导函数图像与原函数图像关系(我)
原创§原函数与导函数的关联 ppt课件
法2：因原函数是偶函数，故导函数是奇函数
又因曲线y=f(x)在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 f / (1) 1
故曲线y=f(x)在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 f /(1)1
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三、单调性及凸凹性间的关联：
1.正用： 一导本身即斜率 增大减小○驻点 二导本身是曲率 大凹小凸○拐点
kf /(x0)yx00
y1 x1
y0 k x0 b
P0 (x0, y0) P1 (x1, y1 )
y0 f (x0)
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导数的几何意义
2.二导：曲线的曲率：二导意义是曲率 大凹小凸○拐点
如果f(x)在[a,b]上连,续 在(a,b)内具有 二阶导,若 数在(a,b)内 (1) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是; 凹的 (2) f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是. 凸的
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(1)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，
则 f /(2015)=_____0____
(2)(2009年北京)设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率为1,则该曲线在点 (1, f(1)) 处的切线的 斜率为_________ 法1：令 f ( x) x 2 ,则 f / (x) x ,即 kf/(1)1
【A】
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y
yf(x) B
yf(x)
y
B
A A
oa
bx
f(x)递增 y 0
f(x)递增 y 0
o
a f(x)递
减
y
b 0
x
f(x)递减 y 0
导数应用易错点分析、归纳
导数应用易错点分析、归纳作者：纪颖伟来源：《成才之路》2009年第05期导数作为高中数学新教材中的新增内容，为解决函数单调性、最(极)值、取值范围等问题提供了新的工具。
但学生在学习导数时，由于对导数基本概念、理论的理解存在着误区，应用时常常出错，下面，对有关的易错点举例加以分析、归纳。
一、忽视了“过某点的切线”与“在某点的切线”的差别例1:求经过点A（-1，4）的曲线y= x3-5 x2+6x的切线方程错解：y'=3x2-10x+6， y'|x=-1=19。
故过点A（-1，4）的曲线的切线方程为y-4=19（x+1）,即19x-y+23=0。
分析：由导数的几何意义知f'（x0）是曲线在点（x0，f（x0））处的切线的斜率，其中点（x0，f（x0））在曲线上，而点A（-1，4）显然不在曲线上，故不正确。
正解：设切点坐标P（x0，y0），则 y0=x03-5x02+6x0 ，则过点p的切线方程为y-y0=（3x02-10x0+6）（x-x0），即y=（3x02-10x0+6）x-2x03+5x02 。
因其经过点A（-1，4），代入上面切线方程，可求得x0 =1，或x0=-，将 x0的值分别代入切线方程，得到三条切线方程：y=-x+3，y=（21-10 ）x+25-10和 y=（21+10 ）x+25+10。
二、误解了“导数为零”与“有极值”的逻辑关系利用导数求极值的算法可为三步：⑴求导数f'（x），⑵求方程f'（x）=0的根，⑶检验f'（x）在方程f'（x）=0的根的左右两边的符号，确定极值。
例2：函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a、b值。
错解：f'（x）=3x2+2ax+b，由题意知：f'（1）=0 且 f（1）=10，即2a+b+3=0且a2+a+b+1=10，解之得a=4，b=-11 或a=-3，b=3。
原函数和导函数的关系
课题：探究原函数与导函数的关系首师大附中 数学组 王建华设计思路这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的根底上展开教学的。
由于这局部容课本上没有，但数学部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。
备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上顶峰体会一览众山小的乐趣和成就感。
教师实际上是在引导学生进展一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，慎重地修改条件，步步逼近真理。
最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。
对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。
