线的距离,因为,所以的最小值是.第3题：【答案】A【解析】和，则，∴.故选A.第4题：【答案】D【解析】直线过定点在圆上，∴直线与圆的位置关系是相切或相交.第5题：【答案】B【解析】解：直线可化为：，倾斜角，, 则,因为所以所以,即,所以. 所以选B.第6题：【答案】C【解析】两圆圆心距，所以两圆相外切，那么公切线有条，故选C.第7题：【答案】C【解析】∵直线可化为过定点，所以，数形结合可得直线的斜率的取值范围是或，即或，得的取值范围是或第8题：【答案】B【解析】设，线段中点坐标为，由坐标为，得到线段中点坐标为，即，代入圆可得：，即.故线段中点的轨迹方程为.第9题：【答案】A【解析】由题意知,圆心到直线的距离为, 则,所以或者, 当时,,, 当时,不可能成立,故舍去.第10题：【答案】C【解析】圆可化为, 所以圆心为,半径为2, 圆心到直线的距离为:, 所以, 所以圆上到直线的距离为的点共有3个. 故选:C第11题：【答案】C【解析】解：将圆方程化为标准方程得：,得到圆心,半径，圆心到直线的距离，则切线长的最小值，故选C.第12题：【答案】B【解析】由题点和军营所在区域在河岸线所在直线方程的同侧,设点关于直线的对称点,中点在直线上,解得:,即,设将军饮马点为,到达营区点为,则总路程,要使路程最短,只需最短,即点到军营的最短距离,即点到区域的最短距离为:.第13题：【答案】【解析】由题意得直线恒过定点，且斜率为，∵直线不通过第一象限，∴，解得，故实数的取值范围是．第14题：【答案】【解析】设所求圆的方程为:,即, ∴圆心为,由圆心在直线,∴,∴, ∴圆的方程为,即.第15题：【答案】.【解析】相当于求与圆上点的最近距离，．第16题：【答案】①③【解析】将圆的方程化成：易知①③正确第17题：【答案】（1）；（2）．【解析】(1)直线,则,直线的方程为, 由所以点的坐标． (2),所以直线的方程为,,即., 点到直线的距离为, 则.第18题：【答案】见解析【解析】(1)由题意知,,即.当直线过原点时,该直线在两条坐标轴上的截距都为,此时,直线的方程为;当直线不过原点,即时,由截距相等,得即,直线的方程为. 综上所述,所求直线的方程为或. (2)由题意知, ,,且在轴,轴上的截距分别为,.由题意知,,即. 当时,解得,当时,解得. 综上所述,或.第19题：【答案】（1）直线的方程为：或；（2）【解析】（1）如图所示，，设是线段的中点，则点C的坐标为, 在中，可得，设所求直线的方程为：即，由点到直线的距离公式得：此时直线的方程为：. 又直线的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为：所以所求直线的方程为：或. （2）设过点P的圆C的弦的中点为，则即所以化简得所求轨迹的方程为：.第20题：【答案】见解析【解析】解析:(1)∵的圆心,的圆心, 又∵圆心距为, 由得, ∴或. (2)∵当时,当时,, ∴,, ∴, 当到直线的距离最小时,面积最小. 设的高为, ∴, ∴.第21题：【答案】（1），（2），（3），【解析】（1）原方程化为，表示以点为圆心，半径为的圆.设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，此时有，解得，故的最大值为，最小值为. （2）设，即，当与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值，此时，即，故，. （3）表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为，故，.第22题：【答案】或【解析】由（1）得直线过圆心，∴，，故设直线的方程为，与圆方程联立消去得.设，，由于，∴，即结合韦达定理可得或.从而直线的方程为或.。
第二章 直线与圆的方程单元测试卷-高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册
第二章 直线与圆的方程满分卷-2021-2020人教A （2019）高二（上）选择性必修第一册一．选择题（共8小题）1．如图中的直线1l 、2l 、3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则( )A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<2．已知直线1:10l ax y -+=，2:420l ax y ++=，则“2a =”是“12l l ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．经过点(0,1)P -的直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 两点的线段总有公共点，则l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[1-，1] B ．(-∞，1][1-，)+∞C ．3[,]44ππD ．3[0,][,)44πππ4．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以(,)22a a-为中点的弦长为( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．两条直线1:20l x y c ++=，2:210l x y -+=的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．重合D ．不能确定6．已知实数x ，y 满足224x y +=，则函数226825S x y x y =+--+的最大值和最小值分别为( )A ．49，9B ．7，3C D ．77．已知直线l 经过点(1,2)P -，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为( ) A ．2340x y ++=B ．2380x y +-=C ．3270x y --=D ．3210x y --=8．关于x 、y 的方程210(0)a x ay a --=≠表示的直线（图中实线）可能是( )A ．B ．C ．D ．二．多选题（共4小题）9．已知直线:20l kx y k -+=和圆222:O x y r +=，则( ) A ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直B ．直线l 恒过定点(2,0)C ．若4r >，则直线l 与圆O 相交D ．若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为 10．下列结论错误的是( )A ．若直线1l ，2l 的斜率相等，则12//l lB ．若直线的斜率121k k ⋅=，则12l l ⊥C ．若直线1l ，2l 的斜率都不存在，则12//l lD ．若直线1l ，2l 的斜率不相等，则1l 与2l 不平行11．已知动直线:0m x y λλ-+=和:320n x y λλ+--=，P 是两直线的交点，A 、B 是两直线m 和n 分别过的定点，下列说法正确的是( ) A ．B 点的坐标为(3,2)- B ．m n ⊥C ．P 的轨迹是一条直线D ．PA PB ⨯的最大值为1012．已知直线1:40l x y +-=与圆心为(0,1)M 且半径为3的圆相交于A ，B 两点，直线2:22350l mx y m +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 的面积的值可以是()A ．B ．C ．D ．1)三．填空题（共4小题）13．在平面直角坐标系中，已知(2,2)A 、(1)B -若过点(1,1)P --的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 斜率的取值范围是 ．14．直线210x y -+=和圆222410x y x y +---=的位置关系是 ． 15．直线1:3470l x y +-=与直线2:3410l x y ++=之间的距离为 ．16．圆222440x y x y +-++=上的点到3490x y -+=的最大距离是 ，最小距离是 ． 四．解答题（共6小题）17．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点(3,0)A -，(1,2)B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程； （Ⅱ）过点(0,2)P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，求弦MN 的长． 18．（1）求直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长；（2）已知圆22:430C x y x +-+=，求过点(3,2)M 的圆的切线方程．19．在直角坐标系xOy 中，直线:40l x --=交x 轴于M ，以O 为圆心的圆与直线l 相切．（1）求圆O 的方程；（2）设点0(N x ，0)y 为直线3y x =-+上一动点，若在圆O 上存在点P ，使得45ONP ∠=︒，求0x 的取值范围；（3）是否存在定点S ，对于经过点S 的直线L ，当L 与圆O 交于A ，B 时，恒有AMO BMO ∠=∠？若存在，求点S 的坐标；若不存在，说明理由．20．已知直线10l y -+=，圆C 的方程为224210x y x y ++-+=． （Ⅰ）判断直线l 与该圆的位置关系；（Ⅱ）若直线与圆相交，求出弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离． 21．已知圆M 过点(4,0)A ，(2,0)B -，(1,3)C ． （Ⅰ）求圆M 的标准方程；（Ⅱ）若过点(2,3)P且斜率为k的直线l与圆M相切，求k的值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线:20l x y++=和圆22+=，P是直线l上一O x y:1点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．（1）若PA PB⊥，求点P的坐标；（2）求线段PA长的最小值；（3）设线段AB的中点为Q，是否存在点T，使得线段TQ长为定值？若存在，求出点T；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图中的直线1l 、2l 、3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则( )A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<解：由图象知，直线1l 、2l 、3l 的倾斜角分别为1α，2α，3α， 且1(2πα∈，)π，3202παα<<<；所以对应的斜率分别为10k <，320k k <<， 即132k k k <<． 故选：D ．2．已知直线1:10l ax y -+=，2:420l ax y ++=，则“2a =”是“12l l ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：直线1:10l ax y -+=，2:420l ax y ++=，12l l ⊥， (1)40a a ∴⨯+-⨯=，240a ∴-=，2a ∴=±， 2a ∴=是12l l ⊥的充分不必要条件，故选：A ．3．经过点(0,1)P -的直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 两点的线段总有公共点，则l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[1-，1]B ．(-∞，1][1-，)+∞C ．3[,]44ππD ．3[0,][,)44πππ解：如图所示，设直线l 的倾斜角为α，[0α∈，)π． 12101PA k -+==--，11102PB k --==-． 直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 的线段总有公共点，1tan 1α∴-．[0α∴∈，3][44ππ，)π． 故选：D ．4．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以(,)22a a-为中点的弦长为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：依题意可知直线过圆心(1,2)-，即34110a +-=，2a =．故(,)(1,1)22a a-=-．圆方程配方得22(1)(2)5x y -++=，(1,1)-与圆心距离为1，故弦长为4=． 故选：D ．5．两条直线1:20l x y c ++=，2:210l x y -+=的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．重合D ．不能确定解：直线1l 的斜率是：2-， 直线2l 的斜率是：12， 由1212-⨯=-，得直线垂直， 故选：B ．6．已知实数x ，y 满足224x y +=，则函数226825S x y x y =+--+的最大值和最小值分别为( )A ．49，9B ．7，3CD ．7解：22226825(3)(4)S x y x y x y =+--+=-+-， 实数x ，y 满足224x y +=，22(3)(4)S x y ∴=-+-的几何意义为圆224x y +=上的动点与定点(3,4)M 的距离的平方， 如图，||5OM =，2(52)49max S ∴=+=，2(52)9min S =-=．∴函数226825S x y x y =+--+的最大值和最小值分别为49，9．故选：A ．7．已知直线l 经过点(1,2)P -，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为( ) A ．2340x y ++=B ．2380x y +-=C ．3270x y --=D ．3210x y --=解：直线l 与直线2310x y +-=垂直， 所以直线l 的斜率为32， 又直线l 经过点(1,2)P -，所以直线l 的方程为：3(2)(1)2y x --=-，化简得：3270x y --= 故选：C ．8．关于x 、y 的方程210(0)a x ay a --=≠表示的直线（图中实线）可能是( )A ．B ．C ．D ．解：关于x 、y 的方程210(0)a x ay a --=≠表示的直线，直线的斜率为a ，在y 轴上的截距为1a-，直线的斜率和它在y 轴上的截距的乘积等于1-，图A 中，直线的斜率和它在y 轴上的截距都是正的，这不满足条件，故排除A ；图B 中，直线的斜率小于1，它在y 轴上的截距大于1-小于零，这不满足条件，故排除B ； 图C 中，直线的斜率和它在y 轴上的截距都是负值，这不满足条件，故排除C ；图D 中，直线的斜率小于1-，它在y 轴上的截距大于零小于1，能满足条件，故D 可能成立， 故选：D ．二．多选题（共4小题）9．已知直线:20l kx y k -+=和圆222:O x y r +=，则( ) A ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直B ．直线l 恒过定点(2,0)C ．若4r >，则直线l 与圆O 相交D ．若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为 解：对于A ，直线0:220l x y -+=的斜率为12，则当2k =-时，满足直线l 与直线0:220l x y -+=垂直，故A 正确；对于B ，由:20l kx y k -+=，得(2)0k x y +-=，令200x y +=⎧⎨-=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩，∴直线l 恒过定点(2,0)-，故B 错误；对于C ，若4r >，则直线l 所过定点(2,0)-在圆O 内部，则直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于D ，若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的最大值为8，最小值为=即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为，8]，故D 错误． 故选：AC ．10．下列结论错误的是( )A ．若直线1l ，2l 的斜率相等，则12//l lB ．若直线的斜率121k k ⋅=，则12l l ⊥C ．若直线1l ，2l 的斜率都不存在，则12//l lD ．若直线1l ，2l 的斜率不相等，则1l 与2l 不平行 解：若直线1l ，2l 的斜率相等，则12//l l 或重合，A 错误； 若直线的斜率121k k ⋅=-，则12l l ⊥，B 错误；若直线1l ，2l 的斜率都不存在，则12//l l 或重合，C 错误； 若直线1l ，2l 的斜率不相等，则1l 与2l 一定不平行，D 正确． 故选：ABC ．11．已知动直线:0m x y λλ-+=和:320n x y λλ+--=，P 是两直线的交点，A 、B 是两直线m 和n 分别过的定点，下列说法正确的是( ) A ．B 点的坐标为(3,2)- B ．m n ⊥C ．P 的轨迹是一条直线D ．PA PB ⨯的最大值为10解：对于A ，直线:(2)30n y x λ-+-=，所以直线n 过点(3,2)，故A 错误； 对于B ，1(1)0λλ⨯+-⨯=，所以m n ⊥，故B 正确；对于C ，因为PA PB ⊥，所以P 的轨迹是以AB 为直径的圆，故C 错误； 对于D ，222202PA PB AB PA PB +==⨯，所以D 正确． 故选：BD ．12．已知直线1:40l x y +-=与圆心为(0,1)M 且半径为3的圆相交于A ，B 两点，直线2:22350l mx y m +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 的面积的值可以是()A ．