第四讲—点对称操作和晶系讲述
晶体的宏观对称 点群 对称型 ppt课件
对称的概念
晶体对称的特点
对称要素和对称操作
晶体的对称定律
对称要素的组合
点群和对称型的概念及其推导
晶体的分类
对称型的国际符号和圣佛利斯符
号 2020/10/15
1
晶体学
2.5 对称要素的组合
任意两个对称要素同时存在一个晶体上时，将 产生新的对称要素，且产生的个数一定。
例：四方四面体
Li42L2 2P
2020/10/15
黄铜矿
Li4+
L2⊥(或P//)
=
Li4
10
2L22P
晶体学
五、32个对称型及其推导
晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶 体形态的对称型或点群。一般来说，当强调对称 要素时称对称型，强调对称操作时称点群。
为什么叫点群？因为对称型中所有对称操作可构 成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时 有一点不动，所以称为点群。
晶体学
对称要素的组合
2020/10/15
8
晶体学
对称要素组合定理：
定理3：Ln P LnP C （n为偶数） 逆定理： Ln C LnP C （n为偶数）
P C LnP C （n为偶数） 这一定理说明了Ln、P、C三者中任两个可以 产生第三者。
2020/10/15
正长石：
L2+P⊥
=
2020/10/15
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晶体学
A类对称型（高次轴不多于一个）的推导
6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为：Li1=C； Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的组 合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能的 对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当 n 为 偶 数 时 Lin(n/2)L2(n/2)P 可 能 的 对 称 型 为 ： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
晶体的对称ppt课件
6、稳定性：由于晶体具有最小内能，因而结晶状态是一 个相对稳定的状态，质点只在其平衡位置上振动。 ◆非晶体不稳定，有自发地向晶体转化的趋向。 ◆晶体和非晶体在一定条件下是可以相互转化的。
39
● 晶体的多面体形态，是其格子构造在外形上的直接 反映。晶面、晶棱与角顶分别与格子构造中的面网、行列 及结点相对应。
37
2、均一性：由于晶体是具有格子构造的固体，在同一晶
体的各个不同部分，质点的分布一样，故晶体的各部
分的物理化学性质相同。
注意：非晶体也具有均一性。但是非晶体不具格子构造其 均一性是统计的、平均近似的均一，称为统计均一 性；而晶体均一性取决于格子构造，称为结晶均一 性。两者有本质区别。
15
❖ 对称中心以字母C表示, 图示符号为“o”或 “C”表示。
❖ 晶体中可以有对称中心，也可以没有对称 中心，若有只能有一个，而且必定位于晶体 的几何中心。
❖ 晶体中如果存在对称中心，则所有晶面必 然两两反向平行而且相等。用它可以作为判 断晶体有无对称中心的依据。
16
4、旋转反伸轴（Lin）
• 旋转反伸轴是一根假想的直线，当晶体 围绕此直线旋转一定角度后，再对此直 线上的一个点进行反伸，才能使晶体上 的相等部分重复。
6
对称面的投影 对称面是通过晶体中心的平面，在球面投影中它与投影球 面的交线为一大圆。 ◆ 水平对称面的投影为基圆； ◆ 直立对称面投影为基圆的直径线； ◆ 倾斜对称面投影为以基圆直径为弦的大圆弧。
作图时对称面用实线表示。
右图为立方体的九个对称面的极 射赤平投影图
7
2、对称轴（Ln）
• 对称轴是通过晶体中心的一根假想直线， 晶体围绕此直线旋转一定角度后，相同的 晶面、晶棱、角顶能重复出现。
晶体的对称性讲解
