22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质1
5、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ B ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
a (a 0) 6 函数y=ax2-a与y= x
在同一直角坐标系中的图象可能是 （ A ）
7.抛物线y=ax2＋c与y=３x2的形状相同，且其 顶点坐标是（０ , １），则其表达式为 2＋１ 或y=－３x2＋１ y= ３ x __________________________，
x=0时,y最小= C
x=0时,y最大=C
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移|c|个单位得到.
试一试
1 某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示.现测得水面 宽AB=1.6m,涵洞顶点C到水面的距离为2.4m.在图 中直角坐标系内.求涵洞所在抛物线的函数解析式.
解:设涵洞所在抛物线的函数解析式为 y=ax2+2.4 根据题意有A(-0.8,0),B(0.8,0) 将x=0.8, y=0 代入y=ax2+2.4得 0=0.64a+2.4 ∴a=_ 15 涵洞所在抛物线的函数解析式 为y=_ 15 x2+2.4
|a|越大开口越小，反之开口越大。
y=ax2+c (a≠0) 开口方向
顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上 (0 ,c) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
a<0 向下 (0 ,c) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
上加下减
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
10
y
8
y=x2+1
y=x2 y=x2-2
5
4
y
2
y=-x2+3
5
6
4
-10
-5
O
-2
x
10
2
y=-x2 y=-x2-2
-4
-10 -5
O
-2
x
10
-6
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+c的开口 向上 ，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 c ； 当a<0时,抛物线y=ax2+c的开口 向下 ，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 c 。
8、按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2）（0，-1） 求该抛物线线的解析式。 （2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口 方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。
（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过 （1，2）的点的解析式， （4）抛物线y=ax2＋c对称轴是y轴，顶点（0，-3）， 且经过（1，2），求抛物线的解析式.
2 一般地抛物线y=ax +k有如下性质：
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图像是一条抛物线，它的 对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），是由抛物线y=ax2 k 的图像向上（ k＞0）或向下（ k＜0）平移 个单位得 到的。
当a＞0时，抛物线y=ax2+ k的开口向上, 在对称轴的左 边，即x＜0时，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而 减小；在对称轴的右边，即x＞0时，曲线自左向右上升 ，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，此 时，函数y取得最小值，即当x=0时，y最小值= k
故0=24a+c,3=12a+c,
1 2 即y= - x +6. 4
解得a= -
1 4
,c=6,
其顶点为(0,6), (6-3)÷0.25=12小时.
y=ax2 (a≠0) 图 象
a>0 y
a<0
y
O
x
O
x
向上 向下 开口方向 (0 ,0) (0 ,0) 顶点坐标 y轴 y轴 对称轴 当x<0时, 当x<0时， 增 y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。 当x>0时， 当x>0时， 减 y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。 性 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
向上平移 2+1 抛物线 y=2x 1个单位 向下平移 2 抛物线y=2x 1个单位 抛物线 y=2x2－1
抛物线y=2x2
把抛物线y = 2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移3．4 个单位呢？
y 2x2 5
8
6
4 2 －4 －2 －2 －4
y 2 x2
(1)得到抛物线y=2x2+5
当a＜0时，抛物线y=ax2+ k的开口向下, 在对 称轴的左边，即x＜0时，曲线自左向右上升， 函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边，即 x＞0时，曲线自左向右下降，函数y随x的增大 而减小。顶点是抛物线的最高点，此时，函数 y取得最大值，即当x=0时，y最大值= k
二次函数没有一次项,则抛物线对称轴是y轴,
(2)得到抛 2x 2 3.4
抛物线y=ax2与y=ax2±c之间的关系是：（c>0） 形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同，
而顶点位置和抛物线的位置不同．
抛物线之间的平移规律：
抛物线y=ax2 抛物线y=ax2
向上平移 2+c 抛物线 y=ax c个单位 向下平移 2－c 抛物线 y=ax c个单位
抛物线对称轴是y轴,则二次函数没有一次项
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象 下 平移 11个单位得到。 可由 y=4x2的图象向 (2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 上平移 7 个 单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
y2
y1 y3 y4 x2 x4 x3 x1
D.y4>y2>y3>y1
10 已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2, x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等， 则当x取x1+x2时，函数值为 （ D） A. a+c B. a-c C. –c D. c
1 2 y x 11.已知抛物线 2 ，把它向下平移，得到 的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点， 若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下 平移几个单位？
抛物线y=2x2－1: 开口向上, 对称轴是y轴,
顶点为(0, －1).
