人教A版高中数学选修一导数的概念
导数的概念
一、知识梳理
二、教学重、难点
三、作业完成情况
四、典题探究
例1、在平均变化率的定义中，自变量x 在0x 处的增量x △（）
A ．大于零
B ．小于零
C ．等于零
D ．不等于零
例2、已知函数2
()f x x x =-+，则()f x 从-1到-0.9的平均变化率为（）
A ．3
B ．0.29
C ．2.09
D ．2.9
例3、已知函数2()4f x x =+上两点A 、B ，1A x =， 1.3B x =，则直线AB 的斜率为（） A ．2B ．2.3C ．2.09D ．2.1
例4、函数在某一点的导数是（）
A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B．一个函数
C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
五、演练方阵
A 档（巩固专练）
1．如果质点A 按照规律23s t =运动，则在03t =时的瞬时速度为( )
A ．6
B ．18
C ．54
D ．81
2．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2
s s t gt ==若t ∆无限趋近于0时，(1)(1)s t s t
+∆-∆无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是( ) A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度
B ．9.8/m s 是在1～（1+t ∆）s 这段时间内的速度
C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ∆）s 这段时间内的平均速度
D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度.
3．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒
末的瞬时速度是( )
A ．7米/秒
B ．6米/秒
C ．5米/秒
D ．8米/秒
4．已知()f x 在R 上可导，且000(3)()lim
62x f x x f x x
∆→-∆-=∆，则'0()f x 的值为___________。
5．已知()f x 在R 上可导，且'()3f a =，则0(2)()lim 3x f a x f a x
∆→+∆-=-∆________。
6．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则000()()lim x f x x f x x
∆→-∆-=∆_________。
7．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为( )
A ．(1,0)
B ．(2,8)
C ．(1,0)和(1,4)--
D ．(2,8)和(1,4)-- 8．函数3
()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________。
9．已知曲线12-=x y 与31x y +=在0x x =处的切线互相垂直，求0x =_____________ 10．曲线32
3610y x x x =++-的切线中，斜率最小的切线方程为_________。
B 档（提升精练）
1．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(12)lim 12x f f x x
→--=-，则过曲线()y f x =上点(1(1))f ,处的切线斜率为( )
A ．2
B ．-1
C ．1
D ．-2
2．若函数()y f x =在区间()a b ,内可导,且0()x a b ∈,则000()()lim h f x h f x h h
→+--的值为( )
A ．0()f x '
B ．02()f x '
C ．02()f x '-
D ．0
3．若'0()3f x =-，则000()(3)lim h f x h f x h h
→+--=( ) A ．3-B ．6-C ．9-D ．12-
4．求曲线y =
在点(4,2)处的切线______________
5．曲线2122
y x =-在点3(1)2-,处切线的倾斜角为( ) A ．1B ．4πC ．54πD ．4
π- 6．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为( ) A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=
7．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P
的坐标为( )
A ．(0,0)
B ．(1,1)
C ．(0,1)
D ．(1,0)
8．已知函数()x f x ax be =+图象上在点(12)P -,处的切线与直线3y x =平行，则函数()f x 的解析式是_________。
9．已知曲线C ：432
3294y x x x =--+，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；
10．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0]4
π
,，则点P 横坐标的取值范围为( ) A ．1[1]2
--,B ．[10]-,C ．[01],D ．1[1]2,
C 档（跨越导练）
1．已知直线y kx =是ln y x =的切线，则k 的值为( )
A ．e
B ．e -
C ．1e
D ．1e
- 2．已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为( ) A ．1B ．2C ．-1D ．-2
3．点P 是曲线2
