导数与函数图像
高中数学导数与函数图像的关系分析与讲解
高中数学导数与函数图像的关系分析与讲解在高中数学中，导数与函数图像是密不可分的。
导数是函数在某一点上的变化率，而函数图像则是函数在整个定义域上的变化规律的图形表示。
理解导数与函数图像之间的关系对于学习和应用数学知识都具有重要意义。
本文将通过具体的题目举例，分析导数与函数图像的关系，并给出解题技巧和使用指导。
一、导数与函数图像的关系导数与函数图像之间有着密切的联系。
函数的导数可以帮助我们确定函数图像的特征，如函数的增减性、极值点、拐点等。
下面通过几个具体的题目来说明导数与函数图像的关系。
例题1：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求函数在$x=1$处的导数。
解析：首先我们需要求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。
根据导函数的定义，我们可以得到$f'(x)=3x^2-6x+2$。
然后，我们将$x=1$代入导函数中，得到$f'(1)=3(1)^2-6(1)+2=-1$。
这个结果告诉我们，在$x=1$处，函数$f(x)$的导数为-1。
通过这个例题，我们可以看出，函数$f(x)$在$x=1$处的导数为-1。
这意味着函数$f(x)$在$x=1$处的斜率为-1，即函数图像在该点的切线的斜率为-1。
这个信息可以帮助我们更好地理解函数图像的特征。
例题2：已知函数$g(x)=x^2-2x$，求函数$g(x)$的极值点。
解析：为了求函数$g(x)$的极值点，我们需要先求出函数$g(x)$的导函数$g'(x)$。
根据导函数的定义，我们可以得到$g'(x)=2x-2$。
然后，我们令$g'(x)=0$，得到$2x-2=0$，解得$x=1$。
这意味着函数$g(x)$的导数在$x=1$处为0，即函数图像在该点的切线的斜率为0。
通过这个例题，我们可以看出，函数$g(x)$的极值点出现在$x=1$处。
这个点处的切线斜率为0，意味着函数图像在该点处有一个极值。
这个极值可以是最大值或最小值，需要通过进一步的分析来确定。
函数单调性与导数
v v（t)=h′(t) b o a t o
a
b
t
y Y′=1 o
y
o
y=x
x
x
y′=2 y o
X
y o
y=x
2
x
x
在某个区间(a, b)内,
f '( x ) 0
f ( x)在(a, b)内单调递增
f '( x ) 0 f ( x )在(a, b)内单调递减
2 2
时，
函数单调递增；
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ; 当 f (x) <0，
y
即 1 17 1 17 时， x 2 2 函数单调递减； 图象见右图。
o
x
1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
利用导数的符号来判断函数单调性:
设函数 y＝f(x)在某个区间内可导 （1） 如果 f '(x)＞0 ，则 f(x)为增函数； （2） 如果 f '(x)＜0 ，则 f(x)为减函数．
若某个区间内恒有 f '(x)＝0，则 f (x)为常数函 数．
例1、已知导函数 f '( x) 的下列信息：
f 当1<x<4时， '( x) >0; f 当x>4,或x<1时， '( x) <0; f 当x=4,或x=1时， '( x) =0.则函数f(x)图象的大致 形状是( D ）。
注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它 必是定义域内的某个区间。
函数的单调性与导数-图课件
单调减函数的性质
03
04
05
函数图像从左至右下降 。
若$f(x)$在区间$I$上单 调递减，且$a, b in I$， 且$a < b$，则有$f(a) geq f(b)$。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减，则其反函 数在相应的区间上单调 递增。
单调性与导数的关系
01
导数与单调性的关系
如果函数在某区间的导数大于0，则该函数在此区间单调递增；如果导
数小于0，则函数在此区间单调递减。
02
导数不存在的点
对于使导数不存在的点，需要单独判断其单调性。
03
高阶导数与单调性的关系
高阶导数的符号可以提供关于函数单调性更精细的信息。例如，二阶导
数大于0表示函数在相应点处有拐点，即由单调递增变为单调递减或反
之。
02 导数在判断函数单调性中 的应用
导数大于0与函数单调性的关系
定义法判断单调性
• 定义法判断单调性是指通过比较函数在某区间内任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2)，来判断函数在该区间内的单调性。 如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数在该区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数在该 区间内单调递减。
03 导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益等，帮助企业做出更好的经济
决策。
最优化问题
导数可以用来解决最优化问题，例 如最大利润、最小成本等，为企业 提供最优的资源配置方案。
需求弹性
导数可以用来分析需求弹性，例如 价格敏感度、需求变化等，帮助企 业制定更加精准的市场策略。
考研高等数学常用公式以及函数图像
考研高等数学常用公式及函数图象导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：函数 角A sincos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinαctgαtgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α si nα-cosα -tgα-ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
函数与导数的关系总结
函数与导数的关系总结在微积分中，函数和导数是密切相关的概念。
导数是描述函数变化率的工具，它提供了函数在任意点附近的局部信息。
