七年级数学下册,平行线及其判定基础练习题及答案
新人教版七年级数学下册同步练习5.2平行线及其判定(练习卷+解析版)
新人教版七年级数学下册同步练习 5.2 平行线及其判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）
1．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．平行、相交或垂直
选：C．
2．直线 a、b、c 在同一平面内，
（1）如果 a⊥b，b⊥c，那么 a∥c；
B．有两条
C．不存在
D．有一条或不存在
解：①若点 P 在 OA 上，则不能画出与 OA 平行的直线，
②若点 P 不在 OA 上，则过点 P 有且只有一条直线与 OA 平行，
所以，这样的直线有一条或不存在．
故选 D．
4．下面推理正确的是（ ）
A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d
B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d
16．如图，EF⊥AB 于点 F，CD⊥AB 于点 D，E 是 AC 上一点，∠1=∠2，则图中互相平行 的直线有 2 对．
解：∵EF⊥AB，CD⊥AB， ∴∠EFA=∠CDA=90°， ∴EF∥CD， ∴∠1=∠EDC， ∵∠1=∠2， ∴∠EDC=∠2， ∴DE∥BC， 即图中互相平行的直线有 2 对， 故答案为：2．
（2）如果 a∥b，b∥c，c∥d，那么 a∥d；
（3）如果 a∥b，b⊥c，那么 a⊥c；
（4）如果 a 与 b 相交，b 与 c 相交，那么 a 与 c 相交．
在上述四种说法中，正确的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解：直线 a、b、c 在同一平面内，
（1）如果 a⊥b，b⊥c，那么 a∥c；正确．
8．两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线的位置关系是（ ）
七年级数学下册平行线的判定练习题
七年级数学下册平行线的判定练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，下列四个结论：①①1＝①3；①①B ＝①5；①①B ＋①BAD ＝180º；①①2＝①4；①①D ＋①BCD ＝180º．能判断AB ①CD 的个数有 （ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．如图，//AB CD ，120BAE ∠=︒，40DCE ∠=︒，则AEC ∠=（ ）A ．70︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒3．如图，已知直线a ，b 被直线c 所截，下列条件不能判断a ①b 的是（ ）A ．①2＝①6B ．①2＋①3＝180°C ．①1＝①4D ．①5＋①6＝180°4．如图点E 在BC 的延长线上，则下列条件中，不能判定AB ∥CD 的是（ ）A ．①1＝①2B ．①B ＝①DCEC ．①3＝①4D ．①D +①DAB ＝180°5．如图所示，在下列四组条件中，能判断//AB CD 的是（ ）A ．12∠=∠B ．180BAD ABC ∠+∠=︒ C ．34∠=∠D ．ABD BDC ∠=∠6．下列给出的条件能够推理出a b ∥的是（ ）A ．12∠=∠B ．24∠∠=C ．34∠=∠D ．14180∠+∠=︒二、填空题7．如图，木工师傅用角尺画平行线的依据是_________________________.8．已知：如图，在三角形ABC 中，CD AB ⊥于点D ，连接DE ，当1290∠+∠=︒时，求证：DE ∥BC ． 证明：①CD AB ⊥（已知），①90ADC ∠=︒（垂直的定义）．①1∠+________90=︒，①1290∠+∠=︒（已知），①________2=∠（依据1：________），①∥DE BC （依据2：________）．9．如图，写出能判定AB①CD的一对角的数量关系:___________________.BC ，DO①AB，则①O的半径10．如图，AB是①O的直径，CB切①O于B，连结AC交①O于D，若8cmOA=___________cm．11．如图，用符号语言表达定理“内错角相等，两直线平行”的推理形式：①_____，①a①b．三、解答题12．请完成下面的推理过程：如图，已知①D＝108°，①BAD＝72°，AC①BC于C，EF①BC于F．求证：①1＝①2．证明：①①D＝108°，①BAD＝72°（已知）①①D+①BAD＝180°AB CD（）①//①①1＝ （ ）又①AC ①BC 于C ，EF ①BC 于F （已知）①EF // （ ）①①2＝ （ ）①①1＝①2（ ）13．如图，四边形ABCD 中，①A ＝①C ＝90°，BE 平分①ABC ，DF 平分①ADC ，则BE 与DF 有何位置关系？试说明理由．14．如图，已知AC ①BC 于点C ，①B ＝70º，①ACD ＝20º．(1)求证：AB //CD ；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件________，使BC //AD ．15．如图所示，在四边形ABCD 中，ABC ∠的角平分线及外角DCE ∠的平分线所在的直线相交于点F ，若A α∠=，D β∠=．（1）如图(a )所示，180αβ+>，试用α，β表示F ∠，直接写出结论．（2）如图(b )所示，180αβ+<，请在图中画出F ∠，并试用α，β表示F ∠．（3）一定存在F ∠吗？若有，写出F ∠的值；若不一定，直接写出α，β满足什么条件时，不存在F ∠．16．下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC SBC h =⋅，12DBC S BC h =⋅△． ①ABC DBC S S =．【探究】(1)如图①，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h '，则ABC DBC S h S h ='△△．证明：①ABC S(2)如图①，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM=△△．证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒， ①AE ∥ ．①AEM △∽ ． ①AE AM DF DM=． 由【探究】（1）可知ABC DBCS S =△△ ， ①ABC DBC S AM S DM=△△． (3)如图①，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBCS S △△的值为 ．17．如图，在下列括号中填写推理理由①①1=135°(已知)，①①3=①135°( )又①①2=45°(已知)，①①2+①3=45°+135°=180°，①a ①b ( )18．已知：如图，点E在线段CD上，EA、EB分别平分①DAB和①ABC，①AEB＝90°，设AD＝x，BC＝y，且（x﹣2）2＋|y﹣5|＝0．（1）求AD和BC的长．（2）试说线段AD与BC有怎样的位置关系？并证明你的结论．（3）你能求出AB的长吗？若能，请写出推理过程，若不能，说明理由．19．如图，AB＝CD，BC＝DA，求证：AB①CD，BC①DA．参考答案：1．A【分析】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的两直线平行分别判断即可．【详解】解：①①13∠=∠，①//AD BC ，无法推出//AB CD ；①①5B ∠=∠，①//AB CD ；①①180B BAD ∠+∠=°，①//AD BC ，无法推出//AB CD ；①①24∠∠=，①//AB CD ；①①180D BCD ∠+∠=︒①//AD BC ，无法推出//AB CD ，综上所述，能判断//AB CD 的是：①①，有2个，故选：A ．【点睛】题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．2．D【分析】过点E 作//EF AB ，先根据平行线的判定可得//EF CD ，再根据平行线的性质分别可得AEF ∠和CEF ∠的度数，然后根据角的和差即可得．【详解】如图，过点E 作//EF AB ，120BAE ∠=︒，18060AEF BAE ∴∠=︒-∠=︒，又//AB CD ，//EF CD ∴，40DCE CEF ∴=∠=∠︒，6040100AEC AEF CEF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．3．D【分析】根据同位角相等，内错角相等，同旁内角互补来判定两直线平行．【详解】解：A ，①2和①6是内错角，内错角相等两直线平行，能判定a ①b ，不符合题意；B ，①2+①3＝180°，①2和①3是同旁内角，同旁内角互补两直线平行，能判定a ①b ，不符合题意；C ，①1＝①4，由图可知①1与①2是对顶角，①①1＝①2＝①4，①2和①4互为同位角，能判定a ①b ，不符合D ，①5+①6＝180°，①5和①6是邻补角，和为180°，不能判定a ①b ，符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，结合平行线判定的条件是解决这道题的关键．4．C【分析】根据平行线的判定定理进行逐一分析解答即可．【详解】解：A 、正确，符合“内错角相等，两条直线平行”的判定定理；B 、正确，符合“同位角相等，两条直线平行”的判定定理；C 、错误，若①3=①4，则AD ①BE ；D 、正确，符合“同旁内角互补，两条直线平行”的判定定理；故选：C ．【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，比较简单．5．D【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．【详解】解：A 、①①1＝①2，①AD //BC （内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；B 、①①BAD ＋①ABC ＝180°，①AD //BC （同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意；C 、①①3＝①4，①AD //BC （内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；D 、①①ABD ＝①BDC ，①AB //CD （内错角相等，两直线平行），故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题关键．6．D【分析】根据平行线的判定逐一判定即可．【详解】解：A.由12∠=∠不能推理出a b ∥，故不符合题意；B.由24∠∠=不能推理出a b ∥，故不符合题意；C.