(完整版)导数与函数图像问题
高中数学导数与函数图像的关系分析与讲解
高中数学导数与函数图像的关系分析与讲解在高中数学中，导数与函数图像是密不可分的。
导数是函数在某一点上的变化率，而函数图像则是函数在整个定义域上的变化规律的图形表示。
理解导数与函数图像之间的关系对于学习和应用数学知识都具有重要意义。
本文将通过具体的题目举例，分析导数与函数图像的关系，并给出解题技巧和使用指导。
一、导数与函数图像的关系导数与函数图像之间有着密切的联系。
函数的导数可以帮助我们确定函数图像的特征，如函数的增减性、极值点、拐点等。
下面通过几个具体的题目来说明导数与函数图像的关系。
例题1：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求函数在$x=1$处的导数。
解析：首先我们需要求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。
根据导函数的定义，我们可以得到$f'(x)=3x^2-6x+2$。
然后，我们将$x=1$代入导函数中，得到$f'(1)=3(1)^2-6(1)+2=-1$。
这个结果告诉我们，在$x=1$处，函数$f(x)$的导数为-1。
通过这个例题，我们可以看出，函数$f(x)$在$x=1$处的导数为-1。
这意味着函数$f(x)$在$x=1$处的斜率为-1，即函数图像在该点的切线的斜率为-1。
这个信息可以帮助我们更好地理解函数图像的特征。
例题2：已知函数$g(x)=x^2-2x$，求函数$g(x)$的极值点。
解析：为了求函数$g(x)$的极值点，我们需要先求出函数$g(x)$的导函数$g'(x)$。
根据导函数的定义，我们可以得到$g'(x)=2x-2$。
然后，我们令$g'(x)=0$，得到$2x-2=0$，解得$x=1$。
这意味着函数$g(x)$的导数在$x=1$处为0，即函数图像在该点的切线的斜率为0。
通过这个例题，我们可以看出，函数$g(x)$的极值点出现在$x=1$处。
这个点处的切线斜率为0，意味着函数图像在该点处有一个极值。
这个极值可以是最大值或最小值，需要通过进一步的分析来确定。
第三节 导数图象与函数图象的关系
第三节 导数图象与函数图象 姓名学习目标：理解导数图象的特征，会用导数图象研究原函数的性质。
一、例题分析：例1、已知()f x 的定义域为R ，()f x 的导函数'()f x 的图象如图所示，则下列说法中错误的有 （填序号）.①()f x 在1x =处取得极小值 ②()f x 在1x =处取得极大值 ③()f x 是R 上的增函数 ④()f x 是（-∞，1）上的减函数，（1，+∞）上的增函数小结：拓展变式：)(x f 的导函数=y )('x f 的图象如图所示，则)(x f y =的图象可能的是（ ）例2、(08福建文)如果函数()y f x =的图象如下图，则导函数'()y f x =的图象可能是（ ）小结：拓展变式：1、若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ）2、函数()y f x =的图象过原点且它的导函数'()g f x =的图象是如图所示的一条直线，则()y f x =图象的顶点在第 象限.3、(07浙江)设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）例3、()f x 的导函数'()f x 的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）小结：拓展变式：1、(08全国卷Ⅰ文2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )2、已知函数()y f x =,()y g x =的导函数的图象如下图，那么()y f x =,()y g x =的图象可能是（ ）。
函数的求导及函数图像的综合应用(含答案)
1.已知函数x x a x f ln )21()(2+-=.（R a ∈）（Ⅰ）当1=a 时，求)(x f 在区间[1，e ]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方，求a 的取值范围．解析：（Ⅰ）当1=a 时，x x x f ln 21)(2+=，xx xx x f 11)(2+=+='；………………2分对于∈x [1，e ]，有0)(>'x f ，∴)(x f 在区间[1，e ]上为增函数，…………3分∴21)()(2max ee f x f +==，21)1()(min ==f x f .……………………………4分（Ⅱ）令x ax x a ax x f x g ln 2)21(2)()(2+--=-=，则)(x g 的定义域为（0，+∞）.……………………………………………5分在区间（1，+∞）上，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方等价于0)(<x g 在区间（1，+∞）上恒成立.