整个教学流程1. 从经历观察发现，猜测得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比拟容易上手。
2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。
证明的思路也要逆向思考。
发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y 轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。
3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶函数的性质拓展为关于直线x a =对称，研究前面的四个命题还是否成立。
研究方法可以类比迁移前面的方法。
能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。
4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。
教学目标在这个探究过程中1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解；2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力；3体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。
4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。
教学重点以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜测、区分真伪的过程。
原函数与导函数奇偶性关系
原函数与导函数奇偶性关系
原函数与导函数奇偶性关系是位于数学分析中所学习的一个重要内容。
它由一般性强函数f（x）来定义，它具有原函数f（x）和导函数
f'（x），这两个函数存在着以下关系：
当f (x) 满足f (-x) = - f(x)时，称函数f (x) 为奇函数或奇偶性函数；此时，它的导函数f’(x) 满足f’(-x) = f’(x)，即f'(x) 是偶函数。
当f (x) 满足f (-x) = f(x) 时，称函数f (x) 为偶函数或奇偶性函数；此时，它的导函数f'(x) 满足f’(-x) = -f’(x)，即f’(x)是奇函数。
例子1：函数f（x）=cos(x) 是偶函数（f（-x）=cos（-x）= cos x），
因此它的导函数f'(x)= -sin(x) 为奇函数（f’(x) = -sin x，f’(-x)= -sin（-x）= sin x）。
例子2：函数f（x）=sin(x) 是奇函数（f（-x）= sin（-x）= -sin x），
因此它的导函数f'(x)= cos(x) 为偶函数（f'(x)= cos x，f’(-x)= cos（-x）= cos x）。
以上只是关于原函数与导函数奇偶性关系的简单示例，在数学分析中，这一概念将被用于许多不同的函数，例如多重导函数、Fourier变换等等。
这将为解决微积分问题提供重要的思路，比如计算曲线的总斜率
或最大值等。
总的来说，原函数与导函数的奇偶性关系是数学分析中
学习的一个重要内容，它有助于建立简洁而有效的基于物理规律的数学模型，从而让我们更准确地推導出一般问题的解决方案。
原函数与导函数的区别
原函数与导函数的区别
函数的最基本定义是一个把一个变量X映射到另一个变量Y的关系式。
函数分为原函数与导函数。
原函数是一个函数表达式，简单地说是把自变量x对应到因变量y上。
而导函数是原函数的变形，是原函数的切线斜率值。
两者都是函数，有着不同的用途，也有着不同的特点。
原函数
原函数是一种函数，只能表示x与y之间的关系，而不能表示代入x变化时y的变化情况。
原函数可以表示如x的平方、平方根、三角函数等，也可以表示经过高次拟合的复杂的函数。
从数学角度来讲，原函数是计算x变化时y的变化情况的基础。
导函数
导函数是原函数的变形，是原函数在每一个点处的斜率。
也就是说，是求解每个点处函数的梯度。
导函数可以描述原函数的变化趋势，比如当x变小时y是减小还是增大。
而且可以用来求解各种数学问题，比如求解函数的极值以及求解微分方程。
原函数与导函数的区别
原函数与导函数有着明显的不同，从功能上来说，它们各自有着不同的作用。
1.能上的区别：原函数是把x与y之间的关系表达出来，而导函
数是把x变化时y的变化情况表达出来。
2.质上的区别：原函数是一个可以描述因变量y随自变量x变化关系的函数，而导函数是原函数的变形，表示每个点的斜率，是原函数的梯度。
3.解上的区别：原函数可以用来求解x与y之间的关系，比如求函数极值、做图等；而导函数可以用来求函数极值以及求解微分方程。
结论
原函数与导函数是数学中不可分割的组成部分。
二者在功能上、性质上和求解上都有着明显的不同，它们各自有着不同的作用，要想在数学中取得更好的效果，就要正确掌握它们的特点和用法。
导函数与原函数
