振型参与系数之和为1的证明
周期、振型问题
1、《高层规程》3.2.6规定-----结构基本自振周期大致为：框架结构T1=(0.08~0.10)n, 框—剪和框—筒结构T1=(0.06~0.08)n 剪力墙和筒中筒结构T1=(0.05~0.06)n2、周期比即结构扭转为主的第一自振周期（也称第一扭振周期）Tt 与平动为主的第一自振周期（也称第一侧振周期）T1的比值。
周期比主要控制结构扭转效应，减小扭转对结构产生的不利影响，使结构的抗扭刚度不能太弱。
因为当两者接近时,由于振动藕连的影响,结构的扭转效应将明显增大。
2.2 相关规范条文的控制：[高规]4.3.5条规定，结构扭转为主的第一自振周期Tt与平动为主的第一自振周期T1之比（即周期比），A级高度高层建筑不应大于0.9；B级高度高层建筑、混合结构高层建筑及复杂高层建筑不应大于0.85。
[高规]5.1.13条规定，高层建筑结构计算振型数不应小于9,抗震计算时,宜考虑平扭藕连计算结构的扭转效应,振型数不小于15,对于多塔楼结构的振型数不应小于塔楼数的9倍,且计算振型数应使振型参与质量不小于总质量的90%。
2.3 电算结果的判别与调整要点: (1).计算结果详周期、地震力与振型输出文件。
因SATWE电算结果中并未直接给出周期比,故对于通常的规则单塔楼结构，需人工按如下步骤验算周期比: a）根据各振型的两个平动系数和一个扭转系数(三者之和等于1)判别各振型分别是扭转为主的振型（也称扭振振型）还是平动为主的振型（也称侧振振型）。
一般情况下，当扭转系数大于0.5时,可认为该振型是扭振振型,反之应为侧振振型。
当然，对某些极为复杂的结构还应结合主振型信息来进行判断；b）周期最长的扭振振型对应的就是第一扭振周期Tt，周期最长的侧振振型对应的就是第一侧振周期T1；c）计算Tt / T1，看是否超过0.9(0.85)。
对于多塔结构周期比，不能直接按上面的方法验算，这时应该将多塔结构分成多个单塔，按多个结构分别计算、分别验算(注意不是在同一结构中定义多塔，而是按塔分成多个结构)。
质量参与系数
有效质量系数（注意，不是等效质量系数），它是结构底部受到单位大小的加速度时各振型的底部剪力与结构总质量的比值，反应了该振型的相对贡献大小。
几乎所有国家规范均要求达到90％。
对于规则结构，几个振型十几个振型就可以满足此要求，对于复杂结构则需要很多。
事实上，复杂结构的许多振型对水平方向的振型参与系数贡献很小的，比如扭转振型、竖向振型、以及局部振动的振型。
建议采用依赖荷载空间分布的Ritz向量法或Lanczos法求解，可以容易满足90％的要求。
有关振型的几个概念（1）振型参与系数：
每个质点质量与其在某一振型中相应坐标乘积之和与该振型的主质量（或者说该模态质量）之比，即为该振型参与系数。
（2）振型的有效质量：
这个概念只对于串连刚片系有效（即基于刚性楼板假定的，不适用于一般构），某一振型的某一方向的有效质量为各个质点质量与该质点在该一振型中相应方向对应坐标乘积之和的平方。
（3）有效质量系数：
如果计算时只取了几个振型，那么这几个振型的有效质量之和与总质量之比即为有效质量系数。
用于判断参与振型数足够与否，并将用于程序。
（4）振型参与质量：
某一振型的主质量（或者说该模态质量）乘以该振型的参振型与系数的平方，即为该振型的振型参与质量。
（5）振型参与质量系数：
由于有效质量系数只适用于刚性楼板假定，《高规》
5.1.13条及《抗规》
5.2.2条文说明，提出了用振型参与质量系数来判断参与振型数足够与否的方法。
即选定振型个数的振型参与质量之和与总质量之比即为振型参与质量系数。
这种方法适用于刚性楼板假定，也适用于弹性楼板。
有关振型的基本概念
有关振型的几个概念振型参与系数：每个质点质量与其在某一振型中相应坐标乘积之和与该振型的主质量（或者说该模态质量）之比，即为该振型的振型参与系数。
一阶振型自振频率最小(周期最长),二阶,三阶....振型的自振频率逐渐增大. 地震力大小和地面加速度大小成正比,周期越长加速度越小,地震力也越小。
自振振型曲线是在结构某一阶特征周期下算得的各个质点相对位移(模态向量)的图形示意.在形状上如实反映实际结构在该周期下的振动形态.振型零点是指在该振型下结构的位移反应为0。
振型越高，周期越短，地震力越大，但由于我们地震反应是各振型的迭代，高振型的振型参与系数小。