B ．C ．D ．1)解：根据题意，圆M 的圆心为(0,1)M 且半径为3，则圆M 的方程为22(1)9x y +-=，即22280x y y +--=，直线1:40l x y +-=与圆M 相交于A ，B 两点，则有2228040x y y x y ⎧+--=⎨+-=⎩，解可得：31x y =⎧⎨=⎩或04x y =⎧⎨=⎩，即A 、B 的坐标为(3,1)，(0,4)，则||AB AB 的中点为3(2，5)2，直线2:22350l mx y m +--=，变形可得(23)250m x y -+-=，直线2l 恒过定点3(2，5)2，设3(2N ，5)2，当CD 与AB 垂直时，四边形ACBD 的面积最大， 此时CD 的方程为5322y x -=-，变形可得1y x =+，经过点(0,1)M ， 则此时||6CD =，故ACBD S 四边形的最大值162ACB ADB S S ∆∆=+=⨯⨯=故92ACBD S 四边形， 分析选项：BC 符合题意， 故选：BC ．三．填空题（共4小题）13．在平面直角坐标系中，已知(2,2)A 、(1)B -若过点(1,1)P --的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 斜率的取值范围是 ． 解：如图，显然点P 在直线AB 下方，直线AP 的斜率为21121AP k +==+，直线BP 的斜率BP k == 所以若过点(1,1)P --的直线l 与线段AB 有公共点， 则直线l 斜率BP k k ，或者AP k k ， 所以3k -或者1k ，故答案为：(-∞，[1，)+∞．14．直线210x y -+=和圆222410x y x y +---=的位置关系是 ．解：圆222410x y x y +---=化简可得22(1)(2)6x y -+-=，圆心坐标为(1,2)，，圆心到直线210x y -+==< ∴直线210x y -+=和圆222410x y x y +---=的位置关系是相交，故答案为：相交．15．直线1:3470l x y +-=与直线2:3410l x y ++=之间的距离为 ． 解：直线1:3470l x y +-=与直线2:3410l x y ++=之间的距离85d ==．故答案为：85．16．圆222440x y x y +-++=上的点到3490x y -+=的最大距离是 ，最小距离是 ． 解：圆222440x y x y +-++=即22(1)(2)1x y -++=，表示以(1,2)C -为圆心，半径为1的圆．由于圆心(1,2)C -到直线3490x y -+=的距离4d ==，故动点P 到直线3490x y -+=的距离的最小值与最大值分别为3，5， 故答案为：5，3． 四．解答题（共6小题）17．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点(3,0)A -，(1,2)B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，求弦MN 的长． 解：（Ⅰ）设AB 的中点为D ，则(2,1)D -， 由圆的性质得CD AB ⊥， 所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-，所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x =--，设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为(0)r r >， 由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =-，所以圆心(1,0)C -，||2r CA ==，所以圆C 的标准方程为22(1)4x y ++=； （Ⅱ）因为直线l 过点(0,2)P 斜率为34， 则直线l 的方程为324y x =+， 圆心(1,0)C -到直线l的距离为3|2|1d -==，所以MN ==18．（1）求直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长；（2）已知圆22:430C x y x +-+=，求过点(3,2)M 的圆的切线方程． 解：（1）根据题意，圆22(2)4x y +-=的圆心为(0,2)，半径2r =， 圆心到直线y x =的距离d =则直线y x =被圆截得的弦长2l == 故直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为（2）圆22:430C x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，其圆心为(2,0)，半径1r =， 若切线的斜率不存在，则切线的方程为3x =，符合题意；若切线的斜率存在，则设切线的斜率为k ，则切线的方程为2(3)y k x -=-，即320kx y k --+=，则有1d ==，解可得：34k =，此时切线的方程为3410x y --=．综上可得，圆的切线方程为3x =或3410x y --=．19．在直角坐标系xOy 中，直线:40l x --=交x 轴于M ，以O 为圆心的圆与直线l 相切．（1）求圆O 的方程；（2）设点0(N x ，0)y 为直线3y x =-+上一动点，若在圆O 上存在点P ，使得45ONP ∠=︒，求0x 的取值范围；（3）是否存在定点S ，对于经过点S 的直线L ，当L 与圆O 交于A ，B 时，恒有AMO BMO ∠=∠？若存在，求点S 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）直线:40l x -=交x 轴于(4,0)M ，圆心半径2r ==，所以圆的方程224x y +=．（2）如图，直线NP 与圆相切，设PNO α∠=，则2sin ONα=， 根据图象，N 越靠近O 点，ON 越小，sin α越大，由2sin 452ON ︒==，得ON = 设(,3)N x x -，由距离公式22(3)8x x +-=，解得x =0372x +．（3）AMO BMO ∠=∠，若直线L 的斜率不存在，显然S 点存在； 当斜率存在时，设:L y kx m =+，L 与圆的交点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 根据题意只需0AM BM k k +=，即1212044y yx x +=--， 把11y kx m =+，22y kx m =+带人并化简得12122(4)()80kx x m k x x m +-+-=， 把L 与圆联立解方程224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得12221kmx x k +=-+，212241m x x k -=+， 带入上式222422(2)8011m kmk m k m k k ----=++，化简得0k m +=，即m k =-，所以:(1)L y k x =-，恒过(1,0)点．20．已知直线10l y -+=，圆C 的方程为224210x y x y ++-+=． （Ⅰ）判断直线l 与该圆的位置关系；（Ⅱ）若直线与圆相交，求出弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离． 解：（Ⅰ）圆的方程为224210x y x y ++-+=，即22(2)(1)4x y ++-=，∴圆心为(2,1)-，半径为2r =，则圆心到直线的距离d r =，∴直线与圆相交．（Ⅱ）弦长2l ==． 21．已知圆M 过点(4,0)A ，(2,0)B -，(1,3)C ． （Ⅰ）求圆M 的标准方程；（Ⅱ）若过点(2,3)P 且斜率为k 的直线l 与圆M 相切，求k 的值． 解：（Ⅰ）设圆M 的标准方程为222()()x a y b r -+-=，则有222222222(4)(0)(2)(0)(1)(3)a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪--+-=⎨⎪-+-=⎩，解得1a =，0b =，3r =，所以圆M 的标准方程为22(1)9x y -+=； （Ⅱ）因为直线l 过点(2,3)P 且斜率为k ，则直线l 的方程为：3(2)y k x -=-，即230kx y k --+=， 因为直线l 与圆M 相切，所以圆心到直线l3=，解得0k =或34-．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y ++=和圆22:1O x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标； （2）求线段PA 长的最小值；（3）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若存在，求出点T ；若不存在，请说明理由．解：（1）若PA PB ⊥，则四边形PAOB 为正方形， 则P=P 在直线20x y ++=上，设(,2)P x x --，则||OP =1x =-， 故(1,1)P --；（2）由22||||1PA PO =-，可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小． 线段PO 长的最小值，即点O 到直线l 的距离，故||min PO ==∴||1min PA ==；（3）设0(P x ，02)x --，则以OP 为直径的圆的方程为222200002(2)()()224x x x x x y --+---+-=， 化简得：2200(2)0x x x x y y -+++=，与221x y +=联立， 可得AB 所在直线方程为00(2)1x x x y -+=，联立0022(2)11x x x y x y -+=⎧⎨+=⎩，得22200000(244)2430x x x x x x x ++----=， Q ∴的坐标为002200002(,)244244x x x x x x --++++， 可得Q 点轨迹为22111()()448x y +++=，圆心11(,)44--，半径4R =．故存在点11(,)44T --，使得线段TQ 长为定值．。
第二章 直线和圆的方程 专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一
第二章直线和圆的方程专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一第二章直线和圆的方程专题测试注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2.请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1.（2020·福建高二学业考试）已知直线 $ $l_1\parallell_2$，则实数 $k=$（）。
A。
$-2$B。
$-1$C。
$1$D。
$2$2.（2020·XXX高一月考）直线$l_1:(a-2)x+(a+1)y+4=0$，$l_2:(a+1)x+ay-9=0$ 互相垂直，则 $a$ 的值是（）。
A。
$-0.25$B。
$1$C。
$-1$D。
$1$ 或 $-1$3.（2020·XXX高一月考）直线 $l:(m-1)x-my-2m+3=0$（$m\in R$）过定点 $A$，则点 $A$ 的坐标为（）。
A。
$(-3,1)$B。
$(3,1)$C。
$(3,-1)$D。
$(-3,-1)$4.（2020·广东高二期末）设 $a\in R$，则“$a=1$”是“直线$ax+y-1=0$ 与直线 $x+ay+1=0$ 平行”的（）。
A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件5.（2020·黑龙江高一期末）若曲线 $y=4-x^2$ 与直线$y=k(x-2)+4$ 有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）。
A。
$\left[\frac{3}{4},1\right]$B。
$\left[\frac{3}{4},+\infty\right)$C。
$(1,+\infty)$D。
$(1,3]$6.（2020·XXX高三其他）已知直线 $x+y=t$ 与圆$x+y=2t-t^2$（$t\in R$）有公共点，则 $\frac{t(4-t)}{9}$ 的最大值为（）。
2021年人教A版(2019)选择性必修第一册数学第二章_直线与圆的方程单元测试卷高中答案解析
2021年人教A版（2019）选择性必修第一册数学第二章直线与圆的方程单元测试卷（1）一、选择题1. 直线x+y+1=0的倾斜角是( )A.3π4B.2π3C.π4D.π62. 经过点(1,0)且与直线x−2y−2=0平行的直线方程为( )A.x−2y−1=0B.x−2y+1=0C.2x+y−2=0D.2x−y−2=03. 以点(3,−1)为圆心，且与直线x−3y+4=0相切的圆的方程是( )A.(x−3)2+(y+1)2=10B.(x−3)2+(y−1)2=10C.(x+3)2+(y−1)2=10D.(x+3)2+(y+1)2=104. 圆A，圆B，圆C两两外切，半径分别为2，3，10，则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形5. 过点A(4, a)和B(5, b)的直线与直线y=x+m平行，则|AB|的值为()A.6B.√2C.2D.不确定6. 若方程x2+y2−2x=m表示圆，则实数m的取值范围为( )A.(−∞, −1)B.(−1, +∞)C.(−∞, 0)D.(0, +∞)7. 已知直线x+2y−4=0与直线2x+my+m+3=0平行，则它们之间的距离为()A.√10B.√5C.3√52D.3√1028. 已知直线l经过点(1,−2)，且与直线2x+3y−1=0垂直，则l的方程为()A.2x+3y+4=0B.2x+3y−8=0C.3x−2y−7=0D.3x−2y−1=09. 两直线l1:mx−y+n=0和l2：nx−y+m=0在同一坐标系中，则正确的图形可能是( )A. B.C. D.10. 圆C1:(x−2)2+(y−2)2=64与C2:x2+y2+2x+4y−4=0的位置关系是( )A.外切B.内切C.相交D.内含11. 已知圆O1:(x−a)2+(y−b)2=4,O2:(x−a−1)2+(y−b−2)2=1(a,b∈R)，那么两圆公切线的条数（）A.0B.1C.2D.312. 已知P1(a1, b1)与P2(a2, b2)是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于的解的情况是( )x和y的方程组{a1x+b1y=1，a2x+b2y=1A.无论k，P1，P2如何，总是无解B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解C.存在k，P1，P2，使之恰有两解D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解二、填空题13. 圆(x+2)2+y2=4与圆(x−2)2+(y−1)2=9的位置关系为________.14. 已知直线y=2x+1与圆x2+y2+ax+2y+1=0交于A，B两点，直线mx+y+ 2=0垂直平分弦AB，则|AB|=________.15. 直线x+y−4=0和直线6x−y−3=0的交点P坐标为________，直线l通过P点且与直线2x+y+1=0平行，则直线l的方程为________.16. 若圆O1:x2+y2=5与圆O2：(x+m)2+y2=20(m>0)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则AB的直线方程为________.三、解答题17. 菱形ABCD中，A(4,−7)，C(−2,3)，BC边所在直线过点P(−3,1)．求：(1)AD边所在直线的方程；(2)BD所在直线方程．18. 如图，在四面体ABCD中，E，H分别是线段AB，AD的中点，F，G分别是线段CB，CD上的点，且CFBF =CGDG=12，求证：(1)四边形EFGH是梯形；(2)AC，EF，GH三条直线相交于同一点.19. 平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x+3)2+y2=4和圆C2：(x−4)2+(y−4)2=4．(1)若直线l过点A(4, −1)，且被圆C1截得的弦长为2√3，求直线l的方程；(2)是否存在一个定点P，使过P点有无数条直线l与圆C1和圆C2都相交，且l被两圆截得的弦长相等，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．20. 已知关于x，y的方程x2+y2−4x+4y+m=0表示一个圆．(1)求实数m的取值范围；(2)若m=4过点P(0,2)的直线l与圆相切，求出直线l的方程．21. 如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A(−1, 4)，B(−2, −1)，C(2, 3)．(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；(2)在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程．22. 当前台风中心P在某海滨城市O向东100km处生成，并以20km/ℎ的速度向西偏北30∘方向移动，已知距台风中心60km以内的地方都属于台风侵袭的范围．(1)如图取O为原点，OP所在直线为x轴，建立直角坐标系，写出过点P(100,0)，倾斜角为150∘的台风中心所在直线l的参数方程；(2)在(1)的条件下，求海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？（结果保留一位小数，√11≈3.3)参考答案与试题解析2021年人教A版（2019）选择性必修第一册数学第二章直线与圆的方程单元测试卷（1）一、选择题1.【答案】A【考点】直线的倾斜角【解析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．