导函数图像与原函数图像关系
导函数与原函数的对照表
导函数与原函数的对照表
导函数与原函数的对照表：
导数（Derivative），也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
导数的求导法则
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即
③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
导数应用易错点分析、归纳
导数应用易错点分析、归纳作者：纪颖伟来源：《成才之路》2009年第05期导数作为高中数学新教材中的新增内容，为解决函数单调性、最(极)值、取值范围等问题提供了新的工具。
但学生在学习导数时，由于对导数基本概念、理论的理解存在着误区，应用时常常出错，下面，对有关的易错点举例加以分析、归纳。
一、忽视了“过某点的切线”与“在某点的切线”的差别例1:求经过点A（-1，4）的曲线y= x3-5 x2+6x的切线方程错解：y'=3x2-10x+6， y'|x=-1=19。
故过点A（-1，4）的曲线的切线方程为y-4=19（x+1）,即19x-y+23=0。
分析：由导数的几何意义知f'（x0）是曲线在点（x0，f（x0））处的切线的斜率，其中点（x0，f（x0））在曲线上，而点A（-1，4）显然不在曲线上，故不正确。
正解：设切点坐标P（x0，y0），则 y0=x03-5x02+6x0 ，则过点p的切线方程为y-y0=（3x02-10x0+6）（x-x0），即y=（3x02-10x0+6）x-2x03+5x02 。
因其经过点A（-1，4），代入上面切线方程，可求得x0 =1，或x0=-，将 x0的值分别代入切线方程，得到三条切线方程：y=-x+3，y=（21-10 ）x+25-10和 y=（21+10 ）x+25+10。
二、误解了“导数为零”与“有极值”的逻辑关系利用导数求极值的算法可为三步：⑴求导数f'（x），⑵求方程f'（x）=0的根，⑶检验f'（x）在方程f'（x）=0的根的左右两边的符号，确定极值。
例2：函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a、b值。
错解：f'（x）=3x2+2ax+b，由题意知：f'（1）=0 且 f（1）=10，即2a+b+3=0且a2+a+b+1=10，解之得a=4，b=-11 或a=-3，b=3。
原函数和导函数的关系
课题：探究原函数与导函数的关系首师大附中 数学组 王建华设计思路这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的根底上展开教学的。
由于这局部容课本上没有，但数学部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。
备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上顶峰体会一览众山小的乐趣和成就感。
教师实际上是在引导学生进展一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，慎重地修改条件，步步逼近真理。
最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。
对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。
整个教学流程1. 从经历观察发现，猜测得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比拟容易上手。
2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。
证明的思路也要逆向思考。
发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y 轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。
3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶函数的性质拓展为关于直线x a =对称，研究前面的四个命题还是否成立。
研究方法可以类比迁移前面的方法。
能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。
4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。
教学目标在这个探究过程中1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解；2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力；3体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。
4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。
教学重点以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜测、区分真伪的过程。
导数 和 原函数
导数和原函数导数和原函数是微积分中两个重要的概念。
导数是函数在某一点的变化率，而原函数则是导数的逆运算。
在本文中，我们将探讨导数和原函数的概念及其在数学和实际问题中的应用。
我们来介绍导数的概念。
导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率。
具体来说，对于给定的函数f(x)，其导数f'(x)表示函数在点x 处的斜率。
导数可以帮助我们研究函数的增减性、极值点以及函数的凹凸性等性质。
导数的计算方法有很多种，其中最常用的是求导法则，包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等等。
这些法则可以帮助我们在不同的函数情况下计算导数，从而研究函数的性质。
通过导数，我们可以求得函数的最大值、最小值以及函数的拐点等重要信息。
接下来，我们来介绍原函数的概念。
原函数是导数的逆运算，也被称为不定积分。