导函数与原函数的性质The properties of the primitive function and thederivative function专业:数学与应用数学作者:江亮指导老师:涂建斌湖南理工学院数学学院二○一一年五月岳阳摘要本文归纳总结了导函数和原函数的一些性质，并探讨了导函数和原函数的性质应用以以及原函数与函数可积的关系关键词: 导函数；原函数；连续函数；不定积分；AbstractThe paper summarizes some properties of the primitive function and the derivative function and discusses their application and the relationship between primitive function and integrable functionKeywords: derivative function; primitive function; continuous function目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (1)1导函数的性质 (1)1.1导函数的性质及其证明 (1)1.2导函数性质的应用 (5)2 原函数的性质 (8)2.1 原函数的性质及其证明 (8)2.2原函数与不定积分的关系 (13)参考文献 (15)0 引言法国数学家费马（Fermat, 1601—1665）在研究极值问题时, 首先提出了近似于现在的导数概念, 随后, 英国数学家(Newton, 1642—1727)和德国数学家(Leibniz, 1646—1716), 在费马等人的基础上, 建立了类似于现代的导函数与原函数的概念. 即若函数)(x f 在区间I 可导, 则对任意的I x ∈都存在唯一一个导数)('x f , 称)('x f 为)(x f 在区间I 的导函数.设函数)(x f 在区间I 有意义, 存在函数)(x F , 若对任意的I x ∈, 有)()('x f x F = , 则称函数)(x F 是)(x f 在区间I 的原函数.导函数与原函数是微积分学中两个重要的基本概念, 一直受到数学工作者得关注. 近年来, 仍有许多学者发表关于导函数与原函数的性质的研究成果, 如文献[2], [3], [4].本文将散见与一些文献中的有关导函数与原函数的性质进行归纳总结, 并讨论这些性质的若干应用. 文章最后还讨论了原函数与函数可积的关系.本文没有特别申明的符号和定理均与文献[1]相同.1 导函数的性质定理[]51.1 设)(x f 在],[b a 上可导, 且)()(b f a f -+'≠', c 为介于)(a f +', )(b f -'之间任一实数, 则至少存在一点),(b a ∈ξ, 使得c f =')(ξ.证明 不妨设)()(b f c a f -+'<<'.作辅助函数cx x f x F -=)()(, 有c x f x F -'=')()(, 由题设易知， 0)()(<-'='++c a f a F , 0)()(>-'='--c b f b F .由极限的保号性知,存在0>δ, 当),(δ+∈a a x 时, 有0)()(<--ax a F x F ，从而)()(a F x F <. 同理可得知)()(b F x F <.又)(x F 在],[b a 上可导, 故连续. 由连续函数的最值[]6定理知，存在],[b a ∈ξ, 使)(ξF 为)(x F 的最小值. 由上面知)(a F , )(b F 均不是)(x F 的最小值, 故)(x F 的最小值位于),(b a 内, 则ξ=x 为)(x F 的极值点. 根据费马[]2定理, 有0)()(=-'='c f F ξξ,即c f =')(ξ.对于)()(a f c b f +-'<<'的情况, 同理可证. 证毕■定理1.1称之为导函数的介值定理, 由定理1.1不难得到如下推论.推论1.1 设)(x f 在],[b a 上可导, 且()()0f a f b +-''⋅<, 则至少存在一点),(b a ∈ξ, 使得0)(='ξf .定理[]51.2（导函数极限定理） 设函数f 在点0x 的某邻域)(0x U 内连续, 在)(0x U o 内可导, 且极限0lim ()x x f x →'存在, 则f 在点0x 可导, 且)('lim )('00x f x f x x →=. （1.1）证明 分别按左右导数来证明（1.1）式成立.任取)(00x U x +∈, )(x f 在],[0x x 上满足拉格朗日定理条件,则存在0(,)x x ξ∈, 使得)()()(00ξf x x x f x f '=--. （1.2）由于x x <<ξ0, 因此当+→0x x 时, 有+→0x ξ, 对（1.2）式两边取极限, 得)0()(lim )()(lim 0000+'='=--++→→x f f x x x f x f x x x x ξ. 同理可得)0()(00-'='-x f x f .又因为 k x f x x ='+→)(lim 0存在, 所以 k x f x f =-'=+')0()0(00,从而 k x f x f ='='-+)()(00, 即k x f =')(0.证毕■由该定理还可以得到如下推论：推论1.2 在区间I 上, 设)(x f 是)(x F 的导函数, 对任一I x ∈0, 极限)(lim 0x f x x →存在, 则)(x f 在区间I 上连续.推论1.2的结论说明:只要导函数在某点的极限存在, 则在该点就连续. 这是一般函数不具有的. 另外, 不难发现推论1.2的逆命题也是成立的, 故它可作为判断导函数连续的充要条件.由闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性、一致连续性等, 可以得到下面结论:推论1.3 设函数)(x f 是],[b a 上函数)(x F 的导函数, 且对任一I x ∈0, 极限)(lim 0x f x x →存在, 则)(x f 在],[b a 上有界, 且满足一般函数的最值性、介值性、一致连续性.由推论1.2可知)(x f 在],[b a 上是连续函数, 而连续函数在闭区间上具有有界性、最值性、介值性、一致连续性等性质, 故可知推论1.3结论成立.定理1.3 设)(x f 是区间I 上)(x F 的导函数, 则)(x f 在区间I 上没有第一类间断点.证明 假设在区间I 上)(x f 有第一类间断点0x , 则)0(0+x f 与)0(0-x f 都存在.由于)(x f 是)(x F 的导函数, 故有0000)()(lim )()()(0x x x F x F x F x F x f x x --='='=+→+ . （1.3）由拉格朗日中值定理可知, 存在一点),(0x x ∈ξ, 使得式（1.3）右边部分)0()(lim ))((lim )()(lim 00000000+='=--'=--+++→→→x f f x x x x F x x x F x F x x x x x ξξξ. 故有)()0(00x f x f =+.同理可证)()0(00x f x f =-.则)()0()0(000x f x f x f =-=+.即)(x f 在0x 点连续, 这与0x 是)(x f 的第一类间断点矛盾, 故假设不成立, 命题得证. 证毕■定理1.4 设)(x f 在],[b a 上可导, 则)(x f '在],[b a 上有界的充分必要条件是)(x f 满足利普希兹条件, 即存在常数0>L , 使对],[b a 上任意两点x x ''',, 有x x L x f x f ''-'≤''-')()(.证明 先证充分性.由)(x f 满足利普希兹条件, 即00[,],[,]x a b x x a b ∀∈+∆∈, 有x L x x x L x f x x f ∆=-∆+≤-∆+0000)()(,于是有L xx f x x f xx f x x f x f x x ≤∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆)()(lim)()(lim)('0000000,即L x f ≤|)('|0.又由0x 的任意性知, )('x f 在],[b a 上有界.再证必要性.由于)('x f 在],[b a 上有界, 即存在正常数L 使得[,]x a b ∀∈, 有L x f ≤')(.利用拉格朗日中值定理知, 对],[b a 内任意两点'x 和''x , )'','(x x ∈∃ξ使得''')''')((')''()'(x x L x x f x f x f -≤-=-ξ.即)(x f 满足利普希兹条件. 证毕■1.2 导函数性质的应用下面通过一些例题来讨论导函数性质的一些应用.例1 设函数)(x f 在区间I 上的导函数0)(≥'x f （0≤）的充要条件是)(x f 在区间I 上递增（减）.证明 先证充分性.若f 为增函数, 则对任一I x ∈0, 当0x x ≠时, 有0)()(00≥--x x x f x f .令0x x →即得0)(0≥'x f .再证必要性.若)(x f 在区间I 上恒有0)(≥'x f , 则对12,x x I ∀∈（设21x x <）, 应用拉格朗日定理知, 存在I x x ⊂∈),(21ξ, 使得0))((')()(1212≥-=-x x f x f x f ξ,由此证得f 在I 上为增函数.例2 设函数)(x f 在区间()∞+∞-,上二次可微且有界, 证明存在一点),(0∞+-∞∈x ,使得0)(0=''x f .证明 先用反证法来证明)(x f ''在区间()∞+∞-,上一定变号. 假设)(x f ''在区间()∞+∞-,上不变号.不妨设在区间()∞+∞-,恒有0)(>''x f （0)(<''x f 情况, 类似可证）, 则)(x f '严格增. 取),(0∞+-∞∈x 使0)(0≠'x f ,若0)('0>x f , 则当0x x >, 并令+∞→x 时, 在],[0x x 上, 由拉格朗日中值定理知+∞→-+>-+=))((')())((')()(00000x x x f x f x x f x f x f ξ；若0)('0<x f , 则当0x x <, 并令-∞→x 时, 同理有+∞→-+>-+=))((')())((')()(00000x x x f x f x x f x f x f ξ.这与)(x f 在区间()∞+∞-,上有界性矛盾. 故可知假设不成立, )(x f ''在区间()∞+∞-,上一定变号.设点),(,21∞+-∞∈x x , 且0)(1<'x f , 0)(2>'x f , 又)(x f '在],[21x x 上可导, 由推论1.1可知, 至少存在一点),(],[210∞+-∞⊂∈x x x , 使得0)(0=''x f .命题得证.例3 设函数)(x f 在[],a b 连续, ()(),()()0f a f b k f a f b +-''==⋅>, 则至少存在一点(),a b ξ∈, 使()f k ξ=.证明 因为)(x f 在[],a b 连续, 所以由推论1.2逆命题知, )(x f 必是[],a b 上某函数的导函数.