特别是对规则的建筑物，由于高振型的参与系数小，一般忽略高振型的影响。
振型的有效质量：这个概念只对于串连刚片系模型有效(即基于刚性楼板假定的，不适用于一般结构。
）。
某一振型的某一方向的有效质量为各个质点质量与该质点在该一振型中相应方向对应坐标乘积之和的平方（(∑mx)2）。
一个振型有三个方向的有效质量，而且所有振型平动方向的有效质量之和等于各个质点的的质量之和，转动方向的有效质量之和等于各个质点的转动惯量之和。
有效质量系数：如果计算时只取了几个振型，那么这几个振型的有效质量之和与总质量之比即为有效质量系数。
这个概念是由WILSON E.L. 教授提出的，用于判断参与振型数足够与否，并将其用于ETABS程序。
振型参与质量：某一振型的主质量（或者说该模态质量）乘以该振型的振型参与系数的平方，即为该振型的振型参与质量。
此需要一种更为一般的方法，不但能够适用于刚性楼板，也应该能够适用于弹性楼板。
出于这个目的，我们从结构变形能的角度对此问题进行了研究，提出了一个通用方法来计算各地震方向的有效质量系数即振型参与质量系数，规范即是通过控制有效质量振型参与质量系数的大小来决定所取的振型数是否足够。
（见高规（5.1.13）、抗规(5.2.2)条文说明）。
这个概念不仅对糖葫芦串模型有效。
有关振型的几个概念[新版]
![有关振型的几个概念[新版]](https://img.taocdn.com/s3/m/0594c5740a1c59eef8c75fbfc77da26925c59681.png)
有关振型的几个概念有关振型的几个概念振型参与系数：每个质点质量与其在某一振型中相应坐标乘积之和与该振型的主质量（或者说该模态质量）之比，即为该振型的振型参与系数。
一阶振型自振频率最小(周期最长),二阶,三阶....振型的自振频率逐渐增大. 地震力大小和地面加速度大小成正比,周期越长加速度越小,地震力也越小。
自振振型曲线是在结构某一阶特征周期下算得的各个质点相对位移(模态向量)的图形示意.在形状上如实反映实际结构在该周期下的振动形态.振型零点是指在该振型下结构的位移反应为0。
振型越高，周期越短，地震力越大，但由于我们地震反应是各振型的迭代，高振型的振型参与系数小。
特别是对规则的建筑物，由于高振型的参与系数小，一般忽略高振型的影响。
振型的有效质量：这个概念只对于串连刚片系模型有效(即基于刚性楼板假定的，不适用于一般结构。
）。
某一振型的某一方向的有效质量为各个质点质量与该质点在该一振型中相应方向对应坐标乘积之和的平方。
一个振型有三个方向的有效质量，而且所有振型平动方向的有效质量之和等于各个质点的的质量之和，转动方向的有效质量之和等于各个质点的转动惯量之和。
有效质量系数：如果计算时只取了几个振型，那么这几个振型的有效质量之和与总质量之比即为有效质量系数。
这个概念是由WILSON E.L. 教授提出的，用于判断参与振型数足够与否，并将其用于ETABS程序。
振型参与质量：某一振型的主质量（或者说该模态质量）乘以该振型的振型参与系数的平方，即为该振型的振型参与质量。
振型参与质量系数：由于有效质量系数只实用于刚性楼板假设，现在不少结构因其复杂性需要考虑楼板的弹性变形，因此需要一种更为一般的方法，不但能够适用于刚性楼板，也应该能够适用于弹性楼板。
出于这个目的，我们从结构变形能的角度对此问题进行了研究，提出了一个通用方法来计算各地震方向的有效质量系数即振型参与质量系数，规范即是通过控制有效质量振型参与质量系数的大小来决定所取的振型数是否足够。
振型参与质量系数详解与解释
振型参与质量系数详解抗震规范和高规都有这个系数，牵涉到其他几个概念，与大家分享有关振型的几个概念振型参与系数：每个质点质量与其在某一振型中相应坐标乘积之和与该振型的主质量（或者说该模态质量）之比，即为该振型的振型参与系数。
一阶振型自振频率最小(周期最长),二阶,三阶....振型的自振频率逐渐增大. 地震力大小和地面加速度大小成正比,周期越长加速度越小,地震力也越小。
自振振型曲线是在结构某一阶特征周期下算得的各个质点相对位移(模态向量)的图形示意.在形状上如实反映实际结构在该周期下的振动形态.振型零点是指在该振型下结构的位移反应为0。
振型越高，周期越短，地震力越大，但由于我们地震反应是各振型的迭代，高振型的振型参与系数小。
