百校大联考2020届高三4月月考数学(理)试题302C(扫描版,无答案)
2024月考数学试卷答案
高2023级2024年春3月月考数学答案1-8ADAC CAAB 9.BC10.BC 11AD 12BCD 13.6-14.15.636516.112⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦17.(1)111123a b -+ （2）12121212236234812186AD AB BC CD e e e e e e e e AB =++=++++-=+= ，所以//AD AB ，又因为,AD AB 有公共起点A ，故A ，B ，D 三点共线.19（1）由图象可知，4022A ==，22B ==，设()f x 最小正周期为T ，12π5πππ441264T ω=⨯=-=，∴2ω=，∴()()2sin 22f x x ϕ=++，又∵ππ2sin 22466f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π2ϕ<，∴ππ22π62k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，∴π6ϕ=，∴函数()f x 的解析式为()π2sin 226f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2662x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，π1sin 2162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，21【解析】（1）因为1tan7β=，所以222222cos2sin sin coscos2sin sin cossin cosββββββββββ-+-+=+2212tan tan27tan125βββ-+==+．（2）因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0παβ<+<，又因为cos()αβ+π2αβ<+<，sin()αβ+=所以1tan()2αβ+=，又1tan7β=，所以由tan tan1tan()1tan tan2αβαβαβ++==-，解得1tan3α=，所以11tan()tan23tan(2)tan[()]111tan()tan16αβααβαβααβα++++=++===-+-，又π2αβ<+<，π2α<<，故02παβ<+<，∵ABC为等边三角形，∴2BC=，即函数的周期4T=，∴2ππ2Tω==，∴π1ππ(),2326f x x f x xϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵0πϕ<<，∴ππ7π666ϕ<+<，又13f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，∴ππ62ϕ+=，∴π3ϕ=，∴ππ()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）21π21ππsin cos π32π332f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵2213sin 4π3x f x m ⎛⎫-⋅+≤- ⎪⎝⎭对任意x ∈R 恒成立，∴23sin 4x x m -≤-，即23cos 3cos 10x m x m +-+≥对任意x ∈R 恒成立，令cos ,[1,1]x t t =∈-，即23310t mt m +-+≥在[1,1]t ∈-上恒成立．设2()331h t t mt m =+-+，对称轴2m t =-，当12m -≤-时，即2m ≥时，min ()(1)440h t h m =-=-+≥，解得1m £（舍）；当12m -≥时，即2m ≤-时，min ()(1)240h t h m ==+≥，解得2m ≥-，∴2m =-；当112m -<-<时，即22m -<<时，2min 3()1024m h t h m m ⎛⎫=-=--+≥ ⎪⎝⎭，解得223m -<≤．综上，实数m 的取值范围为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。
数学丨金太阳百校联考(25-71C)江苏省2025届高三10月联考数学试卷及答案
积最大， 扇形的圆心角应设计为_ 弧度.
14. 函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数， 人们习惯称其为“取整函
数”,例如： [-35]=-4, [2.1]=2,若 [×[N]]=10,则x的取值范围为_ .
2
江苏省 2024-2025 学年高三上学期 10月百校联考数学
一、 单选题
1.设全集 U=R, 集合A={x1<x<4), 集 合B={x|x<0或x>2}, 则集 合AU(0B)= ( )
A. (1,2)
B. (1,2)
C. (0.4)
D. (0.4)
2.设复数=满 足 =|2+ i+2i (i为 虚数单位), 则=的虚部为 ( )
A.
B.
C.
D.
7. 对 于任意的x>0, y>0,
恒成立，则 m的最大值为 ( )
a.
B. -1
C. 1
D. 3
8- 已知函数 ()的定义城为 R, ( )-1 . (38+)为偶函数， 且函数
)的图
象关于点(1.1)对称， 则 A. 4048 B. 4049
C. 4051
D. 4054
1
二、 多选 题
A. f(x,x )=0 ₁
B. x +x;< 0 C. x₁+f(x;)> 1 D. x₂+f(x;)>1
三、 填 空题
12. 已知S,为等差数列{a.)的前n项和，若 a₁=6, S₂=20, 则S₀的值为_ .
13. 某超市要搭建一个底面为扇形的柱体展台 (如图),用一张矩形的石墨烯显
山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题(解析版)
山东名校考试联盟2024年10月高三年级阶段性检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3全卷满分150分．考试用时120分钟．．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知()(){}23230,02x A x x x B x x +=∈−−==∈≤ − Q R∣，则A B = （ ）A. {}2B. {C. {}2D. ∅【答案】D 【解析】【分析】解方程与不等式求得集合,A B ，进而可求A B ∩.【详解】由2(2)(3)0x x −−=，可得2x =或x =，又Q x ∈，所以2x =，所以{2}A =；由302x x +≤−，可得(3)(2)020x x x +−≤ −≠，解得32x −≤<，所以{|32}Bx x =−≤<， 所以{2}{|32}A B x x =−≤<=∅ . 故选：D.2. 幂函数()23f x x =的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用函数奇偶性的判定方法，得到函数()f x 为偶函数，再由幂函数的性质，结合选项，即可求解.【详解】由函数()23f x x ==，可得函数的定义域为R ，关于原点对称，且()()f x f x −===，所以函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，又由幂函数的性质得，当0x ≥时，函数()f x 单调递增， 结合选项，选项B 符合题意. 故选：B.3. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ ，空气的温度是0C θ，那么min t 后物体的温度θ（单位：C ）可由公式)01010ktθθθθ−=+−⋅求得，其中k 是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有65C 的物体，放到15C 的空气中冷却，1min 后物体的温度是35C ，已知lg20.3≈，则k 的值大约为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出等式()3515651510k−=+−⋅，化简后即可求解.【详解】由题意知015C θ= ，165C θ=， 代入公式()01010ktθθθθ−=+−⋅，可得()3515651510k−=+−⋅，则2105k−=，两边同时取对数得2lg10lg 5k−=， 即lg2lg 50.30.70.4k −=−≈−=−，则0.4k =，故C 正确. 是故选：C.4. 如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5m 长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为1m 的正方形，已知该组合体的体积为32m 3，则其表面积为（ ）A. (22m +B. (23m +C. (22m +D. (23m +【答案】B 【解析】【分析】由题意先利用棱锥体积公式求出正四棱锥的高，然后再求出其斜面上的高，即可求解. 【详解】由题意知该组合体由长方体和正四棱锥组成，且该组合体的体积为32m 3， 长方体的体积为31110.5m 2××=，则正四棱锥体积为3211m 326−=， 所以正四棱锥的高为1316m 112×=×，2112×， 所以组合体的表面积为()(210.541143m ××+×=+，故B 正确.故选：B.5. 若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根，则1221x x x x +的最小值为（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】【分析】由题意及韦达定理可得122x x m +=+，12x x m =，从而得()2221212211222m mx x x x x x x x m+−++==，再结合基本不等式即可求解.【详解】由若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根， 所以122x x m +=+，12x x m =，则mm >0所以()()222212121212211212222x x x x m mx x x x x x x x x x m+−+−++===2244226m m m m m ++==++≥+=，当且仅当2m =时取等号，故C 正确. 故选：C.6. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且21nn S n T =+，则35=a b （ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】C 【解析】【分析】分别设出为n S 和n T 的二次形式，由此求得35,a b ，即可化简后得到结果. 【详解】由等差数列{aa nn }和等比数列{bb nn }的前n 项和分别为n S 和n T ，所以可设()21n S kn n =+，n T kn =，0k ≠， 所以可得33255421101154a S S k k b T T k k−−===−−，故C 正确. 故选：C.7. 若2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),1∞−− B. (),1−∞C. ()1,−+∞D. ()1,+∞【答案】A 【解析】【分析】求导，利用导数，分0a =，0a >，0a <三种情况讨论可求实数a 的取值范围.【详解】由()222exax x f x +−=，可得()222(22)e (22)e (22)4(2)(2)(e e e)x x x x xax ax x ax a x ax x f x +−+−−+−+−−−′===， 若0a =，当2x <时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意，若0a ≠时，令()0f x ′=，可得(2)(2)0ax x −−−=，可得2x =或2x a=−， 若0a >时，则20a−<，当22x a −<<时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意， 若0a <时，则20a−>，由二次函数的(2)(2)y ax x =−−−图象可知， 要使2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点， 需22a−<，解得1a <−， 所以实数a 的取值范围是(,1)∞−−. 故选：A.8. 已知函数()()6sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A. 3,32B. 3,32C. 93,2D. 93,2【答案】D 【解析】【分析】化简得23()sin 24f x x ω=−，由题意可得2π2π3π3ω<≤，求解即可. 详解】()()()66224224sin cos 1sin cos sin sin ?cos cos 1f x x x x x x x x x ωωωωωωωω=+−=+−+−()242242222sin sin ?cos cos 1sin cos 3sin ?cos 1x x x x x x x x ωωωωωωωω−+−=+−−22222313sin cos 13sin cos sin 24x x x x x ωωωωω=−−=−=− ，因为π0,3x ∈，2π20,3x ωω ∈ ， 【由函数()()66sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，可得2π2π3π3ω<≤，解得932ω<≤，所以ω的取值范围是9(3,]2.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若3n n S a n =+，则（ ） A. 112a =B. 数列{}1n a −为等比数列C. 312nn a =−D. 3332nn S n =−⋅+【答案】BCD 【解析】【分析】当1n =时，1131S a =+，解得112a =−；根据3n n S a n =+，可得当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−，从而得13122n n a a −=−，即()13112n n a a −−=−；根据B 可求得312nn a−=−；从而可求出333?2nn S n =−+.【详解】A ：当1n =时，1131S a =+，解得112a =−，故A 错误； B ：因为3n n S a n =+，当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−， 将两式相减可得1331n n n a a a −=−+，即13122n n a a −=−， 则()13112n n a a −−=−，因112a =−，则1312a −=−，数列{}1n a −为首项为32−，公比为32的等比数列，故B 正确；C ：由B 可得13331?222n n n a −−=−=−，所以312nn a =− ，故C 正确；D ：3333?2nn n S a n n =+=−+，故D 正确.故选：BCD.10. 已知幂函数()()293m f x m x =−的图象过点1,n m−，则（ ）A. 23m =−B. ()f x 为偶函数C. n =D. 不等式()()13f a f a +>−的解集为(),1−∞ 【答案】ABC 【解析】【分析】利用幂函数的定义结合过点1,n m−，可求,m n 判断AC ；进而可得函数的奇偶性判断B ；解不等式可求解集判断D.【详解】因为函数()()293m f x mx =−为幂函数，所以2931m −=，解得23m =±，当23m =时，幂函数()23f x x =的图象不可能过点3,2n − ，故23m ≠，当23m =−，幂函数()23f x x −=的图象过点2,3n，则2332n =，解得32()32n ==，故AC 正确； ()23f x x −=的定义域为{|0}x x ≠，且()2233()()f x x xf x −−−=−==，故()f x 为偶函数，故B 正确；函数()23f x x−=在(0,)+∞上单调递减，由()()13f a f a +>−，可得()()|1||3|f a f a +>−，所以1310a a a +<− +≠，解得1a <且1a ≠−，故D 错误.