由34∠=∠不能推理出a b ∥，故不符合题意；D. ①①4+①5=180°时能推出a b ∥，又①①1=①5，①由14180∠+∠=︒能推理出a b ∥，故符合题意；【点睛】本题考查了平行线的判定定理，解决此题的关键是清楚平行线的判定定理同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．7．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行.【分析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行.【详解】解：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行. 故答案为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定方法是解答此题的关键8． EDC ∠ EDC ∠ 同角的余角相等 内错角相等，两直线平行【分析】根据垂直的定义及平行线的判定定理即可填空．【详解】①CD AB ⊥（已知），①90ADC ∠=︒（垂直的定义）．①1∠+EDC ∠90=︒，①1290∠+∠=︒（已知），①EDC ∠2=∠（同角的余角相等），①//DE BC （内错角相等，两直线平行）．故答案为：EDC ∠；EDC ∠；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记 “内错角相等，两直线平行”是解题的关键．9．①BAC ＝①ACD （或①B ＋①BCD ＝180°或①D ＋①BAD ＝180°）【分析】根据平行线的判定定理进行填空．【详解】解：由“内错角相等，两直线平行”可以添加条件①BAC ＝①ACD ．由“同旁内角互补，两直线平行”可以添加条件①B ＋①BCD ＝180°，或①D ＋①BAD ＝180°．故答案为：①BAC ＝①ACD （或①B ＋①BCD ＝180°或①D ＋①BAD ＝180°）．【点睛】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力． 10．4【分析】先根据切线的性质得出BC①AB，再根据平行线的判定得出BC OD∥，再根据平行线分线段成比例，得出OD AOBC AB=，根据点O是AB的中点，8BC=cm，求出OD，即可得出结果．【详解】解：①CB切①O于B,①BC①AB，①DO①AB，①BC OD∥，①OD AOBC AB=，①点O是AB的中点，①2AB AO=，①12 OD AOBC AB==，①8BC=cm，①OD=4cm，①OA=OD，①OA=4cm．故答案是：4．【点睛】本题主要考查了切线的性质，平行线的判定，平行线分线段成比例，根据切线的性质，结合已知条件，求出BC OD∥，是解题的关键．11．①4＝①1【分析】两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．【详解】解：①①4＝①1，①a①b．故答案为：①4＝①1．【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟记判定方法是解题的关键．12．见解析【分析】由直线相交及平行的相关定理性质即可得到答案．【详解】解：①①D＝108°，①BAD＝72°（已知）①①D+①BAD＝180°①//AB CD（同旁内角互补，两直线平行）①①1＝3∠（两直线平行，内错角相等）又①AC ①BC 于C ，EF ①BC 于F （已知）①EF //AC （垂直于同一直线的两条直线平行）①①2＝3∠（两直线平行，同位角相等）①①1＝①2（等量代换）【点睛】本题考查直线相交及平行的相关定理性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．13．BE ①DF ，理由见解析【分析】根据四边形的内角和定理和①A ＝①C ＝90°，得①ABC ＋①ADC ＝180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE 与DF 两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行．【详解】解：BE ①DF ．理由如下：①①A ＝①C ＝90°，①①ABC ＋①ADC ＝180°①BE 平分①ABC ，DF 平分①ADC ，①①1＝①2＝12①ABC ，①3＝①4＝12①ADC ，①①1＋①3＝12（①ABC ＋①ADC ）＝12×180°＝90°， 又①①1＋①AEB ＝90°，①①3＝①AEB①BE ①DF【点睛】本题考查了四边形的内角和是360°、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定，考察的知识点较多，只有熟练掌握，才能运用自如．14．(1)证明见解析(2)AC ①AD （答案不唯一）【分析】（1）由题意易求出110BCD BCA ACD ∠=∠+∠=︒，即可利用同旁内角互补，两直线平行证明； （2）由在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，即可补充条件为：AC ①AD ．（答案不唯一）(1)证明：①AC ①BC ，①90ACB ∠=︒，①110BCD BCA ACD ∠=∠+∠=︒，①180BCD B ∠+∠=︒，①AB CD ；(2)补充条件：AC ①AD ，①AC ①AD ，AC ①BC①BC //AD ．故答案为：AC ①AD ．【点睛】本题考查垂直的定义，平行线的判定．掌握平行线的判定条件是解题关键．15．（1）()1902F αβ∠=+-︒；（2）图见解析，()1902F αβ∠=︒-+，证明见解析；（3）180αβ+=︒时，不存在F ∠，证明见解析．【分析】（1）先根据四边形的内角和求出360D ABC CB βα∠=︒-∠-+，再根据角平分线的定义、邻补角的定义得出1,19022ABC F FBC DC E B C ∠=︒-∠∠∠=，然后根据三角形的外角性质即可得； （2）先根据角平分线的定义画出图形，再参照题（1）：由四边形的内角和求出360D ABC CB βα∠=︒-∠-+，再根据角平分线的定义、对顶角的性质得出11,9022GBC ABC BCF DCB ∠=∠∠=︒-∠，然后根据三角形的外角性质即可得；（3）由题（1）和（2）可知，当180αβ+>︒和180αβ+<︒时，存在F ∠的值，因此，考虑当180αβ+=︒时，F ∠是否存在．证明如下：先根据四边形的内角和得出180ABC DCB ∠+∠=︒，再根据邻补角的定义得出180DCE DCB ∠+∠=︒，从而得出ABC DCE ∠=∠，然后根据角平分线的定义可得出GBC ECF ∠=∠，最后根据平行线的判定得出//BG CF ，即可得证．【详解】（1）()1902F αβ∠=+-︒，求解过程如下： 在四边形ABCD 中，,A D αβ∠=∠=360360DCB ABC D A αβ∠=︒-∠-=︒∴∠-+-∠ BF 平分ABC ∠，CF 平分DCE ∠1,2111(180)90222FBC DCE DCB DCB ABC FCE ∴∠=∠=︒-∠=︒-∠∠∠= F FC FB E C ∠=∠-∴∠119022DC AB B C =︒∠-∠- 902)1(DCB ABC =︒-∠+∠ 190(362)0αβ=︒-︒--)1(902βα=-+︒； （2）由题意，画ABC ∠的角平分线及外角DCE ∠的平分线所在的直线相交于点F ，则所要画的F ∠如下图所示．求解过程如下：①()360ABC DCB A D ∠+∠=︒-∠+∠，且A α∠=，D β∠=①360D ABC CB βα∠=︒-∠-+①BG 平分ABC ∠，CH 平分DCE ∠ ①1111,(180)902222GBC ABC ECH DCE DCB DCB ∠=∠∠=∠=︒-∠=︒-∠ 1902BCF ECH DCB ∴∠=∠=︒-∠ ①GBC ∠是BCF ∆的一个外角①GBC F BCF ∠=∠+∠①F GBC BCF ∠=∠-∠11(90)22ABC DCB =∠-︒-∠ 1()902ABC DCB =∠+∠-︒ 1(360)902αβ=︒---︒ 190()2αβ=︒-+；（3）当180αβ+=︒时，不存在F ∠．证明过程如下：①()360ABC DCB A D ∠+∠=︒-∠+∠，且A α∠=，D β∠=①360180ABC DCB αβ∠+∠=︒--=︒180DCE DCB ∠+∠=︒ABC DCE ∴∠=∠①BG 平分ABC ∠，CF 平分DCE ∠ ①11,22GBC ABC ECF DCE ∠=∠∠=∠GBC ECF ∴∠=∠①//BG CF故当180αβ+=︒时，不存在F ∠．【点睛】本题考查了四边形的内角和、三角形的外角性质、角平分线的定义、平行线的判定等知识点，较难的是题（3），综合题（1）和（2）的题设与结论，正确提出假设是解题关键．16．(1)证明见解析(2)证明见解析 (3)73【分析】（1）根据三角形的面积公式可得11,22ABC DBC S S BC h BC h '=⋅=⋅，由此即可得证； （2）过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，先根据平行线的判定可得AE DF ，再根据相似三角形的判定可证AEM DFM ~，根据相似三角形的性质可得AE AM DF DM =，然后结合【探究】（1）的结论即可得证；（3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，先根据相似三角形的判定证出AME DNE ~，再根据相似三角形的性质可得73AM AE DN DE ==，然后根据三角形的面积公式可得12ABC S BC AM =⋅，12DBC S BC DN =⋅，由此即可得出答案． (1) 证明：12ABC SBC h =⋅，12DBC BC h S '=⋅， ABC DBC Sh S h ∴='． (2)证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，AE DF ∴∥．AEM DFM ~∴．AE AM DF DM∴=． 由【探究】（1）可知ABC DBC SAE S DF =， ABC DBC SAM S DM∴=． (3)解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，则90AME DNE ∠=∠=︒，AM DN ∴， AME DNE ∴~， AM AE DN DE∴=， 点,,A E D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，5 1.5 3.5AE ∴=-=， 1.5DE =，3.571.53AM DN ∴==， 又12ABC S BC AM =⋅，12DBC S BC DN =⋅， 73ABC DBC S AM S DN =∴=， 故答案为：73．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．17．