特别是对规则的建筑物，由于高振型的参与系数小，一般忽略高振型的影响。
振型的有效质量：这个概念只对于串连刚片系模型有效(即基于刚性楼板假定的，不适用于一般结构。
）。
某一振型的某一方向的有效质量为各个质点质量与该质点在该一振型中相应方向对应坐标乘积之和的平方（(∑mx)2）。
一个振型有三个方向的有效质量，而且所有振型平动方向的有效质量之和等于各个质点的的质量之和，转动方向的有效质量之和等于各个质点的转动惯量之和。
有效质量系数：如果计算时只取了几个振型，那么这几个振型的有效质量之和与总质量之比即为有效质量系数。
这个概念是由WILSON E.L. 教授提出的，用于判断参与振型数足够与否，并将其用于ETABS程序。
振型参与质量：某一振型的主质量（或者说该模态质量）乘以该振型的振型参与系数的平方，即为该振型的振型参与质量。
振型参与质量系数：由于有效质量系数只实用于刚性楼板假设，现在不少结构因其复杂性需要考虑楼板的弹性变形，因此需要一种更为一般的方法，不但能够适用于刚性楼板，也应该能够适用于弹性楼板。
出于这个目的，我们从结构变形能的角度对此问题进行了研究，提出了一个通用方法来计算各地震方向的有效质量系数即振型参与质量系数，规范即是通过控制有效质量振型参与质量系数的大小来决定所取的振型数是否足够。
振型分解反应谱法
q1 q1
(t (t
) )
X11 X12
q2 q2
(t) (t)
X 21 X 22
2020/4/11
第8讲 振型分解反应谱法
2
uu21
(t (t
) )
q1 q1
(t) (t)
X X
11 12
q2 q2
(t ) X (t ) X
21 22
m2 u2 u1
m1
一阶振型反应
X12
二阶振型反应
X22
m
S
S
2 j
j 1
（3-65b）
称式（3-65b）的组合公式为“平方和开平方”法，简称SRSS法。
因此，《建筑抗震设计规范》规定，结构的水平地震作用效应 （弯矩、剪力、轴向力和变形）按下式计算：
SEk
S
2 j
（3-72）
式中, SEk ----水平地震作用标准值的效应； Sj---j振型水平地震作用标准值的效应 ，一般可取2～3个振型, 当基本自
(i 1, 2, , N)
其中： mi* {X }Ti [m]{X }i ci* {X }Ti [c]{X }i ki* {X }Ti [k]{X }i
i
{X }Ti [m]{I}ug (t) mi*
2020/4/11
第8讲 振型分解反应谱法
5
mi*qi ci*qi ki*qi imi*ug (t)
X 1 0.667 X 2 0.666 X 3 3.035
1.000
1.000
1.000
m3 180t K3 98MN/m m2 270 t K2 195 MN/m m1 270t K1 245 MN/m
振型系数有限元-概述说明以及解释
振型系数有限元-概述说明以及解释1.引言1.1 概述振型系数是描述振动系统特性的重要参数，它可以用来表示系统在不同模态下的振动特征。
在工程领域中，振型系数的计算对于预测结构在振动环境下的性能至关重要。
有限元方法作为一种常用的数值模拟方法，在计算振型系数方面具有很大的优势。
本文将探讨振型系数有限元方法的原理、应用和优势，旨在加深对振动系统特性的理解，为工程实践提供更准确的分析和设计。
1.2 文章结构文章结构体现了文章整体的逻辑性和清晰性，有助于读者理解文章的内容和思路。
本文的结构主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将介绍振型系数的基本概念和背景，以及文章的目的和意义。
引言部分将为读者提供对本文主题的整体了解，引导读者进入文章内容。
在正文部分，将详细介绍振型系数的概念，包括其定义、计算方法和应用领域，同时探讨有限元方法在振型系数计算中的应用。
此外，还将讨论振型系数有限元分析的优势，包括其在振动分析中的重要性和实际应用情况。
在结论部分，将对本文进行总结，强调振型系数有限元分析的重要性，并展望未来的研究方向。
最后，得出结论，总结全文的讨论和观点，为读者提供对振型系数有限元的总体认识和启示。
通过以上结构的设计，本文将系统全面地介绋振型系数有限元的概念、应用和优势，为读者提供了一个清晰的阐述框架，使读者更好地理解、参考和应用相关知识。