故选：ABC.11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记()()g x f x ′=，若()2g x +的图象关于直线2x =−对称，且()()()111f x f x f x −++=+−，则（ ）A. ()g x 是偶函数B. ()f x 是奇函数C. 3为()y f x =的一个周期D.20251()0i g i ==∑【答案】ACD 【解析】【分析】由()2g x +的图象关于直线2x =−对称，则可得()g x 关于xx =0对称，可对A 判断；由gg (xx )=ff ′(xx )，从而可得ff (xx )关于()0,1对称，可对B 判断；由ff (xx )关于()0,1对称，可得()()()113f x f x f x −+++=，故()()()213f x f x f x −+−+=，从而得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，可对C 判断；由()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，可对D 判断.【详解】A ：因为()2g x +的图象关于直线2x =−对称，故将()2g x +的图象向右平移2个单位后变为()g x 的图象，此时()g x 关于xx =0对称，所以()g x 是偶函数，故A 正确；B ：因为()g x 是偶函数，所以ff (xx )关于()0,c 对称且c 为常数，当xx =0时，()()()1110f f f −+=+，又因为()()112f f c −+=，()0f c =，所以1c =，所以ff (xx )关于()0,1对称，故B 错误； C ：因为ff (xx )关于()0,1对称，所以()()2f x f x −=−+，所以()()()()1113f x f x f x f x −++=+−=−，所以()()()113f x f x f x −+++=①，故()()()213f x f x f x −+−+=②，则①②两式相减得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，所以3是()y f x =的一个周期，故C 正确； D ：因为()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，且()g x 的周期为3，又因为20256753=×，所以()202510i g i ==∑，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：B 中因为()g x 是偶函数，所以可得ff (xx )关于()0,c 对称，从而可求出1c =；D 中可有()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，从而可知()g x 中连续3项之和为零.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知函数()ln f x x x =，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是 _____.【答案】10x y −−=【解析】【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出斜率，求出切点坐标，代入点斜式方程，即可得出答案.【详解】因为()ln 1f x x ′=+，所以()11f ′=. 根据导数的几何意义可知，曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率()11k f ′==. 又()10f =，所以，切线方程为1y x =−，即10x y −−=. 故答案为：10x y −−=. 13. 已知0a >且1a ≠，函数()2,1,1x x x f x a x ≥= <，若关于x 的方程()()2560f x f x −+=恰有3个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(]2,3 【解析】【分析】当1x ≥时，()2xf x =，方程()()2560fx f x −+=有2个不相等实数解，则当1x <时，()x f x a =，此时方程()()2560f x f x −+=只有1个实数解，对a 分类讨论，由()x f x a =的值域求实数a 的取值范围. 【详解】方程()()2560fx f x −+=，即()2f x =或()3f x =， 当1x ≥时，()2xf x =，由()2f x =解得1x =，由()3f x =解得2log 3x =； 当1x <时，()xf x a =，此时方程()()2560fx f x −+=只有1个实数解， 若01a <<，则()xf x a =在(),1∞−上单调递减，()(),f x a ∞∈+，的此时()2f x =和()3f x =都有解，不合题意，若1a >，则()xf x a =在(),1∞−上单调递增，()()0,f x a ∈，则23a <≤.所以实数a 的取值范围是(]2,3. 故答案为：(]2,314. 已知三棱锥A BCD −的四个顶点都在球O 的球面上，若AB CD =O 的半径为，则三棱锥A BCD −体积的最大值为__________．【答案】 【解析】【分析】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，CD ⊥平面ABN ，三棱锥A BCD −体积的最大值，求解即可. 【详解】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,OM AB ON CD ⊥⊥，由题意可得1,2OM ON ==，当,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，最大面积为1(12)2×+， 设C 到平面ABN 的距离为d ，由题意可得D 到平面ABN 的距离也为d ，当CD ⊥平面ABN 时，d 取最大值12CD =所以三棱锥A BCD −体积的最大值为112233ABN S d ××=×=故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15. 已知函数()2π2sin 4f x x x=+．（1）求()f x 在π0,2上的单调递增区间；（2）已知ABC 的内角,,A B C 的对边长分别是,,a b c，若π1212C f−，2c =，求ABC 面积的最大值． 【答案】（1）5π[0,]12（2）2 【解析】【分析】（1）化简π()12sin(2)3f x x =+−，利用πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，可求单调区间；（2）由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥，可求ab 的最大值，进而可求ABC 面积的最大值. 【小问1详解】()2π1cos 2π22sin 21sin 242x f x x x x x x−+=+=×−=+−πππ12(sin 2cos cos2sin 12sin(2)333x x x =+−=+−， 由πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，得π5πππ,Z 1212k x k k −+≤≤+∈， 又π0,2∈ x ，所以函数()f x 在π0,2上的单调递增区间为5π[0,]12；【小问2详解】由π1212C f−=−，得ππ12sin[2()]12123C +×−−，所以πsin()2C −，所以cos C =，因为0πC <<，所以π6C =，又2c =，在ABC中，由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥−，所以4(2ab ≤=，当且仅当a b ==时取等号，所以111sin 4(22222ABC S ab C =≤×+×=+所以ABC 面积的最大值为2． 16. 已知函数()()ln R mf x x m x=+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x −−+≤.【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）构造函数()()e e xg x xf x x =−−+，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得()0g x ≤，从而得证.【小问1详解】因为()ln mf x x x=+的定义域为()0,∞+， 所以()221m x mf x x x x −′=−=，当0m ≤时，()0f x ′>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0m >时，令()0f x ′=，得x m =， 当()0,x m ∈时，()()0,f x f x ′<单调递减， 当(),x m ∈+∞时，()()0,f x f x ′>单调递增， 综上，当0m ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，()f x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增. 【小问2详解】当1m =时，()1ln f x x x=+， 令()()e e ln e e 1xxg x xf x x x x x =−−+=−−++，则()ln e xg x x =−′， 令()()ln e xh x g x x ′==−，则()1e xh x x=′−，因为1x ≥，所以11,e e 1x x≤≥>， 所以当1x ≥时，()h x ′1e 0xx=−<恒成立，所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，即()ln e x g x x =−′在[)1,+∞上单调递减，所以()()1e 0g x g ′≤−′=<， 所以()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，即()e e 0xxf x x −−+≤. 【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）()0f x >恒成立()min 0f x ⇔>；()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<． （2）()f x a >恒成立()min f x a ⇔>；()f x a <恒成立()max f x a ⇔<．（3）()()f x g x >恒成立()()min 0f x g x ⇔−> ；()()f x g x <恒成立()()max 0f x g x ⇔−< ； （4）1x M ∀∈，2x N ∀∈，()()()()1212min max f x g x f x g x >⇔>．17. 已知函数()33x x af x a+=−．（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）当0a <时，函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −− ，求a 的取值范围．【答案】（1）1或1−（2）(,3−∞−− 【解析】【分析】（1）由ff (xx )为奇函数，可得()()0f x f x +−=，从而可求解； （2）当0a <时，可得()y f x =是单调增函数，从而可得即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，参数分离可得23313x x xa +=−，利用换元法设13xt =−，可得23a t t =+−，且1t <，再结合对勾函数性质从而可求解.【小问1详解】由()32133x xx a af x a a+==+−−，所以()22?31131?3x x x a a f x a a −−=+=+−−， 因为ff (xx )为定义域上的奇函数，所以()()0f x f x +−=， 即22?311031?3xx xa a a a +++=−−，化简得·3131?3x xx a a a a +=−−−， 则22222·3?3?33?3?30x x x x x x a a a a a a a −+−+−−+=，则得21a =， 所以aa =−1或1a =. 【小问2详解】当0a <时，()32133x x xa af x a a+==+−−，所以()y f x =是单调增函数， 由函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −−， 所以()3133m m m a f m a +==−−,()3133n n n a f n a +==−−，即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，则得23313x x xa +=−，设130xt =−<，则22332313x xxa t t +==+−−，0t <，根据对勾函数性质可得23y t t=+−在()上单调递减，(,−∞上单调递增，其中23y t t=+−在(),0−∞上的值域为(,3 −∞− ，当t =时取最大值，综上可得3a <−，所以a 的取值范围为(),3−∞−−. 18. 已知函数()()28ln 1exf x axbx =+++．（1）若()f x ′在R 上单调递减，求a 的最大值； （2）证明：曲线()y f x ′=是中心对称图形； （3）若()8ln2f x ，求a 的取值范围． 【答案】（1）1− （2）证明见解析 （3）(],1−∞−【解析】【分析】（1）对ff (xx )求导得()8e 21e x x f x ax b =+++′，令()8e 21exxg x ax b =+++，再结合基本不等式从而可得()8201e 2ex x g x a =++′≤+，即可求解. （2）由()()28f x f x b ′′−+=+，从而曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，即可求解. （3）分情况讨论求出0a <，4b =−，然后再利用导数讨论1a ≤−，10a −<<情况下，从而可求出a 的取值范围是(],1−∞−. 【小问1详解】由函数()()28ln 1e xf x ax bx =+++，所以()8e 21exxf x ax b =+++′， 令()8e 21e xxg x ax b =+++，因若ff ′(xx )在RR 上单调递减，则()()28e 822011e e 2exxxx g x a a =+=+++′≤+恒成立，因为1e 224e x x ++≥=，当且仅当xx =0时取等号， 则821e 2e x x −≥−++，所以821e 2ex x a ≤−++，即22a ≤−，得1a ≤−. 故a 的最大值为1−. 【小问2详解】证明：由（1）知()8e 21e x x f x ax b =+++′，则()8e 21exxf x ax b −−−=−++′， 则()()8e 8e 8e 8222281e 1e 1e 1ex x x x x x xf x f x ax b ax b b b −−−+=−++++=++=+′+′+++， 所以曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，是中心对称图形.【小问3详解】当aa >0时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾，所以0a ≤；为当0a =，0b ≥时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾； 当0a =，0b <时，则当x →−∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾； 所以0a <.