圆锥曲线离心率的求法(已整理)教学文案
圆锥曲线离心率的求法
学习目标
1、 掌握求解椭圆、双曲线离心率及其取值范围的几类方法；
2、 培养学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力；
学习重难点
重点：椭圆、双曲线离心率的求法；
难点：通过回归定义，结合几何图形，建立目标函数以及观察图形、设参数、转化等途径确 定离心率
教学过程：
复习回顾：圆锥曲线离心率的概念 一、求离心率
探究一：利用定义直接求a ,c
例1.已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于 率等于 _____________________________ .
练习1:在正三角形 ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则以B 、C 为焦点，且过 D 、
B.
探究二：构造关于e 的(a,b,c 的齐次)方程
2 2
例2.已知椭圆 打 X
2
1(a b 0)的上焦点为F ，左、右顶点分别为B,B 2，下顶点为A , a b
uuu uuuu
直线AB 2与直线B 1F 交于点P ，若AP 2AB 2，则椭圆的离心率为 __________________
直线交双曲线右支于 M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为
A. . 6 C. 2
探究三：以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，设而不求确定 e 的方程
9,则椭圆E 的离心
E 的双曲线的离心率为
A.
B. ,3 — 1
C. 2 + 1
()
D. . 3 + 1
练习2、双曲线 羊一y 2=
1(a>0， b>0)的左、右焦点分别是
F 1、F 2,过F 1作倾斜角为30 °的
B. 3 .3
二、求离心率的范围(构造不等式或函数关系式求离心率的范围)
1、直接根据题意建立a,c不等关系求解.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2
X
例4、已知双曲线2
a
2
爲1 ( a 0,b 0 )的半焦距为c,若
b2
b24ac 0 ,
则双曲线的离心率范围是( )
A. 1 e 2 ..5 B 2 e 2 . 5 C. 2 ,5 e 2、5D. - e 2
2
2、借助平面几何关系建立a,c不等关系求解
2 2
X y
例5、设％F2分别是椭圆—2 1 ( a b 0)的左、右焦点，若在直线x
a b
线段PF i的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是
(0,
3、利用圆锥曲线相关性质建立a,c不等关系求解.
X2 V2
例6、已知双曲线x2-y2= 1(a>0, b>0) , F1是左焦点，O为坐标原点，若双曲线上存在点P,使|PO|
a b
=|PF1|,则此双曲线的离心率的取值范围是()
A. (1,2]
B. (1 ,+s )
C. (1,3)
D. [2 ,+^ )
2
=—上存在P,使
c
4、运用数形结合建立a,c不等关系求解
2 2
小结：求离心率的关键是列出一个与 a,b,c,e 有关的等式或不等关系
的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
5、运用函数思想求解离心率
2 2
例8、设a 1，则双曲线 笃 y 2 1的离心率e 的取值范围是
a (a 1)
2 2
□ x y 设A 1、A 2为椭圆—2 2
a b
A 1、A 2的点P ，使得PO PA 2 0 ，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率 e 的取值范围
是
1 、
2 1 2
A 、(0,J
B 、(0, )
C 、L,1)
D 、( 2,1)
2 2 2 2
例7、已知双曲线写爲 a b
1(a 0,b
0)的右焦点为 F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线
(A )(1,2]
( B )(1,2) (C) [2, ) (D )(2,)
A .(迈,2)
B. (V2,75)
C. (2,5)
D. (2, ,5)
练习3、
1(a b 0)
的左右顶点，若在椭圆上存在异于
求离心率的关键是列出一个与 a,b,c,e 有关的等式或不等关系•在此，要活用圆锥曲线的特
征三角形•常用方法：
1•利用曲线变量范围。
圆锥曲中变量的变化范围对离心率的影响是直接的 ，充分利用这一点，
可优化解题.
2•利用直线与曲线的位置关系。
根据题意找出直线与曲线相对的位置关系，列出相关元素的 不等式，可迅速解题.