ln y x x =-上任意一点，则P 到直线2y x =-的距离的最小值是_________。
4．若曲线5()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是_________。
5．若函数1()f x x x
=-
，则它与x 轴交点处的切线的方程为____________。
6．若函数()b f x ax x
=-，曲线()y f x =在点()2(2)f ,处的切线方程为74120x y --=，则a =________，b =_________。
7．函数2(0)y x x =>的图像在点2()k k a a ,处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，k 为正整
数，116a =，则135a a a ++=_________。
8．过点(0,0)P 与函数x y e =相切的切线方程；
9．已知曲线C ：3232y x x x =-+，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点
00()x y ,00x ≠，求直线l 的方程及切点坐标。
10．设函数sin cos y x x x =+的图象上的点()00x y ,的切线的斜率为k ，若0()k g x =，则函数0()k g x =，[]0,x ππ∈-的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
六、成长足迹
导数的概念参考答案 四、典题探究
例1．D
例2．D
例3．B
例4．C
五、演练方阵
A 档（巩固专练） 1．B
2．D
3．C
4．-4
5．-2
6．-11
7．C
8．3
7-
9．-
10．311y x =-
B 档（提升精练） 1．B
2．B
3．D
4．1
14y x =+
5．B
6．A
7．D
8．1
51()22
x f x x e +=-
9．128y x =-+
10．1
[1]2--,
C 档（跨越导练）
1．A
2．B
3
4．(0)-∞,
5．22y x =±
6．13a b ==,
7．21
8．1y x =+
9．切点：
33
()
28
-,，切线方程：
1
4
y x
=-；或者切点：(00)
,，切线方程：2
y x
=
10．A。
高中数学新教材人教A版《导数的概念》优秀说课稿模板
高中数学新教材人教A版《导数的概念》优秀说课稿模板一、教学目标•通过本节课的学习，使学生掌握导数的概念和计算方法。
•培养学生分析问题、解决问题的能力。
•培养学生的逻辑思维和推理能力。
二、教学重点•导数的概念的理解。
•导数的计算方法的掌握与运用。
三、教学内容1.导数的定义–导数的定义及其基本含义。
–导数的几何意义。
2.导数的计算–导数的计算公式。
–导数的运算法则。
–利用导数计算函数的极值。
四、教学过程1. 导入导出介绍本节课将学习的内容：《导数的概念》。
2. 导数的定义引导学生思考：如何理解导数的定义？导数的几何意义是什么？通过实际例子向学生解释导数的定义及其基本含义，并讲解导数的几何意义。
3. 导数的计算a. 导数的计算公式•引导学生回顾常见函数的导数计算公式，并通过练习题让学生熟悉常见函数的导数计算方法。
b. 导数的运算法则•介绍导数的四则运算法则，并通过例题让学生掌握导数的运算法则。
c. 利用导数计算函数的极值•引导学生了解导数与函数极值之间的关系，并通过例题让学生掌握如何利用导数计算函数的极值。
4. 练习与巩固通过一些练习题，让学生巩固所学的内容，并引导学生在解题过程中养成合理思维和推理的习惯。
5. 拓展延伸通过拓展延伸的问题，提高学生的思维拓展能力和创新思维能力，并培养学生独立解决问题的能力。
6. 总结与反思总结本节课所学内容，帮助学生巩固所学知识，并引导学生进行思考和反思。
五、教学资源•课本：高中数学教材人教A版。
六、教学评价与作业布置1. 教学评价•对学生掌握导数的概念和计算方法的程度进行评价。
•通过讲解中与学生的互动，对学生的思维能力和逻辑推理能力进行评价。
2. 作业布置布置若干道练习题作为课后作业，巩固所学知识。
七、板书设计•导数的定义•导数的计算公式•导数的运算法则•利用导数计算函数的极值八、教学反思通过此次课堂教学，我发现学生对导数的概念理解较为深刻，能熟练运用导数的计算方法。
人教选修1-1A-导数的概念(用)
导数的概念教学目的：1.理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法.2.理解掌握开区间内的导数概念，会求一个函数的导数.3.理解函数在一点处可导，则函数在这点连续 教学重点：导数的定义与求导数的方法.教学难点：导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念，从导数的定义归纳出求导数的方法. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： １．曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线y=f(x)β∆x∆yQ MPxOy2.确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即tan α=0lim →∆x =∆∆x y0lim→∆x 0x∆ 3.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 4. 