本文将总结函数与导数之间的关系，包括导数的定义、导数与函数图像的关系、导数的性质以及函数与导数的应用等内容。
一、导数的定义函数的导数是指函数在某一点的变化率，用极限来定义。
设函数f(x)在点x0处的导数为f'(x0)，则导数的定义如下：f'(x0) = lim┬(h→0)〖(f(x0+h)-f(x0))/h〗二、导数与函数图像的关系函数的导数能够提供函数图像的许多重要信息。
根据导数的正负和大小，可以分析函数的增减性、极值点和拐点。
具体而言：1. 当导数大于0时，函数递增；2. 当导数小于0时，函数递减；3. 导数为0的点可能是函数的极值点或拐点。
三、导数的性质1. 常数导数性质：若c为常数，则(d/dx)(c) = 0，即常数函数的导数为0；2. 线性运算：若f(x)和g(x)都可导，且k为常数，则(d/dx)(k*f(x)) = k*(d/dx)(f(x))，(d/dx)(f(x)+g(x)) = (d/dx)(f(x))+(d/dx)(g(x))；3. 乘积法则：若f(x)和g(x)都可导，则(d/dx)(f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)；4. 商法则：若f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，则(d/dx)(f(x)/g(x)) =(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/[g(x)]^2。
四、函数与导数的应用函数的导数在实际问题中有许多应用。
以下是几个常见的应用情景：1. 切线与法线：函数在某一点的导数即为该点的切线斜率，通过导数可以求解切线和法线的方程；2. 极值问题：通过导数的符号变化，可以分析函数的极值点；3. 函数图像的绘制：通过导数的信息，可以确定函数图像的变化趋势和关键特征。
导数与函数图像的关系分析
导数与函数图像的关系分析导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
而函数图像则是函数在平面上的可视化展示。
导数与函数图像之间存在着密切的关系，通过对导数与函数图像的分析，我们可以深入理解函数的性质与行为。
一、导数的定义与计算方法导数的定义是函数在某一点的变化率，可以通过极限的概念进行定义。
对于函数f(x)，其在点x处的导数可以表示为f'(x)，即f'(x) = lim Δx→0 (f(x+Δx) - f(x))/Δx。
这个定义可以理解为当Δx趋近于0时，函数在x点附近的变化率。
计算导数的方法有多种，其中最常见的是使用导数的基本公式。
对于常见的函数类型，我们可以通过这些公式来计算导数。
例如，对于多项式函数f(x) = ax^n，其中a为常数，n为整数，其导数为f'(x) = anx^(n-1)。
对于指数函数f(x) = e^x，其导数为f'(x) = e^x。
对于对数函数f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。
二、导数与函数的增减性导数与函数的增减性密切相关。
通过导数的正负可以判断函数在某一点的增减性。
当导数大于0时，函数在该点上是递增的；当导数小于0时，函数在该点上是递减的；当导数等于0时，函数在该点上取得极值。
通过导数与函数的增减性，我们可以推导出函数的极值点和拐点。
当函数的导数从正变为负时，函数在该点上取得极大值；当函数的导数从负变为正时，函数在该点上取得极小值。
而函数的拐点则是导数的变号点，即导数从正变为负或从负变为正的点。
三、导数与函数的凹凸性导数还可以用来判断函数的凹凸性。
通过导数的二阶导数可以判断函数的凹凸性。
二阶导数表示导数的导数，可以表示为f''(x)。
当二阶导数大于0时，函数在该点上是凹的；当二阶导数小于0时，函数在该点上是凸的；当二阶导数等于0时，函数在该点上可能是拐点。
通过导数与函数的凹凸性，我们可以推导出函数的凹凸区间和拐点。
导数的几何意义ppt
导数的物理意义
80%
速度
导数可以用来描述物理量随时间 的变化速率，例如速度是位移对 时间的导数。
100%
斜率
在物理量中，导数可以表示斜率 ，例如加速度是速度对时间的导 数。
80%
变化率
导数可以用来描述物理量的变化 率，例如电流强度是电荷对时间 的导数。
02
导数与切线斜率
切线的定义
பைடு நூலகம்01
切线是过曲线上某一点的直线， 该点称为切点。
导数在经济问题中的应用
边际分析与决策
导数可以用来描述边际成本、边际收益和边际利润等概念，帮助 企业做出最优的决策。
供需关系
导数可以用来分析市场的供需关系，例如通过分析需求函数和供给 函数的导数，可以了解市场均衡点的变化趋势。
经济增长与人口变化
导数可以用来描述经济增长和人口变化的趋势，例如通过分析GDP 和人口增长率的导数，可以了解经济和人口的发展趋势。
04
导数在实际问题中的应用
导数在物理问题中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体运动的速度和加速度，通过分析导 数可以了解物体的运动状态和变化趋势。
斜率与曲线
导数可以用来描述曲线的斜率，例如在分析弹性、阻力和 引力等物理现象时，导数可以帮助我们理解物体在曲线上 的运动状态。
能量与功率
在物理中，导数可以用来描述能量和功率的变化，例如在 分析电路、热传导和流体动力学等问题时，导数可以帮助 我们建立数学模型并求解。
导数与函数极值
总结词
导数可以用来确定函数的极值点。
详细描述
函数的极值点出现在导数为零或变号的点上。在极值点处，函数值可能达到最大或最小。因此，通过求函数的导 数并找到导数为零的点，可以确定函数的极值点。
高中数学导数图像题解题技巧
高中数学导数图像题解题技巧导数是高中数学中的重要概念，它在解析几何和微积分中起着关键作用。
在解析几何中，我们常常需要根据函数的导数来绘制函数的图像。
因此，对于高中学生来说，掌握解题技巧是非常重要的。
一、基本概念回顾在开始解题之前，我们先来回顾一下导数的基本概念。
对于函数y=f(x)，其导数可以表示为f'(x)，也可以表示为dy/dx。
导数表示了函数在某一点上的变化率，即函数曲线在该点的切线斜率。
二、图像题的解题步骤解决导数图像题的关键是理解函数的导数与函数图像之间的关系。
下面，我将介绍一些解题技巧，帮助你更好地理解和解决这类问题。