3•利用点与曲线的位置关系。
根据某点在曲线的内部或外部，列出不等式，再求范围，是一 个重要的解题途径.
4•联立方程组。
如果有两曲线相交，将两个方程联立，解出交点，再利用范围，列出不等式 并求其解.
5•三角函数的有界性。
用三角知识建立等量关系，再利用三角函数的有界性，列出不等式易 解.
6•用根的判别式根据条件建立与a 、b 、c 相关的一元二次方程，再用根的判别式列出不等 式，可得简解
7•数形结合法：解析几何和平面几何都是研究图形性质的，只不过平面几何只限于研究直线 形和圆。
因此，在题设条件中有关圆、直线的问题，或题目中构造出直线形与圆，可以利用 平面几何的性质简化计算。
练习
2 2
1、如图，双曲线 X T 爲 1 (a,b 0)的两顶点为 A , A ，虚轴两端点为 Bi , B 2，两焦 a b 点为F i , F 2.若以AA 为直径的圆内切于菱形 F1BF 2B 2，切点分别为A, B, C, D .则双曲线 的离心率e __________________ ;
2 2
2、设F n F 2是双曲线C :令 占 1(a
0,b 0)的两个焦点,P 是C 上一点，若
a b
PF 1 PF 2 6a,且PF 1F 2的最小内角为30o ,则C 的离心率为 —
.
2
x
3、如图,F i,F2是椭圆C i: y21与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C i, C2在第二、
4
四象限的公共点.若四边形AF i BF2为矩形，则C2的离心率是
A. ,3
B.
4、设双曲线C:
x
2
2-y2= 1(a>0)与直线I: x+ y = 1相交于两个不同的点A, B. a
求双曲线C的离心率e的取值范围。
圆锥曲线离心率(取值范围)的求法(教师版、学生版)
圆锥曲线离心率（取值范围）的求法（教师版）知识储备： 离心率：ace =；椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ．一、离心率的求法方法一：直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习1：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C方法二：构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ D ）A. 324+B.13- C.213+ D. 13+变式练习1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 332解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得c b a ab 4322=+，又222b a c +=, ∴234c ab =,两边平方，得()4222316c a c a =-，整理得01616324=+-e e，得42=e 或342=e ，又b a <<0 ，∴2122222222>+=+==ab a b a ac e ，∴42=e ，∴2=e ，故选A变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）A3 B26 C 36 D 33 解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则2221b c MF MF +==，又c F F 221=，在21MF F ∆中， 由余弦定理，得212212221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=∠,即()()()22222222421bc c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ， ∵222a cb -=，∴212222-=--ac a ，∴2223c a =，∴232=e ，∴26=e ，故选B 方法三：采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
圆锥曲线离心率的求法(已整理)
圆锥曲线离心率的求法进修目的1.控制求解椭圆.双曲线离心率及其取值规模的几类办法;2.造就学生的剖析才能.懂得才能.常识迁徙才能.解决问题的才能; 进修重难点重点：椭圆.双曲线离心率的求法;难点：经由过程回归界说,联合几何图形,树立目的函数以及不雅察图形.设参数.转化等门路肯定离心率教授教养进程：温习回想：圆锥曲线离心率的概念 一.求离心率探讨一：应用界说直接求a ,c例1．已知椭圆E 的短轴长为6,核心F 到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E 的离心率等于．演习1：在正三角形ABC 中,点D.E 分离是AB.AC 的中点,则以B.C 为核心,且过D.E 的双曲线的离心率为( )A.53B.3－1C.2＋1D.3＋1 探讨二：结构关于e 的(a,b,c 的齐次)方程 例2．