振型参与质量的简明推导
抗震作业第三章
第三章 结构地震反应分析与抗震极限状态计算 思考题3．1 什么是地震动反应谱和抗震设计反应谱反应谱的影响因素和特点是什么答：根据给定的地面运动加速度记录和体系的阻尼比，计算出质点的最大绝对加速度S a ，与体系的自振周期T ，绘制成一条曲线－地震加速度反应谱，不同的阻尼比可以绘制出不同曲线。
规范根据同一类场地在各级烈度地震作用下地面运动的 ，分别计算出的反应谱曲线，再进行统计分析，求出最有代表性的平均反应谱曲线作为设计依据；通常称之为抗震设计反应谱。
反应谱影响因素：受地震动特性即峰值、频谱、持续时间的影响。
特点是随机性。
3．2 什么是地震影响系数其谱曲线的形状参数有何特点答：单自由度体系绝对加速度反应)(T Sa 与重力加速度g 之比。
3．3 什么是地震作用怎样确定单自由度弹性体系的地震作用答：地震作用：地面振动过程中作用在结构上的惯性力就是地震荷载，可理解为能反映地震影响的等效荷载，实际上，地震荷载是由于地面运动引起的动态作用，属于间接作用，应称为“地震作用”，而不应称为“地震荷载”。
确定单自由度弹性体系的地震作用： 水平方向：E Ek G T F )(α= 竖直方向：E v Evk G F max ,α=3．4 抗震设计中的重力荷载代表值是什么其中可变组合值系数的物理含义如何答：重力荷载代表值是指地震作用下计算有关效应标准值时，永久性结构构配件、非结构构件和固定设备等自重标准值加上可变动荷载组合值。
变组合值系数的物理含义：是根据可变重力荷载与地震的遇合概率确定的。
3．5 多自由度集中质量体系地震下的运动方程如何说明方程中各参数的含义。
答：)(}]{[)}(]{[)}(]{[)}(]{[t x R M t x K t x C t x M g •••••-=++3．6 写出振型质量、振型参与质量、振型参与系数的表达式。
答：振型质量：{}[]{}j Tj j x M x M =振型参与质量：{}[]{}j Rpj x M R M =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n m m m m 0...0][21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n c c c c c c c c c c .....................][212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n k k k k k k k k k k .....................][212222111211)(t x 0&&振型参与系数：jpj j M M V =3．7 简述多自由度体系地震反应的振型分解法与振型分解反应谱法的原理和步骤。
振型参与质量系数详解与解释
振型参与质量系数详解抗震规范和高规都有这个系数，牵涉到其他几个概念，与大家分享有关振型的几个概念振型参与系数：每个质点质量与其在某一振型中相应坐标乘积之和与该振型的主质量（或者说该模态质量）之比，即为该振型的振型参与系数。
一阶振型自振频率最小(周期最长),二阶,三阶....振型的自振频率逐渐增大. 地震力大小和地面加速度大小成正比,周期越长加速度越小,地震力也越小。
自振振型曲线是在结构某一阶特征周期下算得的各个质点相对位移(模态向量)的图形示意.在形状上如实反映实际结构在该周期下的振动形态.振型零点是指在该振型下结构的位移反应为0。
振型越高，周期越短，地震力越大，但由于我们地震反应是各振型的迭代，高振型的振型参与系数小。
特别是对规则的建筑物，由于高振型的参与系数小，一般忽略高振型的影响。
振型的有效质量：这个概念只对于串连刚片系模型有效(即基于刚性楼板假定的，不适用于一般结构。
）。
某一振型的某一方向的有效质量为各个质点质量与该质点在该一振型中相应方向对应坐标乘积之和的平方（(∑mx)2）。
一个振型有三个方向的有效质量，而且所有振型平动方向的有效质量之和等于各个质点的的质量之和，转动方向的有效质量之和等于各个质点的转动惯量之和。
有效质量系数：如果计算时只取了几个振型，那么这几个振型的有效质量之和与总质量之比即为有效质量系数。
这个概念是由WILSON E.L. 教授提出的，用于判断参与振型数足够与否，并将其用于ETABS程序。
振型参与质量：某一振型的主质量（或者说该模态质量）乘以该振型的振型参与系数的平方，即为该振型的振型参与质量。
振型参与质量系数：由于有效质量系数只实用于刚性楼板假设，现在不少结构因其复杂性需要考虑楼板的弹性变形，因此需要一种更为一般的方法，不但能够适用于刚性楼板，也应该能够适用于弹性楼板。