不妨假设()0,()0f a f b +-''>>,因为 ()()()lim 0,x a f x f a f a x a++→-'=>- ()()()lim 0x b f x f b f b x b--→-'=>-,所以, 由保号性知, 存在12(,],[,)x a b x a b ∈∈, 使得12()(),()()f x f a k f x f b k >=<=,而)(x f 在12[,]x x 或21[,]x x 上连续, k 是1()f x 与2()f x 之间的一个数, 从而)(x f 为12[,]x x 或21[,]x x 上某函数的导函数.由定理1.1知, 在1x 与2x 之间至少存在一点ξ, 使()f k ξ=. 因而至少存在一点[,]a b ξ∈, 使()f k ξ=.例4 求分段函数⎩⎨⎧>+≤+=0),1ln(0,sin )(2x x x x x x f 的导数. 解 首先易得⎪⎩⎪⎨⎧>+<+='.0,11,0,cos 21)(2x xx x x x f 由于)0(0)1ln(lim )(lim 00f x x f x x ==+=+→→+,)0(0)sin (lim )(lim 200f x x x f x x ==+=--→→, 因此f 在0=x 处连续, 又因1)cos 2(lim )00(20=+=-'-→x x x f x , 111lim )00(0=+=+'+→xf x , 所以 1)('lim 0=→x f x . 由定理1.2知f 在0=x 处可导, 且1)0(='f .例5 设)(x f 在区间],[b a 上可导且有界, 则)(x f 在I 上一致连续.证明 由于)(x f 在区间],[b a 上可导且有界, 由定理1.4可知, 在区间],[b a 上)(x f 满足利普希兹条件, 即存在常数0>L , 使对],[b a 上任意两点21,x x , 有2121)()(x x L x f x f -≤-.于是对0ε∀>, ],[,21b a x x ∈, L εδ∃=, 当δ<-21x x 时, 有1212()()f x f x L x x L L εε-≤-<⋅=,故由一致连续的[]6定义可知)(x f 在],[b a 上一致连续.2 原函数的性质2.1原函数的性质及其证明定理2.1 设F 是f 在区间I 上的一个原函数, 则(1) C F +也是f 在区间I 上的原函数, 其中c 为任意常数；(2) f 在I 上的任意两个原函数之间, 只相差一个常数.证明 (1)因为)()(])([x f x F c x F ='='+, I x ∈, 故可知c F +是f 在区间I 上的原函数.(2)由拉格朗日定理可知, 若函数)(x h 在区间I 上可导, 且0)(='x h , 则)(x h 为区间I 上一个常量函数.事实上, 任取两点I x x ∈''',（设x x ''<'）, 在区间],[x x '''上应用拉格朗日定理, 存在I x x ⊂'''∈),(ξ, 使得0))(()()(='-'''='-''x x h x h x h ξ.这就证得)(x h 在区间I 上任意两点之值相等, 即)(x h 为区间I 上一个常量函数.设F 和G 是f 在I 上的任意两个原函数, 则有0)()()()(])()([=-='-'='-x f x f x G x F x G x F , I x ∈.由上述结论可知)()(x G x F -是区间I 上一个常量函数, 于是有c x G x F ≡-)()(, I x ∈.命题得证.证毕■注 当)(x f 的定义域位于若干个分离区间时,定理2.1就不一定成立了. 如易知2)(2x x F =是x x f =)(在),0()1,(+∞⋃--∞上的一个原函数；且22,(,1),2()1,(,1),2x x G x x x ⎧∈-∞-⎪⎪=⎨⎪+∈-∞-⎪⎩也是x x f =)(在),0()1,(+∞⋃--∞上的一个原函数. 但0,(,1),()()1,(0,),x G x F x x ∈-∞-⎧⎪-=⎨∈+∞⎪⎩并非为一个常数, 故我们要特别注意, 我们所说的一个函数的原函数是对在某一区间上讲的.定理2.2（原函数存在定理） 若)(x f 在],[b a 上连续, 则积分上限函数()()xt a x f t d Φ=⎰ 在],[b a 上处处可导, 且)()(x f x =Φ', ],[b a x ∈.证 对],[b a 上任一确定x , 当0≠∆x 且],[b a x x ∈∆+时, 有⎰∆+=∆=∆∆Φx x xx f dt t f x x )()(1 10,)(≤≤∆+=θθx x f .由于f 在点x 连续, 故有)()(lim lim )('00x f x x f x x x x =∆+=∆∆Φ=Φ→∆→∆θ. 由x 在],[b a 上的任意性, 证得Φ是f 在],[b a 上的一个原函数.对于不连续函数的原函数存在性判断比较复杂, 但由定理1.3可以得到以下结论. 推论2.1 若)(x f 在I 上有第一类间断点, 则)(x f 在I 上不存在原函数. 证毕■ 证明 假设)(x f 在I 上存在原函数)(x F , 即)(x f 是区间I 上)(x F 的导函数, 由定理1.3可知)(x f 在I 上没有第一类间断点, 这与题意矛盾, 故假设不成立. 即)(x f 在I 上不存在原函数, 命题得证. 证毕■注 若函数)(x f 存在第二类间断点, 则其原函数可能存在, 也可能不存在. 