已知椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的上核心为F ,左.右极点分离为12,B B ,下极点为A ,直线2AB 与直线1B F 交于点P ,若22AP AB =,则椭圆的离心率为___________演习2.双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)的左.右核心分离是F1.F2,过F1作竖直角为30°的直线交双曲线右支于M 点,若MF2垂直于x 轴,则双曲线的离心率为( )A.6B.3C.2D.33探讨三：以直线与圆锥曲线的地位关系为布景,设而不求肯定e 的方程例3．椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0),点F 的直线交椭圆于A.B 两点,→OA +→OB 求e?二.求离心率的规模(1.直接依据题意树立,a c 不等关系求解. 例 4.已知双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的半焦距为ｃ,若042<-ac b, 则双曲线的离心率规模是（ ） Ａ．521+<<e Ｂ522+<<e Ｃ．5252+<<-eＤ．223<<e2.借助平面几何干系树立,a c 不等关系求解 例5.设12F F ，分离是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左.右核心,若在直线ｘ=2a c 上消失,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ,则椭圆离心率的取值规模是（ ）A ．(02，B ．(0C ．1)2 D.1)3.应用圆锥曲线相干性质树立,a c 不等关系求解.例6.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0) ,F1是左核心,O 为坐标原点,若双曲线上消失点P,使|PO|＝|PF1|,则此双曲线的离心率的取值规模是()A ．(1,2] B ．(1,＋∞)C．(1,3) D ．[2,＋∞)4.应用数形联合树立,a c 不等关系求解 例7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右核心为F,若过点F 且竖直角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值规模是 （ ）（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞ 5.应用函数思惟求解离心率 例8.设1>a ,则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值规模是A ．)2,2( B.)5,2( C.)5,2( D.)5,2(演习 3. 设A1.A2,若在椭圆上消失异于A1.A2的点P ,使得02=⋅PA PO ,个中O 为坐标原点,则椭圆的离心率e 的取值规模是A. B. C.小结：求离心率的症结是列出一个与a,b,c,e有关的等式或不等关系求离心率的症结是列出一个与a,b,c,e有关的等式或不等关系.在此,要活用圆锥曲线的特点三角形.经常应用办法:1.应用曲线变量规模.圆锥曲中变量的变更规模对离心率的影响是直接的,充分应用这一点,可优化解题．2.应用直线与曲线的地位关系.依据题意找出直线与曲线相对的地位关系,列出相干元素的不等式,可敏捷解题．3.应用点与曲线的地位关系.依据某点在曲线的内部或外部,列出不等式,再求规模,是一个主要的解题门路．4.联立方程组.假如有两曲线订交,将两个方程联立,解出交点,再应用规模,列出不等式并求其解．5.三角函数的有界性.用三角常识树立等量关系,再应用三角函数的有界性,列出不等式易解．6.用根的判别式依据前提树立与ａ.ｂ.ｃ相干的一元二次方程,再用根的判别式列出不等式,可得简解7.数形结正当：解析几何和平面几何都是研讨图形性质的,只不过平面几何只限于研讨直线形和圆.是以,在题设前提中有关圆.直线的问题,或标题中结构出直线形与圆,可以应用平面几何的性质简化盘算. 演习1.如图,双曲线2222 1 (,0)x y a b a b -=>的两极点为1A ,2A ,虚轴两头点为1B ,2B ,两核心为1F ,2F . 若认为12A A 直径的圆内切于菱形1122F B F B ,切点分离为,,,A B C D . 则双曲线的离心率e =;2.设12,F F0)b>的两个核心,P 是C 上一点,若1PF PF +30,则C 的离心率为___. 3.如图,1,F 2C 的公共核心,B A ,分离是1C ,2C 21BF AF 2C （ ）A ．2B ．3B ．C ．23D ．264.设双曲线C ：x2a2－y2＝1(a>0)与直线l ：x ＋y ＝1订交于两个不合的点A,B. 求双曲线C 的离心率e 的取值规模。
圆锥曲线离心率公开课课件
1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：
（1）焦半径的取值范围为 a c PF1 a c .