对顶角相等，同旁内角互补，两直线平行【分析】根据图形由对顶角相等，及平行线的判定中同旁内角互补，两直线平行可直接得出理由；【详解】①①1=135°(已知)，①①3=①135°(对顶角相等)又①①2=45°(已知)，①①2+①3=45°+135°=180°，①a ①b (同旁内角互补，两直线平行)故答案为：对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行【点睛】本题考查了对顶角相等；平行线的判定中同旁内角互补，两直线平行；重点掌握平行线判定定理． 18．（1）2AD =，5BC =；（2）//AD BC ，见解析；（3）能，见解析【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性即可得出AD 、BC 的长度；（2）根据题意证明180BAD ABC ∠+∠=︒即可得出结果；（3）延长AE 交直线BC 于F ，先证明①AEB ①①FEB ，然后证明()ADE FCE ASA ∆≅∆，即可得出结果．【详解】解：（1）2(2)|5|0x y -+-=，20x ∴-=，50y -=，解得2x =，5y =，即2AD =，5BC =；（2）//AD BC ．理由如下：EA 、EB 分别平分DAB ∠和ABC ∠，12BAE BAD ∴∠=∠，12ABE ABC ∠=∠， 1()2BAE ABE BAD ABC ∴∠+∠=∠+∠， 90AEB ∠=︒，90BAE ABE ∴∠+∠=︒，180BAD ABC ∴∠+∠=︒，//AD BC ∴；（3）能．理由如下：延长AE 交直线BC 于F ，如图，//AD BC ，DAF F ∴∠=∠，而DAF BAF ∠=∠，BAF F ∴∠=∠，在①AEB 和①FEB 中90BAE F BEA BEF BE BE ⎧∠=∠⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，①①AEB ①①FEB （AAS ）AB FB ∴=，AE ＝EF ．在①ADE 和①FCE 中DAE F AE FEAED FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADE FCE ASA ∴∆≅∆，2AD CF ∴==，527AB BF ∴==+=．【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，角平分线的定义，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，熟知相关性质定理是解本题的关键．19．见解析【分析】连接AC ，利用SSS 得到ABC CDA △△≌，利用全等三角形的对应角相等得到两对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．【详解】证明：连接AC ，在ABC 和CDA 中，AB CD BC AD AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，①()ABC CDA SSS ≌，①BAC DCA ACB CAD ∠=∠∠=∠， ，①//AB DC ，//AD BC ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．。
七年级数学下册 5.2平行线及其判定(十大题型)(解析版 )
七级下册数学《第五章相交线与平行线》5.2平行线及其判定平行线及其表示方法★1、平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．记作：AB∥CD；记作：a∥b；读作：直线AB平行于直线CD．读作：直线a平行于直线b．【注意】1、在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行．(重合的直线视为一条直线)2、.线段或射线平行是指它们所在的直线平行．平行线的画法◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法：一“落”把三角尺一边落在已知直线上；二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边；三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四“画”沿三角尺过已知点的边画直线．【注意】1．经过直线上一点不能作已知直线的平行线．2．画线段或射线的平行线是指画它们所在直线的平行线．3．借助三角尺画平行线时，必须保持紧靠，否则画出的直线不平行.平行公理及其推论★1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.★2、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c.几何语言：∵b∥a，c∥a，∴b∥c.【注意】1、平行公理的推论中，三条直线可以不在同一个平面内．2、平行公理中强调“直线外一点”，因为若点在直线上，不可能有平行线；“有且只有”强调这样的直线是存在的，也是唯一的．平行线的判定方法★1、平行线的判定：判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．几何语言表示：∵∠2＝∠3(已知)，∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．几何语言表示：∵∠2＝∠4(已知)，∴a∥b.(内错角相等，两直线平行)．判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．几何语言表示：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．★2、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直．几何语言表示：直线a，b，c在同一平面内，∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b．【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立.★3、判定两直线平行的方法（1）平行线的定义；（2）平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）；（3利用同位角相等说明两直线平行；（4）利用内错角相等说明两直线平行；（5）利用同旁内角互补说明两直线平行；（6）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.【例题1】（2023秋•埇桥区期中）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）A．相交或垂直B．垂直或平行C．平行或相交D．相交或垂直或平行【分析】根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案．【解答】解：在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行，故C正确；故选：C．【点评】本题考查了平行线，两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线．解题技巧提炼解题的关键是准确把握平行线的概念，牢记平行线的三个条件：①在同一平面内；②不相交；③都是直线，通过与定义进行对比来进行判断.【变式1-1】如图所示，能相交的是，平行的是．（填序号）【分析】根据平行线、相交线的定义，逐项进行判断，即可正确得出结果．【解答】解：①中一条直线，一条射线，不可相交，也不会平行；②中一条直线，一条线段，不可相交，也不会平行；③中一条直线，一条线段，可相交；④中都是线段，不可延长，不可相交，也不平行，⑤中都是直线，延长后不相交，是平行．故答案为：③，⑤．【点评】本题考查平行线和相交线，解题的关键是掌握直线可以沿两个方向延伸，射线可以沿一个方向延伸，线段不能延伸．【变式1-2】下列说法正确的是（）A．同一平面内，如果两条直线不平行，那么它们互相垂直B．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相垂直C．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相平行D．同一平面内，如果两条直线不垂直，那么它们互相平行【分析】根据平行线的判定及垂直、相交的定义判断求解即可．【解答】解：在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交，故A不符合题意；在同一平面内，两条直线不相交，那么这两条直线平行，故B不符合题意；同一平面内，如果两条直线不相交，那么这两条直线平行，故C符合题意；同一平面内，如果两条直线不垂直，它们不一定平行，故D不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了平行线的判定、垂直、相交等知识，熟练掌握有关定理、定义是解题的关键．【变式1-3】（2022春•莱芜区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．两条不相交的直线叫做平行线B．一条直线的平行线有且只有一条C．在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥cD．若两条线段不相交，则它们互相平行【分析】根据平行线的定义、性质、判定方法判断，排除错误答案．【解答】解：A、平行线的定义：在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．故错误；B、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．一条直线的平行线有无数条，故错误；C、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行．故正确；D、根据平行线的定义知是错误的．故选：C．【点评】本题考查平行线的定义、性质及平行公理，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键．【变式1-4】（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在长方体AB CD-EFGH中，与棱EF异面且与平面EFGH 平行的棱是．【分析】与棱EF异面且与平面EFGH平行的棱是：棱AD和棱BC．【解答】解：与棱EF异面且与平面EFGH平行的棱是：棱AD和棱BC．故答案为：棱AD和棱BC．【点评】本题主要考查了平行线与立体图形，熟练掌握平行线与立体图形的特征进行求解是解决本题的关键．【变式1-5】（2022春•沙河市期末）观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据长方体即平行线的性质解答．