(2)抛物线y=2x2+1,y=2x2－1与抛物线y=2x2的异同 点: y=2x2+ y 10 ①形状大小相同 1y=2 相同点： 9 8 2 x ②开口方向相同 7 6 ③对称轴相同 5
4 3 不同点： 2－ 顶点的位置不同，抛 y=2x 2 物线的位置也不同． ● 1 1 o1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 ● x ●
y
C
4
O A B x
4
2.如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB位置时,水面 宽4 米,水位上升3米达到警戒线MN位置时 ,水面 宽4 6 米,某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上 升,求 水过警戒线后几小时淹到拱桥顶? y 解:以AB为x轴,对称轴为y轴建立直 c 角坐标系, 设抛物线的代数表达式为y=ax2+ c. M N 则B点坐标为(2 6 ,0), N点坐标为(2 3 ,3), x A B
9已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2),
C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上,且x2< x4<0,
0<x3< x1, |x2|>|x1|, |x3|>|x4|, 则 A.y1>y2>y3>y4 B.y2>y1>y3>y4 C.y3>y2>y4>y1 (B )
例2. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=2x2+1和y=2x2 －1的图像
x … -3 … 19 … 17 -2 9 7 -1 3 1 0 1 -1 1 3 1 2 9 7 3 …
解: 列表
描点 连线
y=2x2+ 1 y=2x2-1
19 … 17 …
(1) 抛物线y=2x2+1,y=2x2－1的开口方向、对称轴、顶 点各是什么? (2)抛物线y=2x2+1,y=2x2－1与抛物线y=2x2有什么关 系 ? 1）抛物线y=2x2+1: （ 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0,1).
例：在同一个直角坐标系中，画出函数 y=-x2和y=-x2+1的图像，并根据图像回答 下了问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才 能得到抛物线y=-x2 （2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增 大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 其图像与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 1 2 （3）试说出抛物线y= 2 x -3的开口方向、 对称轴和顶点坐标
【教育资料】22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质学习精品
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质基础闯关全练拓展训练1.(2019黑龙江鸡西虎林期中)对于二次函数y=3(x+1)2,下列结论正确的是()A.当x取任何实数时,y的值总是正的B.其图象的顶点坐标为(0,1)C.当x>1时,y随x的增大而增大D.其图象关于x轴对称2.已知a,h,k为常数,且二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象通过(0,5),(10,8)两点.若a<0,0<h<10,则h的值可以为()A.1B.3C.5D.73.二次函数y=a(x-1)2+k(a>0)中x、y的几组对应值如下表:表中m、n、p的大小关系为(用“<”连接).4.(2019黑龙江哈尔滨南岗月考)已知点A(-1,y1)、B(-2,y2)、C(3,y3)分别是抛物线y=5(x-2)2+k 上的三个点,则y1、y2、y3的大小关系为(用“<”连接).能力提升全练拓展训练1.若二次函数y=(x-m)2-1,当x≤3时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是()A.m=3B.m>3C.m≥3D.m≤32.(2019吉林长春模拟)如图,在平面直角坐标系中,过抛物线y=a(x+1)2-2(x≤0,a为常数)的顶点A作AB⊥x轴于点B,过抛物线y=-a(x-1)2+2(x≥0,a为常数)的顶点C作CD⊥x轴于点D,连接AD、BC,则四边形ABCD的面积为.3.(2019广西贵港平南月考)抛物线y=-x2+x+2与y轴交于点A,顶点为B.点P是x轴上的一个动点,当点P的坐标是时,|PA-PB|取得最小值.三年模拟全练拓展训练1.(2019湖北武汉武昌期末,9,★★☆)已知二次函数y=-(x+h)2,当x<-3时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小,且h满足h2-2h-3=0,则当x=0时,y的值为()A.-1B.1C.-9D.92.(2019河南安阳期末,6,★★☆)从y=2x2-3的图象上可以看出,当-1≤x≤2时,y的取值范围是()A.-1≤y≤5B.-5≤y≤5C.-3≤y≤5D.-2≤y≤13.(2019江苏无锡江阴实验中学月考,16,★★☆)若A(x1,y1)、B(x2,y2)是二次函数y=-(x+1)2-2图象上不同的两点,且x1>x2>-1,记m=(x1-x2)(y1-y2),则m0.(填“>”或“<”)五年中考全练拓展训练1.(2019四川泸州中考,12,★★☆)已知抛物线y=x2+1具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离始终相等,如图,点M的坐标为(,3),P是抛物线y=x2+1上一个动点,则△PMF周长的最小值是()A.3B.4C.5D.62.