（2）椭圆焦点三角形顶角范围 (3)一般结论：b2 MF1 MF2 a2
2
利用焦点三角形顶得F1MF2 120o,120o F1BF2 180o,
60o
OBF2
90o,e sin OBF2 [
3 ,1). 2
利用焦点三角形顶角范围
一般结论：椭圆 G
： x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的两焦点为 F1(c, 0), F2 (c, 0)
2b2 ，即 a2
2(a2 c2 ) 所以e
c a
2 ，所以椭圆离心率 2
的取值范围是[ 2 ,1) . 2
一般结论：b2 MF1 MF2 a2
求圆锥曲线离心率值及 范围常见题型与思路
1，直接利用已知条件找关系
2，在焦点三角形中找关系
3，利用条件中平面几何知识，结合 椭圆（双曲线）特殊边，角找关系
23
A. 7
B.4
C. 3
D. 3
解析 因为△ABF2为等边三角形， 所以不妨设|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝m， 因为A为双曲线右支上一点， 所以|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a， 因为B为双曲线左支上一点， 所以|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a， 由∠ABF2＝60°，得∠F1BF2＝120°， 在△F1BF2中，由余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cos 120°，
圆锥曲线离心率的求法已
圆锥曲线离心率的求法学习目标1、掌握求解椭圆、双曲线离心率及其取值范围的几类方法；2、培养学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力；学习重难点重点：椭圆、双曲线离心率的求法；难点：通过回归定义，结合几何图形，建立目标函数以及观察图形、设参数、转化等途径确定离心率教学过程：复习回顾：圆锥曲线离心率的概念一、求离心率探究一：利用定义直接求a,c例1．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于．练习1：在正三角形ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则以B、C为焦点，且过D、E的双曲线的离心率为( )A.53－1 ＋1 ＋1B.探究二：构造关于e的(a,b,c的齐次)方程例2．已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的上焦点为F ，左、右顶点分别为12,B B ，下顶点为A ，直线2AB 与直线1B F 交于点P ，若22AP AB =，则椭圆的离心率为___________练习2、双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )探究三：以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，设而不求确定e 的方程 例3．椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，斜率为1点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与求e二、求离心率的范围(构造不等式或函数关系式求离心率的范围)1、直接根据题意建立,a c 不等关系求解. 例4、已知双曲线12222=-by a x（0,0>>b a ）的半焦距为ｃ，若 042<-ac b ， 则双曲线的离心率范围是（ ）Ａ．521+<<e Ｂ522+<<e Ｃ．5252+<<-eＤ．223<<e2、借助平面几何关系建立,a c 不等关系求解例5、设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在直线ｘ=2a c 上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是 （ ）A ．(02，B ．(03，C ．1)2D.1)33、利用圆锥曲线相关性质建立,a c 不等关系求解.例6、已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0) ，F 1是左焦点，O 为坐标原点，若双曲线上存在点P ，使|PO |＝|PF 1|，则此双曲线的离心率的取值范围是 ( )A ． (1,2]B ．(1，＋∞)C ．(1,3)D ．[2，＋∞)4、运用数形结合建立,a c 不等关系求解例7、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞5、运用函数思想求解离心率例8、设1>a ，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 A ．)2,2( B. )5,2( C. )5,2( D. )5,2(练习 3、 设A 1、A 2在异于A1、A 2O 为坐标原点，则椭圆的离A 、、小结：求离心率的关键是列出一个与a,b,c,e 有关的等式或不等关系求离心率的关键是列出一个与a,b,c,e 有关的等式或不等关系.在此,要活用圆锥曲线的特征三角形.常用方法:1.利用曲线变量范围。
圆锥曲线离心率的求法教案