确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法： 从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度瞬时速度tv v t t ∆==→∆→∆limlim 0000二、讲解新课：1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作/x x y =，即 xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/注意：(1)函数应在点0x(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0(3)xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 )(()(00/0x x x f x f y -=-(5)导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关(6)在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成0000/lim )()(lim)(0x x x x f x x f x f x x ox -=∆-∆+=→→∆ (7)若极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导(8)若)(x f 在0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线存在反之不然，若曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线，函数)(x f y =在0x 不一定可导，并且，若函数)(x f y =在0x 不可导，曲线在点（)(,00x f x2. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim00 函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f )(x f y =在0x 处的导数也记作(0/x f注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值3.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a4. 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.从f (x )在x 0处可导的定义可以知道，f (x )在x 0处有定义，考察 f (x )在x 0处是否有极限，并且是否等于f (x 0).已知f ′(x 0)=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000令x =x 0+Δx ，当Δx →0时，x →x 0∴0lim →∆x f (x )=0lim →∆x f (x 0+Δx )=0lim →∆x ［f (x 0+Δx )－f (x 0)+f (x 0)］=0lim →∆x ［xx f x x f ∆-∆+)()(00·Δx +f (x 0)］=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00·0lim →∆x Δx +0lim →∆x f (x 0)=f ′(x 0)·0+f (x 0)=f (x 0) ∴f (x )在x 0处连续.连续未必可导可通过反例说明，如y =|x |=⎩⎨⎧<-≥0x x x x 在x 0=0处∵-→0lim x y =-→0lim x (－x )=0，+→0lim x y =+→0lim x x =0，∴0lim →x y =0∴y =|x |在x =0处连续.lim→∆x x y∆∆==∆∆=∆-∆→∆→∆x x x x x x ||lim |0|||lim 00⎩⎨⎧<∆->∆010 1x x∴y =|x |在x 0=0处不可导.5. 求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim三、讲解范例：例1求y =x 2在点x =1处的导数.分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy ，再求xy ∆∆，最后求0lim→∆x xy ∆∆. 解：Δy =(1+Δx )2－12=2Δx +(Δx )2，xx x x y ∆∆+∆=∆∆2)(2=2+Δx ∴0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x (2+Δx )=2. ∴y ′|x =1=2. 注意：(Δx )2括号别忘了写. 例2已知y =x ，求y ′.分析：求函数在一点的导数，与求函数在一个区间上的导数，方法是一样的，也是三个步骤，只是把x 0换成x .解：Δy =x x x -∆+，xxx x x y ∆-∆+=∆∆∴)(lim lim lim000x x x x x x x x x x x x y x x x +∆+∆-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆=xx x x x 211lim=+∆+→∆.点评：求函数的导数也主要是求极限的值，所以极限是求函数的导数的基础，求极限的一些基本方法不能忘掉.例3 已知y =x 3－2x +1，求y ′，y ′|x =2.解：Δy =(x +Δx )3－2(x +Δx )+1－(x 3－2x +1)=x 3+3x 2Δx +3x (Δx )2+(Δx )3－2x －2Δx +1－x 3+2x －1 =(Δx )3+3x (Δx )2+(3x 2－2)Δxxy∆∆=(Δx )2+3x Δx +3x 2－2 ∴y ′=0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x ［(Δx )2+3x Δx +3x 2－2］=3x 2－2. 方法一：∵y ′=3x 2－2，∴y ′|x =2=3×22－2=10.方法二：Δy =(2+Δx )3－2(2+Δx )+1－(23－2·2+1)=(Δx )3+6(Δx )2+10Δxxy∆∆=(Δx )2+6Δx +10 ∴y ′|x =2=0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x ［(Δx )2+6Δx +10］=10. 