在同一坐标系中,一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是()3.已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y=x2-1上,下列说法中正确的是()A.若y1=y2,则x1=x2B.若x1=-x2,则y1=-y2C.若0<x1<x2,则y1>y2D.若x1<x2<0,则y1>y2核心素养全练1.如图,点E是抛物线y=a(x-2)2+k的顶点,抛物线与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴,与抛物线交于点B,与对称轴交于点D.点A是对称轴上一点,连接AC、AB.若△ABC是等边三角形,则图中阴影部分的面积是.2.如图,抛物线y1=a(x+2)2+m过原点,与抛物线y2=(x-3)2+n交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.下列结论:①两条抛物线的对称轴距离为5;②x=0时,y2=5;③当x>3时,y1-y2>0;④y轴是线段BC的中垂线.其中正确结论是(填写正确结论的序号).22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质基础闯关全练拓展训练1.答案C∵二次函数的解析式为y=3(x+1)2,∴无论x为何值,y≥0;二次函数图象的顶点坐标为(-1,0);当x>-1时,y随x的增大而增大;二次函数的图象关于直线x=-1对称.故选C.2.答案D∵抛物线的对称轴为直线x=h,且(0,5),(10,8)两点在抛物线上,∴h-0>10-h,解得h>5.故选D.3.答案n<m<p解析∵a>0,∴抛物线开口向上,∵对称轴为x=1,∴x<1时,y随x的增大而减小,x>1时,y随x的增大而增大,∵-2<1,1<5,∴m>n,p>n,∵x=-2与x=4时的函数值相等,∴p>m,∴n<m<p.4.答案y3<y1<y2解析∵抛物线y=5(x-2)2+k,∴该抛物线开口向上,对称轴是直线x=2,当x<2时,y随x的增大而减小.∵C(3,y3)关于对称轴x=2的对称点的坐标为(1,y3),又∵-2<-1<1,∴y3<y1<y2.能力提升全练1.答案C∵二次函数的解析式y=(x-m)2-1的二次项系数是1,∴该二次函数的图象开口向上.又∵该二次函数的图象的顶点坐标是(m,-1),∴当x<m时,y随x的增大而减小,而已知中当x≤3时,y随x的增大而减小,∴m≥3.故选C.2.答案 4解析抛物线y=a(x+1)2-2(x≤0,a为常数)的顶点坐标为(-1,-2),抛物线y=-a(x-1)2+2(x≥0,a为常数)的顶点坐标为(1,2),又∵AB⊥x轴于点B,CD⊥x轴于点D,∴四边形ABCD是平行四边形,且BD=2,AB=CD=2,∴S四边形ABCD=BD·CD=2×2=4.3.答案解析∵抛物线y=-x2+x+2与y轴交于点A,∴A(0,2),∵y=-x2+x+2=-(x-3)2+6,∴顶点B(3,6).设P(x,0),当PA=PB时,线段PA与PB的差最小,PA-PB=0.∵A(0,2),B(3,6),∴PA2=x2+22=x2+4,PB2=(x-3)2+62,∴x2+4=(x-3)2+62,解得x=,∴当P点坐标为时,|PA-PB|取得最小值.三年模拟全练拓展训练1.答案C∵h2-2h-3=0,∴h=3或-1,∵当x<-3时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小,∴h=3符合题意,∴y=-(x+3)2.当x=0时,y=-9.故选C.2.答案C如图,根据y=2x2-3的图象分析可得,当x=0时,y取得最小值,且最小值为-3,当x=2时,y取得最大值,且最大值为2×22-3=5,故选C.3.答案<解析∵A(x1,y1)、B(x2,y2)是二次函数y=-(x+1)2-2图象上不同的两点,且x1>x2>-1,又∵对称轴为x=-1,∴y1<y2,∴x1-x2>0,y1-y2<0,∴m=(x1-x2)(y1-y2)<0.五年中考全练拓展训练1.答案C过点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y=x2+1于点P,此时△PMF的周长取得最小值,∵F(0,2)、M(,3),∴ME=3,FM=--=2,∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5.故选C.2.答案D二次函数y=x2+m的二次项系数a>0,开口向上,故B选项错误;一次函数y=-mx+n2中,n2≥0,一次函数一定不过y轴负半轴,故A选项错误;由C、D选项看出二次函数图象的顶点在y轴的负半轴上,因此m<0,故-m>0,一次函数图象一定过第一、三象限,故D选项正确.3.答案D如图所示,若y1=y2,则x1=x2或x1=-x2,所以选项A是错误的;若x1=-x2,则y1=y2,所以选项B是错误的;若0<x1<x2,则y1<y2,所以选项C是错误的;若x1<x2<0,则y1>y2,所以选项D是正确的.核心素养全练拓展训练1.答案2解析∵直线AD是抛物线y=a(x-2)2+k的对称轴,△ABC是等边三角形,∴题图中阴影部分图形的面积之和为S△ACD=S△ABC.∵CD=2,∴BC=2CD=4,∴S△ABC=×42=4,∴题图中阴影部分的面积是2.2.答案①③④解析∵抛物线y1=a(x+2)2+m与抛物线y2=(x-3)2+n的对称轴分别为x=-2,x=3,∴两条抛物线的对称轴距离为5,故①正确;∵抛物线y1=a(x+2)2+m经过点A(1,3)与原点,∴解∴y1=(x+2)2-,∵抛物线y2=(x-3)2+n经过点A(1,3),∴×(1-3)2+n=3,解得得-n=1,∴y2=(x-3)2+1,当x=0时,y2=×(0-3)2+1=5.5,故②错误;由图象得,当x>1时,y1>y2,故③正确;∵过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C,∴令y=3,则(x+2)2-=3,整理得(x+2)2=9,解得x1=-5,x2=1,∴A(1,3),B(-5,3),∴AB=1-(-5)=6;令y=3,则(x-3)2+1=3,整理得(x-3)2=4,解得x1=5,x2=1,∴C(5,3),∴AC=5-1=4,∴BC=10,∴y轴是线段BC的中垂线,故④正确.故填①③④.。