1.3 目的本文的主要目的是探讨振型系数有限元在工程结构分析中的应用及其优势。
我们将首先介绍振型系数的概念，然后探讨有限元方法在振型系数计算中的具体应用，最后对振型系数有限元分析的优势进行总结和分析。
通过本文的研究，我们旨在帮助读者更深入地了解振型系数有限元方法，并为工程结构的振动分析提供新的思路和方法。
同时，我们也希望能够为未来相关研究提供一定的参考和启示，推动振型系数有限元在工程领域的应用与发展。
2.正文2.1 振型系数的概念振型系数是描述结构振动特性的重要参数之一，它反映了结构在振动时各个振动模态的重要程度。
midas计算说明整理正文
设计常用图形结果在MIDAS中的输出MIDAS/Gen可以较全面地提供分析和设计的图形及文本结果，对于设计中常用的一些图形结果，用户可以通过本文介绍的方式进行查看和输出。
MIDAS/Gen中图名的标注方法：点，点击按钮，可以选择字体及大小，”，“视图”下勾选“说明击“显示”按钮在文本栏中输入图名，点击按钮“适用”即可。
1各层构件编号简图显示节点编号。
）（注：，点击单元编号按钮显示构件的编号。
点击节点编号按钮12各层构件截面尺寸显示简图，“特性显示”“特性”；或者点击“按钮”下勾选“特，选择显示视图菜单“/”征值名称”。
（注：建议用户在给截面命名的时候表示出截面的高宽特性。
）2各层配筋简图、柱轴压比3程序可以提供各层梁、柱、剪力墙的配筋简图，用户可以查看所需的配筋面积，也可以让”下，进行/钢筋混凝土构件配筋设计程序进行配筋设计，输出实际配筋的结果。
菜单“设计”中查钢筋混凝土结构设计结果简图设计钢筋混凝土梁、柱、剪力墙构件配筋设计后，在“/调整。
看。
显示的单位可以在对于柱和剪力墙构件，程序在输出所需配筋面积的同时，输出柱的轴压比（图中括号内。
的数值）轴压比34梁弹性挠度菜单“结果/位移”，MIDAS提供的是梁端节点的变形图（绝对位移）。
（注：可使用菜单“结果/梁单元细部分析”查看任意梁单元任意位置的变形、内力、应力；或者需要对梁单元进行划分，显示梁中部的位移。
）5各荷载工况下构件标准内力简图菜单“结果/内力”下，选择需要查看的构件类型，“荷载工况/荷载组合”里可选择各种荷载工况或荷载组合，查看各种构件在不同工况下的内力值和内力图。
下图显示的是恒载作用下的框架弯矩图。
46梁截面设计内力包络图除了选取某一榀框架，查看其内力图之外，MIDAS还提供平面显示的功能，特别是对于梁单元，该功能适用范围较广。
使用菜单“结果/内力/构件内力图”，在“荷载工况/荷载组合”里选择包络组合，可以查看各层梁截面设计内力包络图。
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一、首先证明：
{}{}1
1n
i
i
i γφ==∑
(1)
即：振型向量关于振型参与系数的加权平均值为单位向量。
首先，由振型向量的线性无关性，有下式成立：
{}{}1
1n
i i i a φ==∑
(2)
其中，i a 为待定系数，将(2)式两边同乘{}[]T j M φ，得：
{}[]{}{}[]{}1
1n
T
j
i
j
i
i M a M φφφ==∑
(3)
利用振型正交性，式(3)右边可化简为：
{}[]{}{}[]{}1
n
i
j
i
j
j
j
i a M a M φφφφ==∑
(4)
由式(3)和式(4)，可得：
{}[]{}{}[]{}
1T j j
j
j
j
M a M φγφφ== (5)
上式说明，j a 恰恰等于振型参与系数j γ。
这个证明过程一般的结构动力学或工程抗震书上都会有。
二、再证明：
1
1n
i
i γ
==∑
(6)
由式(1)可改写为：
{}{}{}{}1122221γφγφγφ+++=
(7)
即：振型向量关于振型参与系数的加权平均为单位向量。
进一步将式(7)改写为：
112111231211n n n nn φφφγγγφφφ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭
(8)
也可以写成：
1
1n
i ij
i γφ
==∑
(9)
其中，ij φ——第i 振型第j 质点处的振型位移； 再由振型的无量纲性，总能归一化取1ij φ=，故：
1
1n
i
i γ
==∑
(10)
即：振型参与系数之和等于1。