∵xx a x xax x a xa x a x g ]1)12)[(1(12)12(12)12()(2---=+--=+--='① 若21>a ，令0)(='x g ，得极值点11=x ，1212-=a x ，………………6分当112=>x x ，即121<<a 时，在（2x ，+∞)上有0)(>'x g ，此时)(x g 在区间(2x ，+∞)上是增函数，并且在该区间上有)(x g ∈()(2x g ，+∞)，不合题意；………………………………………7分当112=<x x ，即1≥a 时，同理可知，)(x g 在区间(1，+∞)上，有)(x g ∈()1(g ，+∞)，也不合题意；………………………………………9分② 若21≤a ，则有012≤-a ，此时在区间(1，+∞)上恒有0)(<'x g ，从而)(x g 在区间(1，+∞)上是减函数；……………………………………11分 要使0)(<x g 在此区间上恒成立，只须满足021)1(≤--=a g 21-≥⇒a ，由此求得a 的范围是[21-，21].综合①②可知，当a ∈[21-，21]时，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方.……12分2．已知函数()∈--=b a bx ax x x f ,(ln 2R ，且)0≠a .（1）当2=b 时，若函数()x f 存在单调递减区间，求a 的取值范围； （2）当0>a 且12=+b a 时，讨论函数()x f 的零点个数.解：（1）当2=b 时，函数()x f x ax x 2ln 2--=，其定义域是()∞+,0，∴()xx axax xx f1222212'-+-=--=.函数()x f 存在单调递减区间，∴()xx axx f1222'-+-=0≤在()∞+∈,0x 上有无穷多个解.∴关于x 的不等式01222≥-+x ax 在()∞+∈,0x 上有无穷多个解. ① 当0>a 时，函数1222-+=x ax y 的图象为开口向上的抛物线， 关于x 的不等式01222≥-+x ax 在()∞+∈,0x 上总有无穷多个解. ② 当0<a 时，函数1222-+=x ax y 的图象为开口向下的抛物线，其对称轴为01>-=a x .要使关于x 的不等式01222≥-+x ax 在()∞+∈,0x 上有无穷多个解. 必须480a ∆=+>，解得12a >-，此时102a -<<.综上所述，a 的取值范围为()1(,0)0,2-+∞ .另解：分离系数：不等式01222≥-+x ax 在()∞+∈,0x 上有无穷多个解， 则关于x 的不等式221212(1)1x a xx-≥=--在()∞+∈,0x 上有无穷多个解，∴21a >-，即12a >-，而0a ≠.∴a 的取值范围为()1(,0)0,2-+∞ .（2）当12b a =-时，函数()x f ()2ln 12x ax a x =---，其定义域是()∞+,0，∴()()2'12(12)1212ax a x fx ax a xx+--=---=-.令()0'=x f，得22(12)10ax a x x+--=，即22(12)10ax a x +--=，(1)(21)0x ax -+=， 0x > ，0a >，则210ax +>，∴1x = 当<<x 01时，()0'>x f；当>x 1时，()0'<x f.∴函数()x f 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减. ∴当1x =时，函数()x f 取得最大值，其值为()1ln 1121f a b a a a =--=--+=-. ① 当1a =时，()10f =，若1≠x , 则()()1f x f <, 即()0<x f .此时，函数()x f 与x 轴只有一个交点，故函数()x f 只有一个零点； ② 当1a >时，()10f >，又()011112111ln 122<-⎪⎭⎫⎝⎛--=⨯--⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a a a e e a e a e a e e f ，()()()02121ln 2<---=---=e e ae e a aee ef ，函数()x f 与x 轴有两个交点，故函数()x f 有两个零点；③ 当01a <<时，()10f <，函数()x f 与x 轴没有交点，故函数()x f 没有零点. 3．已知函数.)(,ln )(x x g x x f ==（Ⅰ）若1>x ，求证：)11(2)(+->x x g x f ；（Ⅱ）是否存在实数k ，使方程k x f x g =+-)1()(2122有四个不同的实根？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.