【解答】解：图中与AB平行的棱有：EF、CD、GH．共有3条．故选：B．【点评】本题考查了平行线的定义、长方体的性质．一个长方形的两条对边平行．【变式1-6】在同一平面内，直线l1与l2满足下列关系，写出其对应的位置关系：（1）若l1与l2没有公共点，则l1和l2；（2）若l1与l2只有一个公共点，则l1和l2；（3）若l1与l2有两个公共点，则l1和l2．【分析】（1）结合平行线的定义进行解答即可；（2）结合相交的定义进行解答即可；（3）结合重合的定义进行解答即可．【解答】解：（1）由于l1和l2没有公共点，所以l1和l2平行；（2）由于l1和l2有且只有一个公共点，所以l1和l2相交；（3）由于l1和l2有两个公共点，所以l1和l2重合；故答案为：（1）平行；（2）相交；（3）重合．【点评】本题侧重考查两直线的位置关系，掌握平行定义是解题关键．【变式1-7】（2022春•赵县月考）在同一平面内，直线a，b相交于P，若a∥c，则b与c的位置关系是．【分析】根据同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条直线也相交．解答即可．【解答】解：因为a∥c，直线a，b相交，所以直线b与c也有交点；故答案为：相交．【点评】本题主要考查了平行线和相交线，同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条直线也相交．【例题2】（2022春•梁山县期中）若a、b、c是同一平面内三条不重合的直线，则它们的交点可以有（）A．1个或2个或3个B．0个或1个或2个或3个C．1个或2个D．以上都不对【分析】根据平行线的定义，相交线的定义，可得答案．【解答】解：当三条直线互相平行，交点是个0；当两条直线平行，与第三条直线相交，交点是2个；当三条直线两两相交交于同一点，交点个数是1个；当三条直线两两相交且不交于同一点，交点个数是3个；故选：B．【点评】本题考查了平行线，分类讨论是解题关键．解题技巧提炼用分类讨论的思想根据平面内两条直线的位置关系去讨论求解.【变式2-1】在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是（）A．垂直或平行B．垂直或相交C．平行或相交D．平行、垂直或相交【分析】同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交；垂直不属于直线的位置关系，它是特殊的相交．【解答】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系．故选：C．【点评】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系．【变式2-2】在同一平面内有三条直线，如果使其中有且只有两条直线平行，那么这三条直线有且只有个交点．【分析】根据同一平面内直线的位置关系得到第三条直线与另两平行直线相交，再根据直线平行和直线相交的定义即可得到交点的个数．【解答】解：∵在同一平面内有三条直线，如果其中有两条且只有两条相互平行，∴第三条直线与另两平行直线相交，∴它们共有2个交点．故答案为2．【点评】本题考查了直线平行的定义：没有公共点的两条直线是平行直线．也考查了同一平面内两直线的位置关系有：平行，相交．【变式2-3】平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有条平行线．【分析】根据同一平面内两条直线的位置关系有两种：相交或平行，及一条直线的平行线有无数条，由四条直线相互平行，其交点为0个开始分析，然后依次变为三条直线相互平行、两条直线相互平行即可求解．【解答】解：若四条直线相互平行，则没有交点；若四条直线中有三条直线相互平行，则此时恰好有三个交点；若四条直线中有两条直线相互平行，另两条不平行，则此时有三个交点或五个交点；若四条直线中有两条直线相互平行，另两条也平行，但它们之间相互不平行，则此时有四个交点；若四条直线中没有平行线，则此时的交点是一个或四个或六个．综上可知，平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有三条平行线．故答案是：三．【点评】本题考查了平行线，题目没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都是平行线，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出答案．【变式2-4】平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为个．【分析】从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可看出．【解答】解：（1）当四条直线平行时，无交点；（2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点；（3）当两两直线平行时，有4个交点；（4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点；（5）当四条直线同交于一点时，只有一个交点；（6）当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；（7）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点．故答案为：0，1，3，4，5，6．【点评】本题没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都平行线，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案；本题对学生要求较高．【例题3】如图，直线a，点B，点C．（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？【分析】根据平行公理及推论进行解答．【解答】解：（1）如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行；（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行．理由如下：如图，∵b∥a，c∥a，∴c∥b．【点评】本题考查了平行公理及推论．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思）；推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．【变式3-1】如图中完成下列各题．（1）用直尺在网格中完成：①画出直线AB的一条平行线；②经过C点画直线垂直于CD．（2）用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系．【分析】（1）根据AB所在直线，利用AB所在直角三角形得出EF，以及MD⊥CD即可；（2）根据图形得出EF，MD⊥CD，标出字母即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）EF∥AB，MC⊥CD．【点评】此题考查了基本作图以及直角三角形的性质，利用直角三角形的性质得出平行线以及垂线是解答此题的关键．【变式3-2】如图，已知直线a和直线a外一点A．（1）完成下列画图：过点A画AB⊥a，垂足为点B，画AC∥a；（2）过点A你能画几条直线和a垂直？为什么？过点A你能画几条直线和a平行？为什么？（3）说出直线AC与直线AB的位置关系．【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）过点A有一条直线和直线a垂直，过点A可以画一条直线和a平行．（3）结论：AC⊥AB．【解答】解：（1）直线AB、AC如图所示；（2）过点A有一条直线和直线a垂直，理由：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直．过点A可以画一条直线和a平行．理由：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．（3）结论：AC⊥AB．【点评】本题考查复杂作图、垂线、平行线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式3-3】作图题：（只保留作图痕迹）如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以下操作：（1）过点A作BC的平行线；（2）过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D；（3）过点B作AB的垂线．【分析】（1）A所在的横线就是满足条件的直线；（2）在直线AD上到A得等于BC的点D，则直线CD即为所求；（3）取AE上D右边的点F，过B，F的直线即为所求．【解答】解：如图，（1）A所在的横线就是满足条件的直线，即AE就是所求；（2）在直线AE上，到A距离是5个格长的点就是D，则CD就是所求与AB平行的直线；（3）取AE上D右边的点F，过B，F作直线，就是所求．【点评】本题考查复杂作图、垂线、平行线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，【变式3-4】（2022秋•内乡县期末）如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？【分析】用两个三角板，根据同位角相等，两直线平行来画平行线，然后用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的关系为：相等或互补．【解答】解：（1）（2）如图所示，（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．【点评】注意∠2与∠O是互补关系，容易漏掉．【例题4】（2022•寻乌县模拟）下面推理正确的是（）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥dC．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行“进行分析，得出正确答案．【解答】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是a∥c，而非c∥d，故错误；B、没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故错误；C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故正确；D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行．故选：C．【点评】本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．