当4b >−，则当402b x a +<<−时，()8e 24201exxf x ax b ax b =++>++>+′， 此时()()08ln 2f x f >=，矛盾； 当4b <−，则当402b x a +−<<时，()8e 24201ex x f x ax b ax b =++<++<+′， 此时()()08ln 2f x f >=，矛盾； 因此4b =−，所以()8e 241exxf x ax =+−+′， 当1a ≤−，由（1）可知ff ′(xx )在RR 上单调递减，又()00f ′=，所以当0x ≤时，()0f x ′≥，ff (xx )在区间(],0−∞上单调递增； 当xx >0时，()0f x ′<，ff (xx )在区间(0,+∞）上单调递减； 此时()()08ln 2f x f ≤=，符合题意； 当10a −<<，则当0ln 1x <<−时，()()()228e 82201e 1e xxxg x a a =+>+′>++，此时()()()00f x g x g >′==，则()()08ln 2f x f >=，不合题意. 综上所述：a 的取值范围是(],1−∞−.【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19. 若存在1,1,2,2,,,n n 的一个排列n A ，满足每两个相同的正整数()1,2,,k k n = 之间恰有k 个正整数，则称数列n A 为“有趣数列”，称这样的n 为“有趣数”．例如，数列7:4,6,1,7,1,4,3,5,6,2,3,7,2,5A 为“有趣数列”，7为“有趣数”．（1）判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由； ①2:1,2,1,2A ；②3:3,1,2,1,3,2A ． （2）请写出“有趣数列”4A 的所有可能情形；（3）从1,2,,4n 中任取两个数i 和()j i j <，记i 和j 均为“有趣数”的概率为n P ，证明：14n P <． 【答案】（1）①不是；②是（2）4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4 （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据“有趣数列”定义逐项判断即可求解.（2）分当两个1中间为2，当两个1中间为3，当两个1中间为4，共3种情况从而可找到符合题意的“有趣数列”，即可求解.（3）先设“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，从而可得()21111n n n k k k k k k a a a k k === +++=∑∑∑，可求得()1314nk k n n a =−=∑，再分情况讨论当()*43,42n m m m =−−∈N ，()*41n m m =−∈N ，()*4nm m ∈N 时符合“有趣数列”的情况，从而可得224C 1C 4nn nP =<，即可求解.【小问1详解】①2:1,2,1,2A 中两个2之间间隔数只有一个，故不是“有趣数列”， ②3:3,1,2,1,3,2A 中两个1之间间隔数有1个，两个2之间间隔数有2个， 两个3之间间隔数有3个，故是“有趣数列”.小问2详解】当两个1中间为2，不妨设1,2,1右边两个2中间可能为1,3或1,4， 则4A 可能为4,3,1,2,1,3,2,4或4,3,1,2,1,4,2,3，不符合题意； 当两个1中间为3，两个2中间可能为3,4或4,3，则4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4，符合题意；【当两个1中间为4，不妨设1,4,1右边两个2中间可能为3,4或4,3， 则4A 可能为1,4,1,2,3,4,2,3或1,4,1,2,4,3,2,3，不符合题意； 综上所述：“有趣数列”4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4. 【小问3详解】将“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项， 由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项， 于是()21111n nn k kk k k k a aa k k === +++=∑∑∑，则()()13221222nk k n n n n a =+++=∑，即()1314nk k n n a =−=∑，又因为1nk k a =∑为整数，故必有()314n n −为整数，当()*43,42n m m m =−−∈N时，()314n n −不可能为整数，不符合题意； 当()*41n m m =−∈N时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”41m A −为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,21,43,,21,42,m m m m m −−−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43m m m m m m −−−−+− ，符合题意； 当()*4nm m ∈N 时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”4m A 为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,4,43,,21,42,m m m m m m −−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43,21,4m m m m m m m m −−−−+−− ，符合题意；这里44,,2m m − 是指将44m −一直到2m 的偶数按从大到小的顺序进行排列，23,,1m − 是指将23m −一直到1的奇数按从大到小的顺序进行排列，故1,2,,4n 中的“有趣数列”为3,4,7,8,,41,4n n − 共2n 个，则所求概率为()224C 211C 2414nn nn P n −==<−. 【点睛】方法点睛：本题主要是根据“有趣数列”定义，理解并应用，对于（3）中主要巧妙设出“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项，从而求出()1314nk k n n a =−=∑，从而可求解.。
广东省部分学校2024-2025学年高三上学期11月联考地理试题(含答案)
广东省部分学校2024-2025学年高三上学期11月联考2025届高三年级11月份联考地理试题本试题卷共8页，19题。
全卷满分100分，考试用时75分钟。
注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
舟山群岛位于长江口南侧，该地海域辽阔，海上作业频繁。
在舟山本岛至上元山岛间，海域最深水位为25米，能源供应主要依靠海底电缆进行输送，但海底电缆常受外力损坏。
2024年1月，该地实施全国首次陆缆穿海工程。
图甲示意海缆铺设，图乙示意海底电缆与陆缆穿海工程。
据此完成1～2题。
图甲图乙1.海底电缆易损坏，主要是因为该海域（）A.海底压力大B.海水盐度高C.停泊船只多D.台风灾害频繁2.与海底电缆相比，陆缆穿海工程的建设周期短主要是因为（）A.受天气影响小B.对生态破坏少C.海底地质简单D.造价成本低“飞地经济”一般是指两个不同的行政地区通过合作共建产业园。
英德市稀有金属资源丰富，是广东省重要的锂电池材料生产基地。
英德市的广清经济特别合作区（广德园）于2010年开始筹建，目前广德园逐步形成了产业协同发展的格局。
下图示意广德园产业共生模式。
据此完成3～5题。
3.影响广德园飞地园区与周边镇、飞出地的联系强度差异的主导因素是（）A.交通距离B.城市行政等级C.经济腹地范围D.主导产业类型4.下列协作产业不适合在广德园推广的是（）A.汽车零部件生产B.金融服务C.新型建材D.锂电池材料5.“飞地经济”模式对区域协调发展的主要贡献是（）A.增加区域间的经济竞争B.促进区域间的产业转移C.缩小区域发展的不平衡D.加速资源的过度集中沙特阿拉伯麦地那某清真寺广场建设了250支巨型伞，每把伞的高度为20米，伞面直径为25.5米。
山西省百校联考中考数学模拟试卷（四）含答案解析
山西省百校联考中考数学模拟试卷（四）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分1．﹣3的倒数是（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．2．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．a3÷a2=a C．a2+a2=a4D．（a2）3=a53．如图所示几何体的俯视图是（）A．B． C．D．4．下列说法正确的是（）A．“任意画出一个圆，它是中心对称图形”是随机事件B．为了解我省中学生的体能情况，应采用普查的方式C．天气预报明天下雨的概率是99%，说明明天一定会下雨D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数不一定是5次5．不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B．C． D．6．如图6×7的方格中，点A，B，C，D是格点，线段CD是由线段AB位似放大得到的，则它们的位似中心是（）A．P1B．P2C．P3D．P47．如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C=90°，AB，CB分别交直线m 于点D和点E，且DB=DE，若∠B=25°，则∠1的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°8．天然气公司为了解某社区居民使用天然气的情况，随机对该社区10户居民进行了调查，如表是这10户居民3月份用气量的调查结果：居民户数 1 2 3 4月用气量（立方米）14 15 22 25则这10户居民月用气量（单位：立方米）的中位数是（）A．14 B．15 C．22 D．259．某网上电器商城销售某种品牌的高端电器．已知该电器按批发价上浮50%进行标价，若按照标价的九折销售，则可获纯利润350元，现由于商城搞促销，该电器按照标价的八折销售，则可获纯利润（）A．180元B．200元C．220元D．240元10．如图，在以点O为圆心的半圆中，AB为直径，且AB=4，将该半圆折叠，使点A和点B落在点O处，折痕分别为EC和FD，则图中阴影部分面积为（）A．4﹣B．4﹣C．2﹣D．2﹣二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分11．计算×﹣的结果是______．12．从5，6，7这三个数字中，随机抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是______．13．如图，小明家所在住宅楼楼前广场的宽AB为30米，线段BC为AB正前方的一条道路的宽．小明站在家里点D处观察B，C两点的俯角分别为60°和45°，已知DA垂直地面，则这条道路的宽BC为______米（≈1.732）14．如图4×5的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有______种．15．如图，为一块面积为1.5m2的直角三角形模板，其中∠B=90°，AB=1.5m，现要把它加工成正方形DEFG木板（EF在AC上，点D和点G分别在AB和BC上），则该正方形木板的边长为______m．三、解答题：本大题共8个小题，共75分16．（1）计算：（）﹣3﹣|﹣1|×（﹣3）2+（）0（2）化简：﹣．17．阅读与观察：我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人，在他所著的《详解九章算法》艺术中，揖录了如图1所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，经观察研究发现，在两腰上的数位1的前提下，杨辉三角有许多重要的特点，例如：每个数都等于它上方两数之和等等．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等．（1）通过观察，请你写出杨辉三角具有的任意两个特点；（阅读材料中的特点除外）（2）计算：993+3×992+3×99+1；（3）请你直接写出（a+b）4的展开式．18．作图与证明：如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：（1）作⊙O 的内接正六边形ABCDEF ；（2）连接BF ，CE ，判断四边形BCEF 的形状并加以证明．19．某艺术类学校进行绘画特长生的招生工作，每名考生需要参加“素描”“色彩”“速写”三个项目的测试，三个项目的满分均为100分，“素描”“色彩”“速写”按照4：4：2的比例计算得到选手最终成就，现有20名考生报名参加测试，测试结束后，考生的素描成绩如下（单位：分）：88，85，90，99，86，68，94，98，78，9796，93，89，94，89，85，80，95，89，77请根据上述数据，解决下列问题：（1）补全下面考生素描成绩的表格（每组数据含最小值不含最大值）和频数分布直方图； 分组 人数（频数）60﹣70 170﹣80 280﹣90 990﹣100 8合计20 （2）如表为甲、乙两名选手比赛成绩的记录表，现要在甲、乙二人中录取一名，请通过计算得出谁最终被录取．项目 成绩素描 色彩 速写 甲98 93 95 乙95 95 10020．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=k 1x +b 与反比例函数y=的图象交于点A （﹣1，6）和点B （3，m ），与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．（1）求一次函数y=k 1x +b 和反比例函数y=的表达式； （2）点P 是双曲线y=上的一点，且满足S △PCD =S △DOE ，求点P 的坐标．21．为弘扬中华传统文化，某徽章设计公司设计了如图所示的一种新式徽章，每件的成本是50元，为了合理定价，先投放在某饰品店进行试销．试销发现，该徽章销售单价为100元时，每天的销售量是50件，且当销售单价每降低1元时，每天就可多售出5件．（1）如果该店每天要使该徽章的销售利润为4000元，则销售单价应定为多少元？（2）该店每天该徽章的销售是否有最大利润？若有，请求出最大利润及销售单价，若没有，请说明理由．22．如图1，在△ABC和△MNB中，∠ACB=∠MBN=90°，AC=BC=4，MB=NB=2，点N 在BC边上，连接AN，CM，点E，F，D，G分别为AC，AN，MN，CM的中点，连接EF，FD，DG，EG．（1）判断四边形EFDG的形状，并证明；（2）求FD的长；（3）如图2，将图1中的△MBN绕点B逆时针旋转90°，其他条件不变，猜想此时四边形EFDG的形状，并证明．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线l经过点A和点C，连接BC．将直线l沿着x轴正方形平移m个单位（0＜m＜10）得到直线l′，l′交x轴于点D，交BC于点E，交抛物线于点F．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）如图2，将△EDB沿直线l′翻折得到△EDB′，求点B′的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，当点B′落在直线AC上时，请直接写出点F的坐标．山西省百校联考中考数学模拟试卷（四）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分1．﹣3的倒数是（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．