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(教案)
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标如下：
1.理解并掌握二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质，培养数学抽象和逻辑推理素养；
2.能够运用二次函数图象的平移法则，培养直观想象和数学建模素养；
3.通过分析二次函数在实际问题中的应用，提高问题解决和数学运算素养；
-学生容易混淆对称轴与x轴的关系，需要通过具体示例进行解释；
-顶点是二次函数图象的最高点或最低点，需要通过图象和公式相结合的方式进行讲解。
（2）掌握二次函数图象的平移法则，特别是平移量与图象变化之间的关系；
-学生可能对平移量与图象变化的关系理解不深，可以通过动画演示或实际操作帮助学生理解。
（3）理解二次函数性质的推导过程，特别是最值和单调性的判断；
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质的理解存在一定的难度。尤其是在对称轴、顶点以及开口方向的概念上，部分学生容易混淆。因此，在今后的教学中，我需要更加注重对这些难点知识的讲解和引导。
在导入新课环节，通过提出与日常生活相关的问题，成功引起了学生的兴趣，使他们能够积极参与到课堂学习中。但在新课讲授环节，我发现理论介绍部分，学生们对一些抽象的概念理解不够深入。在今后的教学中，我可以尝试运用更多的实例和图象，帮助学生形象地理解这些概念。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《22.1.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体抛掷后落地的情况？”（如抛球、掷石头等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数图象和性质的奥秘。
22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质说课稿
22.1.3 第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计【典型例题】例1对二次函数y＝－5(x＋2)2－6的说法错误的是(C)A.开口向下B．最大值为－6C.顶点(2，－6) D．x＜－2时，y随x的增大而增大例2如何平移二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象，可得到二次函数y＝4x2的图象？解：二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象向右平移3个单位长度，向上平移7个单位长度即可得到二次函数y＝4x2的图象.例3要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，如图所示，水管应多长？解：水管应长2.25 m.教师为学生理解问题、顺利解答问题，进行分层次设问：(1)分析该题的突破口是什么？(2)如何建立平面直角坐标系？(3)你能求出该抛物线的函数解析式吗？(4)根据解析式你能求出水管的长度吗？学生思考讨论，小组合作探究，教师进行点拨指导，进行板书过程. 【变式训练】1.抛物线y＝a(x＋k)2＋k(k≠0)，当k取不同的值时，抛物线的顶点恒在(B)A.直线y＝x上B．直线y＝－x上C．x轴上 D．y轴上2.对于抛物线y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的有(A)【课堂检测】1.二次函数y ＝2(x －2)2－1的图象大致是(A)A B C D2.在平面直角坐标系中，对于二次函数y ＝(x －2)2＋1，下列说法中错误的是(C) A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x ＝2C.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而减小D.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而减小，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而增大3.把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到二次函数y ＝12(x ＋1)2－1的图象.(1)试确定a ，h ，k 的值.(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.解：(1)a ＝12，h ＝1，k ＝－5.(2)开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－5). 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.。