如函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1cos 1sin 2)(x x x x x x f 显然, 0=x 是)(x f 的第二类间断点,但)(x f 存原函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x x x x F ； 又如狄利克雷函数为无理数为有理数x x x D ⎩⎨⎧=,0,1)(, 显然, 在),(∞+-∞内的任一点都是)(x D 的第二类间断点, 但)(x D 在任意闭区间],[b a 上都不存在原函数.定理2.3（奇偶性） 设)(x f 在),(∞+-∞上连续, 则:（1） 若)(x f 为奇函数, 则其原函数是偶函数;（2） 若)(x f 为偶函数, 则其原函数等于一个奇函数与一个任意常数之和. 证明 )(x f 连续, 故存在原函数, 定义)(x f 的积分上限函数0()()xF x f t dt =⎰, 由定理2.2知)(x F 为)(x f 的一个原函数.则当)(x f 为奇函数时,00()()()()()x xF x f t d t f t dt F x -=--==⎰⎰, 即)(x F 为偶函数；当)(x f 为偶函数时,00()()()()()x xF x f t d t f t dt F x -=-=-=-⎰⎰, 即)(x F 为奇函数.又因为)(x f 的所有原函数为C x F x G +=)()(（C 为任意常数）,故若)(x f 为奇函数, 则)()()()(x G C x F C x F x G =+=+-=-,即)(x G 为偶函数；若)(x f 为偶函数，则C x F C x F x G +-=+-=-)()()(，其中)(x F 为奇函数，即)(x G 等于一个奇函数与一个任意常数之和.证毕■性质2.4（周期性） 设)(x f 是),(+∞-∞上的连续周期函数, 且周期为T , )(x F 是它在),(+∞-∞上的一个原函数, 则下列条件等价：(1) )(x F 是),(+∞-∞ 上的周期函数；(2) )(x F 在),(+∞-∞上有界；(3) 对任意实数a , 有()0a Ta f t dt +=⎰.证明 )2()1(⇒设)(x F 在),(+∞-∞上以G 为周期, 易知)(x F 在],0[G 上连续, 从而存在最大值与最小值, 分别记为1m ，2m . 令{}21,m m M =, 则)()(+∞<<-∞≤x M x F , 即)(x F 有界；)3()2(⇒若存在一个正数M , 使在),(∞+-∞上有M x F ≤)(,则对任意实数a 及任意正整数n 有⎰⎰++==-+≥T a a nTa a dt t f n dt t f a F nT a F M )()()()(2,从而⎰+≤T a a n M dt t f 2)( 对任意自然数n 成立,故 ⎰+=T a a dt t f 0)(.)1()3(⇒ 因 ⎰+==-+Ta a dt t f a F a T F 0)()()(, 故(1)成立.证毕■关于函数与原函数之间周期性的关系，由性质2还可以得到以下两个推论. 推论2.2 设)(x f 是),(+∞-∞上的连续周期函数, )(x F 是)(x f 的一个原函数, 且)(x F 也是周期函数, 则)(x F 与)(x f 有相同的周期.证明 设)(x f 周期为T , 因)(x F 是周期函数, 由性质2可知()()()0a Ta F a T F a f t dt ++-==⎰；另一方面，设)(x F 周期为G ，由)()(x f x F ='可知 )()(x f G x f =+.综合上述可知, )(x F 与)(x f 有相同的周期. 证毕■推论2.3 设)(x f 是),(∞+-∞上连续的周期为T 的函数, )(x F 是它的一个原函数,令01()Tc f t dt T =⎰, 则cx x F -)(是),(∞+-∞上一个以T 为周期的函数, 即)(x F 可以表示为一个周期函数与一个线性函数的和.证明 令c x f x -=)()(ϕ, 易知)(x ϕ是一个以T 为周期的函数.因)()()(x cx x F ϕ='-', 则有0()(())()()0a T a T a T T a a a t dt f t c dt f t dt f t dt φ+++=-=-=⎰⎰⎰⎰， 由性质2及推论2.3可知, cx x F -)(是以T 为周期的周期函数, 结论成立. 证毕■2.2 原函数与不定积分的关系对于原函数与不定积分的关系，我们能够比较清楚的认识，即“一个函数的不定积分是表示该函数所有原函数的集合”.但是谈及原函数与定积分的关系，一般地认为“原函数存在则函数就可积或认为函数可积则函数的原函数就存在”.其实这两种观点是错误的，下面通过例子进行说明.例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1cos 21sin 2)(22x x x x x x x f ， 在]1,1[-上存在原函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(22x x x x x F ，故可知)(x f 在]1,1[-上无界，所以)(x f 在]1,1[-上不可积.对于存在原函数且可积的函数很多，如在闭区间上的初等函数都是符合条件的.由这个例子我们可以得出如下结论.结论1 存在原函数的函数，不一定可积.