【考点】倒数．【分析】根据倒数的定义可得﹣3的倒数是﹣．【解答】解：﹣3的倒数是﹣．故选：C．2．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．a3÷a2=a C．a2+a2=a4D．（a2）3=a5【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】A：根据同底数幂的乘法法则判断即可．B：根据同底数幂的除法法则判断即可．C：根据合并同类项的方法判断即可．D：根据幂的乘方的运算方法判断即可．【解答】解：∵a2•a3=a5，∴选项A不正确；∵a3÷a2=a，∴选项B正确；∵a2+a2=2a2，∴选项C不正确；∵（a2）3=a6，∴选项D不正确．故选：B．3．如图所示几何体的俯视图是（）A．B． C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中并且注意虚线和实线的不同．【解答】解：从上往下看，易得一个长方形，其中有两条实线和两条虚线虚线，如图所示：故选D．4．下列说法正确的是（）A．“任意画出一个圆，它是中心对称图形”是随机事件B．为了解我省中学生的体能情况，应采用普查的方式C．天气预报明天下雨的概率是99%，说明明天一定会下雨D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数不一定是5次【考点】概率的意义；全面调查与抽样调查；随机事件．【分析】根据随机事件、概率的意义以及全面调查与抽样调查的定义即可作出判断．【解答】解：A、“任意画出一个圆，它是中心对称图形”是必然事件，本选项错误；B、为了解我省中学生的体能情况，应采用抽查的方式，本选项错误；C、天气预报明天下雨的概率是99%，该事件不是必然事件，说明明天不一定会下雨，本选项错误；D、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数不一定是5次，该事件是随机事件，本选项正确．故选D．5．不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B．C． D．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．【解答】解：，由x+2≤3得x≤1，由＜3得x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤1，在数轴上表示为：故选A．6．如图6×7的方格中，点A，B，C，D是格点，线段CD是由线段AB位似放大得到的，则它们的位似中心是（）A．P1B．P2C．P3D．P4【考点】位似变换．【分析】连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案．【解答】解：∵如图，连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．∴它们的位似中心是P3．故选C．7．如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C=90°，AB，CB分别交直线m 于点D和点E，且DB=DE，若∠B=25°，则∠1的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【考点】平行线的性质．【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出∠3的度数，再根据平行线的性质求出∠4的度数，再由∠ACB=90°得出∠5的度数，根据平角的定义即可得出结论．【解答】解：如图，∵DB=DE，∠B=25°，∴∠2=25°，∴∠3=25°+25°=50°，∵m∥n，∴∠4=50°，∵∠C=90°，∴∠5=65°，∴∠1=180°﹣50°﹣65°=65°．故选：B．8．天然气公司为了解某社区居民使用天然气的情况，随机对该社区10户居民进行了调查，如表是这10户居民3月份用气量的调查结果：居民户数 1 2 3 4月用气量（立方米）14 15 22 25则这10户居民月用气量（单位：立方米）的中位数是（）A．14 B．15 C．22 D．25【考点】中位数．【分析】根据中位数的定义解答即可．【解答】解：10个数，最中间的数为第5个数和第6个数，它们都是22，所以这10户居民用水量的中位数为（22+22）÷2=22．故选C．9．某网上电器商城销售某种品牌的高端电器．已知该电器按批发价上浮50%进行标价，若按照标价的九折销售，则可获纯利润350元，现由于商城搞促销，该电器按照标价的八折销售，则可获纯利润（）A．180元B．200元C．220元D．240元【考点】一元一次方程的应用．【分析】设该商品批发价为x元/件，则该商品的标价为（1+50%）x元/件，根据：标价×0.9﹣批发价=纯利润，列方程求得商品的批发价，继而可得该电器按照标价的八折销售可获纯利润．【解答】解：设该商品批发价为x元/件，则该商品的标价为（1+50%）x元/件，根据题意，得：（1+50%）x•0.9﹣x=350，解得：x=1000，则其标价为（1+50%）×1000=1500元/件，∴该电器按照标价的八折销售，则可获纯利润为1500×0.8﹣1000=200元，故选：B．10．如图，在以点O为圆心的半圆中，AB为直径，且AB=4，将该半圆折叠，使点A和点B落在点O处，折痕分别为EC和FD，则图中阴影部分面积为（）A．4﹣B．4﹣C．2﹣D．2﹣【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据题意求得AC=OC=OD=DB=1，CD=2，EC==，进一步求得△EOF 是等边三角形，然后根据S 阴影=S 长方形﹣（S 半圆﹣S 长方形CDFE ）+2（S 扇形OEF ﹣S △EOF ）即可求得．【解答】解：∵AB 为直径，且AB=4，∴OA=OE=2，∵点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，∴AC=OC=OD=DB=1，∴CD=2，EC==，∴△EOF 是等边三角形，∴∠EOF=60°，∴S 半圆=π×22=2π，S 长方形CDFE =2×=2， ∴S 阴影=S 长方形﹣（S 半圆﹣S 长方形CDFE ）+2（S 扇形OEF ﹣S △EOF ） =4﹣2π+2（﹣×2×） =2﹣． 故选D ．二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分11．计算×﹣的结果是 1 ．【考点】实数的运算． 【分析】根据实数的运算顺序，首先计算开方和乘法，然后计算减法，求出算式×﹣的结果是多少即可．【解答】解：×﹣ =3×﹣2=3﹣2=1故答案为：1．12．从5，6，7这三个数字中，随机抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】根据所抽取的数据拼成两位数，得出总数及能被3整除的数，求概率．【解答】解：如下表，∵任意抽取两个不同数字组成一个两位数，共6种情况，其中能被3整除的有57，75两种，∴组成两位数能被3整除的概率为=．故答案为：．13．如图，小明家所在住宅楼楼前广场的宽AB为30米，线段BC为AB正前方的一条道路的宽．小明站在家里点D处观察B，C两点的俯角分别为60°和45°，已知DA垂直地面，则这条道路的宽BC为21.96米（≈1.732）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意求出∠ABD和∠C的度数，根据正切的定义计算即可．【解答】解：由题意得，∠ABD=∠EDB=60°，∠C=∠EDC=45°，∴AD=AB×tan∠ABD=30米，∴AC=AD=30米，∴BC=AC﹣AB=30﹣30≈21.96米，故答案为：21.96．14．如图4×5的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有4种．【考点】轴对称图形．【分析】结合图象根据轴对称图形的概念求解即可．【解答】解：根据轴对称图形的概念可知，一共有四种涂法，如下图所示：．故答案为：4．15．如图，为一块面积为1.5m2的直角三角形模板，其中∠B=90°，AB=1.5m，现要把它加工成正方形DEFG木板（EF在AC上，点D和点G分别在AB和BC上），则该正方形木板的边长为m．【考点】相似三角形的应用．【分析】直接利用勾股定理结合直角三角形的性质得出BN的长，再利用相似三角形的判定与性质表示出AD的长，进而得出答案．【解答】解：过点B作BN⊥AC于点N，∵面积为1.5m2的直角三角形模板，其中∠B=90°，AB=1.5m，∴BC=2cm，∴AC==2.5（m），∴2.5BN=1.5×2，解得：BN=1.2，∵∠A=∠A，∠AED=∠ABC，∴△AED∽△ABC，∴=，设DE=x，则=，解得：AD=x，∵DG∥AC，∴△GBD∽△CBA，∴=∴=解得：x=．故该正方形木板的边长为m．故答案为：．三、解答题：本大题共8个小题，共75分16．（1）计算：（）﹣3﹣|﹣1|×（﹣3）2+（）0（2）化简：﹣．【考点】分式的加减法；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，乘方的意义，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．【解答】解：（1）原式=8﹣9+1=0；（2）原式=﹣==．17．阅读与观察：我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人，在他所著的《详解九章算法》艺术中，揖录了如图1所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，经观察研究发现，在两腰上的数位1的前提下，杨辉三角有许多重要的特点，例如：每个数都等于它上方两数之和等等．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等．（1）通过观察，请你写出杨辉三角具有的任意两个特点；（阅读材料中的特点除外）（2）计算：993+3×992+3×99+1；（3）请你直接写出（a+b）4的展开式．【考点】完全平方公式．【分析】（1）从每行的数字个数和数字之和可得规律；（2）根据图中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数即可求得；（3）根据（a+b）n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a+b）n﹣1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和即可得出．【解答】解：（1）∵第1行有1个数字，数字之和为1=20，第2行有2个数字，数字之和为2=21，第3行有3个数字，数字之和为4=22，第4行有4个数字，数字之和为8=23，…第n行有n个数字，数字之和为2n﹣1；（2）993+3×992+3×99+1=（99+1）3=1003=106；（3）（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．18．作图与证明：如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：（1）作⊙O的内接正六边形ABCDEF；（2）连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明．【考点】正多边形和圆；作图—复杂作图．【分析】（1）由正六边形ABCDEF的中心角为60°，可得△OAB是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出⊙O的内接正六边形ABCDEF；（2）首先连接OE，由六边形ABCDEF是正六边形，易得EF=BC，=，则可得BF=CE，证得四边形BCEF是平行四边形，然后由∠EDC=∠DEF=120°，∠DEC=30°，求得∠CEF=90°，则可证得结论．【解答】解：（1）如图1，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形ABCDEF即为⊙O所求；（2）四边形BCEF是矩形．理由：如图2，连接OE，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB=AF=DE=DC，FE=BC，∴===，∴=，∴BF=CE，∴四边形BCEF是平行四边形，∵∠EOD==60°，OE=OD，∴△EOD是等边三角形，∴∠OED=∠ODE=60°，∴∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°，∵DE=DC，∴∠DEC=∠DCE=30°，∴∠CEF=∠DEF﹣∠CED=90°，∴四边形BCEF是矩形．19．某艺术类学校进行绘画特长生的招生工作，每名考生需要参加“素描”“色彩”“速写”三个项目的测试，三个项目的满分均为100分，“素描”“色彩”“速写”按照4：4：2的比例计算得到选手最终成就，现有20名考生报名参加测试，测试结束后，考生的素描成绩如下（单位：分）：88，85，90，99，86，68，94，98，78，9796，93，89，94，89，85，80，95，89，77请根据上述数据，解决下列问题：（1）补全下面考生素描成绩的表格（每组数据含最小值不含最大值）和频数分布直方图；分组人数（频数）60﹣70 170﹣80 280﹣90 990﹣100 8合计20（2）如表为甲、乙两名选手比赛成绩的记录表，现要在甲、乙二人中录取一名，请通过计算得出谁最终被录取．项目素描色彩速写成绩甲98 93 95乙95 95 100【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；加权平均数．【分析】（1）根据考生的素描成绩可得70﹣80的人数（频数），90﹣100的人数（频数），进一步补全频数分布直方图；（2）根据加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，x n的权分别是w1，w2，w3，…，w n，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数，求出甲、乙两名选手比赛成绩，再比较大小即可求解．【解答】解：（1）填表如下：分组人数（频数）60﹣70 170﹣80 280﹣90 990﹣100 8合计20如图所示：（2）4+4+2=10，4÷10=0.4，2÷10=0.2，=98×0.4+95×0.4+95×0.2=96.2，=98×0.4+95×0.4+100×0.2=96，∵96.2＞96，∴甲最终被录取．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=k 1x +b 与反比例函数y=的图象交于点A （﹣1，6）和点B （3，m ），与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．（1）求一次函数y=k 1x +b 和反比例函数y=的表达式； （2）点P 是双曲线y=上的一点，且满足S △PCD =S △DOE ，求点P 的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将A 坐标代入反比例函数解析式中求出k 2的值，即可确定出反比例函数解析式；将B 坐标代入反比例解析式中求出m 的值，确定出B 坐标，将A 与B 坐标代入一次函数解析式中求出k 1与b 的值，即可确定出一次函数解析式；（2）如图，当P 在第二象限时，连接PC ，PO ，作PE ⊥y 轴于E ，求得D 的横坐标为2，根据已知条件得到PE=OD=2，求得P 的横坐标为﹣2，把x=﹣2代入y=﹣中得y=3，于是得到结论；同理可得当点P 在第四象限时，求得P （2，﹣3）．【解答】解：∵A （﹣1，6）在y=上得k 2=﹣6．∴y=﹣，∵B （3，m ）反比例函数y=﹣的图象上，∴m=﹣2，因为y=k 1x +b 过A （﹣1，6）、B （3，﹣2）两点， ∴， 解得：，∴一次函数的表达式是y=﹣2x +4；（2）如图，当P 在第二象限时，连接PC ，PO ，作PE ⊥y 轴于E ，把y=0代入y=﹣2k +4中得x=2，∴D 的横坐标为2，∵S △PCD =S △DOE ， ∴CO •PE=CO •OD ，∴PE=OD=2，∴P 的横坐标为﹣2，把x=﹣2代入y=﹣中得y=3，∴此时点P 的坐标为（﹣2，3），同理可得当点P 在第四象限时，P （2，﹣3），∴点P 的坐标是（﹣2，3），（2，﹣3）．