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质教学目标1．能解释二次函数y＝ax2＋k和y＝ax2的图象的位置关系．2．掌握y＝ax2上、下平移规律．3．体会图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系，领悟y＝ax2与y＝ax2＋k相互转化的过程．教学重难点重点：抛物线y＝ax2＋k的图象与性质．难点：理解抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的位置关系．教学过程与方法知识点一：y＝ax2＋k的图象1．回顾与思考(5分钟)(1)回顾：抛物线y＝x2和y＝－x2的图象和性质及它们之间的关系．(2)思考：y＝x2＋1，y＝x2－1的图象怎样？它们与y＝x2之间又有怎样的关系呢？2．自主学习(15分)(1)参照教材P32例2的填表、描点．(2)讨论①抛物线y＝x2＋1，y＝x2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？②抛物线y＝x2＋1，y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么位置关系？(3)归纳与交流①把抛物线y＝x2向__上__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝x2＋1，把抛物线y＝x2向__下__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝x2－1.②一般情况：当k>0，把抛物线y＝ax2向__上__平移__k__个单位，可得y＝ax2＋k；当k<0时，把抛物线y＝ax2向__下__平移__|k|或－k__个单位，可得y＝ax2＋k.③y＝ax2＋k的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值分别是什么？解：a＞0时，开口向上，对称轴是y轴，顶点(0，k)，最小值为k.a＜0时，开口向下，对称轴是y轴，顶点(0，k)，最大值为k.知识点二：y＝ax2＋k的性质3．合作与探究(5分钟)(1)抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2的图象的异同点是什么？(2)抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2的增减性又是怎样？4．课堂小结(5分钟)1．二次函数y＝ax2＋k的图象和性质(包括开口方向、对称轴、顶点坐标)．2．抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系与区别(包括平移、开口、对称轴、顶点等)．处理方法：可以让学生围绕这两个问题先小结，然后教师进行补充或强调．5．独立作业(15分钟)(1)必做题：P33练习．(2)选做题：习题22.1第5题(1)．(3)备用题：①二次函数y ＝ax 2＋k 的图象经过点A (1，－3)，B (－2，－6)，求这个二次函数的解析式． 解：该二次函数的解析式为：y ＝－x 2－2.②已知二次函数y ＝－2x 2＋3，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？解：当x <0时，y 随x 的增大而增大；当x >0时，y 随x 的增大而减小．③二次函数y ＝ax 2＋k (a ，k 为常数)，当x 取值x 1、x 2时(x 1≠x 2)，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为__0__．④函数y ＝ax 2－a 与y ＝a x(a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能为( A )第2课时 二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质教学目标1．会用描点法画二次函数y ＝a (x －h )2的图象．2．理解抛物线y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2之间的位置关系．3．在图象的平移过程中，渗透变与不变的辩证思想．教学重难点重点：二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质．难点：把握抛物线y ＝ax 2通过平移后得到y ＝a (x －h )2时平移的方向和距离．教学过程与方法1．师生互动，提出问题(3分钟)(1)抛物线y ＝－12x 2＋3与y ＝－12x 2的位置有什么关系？ (2)抛物线y ＝－12x 2＋3的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？ 2．探究新知(10分钟)知识点一：y ＝a (x －h )2的图象和性质(1)在同一坐标系中画出二次函数y ＝－12x 2、y ＝－12(x ＋1)2、y ＝－12(x －1)2的图象． ①列表时怎样取值才能使抛物线具有对称性？②这三条抛物线的对称轴、顶点坐标分别是什么？③这三条抛物线能否经过相互的平移得到？怎样平移？3．交流探究：教材P 34～P 35(5分钟)4．归纳总结(5分钟)抛物线y ＝a (x －h )2与抛物线y ＝ax 2的形状相同，只是位置不同，它可以由抛物线y ＝ax 2平移得到：当h >0时，向右平移h 个单位，当h <0时，向左平移|h |个单位，它的对称轴是直线x ＝h ，顶点坐标为(h ，0)．知识点二：y ＝a (x －h )2的性质5．讨论(5分钟)(1)a >0，开口__向上__，当x ＝__h __时，函数y 有最__小__值＝__0__，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而__减小__，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而__增大__．(2)a <0，开口__向下__，当x ＝__h __时，函数y 有最__大__值＝__0__，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而__增大__，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而__减小__．6．课堂练习(3分钟)(1)抛物线y ＝2(x ＋1)2可以由抛物线__y ＝2x 2__向__左__平移1个单位得到．