【变式4-1】（2022春•丛台区校级期中）如图，过点A画直线l的平行线，能画（）A．两条以上B．2条C．1条D．0条【分析】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．【解答】解：因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．所以如图，过点A画直线l的平行线，能画1条．故选：C．【点评】本题考查了平行公理及推论．平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．【变式4-2】（2023春•萨尔图区期中）下面说法正确的个数为（）（1）在同一平面内，过直线外一点有一条直线与已知直线平行；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）两角之和为180°，这两个角一定邻补角；（4）同一平面内不平行的两条直线一定相交．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据同一平面内，过直线外一点有一条直线和已知直线平行即可判断（1）；在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直即可判断（2）；举出反例即可判断（3）；根据在同一平面内，两直线的位置关系是平行或相交，即可判断（4）．【解答】解：在同一平面内，过直线外一点有一条直线和已知直线平行，故（1）正确；只有在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，故（2）错误；如图：∠ABC=∠DEF=90°，且∠ABC+∠DEF=180°，但是两角不是邻补角，故（3）错误；同一平面内不平行的两条直线一定相交正确，因为不特别指出时，一般认为，两条直线重合就是同一条直线，所以所提出的命题是正确的，故（4）正确．即正确的个数是2个．故选：B．【点评】本题考查了平行公理和推论，邻补角，垂线，平行线等知识点，此题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．【变式4-3】（2023春•泸县校级期中）下列说法正确的是（）A．经过一点有一条直线与已知直线平行B．经过一点有无数条直线与已知直线平行C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】平行线公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．【解答】解：根据平行线公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断只有D选项正确．【点评】本题考查了平行公理，要熟练掌握．【变式4-4】（2023春•新民市期中）已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，则直线a和c应满足的位置关系是（）A．在同一个平面内B．不相交C．平行或重合D．不在同一个平面内【分析】根据平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得答案．【解答】解：当a∥c时，a∥b，c∥d，得b∥d；当a、c重合时，a∥b，c∥d，得b∥d，故C正确；故选：C．【点评】本题考查了平行公理及推论，利用了平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行．【变式4-5】（2022春•和平区校级月考）下列语句正确的有（）个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．A．4B．3C．2D．1【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，说法错误；④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确；【点评】此题主要考查了平行线，关键是掌握平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．【变式4-6】（2022春•大荔县期末）如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由是．【分析】利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，进而得出答案．【解答】解：已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．【点评】此题主要考查了平行公理，正确掌握平行公理是解题关键．【变式4-7】（2022春•海阳市期末）若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是（）A．直线PQ可能与直线AB垂直B．直线PQ可能与直线AB平行C．过点P的直线一定与直线AB相交D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行以及两直线的位置关系即可回答．【解答】解：PQ与直线AB可能平行，也可能垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A、B、D均正确，故C错误；故选：C．【点评】本题考查了平行线、相交线、垂线的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键．【变式4-8】如图所示，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定【分析】根据平行公理和垂直的定义解答．【解答】解：∵长方形对边平行，∴根据平行公理，前两次折痕互相平行，∵第三次折叠，是把平角折成两个相等的角，∴是90°，与前两次折痕垂直．∴折痕与折痕之间平行或垂直．故选：C．【点评】本题利用平行公理和垂直定义求解，需要熟练掌握．【例题5】（2022春•昭阳区校级月考）如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当∠2＝时，a∥b．【分析】由直角三角板的性质可知∠3＝180°﹣∠1﹣90°＝40°，当∠2＝40°时，∠2＝∠3，得出a∥b即可．【解答】解：当∠2＝40°时，a∥b；理由如下：如图所示：∵∠1＝50°，∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°，当∠2＝40°时，∠2＝∠3，∴a∥b．故答案为：40°．【点评】本题考查了平行线的判定方法、平角的定义；熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键．【变式5-1】（2022春•洞头区期中）如图，在下列给出的条件中，能判定DF∥BC的是（）A．∠B＝∠3B．∠1＝∠4C．∠1＝∠B D．∠B+∠2＝180°【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【解答】解：∵∠B=∠3，∴AB∥EF，故A不符合题意；∵∠1=∠4，∴AB∥EF，故B不符合题意；∵∠1=∠B，∴DF∥BC，故C符合题意；∵∠B+∠2=180°，∴AB∥EF，故D不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．【变式5-2】（2023秋•淮阳区校级期末）如图，木条a，b，c在同一平面内，经测量∠1＝115°，要使木条a∥b，则∠2的度数应为（）A．65°B．75°C．115°D．165°【分析】根据邻补角互补和平行线的判定定理求解即可．【解答】解：∠2的度数应为65°．证明：如图，∵∠1＝115°，∴∠3＝180°﹣115°＝65°，∵∠2＝65°，∴∠2＝∠3，∴a∥b．故选：A．【点评】本题考查邻补角互补，平行线的判定．熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．【变式5-3】（2023秋•泾阳县期末）如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD．【分析】根据对顶角相等得出∠1＝∠AGH，进而根据∠2＝∠AGH，即可得证．【解答】解：∵∠1＝∠AGH，∠1＝∠2＝70°，∴∠2＝∠AGH，∴AB∥CD．【点评】本题考查了对顶角相等，同位角相等两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式5-4】（2023秋•泰和县期末）如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求证：AB∥CD．【分析】根据平行线的判定，依据角平分线的定义即可解决问题．【解答】证明：∵CE平分∠ACD，∠1＝30°，∴∠ACD＝2∠1＝60°（角平分线定义），∵∠2＝60°，（已知），∴∠2＝∠ACD（等量代换），∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）．【点评】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式5-5】（2023春•樟树市期中）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．求证：CF∥AB．【分析】根据CF平分∠DCE以及∠DCE＝90°即可得出∠FCE＝45°，再根据三角形ABC为等腰直角三角形，即可得出∠ABC＝∠FCE＝45°，利用“同位角相等，两直线平行”即可证出结论．【解答】证明：∵CF平分∠DCE，∠DCE＝90°，∴∠FCE=12∠DCE＝45°．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠FCE，∴CF∥AB．【点评】本题考查了平行线的判定，解题的关键是找出∠ABC＝∠FCE＝45°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出相等（或互补）的角的关键．【变式5-6】（2023秋•靖边县期末）如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．试说明：AB∥CE．【分析】根据角平分线的定义结合对顶角得到∠ECD＝∠ACB，则可证明∠B＝∠ECD，根据平行线的判定即可证明AB∥CE．【解答】证明：因为CD平分∠ECF，所以∠ECD＝∠FCD（角平分线的定义）．因为∠ACB＝∠FCD（对顶角相等），所以∠ECD＝∠ACB（等量代换）．因为∠B＝∠ACB，。
七年级平行线的判定与性质练习题带答案