圆锥曲线离心率的求法教案一、教学目标1. 理解圆锥曲线的概念及性质2. 掌握圆锥曲线离心率的定义和求法3. 能够运用离心率公式解决实际问题二、教学内容1. 圆锥曲线的概念及性质2. 圆锥曲线离心率的定义3. 离心率的求法4. 离心率在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 圆锥曲线离心率的定义和求法2. 运用离心率公式解决实际问题四、教学方法1. 讲授法：讲解圆锥曲线的概念及性质，离心率的定义和求法2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生思考，提高学生参与度五、教学过程1. 导入：回顾椭圆、双曲线、抛物线的概念及性质2. 新课导入：介绍圆锥曲线的概念及性质3. 讲解离心率的定义：引导学生理解离心率的概念，公式4. 讲解离心率的求法：通过实例演示离心率的求法5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题6. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识教案首页：圆锥曲线离心率的求法教案课时安排：2课时教学目标：1. 理解圆锥曲线的概念及性质2. 掌握圆锥曲线离心率的定义和求法3. 能够运用离心率公式解决实际问题教学内容：1. 圆锥曲线的概念及性质2. 圆锥曲线离心率的定义3. 离心率的求法4. 离心率在实际问题中的应用教学重点与难点：1. 圆锥曲线离心率的定义和求法2. 运用离心率公式解决实际问题教学方法：1. 讲授法：讲解圆锥曲线的概念及性质，离心率的定义和求法2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生思考，提高学生参与度教学过程：1. 导入：回顾椭圆、双曲线、抛物线的概念及性质2. 新课导入：介绍圆锥曲线的概念及性质3. 讲解离心率的定义：引导学生理解离心率的概念，公式4. 讲解离心率的求法：通过实例演示离心率的求法5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题6. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对圆锥曲线概念及性质的理解程度，以及对离心率定义和求法的掌握情况。
剖析圆锥曲线离心率的求法
对 称 性 就 可 求 得 点 ｃ ｆ ＼ 旦 ２ ， ６ 。 １ ／ ， 将 其 代 入 椭 圆 方 程 后
四、 通 过 数 形 结 合— — 找 不 等 关 系 求 解 离
有ｅ ： — ２ Ｘ ／ ￣－
—
心 率
从数形 结合 的角度人 手 ， 列 出不等关 系 ， 往往 可 以 起到 事半 功倍 的效果． 但 该类题 目涉 及 面广 ， 鉴于题 目
解析 ： 由题 意可设Ｉ １ ＝ ４ ｋ ， Ｉ Ｆ ￣ Ｆ ｚ Ｉ ＝ ３ ｋ ， ｌ １ ＝ ２ ｋ ， ｋ ＞ Ｏ ． 若助 椭圆， 由定义Ｉ 魁 ｌ ＋ 恻 － ２ 后 得 ３ ， 而Ｉ ｌ ＿
应 满足 曲线 的方程 ，因此用ａ ， ｂ ， ｃ Ｎ画点Ｐ 的坐标 后 ， 将 其 代人 曲线方程也是解决离心率 问题 的有效途径之一．
：
若助 其上一点 ， 且啊 ＝ ２ ， 则双 曲线离心率 的取值
解析 ： 设点Ｐ 的坐标 为 （ 。 ， ） ， 则点Ｐ 到左 焦 点 的距
１ （ 。 ＞ ６ ＞ ０ ） 中得
＋
： １ ， 即ｅ ２ ＋ ｌ Ｏ ｅ 一 ３ ： ０ ，
范 围为一
解 得ｅ ＝ ２ 、 ／ 了一 ５ ．
图１
综 上， ， 的 离 心 率 为 ÷或 ÷．
二 二
点 除为线段 Ｄ 的 中点 ， 则该椭 圆的离心率为—
０ ） ．
—一
解析 ： 由题 意得Ａ － ａ ， ０ ） ， Ｂ （ Ｏ ， 一 ｂ ） ， Ｂ （ ０ ， ｂ ） ， Ｆ （ ｃ ，
点评 ： 本题 中． 在 不 能确 定 圆锥 曲线厂的具体 情形
，
．
例４ ￣ ｔ ｌ ｌ Ｎ２ ， 椭 网Ｅ： ２ ＋ ：
根据圆锥曲线的离心率知识点总结
根据圆锥曲线的离心率知识点总结
圆锥曲线是高等数学中的重要内容，离心率是其中一个重要的参数。
本文将对离心率相关的知识点进行总结。
定义
离心率是指一个圆锥曲线上的一点到该曲线的一个焦点的距离与该点到该曲线上的直线的距离的比值。
对于椭圆和双曲线，离心率的值在0到1之间；对于抛物线，离心率等于1；对于直线，离心率为无穷大。
计算公式
对于椭圆，离心率的计算公式为：
$$
e = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}
$$
其中，a为长轴长度，b为短轴长度。
对于双曲线，离心率的计算公式为：
$$
e = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}
$$
同样的，a为距离双曲线两支的两个焦点的距离的一半，b为
双曲线的半轴长。
对于抛物线，离心率的值为1。
性质
椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，则椭圆越圆；离心率越接近1，则椭圆越扁。
双曲线的离心率大于1，离心率越大，则双曲线的两支越“开”，曲线的形状越细长。
抛物线的离心率等于1，离心率为定值。
应用
离心率在几何、天文等领域中都有广泛应用。
其中，在行星运动、卫星轨道计算等天文领域中，离心率是一个十分重要的参数。
总之，离心率是圆锥曲线的一个重要参数，具有重要的理论和应用价值。
[公开课优质课课件]浅谈圆锥曲线离心率的求法
【点评】此题属于基础题型，考查椭圆中a、b、c间关系式及其求离心率e.