(2)抛物线y ＝－23(x －4)2可以由抛物线__y ＝－23x 2__向右平移__4__个单位得到． (3)已知二次函数y ＝－13(x －2)2，说出函数图象的对称轴和顶点及最值、增减性． 解：二次函数y ＝－13(x －2)2的对称轴为x ＝2，顶点为(2，0)，有最大值0.当x <0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小．7．课堂小结(3分钟)(1)抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系．(2)抛物线y＝a(x－h)2的对称轴、顶点．(3)平移规律：“左加右减”．(4)你还有哪些困惑和收获？8．独立作业(11分钟)(1)必做题：习题22.1第5题(2)．(2)备用题：①已知抛物线y＝a(x＋h)2的顶点是(－3，0)，它是由抛物线y＝－4x2平移得到的，则a ＝__－4__，h＝__3__．②把抛物线y＝(x＋1)2向__右__平移__4__个单位后得到抛物线y＝(x－3)2.③把抛物线y＝x2＋mx＋n向左平移4个单位，得到抛物线y＝(x－1)2，则m＝__－10__，n＝__25__．第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学目标1．会用描点法画出二次函数y ＝a (x －h )2＋k (a 、h 、k 是常数，a ≠0)的图象，掌握抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间的关系，熟练掌握函数y ＝a (x －h )2＋k 的有关性质，并能用函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质解决一些实际问题．2．经历探索y ＝a (x －h )2＋k 的图象及性质的过程，体验y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2、y ＝ax 2＋k 、y ＝a (x －h )2之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．3．通过观察函数的图象，归纳函数的性质等活动，感受学习数学的价值．教学重难点重点：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k 的性质．难点：教材P 36例4的解答需要选取合适的坐标系，有一定的难度，是本节教学的难点． 教学过程与方法1．回顾与思考(3分钟)我们已经学习了形如y ＝ax 2，y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h )2的函数，知道了它们可以经过互相平移得到．二次函数y ＝a (x －h )2＋k 又是一条怎样的抛物线呢？它与这三条抛物线之间有什么关系？知识点一：y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质2．合作与探究：教材P 35例3(15分钟)(1)在同一坐标系内，画出二次函数y ＝－12x 2，y ＝－12x 2－1，y ＝－12(x ＋1)2－1的图象． 处理方法：师生一起完成列表，再由学生画出图象，如图．(2)指出y ＝－12(x ＋1)2－1的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性． (3)y ＝－12(x ＋1)2－1可以由y ＝－12x 2怎样平移而得到？ (4)归纳：y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质及由y ＝ax 2平移得到函数图象的规律．知识点二：y ＝a (x －h )2＋k 的实际运用3．解决问题，交流思想(16分钟)(1)读懂教材P 36例4题意．(2)怎样建立平面直角坐标系？(3)怎样才能与二次函数联系起来？4．课堂练习：教材P 37练习(3分钟)5．课堂小结(4分钟)(1)本节课我们学习了哪些内容？引导学生从以下几个方面去回顾：①二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质；②抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2的平移关系；③选取坐标系的方法．(2)谈一谈你的收获或困惑．6．独立作业(10分钟)(1)必做题：习题22.1第5题(3)，第7题(1)．(2)备用题：已知y ＝a (x －h )2＋k 是由抛物线y ＝－12x 2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．①求出a 、h 、k 的值；②在同一坐标系中，画出y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝－12x 2的图象； ③观察y ＝a (x －h )2＋k 的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 的增大而减小，并求出函数的最值；④观察y ＝a (x －h )2＋k 的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗？解：①a ＝－12，h ＝1，k ＝2 ②图略 ③当x <1时，y 随x 的增大而增大；当x >1时，y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，函数有最大值2 ④对于一切x 的值y ≤2.。
2022-2022九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第1课时
(1)经过点(－3，2)；
(2)与y＝12x2的开口大小相同，方向相反；
(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.