点评：如果题目中要求y ′，那么求y ′|x =2如果只要求y ′|x =2，用方法二比较简便四、课堂练习：1．求y =2x 2+4x 在点x =3处的导数.解：Δy =2(3+Δx )2+4(3+Δx )－(2×32+4×3)=2(Δx )2+16Δx ，xy∆∆=2Δx +16 ∴0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x (2Δx +16)=16，即y ′|x =3=16 2.已知y =4+x ，求y ′ 解：Δy =44+-+∆+x x x ，xx x x x y ∆+-+∆+=∆∆44∴0lim →∆x x y ∆∆=44(lim 44lim 00+++∆+∆∆=∆+-+∆+→∆→∆x x x x x x x x x x x=421441lim+=+++∆+→∆x x x x x ，∴y ′=42+x 五、小结 ：这节课主要学习了导数的定义，以及求导数方法的三个步骤.f ′(x 0)=y ′|0x x = =0lim →∆x xy∆∆=x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 f ′(x )=y ′=0lim→∆x x y∆∆=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 00 三个步骤：①求函数的增量Δy ，②求平均变化率xy∆∆，③取极限f ′(x 0)= 0lim→∆x xy∆∆，以及函数的连续性是函数的可导性的必要条件而不是充分条件 六、课后作业：1.函数y =f (x )在x =x 0处可导是它在x =x 0处连续的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.在曲线y =2x 2－1的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ,1+Δy ）,则xy ∆∆等于 A.4Δx +2Δx 2 B.4+2Δx C.4Δx +Δx 2 D.4+Δx 3.若曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为2x +y －1=0，则A.f ′(x 0)>0B.f ′(x 0)<0C.f ′(x 0)=0D.f ′(x 0)不存在 4.已知命题p :函数y =f (x )的导函数是常数函数；命题q :函数y =f (x )是一次函数，则命题p 是命题q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设函数f (x )在x 0处可导，则0lim→h hh x f h x )()(00--+等于A.f ′(x 0)B.0C.2f ′(x 0)D.－2f ′(x 0) 6.设f (x )=x (1+|x |),则f ′(0)等于A.0B.1C.－1D.不存在7.若曲线上每一点处的切线都平行于x 轴，则此曲线的函数必是___. 8.曲线y =x 3在点P （2，8）处的切线方程是___________.9.曲线f (x )=x 2+3x 在点A （2，10）处的切线斜率k =___________. 10.两曲线y =x 2+1与y =3－x 2在交点处的两切线的夹角为___________. 11.设f (x )在点x 处可导，a 、b 为常数，则0lim→∆x xx b x f x a x f ∆∆--∆+)()(=_____.12.已知函数f (x )=2 1 0x x x ax b x ⎧++≤⎨+>⎩，试确定a 、b 的值，使f (x )在x =0处可导.13.设f (x )=)()2)(1()()2)(1(n x x x n x x x +⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅--,求f ′(1).14.利用导数的定义求函数y =|x |(x ≠0)的导数. 参考答案：1.A2.B3.B4.B5.C6.B7.常数函数8.y =12x －169. 710.arctan 3411.(a +b )f ′(x )12.解：-→∆0lim x xf x f ∆-∆+)0()0(=-→∆0lim x x x x ∆∆+∆2)(=-→∆0lim x (Δx +1)=1+→∆0lim x x f x f ∆-∆+)0()0(=+→∆0lim x +=∆-+∆a x b x a 1+→∆0lim x xb ∆-1若b ≠1,则+→∆0lim x xf x f ∆-∆+)0()0(不存在∴b =1且a =1时，才有f (x )在x =0处可导 ∴a =1,b =1.13.解：f ′(1)= 1lim→x 1)1()(--x f x f = 1lim →x )()2)(1()()3)(2(n x x x n x x x +⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-- =)1()21)(11()1()31)(21(n n +⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅--=)1()1(1+--n n n 14.解：∵y =|x |，∴x >0时，y =x ，则)(=∆∆+=∆∆xx x x x y ∴0lim→∆x x y∆∆=1. 当x <0时，y =－x ，1)()(-=∆--∆+-=∆∆x x x x x y ，∴0lim →∆x 1-=∆∆x y.∴y ′=⎩⎨⎧<>01-01x x七、板书设计（略）八、课后记：。
新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读〖第五章一元函数的导数及其应用章整体解读〗