合，则由于晶体的周期性，通过格
点B也有一转轴u。
Байду номын сангаас
B1
A
A
B
A1
AB AB 1 2cosθ, AB 是 AB 的整数倍，
cos 0, 1 ,1
2
π , π ,2π
23
2π , 2π , 2π
461
相反若逆时针转 '角后能自身重合，则 B
A
AB AB 1 2cosθ,
AB 是 AB 的整数倍，
x3
X ( x1, x2 , x3 )
X ( x1 , x2 , x3 )
O
x2
x1
x2 Rcos Rcos cos Rsin sin
x2 cos x3 sin
x3 Rsin Rsin cos Rcos sin
x2 sin x3 cos
x1 x2 x3
1 0 0
( x1, x2 , x3 ) 变为 ( x1, x2 , x3 )
x1 x 2 x 3
x1 x2 x3
A
1 0 0
0 1 0
001
A 1
(4)旋转--反演对称
若晶体绕某一固定轴转 2π 以后，再经过中心反演,晶体自
n
身重合，则此轴称为n次(度)旋转--反演对称轴。
旋转--反演对称轴只能有1，2，3，4，6度轴。
旋转--反演对称轴用 1, 2, 3, 4, 6 表示。
旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：
1i
1 2
2m
1
1
2
3 3i
3
5
1 4
6 2
6=3+m
3 3
5 5
晶体的对称实验原理概念
晶体的对称实验原理概念晶体的对称性是指晶体内部结构中存在的重复元素或对称性操作。
对称操作是指可以通过某种特定方式将晶体的一个部分变换到另一个部分，使得两个部分在几何形状或物理性质上完全相同。
晶体的对称性是晶体学中的重要概念，对于研究晶体的结构及性质具有重要意义。
晶体的对称实验原理是指通过实验手段来确定晶体是否具有对称操作。
根据晶体学的共同假设，如果晶体具有某个对称操作，则应满足以下两个特点：1）存在一个点或轴或面，这个点/轴/面称为对称元素，在该点/轴/面上存在一个不动点或不变轴/面，即所有经过对称操作后的坐标都不变；2）经过对称操作后的晶体应该与原晶体具有完全相同的几何结构。
根据这个原理，可以进行一系列的实验来确定晶体的对称性质。
首先，最直观的方法是使用光学显微镜观察晶体在不同方向上的外部形态。
如果晶体在旋转180后看起来与原样一致，则表明晶体具有二倍轴对称性；如果晶体在旋转120或240后看起来与原样一致，则表明晶体具有三倍轴对称性；如果晶体在旋转90或270后看起来与原样一致，则表明晶体具有四倍轴对称性。
此外，还可以观察晶体镜像面的出现情况，通过镜像面的存在来确定晶体是否具有镜像对称性。
其次，晶体学中常用的实验手段是X射线衍射。
通过X射线衍射的方法可以确定晶体的晶格结构及原胞参数，从而间接判断晶体的对称性。
X射线衍射实验中，通过测量晶体衍射花样的对称性来确定晶体的晶体系统和病态。
如果X射线衍射花样呈现出一定的对称性，那么可以推断晶体具有相应的对称性操作。
而如果实验测得的晶胞参数和理论计算值吻合，那么可以证明晶体是该晶体系统下的晶体。
此外，还可以通过热力学实验来确定晶体的对称性。
比如通过测量晶体的热膨胀系数、比热容等物理性质的变化，可以得到晶体在不同方向上的对称性。
热力学实验可以通过改变晶体的温度、压力等条件来研究晶体的对称性质。
总之，晶体的对称实验原理是通过一系列实验手段来确定晶体的对称操作。
点群与晶系分析课件
空间群确定
根据晶体结构分析结果， 确定空间群，以便进一步 研究晶体结构和性质。
点群与空间群关系
理解点群与空间群之间的 关系，有助于理解晶体结 构和物理性质。
晶系分析方法
晶系分类
01
根据晶体对称性对晶系进行分类，包括立方、四方、六方等晶
系。
晶格常数
02
测量和计算晶体的晶格常数，有助于确定晶系和进一步研究晶
晶系的特点
每个晶系都有其独特的几何特征和对 称元素，这些特征决定了晶体在三维 空间中的结构和性质。
晶系的对称性
对称操作
晶体的对称性是指晶体在三维空 间中能够通过某些操作保持不变 的性质。这些操作包括旋转、平
移和反演等。
对称元素