出于这个目的，我们从结构变形能的角度对此问题进行了研究，提出了一个通用方法来计算各地震方向的有效质量系数即振型参与质量系数，规范即是通过控制有效质量振型参与质量系数的大小来决定所取的振型数是否足够。
振型有效质量与参与质量
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振型参与系数
关于振型参与系数
建筑结构2010-08-08 21:20:36 阅读631 评论0 字号：大中小订阅
在抗震设计中，经常会碰到振型参与系数这个概念，但很多人往往记不清或不理解振型参与系数到底表示什么意思。
这里将从振型分解法的求解过程来说明这个系数的含义。
振动方程：
对上式进行振型分解，即令
并应用瑞利阻尼：
得：
对上式两端左乘
得：
由正交性知，上式变为：
即：
方程两端除以
并注意到：
且令：
得：
式中
即为振型参与系数。
可见振型参与系数的真正含义为单位质点在第j振型中所分配到的地震作用的分配系数，即单位质点地震作用的分解（配）系数。
与单质点地震振动方程相比，以上以广义位移
为未知量的振动方程，其右端仅多了一个系数
若再令
则上式可变为与单质点地震振动方程完全一样的形式，即：
上式是一个常系数的二阶非齐次微分方程，其解由通解和特解组成。
通解可由高等数学求得，特解可由杜哈梅积分求得。
其最终解为：
式中，
求出了
由等效静力的抗震计算法知，第j振型作用到第i质点的地震作用为：
这就是《震规》式（5.2.2-1）求第j振型作用到第i质点的水平地震作用标准值的表达式。
由
的表达式容易知道：
地震作用按振型的分解可用图表示如下：。
二阶系统主振型公式
二阶系统主振型公式
振型参与系数：每个质点质量与其在某一振型中相应坐标乘积之和与该振型的主质量（或者说该模态质量）之比，即为该振型的振型参与系数。
一阶振型自振频率最小(周期最长),二阶，三阶。
振型的自振频率逐渐增大. 地震力大小和地面加速度大小成正比，周期越长加速度越小，地震力也越小。
自振振型曲线是在结构某一阶特征周期下算得的各个质点相对位移(模态向量)的图形示意。
在形状上如实反映实际结构在该周期下的振动形态。
振型零点是指在该振型下结构的位移反应为0。
振型越高，周期越短，地震力越大，但由于我们地震反应是各振型的迭代，高振型的振型参与系数小。
特别是对规则的建筑物，由于高振型的参与系数小，一般忽略高振型的影响。
振型参与质量系数详解
振型参与质量系数详解
马旭升
【期刊名称】《黑龙江科技信息》
【年(卷),期】2009(000)023
【摘要】现行抗震规范和高规都有这个系数,并牵涉到其他几个概念,与大家分享有关振型的几个概念
【总页数】1页(P299)
【作者】马旭升
【作者单位】黑龙江集盛建筑设计有限公司
【正文语种】中文
【中图分类】TU857
【相关文献】
1.隔震结构振型参与系数与有效质量系数的研究 [J], 王继红;唐兴荣
2.大跨度屋盖结构脉动风振响应的振型能量参与系数 [J], 田玉基;杨庆山
3.关于建筑结构地震反应分析中振型参与系数物理意义的讨论 [J], 曾敦弟
4.关于“结构振型参与系数和振型贡献的分析”一文的勘误 [J], 孙广俊;李爱群
5.关于结构振型参与系数和振型贡献的分析 [J], 孙广俊;李爱群
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振型参与质量的简明推导
振型参与质量的简明推导振型参与质量的计算方法（曲哲，）无阻尼多自由度体系在地震作用下的运行方程为：[M]{y}+[K]{y}=?[M]{1}y0(1)令{y}=[]{q}，则有{y}=[Φ]{y}，代入式(1)有[M][Φ]{y}+[K][Φ]{q}=?[M]{1}y0(2)两边同时右乘[]T，有[Φ]y[M][Φ]{y}+[Φ]y[K][Φ]{q}=?[Φ]y[M]{1}y0(3)[M]y{y}+[K]y{q}=?[Φ]y[M]{1}y0、(4)其中[M]与[K]均为对角阵。
故式(3)可写作{y}s y[M]{y}y y s+{y}s y[K]{y}s y s=?{y}s y[M]{1}y0, s=1~N(5) y s+y sy s y s=?{y}s y[M]{1}{y}s y[M]{y}yy0, s=1~N(6)定义振型参与系数（modal participation factor，刺激係数）y s=?{y}s y[M]{1}{y}s y[M]{y}y(7)相应地，s{}s称为振型参数向量（刺激係数），与振型归一化方法无关。