解：（I ）令,1)1(2ln )11(2)()(+--=+--=x x x x x g x f x F则222)1()1()1()1(2)1(21)(+-=+--+-='x x x x x x xx F ， ------4分因.0)(,1>'∴>x F x 故函数),1()(+∞在x F 上是增函数.又1)(=x x F 在处连续，所以，函数),1[)(+∞在x F 上是增函数.1>∴x 时，).11(2)(.0)1()(+->=>x x g x f F x F 即 ------7分（Ⅱ）令=+-=+-='=+-=+-=2322222112)(,).1ln(21)1()(21)(xx x xx x x h k y x x x f x g x h 由.1,1,0,0)(,1)1)(1(2-=='+-+x x h xx x x 则令 ------9分当x 变化时，)(x h '、)(x h 的变化关系如下表：据此可画出)(x h 的简图如下， ------12分 故存在)0,2ln 21(-∈k ，使原方程有4个不同实根. ------14分4．已知函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=.01,03123x e x mx x x f x（1）当0≤x 时，函数()x f 在()()1,1--f 处的切线方程为013=+-y x ，求m 的值；（2）当0>x 时，设()1+x f 的反函数为()x g 1-（()x g 1-的定义域即是()1+x f 的值域）.证明:函数()()x gx x h 131--=在区间()3,e 内无零点，在区间()2,3e 内有且只有一个零点；（3）求函数()x f 的极值.（本小题主要考察分段函数、函数与方程、函数导数、函数的极值、函数图象的切线等知识，考查化归与转化、分类与整合、函数与方程的数学思方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识） 解:（1）当0≤x 时，()2331mx x x f +=，()311-=-m f ， ……1分()mx x x f 22+='，()m f 211-=-'，……2分函数()x f 在()()1,1--f 处的切线方程为:()()12131+-=⎪⎭⎫⎝⎛--x m m y ， ……3分 整理得:()032363=-+--m y x m ，所以有⎩⎨⎧=-=-132163m m ，解得.31=m ……4分(2) 当0>x 时，()x e x f =+1， 所以()()1ln 1>=-x x x g ，……5分()()x g x x h 131--==()1ln 31>-x x x ，()xx xx h 33131-=-='，令0)(>'x h 得3>x ；令0)(<'x h 得31<<x ，令0)(='x h 得3=x ，故知函数)(x h 在区间)3,1(上为减函数，在区间),3(+∞为增函数，在3=x 处取得极小值, 进而可知()x h 在()3,e 上为减函数，在()2,3e 上为增函数，在3=x 处取得极小值.……6分 又 ()023)(,03ln 13,013)(22>-=<-=<-=ee h h e e h .……7分所以，函数()()x gx x h 131--=在区间()3,e 内无零点，在区间()2,3e 有且只有一个零点.……8分(3)当0>x 时，()1-=x e x f 在()+∞,0上单调递增，且()1-=x e x f >0. ……9分 当0≤x 时，()()m x x mx x x f 222+=+='. ①若(),0,02≥='=x x f m 则()331x x f =在(]0,∞-上单调递增,且()0313<=x x f .又()00=f ，()x f ∴在R 上是增函数，无极值. ……10分 ②若0<m ，()()0222>+=+='m x x mx x x f ，则()2331mx x x f +=在(]0,∞-上单调递增.同理,()x f 在R 上是增函数，无极值. ……11分③若0>m ，()(),222m x x mx x x f +=+='令()0='x f ，得0,221=-=x m x .当m x 2-<时， ()0>'x f 当02<<-x m 时， ()0<'x f 所以,()2331mx x x f +=在(]m 2,-∞-上单调递增,在(]0,2m -上单调递减.又()x f 在()+∞,0上单调递增,故()[](),00==f x f 极小()[]()3342m m f x f =-=极大.……13分综上, 当0>m 时,()[](),00==f x f 极小()[]234m x f =极大.当0≤m 时, ()x f 无极值. ……14分5. 如图是函数y =f (x )的导函数y =f ′(x )的图象,则下面判断正确的是A.在区间(－2,1)内f (x )是增函数B.在(1,3)内f (x )是减函数C.