21．为弘扬中华传统文化，某徽章设计公司设计了如图所示的一种新式徽章，每件的成本是50元，为了合理定价，先投放在某饰品店进行试销．试销发现，该徽章销售单价为100元时，每天的销售量是50件，且当销售单价每降低1元时，每天就可多售出5件． （1）如果该店每天要使该徽章的销售利润为4000元，则销售单价应定为多少元？（2）该店每天该徽章的销售是否有最大利润？若有，请求出最大利润及销售单价，若没有，请说明理由．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）利用每件商品利润×销量=总利润4000，得出关系式求出即可；（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．【解答】解：（1）设应将单价降低x 元，则商店每天的销售量为（50+5x ）件，由题意得（50﹣x ）（50+5x ）=4000，解得：x 1=10，x 2=30．答：如果要使该企业每天的销售利润为4000元，应将销售单价应定为70元或90元； （2）y=﹣5x 2+800x ﹣27500=﹣5（x ﹣80）2+4500∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，=4500；∴当x=80时，y最大值即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元．22．如图1，在△ABC和△MNB中，∠ACB=∠MBN=90°，AC=BC=4，MB=NB=2，点N 在BC边上，连接AN，CM，点E，F，D，G分别为AC，AN，MN，CM的中点，连接EF，FD，DG，EG．（1）判断四边形EFDG的形状，并证明；（2）求FD的长；（3）如图2，将图1中的△MBN绕点B逆时针旋转90°，其他条件不变，猜想此时四边形EFDG的形状，并证明．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）四边形EFDG是平行四边形，理由为：如图1，连接AM，由E、F、G、H分别为中点，利用利用中位线定理得到两组对边相等，即可得证；（2）如图1，过点M作MH⊥AB，交AB的延长线于点H，根据内错角相等，两直线平行，得到AC与BM平行，由三角形ACB与三角形MBN都为等腰直角三角形，由BC求出AB 的长，进而求出BH的长，由AB+BH求出AH的长，在直角三角形AMH中，利用勾股定理求出AM的长，利用中位线定理求出FD的长即可；（3）四边形EFDG为正方形，理由为：如图2，连接CN，AM，分别交EF、CN于点L与K，由CB﹣BM求出CM的长，得到CM=BN，再由一对直角相等，AC=BC，利用SAS得到三角形ACM与三角形CBN全等，利用全等三角形对应边、对应角相等得到AM=CN，∠CAM=∠BCN，利用同角的余角相等，求出∠AKC为直角，利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到四边形EFDG为平行四边形，再由一个内角为直角，且邻边相等即可得证．【解答】解：（1）四边形EFDG是平行四边形，证明：如图1，连接AM，∵E、F、D、G分别为AC、AN、MN、CM的中点，∴FD=EG=AM，EF=GD=CN，∴四边形EFDG是平行四边形；（2）如图1，过点M作MH⊥AB，交AB的延长线于点H，∵∠ACB=∠MBN=90°，AC=BC=4，MB=NB=2，∴AC∥BM，∴∠MBH=∠CAB=45°，∴AB==4，∴BH=MH=MBsin45°=，∴AH=AB+BH=4+=5，在Rt△AMH中，由勾股定理得：AM===2，则FD=AM=；（3）四边形EFDG是正方形，证明：如图2，连接CN，AM，分别交EF、CN于点L与K，由已知得：点M和点D分别落在BC与AB边上，∴CM=CB﹣BM=4﹣2=2，∴CM=BN，∵∠ACM=∠CBN=90°，AC=BC，∴△ACM≌△CBN（SAS），∴AM=CN，∠CAM=∠BCN，∵∠ACK+∠KCM=90°，∴∠ACK+∠CAK=90°，在△ACK中，∠AKC=180°﹣（∠ACK+∠CAK）=180°﹣90°=90°，由（1）可得EG∥AM∥FD，EF∥CN∥GD，∴四边形EFDG是平行四边形，∴∠GEL=∠ELA=∠AKC=90°，∴四边形EFDG是矩形，∵EG=AM=CN=EF，∴四边形EFDG是正方形．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线l经过点A和点C，连接BC．将直线l沿着x轴正方形平移m个单位（0＜m＜10）得到直线l′，l′交x轴于点D，交BC于点E，交抛物线于点F．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）如图2，将△EDB沿直线l′翻折得到△EDB′，求点B′的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，当点B′落在直线AC上时，请直接写出点F的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）通过解方程，﹣x2+x+6=0可得A点和B点坐标，再计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标；（2）根据勾股定理求得BC=10，即可证得AB=BC，根据AC∥FD，得出=，求得BE=BD，即可证得四边形EB′DB是菱形，得出B′D∥BC，然后过点B′作B′H⊥AB与H，证得△B′HD∽△COB，即可求得B′H=﹣m+6，HD=﹣m+8，进一步求得OH，得出B′的坐标；（3）根据菱形的性质得出BM=B′M，由平移的定义可知DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理证得BD=AD=AB=5，求得D的坐标，根据勾股定理求得AC的解析式，进而求得DF的解析式，然后联立方程，即可求得F的坐标．【解答】解：（1）将y=0代入y=﹣x2+x+6得，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=8，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）；将x=0代入y=﹣x2+x+6得y=6，∴点C的坐标为（0，6）；（2）在RT△COB中，由勾股定理得BC===10，∵AB=AO+OB=2+8=10，∴AB=BC，∵AD=m，∴DB=AB﹣AD=10﹣m，∵AC∥FD，∴=，∴BE=BD=B′E=B′D=10﹣m，∴四边形EB′DB是菱形，∴B′D∥BC，过点B′作B′H⊥AB与H，∴∠B′DH=∠CBO，∠B′HD=∠COB=90°，∴△B′HD∽△COB，∴==，即==，∴B′H=﹣m+6，HD=﹣m+8，当点B′在y轴的右侧时，OH=OB﹣HD﹣DB=8﹣（﹣m+8）﹣（10﹣m）=m﹣10，当点B′在y轴的左侧时，OH=HD+DB﹣OB=（﹣m+8）+（10﹣m）﹣8=10﹣m，∴点B′的坐标为（m﹣10，﹣m+6）；（3）∵四边形EB′DB是菱形，∴BM=B′M，由平移的定义可知DE∥AC，∴==1，∴BD=AD=AB=5，∵OA=2，∴OD=3，∴D的坐标为（3，0），设直线AC的解析式为y=kx+b，代入A（﹣2，0），C（0，6）得：，解得，∵DF∥AC，设直线DF的解析式为y=3x+b，代入D（3，0）得9+b=0，解得b=﹣9，∴直线DF为y=3x﹣9，解得或，∴F的坐标为（﹣1，3﹣12）．9月28日。
福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月测评数学含答案
数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．⒉请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{2,4,7}M =-，{}230N x x x n =--=∣，若{4}M N ⋂=，则N =（）A.{3,4}-B.{2,4}C.{1,4}D.{1,4}-2.命题“[]1,2x ∃∈-，2102x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（）A.0a ≥B.3a ≥-C.0a ≤ D.3a ≥3.已知奇函数()()22cos x xf x m x -=+⋅，则m =（）A.1- B.0C.1D.124.若函数()ln 2h x x ax =-在[]1,3上不单调，则实数a 的取值范围为（）A .11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.(,1)-∞ D.1,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5.已知2sin 3αα=，则πcos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.6365-B.1781-C.2425D.456.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，()121n n n S S S +=+，则511a S =（）A.12-B.23-C.2- D.34-7.已知函数22()e 2e 4(0)x x f x a a x a =-->，若函数()f x 的值域与(())f f x 的值域相同，则a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.(0,1]C.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.(1,)+∞8.已知0ω>，函数()sin f x x ω=与()cos g x x ω=的图象在[]π,2π上最多有两个公共点，则ω的取值范围为（）A.15170,,448⎛⎤⎛⎫⎪⎥⎝⎦⎝⎭ B.59170,,448⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎝⎦⎝⎦ C .179210,,848⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.17950,,842⎛⎤⎛⎫⎪⎥⎝⎦⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若a ，b ∈R ，则下列命题正确的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b> B.若a b <，则33a b <C.若||||a a b b <，则a b< D.若0a b >>，则11b ba a+<+10.已知函数()ϕx 的定义域为R ，对于x ∀，y ∈R ，恒有()()()x y x y t ϕϕϕ+=+-，且当0x >时，()x t ϕ<，则下列命题正确的有（）A.(0)tϕ= B.()(2)x t x ϕϕ=-C.(2024)2(2024)t ϕϕ-=- D.x y ∀≠∈R ，()[()()]0x y x y ϕϕ--<11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(32)(31)(61)n n n n S n S n S +-++-=+（n ∈N ，且2n ≥），若112a =，215a =，则下列说法正确的是（）A.5114a =B.数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列C.数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的最小项为12D.数列1(1)n n n a a +⎧⎫-⎨⎩⎭的前2n 项和2n T 为21812n n+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数()22024log 1y ax x =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________．13.已知数列{}n a 满足121,2a a ==，且12n n n a a a ++=+，则2029a =________14.已知不等式22ln 21e xa x x x+-≤-恒成立，则实数a 的取值范围为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知函数ππ()sin sin (0)63f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）当2ω=时，求()f x 的对称轴方程和最大值；（2）若*ω∈N ，且()f x 在区间π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，求()f x 在区间4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上的极值点个数．16.已知函数2()log 4(2)21xxf x a a ⎡⎤=++⋅++⎣⎦．（1）若0a =，求满足2()4f x <<的x 的取值范围；（2）若对任意1x ≥，(x)x f ≥恒成立，求a 的取值范围．17.已知函数()cos 1f x x ax =+-．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(π,(π))f 处的切线方程；（2）当12a =时，求()f x 在区间(0,)+∞上的零点个数．18.设n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，11122n n n a a ++-=，134a =，数列{}n b 是公比为23-的等比数列，2289S T =．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）比较n S 和n T 的大小．19.如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数()f x 的一个零点0x ，先取定一个初值1x ，曲线()y f x =在1x x =处的切线为1l ，记1l 与x 轴的交点横坐标为2x ，曲线()y f x =在2x x =处的切线为2l ，记2l 与x 轴的交点横坐标为3x ，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到0x 的近似值()*n x n ∈N ，设函数3()1f x x x =+-，令11x =．（1）证明：()f x 存在唯一零点0x ，且0213x <<；（2）已知23n x >，证明：2100n n x x x x +-<-；（3）经过4次迭代后，判断0x 的近似值5x 与0x 的差值小于710-．数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．⒉请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【答案】BC 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【13题答案】【答案】1【14题答案】【答案】(],3-∞四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．【15题答案】【答案】（1）ππ()224k x k =+∈Z （2）()f x 在区间4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有两个极值点【16题答案】【答案】（1）2(0,log 3)（2）7[,)3-+∞【17题答案】【答案】（1）2y x =-（2）()f x 在区间(0,)+∞上有且仅有两个零点【18题答案】【答案】（1）122n n n a ++=，253nn b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2）答案见解析【答案】（1）证明见解析10 （2）证明见解析（3）经过4次迭代后，0x的近似值5x与0x的差值小于7。