【解答】解：直线x+y+1=0的斜率k=−1，∴直线x+y+1=0的倾斜角α=3π．4故选A.2.【答案】A【考点】直线的点斜式方程两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：所求直线与直线x−2y−2=0平行，．故所求直线的斜率k=12又直线过点(1,0)，(x−1)，利用点斜式得所求直线的方程为y−0=12即x−2y−1=0．故选A．3.【答案】A【考点】点到直线的距离公式圆的标准方程直线与圆的位置关系【解析】=√10，解：点(3,−1)到直线x−3y+4=0的距离是√1+32所以圆的方程是(x−3)2+(y+1)2=10．故选A．4.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：∵⊙A，⊙B，⊙C两两外切，它们的半径分别为2，3，10，∴AB=2+3=5，BC=3+10=13，AC=2+10=12，∵AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形.故选D．5.【答案】B【考点】两点间的距离公式两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】=1，即b−a=1．再利过点A(4, a)和B(5, b)的直线与直线y=x+m平行，可得b−a5−4用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：∵过点A(4, a)和B(5, b)的直线与直线y=x+m平行，∴b−a=1，5−4∴b−a=1．∴|AB|=√(5−4)2+(b−a)2=√1+1=√2．故选B．6.【答案】B【考点】圆的一般方程【解析】把圆的一般方程化为标准方程，再根据半径大于零，从而求得实数m的取值范围．【解答】解：把所给的方程化为标准方程为(x−1)2+y2=m+1，得m+1>0，即得m>−1，7.【答案】C【考点】两条平行直线间的距离【解析】根据题意，由直线平行的判断方法可得m的值，进而由平行线间距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，直线x+2y−4=0与直线2x+my+m+3=0平行，则有m=2×2=4，则两直线的方程为2x+4y−8=0与直线2x+4y+7=0，则它们之间的距离d=√4+16=3√52.故选C.8.【答案】C【考点】直线的一般式方程两条直线垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：设所求直线l的方程为3x−2y+c=0，又直线l经过点(1, −2)，所以3−2×(−2)+c=0，解得c=−7，故直线l的方程为3x−2y−7=0.故选C.9.【答案】B【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】无【解答】解：若l1//x轴，则m=0，l2必过原点，故C错误；若l2//x轴，n=0，l1过原点，故m，n均不为0，∴l1：y=mx+n，l2：y=nx+m．A，由图形得，两直线在y轴上的截距均为正，即m>0且n>0，此时两直线斜率应为正，但有一直线斜率为负，故A错误；B，由图形得，两直线在y轴上的截距为一正一负，即m>0且n<0，此时两直线交x轴的值为正值，符合，故B正确；D，由图形得，两直线斜率均为负，即m<0且n<0，但有一直线在y轴上的截距为正，故D错误．故选B．10.【答案】B【考点】圆与圆的位置关系及其判定圆的标准方程与一般方程的转化【解析】分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R−r，即可得到两圆的位置关系．【解答】解：圆C1:(x−2)2+(y−2)2=64的圆心坐标为(2, 2)，半径为8；圆C2:x2+y2+2x+4y−4=0化为标准方程得：(x+1)2+(y+2)2=9，故圆心坐标为(−1, −2)，半径为3，∵C1C2=√(−1−2)2+(−2−2)2=5=8−3，∴两圆的位置关系是内切．故选B．11.【答案】C【考点】圆与圆的位置关系及其判定两圆的公切线条数及方程的确定【解析】先判断两圆的位置关系，再根据它们的位置关系可得公切线的条数．【解答】解：由题设有：O1(a,b),r1=2,O2(a+1,b+2),r2=1,故|O1O2|=√(a+1−a)2+(b+2−b)2=√5.因为r1−r2<|O1O2|<r1+r2，故两圆相交，所以两圆的公切线条数为2.故选C．12.【答案】B【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系斜率的计算公式【解析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．【解答】解：P1(a1, b1)与P2(a2, b2)是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y= kx+1的斜率存在，∴k=b2−b1a2−a1，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1−a1b2=ka1a2−ka1a2+a2−a1=a2−a1，{a1x+b1y=1①a2x+b2y=1②①×b2−②×b1得：(a1b2−a2b1)x=b2−b1，即(a1−a2)x=b2−b1．∴方程组有唯一解．故选B.二、填空题13.【答案】相交【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．【解答】解：圆(x+2)2+y2=4的圆心C1(−2, 0)，半径r=2．圆(x−2)2+(y−1)2=9的圆心C2(2, 1)，半径R=3，两圆的圆心距d=√(−2−2)2+(0−1)2=√17，R+r=5，R−r=1，R+r>d>R−r，所以两圆相交.故答案为：相交.14.【答案】8√55【考点】直线与圆相交的性质直线和圆的方程的应用【解析】首先利用垂直，得m=12，再利用圆心，确定a=4，结合直线与圆相交的性质，即可求出弦长.【解答】解：由题意可得直线y=2x+1与直线mx+y+2=0垂直，所以2(−m)=−1，所以m=12，因为圆心(−a2,−1)在直线mx+y+2=0上，所以12(−a2)−1+2=0，所以a=4，所以圆x2+y2+ax+2y+1=0的方程可化为(x+2)2+(y+1)2=4，所以圆心为(−2,−1)，半径为2，圆心到直线y =2x +1的距离为d =√5=√5， 所以弦AB 的长为|AB|=2√22−(√5)2=8√55. 故答案为：8√55. 15. 【答案】(1,3),2x +y −5=0【考点】两条直线的交点坐标直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】解：联立{x +y −4=0，6x −y −3=0，解得P(1,3)， 若直线l 经过点P 且与直线2x +y +1=0平行， 不妨设直线l:y =kx +b ，已知其经过点P(1,3)，且斜率为−2，解得直线l 的方程为2x +y −5=0.故答案为：(1,3)；2x +y −5=0.16.【答案】x =−1【考点】相交弦所在直线的方程【解析】【解答】解：连接O 1A ，O 2A ，由于圆O 1，圆O 2，在点A 处的切线互相垂直，因此O 1A ⊥O 2A ，所以O 1O 22=O 1A 2+O 2A 2，即m 2=5+20=25， 设AB 交x 轴于C 点，在Rt △O 1AO 2中，sin ∠AO 2O 1=√55，在Rt△ACO2中，AC=AO2⋅sin∠AO2O1=2√5×√55=2，所以O1C=1，AB的直线方程为x=−1．故答案为：x=−1．三、解答题17.【答案】解：(1)由题意可知，直线PC的斜率即是BC的斜率.k BC=k CP=3−1−2+3=2，∵ AD//BC，∴k AD=2，∴ 直线AD方程为y+7=2(x−4)，即2x−y−15=0．(2)k AC=3+7−2−4=−53，∵ 菱形对角线互相垂直，∴ BD⊥AC，∴k BD=35，而AC中点(1,−2)，也是BD的中点，∴ 直线BD的方程为y+2=35(x−1)，即3x−5y−13=0．【考点】直线的一般式方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意可知，直线PC的斜率即是BC的斜率.k BC=k CP=3−1−2+3=2，∵ AD//BC，∴k AD=2，∴ 直线AD方程为y+7=2(x−4)，即2x−y−15=0．(2)k AC=3+7−2−4=−53，∵ 菱形对角线互相垂直，∴ BD⊥AC，∴k BD=35，而AC中点(1,−2)，也是BD的中点，∴ 直线BD的方程为y+2=35(x−1)，即3x−5y−13=0．18.【答案】证明：(1)连接BD，∵E，H分别是边AB,AD的中点，∴EH//BD，且EH=12BD，又∵CFCB =CGCD=13，∴FG//BD，且FG=13BD，因此EH//FG且EH≠FG，故四边形EFGH是梯形；(2)由(1)知EF，HG相交，设EF∩HG=K，∵K∈EF，EF⊂ABC平面，∴K∈ABC平面，同理K∈ACD平面，又平面ABC∩ACD平面=AC，∴K∈AC，故EF和GH的交点在直线AC上.所以AC,EF，GH三条直线相交于同一点.【考点】两条直线平行的判定空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)连接BD，∵E，H分别是边AB,AD的中点，∴EH//BD，且EH=12BD，又∵CFCB =CGCD=13，∴FG//BD，且FG=13BD，因此EH//FG且EH≠FG，故四边形EFGH是梯形；(2)由(1)知EF，HG相交，设EF∩HG=K，∵K∈EF，EF⊂ABC平面，∴K∈ABC平面，同理K ∈ACD 平面，又平面ABC ∩ACD 平面=AC ，∴ K ∈AC ，故EF 和GH 的交点在直线AC 上.所以AC,EF ，GH 三条直线相交于同一点.19.【答案】解：(1)由于直线x =4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y =k(x −4)−1，圆C 1的圆心到l 的距离为d ，所以d =1．由点到直线l 的距离公式得d =√1+k 2，从而k(24k +7)=0所以k =0或k =−724， 所以直线l 的方程为y =−1或7x +24y −4=0．(2)假设存在，设点P 的坐标为P(a, b)，l 的方程为y −b =k(x −a)，因为圆C 1和圆C 2的半径相等，被l 截得的弦长也相等，所以圆C 1和圆C 2的半径相等，到l 的距离相等， 即2=2，整理得：(14a −7)k 2−(8a +14b −32)k +8b −16=0.因为k 的个数有无数多个，所以{14a −7=0，8a +14b −32=0，8b −16=0，解得{a =12，b =2.综上所述，存在满足条件的定点P ，且点P 的坐标为P(12，2)． 【考点】直线和圆的方程的应用【解析】（1）设直线l 的方程为y =k(x −4)−1，再利用圆C 1的圆心到l 的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形求解即可；（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设假设存在，设点P 的坐标为P(a, b)，再利用圆心C 1和圆心C 2到l 的距离相等，求出a ，b 的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】解：(1)由于直线x =4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y =k(x −4)−1，圆C 1的圆心到l 的距离为d ，所以d =1．由点到直线l 的距离公式得d =√1+k 2，从而k(24k +7)=0所以k =0或k =−724，所以直线l 的方程为y =−1或7x +24y −4=0．(2)假设存在，设点P 的坐标为P(a, b)，l 的方程为y −b =k(x −a)，因为圆C 1和圆C 2的半径相等，被l 截得的弦长也相等，所以圆C 1和圆C 2的半径相等，到l 的距离相等， 即2=2，整理得：(14a −7)k 2−(8a +14b −32)k +8b −16=0.因为k 的个数有无数多个，所以{14a −7=0，8a +14b −32=0，8b −16=0，解得{a =12，b =2.综上所述，存在满足条件的定点P ，且点P 的坐标为P(12，2)．20.【答案】解：(1)由x 2+y 2−4x +4y +m =0表示一个圆，则D 2+E 2−4F =16+16−4m >0，解得m <8.(2)当m =4时，圆的方程为x 2+y 2−4x +4y +4=0，即(x −2)2+(y +2)2=4，圆心C(2，−2)，半径r =2，当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x =0，此时直线l 与圆心的距离d =2=r ，满足题意；当直线l 斜率存在时，设直线方程为y =kx +2，即kx −y +2=0，由于直线l 与圆(x −2)2+(y +2)2=4相切， 所以22=2， 解得k =−34，所以直线l 的方程为y =−34x +2，综上所述，直线l 的方程为x =0或y =−34x +2. 【考点】直线与圆的位置关系圆的切线方程二元二次方程表示圆的条件点到直线的距离公式【解析】（1）利用D²+E²-4F=16+16-4m>0，求解即可.（2）分斜率存在和不存在两种情况，当直线斜率不存在时，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，即可得到切线方程.【解答】解：(1)由x 2+y 2−4x +4y +m =0表示一个圆，则D 2+E 2−4F =16+16−4m >0，解得m <8.(2)当m =4时，圆的方程为x 2+y 2−4x +4y +4=0，即(x −2)2+(y +2)2=4，圆心C(2，−2)，半径r =2，当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x =0，此时直线l 与圆心的距离d =2=r ，满足题意；当直线l 斜率存在时，设直线方程为y =kx +2，即kx −y +2=0，由于直线l 与圆(x −2)2+(y +2)2=4相切， 所以22=2， 解得k =−34，所以直线l 的方程为y =−34x +2，综上所述，直线l 的方程为x =0或y =−34x +2. 21.【答案】解：(1)BA →=(1, 5)，设D(x, y)，则CD →=(x −2, y −3)=(1, 5)，故{x −2=1y −3=5，解得：{x =3y =8， 故D(3, 8)；(2)k CD =8−33−2=5，故CD 的高线的斜率是−15，故所求直线的方程是：y −4=−15(x +1)，即x +5y −19=0．【考点】向量的几何表示待定系数法求直线方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】（1）求出向量BA →的坐标，根据BA →=CD →，求出D 的坐标即可；（2）求出CD 的斜率，求出CD 的垂线的斜率，代入点斜式方程即可．【解答】解：(1)BA →=(1, 5)，设D(x, y)，则CD →=(x −2, y −3)=(1, 5)，故{x −2=1y −3=5，解得：{x =3y =8， 故D(3, 8)；(2)k CD =8−33−2=5，故CD 的高线的斜率是−15， 故所求直线的方程是：y −4=−15(x +1)，即x +5y −19=0．22.【答案】解：(1)由直线的参数方程定义，得l 的参数方程为 {x =100−√32t ，y =12t, （t 为参数）．(2)以O 为圆心，60km 为半径作圆O ，当台风中心移动后的位置M 在圆O 内或圆O 上时，城市O 将受到台风侵袭．圆O 的方程为x 2+y 2=602，联立直线的参数方程和圆的普通方程{ x =100−√32t,y =12t,x 2+y 2=602,得t 2−100√3t +6400=0 .t 1+t 2=100√3，t 1⋅t 2=6400，|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=20√11，则受侵袭时长t =|AB|20=√11≈3.3小时．【考点】直线的参数方程直线与圆相交时的弦长问题【解析】【解答】解：(1)由直线的参数方程定义，得l 的参数方程为 {x =100−√32t ，y =12t, （t 为参数）．(2)以O 为圆心，60km 为半径作圆O ，当台风中心移动后的位置M 在圆O 内或圆O上时，城市O 将受到台风侵袭．圆O 的方程为x 2+y 2=602，联立直线的参数方程和圆的普通方程{ x =100−√32t,y =12t,x 2+y 2=602,得t 2−100√3t +6400=0 . t 1+t 2=100√3，t 1⋅t 2=6400， |AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=20√11， 则受侵袭时长t =|AB|20=√11≈3.3小时．。
第二章 直线和圆的方程(单元解读)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
本章选学内容
本章还安排了 1. “方向向量与直线的参数方程” 2. “笛卡儿与解析几何” 3. “坐标法与数学机械化”等选学内容，
目的是拓展学生的知识面，让学生从多种角度 认识直线方程的表示形式，了解解析几何产生的过 程，以及我国数学家吴文俊先生运用坐标法进行几 何定理机器证明的杰出贡献.
1. 用向量方法推导点到直线的距离公式， 2. 以及对直线与直线的方程， 3. 圆与圆的方程之间关系的认识，
坐标法是解析几何最基本的研究方法
• 本章研究直线、圆及其相关问题，用的是坐标法. • 坐标法是解析几何最基本的研究方法， • 它建立了几何与代数之间的联系，体现了数形结 合的思想.