在(4,5)内f (x )是增函数D.在x =2时,f (x )取到极小值 分析:本题主要考查函数的单调性、极值、最值与导函数的关系.解:在(－2,1)上,导函数的符号有正有负,所以函数f (x )在这个区间上不是单调函数;同理,函数在(1,3)上也不是单调函数.在x =2的左侧,函数在(－23,2)上是增函数,在x =2的右侧,函数在(2,4)上是减函数,所以在x =2时,f (x )取到极大值;在(4,5)上导数的符号为正,所以函数在这个区间上为增函数.答案:C6．函数a ax x y +-=23在)1,0(内有极小值，则实数a 的取值范围为（ ） A.(0,3) B. )3,(-∞ C. ),0(+∞ D. )23,0(解析： 32,023)('2a x a x x f ±==-=，由题意知只要230,1320<<<<a a 即选D7.（1992全国卷）等差数列{}n a 中，312a =，12130,0S S ><。
导数与函数图像关系
在微积分中，导数是一个至关重要的概念。
它提供了函数在不同点上的斜率或变化率的信息。
函数的图像则是通过绘制函数的曲线来呈现函数的全貌。
本文将探讨导数与函数图像之间的密切关系。
首先，我们来回顾一下导数的定义。
对于一个给定的函数f(x)，在点x处的导数可以通过以下公式计算得到：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h导数的几何解释是函数在该点的切线的斜率。
这意味着如果我们在点(x, f(x))处绘制切线，那么切线的斜率就是导数f'(x)。
根据这个定义，我们可以得出一些与函数图像有关的结论。
首先，导数提供了函数图像的局部信息。
通过计算导数，我们可以了解函数曲线在特定点的陡峭程度。
如果导数为正，那么函数曲线在该点上升；如果导数为负，那么函数曲线在该点下降。
导数的绝对值表示曲线的斜率的大小，即曲线的陡峭程度。
因此，导数可以帮助我们确定函数曲线在特定点的行为。
其次，导数提供了函数图像的全局信息。
通过计算导数，我们可以确定函数曲线在整个定义域内的变化规律。
如果导数始终为正，那么函数曲线将一直上升；如果导数始终为负，那么函数曲线将一直下降。
导数为零的点则表示函数曲线的极值点或拐点。
通过分析函数的导数，我们可以推断函数的整体行为，包括最大值、最小值和凹凸性等。
此外，导数还可以用于绘制函数的图像。
绘制函数的图像是通过连接许多点来得到的。
这样做的问题是，我们只能得到离散的点，而无法得到具体点之间的信息。
然而，通过计算导数，我们可以得到函数在每个点的斜率。
这些斜率可以帮助我们绘制更平滑的曲线，而不是简单地连接离散点。
因此，导数在绘制函数图像时起到了至关重要的作用。
最后，我们要注意到导数并不是函数图像的一切。
有些函数可能在某些点上没有导数，即导数不存在。
例如，函数在某些点上可能有间断或不可导的奇点。
在这种情况下，导数无法提供关于函数图像的任何信息。
因此，在分析函数图像时，我们应该综合考虑导数以及函数的其他特性。
高中数学 考前归纳总结 导数中的图像关系问题
导数中的图像关系问题一、常见基本题型：（1）已知图像交点个数，求参数的取值范围，例1. 已知3x =是函数2()16ln(1)10f x x x x =++-的一个极值点．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若直线y b =与函数()y f x =的图像有三个交点，求b 的取值范围．解：(1) f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)， 2243()1x x f x x-+'=+. 当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，()0f x '>；当x ∈(1,3)时，()0f x '<.∴()f x 的单调增区间是(－1,1)，(3，＋8)；()f x 的单调减区间是(1,3)，（2）由(1)知()f x 在(－1,1)单调增加，在(1,3)单调减小，在(3，＋∞)上单调增加，且当x ＝1，或x ＝3时，f ′(x )＝0，∴f (x )的极大值为f (1)＝16ln2－9，极小值为f (3)＝32ln2－21.∵f (16)＞162－10×16＞16ln2－9＝f (1)， f (e －2－1)＜－32＋11＝－21＜f (3)，∴在f (x )的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)，直线y ＝b 与y ＝f (x )的图像各有一个交点，即f (3)＜b ＜f (1)．∴b 的取值范围为(32ln2－21,16ln2－9).例2.已知函数))(1ln()(2R a x a ax x x f ∈---=（1）当1=a 时，求函数)(x f 的最值；（2）说明是否存在实数)1(≥a a 使)(x f y =的图象与2ln 85+=y 无公共点. 