平行线的判定与性质练习 2013.3一、选择题1．下列命题中，不正确的是____ [ ]A．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2．如图，可以得到DE∥BC的条件是______ [ ]（2题）（3题）（5题）A．∠ACB=∠BAC B．∠ABC+∠BAE=180° C．∠ACB+∠BAD=180° D．∠ACB=∠BAD 3．如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件:(1)∠1=∠2， (2)∠3=∠6， (3)∠4+∠7=180°， (4)∠5+∠8=180°，其中能判定a∥b的条件是_________[ ]A．(1)(3) B．(2)(4) C．(1)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4) 4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是________[ ]A．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°5．如图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是_________．[ ]A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠3=∠4 D．∠A=∠C6．如图，a∥b，a、b被c所截，得到∠1=∠2的依据是（）A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行(6题) (8题) (9题)7．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法确定8．如图，AB∥CD，那么（）A．∠1=∠4 B．∠1=∠3 C．∠2=∠3 D．∠1=∠59．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180°C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180°10．如图，AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为（）A．30° B．60° C．90° D．120°（10题）（ 11题）二、填空题11．如图，由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据．(1)∠1=∠2，________________________．(2)∠A=∠3，________________________．(3)∠ABC+∠C=180°，________________________．12．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________．13．同垂直于一条直线的两条直线________．14．如图，直线EF分别交AB、CD于G、H．∠1=60°，∠2=120°，那么直线AB与CD的关系是________，理由是：____________________________________________．（14题）（15题）15．如图，AB∥EF，BC∥DE，则∠E+∠B的度数为________．Array三、解答题16．已知：如图，∠1=∠2，且BD平分∠ABC．求证：AB∥CD.17．已知：如图，AD是一条直线，∠1=65°，∠2=115°．求证：BE∥CF．18．已知：如图，∠1=∠2，∠3=100°，∠B=80°．求证：EF∥C D．19．已知：如图，FA⊥AC，EB⊥AC，垂足分别为A、B，且∠BED+∠D=180°．求证：AF∥C D．20.如图，已知∠AMB=∠EBF，∠BCN=∠BDE，求证：∠CAF=∠AFD．21.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角A是120°，第二次拐的角B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，问∠C是多少度？说明你的理由．23．（1）如图，若AB∥DE，∠B=135°，∠D=145°，你能求出∠C的度数吗？（2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠C、∠D之间的数量关系吗？并说明理由．24.如图，在折线ABCDEFG中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=•∠5，•延长AB、GF交于点M．试探索∠AMG与∠3的关系，并说明理由．25.（开放题）已知如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，那么∠A与∠C，∠B与∠D的大小关系如何？请说明你的理由．答案：CBDAB ABDDB7．(1)AD∥BC内错角相等，两直线平行(2)AD∥BC同位角相等，两直线平行(3)AB∥DC同旁内角互补，两直线平行8．平行9．平行10．平行∵∠EHD=180°－∠2=180°－120°=60°，∠1=60°，∴∠1=∠EHD，∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．8．证明：∵∠AMB=∠DMN，又∠ENF=∠AMB，∴∠DMN=∠ENF，∴BD∥CE．∴∠BDE+∠DEC=180°．又∠BDE=∠BCN，∴∠BCN+∠CED=180°，∴BC∥DE，∴∠CAF=∠AFD．点拨：本题重点是考查两直线平行的判定与性质．21．解：∠C=150°．理由：如答图，过点B作BE∥AD，则∠ABE=∠A=120°（两直线平行，内错角相等）．∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=150°-120°=30°．∵BE∥AD，CF∥AD，∴BE∥CF（平行于同一条直线的两直线平行）．∴∠C+∠CBE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠C=180°-∠CBE=180°-30°=150°．22．解：（1）如答图5-3-2，过点C作CF∥AB，则∠1=180°-∠B=180°-135°=45°（两直线平行，同旁内角互补）．∵CF∥AB，DE∥AB，∴CF∥DE（平行于同一条直线的两直线平行）．∴∠2=∠180°-∠D=180°-145°=35°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠BCD=∠1+∠2=45°+35°=80°．（2）∠B+∠C+∠D=360°．理由：如答图5-3-2过点C作CF∥AB，得∠B+∠1=180°（两直线平行，•同旁内角互补）．∵CF∥AB，DE∥AB，∴CF∥DE（平行于同一条直线的两直线平行）．∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠B+∠1+∠2+∠D=360°．即∠B+∠BCD+∠D=360°．点拨：辅助线CF是联系AB与DE的纽带．23．（1）B （2）C24．解：∠AMG=∠3．理由：∵∠1=∠2，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∵∠3=∠4，∴CD∥EF（内错角相等，两直线平行）．∴AB∥EF（平行于同一条直线的两直线平行）．∴∠AMG=∠5（两直线平行，同位角相等）．又∠5=∠3，∴∠AMG=∠3．点拨：因为∠3=∠5，所以欲证∠AMG=∠3，只要证AM∥EF即可．25．解：∠A=∠C，∠B=∠D．理由：∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∠C+∠B=180°．∴∠A=∠C．同理∠B=∠D．。
北师大版七年级数学下册《平行线性质与判定的综合》基础训练(含答案)
《平行线性质与判定的综合》基础训练知识点1 综合运用平行线的性质与判定进行计算或说理1.如图,已知a∥b,∠1=58°,则∠2的大小是（）A.122°B.85°C.58°D.32°2.如图,直线EB∥FD,直线c分别交EB、FD于点A、C,∠BAC的平分线交直线FD于点G,若∠2=50°,则∠1的度数是（）A.50°B.60°C.80°D.100°3.如图,一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠2=44°,那么∠1的度数是（）A.14°B.15°C.16°D.17°4.如图,直线,,,a b c d ,已知,c a c b ⊥⊥,直线,,b c d 交于一点.若150︒∠=,则2∠等于（ ）A.60︒B.50︒C.40︒D.30︒5.如图,直线,a b 被直线,c d 所截.若12,3125︒∠=∠∠=,则4∠的度数是（）A.65︒B.60︒C.55︒D.75︒6.如图,若180A ABC ︒∠+∠=,则下列结论正确的是（ ）A.12∠=∠B.23∠=∠C.13∠=∠D.24∠=∠7.如图,12,60A ︒∠=∠∠=,则ADC ∠=____________.8.如图,//,180BC DE E B ︒∠+∠=,则AB 和EF 的位置关系为____________.9.如图所示,//,,AB DC ABC ADC BF ∠=∠和DE 分别平分ABC ∠和ADC ∠.试说明：//ED BF .解：因为BF 和DE 分别平分ABC ∠和ADC ∠（已知）,所以EDC ∠=____________,ADC FBA ∠∠=_________ABC ∠（角平分线的定义）. 又因为ADC ABC ∠=∠（已知）,所以∠___________FBA =∠（等量代换）. 因为//AB DC （已知）,所以AED EDC ∠=∠（______________）.所以∠______=∠_______（等量代换）.所以//ED BF （______________）.10.如图,已知180,B BCD B D ︒∠+∠=∠=∠.请你观察图形,写出E ∠和DFE ∠满足什么数量关系？并说明理由.知识点2 利用平行线的性质与判定解决实际问題11.如图所示,要在一条公路的两侧铺设平行管道,已知一侧铺设的角度为120,为使管道对接,另一侧铺设的角度大小应为（）A.120︒B.100︒C.80︒D.60︒12.如图,在,A B两地挖一条笔直的水渠,从A地测得水渠的走向是北偏西42,,A B 两地同时开工,B地所挖水渠走向应为南偏东_________.13.一条建设中的高速公路要穿过一山体开挖一条隧道,甲、乙两工程队分别从山体两侧的,A B两点同时开工,现甲队从A点测得道路的走向是北偏东55,为了不浪费人力、物力,问乙队在B点处应该按β∠等于多少度开挖,才能够保证隧道准确接通？14.如图,B处在A处的南偏西45°方向,C处在B处的北偏东80°方向.（1）求∠ABC的度数；（2）要使CD∥AB,D处应在C处的什么方向？15.如图,已知CD⊥AB,GF⊥AB,∠B=∠ADE,试说明∠1=∠2.16.如图,已知AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,求证：（1）∠4=∠DAC；（2）AD∥BE.