晶体中存在的对称元素，如对称面 、旋转轴和反演中心等，决定了晶 体的对称性。通过对称元素可以将 晶体分类到不同的晶系。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
点群与晶系的实际应用
材料科学中的点群与晶系应用
晶体结构预测
利用点群和晶系分析，可以预测材料的晶体结构，从而影响其物理 和化学性质。
相变研究
通过分析点群和晶系，有助于研究材料在不同温度和压力下的相变 行为，为材料制备和应用提供指导。
生物学
在生物学中，点群和晶系分析可用于研究蛋白质的结构和功能，对 于药物设计和疾病治疗具有重要意义。
点群与晶系的发展趋势
高压和高温下的点群和晶系研究
随着实验技术的不断发展，人们开始探索高压和高温条件下晶体结构的对称性和稳定性。
点群和晶系的计算模拟
利用计算机模拟技术，可以更准确地预测和理解晶体结构和性质，有助于发现新的材料和 化合物。
高二物理竞赛课件：晶体结构的对称性和晶系
对称中心和反演操作 无论熊夫利符号，还是 国际符号均用i表示。
镜面反映（reflection across a plane）
以 x3 0 作为镜面，将晶体中任一点 ( x1, x2 , x3 )
变成另一点 ( x1， x2， x3 ) ，这一变换称为镜像变换，
其矩阵形式为
x1' x2' x3'
取中心为原点，将晶体中任一点 ( x1, x2 , x3 ) 另一点 ( x1， x2， x3 ) ,其变换关系为
其矩阵表示形式为
x1' x2' x3'
1 0 0
0 1 0
0 x1
0 1
x2 x3
x1 x1 x2 x2 x3 x3
用变换矩阵A表示中心反演操作，即
1 0 0 A 0 1 0
由于晶面作有规则地配置，因此晶体在外型上具 有一定的对称性质。
对称性是指在一定的几何操作下，物体保持不变 的特性。
与一般几何图形的对称不同，由于晶格周期性的 限制，晶体仅具有为数不多的对称类型。
在晶体中，布拉菲格子是按其对称性来进行分类。
描述晶格的全部对称性的对称操作的集合，称为 对称群（symmetry group） ，或空间群。
C1、
C
、
2
C
、
3
C
、
4
C
6
显然，在晶体中只能有1、2、3、4、6度等5个旋转 对称轴。
表中列出了文献资料中常用的对称轴度数与对应的 几何符号。
表 对称轴度数的符号表
对称轴的度数 2
3
4
6
符号
一般地，几何符号标记在对称轴两端。
* 晶面间距与倒格矢长度的关系
晶体的对称性与晶系
晶体的对称性与晶系自然界不论是宏观物体还是微观粒子，普遍存在着对称性。
晶莹的雪花、美丽的花朵、艳丽的蝴蝶都具有对称性，人体也具有对称性。
地下的矿物，如水晶、钻石、闪锌矿……也都具有对称性。
微观粒子如水分子、苯分子以及所有分子都具有对称性。
对称性显示出物体的匀称和完美，为人们所喜爱和追求，因而设计师设计的宏伟建筑如天安门、人民大会堂、长江大桥……都呈现出对称性。
本文主要介绍晶体的宏观对称性，包括旋转轴、对称面和对称中心等，以及晶体宏观对称性与晶系的关系。
晶体的宏观对称性晶体宏观对称性有旋转轴（也称对称轴）、对称面（也称镜面）和对称中心，分别介绍如下。
旋转轴 旋转轴是对称元素，绕旋转轴可做旋转操作。
n 次旋转轴记为n ，απ2=n ，α称为基转角。
例如NaCl 晶体的外形是立方体，立方体对应面中心联线方向有4次旋转轴，绕此轴每旋转90°后，晶体形状不变；立方体对角线联线方向有3次旋转轴，绕此轴每旋转120°后，晶体形状不变；立方体对应棱边中心联线方向有2次旋转轴，绕此轴每旋转180°，晶体形状不变。
图6－4示出这3种旋转轴。
可以证明在晶体宏观外形中存在的旋转轴有1，2，3，4和6次旋转轴5种，不存在5次轴和大于6次的旋转轴。
对称面 对称面是对称元素，对称面也称镜面，常用m 表示。
凭借对称面可以做反映操作，如同物体与镜子中的像是反映关系。
人的双手手心相对，平行放置，左右手就互为镜象。
许多晶体中存在对称面，NaCl 晶体有9个对称面。
对称中心 对称中心也是对称元素，常用i 表示。
通过对称中心可以做倒反操作。
例如人的双手手心相对，逆平行放置，此时左右手构成倒反关系。