解：（1）函数))(1ln()(2R a x a ax x x f ∈---=的定义域是（1，+∞）当a=1时，1)23(21112)('--=---=x x x x x x f ， 所以)(x f 在)23,1(为减函数，在),23(+∞为增函数，所以函数)(x f 的最小值为2ln 43)23(+=f .（2）1≥a 时，由（1）知)(x f 在（1，+∞）的最小值为2ln 14)22(2a a a a f -+-=+， 令2ln 14)22()(2a a a a f a g -+-=+=在［1，+∞）上单调递减， 所以2ln 43)1()(max +==g a g ，则,081)2ln 85()(max >=+-a g 因此存在实数)1(≥a a 使)(x f 的最小值大于2ln 85+，故存在实数)1(≥a a 使y=)(x f 的图象与y=2ln 85+无公共点.(2)已知图像的位置关系求参数的取值范围例 3.已知二次函数2()(0)h x ax bx c c =++>，其导函数()y h x '=的图象如图所示，()ln ()f x x h x =-．若函数2ln y x x =-, ([1,4])x ∈的图象总在函数()y f x =的图象的上方，求c 的取值范围．解：由题意可知，2x －ln x >x 2－3x －c ＋ln x 在x ∈[1,4]上恒成立，即当x ∈[1,4]时，c >x 2－5x ＋2ln x 恒成立设g (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，x ∈[1,4]，则c >g (x )max .易知()g x '=＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x =(21)(2)x x x--. 令()0g x '=得，x ＝12或x ＝2. 当x ∈(1,2)时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当x ∈(2,4)时，()0g x '>，函数()g x 单调递增．而g (1)＝12－5×1＋2ln 1＝－4，g (4)＝42－5×4＋2ln 4＝－4＋4ln 2，显然g (1)<g (4)，故函数g (x )在[1,4]上的最大值为g (4)＝－4＋4ln 2，故c >－4＋4ln 2. ∴c 的取值范围为(－4＋4ln 2，＋∞)．二、针对性练习1．已知函数21()ln 12f x x x =+-.，求证：在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数 32()3g x x =的图象的下方. 证明：令2312()()()ln 123F x f x g x x x x =-=+-- 则2322112(1)(1)'()2x x x x x F x x x x x x+--++=+-== ∵当1x >时'()0F x <，∴函数()F x 在区间(1,)+∞上为减函数∴12()(1)1023F x F <=--< 即在(1,)+∞上，()()f x g x <∴在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方。
函数与导数的关系总结
函数与导数的关系总结在微积分中，函数和导数是密切相关的概念。
导数是描述函数变化率的工具，它提供了函数在任意点附近的局部信息。
本文将总结函数与导数之间的关系，包括导数的定义、导数与函数图像的关系、导数的性质以及函数与导数的应用等内容。
一、导数的定义函数的导数是指函数在某一点的变化率，用极限来定义。
设函数f(x)在点x0处的导数为f'(x0)，则导数的定义如下：f'(x0) = lim┬(h→0)〖(f(x0+h)-f(x0))/h〗二、导数与函数图像的关系函数的导数能够提供函数图像的许多重要信息。
根据导数的正负和大小，可以分析函数的增减性、极值点和拐点。
具体而言：1. 当导数大于0时，函数递增；2. 当导数小于0时，函数递减；3. 导数为0的点可能是函数的极值点或拐点。
三、导数的性质1. 常数导数性质：若c为常数，则(d/dx)(c) = 0，即常数函数的导数为0；2. 线性运算：若f(x)和g(x)都可导，且k为常数，则(d/dx)(k*f(x)) = k*(d/dx)(f(x))，(d/dx)(f(x)+g(x)) = (d/dx)(f(x))+(d/dx)(g(x))；3. 乘积法则：若f(x)和g(x)都可导，则(d/dx)(f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)；4. 商法则：若f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，则(d/dx)(f(x)/g(x)) =(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/[g(x)]^2。