七、本章学业要求
准方程. • 把圆的标准方程展开，得到圆的一般方程. • 圆的标准方程和一般方程是圆的方程的两种形式，它们
各有自己的特点，而且两者之间可以互化.
第5节是“直线与圆、圆与圆的位置关系”.
综合运用直线和圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位 置关系，以及一些简单的数学问题和实际问题.
图形之间的位置关系，既可以直观定性描述，也可以 严格定量刻画.定量刻画的方法既可以完全运用代数的方法， 通过运算求解，得到图形之间的位置关系；
第1节“直线的倾斜角与斜率”，
• 通过一点和一个方向确定一条直线，引入直线倾斜角刻画 直线的倾斜程度（方向）；
• 然后通过具体实例，由具体到一般，通过向量法，用直线 上两点的坐标刻画倾斜角；
• 把倾斜角的正切值表示为这两点纵坐标的差与横坐标的 差的商，进而引出直线斜率的概念；
• 建立过两点的直线斜率公式，以及直线的斜率与其方向向 量的关系.由于两条直线平行或垂直取决于它们的方向，所以 由它们斜率的关系可以判断两条直线平行或垂直的位置关系. ’
人教A版(2019)选择性必修第一册第二章直线与圆的方程单元测试
人教A 版（2019）选择性必修第一册第二章直线与圆的方程单元测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．过点（1，-3）且平行于直线x +2y -3=0的直线方程为（ ）A ．270x y --=B ．210x y ++=C ．250x y --=D ．250x y ++= 2．已知圆22460x y x y +-+=的圆心坐标为(),a b ，则22a b +=（ ） A ．8 B ．16 C ．12 D ．13 3．若圆22:2430C x y x y ++-+=关于直线620ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．64．两平行直线12,l l 分别过点()()1,3,2,1P Q --，它们分别绕,P Q 旋转，但始终保持平行，则12,l l 之间的距离的取值范围是（ ）A ．()0,∞+B ．[]0,5C ．(]0,5 D．( 5．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=（ ） A．5-BC． D6．已知，直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=平行 ，则（ ）A ．1122A B A B = B ．1221A B A B =且1221A C A C ≠ C ．111222A B C A B C =≠ D ．12120A A B B += 7．已知点()1,2P ，点M 是圆()2211:14O x y -+=上的动点，点N 是圆()2221:24O x y +-=上的动点，则PN PM -的最大值是（ ） A1 B ．0 C ．1 D ．28．已知点(,)M a b ，0a >，0b >是圆22:1C x y +=内一点，直线1ax by +=，1ax by +=-，1ax by -=，1ax by -=-围成的四边形的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．4S >B ．4S ≥C ．4S <D ．4S ≤ 9．圆()()22141x y +--=关于直线y x =称的圆是（ ）A ．()()22141x y --+=B ．()()22411x y --+=C ．()()22411x y +--=D ．()()22141x y ---= 10．过点()3,0P -作直线()220ax a b y b +++=（,a b 不同时为零）的垂线，垂足为M ，点()2,3N ，则MN 的取值范围是（ ）A ．0,5⎡+⎣B ．5⎡⎤⎣⎦C ．5,5⎡+⎣D ．5⎡⎣二、填空题 11．已知A 是圆221:1C x y +=上的动点，B 是圆()()222:341C x y -+-=上的动点，则AB 的取值范围为___________.12．已知直线l 与圆2240x y y +-=相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点P 坐标为(1,1)-，则直线l 的方程为________.13．经过直线2370x y +-=与71510x y ++=的交点，且平行于直线2430x y +-=的直线方程是___________.三、双空题14．圆224240x y x y ++-+=上的点到直线1y x =-的最近距离为___________，最远距离为___________.15．过点32P ⎛ ⎝⎭的直线l 与圆()22:14C x y -+=交于A ,B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为_________________，此时ACB =∠___________．16．已知直线l ：mx ﹣y ＝1，若直线l 与直线x +m （m ﹣1）y ＝2垂直，则m 的值为_____，动直线l ：mx ﹣y ＝1被圆C ：x 2﹣2x +y 2﹣8＝0截得的最短弦长为_____．17．已知半径为5的动圆C 的圆心在直线:100l x y -+=上.若动圆C 过点()5,0-，求圆C 的方程___________，存在正实数r =___________，使得动圆C 中满足与圆222:O x y r +=相外切的圆有且仅有一个.四、解答题18．已知()()()24,02,22,ABC A B C BC ∆--的顶点为，，，边上的中线,AM BC 边上的高为AD .求（1）中线AM 的方程；（2）高.AD AD 所在直线的方程及高的长19．下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径长.（1）227205x y y -++=；（2）22670x xy y x y -+++=；（3）2220x y x +++=；（4）220x y x +-=.20．在平面直角坐标系xOy 中, 曲线265y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A,B 两点，且,CA CB ⊥求a 的值．21．已知直线l 经过点(6,4)P ，斜率为k（Ⅰ）若l 的纵截距是横截距的两倍，求直线l 的方程；（Ⅱ）若1k =-，一条光线从点(6,0)M 出发，遇到直线l 反射，反射光线遇到y 轴再次反射回点M ，求光线所经过的路程．22．已知圆22:144O x y +=与圆221:302601O x x y ++=+，试判断两圆的位置关系，并求两圆公切线的方程.参考答案1．D【分析】由题意可先设所求的直线方程为x +2y+c=0再由直线过点（1，﹣3），代入可求c 的值，进而可求直线的方程【详解】由题意可设所求直线方程为x +2y+c=0，∵直线过点（1，–3），代入x +2y+c=0可得1–6+c=0，解得c=5，∴所求直线方程为x +2y+5=0，故选D ．【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x +2y+c=0．2．D【解析】由圆的标准方程可知圆心为()2,3-，即2213a b +=. 故选D.3．C【分析】由题意圆C 的圆心()1,2-在直线620ax by ++=上，可得2260a b -++=，即点(),a b 在直线:30l x y -++=上，过点作圆C 的切线，切点为E ，则DE ==只需CD 最短，可得答案.【详解】由将圆C 的方程化为标准方程为：()()22122x y ++-=，圆心为()1,2-，因为圆C 关于直线620ax by ++=对称，所以圆心位于该直线上，将圆心坐标代入直线方程中，有2260a b -++=，即点(),a b 在直线:30l x y -++=上，设(),D a b ，过点作圆C 的切线，切点为E则DE ==要使得切线DE 长最短，则只需CD 最短.CD 的最小值为过点C 作直线:30l x y -++=的垂线.此时CD ==CE r =所以根据勾股定理，得4DE ==.故选：C【点睛】本题考查了求圆的切线长,解题关键是掌握圆的定义和圆切线的长的求法,,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.4．C【分析】先判断当两直线1l ，2l 与直线PQ 垂直时，两平行直线1l ，2l 间的距离最大，计算得到最大值，进而得到范围.【详解】5PQ ==当1PQ l ⊥时，1l 与2l 的最大距离为5，因为两直线平行，则两直线距离不为0，故选：C.【点睛】本题考查了直线间的距离，判断垂直时距离最大是解题的关键，属于基础题.5．D【分析】倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果.【详解】解：因为直线l 与直线230x y +-=垂直，所以1tan 12θ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，tan 2θ=.又θ为直线倾斜角，解得sin θ. 故选：D.【点睛】 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题.6．B【分析】将两条直线中x 的系数化为相同，根据条件则y 的系数相等，常数不同.【详解】与直线1111:0l A x B y C ++=可以化为1212120A A x B A y C A ++=而直线2222:0l A x B y C ++=可化为1212120A A x A B y AC ++=直线1111: 0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=平行所以1221A B A B =且1221A C A C ≠.故选：B【点睛】本题考查两直线平行的条件的探索，属于基础题.7．B【分析】 要求PN PM -的最大值，则只需要求出PN 的最大值，PM 的最小值即可.【详解】圆1O 的圆心()11,0O ，半径12r =， 圆2O 的圆心()20,2O ，半径12R =， 则PN 的最大值为112+，PM 的最小值为122-， 则PN PM -的最大值为1112022⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.故选：B【点睛】本题主要考查两点间距离的应用，利用点和圆的位置关系，数形结合是解决本题的关键. 8．A【分析】首先根据第一象限内的点(,)M a b 在圆22:1C x y +=内,从而求得221a b +<，根据直线的对称性，可知四边形是直线1ax by +=与坐标轴围成的三角形的面积的四倍，结合三角形的面积公式以及重要不等式求得结果.【详解】由已知221a b +<，四条直线围成的四边形面积224442S ab a b =≥>+，故选A. 【点睛】该题考查的是有关四边形的面积的问题，涉及到的知识点有点与圆的位置关系，四边形的分解，三角形的面积公式，重要不等式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.9．B【分析】求出圆心关于直线y x =对称即可.【详解】圆心()1,4-关于直线y x =的对称点为()41-,，半径不变，∴所求圆的方程为()()22411x y -+-=.故选：B【点睛】本题考查圆关于直线的对称的圆的方程，考查点关于直线的对称点，属于基础题. 10．D【详解】 ()220ax a b y b +++=,整理为：(2)(2)0a x y b y +++=得直线恒过点Q （1，-2），画出图象可知90PMQ ∠=或者M 与P,Q 之一重合，PQ =故点M 在以PQ 为直径的圆上运动，设该圆的圆心为F ，则线段MN 满足的范围为FN MN FN ≤≤+所以：MN 的取值范围是5⎡⎣故选：D11．[]3,7【分析】 先求解两个圆心的距离，结合圆的半径，可求AB 的取值范围.【详解】由题意圆1C 的圆心为()0,0，半径为1；圆2C 的圆心为()3,4，半径为1； 易知125C C =且两圆外离，所以5252AB -≤≤+， 即37AB ≤≤.故答案为：[]3,7.【点睛】本题主要考查圆与圆的关系，求出圆心距及半径是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.12．0x y +=.【分析】由圆的方程，得到圆心C 的坐标，由圆的特征可得：AB CP ⊥ ，从而可求出直线l 的斜率，再由直线过点P ，即可得出直线方程.【详解】因为圆2240x y y +-=的圆心坐标为(0,2)C ，又点P 坐标为(1,1)-，所以直线CP 的斜率为21101CP k -==+； 又因为AB 是圆的一条弦，P 为AB 的中点，所以AB CP ⊥，故1AB k =-，即直线l 的斜率为1-，因此，直线l 的方程为1(1)y x -=-+，即0x y +=.故答案为0x y +=【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系，以及由弦中点坐标，求弦所在直线方程的问题，属于常考题型.13．362x y 0+-=【分析】先求出两相交直线的交点，设出所求直线的方程为20x y m ++=，根据交点在直线上，求出直线方程.联立方程组可知2370x y +-=与71510x y ++=的交点，为1712,3⎛⎫-⎪⎝⎭， 设所求直线为20x y m ++=， 则1712203m ⎛⎫+⨯-+= ⎪⎝⎭，23m =-. 所以直线方程为2203x y +-=，即362x y 0+-= 故答案为： 362x y 0+-=【点睛】本题考查求两直线的交点坐标，考查两直线平行的直线的方程的设法．属于基础题. 14．11【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径r ，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d ，求出d r -即为所求的距离最小值，d r +即为所求的距离最大值.【详解】解：圆224240x y x y -+--=的方程化为标准方程得：()()22211x y ++-=， 圆心坐标为()2,1-，半径1r =.圆心到直线1y x =-的距离d ==所以所求的最近距离为1d r -=，最远距离为1d r +=.故答案为：1；1.【点睛】本题考查了圆的方程及性质，点到直线的距离公式，考查运算求解能力，转化思想，属于基础题.15．30x -= 23π利用当∠ACB 最小时，CP 和AB 垂直，求出AB 直线的斜率，用点斜式求得直线l 的方程．【详解】圆C ：()2214x y -+=的圆心为C （1，0）， 当∠ACB 最小时，CP 和AB 垂直，∴AB312-用点斜式写出直线l 的方程为yx ﹣32），即30x +-=，1CP ==，∴1cos ACP 2CP AC ∠==， ∴ACP 3π∠=，即23ACB π∠= 故答案为：30x +-= ，23π． 【点睛】本题考查用点斜式求直线方程的方法，两直线垂直，斜率之积等于﹣1．判断当∠ACB 最小时，CP 和AB 垂直是解题的关键．16．0或2【分析】直接由直线垂直与系数的关系列式求得m 值；化圆的方程为标准方程，作出图形，数形结合求解．【详解】由题意，直线mx ﹣y ＝1与直线x+m （m ﹣1）y ＝2垂直，所以m×1+（﹣1）×m（m ﹣1）＝0，解得m ＝0或m ＝2；动直线l ：mx ﹣y ＝1过定点（0，﹣1），圆C ：x 2﹣2x+y 2﹣8＝0化为（x ﹣1）2+y 2＝9，圆心（1，0）到直线mx ﹣y ﹣1＝0= 所以动直线l ：mx ﹣y ＝1被圆C ：x 2﹣2x+y 2﹣8＝0截得的最短弦长为=． 故答案为0或2；【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，以及圆的弦长公式，准确求解是解答的关键，着重考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．.17．()221025x y ++=或()()225525x y ++-=5【分析】由题意设动圆C 的方程为：()()2225x a y b -+-=，圆心(),a b 满足100a b -+=，动圆过点()5,0-，则()()225025a b --+-=，可求出圆的方程；由圆O 的圆心()0,0到直线l的距离d ==5r d +=时满足条件..【详解】 依题意，可设动圆C 的方程为：()()2225x a y b -+-=其中圆心(),a b 满足100a b -+=. 又动圆过点()5,0-，()()225025a b ∴--+-=， 解方程组()()221005025a b a b -+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩， 可得100a b =-⎧⎨=⎩或55a b =-⎧⎨=⎩，故所求圆C 的方程为： ()221025x y ++=或()()225525x y ++-=. 由圆O 的圆心()0,0到直线l的距离d ==当满足5r d +=时，即5r =时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆222:O x y r +=相外切.故答案为：()221025x y ++=或()()225525x y ++-=；5【点睛】本题考查求圆的方程，考查两圆的位置关系，属于中档题.18．（1）4340x y -+=(12)x -≤≤；（2）x-2y+6=0，【分析】（1）求出中点M 的坐标后可以直线AM 的两点式方程，整理后可得一般方程. （2）求出BC 的斜率后可以直线AD 的斜率，从而得到直线AD 的方程，而AD 就是A 到直线BC 的距离，利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】解：（1）设点M 的坐标为(),x y ，因为点M 是线段BC 中点， 所以20221,022x y -+-==-==即点M 的坐标为()1,0-， 由两点式得AM 所在直线方程为1421y x +=+即4340x y -+= 所以中线AM 的方程为：4340x y -+= ()12x -≤≤.（2）直线BC 的斜率为：2BC k =-，因为AD BC ⊥，所以112AD BC k k =-=， 所以AD 所在直线方程是()1422y x -=-即260x y -+=. 直线BC 的方程为：220x y ++=，因为AD 就是A 点到直线BC 的距离，所以由点到直线的距离公式得AD ==【点睛】直线有斜率、倾斜角或其所过之点共三种几何要素，知道两个点或一个点及斜率（或倾斜角）都可以求出直线的方程，解题中注意分析题设中已知的条件再选择合适的计算途径来计算直线的方程.19．