（2）在焦点三角形中得出a、b、c间的一个齐次等式，求e.
例4、(2008陕西文理卷)双曲线 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离线率为( )
（A） （B） （C） （D）
分析:求离心率e关键是找a、b、c间一个等式。
解:在直角三角形MF2F1中，角MF1F2等于30°，|F1F2|=2c,∴|MF2|=2ctan30°= c, |MF1|=2|MF2|= c,又由双曲线定义知道右支上点M满足|MF1|-|MF2|=2a,∴ c=2a,∴e= .故选B.
分析：求离心率e的取值范围关键是找a、b、c间一个不等式。
解：∵|PF1|=2|PF2|，又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=4a,|PF2|=2a,又∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|(利用三角形三边之间关系找出不等式)，∴6a≥2c,∴e≤3,又∵双曲线e>1,∴1<e≤3.故选B.
浅谈圆锥曲线离心率的求法
离心率是圆锥曲线的一个重要性质，是刻画圆锥曲线形态特征的基本量。我们知道椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 。因此，求椭圆、双曲线的离心率就成了历年高考的热点。在此结合高考题，介绍求圆锥曲线的离心率的几种常用方法，以便学生能更好地理解和掌握解此类题的技巧和规律，提高分析问题和解决问题的能力。
例2、(2013陕西文卷)双曲线 的离心率为.
解：
求解圆锥曲线离心率问题的两种措施
解题宝典圆锥曲线的离心率主要是指椭圆和双曲线的离心率，其中椭圆的离心率0<e <1，双曲线的离心率e >1(抛物线的离心率e =1).圆锥曲线的离心率问题的难度一般不大，常以选择题、填空题的形式出现.熟练掌握一些求解离心率问题常用的思路，有助于提升解题的效率.本文结合例题，主要谈一谈解答圆锥曲线离心率问题的两种措施.一、运用公式法圆锥曲线的离心率公式为e =ca ，求解圆锥曲线的离心率问题，通常要用到公式e =ca.而求a 、c 及其关系式，往往要根据圆锥曲线方程中的参数a 、b 、c 之间关系来进行转化.在椭圆中，a 2=b 2+c 2；在双曲线中，a 2=c 2-b 2.例1.已知椭圆C 1:x 2m +2-y 2n=1和双曲线C 2:x 2m +y2n=1有相同的焦点，则椭圆C 1离心率e 的取值范围是______.解：∵椭圆C 1:x 2m +2-y 2n =1，∴a 12=m +2，b 12=-n ，c 12=m +2+n ，即e 12=c 12a 12=1+n m +2，∵双曲线C 2:x 2m +y 2n =1，∴a 22=m ，b 22=-n ，c 22=m -n ，由题意可得m +2+n =m -n ，∴n =-1，∴e 12=c 12a 12=1-1m +2，∵m >0，m +2>2，∴1m +2<12，-1m +2>-12，∴e 12=1-1m +2>12，解得e 1∵0<e 1<1，e 1<1.要求椭圆C 1离心率e 的取值范围，需根据椭圆离心率公式求得a 、c 及其关系式.于是先根据椭圆与双曲线的方程明确a 2、b 2、c 2的表达式；然后根据圆锥曲线方程中的参数a 、b 、c 之间的关系和离心率公式，求得e 1、e 2的表达式，通过确定m 、n 的取值范围，求得离心率的取值范围.例2.设F 1、F 2为椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左右焦点，且||F 1F 2=2c ，若椭圆上存在一点P ，使||PF 1⋅||PF 2=2c 2，则椭圆离心率的最小值为_____.