定义函数⎩⎨⎧≠==0,00,1)(x x x f ，易知)(x f 在]1,1[-上有界，其积分和i ni i n x f S ∆=∑=)(1ξ，当分割的模趋于0时有0l i m 0=→n T S ，所以)(x f 在]1,1[-上是可积的.又因为)(x f 在]1,1[-不连续，存在第一类间断点0=x ，由推论4知，)(x f 在]1,1[-上不存在原函数.由此得如下结论:结论2 可积的函数不一定存在原函数.致谢 本文是在涂建斌老师的指导下完成的, 在此对涂老师表示衷心的感谢!参考文献[1] 刘玉链，傅沛仁. 数学分析讲义(上册) [M]. 北京: 高等教育出版社，2002[1]朱匀华周健伟胡建勋. 数学分析的思想方法[M]. 中山大学出版社, 1998.[2] 张莜蘅. 关于原函数的讨论[J]. 西安教育学院学报，1(2007)，1-4.[3] 黄基廷. 导函数的若干性质[J]. 河池学院学报, 24:4(2004)，49-51.[4] 杨雪宏. 导函数的特性及其应用[J]. 河北能源职业技术学院学报，6:2(2004)，249-250.[5] 华东师范大学数学系编. 数学分析(上册) [M]. 北京: 高等教育出版社，2001.[6] 黄天富. 导函数在闭区间上的性质[J]. 江苏教育学院学报，23:3(2006)，89-93.[7] 李文荣. 一类迭代微分方程的Picard型定理[J]. 滨洲学院报，22:6(2006), 1-4.[8] 冯春. 原函数性质的讨论及应用[J]. 高等数学研究，7:6(2004)，11-14.[9] 张申媛. 关于函数可积性与原函数存在性问题[J]. 上海电力学院学报，12:3(2010)，1-4.[10] 周良金. 原函数与定积分的关系[J]. 高等函授学报(自然科学版), 19:5(2006), 38-40.。
函数与原函数的关系
函数与原函数的关系
一个函数与它的原函数之间存在一种特殊的关系。
如果一个函数 f(x) 在某个区间内连续，且在该区间内存在一个函数 F(x)，使得 F'(x) = f(x)，那么 F(x) 称为 f(x) 的原函数，同时也可以表示为F(x) = ∫f(x)dx。
原函数与函数之间具有以下性质：
1. 不同常数的原函数是原函数的一般形式，因为原函数的导数具有多项式的可加性质，即 (f+g)' = f'+g'。
2. 函数 f(x) 和它的原函数 F(x) 的图像关于直线 y=x 对称。
3. 函数 f(x) 在某个区间内连续，则它在该区间内存在无穷多个原函数，它们互相区别只是一个常数。
4. 如果函数 f(x) 在某个区间内连续，且有一个原函数 F(x)，那么它在该区间内的任何一个不同的原函数都能写成 F(x) + C 的形式，其中 C 是任意常数。
一元函数导数
一元函数导数一元函数导数的作用在于描述函数在某一点的变化率。
通过求导可以得到函数的切线斜率，从而帮助我们理解函数在不同点的趋势和性质。
在本文中，我们将从不同角度探讨一元函数导数的相关内容。
一、导数的定义和基本概念导数的定义是函数在某一点的极限值，表示函数在该点的瞬时变化率。
导数可以通过函数的极限运算来求得，一般用符号f'(x)或dy/dx表示。
导数的存在性保证了函数在该点的光滑程度，也决定了函数的单调性和凸凹性。
二、导数的几何意义导数可以理解为函数曲线在某一点的切线斜率。
切线斜率为正表示曲线在该点上升，为负表示曲线下降。
当导数为零时，表示函数在该点达到极值，可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
三、导数的运算法则1.常数乘法法则：导数与常数的乘积等于常数乘以导数。
2.和差法则：导数与函数的和（差）的导数等于函数的导数的和（差）。
3.积的求导法则：导数与函数的积的导数等于函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以该函数。
4.商的求导法则：导数与函数的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数，减去分子函数乘以分母函数的导数，再除以分母函数的平方。
5.复合函数的求导法则：导数与复合函数的导数等于外函数的导数乘以内函数的导数。
四、导数的应用1.切线问题：通过求导可以得到函数曲线在某一点的切线方程，进而求出曲线在该点的切线。
2.极值问题：通过求导可以找到函数的极值点，从而确定函数的最大值和最小值。
3.凸凹性和拐点：通过求导可以判断函数的凸凹性和拐点的位置，进而分析函数的变化趋势。
4.速度和加速度问题：导数可以描述物体的速度和加速度，帮助我们理解物体的运动规律。
5.最优化问题：通过求导可以求解最优化问题，例如求解函数的最大值、最小值或最优解。
五、导数与原函数的关系导数与原函数之间存在一个重要的关系，即导数是原函数的斜率函数。
如果函数的导数存在，则函数在某一点的导数等于该点的切线斜率。
反过来，如果函数在某一区间内连续且可导，则函数在该区间内的导数是唯一的。
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导函数图像类型题
类型一：已知原函数图像，判断导函数图像。
1. （福建卷11）如果函数)(x f y =的图象如右图，那么导
函数()y f x '=的图象可能是 ( )
2. 设函数f (x )在定义域内可导，y=f (x )的图象如下左图所示，则导函