（1）不表示圆；（2）不表示圆；（3）不表示圆；（4）表示圆，圆心坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径12r =. 【分析】根据圆的一般方程的条件，对各个题进行逐一判断．【详解】（1）227205x y y -++=中，2x 与2y 的系数不同，故原方程不表示圆.（2）22670x xy y x y -+++=中含有xy 项，故原方程不表示圆.（3）2218704D F E +=-=--<，∴原方程不表示圆. （4）()2224110F D E --+==>， ∴方程表示圆，圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 即1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径12r ==. 【点睛】本题考查二元二次方程表示圆的方程的条件，属于基础题．20．（Ⅰ）22(3)(3)13x y -+-=；（Ⅱ）a =【详解】（Ⅰ）曲线y ＝x 2﹣6x +5与坐标轴的交点为A （0，5），B （1，0），C （5，0）， 设圆C 的方程x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，则2550102550E F D F D F ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：665D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆C 的方程为：x 2+y 2﹣6x ﹣6y +5＝0（Ⅱ）由CA ⊥CB 得△ABC 为等腰直角三角形，|AB|=d == 解得：a21．（1）:230l x y -=或:2160l x y +-=；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由条件求得直线l 的点斜式方程，求得纵截距和横截距，列方程可求得斜率k ，即可得到直线的方程；（Ⅱ）先求得点M 关于l 的对称点为()10,4，由反射的原理可得光线所经过的路程为2M M ，由两点间的距离公式求解即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得0k ≠．直线l 的方程为()()4664y k x y k x -=-=-+，即，令0x =，得64y k =-+令0y =，得46x k=-+ ∵l 的纵截距是横截距的两倍46426k k ⎛⎫∴-+=-+ ⎪⎝⎭解得23k =或2k =- ∴直线()2643l y x =-+的方程为或()264y x =--+， 即230x y -=或2160x y +-=（Ⅱ）当1k =-时，直线100l x y +-=的方程为，设点M 关于l 的对称点为()1,M a b ， 则1661002b a a y ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+-=⎪⎩，解得4b ⎨=⎩， ()110,4M ∴点的坐标为，()110,4M ∴关于y 轴的对称点为()210,4M -∴光线所经过的路程为2||M M ==点睛：（1）第一问中容易忽视直线过原点的情形；（2）光的反射的问题实际上就是解析几何中的对称问题，由对称的特点，结合垂直、平分可得一对对称点的坐标之间的关系，然后在根据反射原理将光线所经过的路程转化为两点间的距离求解．22．外切，34600x y -+=，34600x y ++=，12x =-.【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆与圆的位置关系即可判断.【详解】由222:12O x y +=与圆()2221:153O x y ++=可知11215OO r r ===+， ∴圆O 与圆1O 外切，从而可知，两圆有3条公切线.如图，设两圆的外公切线AB 与x 轴相交于(),0P x ， 由相似三角形易知11123PO OA PO O B ==， 即415x x-=--，解得20x =-， 故知()20,0P -，所以16AP ==， ∴外公切线AB 的斜率123164AB k ==， 故两圆的三条公切线方程为：()3204y x =+，()3204y x =-+，12x =-，即34600x y -+=，34600x y ++=，12x =-.【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及两圆公切线的求解，属于中档题.。
人教A版高中数学选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (1)(含答案解析)
选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (1)一、单选题1．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，P 、Q 分别为面1111D C B A 和线段1B C 上的动点，则EPQ △周长的最小值为（ ）A ．BC ．D ．2．已知直线l 过定点()0,1，则“直线l 与圆()2224x y -+=相切”是“直线l 的斜率为34”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．一束光线，从点A (-2，2)出发，经x 轴反射到圆C ：()()22331x y -+-=上的最短路径的长度是（ ）A ．1B ．1C ．1D ．14．已知圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线方程为（ ） A ．1y x =-+ B ．1y x =+ C ．2y x =-+ D ．2y x =+5．已知点集()()(){}2222,cos sin 1,S x y x y R ααα=-+-≤∈，当α取遍任何实数时，S 所扫过的平面区域面积是（ ）A ．πB ．2π+C ．1π+D ．4π+6．已知点(7,3)P ，Q 为圆22:210250M x y x y +--+=上一点，点S 在x 轴上，则||||SP SQ +的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．107．已知直线()10,0ax by c b c ++-=>经过圆22250x y y +--=的圆心，则41b c+的最小值是（ ）. A ．9 B ．8 C ．4 D ．28．在[2-，2]上随机取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆(224x y -+=有公共点”发生的概率为（ ） A ．14B ．12C ．23D ．349．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:29C x y -+=，,E F 是直线:2l y x =+上的两点，若对线段EF 上任意一点P ，圆C 上均存在两点,A B ，使得cos 0APB ∠≤，则线段EF 长度的最大值为（ ）A ．2BC ．D ．4二、多选题10．定义点()00,P x y 到直线l :()2200ax by c a b ++=+≠的有向距离为=d 已知点12,P P 到直线l 的有向距离分别是12,d d .以下命题不正确的是（ ） A ．若121d d ==，则直线12PP 与直线l 平行 B ．若11d =，21d =-，则直线12PP 与直线l 垂直 C ．若120d d +=，则直线12PP 与直线l 垂直 D ．若120d d ⋅≤，则直线12PP 与直线l 相交11．已知直线l ：20ax y +-=与C ：()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，若△ABC 为钝角三角形，则满足条件的实数a 的值可能是（ ） A ．12B ．1C ．2D ．412．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论正确的是（ ） A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0，1)和B (－1，0)C ．不论a 为何值时，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，则|MO |13．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ．点P 满足||1||2PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =D ．C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为114．已知点P 在圆C ：()()22455x y -+-=上，点()4,0A ，()0,2B ，则下列说法中正确的是（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于6 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．cos APB ∠的最大值为45D ．APB ∠的最大值为2π 15．（多选题）下列说法正确的是（ ）A ．直线20x y -+=与两坐标轴围成三角形的面积是2B ．过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- C ．点(1,1)关于直线10x y -+=的对称点为(0,2)D ．经过点(3,4)P ，且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线条数共有6条三、填空题16．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45和30角，过点()1,0P 作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线12y x =上时，则直线AB 的方程是______．17．已知点Q 是直线l ：40x y --=上的动点，过点Q 作圆O ：224x y +=的切线，切点分别为A ，18．已知直线:l y x b =+，曲线:C y b 的取值范围是______． 19．已知()3,1A -，()5,2B -，点P 在直线0x y +=上，若使PA PB +取最小值，则点P 的坐标是___________.20．已知圆心为()()1,0m m <的圆与x 轴相切，且与直线20x y -=相交于,A B 两点，若AB 4=，则实数m =___________.21．已知直线l 经过点()4,3P ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程______． 22．已知(),P x y 为圆221x y +=上的动点，则3410x y ++的最大值为________．23．设点P (x ，y )是圆C ：x 2+(y -2)2=1上的动点，定点A (1，0)，B (－1，0)，则PA PB ⋅的最大值为_____24．已知(),0C m ，若以C 为圆心的圆C 与直线310x y +-=相切于点()1,T n ，则圆C 的标准方程是______．25．点P 在曲线21y x =+上，当点P 到直线25y x =-的距离最小时，P 的坐标是______. 26．已知直线:(1)(1)(3)0l m x m y m ++-+-=，则原点到直线l 的距离的最大值等于___________. 27．已知复数z 满足1i z z -=-（其中i 为虚数单位），则2i z +-的最小值为________． 28．设直线:(1)(21)30()l m x m y m m R -+++=∈与圆222(1)(0)x y r r -+=>交于A ，B 两点，C 为圆心，当实数m 变化时，ABC 面积的最大值为4，则2mr =______.29．圆2221: 290C x y ax a +++-=和圆2222: 4140C x y by b +--+=只有一条公切线，若a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，则2241a b +的最小值为___________. 30．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，BC 的长为______.四、解答题31．已知点(P 在以坐标原点为圆心的圆O 上，直线1l 0y +-=与圆O 相交于A ，B 两点，且A 在第一象限（1）求圆O 在点P 处的切线方程；（2）设()()000,1Q x y x ≠±是圆O 上的一个动点，点Q 关于原点O 的对称点为1Q ，点Q 关于x 轴的对称点为2Q ，如果直线1AQ ，2AQ 与y 轴分别交于()0,m 和()0,n 两点，问mn 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.32．已知点()1,3M ，圆C ：()()22214x y -++=.（1）若直线l 过点M ，且被圆C 截得的弦长为l 的方程；（2）设O 为坐标原点，点N 在圆C 上运动，线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程. 33．已知圆C ：22230x y x ++-=.（1）求斜率为1且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）已知点()4,0A ，()0,4B ，P 是圆C 上的动点，求ABP △面积的最大值.34．以三角形边BC ，CA ，AB 为边向形外作正三角形BCA '，CAB '，ABC '，则AA '，BB '，CC '三线共点，该点称为ABC 的正等角中心．当ABC 的每个内角都小于120º时，正等角中心点P 满足以下性质： （1）120APBAPC BPC ；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．35．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长AB 为2，宽AD 为1，AB ，AD 边分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴，以A 为坐标原点，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上(包括端点).（1）若折痕所在直线的斜率为k ，求折痕所在直线方程；（2）当20k -+≤≤时，求折痕长的最大值；（3）当21k -≤≤-时，折痕为线段PQ ，设()221t k PQ =-，试求t 的最大值36．已知圆C 经过()2,4，()1,3两点，圆心C 在直线10x y -+=上，过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点. （1）求圆C 的方程；（2）若12OM ON ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程. 37．如图，已知圆()22:19M x y -+=，点()2,1A -．（1）求经过点A 且与圆M 相切的直线l 的方程；（2）过点()3,2P -的直线与圆M 相交于D 、E 两点，F 为线段DE 的中点，求线段AF 长度的取值范围．38．已知直线l ：450x ay +-=与直线l ′：20x y -=相互垂直，圆C 的圆心与点(2，1)关于直线l 对称，且圆C 过点M (-1，-1)． （1）求直线l 与圆C 的方程．（2）过点M 作两条直线分别与圆C 交于P ，Q 两点，若直线MP ，MQ 的斜率满足k MP ＋k MQ =0，求证：直线PQ 的斜率为1．39．已知直线l ：10x y -+=，点()12，A --． （1）求过点A 且与l 垂直的直线方程； （2）求点A 关于直线l 的对称点A '的坐标；40．已知直线180l mx y n ++=：，直线2210l x my +-=：，12//l l ()(00)A m n m n >>，，的直线l 被1l 、2l（1）A 点坐标； （2）直线l 的方程．41．已知点(1,0),(4,0)A B ，曲线C 上任意一点P 满足2PB PA =． （1）求曲线C 的方程；（2）设点(3,0)D ，问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点E ，F ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分∠EDF ，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，请说明理由．42．已知在平面直角坐标系xOy 中，点()30A -,. （1）设动点(),M x y ，满足2=MA MO ，求动点M 的轨迹C 的方程； （2）已知Q 点的坐标为()3,3-，求过点Q 且与C 相切的直线方程.43．已知圆C 经过两点(1,3),(3,1)P Q ---，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为(1)2530k x y k -++-=．（1）求圆C 的方程；（2）证明：直线l 与圆C 一定相交； （3）求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．44．如图直线l 过点(3，4)，与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，AOB 的面积为24.点P 为线段AB 上一动点，且//PQ OB 交OA 于点Q .（1）求直线AB 斜率的大小； （2）若APQ 的面积APQS与四边形OQPB 的面积OQPB S 满足：13APQ OQPB S S =△时，请你确定P 点在AB 上的位置，并求出线段PQ 的长；（3）在y 轴上是否存在点M ，使MPQ 为等腰直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.45．已知ABC 的三个顶点()30A -，，2(3)B -，，(01)C ，. （1）求ABC 外接圆的方程； （2）求ABC 内切圆的方程.46．已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==.从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y .