解：(1)y＝13x2－1 (2)y＝－12x2－1 (3)－x2－1
第14题图
16．把y＝－12x2的图象向上平移2个单位． (1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出平移后的函数图象； (3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．
它与抛物线y＝2x2的形状___相__同____．
2．抛物线y＝－3x2－2的开口向__下_____，对称轴是___y_轴_____，顶点 坐标是_(_0_，__－__2_)__．
3．若点(x1，y1)和(x2，y2)在二次函数y＝－
1 2
x2＋1的图象上，且x1＜x2
＜0，则y1与y2的大小关系为__y_1_＜__y_2_____．
18．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，
则当x取x1＋x2时，函数值为( D
A．a＋c
B．a－c
) C．－c
D．c
19．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示是一座抛物线形廊桥的
示意图．已知抛物线对应的函数关系式为y＝－
1 40
x2＋10，为保护廊
桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏
△ABC的面积为__2___2___．
13．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝ ___4____，c＝__－__3___．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于A，过
点A作与x轴平行的直线交抛物线y＝
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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2.(2016广东东莞月考)抛物线y=3x2+1的开口向
标为
.
(上或下),顶点坐
答案 上;(0,1) 解析 根据抛物线的解析式y=3x2+1可知其开口向上,顶点坐标为(0,1).
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
对应点的坐标为(1,0),所以平移后,所得抛物线相应的函数解析式为y=
-(x-1)2.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
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知识点三 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 6.(2017江苏宿迁中考)将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1个 单位,所得抛物线相应的函数表达式是 ( ) A.y=(x+2)2+1 B.y=(x+2)2-1 C.y=(x-2)2+1 D.y=(x-2)2-1 答案 C 根据平移口诀“左加右减自变量,上加下减常数项”可知平 移得到的抛物线相应的函数表达式是y=(x-2)2+1.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
4.(2018江苏盐城阜宁期中)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正
确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(-1,2) D.与x轴没有交点
答案 D ∵y=(x-1)2+2,∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,顶点坐标为
a的符号 图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
人教版九年级数学教案：22.1.3二次函数y=a(x-h) 2+k的图象和性质
二次函数 y＝a(x－h) 2＋k 的图象和性质教材内容分析： 二次函数是最基本的一类初等函数，也是初中数学的重要的内容之一。
本章内容，既是对之前所学函数知识的一个补充，对函数知识系统的一个完善，也是 以后学习高等函数知识的一个基础。
因此，本章的内容在学生的知识系统中起着 一个承上启下的作用，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述变量之间关系的重要的数学模型，它既是其他学科研究时所 用的重要方法之一，也是某些单变量最优化问题的数学模型。
二次函数的图像 ----抛物线，既是人们最为熟悉的曲线之一，同时抛物线形状在建筑上也有着广 泛的应用。
这为学生进一步学习函数、体会函数思想奠定基础和积累经验知识与技能： 会用描点法画出二次函数 y＝a(x－h) 2＋k 的图象； 过程与方法： 结合图象确定抛物线 y＝a(x－h) 2＋k 的开口方向、对称轴与顶点坐标及 性质； 情感态度与价值观： 通过比较抛物线 y＝a (x－h) 2＋k 与 y＝ax2 的关系，培养学生的观察、分 析、总结的能力。
学情分析: 学生在学习了前两课时的基础上，对于顶点式已经有了一定的认识，可以 根据类比思想比较容易得出完整顶点式的图象性质，所以这一部分主要是学生 独立探究，个别指导，然后归纳总结。
之后把侧重点放在对实际问题的探究上， 重点研究实际问题的建模过程，鼓励一题多解，拓展学生思维。
重点难点 教学重点：画出形如 y＝a (x－h)2＋k 的二次函数的图象，能指出开口方 向，对称轴，顶点。
教学难点：理解函数 y＝a (x－h)2＋k 与 y＝ax2 及其图象的相互关系。
教学过程 一、复习导入新课 师：同学们，在学习新课之前，我们先来做这样一道题。
观察 y＝－x2 、 y＝－x2－1、y＝－(x＋1)2 这三条抛物线中，第一条抛物线可以经过怎样的平移得到第二条和第三条 抛物线。
师： 同学们可不可以在这个知识点的基础上进一步猜想一下第一条抛物 线能否经过怎样的平移得到抛物线 y＝－(x＋1)2－1 生: 向左平移一个单位,再向下平移一个单位。
22.1.3 二次函数y=a(x-h)^2的图象和性质(分层作业)【解析版】