NaCl 晶胞中，在体心位置存在对称中心。
因此晶胞中任意一个原子与对称中心相连，在反方向等距离处必存在同样的原子。
晶体有无对称中心对晶体的性质有较大的影响。
凭借上述三种对称元素所做的对称操作都是简单操作，如果连续做两个简单操作就成为复合操作。
晶体的对称性与晶系
晶体的对称性与晶系自然界不论是宏观物体还是微观粒子，普遍存在着对称性。
晶莹的雪花、美丽的花朵、艳丽的蝴蝶都具有对称性，人体也具有对称性。
地下的矿物，如水晶、钻石、闪锌矿……也都具有对称性。
微观粒子如水分子、苯分子以及所有分子都具有对称性。
对称性显示出物体的匀称和完美，为人们所喜爱和追求，因而设计师设计的宏伟建筑如天安门、人民大会堂、长江大桥……都呈现出对称性。
本文主要介绍晶体的宏观对称性，包括旋转轴、对称面和对称中心等，以及晶体宏观对称性与晶系的关系。
晶体的宏观对称性晶体宏观对称性有旋转轴（也称对称轴）、对称面（也称镜面）和对称中心，分别介绍如下。
旋转轴 旋转轴是对称元素，绕旋转轴可做旋转操作。
n 次旋转轴记为n ，απ2=n ，α称为基转角。
例如NaCl 晶体的外形是立方体，立方体对应面中心联线方向有4次旋转轴，绕此轴每旋转90°后，晶体形状不变；立方体对角线联线方向有3次旋转轴，绕此轴每旋转120°后，晶体形状不变；立方体对应棱边中心联线方向有2次旋转轴，绕此轴每旋转180°，晶体形状不变。
图6－4示出这3种旋转轴。
可以证明在晶体宏观外形中存在的旋转轴有1，2，3，4和6次旋转轴5种，不存在5次轴和大于6次的旋转轴。
对称面 对称面是对称元素，对称面也称镜面，常用m 表示。
凭借对称面可以做反映操作，如同物体与镜子中的像是反映关系。
人的双手手心相对，平行放置，左右手就互为镜象。
许多晶体中存在对称面，NaCl 晶体有9个对称面。
对称中心 对称中心也是对称元素，常用i 表示。
通过对称中心可以做倒反操作。
例如人的双手手心相对，逆平行放置，此时左右手构成倒反关系。
NaCl 晶胞中，在体心位置存在对称中心。
因此晶胞中任意一个原子与对称中心相连，在反方向等距离处必存在同样的原子。
晶体有无对称中心对晶体的性质有较大的影响。
凭借上述三种对称元素所做的对称操作都是简单操作，如果连续做两个简单操作就成为复合操作。
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非点式对称操作
间 群
花椒凤蝶
香格里拉的秋天 狼毒
三叶草
四叶三叶草
43.51 carat Natural Diamond
SG(No.227): Fd3m
Type IIa CVD Diamond
Diamond single crystals for abrasives
Type Ib HPHT Diamond
(111) (111)
(111)
(111)
100 (001)
(010)
(100)
001
010
010
001
001
z
100
010
xy
(101) (011) (110) (110)
100
110
101
110
011
011
011
011
101
110
110
(111) (111)
100
(111) (111)
(111) (111)
x’ -0 -1 -0 x
y’ = -1 -0 -0 y
z’
-0 -0 -1 z
m[001]
镜面
x’ -1 -0 -0 x
y’ = -0 -1 -0 y
z’
-0 -0 -1 z
m[010]
x’ -1 -0 -0 x
y’ = -0 -1 -0 y
z’
-0 -0 -1 z
m[110]
x’ -0 -1 -0 x
a1
P5
a5
a2
P2
a3 a4
P4
PZT
P3
微观对称性的反映
极射赤面投影
球面
N
Op = r tan(/2)
P
基圆 A
基圆平面
rO p
/2
球面坐标：极距角、方位角。 S
纬线、经线、子午面。
极距角、方位角
晶体的投影
N
球面
基圆
晶体的
球面上小圆的投影
N
N
N
球面
A
B
O
O
基圆
C
S
水平小圆
S
直立小圆
S
倾斜小圆
O（原）点不动，极点和小圆是相对可变的!