（1）求切点1P 坐标和切点n P 的坐标；（2）已知()f x x x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭n n x y <.47．如果()2,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()2,0D -，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω，（1）求AB 所在圆与CB 所在圆的公共弦方程； （2）求CB 与BA 的公切线方程.48．如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45︒的方向做匀速直线航行，速度为/小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东1tan 2θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭的方向作匀速直线航行，速度为/小时.（1）求出发后3小时两船相距多少海里？ （2）求两船出发后多长时间距离最近？49．已知圆()22:11M x y -+=，15,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,B t ，()()0,404C t t -<<，直线,PB PC 都是圆M 的切线，且点P 在y 轴右侧.（1）过点A 的直线l 被圆M l 的方程； （2）当1t =时，求点P 的横坐标； （3）求PBC 面积的最小值.五、双空题50．已知直线1:30l x y -+=，2:20l x y +=相交于点A ，则点A 的坐标为_________，圆22:+C x y 2410x y -++=，过点A 作圆C 的切线，则切线方程为__________.【答案与解析】1．B 【解析】先分析出P 在B 1C 1上时,△PEQ 的周长更短.过E 点作关于B 1C 1的对称点N ,关于B 1C 的对称点M ,则,EQ MQ EP NP ==，过P 作在平面BCC 1B 1的投影P ',连接,P Q P E '',则,PQ P Q PE P E ''>>,所以只有P 在B 1C 1上时,△PEQ 的周长更短.过E 点作关于B 1C 1的对称点N ,关于B 1C 的对称点M ,则,EQ MQ EP NP ==，把△PEQ 的周长转化为PQ PN QM ++，当,,,N P Q M 共线时，周长最短，即可求解.所以△PEQ 的周长可以转化为PQ PN QM ++. 当,,,N P Q M 共线时，周长最短.则=PQ PN QM MN ++.因为E 为中点,所以111,1C N C E CM CE ====，所以△PEQ 的周长为MN即EPQ △. 故选:B距离的计算方法有两类：（1）几何法：利用几何图形求最值；（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. 2．B 【解析】首先根据题意求直线l ，再判断充分，必要条件. 当直线斜率存在时，直线l 的方程是1y kx =+，圆心()2,0到直线10kx y -+=的距离2d =，解得：34k =，当直线斜率不存在时，直线l 的方程是0x =与圆()2224x y -+=相切，综上可知，“直线l 与圆()2224x y -+=相切”是“直线l 的斜率为34”的必要不充分条件.故选：B 3．A 【解析】求出点A 关于x 轴对称点A '，再求点A '与圆C 上的点距离最小值即可. 依题意，圆C 的圆心(3,3)C ，半径1r =，点A (-2，2)关于x 轴对称点(2,2)A '--，连A C '交x 轴于点O ，交圆C 于点B ，如图，圆外一点与圆上的点距离最小值是圆外这点到圆心距离减去圆的半径，于是得点A '与圆C 上的点距离最小值为1A B A C r ''=-=1=， 在x 轴上任取点P ，连,,AP A P PC '，PC 交圆C 于点B '，而,AO A O AP A P ''==，AO OB A O OB A B A C r A P PC r AP PB '''''+=+==-≤+-=+，当且仅当点P 与O 重合时取“=”，所以最短路径的长度是1. 故选：A 4．D 【解析】本题首先可求出两圆的圆心，然后根据题意得出直线l 过两圆心连接而成的线段的中点且互相垂直，最后根据直线的点斜式方程即可得出结果. 224x y +=，圆心为()0,0，半径为2，224440x y x y ++-+=，即()()22224x y ++-=，圆心为()2,2-，半径为2，因为圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称， 所以直线l 过两圆心连接而成的线段的中点且互相垂直， 则直线l 过点()1,1-，斜率112020k，故直线方程为11y x -=+，即2y x =+， 故选：D. 5．A 【解析】根据题意S 中的元素组成以()22cos ,sin αα为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部，当α取遍任何实数时，点集S 对应的图形如图，为矩形与两个半圆的组合图形，从而可得答案. 根据题意，点集()()(){}2222,cos sin 1,S x y x y R ααα=-+-≤∈，S 中的元素组成以()22cos ,sin αα为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部，设M ()22cos ,sin αα又由22220cos 10sin 1sin cos 1a a αα⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪+=⎩，则圆心M 在线段()101x y x +=≤≤上，则点集S 对应的图形如图，为矩形ABCD 与两个半圆的组合图形， 其中AB＝2，BC ，则当α取遍任何实数时，S 所扫过的平面区域面积S＝2ππ=；故选：A ．6．C【解析】本题目是数形结合的题目，根据两点之间线段最短的原则，可以将SP 转换为'SP ，连接'MP ，找到S 点的位置，从而求出线段和的最小值将圆方程化为标准方程为：()()22151x y -+-=，如下图所示：作点(7,3)P 关于x 轴的对称点'(7,3)P -，连接'MP 与圆相交于点Q ，与x 轴相交于点S ，此时，||||SP SQ +的值最小，且'''||||||||SP SQ SP SQ P Q P M r +=+==-，由圆的标准方程得：M 点坐标为()1,5，半径1r =，所以'10P M ==，'9P M r -=，所以||||SP SQ +最小值为9 故选：C 7．A 【解析】直线过圆心，先求圆心坐标，利用1的代换，以及基本不等式求最小值即可．解：圆22250x y y +--= 即22(1)6x y +-=，表示以(0,1)C 的圆． 由于直线()10,0ax by c b c ++-=>经过圆22250x y y +--=的圆心，故有1b c +=．∴()()5414152494c b c b b c b cb c +=+=++++= 当且仅当223b c ==时，取等号， 故41b c+的最小值为9， 故选：A ． 8．B 【解析】先求出直线与圆有公共点的k 值区间，再利用几何概型即可求出概率.显然，圆(224x y -+=的圆心坐标为0)，半径为2，直线y kx =与圆(224x y -+=2≤，解得11k -≤≤，在[2-，2]上随机取一个数k 的试验的全部结果构成的区间长度为4，“直线y kx =与圆(224x y -+=有公共点”的事件A 的区间长度为2，于是得21()42P A ==，事件“直线y kx =与圆(224x y -+=有公共点”发生的概率为12.故选：B 9．C 【解析】设圆的切线为PM 、PN ，由cos 0APB ∠≤得90APB ∠≥，即90MPN ∠≥， 再求得PC 的取值范围，求得点P 的坐标，即可求得EF 的最大值． 由题意，圆心到直线:2l y x =+的距离为3d =<（半径）故直线l 和圆相交；当点P 在圆外时，从直线上的点向圆上的点连线成角， 当且仅当两条线均为切线时，APB ∠才是最大的角，不妨设切线为PM ，PN ，则由cos 0APB ∠≤， 得90APB ∠≥， 90MPN ∴∠≥；当90MPN ∠=时，32sin sin 452MPC PC ∠===，PC ∴=设()00,2P x x +，PC ==解得：0x =设())2,2E F，如图，EF 之间的任何一个点P ，圆C 上均存在两点,A B ，使得90APB ∠≥，线段EF 长度的最大值为EF ==故选：C 10．BCD 【解析】要理解题目中有向距离的概念，点在直线上方时为正，下方时为负，绝对值代表点到直线的距离，根据各选项判断即可 设()111,P x y , ()222,P x y ,选项A, 若121d d ==, 则1122ax by c ax by c ++=++=则点12,P P 在直线的同一侧，且到直线距离相等，所以直线12PP 与直线l 平行, 所以正确;选项B, 点12,P P 在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等, 直线12PP 不一定与l 垂直, 所以错误; 选项C, 若120d d ==, 满足120d d +=, 即11220ax by c ax by c ++=++=, 则点12,P P 都在直线l 上, 所以此时直线12PP 与直线l 重合, 所以错误; 选项D, 若120d d ⋅≤, 即()()11220ax by c ax by c ++++≤, 所以点12,P P 分别位于直线l 的两侧或在直线l 上, 所以直线12PP 与直线l 相交或重合, 所以错误. 故选：BCD 11．AC 【解析】根据ABC 的形状先判断出CAB ∠的大小，然后结合圆心到直线的距离d 以及sin CAB ∠的取值范围求解出a 的取值范围.由题意，圆C 的圆心为()1,a ，半径为2r，由于△ABC 为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则045CAB ︒<∠<︒， 设圆心C 到直线l 的距离为d，则d =则0sin 2d CAB r <∠==<， 且直线不经过圆心，即20a a +-≠，整理可得24101a a a ⎧-+<⎨≠⎩，解得22a <<+，且1a ≠.所以()(21,2a ∈⋃. 故选：AC. 12．ABD 【解析】对A ，根据斜率相乘为1-可判断；对B ，可直接求出定点可判断；对C ，取特殊的点代入即可判断；对D ，联立直线求出交点即可表示出MO 即可求出最值.对于A ，1(1)0a a ⨯+-⨯=恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A (0，1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1，0)，故B 正确． 对于C ，在l 1上任取点(,1)x ax +，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为(1,)ax x ---，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不等于0，故C 不正确；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MO MO，故D 正确. 故选：ABD. 13．ABD 【解析】对于A ，设点(),P x y ，由||1||2PA PB =结合两点间的距离公式化简即可判断，对于B ，由A 可知曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，从而可求出圆上的点到点()1,1的距离的范围，进而进行判断，对于C ，设()00,M x y ，由2MO MA =，由距离公式可得方程，再结点()00,M x y 在曲线C 上，得到一个方程，两方程联立求解判断，对于D ，由于曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，所以只要求出圆心到直线的距离减去圆的半径可得答案由题意可设点(),P x y ，由()2,0A -，()4,0B ，||1||2PA PB =，12=，化简得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，所以选项A 正确；对于选项B ，曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，点()1,1与圆心的距离为44，而34]∈，所以选项B 正确；对于选项C ，设()00,M x y ，由2MO MA =，又()2200416x y ++=，联立方程消去0y 得02x =，解得0y 无解，所以选项C 错误； 对于选项D ，C 的圆心()4,0-到直线34130x y --=的距离为|3(4)13|55d ⨯--==，且曲线C 的半径为4，则C 上的点到直线34130x y --=的最小距离541d r -=-=故选项D 正确； 故选：ABD ． 14．BCD 【解析】首先求出线段AB 的中点，即可求出线段AB 的垂直平分线，再由圆心在直线上，即可求出P 到直线AB 的距离的最值，当ABP △的外接圆与圆C 相内切时，APB ∠最小，当ABP △的外接圆与圆C 相外切时，APB ∠最大，数形结合即可求出cos APB ∠的最大值； 解：(4,0)A ，(0,2)B ，所以线段AB 的中点为()2,1M ，201042AB k -==--，所以线段AB 的垂直平分线为()122y x -=-，即23y x =-，因为圆C ：()()22455x y -+-=，圆心()4,5C ，半径r = 又点()4,5C 恰在直线23y x =-上，所以点P 到直线AB 的距离最小值为2CM r -=，最大值为6CM r +=，由正弦定理可知，当ABP △的外接圆与圆C 相内切时，APB ∠最小，此时cos APB ∠最大，此时P 恰在23y x =-与()()22455x y -+-=的一个交点上，由()()2245523x y y x ⎧-+-=⎪⎨=-⎪⎩解得57x y =⎧⎨=⎩或33x y =⎧⎨=⎩，所以()5,7P ，所以AP =PMcos PM APM AP ∠==24cos cos 22cos 15APB APM APM ∠=∠=∠-=，当ABP △的外接圆与圆C 相外切时，APB ∠最大，此时2APB π∠=，故C 、D 正确；故选：BCD15．AC 【解析】选项A 先求出直线20x y -+=与两坐标轴的交点坐标，再求面积；选项B 利用直线方程的条件限制判定；选项C 利用求一点关于直线对称的点的步骤求解；选项D 分截距为零和截距不为零讨论，对于截距不为零的利用截距式方程求解.选项A ：因为直线20x y -+=与两坐标轴的交点为()2,0A -，()0,2B ，所以直线20x y -+=与两坐标轴围成三角形的面积是12222⨯-⨯=，故选项A 正确；选项B ：直线方程写成11y y x x y y x x --=--的条件为1212,y y x x ≠≠，故选项B 错误；选项C ：设点(1,1)关于直线10x y -+=的对称点为(),m n ，由1110,221111m n n m ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，解得0,2m n =⎧⎨=⎩，故选项C 正确；选项D ：当截距为零时，有一条43y x =；当截距不为零时，设直线方程为1x ya b+=， 因为过定点(3,4)P ，所以341a b +=，即1243b a =+-，又a ，b 均为正整数，所以3a -必为12的正因数1，2，3，4，6，12，共6种情况， 故综合起来应该有7条，故选项D 错误． 故选：AC.16．(3230x y -- 【解析】先求出射线OA ，OB 的方程，(),A m m，(),B n ，可得点C 的坐标，利用点C 在直线12y x =以及Ap BP k k =列方程组可得m 的值，再求出Ap k ，由点斜式可得直线方程. 由题意可得tan 451OA k ==，()3tan 18030tan1503OB k =-==-，所以直线OA 的方程：y x =，直线OB 的方程：y =， 设(),A m m ，(),B n ，所以AB 的中点2m n C ⎫+⎪⎪⎝⎭， 由点C 在直线12y x =上，且,,A P B 三点共线得：12201m n m m ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得：m ，所以A又()1,0P，所以AB AP k k =，所以直线AB 的方程是：)1y x =-，即(3230xy --=， 故答案为：(3230x y --=. 17．(1，－1) 【解析】恒过的定点坐标.由题意可设Q 的坐标为(m ，n )，则m －n －4＝0，即m ＝n ＋4，过点Q 作圆O ：224x y +=的切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为mx ＋ny －4＝0，又由m ＝n ＋4，则直线AB 的方程变形可得nx ＋ny ＋4x －4＝0，则有0440x y x +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，则直线AB 恒过定点(1，－1).故答案为：(1，－1).18．1b ≤<【解析】由直线、曲线方程画出对应的图形，应用数形结合法，确定对应图形有两个交点时参数b 的取值范围.y x b =+表示斜率为1的平行直线系；y x 轴及其上方的半圆，如图所示．当l 通过()1,0A -，()0,1B 时，l 与C 有两交点，此时1b =，记为1l ；当l 与半圆相切时，此时b =2l ； 当l 夹在1l 与2l 之间时，l 和C 有两个不同的公共点．综上，1b ≤<故答案为：1b ≤<19．1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】求出点A 关于直线0x y +=的对称点E ，则直线BE 与0x y +=的交点即为所求. 点()3,1A -关于直线0x y +=的对称点为()1,3E -，又()5,2B -， 则直线BE 的方程为135123x y -+=--+，即4130x y --=，联立41300x y x y --=⎧⎨+=⎩，解得135x =，135y =-，所以使PA PB +取最小值的点P 的坐标是1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.20．