给定一个函数f(x)，如果它的导数是F'(x)，那么F(x)就是f(x)的原函数。
原函数的计算方法叫做积分，常用的积分法则包括不定积分法则、换元积分法、分部积分法等。
原函数在实际问题中有着广泛的应用。
例如，通过对速度函数的积分，我们可以得到位移函数；通过对密度函数的积分，我们可以得到质量函数；通过对变化率函数的积分，我们可以得到总量函数。
原函数在求解面积、体积、质量、功等问题时都发挥了重要的作用。
在数学中，导数和原函数有着密切的关系。
根据微积分的基本定理，如果一个函数在某区间内连续且可导，那么它的原函数一定存在。
也就是说，导数和原函数是一一对应的关系。
这一定理为我们在计算导数和原函数时提供了理论保证。
导数和原函数的概念在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
它们不仅帮助我们研究函数的性质，还可以用来解决各种实际问题。
比如，在经济学中，导数可以帮助我们研究供需关系、成本函数等问题；在物理学中，导数可以帮助我们研究速度、加速度等物理量的变化规律。
导数和原函数是微积分中两个重要的概念。
导数表示函数在某一点的变化率，而原函数则是导数的逆运算。
高中数学导数知识点归纳总结
范围是（ ）
A．
3 2e
,1
B．
3 2e
,
3 4
【解析】方法一：分离函数---数形结合法
C．
3 2e
,
3 4
D．
3 2e
,1
-7-
巧辨“任意性问题”与“存在性问题” 一．方法综述
注意：当 x=x0 时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0 不能得到当 x=x0 时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
题型一、求极值与最值
题型二、导数的极值与最值的应用
题型四、导数图象与原函数图象关系
导函数
原函数
f '(x) 的符号
f (x) 单调性
f '(x) 与 x 轴的交点且交点两侧异号
（2）分离参数：将含参不等式转化为转化为 f (x) a; f (x) a ，进而研究直线 y a与y f (x) 图像位
置关系，寻找临界状态，求参数的范围。
（3）分离函数：通过变形将不等式转化为形如（ f (x) 或 g(x); f (x) 或 g(x) 的形式，参数通常
在直线形式的函数里），进而研究两个函数图像的位置关系，寻找临界状态，求解参数的范围。 （4）特殊点法：根据图形从特殊点的值入手求参数范围。 【典例分析】
(3)下结论
① f '(x) 0 f (x) 该区间内为增函数； ② f '(x) 0 f (x) 该区间内为减函数；
题型二、利用导数求单调区间
求函数 y f (x) 单调区间的步骤为： （1）分析 y f (x) 的定义域； （2）求导数 y f (x) （3）解不等式 f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式 f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为减区间
函数与原函数的关系
函数与原函数的关系
一个函数与它的原函数之间存在一种特殊的关系。
如果一个函数 f(x) 在某个区间内连续，且在该区间内存在一个函数 F(x)，使得 F'(x) = f(x)，那么 F(x) 称为 f(x) 的原函数，同时也可以表示为F(x) = ∫f(x)dx。
原函数与函数之间具有以下性质：
1. 不同常数的原函数是原函数的一般形式，因为原函数的导数具有多项式的可加性质，即 (f+g)' = f'+g'。
2. 函数 f(x) 和它的原函数 F(x) 的图像关于直线 y=x 对称。
3. 函数 f(x) 在某个区间内连续，则它在该区间内存在无穷多个原函数，它们互相区别只是一个常数。
4. 如果函数 f(x) 在某个区间内连续，且有一个原函数 F(x)，那么它在该区间内的任何一个不同的原函数都能写成 F(x) + C 的形式，其中 C 是任意常数。
原函数与导函数的奇偶关系证明
原函数与导函数的奇偶关系证明原函数与导函数的奇偶关系是微积分中一个重要的概念。
在研究函数的性质时，我们常常需要分析函数及其导函数的奇偶性。
通过研究函数的奇偶性，我们可以得到函数在坐标系中的对称关系，从而更好地理解函数的行为。
我们来回顾一下奇函数和偶函数的定义。
一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x)=-f(x)成立。
换句话说，奇函数在原点对称。
例如，函数f(x)=x^3就是一个奇函数。
因为f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)。
另一方面，一个函数被称为偶函数，当且仅当对于任意的x，有f(-x)=f(x)成立。
换句话说，偶函数在y轴对称。
例如，函数f(x)=x^2就是一个偶函数。
因为f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)。
现在，让我们来研究原函数和导函数之间的奇偶关系。
假设f(x)是一个函数，F(x)是它的原函数，即F'(x)=f(x)。
我们可以推导出以下结论：1. 如果f(x)是奇函数，那么F(x)是偶函数。
这是因为由于f(x)是奇函数，我们有f(-x)=-f(x)。
然后，根据原函数和导函数的关系，我们可以得到F'(-x)=-f(-x)=-(-f(x))=f(x)，即F'(-x)=f(x)。
这意味着F(x)在y 轴对称，即F(x)是偶函数。
2. 如果f(x)是偶函数，那么F(x)是奇函数。
这是因为由于f(x)是偶函数，我们有f(-x)=f(x)。
然后，根据原函数和导函数的关系，我们可以得到F'(-x)=f(-x)=f(x)，即F'(-x)=f(x)。
这意味着F(x)在原点对称，即F(x)是奇函数。
通过这样的推导，我们可以看到原函数和导函数的奇偶关系。
这个关系告诉我们，如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数，我们可以推断出它的原函数是什么奇偶性。
这对于研究函数的性质和行为非常有用。
举例来说，我们考虑函数f(x)=sin(x)。
我们知道sin(x)是一个奇函数，因为sin(-x)=-sin(x)。