另有展开定理如下。
设{y}=∑y s{y}ss，两边同时右乘{y}s T[M]，根据振型正交性有，`{y}s y[M]{y}=y s{y}s y[M]{y}s(8)y s=?{y}s y[M]{y}{y}s y[M]{y}y(9)对比式(7)和式(9)可知，{1}=∑y s{y}ss(10)结构总质量∑y i i ={1}T[M]{1}=(∑y s{y}y ys)[M](∑y s{y}ss)=∑y s2{y}y y[M]{y}ss =∑y s2y ss(11)可见，以振型参与向量s{}s为振型向量得到的振型质量y s2y s与振型归一化方法无产，且其和等于结构总质量，可作为振型参与质量。
振型参与系数的物理意义
振型参与系数的物理意义振型参与系数，这个词听上去是不是有点拗口？它的意思就是在振动分析中，每种振型对于系统整体振动的贡献有多大。
听起来复杂？别担心，我们来慢慢聊聊，保证你听了也能会心一笑。
想象一下，你和朋友们在一起玩乐队，每个人都有自己的乐器。
你是主唱，另一位朋友打鼓，还有人弹吉他、拉小提琴。
每个人都在用心演奏，但如果主唱跑调了，整个乐队可就尴尬了。
这个时候，主唱的“参与系数”就特别高，因为他对乐曲的影响最大。
再想想如果吉他手太过火，音量一大，反而让人听不清主唱的声音，这样一来，吉他手的参与系数就得打个折扣。
振型参与系数的道理就像是乐队中的每个乐器，各自的贡献和影响力不一样，有的主导，有的辅助。
说到这里，咱们可以把这个系数想象成一个“重要性排行榜”。
在一场激烈的篮球比赛中，得分手就是那个重要的“主唱”。
他每次投篮，球进了，球队就能欢呼；投不进，那可真是有点哭笑不得。
相对来说，防守球员的参与度虽然重要，但他们的得分少，影响力稍微小一些。
振型参与系数就是这样评估每个“球员”在整体“比赛”中扮演的角色。
振动的时候，咱们的系统就像是一场热闹的聚会，每个振型都在跟着节奏晃动。
有的振型节奏快，像是在舞池中旋转；有的振型则是慢慢摆动，给人一种稳重的感觉。
不同的振型就像不同的舞蹈风格，有的活泼，有的端庄。
在分析振动的时候，搞清楚哪个振型在整个系统中贡献最大，才能更好地理解系统的表现。
咱们再深入一层，振型参与系数的计算其实就像是对这场聚会的“人气评分”。
如果某个振型的参与系数高，说明它在整个系统中占据了举足轻重的地位，起到了“定海神针”的作用。
反之，参与系数低的振型就像是聚会中那个默默无闻的角落，虽有存在，但不太引人注目。
可是，千万别小看那些低参与度的振型，它们也能在关键时刻闪耀光芒，像个黑马，给你一个意外的惊喜。
听到这里，你可能会想，振型参与系数能不能用在生活中呢？当然可以！比如，工作团队中，每个人的能力和贡献就像振型参与系数一样。
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振型参与质量的计算方法（曲哲，2014.12.24）
无阻尼多自由度体系在地震作用下的运行方程为：
[M]{y }+[K]{y}=−[M]{1}y0(1) 令{y}=[Φ]{q}，则有y =Φ{q }，代入式(1)有
[M]Φ{q }+[K]Φ{q}=−[M]{1}y0(2) 两边同时右乘[Φ]T，有
ΦT[M]Φ{q }+ΦT[K]Φ{q}=−ΦT[M]{1}y0(3) [M]ϕ{q }+[K]ϕ{q}=−ΦT[M]{1}y0(4) 其中[M]φ与[K]φ均为对角阵。
故式(3)可写作
{ϕ}s T[M]{ϕ}s q s+{ϕ}s T[K]{ϕ}s q s=−{ϕ}s T[M]{1}y0, s=1~N(5)
q s+K s
M s q s=−{ϕ}s T[M]{1}
{ϕ}s T[M]{ϕ}s
y0, s=1~N
(6)
定义振型参与系数（modal participation factor，刺激係数）
βs=−{ϕ}s T[M]{1}
{ϕ}s T[M]{ϕ}s
(7)
相应地，βs{φ}s称为振型参数向量（刺激係数），与振型归一化方法无关。
另有展开定理如下。
设{x}=αs{ϕ}s
s，两边同时右乘{ϕ}s
T[M]，根据振型正交性有，
{ϕ}s T[M]{x}=αs{ϕ}s T[M]{ϕ}s(8)
αs=−{ϕ}s T[M]{x}
{ϕ}s T[M]{ϕ}s
(9)
对比式(7)和式(9)可知，
{1}=βs{ϕ}s
s
(10) 结构总质量
m i i =1T M1=βsϕs T
s
Mβsϕs
s
=βs2ϕs T Mϕs
s =βs2M s
s
(11)
可见，以振型参与向量βs{φ}s为振型向量得到的振型质量βs2M s与振型归一化方法无产，且其和等于结构总质量，可作为振型参与质量。