-7 【解析】根据题意可知半径r m =-，进而算出圆心到直线的距离，再根据弦长为4，通过勾股定理列出等式即可解出.因为圆心为()()1,0m m <的圆与x 轴相切，所以半径r m =-，圆心到直线20x y -=的距离d =又因为AB 4=，由()2222212||425m AB r d m -⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭，因为0m <，所以7m =-. 故答案为：-7.21．7y x =-+或34y x = 【解析】直线在两坐标轴上的截距相等，有两种情况，斜率为1-，或直线过原点，结合直线过点()4,3P 即可求解，有两种情况因为直线与坐标轴的截距相等，则直线的斜率为1-，或直线过原点，当直线斜率为1-时，因为直线过点()4,3P ，根据点斜式，直线方程为：()34y x -=--，化简得：7y x =-+； 当直线过原点时，34k =，所以直线方程为34y x =故答案为：7y x =-+或3y x =22．15 【解析】设3410t x y =++，即34100x y t ++-=，由直线与圆相切可得t 的范围，即可求解. 设3410t x y =++，则34100x y t ++-=，直线与圆相切时圆心()0,0到直线34100x y t ++-=的距离1d =，1=，解得：5t =或15t =，所以515t ≤≤，所以5341015x y ≤++≤， 所以3410x y ++的最大值为15， 故答案为：15. 23．8 【解析】用点P 的坐标表示出PA ，PB ，再求出PA PB ⋅并借助点P 在圆C 上的条件即可作答. 因点(,)P x y 在圆C 上，即22(2)1x y +-=，则22(1)2x y =--，且13y ≤≤， 而(1,),(1,)P PA x y x y B =--=---，于是得22221(2)44PA x y y y y PB ⋅=-+=--+=-，显然44y -在[1,3]y ∈上单调递增，则当3y =时，max (44)8y -=，即max ()8P PA B ⋅=， 所以PA PB ⋅的最大值为8. 故答案为：824．()22740x y -+=． 【解析】根据题意直接可求出n ，再根据切线的性质可得直线CT 与直线310x y +-=垂直，从而求出m ，进而求得半径，即可得出答案.解：根据题意，圆C 与直线310x y +-=相切于点()1,T n ， 则()1,T n 在直线310x y +-=上，则有310n +-=，解可得2n =-， 又由圆心C 的坐标为(),0m ，直线310x y +-=的斜率为3-， 则有0113n m -=-，解可得7m =，圆的半径r TC == 故圆C 的标准方程是()22740x y -+=； 故答案为：()22740x y -+=． 25．(1,2) 【解析】任取曲线上一点()00,x y ，利用点到直线的距离公式可得d =求出d 取最小值时，01x =，即可得到答案；解：任取曲线上一点()00,x y ，则0021y x =+直线:25,l y x =-即250x y --= 点()00,x y 到直线l的距离为d===()20150y x =-+>在01x =时，min d ==02y =，故答案为：(1,2) 26【解析】根据题意,设原点到直线的距离为d ,将直线变形分析可得直线经过定点(1,2),设M (1,2),分析可得d OM ≤，即可得答案.根据题意，设原点到直线的距离为d .直线()()():1130l m x m y m ++-+-=,即()130m x y x y -+++-=则有1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩,即直线l 恒过定点(1,2).设M (1,2),则d OM ≤即原点到直线l故答案为:.27【解析】由复数的几何意义可得满足题意的复数z 对应的点P 到复数1和i 对应点(1,0)A ，(0,1)B 距离相等，即轨迹为线段AB 的垂直平分线,则2i z +-的最小值即可转化为点(2,1)-到垂直平分线的距离求解．如图所示,设复数z ，1，i 对应的点分别为(),P x y ，(1,0)A ，(0,1)B , 由题意1i z z -=-得PA PB =即点P 的轨迹为线段AB 的垂直平分线l ,由平面几何知识可求得垂直平分线l 的方程为:0x y -=, 由|i 2i ||(2)(1)i |2i z x y x y =++-=+-++-,所以2i z +-的最小值即为点(2,1)C -到直线l 的距离,则由d CP ==,即2i z +-的故答案为:本题考查了复数的几何意义,复数模的几何意义及其运算,重点考查了运算能力,属于中档题． 28．4-或28-． 【解析】求出圆心C 到直线l 的距离，利用勾股定理求出弦长，计算ABC 的面积，从而求出直线的斜率与方程．解：直线:(1)(21)30()l m x m y m m R -+++=∈， 直线l 的方程可化为：()(23)0x y m x y -++++=， 可得230y xx y =⎧⎨++=⎩，直线恒过：(1,1)--．圆222(1)(0)x y r r -+=>的圆心(1,0)，半径为：r ． 圆心C 到直线l 的距离为：d ；所以三角形ABC 的面积为211||22ABCS AB d r =⋅⋅≤，2142r =，解得r =2d =．2，解得12m =-或72m =-所以，24mr =-或28-． 故答案为：4-或28-． 29．4 【解析】首先将两圆方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意可得两圆相内切，即可得到31-，从而得到2244a b +=，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；解：因为圆2221:290C x y ax a +++-=和圆2222:4140C x y by b +--+=，所以圆()221:9C x a y ++=和圆()222:21C x y b +-=，圆心分别为()1,0C a -，()20,2C b ，半径分别为3和1，依题意可知两圆31=-，所以2244a b +=，因为a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，所以()22222222224416411111884444a b a b a a b b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝+⎝⎭，当且仅当222216b a a b =时，等号成立，所以2241a b +的最小值为4； 故答案为：430．【解析】建立直角坐标系，根据条件将B 点轨迹转化为阿氏圆的问题来解决如上图所示，以AC 的中点为原点，AC 边所在直线为x 轴建立直角坐标系，因为6AC =，所以()30A -,，()3,0C ，设点(),B x y ，因为sin 2sin C A =，由正弦定理可得：2c a =，即2AB BC =， 所以：()()22223434x y x y ++=-+，化简得：()22516x y -+=，且1x ≠，9x ≠， 圆的位置如上图所示，圆心为()5,0，半径4r =，观察可得，三角形底边长AC 不变的情况下，当B 点位于圆心D 的正上方时，高最大， 此时ABC 的面积最大，B 点坐标为()5,4，所以BC ==故答案为：31．（1）40x -=；（2）是定值，理由见解析. 【解析】（1）算出OP k ，然后可算出答案；（2）可得()100,Q x y --，()200,Q x y -，22004x y +=，然后表示出直线1AQ ，2AQ 的方程，然后可得0m =n =，然后可算出mn 的值.（1）因为OP k ==O 在点P处的切线斜率为所以圆O在点P处的切线方程为)1y x =-，即40x -= （2）是定值，理由如下解方程组224y x y +-=+=⎪⎩，可得A ， 因为()000,(1)Q x y x ≠±，所以()100,Q x y --，()200,Q x y -，22004x y +=，由10:1)AQ y x -，令0x=，得0m =由20:1)AQ y x -，令0x =，得0n =∴2020004(1)41x mn x --===-． 32．（1）158390x y +-=或1x =；（2）()223112x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.【解析】（1）由条件求出圆心到直线l 的距离，然后分直线l 的斜率不存在、直线l 的斜率存在两种情况求解即可；（2）设()00,N x y ，(),P x y ，然后由()()2200214x y -++=，中点坐标公式可得答案.（1）因为直线l 被圆C截得的弦长为所以圆心到直线l1=当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，满足 当直线l 的斜率存在时，则其方程为()13y k x =-+所以1518d k ==⇒=-，此时直线方程为158390x y +-= 综上：直线方程为158390x y +-=或1x = （2）设()00,N x y ，(),P x y 则()()2200214x y -++= 因为P 是MN 中点，则满足000012122332x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩代入方程得：()223112x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭33．（1）1y x =±；（2）10+【解析】（1）设直线方程为：y x b =+，根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解. （2）易得点P 到直线AB 的距离的最大值为圆心到直线的距离d 与圆的半径之和，即max h d r =+，然后()()max12ABP SAB d r =⨯⨯+求解. （1）设直线方程为：y x b =+， 圆C ：()2214x y ++=， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即21d b ==⇒=±，所以直线l 方程为：1y x =±.（2）AB == 直线AB 的方程为：4y x =-+，圆心到到直线AB 的距离为：d ==所以点P 到直线AB 的距离的最大值为max 2h d r =+，所以()max 12102ABP S⎫=⨯=+⎪⎪⎝⎭.34．2【解析】由题可知，所要求的代数式恰好表示平面直角坐标系中三个距离之和，所以首先要把代数式中三个距离的对应的点找到，再根据题干所述找到相应的费马点，即可得出结果． 根据题意，在平面直角坐标系中，令点(0,1)A ，(0,1)B -，(2,0)C ，(,)x y 到点A 、B 、C 的距离之和，因为ABC 是等腰三角形，AC BC =，所以C '点在x 轴负半轴上，所以CC '与x 轴重合， 令ABC 的费马点为(,)P a b ，则P 在CC '上，则0b =，因为ABC 是锐角三角形，由性质（1）得120APC ∠=︒，所以60APO ∠=︒，所以1a =a =P ⎫∴⎪⎪⎝⎭到A 、B 、C 的距离分别为PA PB =2PC =，,即为费马点P 到点A 、B 、C 的距离之和，则2PA PB PC ++=35．（1）2122k y kx =++；（2）2；（3）-【解析】（1）根据对折的对称性可得，若折叠后A 点落在G 点，则斜率相乘为1-，从而得到G 点的坐标关于k 的表达式，写出折痕所在的直线方程（2）当20k -+≤≤，分析可得折痕交在BC 和y 轴上，求出交点坐标，求出折痕长度关于k 的表达式，结合k 的范围求出最大值（3）当21k -≤≤-时，折痕交在DC 和x 轴上，求出PQ 的表达式，代入求出t 关于k 的表达式，结合k 的范围求出t 的最大值（1）①当0k =时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程12y =； ②当0k ≠时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为(),1G a ， 所以A 与G 关于折痕所在的直线对称， 有111OG k k k a k a⋅=-⇒⋅=-⇒=-， 故G 点坐标为(),1G k -，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标，即线段OG 的中点为122k M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，折痕所在的直线方程122k y k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即2122k y kx =++，由①②得折痕所在的直线方程为：2122k y kx =++；（2）当0k =时，折痕的长为2，当折痕刚好经过B 点时，将()2,0代入直线方程得：2410k k ，2k =-+2k =-时，A 点不在线段DC 上，舍）当20k -<时，折痕两个端点一定在BC 和y 轴上，直线交BC 于点212,222k P k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，交y轴于210,2k Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(22222211||224444732222k k PQ k k ⎡⎤⎛⎫+=+-++=+≤+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∴2= ，而22>，故折痕长度的最大值为2；()3当21k -≤≤-时，折痕的两个端点一定在DC 和x 轴上，直线交DC 于1,122kP k ⎛⎫-⎪⎝⎭，交x 轴于21,02k Q k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，2222111||11222k k PQ k k k ⎡⎤+⎛⎫=---+=+⎢ ⎪⎥⎝⎭⎣⎦，22(2||1)t k PQ k k∴=-=+， 21k -≤≤-，2k k∴+≤-当且仅当()21k =--，时取“=”号)，∴当k =t 取最大值，t 的最大值是-本题综合考查了直线方程、函数的最值、均值不等式，考查了数形结合和分类讨论的数学思想，属难题．36．（1）()()22231x y -+-=；（2）1y x =+. 【解析】（1）设圆C 的圆心和半径，根据已知条件用待定系数法列方程求解（2）设设直线方程1y kx =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则121212OM ON x x y y ⋅=+=，所以需要含参直线与圆联立方程，根据韦达定理进行计算，一个方程求解一个未知数 解：（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则依题意，得()()()()22222224,13,10,a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩解得2,3,1,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴圆C 的方程为()()22231x y -+-= （2）设直线l 的方程为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1y kx =+，代入22(2)(3)1x y -+-=并。
第二章 直线与圆的方程复习卷-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
日照神州天立高级中学21—22学年高二上期期中复习题4直线与圆班级:_________ 姓名：_________ 满分：100分分数：_________一、单选题（共12小题，每小题4分，共48分）1.直线√3x−3y−5=0的倾斜角为( )A．π6B．π3C．2π3D．5π62.已知过点A(a,2)，B(−1,4)的直线的斜率为−1，则a=( )A．−2B．−1C．1D．23.两圆x2+y2−4x+2y+1=0与x2+y2+4x−4y−1=0的公切线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条4.两平行直线3x−2y−1=0和6x−4y+3=0间的距离是( )A．5√1326B．4√1313C．2√1313D．3√13135.直线3x+4y=b与圆(x−1)2+(y−1)2=1相切，则b的值是( )A．−2或12B．2或−12C．−2或−12D．2或126.已知直线l1:ax+4y−2=0与直线l2:2x−5y+b=0互相垂直，垂足为(1,c)，则a+b+c的值为( )A．20B．−4C．0D．247.方程x=√1−y2表示的图形是( )A．两个半圆B．两个圆C．圆D．半圆8.若圆C:x2+y2=4上的点到直线l:y=x+a的最小距离为2，则a=( )A．±2√2B．±2√2−2C．±4√2−2D．±4√29.点P(2,3)到直线l:ax+y−2a=0的距离为d，则d的最大值为( )A．3B．4C．5D．710.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a,b)与圆x2+y2=1的位置关系是()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能11.与圆x2+y2=1及圆x2+y2−8x+12=0都外切的圆的圆心在( )A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上12.一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道（双向双车道），则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )A．1.8米B．3米C．3.6米D．4米二、多选题（共2小题，每小题5分，共10分）13.已知圆M的一般方程为x2+y2−8x+6y=0，则下列说法中正确的是( )A．圆M的圆心为(4,−3)B．圆M被x轴截得的弦长为8C．圆M的半径为25D．圆M被y轴截得的弦长为614.若直线l:ax+y+2a=0被圆C:x2+(y−4)2=4截得的弦长为2√2，则a的值为( )A．−7B．−1C．7D．1三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）15.已知A(−1,4)，B(5,−4)，则以AB为直径的圆的标准方程是．