导函数连续和原函数在某一邻域内可导的关系
导函数连续和原函数在某一邻域内可导的关系导函数和原函数之间是密不可分的，在微积分中发挥着极为重要的作用。
在研究函数性质时，我们需要研究导函数和原函数之间的关系。
其中，导函数连续和原函数在某一邻域内可导的关系更是我们需要掌握的重要内容。
一、导函数与原函数在微积分中，关于函数的导数是十分重要的一个概念。
对于函数$f(x)$，若其在$x$处可导，则称其在该点的导数为$f'(x)$。
其中，导数为一种变化率，表示函数在某一点处的变化速率。
我们可以将函数的导数称之为原函数的导函数，它是函数变化率的一种衡量方式。
同时，我们可以通过对原函数进行求导，得到其导函数。
对于一个函数$f(x)$，其原函数可以记为$F(x)$。
原函数表示在$x$取某一值时，函数的值所组成的新函数。
尤其是对于导函数而言，其原函数就是原来的那个函数。
二、导函数连续的概念若一个函数在其定义域内某点的左、右导数均存在且相等，则称其在该点处导函数连续。
如果一个函数的导函数在某一邻域内存在，那么我们就可以称该函数在该邻域内可导。
因此，如果以上的两个条件均满足，即函数在某一点处的导函数连续，并且该函数在该点的某一邻域内可导，则我们可以得出结论，该函数在该点处是可导的。
由于导函数是原函数的一种形式，所以我们可以通过导函数的连续性来了解其原函数的可导性。
也就是说，如果一个函数在某一点处的导函数连续，那么该函数在该点处的原函数也是可导的。
需要注意的是，定义导函数时，我们并没有要求函数在某一邻域内是连续的。
因此，在判断原函数的可导性时，我们需要首先判断该函数在某一邻域内是否连续。
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导函数图像类型题
类型一：已知原函数图像，判断导函数图像。
1. （福建卷11）如果函数)(x f y =的图象如右图，那么导函数的图象可能是
( )
2. 设函数f (x )在定义域内可导，y=f (x )的图象如下左图所示，则导函数y=f (x )的图象可能
为( )
3. 函数的图像如下右图所示，则的图像可能是 （ ）
4. 若函数2
()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则其导函数'()f x 的图象是（ ）
类型二：已知导函数图像，判断原函数图像。
5. (2007年广东佛山)设)(x f '是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的图
象如右图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ ）
O 1 2 x
y x y
y
O 1 2
y O
1 2 x
O 1
2
x
C
D
O
1 2 x
y
6. (2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已
知函数的导函数的图象如右图，则的图象可能是( )
7. 函数的定义域为开区间3(,3)2-
，导函数在3
(,3)2
-内的图象如图所示，则函数的单调增区间是_____________
类型三：利用导数的几何意义判断图像。
8. （2009湖南卷文）若函数的导函数．．．
在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9.若函数)('
x f y =在区间),(21x x 内是单调递减函数，则函数)(x f y =在区间),(21x x 内的图像可以是（ ）
y y y
)(x f y '=
A B C D
10.（选做）已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 （ ）
类型四：根据实际问题判断图像。
9. （2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一容器的三视图，现向容器
中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是（ ）
10.如图，直线l 和圆c ，当l 从0l 开始在平面上绕点o 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过︒
90）时，它扫过的园内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是（ ）
11.如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.
10. 已知函数的导函数的图像如下，则（ ）
函数有1个极大值点，1个极小值点
函数有2个极大值点，2个极小值点 函数有3个极大值点，1个极小值点 函数有1个极大值点，3个极小值点
x
y 1x x 4
O
2x 3x ••••
11. (2008珠海质检理)函数)(x f 的定义域为),(b a ，其导函数),()(b a x f 在'内的图象如图所示，
则函数)(x f 在区间),(b a 内极小值点的个数是（ ）
(A).1 (B).2 (C).3 (D).4
12. 已知函数3
2
()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点
(1,0)，(2,0)，如图所示.求： （Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）,,a b c 的值.
13. 函数()y f x =在定义域3
(,3)2
-
内可导，其图象如图，记()y f x =的导函数为/()y f x =，则不等式/
()0f x ≤的解集为_____________
14. 如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为_____ _
15. 【湛江市·文】函数2
2
1ln )(x x x f -=的图象大致是
A ．
C ．
D ．
16. 【珠海·文】如图是二次函数a bx x x f +-=2
)(的部分图象，则函数)(ln )(x f x x g '+=的
零点所在的区间是 （ ）
A.)21,41(
B.)1,21(
C.)2,1(
D.)3,2(
()
)3,+∞ C。