百校大联考全国名校2025届高考仿真模拟数学试卷含解析
百校大联考全国名校2025届高考仿真模拟数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1B ．11C ．-19D ．512．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ）A ．BC ．12-D ．123．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 4．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 5．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（ ） A ．23，-2 B ．23-，-9 C ．-2，-9 D ．2，-26．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．已知()22log 217y x x =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ） A ．94B ．5C ．524+ D ．98．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40B ．-20C ．20D ．409．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭ D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ） A ．12B ．22C ．32D ．2311．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1112．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ） A ．3-B ．2-C ．1-D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
五岳联考2020届河南广东等省高三普通高等学校招生全国统一考试4月联考数学(理)试卷及答案
绝密★启用前 试卷类型：B五岳联考2020届河南广东等省高三普通高等学校招生全国统一考试4月联考数学（理）试卷★祝考试顺利★本试卷共5页,23小题（含选考题）,满分150分,考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上,将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322,则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 2．已知i 是虚数单位,则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前,某教师刚退休的月退休金为400元,月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼,目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元,则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动,其中一组指挥交通,一组分发宣传资料,则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F,过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N,则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中,D,E 分别为棱AC CC ,1的中点,则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4,3）,点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点,则AB 的最小值为（ ） A.5 B.554 C.5 D.552 8．给出下列说法①定义在[a,b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20；。
【4月五岳联考理数】五岳联考·河南广东等省2020届高三普通高等学校招生全国统一考试4月联考 数学(理)
绝密★启用前 试卷类型：B2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则集合A 的真子集有（ ）{}N x x x x A ∈<--=,0322A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 2．已知i 是虚数单位，则化简的结果为（ ） 2020)11(i i -+A. B.C. D.1 i i -1-3.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A. B. C. D. 7273711435已知抛物线的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点的直线交抛物线于另一点N ，x y 42=)32,3(M l 则等于（ ）NM NF :A. B. C. D.2:13:14:13:16.在所有棱长都相等的直三棱柱中，D ，E 分别为棱的中点，则直线AB 与111C B A ABC -AC CC ,1平面所成角的余弦值为（ ）DE B 1A. B. C. D. 103020302013010707已知点A （4，3），点B 为不等式组所表示平面区域上的任意一点，则的最小⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y AB 值为（ ）A.5B. C. D. 55455528．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数的最大值为20；b x a x x f ++-=)4()(2②“”是“”的充分不必要条件；4π=x 1tan =x③命题“”的否定形式是“” 21),,0(000≥++∞∈∃x x x 21),,0(<++∞∈∀x x x 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.3 9.已知，则间的大小关系为 5.03422log 2log ,,,03log m c m b ma m ===>cb a ,,A. B. C.D. c b a <<c a b <<b a c <<a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.两 C.两 D.两 1272666326612725011在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则3cos cos c A b B a =-B b A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A. B. C. D. 2222333212.已知几为奇函数，为偶函数，且，不等式)(x f )(x g )13(log )()(3+=+x x g x f 对恒成立，则的最大值为（ ）0)()(3≥--t x f x g R x ∈t A.1 B. C.2 D. 2log 233-12log 233-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，），b =（1，），则b 在a 方向上的投影等于. 5-5214在△ABC 中，∠B=，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=AB ，则E 的32π21离心率为 . 5已知函数是奇函数，且在上单调减，则的最大值)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f ]4,6[ππ-ω是 .16已知三棱锥A-BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=，则三棱锥6A-BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且． 112n n n S na a =+-（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列的前n 项和为T n ，证明： ． 22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭32n T ＜18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=FD ，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D-BE-C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足．4PQ （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为p （0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f （x ）=（a-1）x+xlnx 的图象在点A （e 2，f （e 2））（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a 的值；（2）若m ∈Z ，且m （x-1）<f （x ）+1对任意x>1恒成立，求m 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为，直线l 的参数方程为（t 为参数）． -22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，）2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x-1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围 122)(-<+t x f。
山东省百校大联考2024-2025学年高三上学期12月学情诊断数学试题及答案
2025届高三上学期学情诊断数 学2024.12注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．复数i25+的共轭复数是A ．i2+B ．i2+−C ．i2−−D ．i2−A ．}2,1{−B ．}1,2{−C ．}1,0,2{−D ．}2,0,1{−3．已知数列{}n a 为等差数列，2a ，7a 为函数13ln 21)(2+−+=x x x x f 的两个极值点，则=+54a a A ．1B ．3C ．5D ．253+4．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，AO AC AB 2=+且||||AC AB =，则向量BA 在向量BC 上的投影向量为 A ．BCB ．BOC ．CBD ．OB5．已知βα,为两个不同的平面，m l ,为两条不同的直线，则m β⊥的一个充分不必要条件可以是A ．m 与β内所有的直线都垂直 B ．αβ⊥,l αβ= ,m l ⊥C ．m 与β内无数条直线垂直D ．α⊥l ,β⊥l ,6．把函数)(x f y =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移3π个单位长度，得到函数)(x g y =的图象，且)(x g y =的图象关于点0 ,4π中心对称，则函数)(x f y =的解析式可能是A ．−=12π72sin )(x x f B ．+=12π2sin )(x x f C ．−=12π72sin )(x x f D ．+=12π2sin )(x x f 7．已知函数 ≥−<≤=3),3(230 ,2)(x x f x x f x ，则=)2024(log 2f A ．8253B ．4253C ．2253D ．2538．已知函数)(x f y =的定义域是R ，其导函数)(x f ′满足)1()(+′=′x f x f ，且有2)1( ,0)0(==f f ，则=+++)2()2()2()1(92f f f f A ．1022B ．1024C ．2046D ．2048二、选择题：本题共 3 小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．已知0a b >>，c 为实数，则下列不等式正确的是A ．33b a >B ． 22bc ac >C ．D ．bb a a sin sin −<−10．已知函数)cos(cos )sin(sin )(x x x f −=，则下列说法正确的是A ．)(x f 是偶函数B ．)(x f 是周期函数C ．)(x f 关于直线2π=x 对称D ．当)π,0(∈x 时，0)(1<<−x f 11．如图，在三棱锥ABC O −中，OC OB OA ，，两两垂直且1===OC OB OA ，N M，分别下列说法正确的是AB C ．当1=λµ时，三棱锥AMN O −的体积是定值D ．若空间中的点P 满足PO PA ⊥且PC PB ⊥，则满足条件的点P 所形成的轨迹长度为π36m α⊥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．13． 已知圆锥的表面积为π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为________________．14．已知△ABC 外接圆的半径为2，S 是△ABC 的面积，c b a ,,分别是△ABC 三个内角C B A ,,的对边，若不等式S c b a λ≥++222恒成立，则λ的最大值为；点P 为△ABC 外接圆上的任意一点，当λ取得最大值时，PB PA ⋅的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）已知数列{}n a 为正项数列，且11a =，2212 1 (N )n n a a n n ∗+−=+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令(1)3n ann n b a =−+，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．16.（15分）已知c b a , ,分别为△ABC 三个内角C B A , ,的对边，且1sin 3cos =++ca Cb C b ．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且有1=c ，求△ABC 面积的取值范围．17.（15分）如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD −中，底面边长是1，点G F E , ,分别在侧棱111 , ,DD CC BB 上，且G F E A , , ,四点共面．设直线AE 、AG 与平面ABCD 所成的角分别为α、β．（1）设平面AEFG 与平面ABCD 相交于直线l ，求证：当l BD //时，βα=；（2）当2π=+βα时，求平面AEFG 与平面ABCD 所成角的余弦值的最大值．18.（17分）已知函数)e )(2()(ax x x f x −−=，R ∈a ．（1）求函数)(x f y =的图象经过的所有的定点坐标，并写出函数)(x f y =的一条以上述一个定点为切点的切线；（2）讨论函数)(x f y =的单调性；（3）当0a =时，证明：2(2)(ln 1)0f x x x e ++−+≥．19.