参考答案1、B 2.C 3.D4.答案：C解析：∵a ∥b,∴∠1=∠2,∵∠1=58°,∴∠2=58°,故选C.5.答案：C解析：∵EB ∥FD,∴∠BAG=∠2=50°,∵AG 平分∠BAC,∴∠GAC=∠BAG=50°,∴∠1=180°-∠BAG-∠GAC=80°,故选C.6.答案：C解析：根据题意可知∠2+∠3=60°,因为∠2=44°,所以∠3=16°,再根据直尺的对边平行,可知∠1=∠3=16°.7.120 8.平行 9.12 12EDC 两直线平行,内错角相等 FBA AED 同位角相等,两直线平行10.解：E DFE ∠=∠.理由如下：因为180,B BCD B D ︒∠+∠=∠=∠,所以180D BCD ︒∠+∠=.所以//AD BE .所以E DFE ∠=∠.11.D 12.4213.解：因为指北方向平行,且,A B 两点走向形成一条直线,即//CA DB ,所以a ∠和β∠就构成了一对同旁内角.所以180a β︒∠+∠=,即18055125β︒︒︒∠=-=.因此,乙队在B 点处应该按125β︒∠=开挖.14.答案：见解析解析：（1）如图,由题意,得∠FAB=45°.因为AF ∥BE,所以∠FAB=∠ABE=45°,因为∠EBC=80°,所以∠ABC=35°.（2）D处在C处的南偏西45°方向.理由如下：如图,因为CG∥BE,所以∠GCB=∠EBC=80°.因为∠GCD=45°,所以∠BCD=35°,所以∠ABC=∠BCD=35°,所以CD∥AB.15.答案：见解析解析：证明：∵∠B=∠ADE（已知）,∴DE∥BC（同位角相等,两直线平行）,∴∠1=∠DCB（两直线平行,内错角相等）.∵CD⊥AB,GF⊥AB,∴∠BDC=90°,∠BFG=90°, ∴CD∥FG（同位角相等,两直线平行）,∴∠2=∠DCB（两直线平行,同位角相等）.∴∠1=∠2（等量代换）.16.答案：见解析解析：证明：（1）∵AB∥CD,∴∠4=∠BAF.∵∠1=∠2,∴∠BAF=∠1+∠CAF=∠2+∠CAF=∠DAC,∴∠4=∠DAC.（2）∵∠4=∠DAC,∠3=∠4,∴∠3=∠DAC,∴AD∥BE.。
人教版七年级下册数学5.2平行线及其判定(含答案)
5.2平行线及其判定一、单选题1．如图，在下列给出的条件中，能判定//DF AB 的是（ ）A ．∠4＝∠3B ．∠1＝∠AC ．∠1＝∠4D ．∠4+∠2＝180° 2．下列说法正确的是（ ）A ．没交点的两直线一定平行B ．两直线平行一定没交点C ．没交点的线段一定平行D ．相交的两直线可能平行 3．如图，能判断直线AB ∠CD 的条件是（ ）A ．34180∠+∠=︒B ．34∠=∠C ．13180∠+∠=︒D ．12∠=∠ 4．如图，已知直线a 、b 、c ，若∠1＝∠2＝60°，且∠2＝∠3，则图中平行线组数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 5．如图，直线a 、b 被直线c 所截，下列条件不能判定直线a 与b 平行的是（ ）A ．∠1＝∠3B ．∠2＋∠4＝180°C ．∠1＝∠4D ．∠1＋∠4＝180° 6．下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∠CD 的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知AOB ∠内部有一点M ，过点M 画OA 的平行线，这样的直线（ ） A ．有且只有一条 B ．有两条 C ．有三条 D ．有无数条 8．下列说法正确的是（ ）A ．a 、b 、c 是直线，若a b ⊥，//b c ，则//a cB ．a 、b 、c 是直线，若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥C ．a 、b 、c 是直线，若//a b ，b c ⊥，则//a cD ．a 、b 、c 是直线，若//a b ，//b c ，则//a c9．如图，下列条件：∠∠1=∠3，∠∠2=∠3，∠∠4=∠5，∠∠2+∠4=180°中，能判断直线l 1∠l 2的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．如图，下列条件：13241804523623∠=∠∠+∠=∠=∠∠=∠∠=∠+∠①，②，③，④，⑤中能判断直线12l l 的有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二、填空题 11．如图，∠CAD ＝∠ADB ，可以推出____//____．12．如果//a c ，a 与b 相交，//b d ，那么d 与c 的关系为________．13．如图，四边形ABCD ，要能判定AB∠CD ，你添加的条件是_______________．14．如图，∠1=120°，∠2=45°，若使b∠c ，则可将直线b 绕点A 逆时针旋转_________度.15．在同一平面内有2019条直线1a ，232019a a a ，，，如果12a a ⊥，2334//a a a a ⊥，，45//a a 那么∠15a a 与的位置关系是__________∠282019a a 与的位置关系是_______________三、解答题 16．已知：如图，1C ∠=∠，2∠和D ∠互余，1∠和D ∠互余，求证：//AB CD ．17．如图，已知BE 平分ABC ∠，点D 在射线BA 上，且ABE BED ∠=∠．判断BC 与DE 的位置关系，并说明理由．18．填写理由：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，4BAE ∠=∠，试说明//AD BE ．解：∠∠1=∠2（已知）∠12∠+∠=∠+∠（______）CAF CAF∠=∠______即BAF∠∠3=∠4，4BAE∠=∠（已知）∠∠3=∠______（______）∠∠3=∠______AD BE（______）∠//参考答案1．C 2．B 3．A 4．D 5．D6．B 7．A 8．D 9．C 10．B11．AC BD12．相交13．180A D ∠+∠=︒（或180B C ∠+∠=︒） 14．1515．平行 垂直16．证明略17．BC ∠DE ；略18．略。
平行线及其判定(基础篇)(专项练习七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题5.11 平行线及其判定（基础篇）（专项练习）一、单选题知识点一、平行公理的应用1．下列说法：①和为180°且有一条公共边的两个角是邻补角；①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；①同位角相等；①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．下列说法中，错误的有（ ）．①若a 与c 相交， b 与c 相交，则a 与b 相交；①若//,//a b b c ，那么//a c ；①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 3．下列说法正确的是（ ）A ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且//a b ，//b c ，则//a cB ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且a b ⊥，b c ⊥，则a c⊥C ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且//a b ，b c ⊥，则//a cD ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且//a b ，//b c ，则a c ⊥知识点二、平行公理推论的应用4．下列说法正确的个数是（ ）．（1）两条直线不相交就平行；（2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（4）平行于同一直线的两条直线互相平行；（5）两直线的位置关系只有相交、平行与垂直．A ．0B ．1C ．2D ．45．下列说法：①同位角相等；①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；①平行于同一条直线的两条直线一定平行；①连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．其中正确的是（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①6．已知直线a ，b ，c 是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论：①若//,//,a b b c 则//a c ；①若//,,a b a c ⊥则b c ⊥；①若,,a b b c ⊥⊥则a c ⊥；①若a c ⊥且c 与b 相交，则a 与b 相交，其中，结论正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①知识点三、同位角相等，两直线平行7．如图所示，下列条件中，不能推出AB ①CE 成立的条件是（ ）A ．①A ＝①ACEB ．①B ＝①ACEC ．①B ＝①ECD D ．①B +①BCE ＝180° 8．如图所示，给出了过直线l 外一点P 作已知直线l 的平行线的方法，其依据是（ ）．A ．同位角相等，两直线平行．B ．内错角相等，两直线平行．C ．同旁内角互补，两直线平行．D ．以上都不对．9．如图，下面哪个条件不能判断EF ①DC 的是（ ）A ．①1＝①2B ．①4＝①C C ．①1+①3＝180°D ．①3+①C ＝180°知识点四、内错角相等，两直线平行10．在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放（直角边重合），可以画出两条互相平行的直线a ，b ．这样操作的依据是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．同位角相等，两直线平行C ．两直线平行，内错角相等D ．内错角相等，两直线平行11．如图，已知12∠=∠，那么下列结论正确的是（ ）．A ．//CD AB B ．//AD BC C ．34∠=∠D ．A C ∠=∠ 12．如图，点E 在BC 的延长线上，下列条件不能判定//AB CD 的是（ ）A ．180D DAB ∠+∠=︒B ．B DCE ∠=∠C ．42∠=∠D ．34∠=∠知识点五、同旁内角互补，两直线平行13．如图，点E 在AC 的延长线上，下列条件中不能判定BD //AE 的是（ ）A ．①1＝①2B ．①3＝①4C ．①D ＝①DCE D ．①A +①ABD ＝180°14．如图，点D ，E 分别是AB ，AC 上的点，连接DE ，CD ，则下列条件不能判定DE ①BC的是（ ）A ．①AED ＝①ACDB ．①ADE ＝①BC ．①EDC ＝①DCBD ．