球面上大圆的投影
N
球面
N
N
z
xy
S
S
S
基圆
x
y 无需一定是直角坐标！
N
B
O
A
S
B
B N
A
B N A NA
可相对 任意旋 转！
例：铜单晶体的极射赤面投影
z
(001)
(010) (100)
xy
(101) (011)
(110) (110)
y’ = -0 -1 -0 y
z’
-0 -0 -1 z
m[001] ( = 120o)
x’ -1 -0 -0 x
y’ = -0 -1 -0 y
z’
-0 -0 -1 z
m[100] ( = 120o)
x’ -1 -1 -0 x
y’ = -0 -1 -0 y
z’
-0 -0 -1 z
b
a
直角坐标
b
a
六角坐标
镜面{m[001]}，反映
x’ -1 -0 -0 x
y’ = -0 -1 -0 y
z’
-0 -0 -1 z
对称心(i)，反演
x’ -1 -0 -0 x
y’ = -0 -1 -0 y
z’
-0 -0 -1 z
m[100]
x’ -1 -0 -0 x
y’ = -0 -1 -0 y
z’
-0 -0 -1 z
m[110]
对称算符 r’ = Rr
x’
a11 a11 a11 x
y’ = a21 a21 a21 y
z’
a31 a31 a31 z
恒等 1
x’ -1 -0 -0 x
y’ = -0 -1 -0 y
z’
-0 -0 -1 z
c
(x’,y’,z’)
(x,y,z)
r
r’
b
a
= 90o 直角坐标 = 120o 六角坐标
重要概念：对称操作、点对称操作、对称元素、参考轴、
对称操作算符、真旋转、非真旋转、操作符号
1 (E，L1)
z xy
y
m (，P )
x
z xy
y
x
极射赤面（平）投影
对称操作、点对称操作、参考轴、对称算符
对称操作：对分子或晶体，
使其各个原子的位置发生变换 的操作，但其结果是使分子或 晶体的状态与操作前的状态正 好相同。
6 (C6, L6); 62 = 3; 63 = 2; 64; 65; 66 = 1
1 (i, C)
+
手性的变化 对形关系、对形操作
_,
+
_,
+
_,
2 (σ, P), m
_, +
？
_ ,+ _, +
3 (S65, Li3)
3 (S65, Li3) = 3+C
4 (S43, Li4)
第四讲 点对称操作、晶系
复习：
第三讲 晶体投影
意义：1、投影是研究晶体外形和结构
的有用工具。2、极射赤面投影能清楚表达 晶体点群中对称要素的空间分布。
晶面角守恒定律：在相同温度和压力等条件下，成
分和构造上均相同的同种晶体，其对应晶面之间的夹 角是守恒的。
P6
180o -
A
180o -
B
P1
a6
y’ = -1 -0 -0 y
z’
-0 -0 -1 z
m[001] ( = 90o)
x’ -1 -0 -0 x
y’ = -0 -1 -0 y
z’
-0 -0 -1 z
m[100] ( = 90o)
x’ -1 -0 -0 x
y’ = -0 -1 -0 y
z’
-0 -0 -1 z
对称心(i)，反演
x’ -1 -0 -0 x
c b
点对称操作：在操作过程中保
持空间有一不动点的对称操作。
a
苯分子
1, 2, 3, 4, 5, 6, … 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
A’
t’
B’
A t B t’ = mt
= 360o/n
(n = 1,2,3,4,6)
参考轴： a, b, c (无需正交)
r = xa + yb + zc r’ = x’a + y’b + z’c
001 100
110 111
010
011 111 110
010
101
001
110
111
010
011
y
111 101
110
100
x
Cu单晶体的极射赤面投影
第四讲(I) 点对称操作
点对称操作(R)：在操作过程中保持空间有一不动点
的对称操作。比较：平移操作(t)
点对称操作
点群点对称
操作的集合
空
晶 系
十四种惯用布 拉菲格子
1 (E, L1)
2 (C2, L2)
+ + _
_
+
+ +
+
3 (C3, L3)
x’
-0 -1 -0 x
y’ = -1 -1 -0 y
z’
-0 -0 -1 z
3 (C3, L3); 33; 333
4 (C4, L4)
4 (C4, L4); 42 = 2; 43; 44 = 1
6 (C6, L6)
晶体对称的特点：晶体外形的对称性（宏观对称
性）决定于晶体内部结构的对称性（微观对称性）。所有的晶 体结构都是对称的。晶体外形是有限图形，宏观对称是有限的， 而微观结构被视作无限的。晶体的对称不仅体现在外形上，同 时也体现在物理性质上。
我们必须记住：对于晶体结构，所讨论的是单胞连同其中所含 实体的对称性，而不是阵点排成的裸单胞的对称性