（17分）一般地，对于无穷数列{}n a ：012,,,,,n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，我们称幂级数nn n xa x f ∑∞==)(即()2012n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅为无穷数列{}n a 的母函数，例如：数列 1,3,5,,21,n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅的母函数为()()213521nf x x x n x =+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅．附公式：()⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==−−+−+−∞=−+∑nk n k k n n k n kx C x C x C x C x 11-k 211k 1k 011-k 111，其中1||<x ．（1）已知数列}{n a ，00=a ，）（1121≥+=−n a a n n ，求无穷数列}{n a 的母函数)(x f ；（2）已知无穷数列}{n a 的母函数为)(x g ，记n n a a a a S ++++= 210，请用)(x g 表示数列012,S ,S ,,S ,n S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的母函数)(x G ；（3）已知数列}{n a ，()02)1)(2(≥++=n n n a nn ，记n n a a a a S ++++= 210，求n S ．GE1B绝密★启用前2025届高三上学期学情诊断数学解析2024.12一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．A 【解析】i 2i)i)(2(2i)5(2i 25-=-+-=+，i 2-的共轭复数是i 2+．故选A ．2．C 【解析】由B B A = 得A B ⊆.当0=a 时，φ=B ，满足A B ⊆；当0≠a 时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=a B 1，因为A B ⊆，所以11-=-a 或211=-a ，解得1=a 或2-=a ．故选C ．3．B 【解析】xx x x x x f 1331)(2+-=-+='，因为2a ，7a 为函数13ln 21)(2+-+=x x x x f 的两个极值点，所以372=+a a ，因为{}n a 为等差数列，所以354=+a a ．故选B ．4．B 【解析】因为AO AC AB 2=+，所以BC 是圆O 的直径.=，所以ABC ∆是以A ∠为直角的等腰直角三角形．所以BA 在BC 上的投影向量为BO ．故选B ．5．D 【解析】m 与β内所有的直线都垂直是m β⊥的充要条件，选项A 错；根据面面垂直的性质定理，缺少条件α⊂m ，故也不是m β⊥的充分不必要条件，选项Ｂ错；由m 与β内无数条直线垂直不能推出m β⊥，所以不是m β⊥的充分不必要条件，选项C 错；由α⊥l ，β⊥l ，得βα//，又因为m α⊥，所以m β⊥，反之，由m β⊥推不出α⊥l ,β⊥l ,m α⊥，所以α⊥l ,β⊥l ,m α⊥是m β⊥的一个充分不必要条件，选项Ｄ正确．故选Ｄ．6．C 【解析】对于选项A ，⎪⎭⎫⎝⎛-=12π72sin )(x x f ，把函数)(x f y =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到⎪⎭⎫⎝⎛-=12π74sin x y ，再把所得曲线向左平移3π个单位长度，得到））（（12π73π41sin )(-+=x x g 4cos 2π4sin x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，其图象不关于点⎪⎭⎫⎝⎛0 ,4π中心对称，故选项A 错；对于选项B ，⎪⎭⎫⎝⎛+=12π2sin )(x x f ，把函数)(x f y =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到⎪⎭⎫⎝⎛+=12π4sin x y ，再把所得曲线向左平移3π个单位长度，得到)6π4sin(12π3π(41sin()(+=++=x x x g ，其图象不关于点⎪⎭⎫⎝⎛0 ,4π中心对称，故选项B 错；对于选项C ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12π72sin )(x x f ，把函数)(x f y =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12π7sin x y ，再把所得曲线向左平移3π个单位长度，得到⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=4πsin 12π73πsin )(x x x g ，其图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0 ,4π中心对称，选项C 正确；对于选项D ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12π2sin )(x x f ，把函数)(x f y =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12πsin x y ，再把所得曲线向左平移3π个单位长度，得到⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=12π5sin 12π3sin )(x x x g π，其图象不关于点⎪⎭⎫⎝⎛0 ,4π中心对称，选项D 错．故选C ．7．A 【解析】因为1110220242<<，所以112024log 102<<，2332024log 12<⨯-<，所以82532202422)92024(log 2)2024(log 692024log32322==⋅=-=-f f ．故选A ．8．C 【解析】由)1()(+'='x f x f 得c x f x f +=+)()1(，其中c 为常数，令0=x 得c f f +=)0()1(，又2)1( ,0)0(==f f ，得2=c ，2)()1(+=+x f x f .所以+∈=⋅-+=N n n n n f ,22)1(2)(．20462121222212)2()2()2()1(109292=--⋅=++++=+++）（ f f f f ．故选C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．AC 【解析】由3x y =单调递增，知33b a >，故选项A 正确；0=c 时选项B 不正确；22=⋅≥+abb a a b b a ，当且仅当b a =时等号成立，因为0a b >>，所以等号不成立，故选项Ｃ正确；对于函数x x y sin -=，0cos 1≥-='x y，所以x x y sin -=单调递增，又0a b >>，得b b a a sin sin ->-，故选项D 不正确．故选AC ．10.BCD【解析】11sin 0cos 1sin )2πcos(cos )2πsin(sin )2π(-=-=-=f ，--=-))2πsin(sin()2π(f 11sin 0cos )1sin())2πcos(cos(--=--=-，得)2π()2π(-≠f f ，所以)(x f 不是偶函数，故选项A 错误；)()cos(cos )sin(sin ))π2cos(cos())π2sin(sin()π2(x f x x x x x f =-=+-+=+，所以)(x f 是以π2为周期的周期函数，故选项B 正确；)())cos(cos()sin(sin ))-πcos(cos())-πsin(sin()-π(x f x x x x x f =--=-=，所以)(x f 关于直线2π=x 对称，故选项C 正确；对于选项D ，由)(x f 关于直线2π=x 对称，只需看当]2π,0(∈x 时，0)(1<<-x f 是否成立即可．当]2π,0(∈x 时，1sin 0≤<x ，1cos 0<≤x ，1sin )sin(sin 0≤<x ，1)cos(cos 1cos ≤<x ，所以1)cos(cos )sin(sin ->-x x ，又因为ππsin cos 2sin()242x x x +=+≤<，所以ππ0sin cos 22x x <<-<，所以πsin(sin )sin(cos )cos(cos )2x x x <-=，所以0)(1<<-x f ，故选项D 正确．故选BCD ．11．ACD 【解析】A 选项，三棱锥ABC O -的外接球是边长为1的正方体的外接球，其半径23=R ，所以表面积为π343π423π4π422=⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=R ，所以A 选项正确；B 选项，在三棱锥ABC O -中，由OC OB OA ，，两两垂直可得⊥OA 底面OBC ．如图所示，在线段OC 上取一点D ，使得μ==ACANOC OD ，即得OA DN //且μ-=1DN ，再由⊥OA 底面OBC 可得⊥ND 底面OBC ，而⊂MD 平面OBC ，故⊥ND DM ．又因为μλ==OBOM，所以BC DM //且μλ22==DM ，所以可得3632)31(3123)1(2222222≥+-=+-=-+=+=μμμμμDN DM MN ，所以B 选项错误；C 选项，因为1=⋅μλ，所以λμ1===ACAN OC OD ，即λ1=OD ，又因为λ=OB OM ，所以λλ==OB OM ,再由OA DN //可得，点N 到平面OAM 的距离等于点D 到平面OAM 的距离，故有ODM A OAM D OAM N AMN O V V V V ----===，因为⊥OA 底面OBC ，所以OA 即为三棱锥ODM A -的高，从而6111213131=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯==∆--λλOA S V V ODM ODM A AMN O ，是定值，所以C 选项正确；D 选项，满足PO P A ⊥且PC PB ⊥的点P 的轨迹是分别以BC OA ,为直径的球相交所得的圆，如图下左所示，其轴截面如下右图所示，该圆的直径为线段HG ，OA 的中点E 是OA 为直径的球的球心，BC 中点F 是BC 为直径的球的球心，可得23,22,21===EF FG EG ，从而66232221=⨯=GI ，点P 所形成的轨迹长度为π3666π2=⨯，所以D 选项正确．故选ACD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．21-【解析】因为21)2πsin(=+α，所以21cos =α，所以211cos 22cos 2-=-=αα．13．9π【解析】由πππ2=+r rl 且l r ππ2=，得312=r ，13222==-=r r l h ，所以9ππ312==h r V ．14．43，]6 ,2[-【解析】由题意可得min 222)(S c b a ++≤λ即可，当△ABC 为等边三角形时有22243a b c S++=.下证对于任意的三角形都有34)(min 222=++S c b a ．证明过程如下：()222224322cos 23sin a b c S b c bc A bc A ++-=+--()()()2222223sin cos 24sin 6b c bcA A b c bc A π⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭()()2222420b c bc b c ≥+-=-≥，当π3A =且b c =等号成立，即△ABC 为等边三角形时等号成立．所以λ的最大值为34．当λ取得最大值时，△ABC 为等边三角形，如右图所示，取AB 的中点D ，则有()()222B 3PA P PD DA PD DA PD DA PD ⋅=+⋅-=-=- ，由图可得3||1≤≤PD ，所以B PA P ⋅的取值范围是]6 ,2[-．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】考查方向：构造常数列/累加法求通项+分组求和、并项求和、等比数列求和（1）【法一】构造常数列由222212 1 =(+1) (N )n n a a n n n n *+-=+-∈，11a =，可得22222211(+1)10n n a n a n a +-=-==-= ，故数列{}22n a n-是恒为0的常数列，所以22nan =，·······································································5分又因为数列{}n a 为正项数列，所以 (N )n a n n *=∈.·······································································6分【法二】累加法由题意得：2n ∀≥且N n *∈，有2212212223222212(1)121,2(2)123,2215,2113,n n n n a a n n a a n n a a a a ----=-+=--=-+=--=⨯+=-=⨯+=将以上各式相加，得2221(1)(321)35(23)(21)12n n n a a n n n -+--=+++-+-==- ，将11a =代入上式即得22n a n =，且当1n =时也成立，所以22n a n =，又因为数列{}n a 为正项数列，所以 (N )n a n n *=∈．·····································································6分（2）由（1）可得n n n n b 3)1(+-=，令n c nn )1(-=，其前2n 项和为n T 2，则n n n T n =+---+-+-=2)12(43212 ，··············································································9分又因为2332)13(331)31(33331222221-=-=--=++++n n n n，························································12分所以212332n nS n +-=+．···························································································13分16．【解析】正弦定理+最值（1）根据正弦定理，1sin 3cos =++c a Cb C b 可化为1sin sin sin sin 3cos sin =++CA CBC B ，1分.0)1cos sin 3(sin sin cos sin cos sin sin sin 3cos sin sin )sin(sin sin 3cos sin sin sin sin sin 3cos sin =--=---+=-+-+=--+B B C C B C C B C B C B CC B C B C B C A C B C B ·············································································································································5分因为) π,0(∈C ，所以0sin ≠C ，故有01cos sin 3=--B B ，进而有21)6πsin(=-B ，因为) π,0(∈B ，所以)6π5 ,6π(6π-∈-B ，故有6π6π=-B ，所以3π=B ．································································7分（2）因为3π=B ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<-=<2π02π3π20C C A ，进而有2π6π<<C ．