22.1.3 二次函数y=a(x-h) 2的图象和性质 分层作业．B ．C ．D ．【详解】二次函数2()y a x h -（0a ¹）的顶点坐标为（h ，），它的顶点坐标在x 故选D ．）2不经过的象限是（ ）【详解】解：Q y ＝2（x+1）2，20a =>开口向上，顶点坐标为()1,0-\该函数不经过第三、四象限如图，故选C4．下列二次函数中，对称轴是直线1x =的是（ ）A ．21y x =+B ．()221y x =+C ．()21y x =-+D ．()231y x =--【详解】A.y=x 2+1的对称轴为直线x=0，所以选项A 错误；B.y=2(x+1) 2的对称轴为直线x=-1，所以选项B 错误；C.y=-(x+1) 2的对称轴为直线x=-1，所以选项C 错误；D.()231y x =--的对称轴为直线x=1，所以选项D 正确．故选：D ．5．已知某二次函数，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是()A ．y 2= 2(x 1)+B ．y 2= 2(x 1)-C ．=-y 2 2(x 1)+D ．=-y 2 2(x 1)-【详解】解：∵当x ＜1时，y 随x 的增大而减小；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，∴抛物线y=2（x-1）2满足条件．故选：B ．6．已知1(2,)A y -，2(1,)B y -，3(1,)C y 三点都在二次函数22(1)y x =+的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．213y y y <<D ．312y y y <<【详解】解：22(1)y x =+Q ，它是轴对称图形，对称轴为2x =-，顶点坐标是()2,0-；()2∵30-<，抛物线开口向下，∴当2x <-时，y 的值随x 的增大而增大；当2x >-时，y 的值随x 的增大而减小．224。
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质课件
二次函数y=a（x-h）2+k 的图像和性质
导教入学新目课
标
一、复习回顾
回顾y=ax2的图象和性质：
1.二次函数y=ax2的图象是什么？
2.它具有怎样的图象特征和性质？ 3.你是怎么研究的？
y y=x2
0
x
导教入学新目课
标
1.二次函数y=ax2的图象是抛物线。
2.二次函数y=ax2的图象特征和性质： 对称轴是y轴，顶点是原点； 如果a＞0，抛物线开口向上，当x＜0时，y随x的增大而 减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；
新教课学讲目解
标
练习：
抛物线y=-2x²向上移动1个单位后的对
称轴是
（D ）
A.直线x= 1
2
B.直线x=- 1
2
C.直线x=2
D.y轴
新教课学讲目解
标
2. 类比探究二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
新教课学讲目解
标
(1)自主学习：参照教材P33-34“探究”的填表、描点、
画图。
－4 －2 -2 -4 -6 -8
新教课学讲目解
标
(3)归纳与总结：
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征和性质：
一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位 置不同． 把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到 抛物线y＝a(x－h)2＋k． 平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．
新教课学讲目解
标
么位置关系?
-1.5 -1 y
6
y=2x2+1
5
y=2x2
4
y=2x2-1
3
2 1
人教版九年级数学上册22、1、3二次函数y=a(x-h)2 k的图像和性质 教案
二次函数y＝ax2＋k的图像性质教学设计【教学目标】知识与能力: 1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象,掌握它的图象特征，并会总结它的性质。
2、理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的的图像和性质的异同，能用平移的方法解决图象间关系。
过程与方法：经历操作、研究、归纳和总结二次函数y＝ax2＋k的图像性质及它与函数y＝ax2的关系，让学生进一步体尝试去发现二次函数的图象特征；体会其性质；渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点和数形结合的数学思想，培养观察能力和分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观：1、培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦，加强继续学习的兴趣。
2、通过细心画图，培养学生严谨细致的学习态度。
【教学重难点】教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k 的图象性质。
教学难点：理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的之间的位置关系【教法学法分析】数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。
为了更好地体现在课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。
为此设计了4个环节：（一）复习回顾——引入新课；（二）自主探究，合作交流——发现规律；（三）当堂训练——检查自我。
（四）课堂小结——深化巩固；这四个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动了学生的参与性。
【教学过程】（一）复习回顾，引入新课回顾二次函数y＝ax2的图象和性质设计意图：此环节通过对前一节所学内容的复习，让学生回忆如何根据函数关系式的特征，判定函数y=ax2的图像特征，为进一步探索y=ax2+k的图像特征作铺垫，从而引入本节新课。