数y=f '(x )的图象可能为( ) 3. 函数()y f x =的图像如下右图所示，则()y f x '=的图像可能是
（ ）
4. 若函
数
2()f x x b
=+的图象的顶点在第
四象限，则其导函数'()f x 的图象是（ ） 类型二：已知导函数图像，判断原函数图像。
5. (2007年广东佛山)设)(x f '是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的图
象如右图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ ）
6. (2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已
知函数f x ()的导函数2f x ax bx c '=++()的图象如右图，则f x ()的图象可能是( )
7. 函数)(x f 的定义域为开区间3(,3)2
-，导函数)(x f '在
3
(,3)2
-内的图象如图所示，则函数)(x f 的单调增区间是_____________
类型三：利用导数的几何意义判断图像。
8. （2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数．．．
在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是
( )
O 1 2 x y
x y
y
O 1 2 y
O
1 2 x
O 1 2 x
A B C
D
O
1 2 x
y
x
o y
A ．
B ．
C ．
D ．
9.若函数)('
x f y =在区间),(21x x 内是单调递减函数，则函数)(x f y =在区间),(21x x 内的图像可以是（ ）
A B
C D
10.（选做）已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可
能是 （ ） 类型四：根据实际问题判断图像。
9. （2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一容器的三视图，现向容器
中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ） 10.如图，直线l 和圆c ，当l 从0l 开始在平面上绕点o 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过︒
90）时，它扫过的园内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是（ ）
11.如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.
10. 已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，
则（ ）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
函数
)(x f 有2个极大值点，2个极小值点 函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点 函数)(x f 有1个极大值点，3个极小值点
11. (2008珠海质检理)函数)(x f 的定义域为
),(b a ，
其导函数),()(b a x f 在'内的图象如图所示，则函数)(x f 在区间),(b a 内极小值点的个数是（ ） (A).1
(B).2 (C).3 (D).4
12. 已知函数3
2
()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，
其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：
a
b a
b a
o x
o
x
y
b a
o
x
y
o x y
b y
x
y
x 4 O
（Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）,,a b c 的值. 13. 函数()y f x =在定义域3
(,3)2
-
内可导，
其图象如图，记()y f x =的导函数为/
()y f x =，则不等式/
()0f x ≤的解集为_____________
14. 如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象，
'()f x 为函数()f x 的导函数，则不等式'()0x f x ⋅<的解集为_____ _
15. 【湛江市·文】函数2
2
1ln )(x x x f -
=的图象大致是 A ． B ． C ． D ．
16. 【珠海·文】如图是二次函数a bx x x f +-=2
)(的部分图象，则函数)(ln )(x f x x g '+=的
零点所在的区间是 （ ）
A.)21,41(
B.)1,21
(
C.)2,1(
D.)3,2(
17. 定义在R 上的函数)(x f 满足(4)1f =．)(x f '为)(x f 的导函
数，已知函数)(x f y '=的图象如右图所示.若两正数b a ,满足
1)2(<+b a f ，则
2
2
b a ++的取值范围是 （ ）
A ．11(,)32
B ．()1(,)3,2-∞+∞
C ．1
(,3)2
D ．(,3)-∞-
x
y
O。