第五章一元函数的导数及其应用导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数性质的基本工具．本章通过具体情境，引导学生直观理解导数概念，感悟极限思想，知道极限思想是人类深刻认识和表达现实世界必备的思维品质；理解导数是一种借助极限的运算，掌握导数的基本运算规则，能求简单函数和简单复合函数的导数；能够运用导数研究简单函数的性质和变化规律，能够利用导数解决简单的实际问题．通过本章的学习，提升学生的数学抽象、数学运算、直观想象和逻辑推理素养．一、本章内容安排本章通过丰富的实际背景和典型实例，引导学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，抽象出导数的概念及其几何意义，通过这些过程让学生了解导数是如何刻画瞬时变化率的，体会导数的内涵，感悟极限思想．本章还学习基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则和简单复合函数的导数，并从中进一步感悟极限思想；在此基础上，引导学生通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，认识导数是研究函数单调性、最大（小）值等性质的基本方法，体会导数的意义．本章知识结构如下：“51导数的概念及其意义”按照概念教学的基本环节展开．首先通过高台跳水运动员的速度、抛物线的切线的斜率两个典型变化率实例，引导学生两次完整经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，进而概括这两个实例在解决问题的思想方法和结果形式上的共同特征，并用这种思想方法研究一般函数＝f（）从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，抽象出导数的概念——导数是瞬时变化率的数学表达．在此基础上，通过研究从曲线的割线过渡到切线、从割线斜率过渡到切线斜率的过程，得到导数的几何意义，让学生又一次经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．在介绍两个典型实例、导数的概念及其几何意义的过程中，教科书不断渗透“用运动变化的观点研究问题”“逼近”“以直代曲”等微积分的重要思想，不断让学生体会极限的思想和方法，提升学生的数学抽象和直观想象素养．高中阶段研究的函数是由基本初等函数通过有限次四则运算和复合得到的，因此，引入导数的概念之后，“52导数的运算”先研究基本初等函数的导数、导数的四则运算法则以及复合函数的导数，再解决计算简单初等函数导数的问题．本节首先根据导数的定义求6个常用的具体函数的导数，进而从特殊到一般直接给出基本初等函数的导数公式．接着，通过具体实例让学生直观感知两个函数和、差的导数与它们的导数的和、差之间的关系．在此基础上，直接给出导数的四则运算法则．最后，通过具体实例，在让学生直观感知求复合函数导数的方法的基础上，直接给出复合函数的求导法则．在本节相关内容的展开过程中，着重引导学生利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，求简单函数及简单的复合函数（限于形如f （ab ））的导数，并从中进一步体会极限思想，提升学生的数学运算素养．导数定量地刻画了函数的局部变化，“53 导数在研究函数中的应用”利用导数研究函数的性质，主要研究函数的单调性、极值与最大（小）值等重要性质．“531 函数的单调性”首先就高台跳水运动问题，考察运动员的重心距离水面的高度函数h （t ）的单调性，与h （t ）的导数v （t ）=h ′（t ）的正负之间的关系；接着，通过更多的具体函数的图象，探讨函数导数的正负与这个函数单调性的关系；进而，从具体到抽象、从特殊到一般，概括出它们的共性规律，给出一般可导函数f （）的单调性与其导函数()f x '的正负之间关系；最后利用这个关系，用导数研究函数的单调性，求简单函数的单调区间，并讨论一些函数的增长快慢问题．“532 函数的极值与最大（小）值”仍然采用从具体到抽象、从特殊到一般的方法，从导数的角度给出可导函数极值点的特征（极值的必要条件），并利用可导函数的单调性与函数导数的正负之间的关系，用导数求函数的极值、最大（小）值以及实际问题的最大（小）值，并利用导数研究函数图象和性质的综合性问题．通过本节的学习，让学生认识导数是研究函数性质的基本工具，也是解决优化问题的一种通法，提升学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养．导数的概念是微积分学的最重要的概念之一，在微积分学中具有基础性地位，也是本章最为核心的内容．利用导数的基本运算法则求简单函数和简单复合函数的导数，是运用导数研究函数性质的基础和必备技能．对很多运动变化问题的研究最后都会归结为对各种函数的研究，其中函数的增减，以及增减的范围、增减的快慢等是最基本的问题．导数简明地回答了这些问题：由()f x '的符号可知函数f （）是增还是减，由f '（）绝对值的大小可知函数变化的快慢．不仅如此，导数也是研究函数极值问题、解决优化问题的一种通法．导数定量地刻画了函数的局部变化规律，是研究函数性质的基本工具．因此本章的重点是：导数的概念，利用基本初等函数的导数公式和导数法则求简单函数和简单复合函数的导数，运用导数研究简单函数的性质．导数是瞬时变化率的数学表达，学生对导数的内涵——瞬时变化率的认识有一定难度；同时，从平均变化率过渡到瞬时变化率得到导数概念的过程，蕴含着“用运动变化的观点研究问题”“逼近（极限）”“以直代曲”等微积分的重要思想，需要学生不断感悟．因此，导数的概念是本章的一个教学难点．在导数概念及其几何意义的得出过程中，让学生充分经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，不断渗透解决问题的思想方法，并借助具体数值和几何直观体会极限思想是突破难点的关键．由于复合函数的求导是“从外往内”分两层求导，需要准确分析复合函数的结构，而学生对复合函数的复合过程的认识存在一定的困难．因此，求简单复合函数的导数是本章的另一个教学难点．加强对复合函数的复合过程的分析，厘清复合函数中的自变量、中间变量、因变量，是突破这一难点的关键．二、本章编写思考1．