解：由题意知F 1()-a,0、F 2()a,0，设P ()x 0,y 0，得||PF 1⋅||PF 2=()a +ex 0()a -ex 0=a 2-e 2x 02=2c 2，∴x 2=a 2-2c 2e 2≤a 2，即a 2-2c 2a 2=1-2e 2≤e 2，解得e 2≥13，即e∵0<e <1，e <1，∴我们首先设出P 点的坐标，根据椭圆的焦半径公式将已知条件||PF 1⋅||PF 2=2c 2转化为与a 、c 有关的等式；再根据椭圆上点的范围，建立关于a 、c 、e 的不等关系式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的不等式，通过解不等式，求得离心率的最小值.二、利用几何图形的性质我们知道圆锥曲线的离心率e =ca，其中a 为椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长，c 为椭圆和双曲线的半焦距.在解答圆锥曲线的离心率问题时，可根据椭圆和双曲线的定义、几何性质求得2a 、2c 的值，也可将椭圆的长半轴、双曲线的实半轴看作三角形、梯形的一条边，利用三角形、梯形的性质来求线段的长.例3.已知两定点A ()-1,0和B ()1,0，动点P ()x ,y 在直线l :y =x +3上移动，椭圆C 以A 、B 为焦点，且经过点42解题宝典P，则椭圆C离心率的最大值为().解：由题意可得，椭圆的半焦距为1，由椭圆的定义可知||PA+||PB=2a.而点A()-1,0关于直线l:y=x+3的对称点A'()-3,2，连接A'B，交直线l于点P，如图1所示.图1由图1可知||PA+||PB=||PA'+||PB=||A'B，而||A'B=25，则椭圆C的长半轴长的最小值为25，所以椭圆C离心率的最大值为e=ca=15故正确的答案为A.由于c=1，所以要求e=ca的最大值，需确定a的最小值.根据椭圆的定义可知||PA+||PB=2a，于是画出图形，作A关于直线l的对称点A'，根据三角形的性质：两边之和大于第三边，即||PA'+||PB>||A'B，即可确定||PA+||PB取最小值的情形：A'、B、P三点共线，从而根据两点间的距离公式求得离心率的最大值.例4.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1()a>b>0与圆C2:x2+y2=b2，若椭圆上存在一点P，使由点P作圆C2的两条切线互相垂直，求椭圆C1离心率的取值范围.解：如图2，由椭圆长轴的端点作圆C2的两条切线PA、PB，设过P作圆的切线，切点为A、B，连接OA、OB、OP，图2由于PA⊥PB，所以根据圆的对称性可知∠APO=∠BPO=45°.在RtΔAPO中，PO=2PA≤a,即2b≤a，所以2b2≤a2，则2b2≤a2，由a2=b2+c2，可得a2c2，即e2≥12，解得e因为0<e<1，e<1，则椭圆C1离心率的取值范围为ëöø÷.解答本题需灵活运用圆的两个性质：圆的切线与过切点的半径成90°；对称性，以及全等三角形的性质.据此建立RtΔAPB的两条边PO、PA之间的关系，从而判断出椭圆的长半轴与焦半径之间的关系，求得椭圆离心率的取值范围.例5.已知双曲线x2a2-y2b2=1()a>0,b>0的左右焦点分别为F1、F2，点M在双曲线的左支上，且||MF2=7||MF1，则此双曲线离心率的最大值为().A.43B.53C.2D.73解：由双曲线的定义可得，||MF2-||MF1=6||MF1=2a，因为点M在双曲线的左支上，所以||MF1=a3≥c-a，则e=ca≤43，故双曲线离心率的最大值为43，则正确答案为A.