四、函数与导数的应用函数的导数在实际问题中有许多应用。
以下是几个常见的应用情景：1. 切线与法线：函数在某一点的导数即为该点的切线斜率，通过导数可以求解切线和法线的方程；2. 极值问题：通过导数的符号变化，可以分析函数的极值点；3. 函数图像的绘制：通过导数的信息，可以确定函数图像的变化趋势和关键特征。
函数与导数图象关系问题解析
函数与导数图象关系问题解析在数学中，函数的概念是一个数学模型，通过它来解释实物中的某种变化，是一个客观存在的、抽象的数学概念。
通过某种算法表达，可以把函数表示出以图像形式，这种表示图像就是函数图象。
函数图象有多种表示形式，如折线图、曲线图和平面图等。
此外，由于函数的特性，有些函数的图象可以用极坐标表示，又称极坐标图。
不管用什么方式，函数图象里有两个重要的变量，一是它的函数值，即横坐标和纵坐标，表示函数值与它的参数之间的关系；二是函数的导数值，即曲线上每一点表示它相对于函数参数的变化率，也就是函数图象的斜率。
函数及其导数图象之间有着密切的联系，通过图象可以直观地看出函数及其导数之间的关系。
把函数图象和它的导数图象画在一起，可以更清楚地看出函数及其导数的关系，从而更深入地了解它们之间的关系。
例如，一次函数的图象为一条直线，它的导数的图象是一条平行于它的直线，两条直线的斜率分别为函数的常数和函数的导数，其它高阶函数的图像同理，其曲线的斜率也可以用函数的导数来表示。
一般来说，函数和导数图像之间的关系可以总结为：导数图像是函数图像斜率的图像，函数图像是导数图像反斜率的图像。
因此，不论函数是什么形式，都可以从它的导数来求得，从而知道它的形式。
另外，通过函数图象其导数图象可以推断出函数的最大值、最小值及极值的位置等信息，比如函数的凹凸性、分段处的断点，以及函数的增减性，等等。
也就是说，在研究函数特性时，函数图象和导数图象是分不开的，都是必不可少的。
从以上可以看出，函数及其导数图象之间有着十分密切的关系，只有通过综合分析，才能准确估计函数的参数，才能对函数的性质有更深入的了解。
因此，运用函数及其导数图象解决数学问题，成为数学中一个重要的内容。
综上所述，函数及其导数图象的关系是理解函数的性质和推断函数的参数的重要内容，是数学学习者必须掌握的基本技能。
因此，当学习数学的时候，要多多加强对函数及其导数图象关系的探究，从而更好地理解函数的特性，加深对数学的理解。
导数与函数图像的关系分析
导数与函数图像的关系分析导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
而函数图像则是函数在平面上的可视化展示。
导数与函数图像之间存在着密切的关系，通过对导数与函数图像的分析，我们可以深入理解函数的性质与行为。
一、导数的定义与计算方法导数的定义是函数在某一点的变化率，可以通过极限的概念进行定义。
对于函数f(x)，其在点x处的导数可以表示为f'(x)，即f'(x) = lim Δx→0 (f(x+Δx) - f(x))/Δx。
这个定义可以理解为当Δx趋近于0时，函数在x点附近的变化率。
计算导数的方法有多种，其中最常见的是使用导数的基本公式。
对于常见的函数类型，我们可以通过这些公式来计算导数。
例如，对于多项式函数f(x) = ax^n，其中a为常数，n为整数，其导数为f'(x) = anx^(n-1)。
对于指数函数f(x) = e^x，其导数为f'(x) = e^x。
对于对数函数f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。
二、导数与函数的增减性导数与函数的增减性密切相关。
通过导数的正负可以判断函数在某一点的增减性。
当导数大于0时，函数在该点上是递增的；当导数小于0时，函数在该点上是递减的；当导数等于0时，函数在该点上取得极值。
通过导数与函数的增减性，我们可以推导出函数的极值点和拐点。
当函数的导数从正变为负时，函数在该点上取得极大值；当函数的导数从负变为正时，函数在该点上取得极小值。
而函数的拐点则是导数的变号点，即导数从正变为负或从负变为正的点。
三、导数与函数的凹凸性导数还可以用来判断函数的凹凸性。
通过导数的二阶导数可以判断函数的凹凸性。
二阶导数表示导数的导数，可以表示为f''(x)。
当二阶导数大于0时，函数在该点上是凹的；当二阶导数小于0时，函数在该点上是凸的；当二阶导数等于0时，函数在该点上可能是拐点。
通过导数与函数的凹凸性，我们可以推导出函数的凹凸区间和拐点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（B）
（C）
（D）
14.函数 y f (x) 是函数 y f (x) 的导函数，且函数 y f (x) 在点 P(x0 ，f (x0 )) 处的切线 l 为