在导数概念抽象过程中凸显导数的内涵与思想导数概念的本质是瞬时变化率，它高度抽象，为使学生初步理解导数的内涵与思想，教科书以两个典型的变化率问题为载体，以导数概念的本质及其反映的思想方法为指引，引导学生充分经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，展开观察、分析各实例的属性的数学活动，并挖掘其中所蕴含重要思想方法，进而析出各实例中蕴含的导数的本质属性．具体地，对于“问题1高台跳水远动员的速度”，教科书通过探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：）存在函数关系2(t) 4.9 4.811.h t t =-++如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？设置情境并提出问题，然后引导学生从已有经验出发，通过层层递进的问题，使学生感受用平均速度无法精确描述运动员的运动状况（在0≤t ≤4948这段时间内的平均速度为0，但运动员几乎一直处于运动状态），体会研究瞬时速度必要性的同时，自然地提出问题：如何求运动员的瞬时速度？瞬时速度与平均速度有什么关系？为了解决抽象导数概念过程中的这个关键问题，教科书构建了一个运动员在t 0时刻附近某一时间段内的平均速度v 趋近于t 0时刻的瞬时速度的过程，并以t 0＝1为例，借助技术工具，引导学生直观感受当Δt →0时平均速度v 无限趋近于一个确定的数，即t 0＝1时刻的瞬时速度．在此过程中，使学生理解解决瞬时速度问题的方法，也使学生感受其中蕴含的极限思想．接着，教科书让学生模仿上述求瞬时速度的过程和方法，解决运动员在其他时刻的瞬时速度，形成抽象导数概念的更多具体经验，然后再将上述过程与方法一般化，形成瞬时速度的一般形式化表示，从感性到理性，提升对解决问题的思想与方法的认识．对于“问题2抛物线的切线的斜率”，教科书类比解决问题1的过程与方法，引导学生探究“如何定义抛物线f （）＝2在点P 0（1，1）处的切线？”“如何求抛物线f （）＝2在点P 0（1，1）处的切线PT 的斜率0”让学生充分经历从割线到切线、从割线斜率到切线斜。
人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的概念》优质课教案_24
1.1.2导数的概念（一）教材分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时.导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.（二）教学目标（1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（3）会求函数在某点的导数及简单应用.（三）教学重点与难点重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念.（四）教学过程1. 复习引入（1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式；（2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式.2. 合作探究在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度.探究一：瞬时速度的求解从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度.以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t26.5t 10.探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法.我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况：(2) 我们如何表示运动员在t=2s 时的瞬时速度？ (3) 运动员在某一时刻t o 的瞬时速度怎样表示？设计意图：从特殊到一般，即从特殊点t=2上升到任意点t=t °瞬时速度的表示. (4) 函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率怎样表示？设计意图：舍弃具体变化率问题的实际意义，抽象为数学问题，定义导数. 探究二：导数的定义瞬时速度是平均速度—当览趋近于0时的极限.L t导数的定义：函数y =f(x)在x =x o 处的瞬时变化率是啊卡=|m f(xo：-f (xo)，我们称它为函数y = f(x)在x=x o 处的导数，记作 f (x o ) 或 y'U 即 f(x o )pm of(x x)—f(x o )注意：(1) 函数应在点X 。
人教数学A版选修】《导数的概念》优秀教学设计
数学
课题
§导数的概念教材分 Nhomakorabea析
重点
导数的定义与求导数的方法
难点
理解导数的概念
疑点
导数与极限的联系，导数在实际问题中有什么应用，函数的连续性与可导性的关系，可通过举例说明（如：y=|x|在点x=0处连续，但不可导）
教
学
目
标
知识目标
了解导数概念的某些实际背景（如光滑曲线的切线斜率、瞬时速度等）；掌握函数在一点处的导数定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。
例题 P（1,2）是曲线 +1上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.（图略）
3．巩固练习 P111练习1，2（处理：学生自求）
4．瞬时速度
例题 一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？
说明：1）上例中，如果运用物理所学地匀变速直线运动地速度公式，可得
能力目标
知识迁移应用能力，运用所学的极限定义理解导数的概念，抽象概括能力，分析实际问题中存在的数学关系，抽象提炼产生新的数学概念的能力，直觉思维能力。
情感目标
1．德育渗透点： 运动的观点，辨证地看问题；数学来源于生活，数学理论来源于时间的辨证唯物主义观点。