16.圆C:x2+y2+2x+4y=0的圆心到直线3x+4y=4的距离d=．17.若点P(1,1)为圆x2+y2−6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为．18.数学家高斯曾经研究过这样一个问题：在一个给定半径的圆内有多少个坐标均为整数的点．该问题被称为著名的高斯圆内整点问题．设圆x2+y2=5，则圆内（包括圆上）的整点有个．四、解答题（共2小题，共22分）19.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x−2)2+(y−3)2=1交于M，N两点．(1) 求k的取值范围；(2) 若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12，其中O为坐标原点，求∣MN∣．20.树林的边界是直线l（如图），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A和点B处，AB=BC=a（a为正实数），若兔子沿AD方向以速度2μ向树林逃跑（D为l上异于C的点），同时狼沿线段BM（M∈AD）方向以速度μ进行追击，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子．(1) 求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积S(a)；(2) 若兔子没被狼吃掉，求θ(θ=∠DAC)的取值范围．答案一、选择题（共12题）1. 【答案】A【知识点】直线倾斜角与斜率2. 【答案】C【解析】因为过点A(a,2)，B(−1,4)的直线的斜率为−1，所以k AB=4−2−1−a=−1，解得a=1．【知识点】直线倾斜角与斜率3. 【答案】C【解析】因为圆x2+y2−4x+2y+1=0化为(x−2)2+(y+1)2=4，它的圆心坐标(2,−1)，半径为2；圆x2+y2+4x−4y−1=0化为(x+2)2+(y−2)2=9，它的圆心坐标(−2,2)，半径为3；因为√(2+2)2+(−1−2)2=5=2+3，所以两个圆相外切，所以两个圆的公切线有3条．【知识点】圆与圆的位置关系4. 【答案】A【解析】直线6x−4y+3=0可化为3x−2y+32=0．故两平行直线间的距离d=∣−1−32∣∣√32+(−2)2=5√1326．【知识点】点到直线的距离与两条平行线间的距离5. 【答案】D【解析】由圆的方程(x−1)2+(y−1)2=1，可得圆心C(1,1)，半径r=1，则圆心C(1,1)到直线3x+4y=b的距离d=√32+42=1，解得b=2或b=12．【知识点】圆的切线6. 【答案】B【解析】直线l1的斜率为−a4，直线l2的斜率为25，由两直线垂直，可知−a4⋅25=−1，得a=10．将垂足(1,c)的坐标代入直线l1的方程，得c=−2，将垂足(1,−2)的坐标代入直线l2的方程，得b=−12，所以a+b+c=10−12−2=−4．【知识点】直线与直线的位置关系7. 【答案】D【解析】根据题意，x≥0，再对方程两边同时平方得x2+y2=1，由此确定图形为半圆．【知识点】圆的标准方程8. 【答案】D【解析】圆C的圆心(0,0)到直线x−y+a=0的距离d=√2，圆的半径等于2，所以√2−2=2，解得a=±4√2．【知识点】直线与圆的综合问题9. 【答案】A【解析】解法一：易得直线l:y=−a(x−2)，据此可知直线l恒过定点M(2,0)，当直线l⊥PM时，d有最大值，结合两点间的距离公式，可得d的最大值为√(2−2)2+(3−0)2=3．解法二：由点到直线的距离公式有d=√a2+1=√a2+1≤3．【知识点】点到直线的距离与两条平行线间的距离10. 【答案】B【解析】由题意知√a2+b2<1，所以√a2+b2>1，所以点P在圆外．【知识点】直线与圆的位置关系11. 【答案】B【解析】设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O(0,0)，半径为1；圆x2+y2−8x+12=0的圆心为F(4,0)，半径为2，依题意得∣PF∣=2+r，∣PO∣=1+r，则∣PF∣−∣PO∣=(2+r)−(1+r)=1<∣FO∣，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选B．【知识点】圆的标准方程、圆的一般方程12. 【答案】C【解析】以半圆形隧道的直径所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=4.52(y≥0)．因为卡车宽2.7米，所以不妨设D(2.7,0)，A(2.7,y)，将A点坐标代入半圆的方程得2.72+y2=4.52，解得y=3.6（负值舍去）．因此这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过 3.6米．故选C．【知识点】圆的标准方程二、不定项选择题（共2题）13. 【答案】A；B；D【解析】圆M的一般方程为x2+y2−8x+6y=0，则(x−4)2+(y+3)2=25．圆的圆心坐标为(4,−3)，半径为5．显然选项C不正确．ABD 均正确．【知识点】圆的一般方程14. 【答案】A；B【解析】圆心为C(0,4)，半径R=2，因为直线l:ax+y+2a=0被圆C:x2+(y−4)2=4截得的弦长为2√2，所以圆心到直线的距离d满足d2=R2−(√2)2=4−2=2，即d=√2=√a2+1，平方整理得a2+8a+7=0，解得a=−1或a=−7.【知识点】直线被圆截得的弦长三、填空题（共4题）15. 【答案】(x−2)2+y2=25【解析】因为∣AB∣=√(5+1)2+(−4−4)2=10，所以r=5，AB的中点坐标为(2,0)，所以所求的圆的标准方程为(x−2)2+y2=25．【知识点】圆的标准方程16. 【答案】3【解析】圆C:x2+y2+2x+4y=0化为(x+1)2(y+2)2=5，可得圆心坐标为(−1,−2)，(−1,−2)到直线3x+4y−4=0距离为√9+16=3．【知识点】直线与圆的综合问题17. 【答案】2x−y−1=0【知识点】直线与圆的位置关系18. 【答案】21【解析】根据题意，画出图形，如图．由图可得，圆x2+y2=5内（包括圆x2+y2=5上）的整点有21个．【知识点】圆的标准方程四、解答题（共2题）19. 【答案】(1) 由题设，可知直线l的方程为y=kx+1．因为l与C交于两点，所以√1+k2<1，解得4−√73<k<4+√73．所以k的取值范围为(4−√73,4+√73)．(2) 将y=kx+1代入方程(x−2)2+(y−3)2=1，整理得(1+k2)x2−4(1+k)x+7=0．设M(x1,y1)，N(x2,y2)，所以x1+x2=4(1+k)1+k2，x1x2=71+k2，OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8.由题设可得OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4k(1+k)1+k2+8=12，解得k=1，所以l的方程是y=x+1，故圆心C在l上，所以∣MN∣=2．【知识点】直线与圆的位置关系、直线被圆截得的弦长20. 【答案】(1) 建立如图所示的平面直角坐标系．则A(0,2a)，B(0,a)，设M(x,y)．由∣BM∣μ≤∣AM∣2μ得x2+(y−2a3)2≤4a29，所以点M在以(0,2a3)为圆心，2a3为半径的圆（上）及其内部，所以S(a)=4a29π．(2) 设直线l AD:y=kx+2a(k≠0)．由兔子没被狼吃掉可得∣2a−2a3∣∣√1+k2>2a3，解得−√3<k<√3且k≠0，可得0<∠ADC<π3，所以θ∈(π6,π2).【知识点】直线与圆的综合问题。
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第二章 直线和圆的方程专题测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·福建高二学业考试）已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（ ） A ．－2 B ．－1C ．0D ．1【答案】D【解析】已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，因为12//l l ，所以1k =故选：D2．（2020·洮南市第一中学高一月考）直线()()1:2140l a x a y -+++=与()2:190l a x ay ++-=互相垂直，则a 的值是（ ）. A ．-0.25 B ．1C ．-1D ．1或-1【答案】D【解析】当10a +=时，1a =-，此时14:3l x =，2:9l y =-，显然两直线垂直， 当0a =时，此时1:240l x y -++=，2:9l x =，显然两直线不垂直， 当10a +≠且0a ≠时，因为12l l ⊥，所以()()()2110a a a a -+++=，解得：1a =，综上可知：1a =或1-.故选D.3．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）直线:l (1)230m x my m ---+=（m R ∈）过定点A ，则点A 的坐标为（ ） A ．(3,1)- B ．(3,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)--【答案】B【解析】根据直线(1)230m x my m ---+=得()230m x y x ---+=， 故直线过定点为直线20x y --=和30x -+=的交点，联立方程得2030x y x --=⎧⎨-+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩ ，所以定点A 的坐标为()3,1A .故选：B. 4．（2020·广东高二期末）设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y -1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件,【答案】C【解析】若直线ax+y -1=0与直线x+ay+1=0平行，则21a =,且11a-≠解得1a =故选C 5．（2020·黑龙江高一期末）若曲线y与直线y ＝k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．（1，+∞）D ．（1，3]【答案】A【解析】作出曲线y的图像，直线y ＝k （x ﹣2）+4恒过定点()2,4，当直线与曲线相切时，原点到直线240kx y k --+=的距离等于22=，解得34k =，由图可知， ()3401422k -<≤=--，故选：A 6．（2020·浙江柯城。
衢州二中高三其他）已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）A ．4B ．289C ．329D ．327【答案】C【解析】因为()2222x y t tt R +=-∈表示圆，所以220->t t ，解得02t <<，因为直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，所以圆心到直线的距离d r ≤，即≤403t ≤≤，此时403t ≤≤， 因为()()()224424=-=-+=--+f t t t t t t ，在40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，所以()4t t -的最大值34329⎛⎫= ⎪⎝⎭f .故选：C7．（2020·广东高一期末）若两平行直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=则m +n ＝（ ） A ．0 B ．1C ．1-D ．2-【答案】A【解析】由直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=平行可得2n -=即2n =-， 则直线20,(0)x y m m ++=>与230x y +-==2m =或8m =-（舍去），所以()220m n +=+-=.故选：A.8．（2020·北京市第五中学高三其他）过直线y ＝x 上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y ＝x 对称时，它们之间的夹角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【答案】C【解析】如图所示，过圆心C 作CP 垂直直线y x =于点P ，直线,PA PB 分别与圆:C 22(5)(1)2x y -+-=相切，切点分别为,A B ，根据几何知识可知，直线12,l l 也关于直线CP 对称，所以直线12,l l 的夹角为APB ∠（或其补角）． 在Rt CBP中，BC =CP ==所以1sin 2BPC ∠=，而BPC ∠为锐角，即有30BPC ∠=，60APB ∠=．故选：C ．二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，每题5分，共20分）9．（2020·江苏省苏州第十中学校高一期中）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB1+ 【答案】ABD【解析】对于A ，由圆221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，两式作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AB 中垂线斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确； 对于C ，圆221:20x y x O +-=，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为2d ==1r =所以AB ==，故C 不正确；对于D ，P 为圆1O 上一动点，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为2d =，半径1r =，即P 到直线AB 1，故D 正确.故选：ABD10．（2020·江苏徐州.高一期末）已知直线12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=，则下列说法正确的是（ ）A ．若12l l //，则m =-1或m =3B ．若12l l //，则m =3C ．若12l l ⊥，则12m =- D ．若12l l ⊥，则12m =【答案】BD【解析】直线12l l //，则3(2)0m m --=，解得3m =或1m =-，但1m =-时，两直线方程分别为10x y --=，3330x y -++=即30x y --=，两直线重合，只有3m =时两直线平行，A 错，B 正确；12l l ⊥，则230m m -+=，12m =，C 错，D 正确． 故选：BD ．11．（2020·江苏扬州.高一期末）已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】AB【解析】圆C 的标准方程为：()()22125x y a ++-=-，故5a <. 又因为弦AB 的中点为()0,1M ，故M 点在圆内，所以()()2201125a ++-<-即3a <. 综上，3a <. 故选：AB.12．（2020·江苏省江阴高级中学高一期中）下列说法正确的是（ ） A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2- C10y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y += 【答案】ABD【解析】32()y ax a a R =-+∈可化为()23y a x -=-，则直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)，故A 正确；令0x =，则2y =-，即直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确；10y ++=可化为1y =-，则该直线的斜率为，即倾斜角为120︒，故C 错误；设过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的斜率为k 因为直线230x y -+=的斜率为12，所以112k ⋅=-，解得2k =- 则过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的方程为22(1)y x -=-+，即20x y +=，故D 正确； 故选：ABD第II 卷（非选择题）三、填空题(每题5分，共20分）13．（2020·湖南张家界。
高一期末）圆C 的圆心为(21),-，且圆C 与直线3450x y --=相切，则圆C 的方程为_________________. 【答案】22(2)(1)1x y -++=【解析】圆C 的圆心为(2,1)-，与直线:3450l x y --=相切， 圆心到直线的距离等于半径，即1r d ===，∴圆C 的方程为22(2)(1)1x y -++=．故答案为：22(2)(1)1x y -++=．14．（2020·勃利县高级中学高一期末）经过点P （2，1）作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，当△AOB 面积最小时，直线l 的方程为_____. 【答案】x +2y ﹣4＝0；【解析】由题意可知，直线的斜率一定存在，故设直线方程y ﹣1＝k （x ﹣2），k ＜0， 令x ＝0可得，y ＝1﹣2k ，令y ＝0可得x ＝2﹣1k， 则11121222AOBSOA OB k k =⋅=⨯--＝()1114444422k k ⎛⎫--+≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当﹣4k ＝﹣1k即k ＝﹣12时取等号，此时直线方程y ﹣1＝﹣12（x ﹣2）,即x +2y ﹣4＝0． 故答案为：x +2y ﹣4＝0．15．（2020·包头市田家炳中学高二期中）在圆22420x y x y +-+=内，过点1,0（）M 的最短弦的弦长为_____；【答案】【解析】圆22420x y x y +-+=化简得：()()22215x y -++=，点M 在圆内部，记圆心为()2,1C -，根据几何性质知过M 且与OM 垂直的弦最短，CM =由垂径定理得弦长为==故答案为：16．（2019·浙江拱墅。