1. 寻找函数的驻点驻点是函数图像上的极值点和拐点。
在解题时，我们首先需要找到函数的驻点。
对于给定的函数，我们可以通过求导数来找到它的驻点。
例如，考虑函数y=x^3-3x^2。
我们可以求出它的导数为y'=3x^2-6x。
将导数等于零，我们可以解得x=0和x=2。
这两个点就是函数的驻点。
2. 确定函数的增减性和凹凸性在求得函数的驻点后，我们可以通过导数的正负来确定函数的增减性和凹凸性。
当导数大于零时，函数是递增的；当导数小于零时，函数是递减的。
当导数的变号点就是函数的极值点。
例如，对于上面的函数y=x^3-3x^2，我们可以通过导数的正负来确定函数的增减性。
当x小于0时，导数为负，函数递减；当x在0和2之间时，导数为正，函数递增；当x大于2时，导数为正，函数递增。
因此，我们可以得到函数的增减性为递减-递增-递增。
3. 绘制函数的图像通过上面的步骤，我们已经确定了函数的驻点、增减性和凹凸性。
现在，我们可以根据这些信息来绘制函数的图像。
例如，对于函数y=x^3-3x^2，我们可以知道它的驻点为x=0和x=2，增减性为递减-递增-递增。
根据这些信息，我们可以绘制出函数的图像，如下图所示。
（插入图像）三、举一反三通过上面的例子，我们可以看到解决导数图像题的关键是理解函数的导数与函数图像之间的关系。
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导数与函数图像问题
1.函数()y f x =的图像如右图,那么导函数,()y f x =的图像可能是（ ）
2．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f ' 在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）
A. 1个
B.2个
C.3个
D.4个
3．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和
()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
4若函数f （x ）=x 2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x ）的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5.设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为f′（x ），且函数f （x ）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′（x ）的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
a
b
x
y
)
(x f y ?=O
6．设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=-1为函数y=f（x）e x的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（）
A．B．C．D．
7.若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）
A．B．C．D．
8．已知函数y=xf′（x）的图象如上中图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（）
A．B．C．D．
9.设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1-x）f′（x）的图象如上
右图所示，则下列结论中一定成立的是（）
A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B．函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（1）
C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（-2）D．函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（2）
（A ）
（B ） （C ） （D ）
（A ）
（B ） （C ） （D ）
10.函数cos y x x =的导函数()f x '在区间[]ππ-，上的图象大致是（ ）
11.设a b <，函数2()()y x a x b =--的图象可能是（ ）
12.函数2
()sin ()f x x x x π
=-∈R 的部分图象是（ ）
13.已知函数2()()f x ax bx c a b c =++∈R ，
，，若1x =-为函数()x y e f x =的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是（ ）
14.函数()y f x '=是函数()y f x =的导函数，且函数()y f x =在点00(())P x f x ，处的切线l 为 000()()()()y g x f x x x f x '==-+，()()()F x f x g x =-，象如图所示，且0a x b <<，那么（ ）
（A ）
（B ）
（C ）
（
D ）
（B ）
（C ） （D ）
（C）（D）（A）
00
()0
F x x x
'==
，是()
F x的极大值点
（B）
00
()0
F x x x
'==
，是()
F x的极小值点
（C）
00
()0
F x x x
'=
≠，不是()
F x的极值点
（D）
00
()0
F x x x
'=
≠，是()
F x的极值点
15.函数2sin
2
x
y x
=-的图象大致是（）
16.．函数)
(x
f的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）
（A）)2(
)3(
)3(
)2(
0/
/f
f
f
f-
<
<
<
（B）)2(
)2(
)3(
)3(
0/
/f
f
f
f<
-
<
<
（C）)2(
)3(
)2(
)3(
0/
/f
f
f
f-
<
<
<
（D）)3(
)2(
)2(
)3(
0/
/f
f
f
f<
<
-
<O 1 2 3 4 x。