2．美育渗透点：感受数学的创造美，内容的和谐美
5．巩固练习：P113练习1，2（处理：学生自求）
【小结】
瞬时速度是平均速度 当 趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率 当 趋近于0时的极限。
【提高练习】
1．判断曲线 在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程。
2．物体的运动方程为s=t3+10，试求物体在t=3时的瞬时速度。
高中数学：导数教案 新人教A版选修1-1 教案
导数教案导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲.一、教材分析导数的概念是高中新教材人教A版选修1-1第三章3的内容,是在学生学习了平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。
新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。
问题1气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率问题2高台跳水的平均速度--→瞬时速度根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点二、教学目标1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从非凡到一般的数学思想方法3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生把握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的爱好.三、重点、难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点四、教学设想（具体如下表）教学环节教学内容师生互动设计思路创设情境引入新课幻灯片这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？首先回顾上节课留下的思考题：在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。
为什么会产生这样的情况呢？引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版 提优版)：导数的概念及其意义、导数的运算
fx＋Δx－fx Δx .
知识梳理
2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0)) 处的切线的 斜率 ，相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) .
知识梳理
3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f(x)＝c(c为常数)
知识梳理
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f(x)＝ln x
1 f′(x)＝_x_ln__a_
1 f′(x)＝__x _
知识梳理
4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ； [f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ； gfxx′＝f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝ cf′(x) .
教材改编题
1.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则
√A.f′(x)＝3xln 3＋2cos 2x
C.f′(x)＝ln3x3＋cos 2x
B.f′(x)＝3x＋2cos 2x D.f′(x)＝ln3x3－2cos 2x
因为函数f(x)＝3x＋sin 2x， 所以f′(x)＝3xln 3＋2cos 2x.
对于
C，2sxin2
x′＝2sin
x′x2－2sin x4
xx2′＝2xcos
x－4sin x3
x，故
C
错误；
对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2xln 2－sin x，故D正确.
(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则
f′(2)等于
人教A版高中数学选修1-1课件-函数的最大(小)值与导数
∴当 x＝－23时， f(x)有极大值2227＋c. 又 f(－1)＝12＋c，f(2)＝2＋c， ∴当 x∈[－1,2]时， f(x)的最大值为 f(2)＝2＋c. ∵当 x∈[－1,2]时， f(x)<c2 恒成立． ∴c2>2＋c，解得 c<－1 或 c>2， ∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
[解析] (1)解：f′(x)＝－ax2＋2eax－1x＋2，f′(0)＝2. 因此曲线 y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是 2x－y－1＝0. (2)证明：当 a≥1 时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x. 令 g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则 g′(x)＝2x＋1＋ex＋1. 当 x<－1 时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当 x>－1 时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以 g(x)≥g(－1)＝0.因此 f(x)＋e≥0.