y g(x) f (x0)(x x0) f (x0) ，F(x) f (x) g(x) ，如果函数 y y f (x) 在区间[a ，b] 上的图
A．
B．
C．
D．
9.设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数为 f′（x），且函数 y=（1-x）f′（x）的图象如上
右图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数 f（x）有极大值 f（2）和极小值 f（1） 值 f（1） C．函数 f（x）有极大值 f（2）和极小值 f（-2） 值 f（2）
B．函数 f（x）有极大值 f（-2）和极小 D．函数 f（x）有极大值 f（-2）和极小
a
3 ． 设 f (x) 是 函 数 f (x) 的 导 函 数 ， 将 y f (x) 和
y
y f一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
4若 函 数 f（ x） =x2+bx+c 的 图 象 的 顶 点 在 第 四 象 限 ， 则 函 数 f′ （ x） 的 图 象 是 （
导数与函数图像问题
1.函数 y f (x) 的图像如右图,那么导函数 y f , (x) 的图像可能是（ ）
2．函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ，导函数 f (x) 在 (a, b) 内的图象如图所示，则函数 f (x) 在开区间 (a, b)
内有极小值点（ ）
A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
10.函数 y xcos x 的导函数 f (x) 在区间[ ， ] 上的图象大致是（ ）
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
（A）
（B）
（C）
11.设 a b ，函数 y (x a)2(x b) 的图象可能是（ ）
y
y
y
O
x
（D）
y
Oa
b x Oa
b x Oa
b x Oa
bx
（A）
（B）
12.函数 f (x) 2 x sin x(xR) 的部分图象是（
象如图所示，且 a x0 b ，那么（ ）
y f (x)
l : y g(x)
P(x0 ，f (x0 ))
a
O
bx
（A） F(x0) 0，x x0 是 F(x) 的极大值点 （B） F(x0) 0，x x0 是 F(x) 的极小值点 （C） F(x0 ) ≠ 0，x x0 不是 F(x) 的极值点 （D） F(x0 ) ≠ 0，x x0 是 F(x) 的极值点
（C） 0 f / (3) f / (2) f (3) f (2)
（D） 0 f (3) f (2) f / (2) f / (3)
O 1234
x
y
y
（C） ）
y
（D） y
O
x
（A）
O
x
（B）
O
x
（C）
O
x
（D）
13.已知函数 f (x) ax2 bx c(a ，b ，c R) ，若 x 1 为函数 y ex f (x) 的一个极值点，则
下列图象不可能为 y f (x) 的图象是（ ）
y
y
y
y
1
1
Ox
O
x
1 O x
1 O x
（A）
A．
B．
C．
D．
7.若函数 y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数 y=f（x）在区间[a，b] 上的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已 知 函 数 y=xf′（ x）的 图 象 如 上 中 图 所 示（ 其 中 f′（ x）是 函 数 f（ x）的 导 函 数 ），
下面四个图象中 y=f（x）的图象大致是（ ）
15.函数 y x 2sin x 的图象大致是（ ） 2
y
y
4
4
O
2 x
O 2 x
y
4
O
2 x
y
4
O 2 x
（A）
（B）
（C）
（D）
16.． 函数 f (x) 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
（A） 0 f / (2) f / (3) f (3) f (2)
y
（B） 0 f / (3) f (3) f (2) f / (2)
）
A．
B．
C．
D．
5.设 函 数 f（ x） 在 R 上 可 导 ， 其 导 函 数 为 f′ （ x）， 且 函 数 f（ x） 在 x=-2处 取 得 极 小 值，则函数 y=xf′（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
6． 设 函 数 f（ x） =ax2+bx+c（ a， b， c∈ R）， 若 x=-1为 函 数 y=f（ x） ex 的 一 个 极 值 点 ， 则下列图象不可能为 y=f（x）的图象是（ ）