求双曲线离心率的最大值，需求ca的最大值.于是首先根据双曲线的定义建立焦半径与虚半轴长之间的关系；然后根据双曲线的性质：双曲线的左（右）支上点到右（左）焦点的距离大于c-a，建立关于a、c的关系式，进而求得双曲线离心率的最大值.总之，求解圆锥曲线的离心率问题，可从离心率公式和图形的几何性质入手，来寻找解题的思路.这就要求同学们熟练掌握圆锥曲线的定义、公式、几何性质，以灵活运用这些知识来解题.（作者单位：江苏省南通市如皋市搬经中学）43。
例谈求解圆锥曲线中离心率问题的三种思路
考点透视图9由题意可得，已知条件中含有a、b的关系式，根据等差中项、等比中项的定义建立关于a、b的方程组，求得a、b的值，即可运用圆锥曲线的离心率公式e=c a求得问题的答案.二、构造齐次式有些问题中只给出了关于a、b、c的关系式，或根据题意可直接求得关于a、b、c的关系式，此时可通过构造关于a、b、c的齐次式，即a、b、c的次数相同的式子，再根据椭圆中a、b、c的关系a2=c2+b2，双曲线中a、b、c的关系c2=a2+b2，将齐次式转化为关于a、c的等式，最后在其左右同时除以c2、c4等，得到关于c a的方程，解方程即可求得c a的值，从而得到圆锥曲线的离心率.例2.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1()a>0，b>0的左焦点为F，右顶点为A，点B()0,-b，且FA∙AB=0，则该双曲线的离心率为______.解：根据题意画出如图1所示的图形，图1因为FA∙AB=0，所以FA⊥AB，所以Rt∆AOB∽Rt∆BOF，则||OB||OA=||OF||OB，即ba=c b，b2=ac，因为c2=a2+b2，所以c2-a2=ac，即æèöøca2-1=ca，解得ca，所以e=.解答本题主要运用了构造齐次式法，首先建立关于a、b、c的关系式：c2-a2=ac，再在其左右同时除以a2，将该关系式化为齐次式，再根据椭圆、双曲线中a、b、c的关系得到关于c a的方程，进而求得离心率的值.三、利用几何性质法圆锥曲线均为平面几何图形.在求解圆锥曲线的离心率时，可根据圆锥曲线的几何性质建立关于椭圆的长半轴和短半轴长、双曲线的实轴和虚轴长、焦半径的关系式.也可将椭圆的长半轴和短半轴长、双曲线的实轴和虚轴长、焦半径看作三角形、平行四边形、梯形的一条边，或圆中的一条弦，利用三角形、平行四边形、梯形、圆的性质来建立关于a、b、c的关系式，从而求得圆锥曲线的离心率.例3.已知A、B是双曲线C的左、右顶点，点M在双曲线C上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，求双曲线C的离心率.解：过点M作x轴的垂线，垂足为C，如图2所示.图2∵△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，∴BM=2a，∠MBC=60°，∴BC=a，MC=3a,∴点M的坐标为()2a,3a，将其代入双曲线的方程中可得()2a2a2-()3a2b2=1，①又c2=a2+b2，②由①②可得e=2.解答本题，需先明确AB为等腰三角形的底边，然后采用几何性质法，根据等腰三角形的性质和已知条件求得点M的坐标，再将其代入双曲线的方程，从而建立关于a、b、c的关系式.本文主要介绍了三种求解圆锥曲线中离心率问题的思路.从上述分析可以看出，不论运用哪一种思路解题，都需根据题意建立关于a、b、c的关系式，或求得a、c的值.因此，同学们在建立关系式时，要将其与a、b、c关联起来.（作者单位：福建省南安市五星中学）考点透视39。