4．函数 f(x)＝sin x＋cos x 在 x∈[－2π，π2]上的最大值为___2___，最小值为 ___－__1__.
[解析] f′(x)＝cos x－sin x， 令 f′(x)＝0，即 cos x＝sin x， ∵x∈[－π2，2π]，∴x＝4π. f(4π)＝ 2，f(－2π)＝－1，f(2π)＝1， ∴f(x)在区间[－2π，π2]上的最大值为 2，最小值为－1.
[思路分析] 本题主要考查导数的几何意义，极值的逆用和不等式的恒成立问题，求解第(2)小题的关 键是求出函数f(x)在[－1,2]上的最大值．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－x＋b, f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线，则 f′(x)＝ 0 有实数解，
即方程 3x2－x＋b＝0 有实数解， ∴Δ＝1－12b≥0，解得 b≤112. 故 b 的取值范围为(－∞，112]．
高二人教A版高中数学选修1-3 第三章 导数及其应用3.2 导数的计算
=
28 (1 4)2
=-
6 25
.
因此曲线 y= 2x 在点(2, 4 )处的切线方程为 y- 4 =- 6 (x-2),
x2 1
5
5 25
即 6x+25y-32=0.
答案:(1)6x+25y-32=0
(2)已知曲线 y=5 x ,则过点 P(0,5)且与曲线相切的切线方程为
.
解析:(2)因为点 P(0,5)不在曲线 y=5 x 上,
1
f′(x)= x ln a (a>0,且 a≠1)
1
f′(x)= x
2.导数运算法则
和差的导数 积的导数
商的导数
[f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x) [f(x)·g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
[ f (x) ]′= f (x)g(x) f (x)g(x)
3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
课标要求:1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=1 的导函数.2.理解导数的
x
四则运算法则.3.掌握几种常见函数的导数公式.4.能够应用导数公式及运
算法则进行求导运算.
自主学习 课堂探究
值为( B )
(A)1-cos 1
(B)1+cos 1 (C)cos 1-1
(D)-1-cos 1
5.(商的导数的应用)设函数f(x)= sin x ,f′(x)为函数f(x)的导函数,则
x
f′(π )=
.
答案:- 1
π
课堂探究
题型一 利用导数公式求函数的导数
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：3-1-2《导数的几何意义》
(3) 若曲线 y ＝ f(x) 在点P(x0 ， y0) 处的导数不存在，就是
切线与 y 轴平行或不存在； f′(x0)>0 ，切线与 x 轴正向夹角为 锐角； f′(x0)<0 ，切线与 x 轴正向夹角为钝角； f′(x0) ＝ 0 ，切 线与x轴平行．
注意：只有曲线方程可看成函数解析式时才能利用导
[点评] (1)y＝x3在点(0,0)处的切线是x轴，符合切线定
义．这似乎与学过的切线知识有所不同，其实不然，直线 与曲线有两个公共点时，在其中一点也可能相切．如图所 示．
Δy (2)对于曲线在点 x0 处的切线有下面的情形：若Δx当 Δx 无限趋近于 0 时的极限不存在时，可分两种情况：其 一是趋近于∞，则切线的斜率不存在，但切线存在 (为垂 Δy 直于 x 轴的直线)；其二是Δx既不是趋近于某一常数也不 趋近于∞，则此时切线不存在．
求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由．
[解析]
令 y＝f(x)＝x3，Δy＝f(0＋Δx)′－f(0)＝Δx3，
Δy Δy 2 ＝Δx ，当 Δx 无限趋近于 0 时， 无限趋近于常数 Δx Δx 0，这说明割线会无限趋近于一个极限位置，即曲线在 x Δy ＝0 处的切线存在， 此时切线的斜率为 0(Δx无限趋近于 0)， 又曲线过点(0,0)，故切线方程为 y＝0.
数来求切线方程，否则不能利用导数来求，如求过圆上某 点的切线方程就不能直接利用导数来求．
2．过曲线外的点P(x1，y1)，求曲线的切线方程的步骤： (1)设切点为(x0，y0)，求出切点坐标； (2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (3) 根据直 线的点 斜 式方程 ， 得切线 方 程为 y － y0 ＝
[解析]