·················································8分由正弦定理可得C b A a sin 123sin ==，所以有CC C CC C C CAa sin 2cos 321sin sin 21cos 23sin )3π2sin(sin sin +=+=-==，所以tan 2321(43)sin 2cos 321(4343sin 21CC C a B ac S ABC +=+===∆，·······································11分因为2π6π<<C ，所以33tan >C ，所以23tan 2321(4383<+=<∆CS ABC ，··························14分所以ABC ∆面积的取值范围是)23 ,83(．·················································································15分17．【解析】直线与平面所成的角，平面与平面所成的角，线面平行的判定定理和性质定理，最值问题（1）由l BD //，⊄BD 平面AEFG ，⊂l 平面AEFG 可得，//BD 平面AEFG ，····················2分再由⊂BD 平面D D BB 11，平面 D D BB 11平面EG AEFG =，所以EG BD //，·······················4分又因为DG BE //，所以四边形BDGE 为平行四边形，所以DG BE =．·······························5分在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，11,DD BB 均垂直于平面ABCD ，所以直线AE 、AG 与平面ABCD 所成的角分别为GAD EAB ∠∠,，即GAD EAB ∠=∠=βα,，····································6分又因为DG BE =，AD AB =，所以βαtan tan =，从而βα=；········································7分（2）以A 为坐标原点，分别以1,,AB AD AA的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．则)tan ,0,1(αE ，)tan ,1,0(βG ，所以)tan ,0,1(α=AE ，)tan ,1,0(β=AG ，····························9分设平面AEFG 的法向量),,(1z y x n =，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0tan 0tan 11βαz y n AG z x n AE ，令1-=z ，则有βαtan ,tan ==y x ，所以)1,tan ,(tan 1-=βαn ，·································································11分平面ABCD 的法向量)1,0,0(2=n ，平面AEFG 与平面ABCD 所成角为θ，则331tan 1tan 211tan 1tan 11)2π(tan tan 11tan tan 1|,cos |cos 2222222221=+⋅≤++=+-+=++=><=ααααααβαθn n 当且仅当αα22tan 1tan =，即4π=α时等号成立，·························································14分即平面AEFG 与平面ABCD 所成角的余弦值的最大值为33．·········································15分18．【解析】（1）显然)(x f y =的图象经过(2,0)，当0x =时，2y =-，所以()f x 的图象经过的所有定点的坐标为(2,0)和(0,2)-················································································1分由题知()()e (2)(e )(1)e 2x xxf x ax x a x a '=-+-=---，····························································2分若以(2,0)为切点，2(2)2f e a '=-，切线为2(2)(2)y e a x =--；若以(0,2)-为切点，(0)21f a '=-，切线为(21)2y a x =--；············································4分（注：上述两条切线写出一条即可）（2）①当0a ≤时，e 20x a ->恒成立，所以当1x <时,()0f x '<,()f x 在(,1)-∞单调递减，当1x >时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞单调递增；··················································5分②当0a >时，由()0f x '=，得11x =或()2ln 2x a =．············································6分当ln(2)1a =，即e 2a =时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在R 上单调递增，········································7分当ln(2)1a >时，即e2a >时,当1x <时，()0f x '>,()f x 在(,1)-∞单调递增;当1ln(2)x a <<时，()0f x '<，()f x 在()1,ln(2)a 单调递减；当ln(2)x a >时，()0f x '>，()f x 在()ln(2),a +∞单调递增；··················································9分当ln(2)1a <时，即0e2a <<时，当ln(2)x a <时，()0f x '>，()f x 在()ln(2)a -∞，单调递增；当ln(2)1a x <<时，()0f x '<，()f x 在(ln(2),1)a 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 在()1,+∞单调递增；·················································11分综上所述：当0a ≤时，()f x 在(,1)-∞单调递减，在(1,)+∞单调递增；当0e 2a <<时，()f x 在()ln(2)a -∞，单调递增，在(ln(2),1)a 单调递减，在()1,+∞单调递增；当e2a =时，()f x 在R 上单调递增；当e2a >时，()f x 在(,1)-∞单调递增，在()1,ln(2)a 单调递减，在()ln(2),a +∞单调递增．···············12分（3）【证法一】当0a =时，2(2)(ln 1)0f x x x e ++-+≥2(ln )10x e x x x x ⇔+-+≥．令2()(ln )1x g x e x x x x =+-+，则2()(ln ln 121)(1)(ln )x x g x e x x x x x x e x x x '=+-+++-=++令1()ln ,()1h x x x h x x '=+=+，则()h x 在(0,)+∞上单调递增.又因为(1)10h =>，11()10h e e=-+<，所以存在1(,1)t e ∈，使得()ln 0h t t t =+=，即ln t t =-即1te t =.当(0,)x t ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减；当(,)x t ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增.所以2()()(ln )10t g x g t e t t t t ≥=+-+=．所以2(ln )10x e x x x x +-+≥也即2(2)(ln 1)0f x x x e ++-+≥．·········································17分【证法二】当0a =时，2(2)(ln 1)0f x x x e ++-+≥1ln 10xx x xe ⇔++-≥．令1()ln 1x g x x x xe =++-，22(1)1(1)(1)()1x x xx x xe g x x e x x e++-'=-++=，令()1x h x xe =-，()(1)0x h x x e '=+>，则()h x 在(0,)+∞上单调递增．又因为(0)10h =-<，(1)10h e =->，所以存在(0,1)t ∈，使得()10th t te =-=，即1t e t =即ln t t =-.当(0,)x t ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减；当(,)x t ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增．所以1()()ln 1ln 0t g x g t t t t t te≥=++-=+=所以1ln 10x x x xe++-≥也即2(2)(ln 1)0f x x x e ++-+≥．··············································17分【证法三】当0a =时，2(2)(ln 1)0f x x x e ++-+≥1(ln 1)0xx x x e ⇔++-≥．令1()(ln 1)x g x x x x e =++-，1()ln 2xg x x x e'=-++，易知()g x '在(0,)+∞上单调递增，x →+∞时，()g x '→+∞；0x →时，()g x '→-∞，所以存在(0,)t ∈+∞，使得1()ln 20t g t t t e'=-++=，即ln 2t e t t -=+即()ln t e t t t -+-=+，令()xG x e x =+，则()(ln )G t G t -=，因为()G x 在R 上单调递增，所以ln t t =-，即1t e t =．当(0,)x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(,)x t ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增．所以21()()ln 0tg x g t t t t t e ≥=++-=，所以2(2)(ln 1)0f x x x e ++-+≥．··························17分19．【解析】（１）【法一】由121+=-n n a a 可得()1211+=+-n n a a ，所以数列{}1+n a 为公比是2的等比数列，所以()n n n a a 21210=+=+，即得21nn a =-，所以数列的母函数为()()021n n n f x x ∞==-∑．··························································································································4分【法二】在()⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==--+-+-∞=-+∑nk n k k n n k n kx C x C x C x C x 11-k 211k 1k 011-k 111中令1=k 得⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++===-∑∑∞=∞=n n n n nn x x x x x C x 2000111，所以⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=-n n x x x x222121122，()2012n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅①()23101222222n n xf x a x a x a x a x +=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅②①-②得()()()()()()2301021321122222n n n x f x a a a x a a x a a x a a x --=+-+-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅230nx x x x =++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅111x=-+-，()()()11121111211212121121f x x x x x x x x x=-+=-+-=---------)2222(2210⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=n n x x x )1(2⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++-n x x x+-++-+-+-=n n x x x )12()12()12()12(2210()021n n n x ∞==-∑． (4)（２）由题意得()2012nn G x S S x S x S x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅①那么()231012n n xG x S x S x S x S x +=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅②①-②得()()()()()()23010213211n n n x G x S S S x S S x S S x S S x --=+-+-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅()g x =，所以()()1g x G x x=-．·······························································································10分（3）由公式()⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==--+-+-∞=-+∑nk n k k n n k n kx C x C x C x C x 11-k 211k 1k 011-k 111可得令3=k 得()∑∞=+=-022311n nn x C x 所以()∑∑∑∞=∞=∞=+=++==-0002232)1)(2()2(2212n n n n nn n n n x a x n n x C x 数列}{n a 的母函数为()()3212f x x =-，由（２）结论知数列}{n S 的母函数为()()()()321112f x G x xx x ==---32)21(4)21(421412x x x x -+---+--=∑∑∑∑∞=+∞=+∞=∞=+-+-=0220110002424242n nn n n nnn n nnnn nnx C x C x C x C ()12122424242nnnnn n n C Cx ∞++==-+⋅-+∑()120[222]n n n n n x ∞+==++-∑，所以()12222n n S n n +=++-．··················································································17分。