①DEC +①ACB ＝180°15．如图所示，下列条件（ ）成立时，//AD BC ．A ．23∠∠=B ．14∠=∠C ．1234∠+∠=∠+∠D ．180A C ∠+∠=︒ 知识点六、垂直于同一直线的两直线平行16．下列说法正确的个数为（ ）．①一条直线的垂线只能画一条．①垂直于同一直线的两条直线互相垂直．①平面内，过线段AB 外一点有且只有一条直线与AB 垂直．A ．0B ．1C ．2D ．317．已知，三条直线a 、b 、c 在同一平面内，下列命题是假命题的是（ ）A ．若a c ⊥，b c ⊥，则//a bB ．若//a c ，//b c ，则//a bC ．若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥D ．若a c ⊥，b c ⊥，则a b ⊥18．下列四个命题其中正确的个数是（ ）①对顶角相等；①在同一平面内，若//a b ，c 与a 相交，则b 与c 也相交；①邻补角的平分线互相垂直；①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 知识点一、平行公理的应用19．（1）平行公理是：____________________________________________．（2）平行公理的推论是如果两条直线都与______________，那么这两条直线也________．即三条直线,,a b c ，若//,//a b b c ，则_________．20．现有下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；①若//b c ，//a c ，则//b a ；①若140∠=︒，2∠的两边与1∠的两边分别平行，则240∠=︒或140︒；①若b c ⊥，a c ⊥，则//b a ．其中正确的是_______（填写序号）．21．如图，在三角形ABC 中，已知AB AC ⊥，AD BC ⊥，3AC =，4AB =，5BC =，有下列结论：①B 与C ∠不是同旁内角；①点A 到直线BC 的距离为2.4；①过点A 仅能作一条直线与BC 垂直；①过直线AC 外一点有且只有一条直线与直线AC 平行．其中正确的结论序号有________．知识点二、平行公理推论的应用22．在同一平面内，三条直线a 、b 、c ，若a ①b ，a ①c ，则_____．23．下列说法正确的是________（填序号）．①同位角相等；①对顶角相等；①在同一平面内，不相交也不重合的两条射线一定平行；①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；①如果直线,a b c d ⊥⊥，那么//a c ；①垂线段最短；①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．24．a ，b ，c 是直线，且a①b ，b①c ，则________ ．知识点三、同位角相等，两直线平行25．如图，请写一个条件________________，使//AC EF ．（不添加辅助线）26．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，若满足条件____，则有CE ①DF ，理由是____．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）27．两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：两条直线被第三条直线所截，如果___________，那么这两条直线平行．这个判定方法可简述为：_________，两直线平行．知识点四、内错角相等，两直线平行28．如图所示，过点P 画直线a 的平行线b 的作法的依据是___________．29．在同一平面内，4条直线的位置如图所示，已知65A ∠=︒，请添加一个条件______，使//AD BC （填一个即可）．30．如图，要使//AC BD ，可以添加的条件是______（填写一个你认为正确的即可）．知识点五、同旁内角互补，两直线平行31．根据图完成下列填空（括号内填写定理或公理）（1）14∠=∠（已知）①__//____（__________________________________） （2）ABC ∠+∠_____180=︒（已知）//AB CD ∴（________________________） （3）∠_____=∠__（已知） //AD BC ∴（______________________________） （4）5∠=∠____（已知） //AB CD ∴（_______________________________） 32．两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：（1）两条直线被第三条直线所截，如果______________，那么____________． 这个判定方法2可简述为：____________，____________．几何语言表述为：如图，∠_______=∠________ //AB CD ∴（2）两条直线被第三条直线所截，如果_______________，那么_____________． 这个判定方法3可简述为：___________，_________________．几何语言表述为：∠______ +∠______180=︒ //AB CD ∴33．如图所示，若162,2118∠=︒∠=︒，则________//_______，根据是_____________________．知识点六、垂直于同一直线的两直线平行34．规律探究：同一平面内有直线a 1，a 2，a 3…，a 100，若a 1①a 2，a 2①a 3，a 3①a 4…，按此规律，a 1和a 100的位置是________．35．如图， a ①c ，b ①c ，则直线a 、b 的关系是________36．若直线//,,a b b c c d ⊥⊥，则a 与d 的位置关系是_______．（填垂直或平行）三、解答题37．完成下面的证明：如图，BE 平分ABD ∠，DE 平分BDC ∠，且90αβ∠+∠=︒，求证//AB CD ．证明：①BE 平分ABD ∠（已知），①2ABD α∠=∠（ ）．①DE 平分BDC ∠（已知），①BDC ∠=________（ ）．①22)2(ABD BDC αβαβ∠+∠=∠+∠=∠+∠（ ）．①90αβ∠+∠=︒（已知），①∠+∠=ABD BDC ________（ ）．①//AB CD （ ）．38．如图，AB //CD ．①1=①2，①3=①4，试说明AD //BE ，请你将下面解答过程填写完整．解：①AB //CD ，①①4= （ ）①①3=①4①①3= （ ）①①1=①2①①1+①CAF =①2+①CAE即①BAE = ．①①3= ）①AD //BE （ ）39．已知：如图，点D ，E 分别在AB 和AC 上，CD 平分ACB ∠，40DCB ∠=︒，80AED ∠=︒．求证：DE BC ∥．40．如图，四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=，BE 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠，试问BE 与DF 平行吗？为什么？参考答案1．B【分析】根据举反例可判断①，根据垂线的定义可判断①，根据举反例可判断①，根据平行线的基本事实可判断①．【详解】解：①如图①AOC=①2=150°，①BOC=①1=30°，满足①1+①2=180°，射线OC是两角的共用边，但①1与①2不是邻补角，故①不正确；①在同一个面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①不正确；①如图直线a、b被直线c所截，①1与①2是同位角，但①1＞①2，故①不正确；①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是基本事实，故①正确；其中正确的有①一共1个．故选择B．【点睛】本题考查基本概念的理解，掌握基本概念是解题关键．2．A【分析】依次判断所给内容的正误，即可得．【详解】解：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；错误，符合题意，a与b还有可能平行，如图所示：①若a//b，b//c那么a//c；正确，不符合题意；①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；错误，符合题意；应为“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，”①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种；错误，符合题意，因为垂直是相交的特殊情况，综上，①①①错误，故选A．【点睛】本题考查了平行线，解题的关键是熟记平行公理及其推论和平面内两条直线的位置关系．3．A【分析】根据平行线的判定判断即可．【详解】解：A、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a①b，b①c，则a①c，故正确；B、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a①b，b①c，则a①c，故错误；C、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a①b，b①c，则a①c，故错误；D、在同一平面内，a、b、c是直线，如果a①b，b①c，则a①c，故错误；故选：A．【点睛】本题主要考查的是平行线的判定，平行公理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．B【分析】（1）（5），根据同一平面内，两直线的位置关系只有相交和平行进行判断即可；（2），根据平行线的定义进行判断即可；（3）（4），根据平行线的公理以及公理的推论进行判断即可．【详解】(1)应该是在同一平面内，两直线不相交就平行，故错误；(2)在同一平面内，两条平行的直线没有交点，故错误；(3)应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；(4)平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理的推论，故正确；(5)应为在同一平面内，两直线的位置关系只有相交与平行，故错误，所以只有（4）一项正确，故选：B．【点睛】本题是一道有关两直线位置关系的题目，涉及同一平面内两直线的位置关系以及平行线的知识，掌握这些概念和定理是解题的关键．5．C【分析】利用所学的公理，定理，判断选择即可.【详解】解:①根据平行线的性质:两直线平行，同位角相等；故此选项错误；①根据垂线的性质:在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项正确；①由平行的公理知:平行于同一条直线的两条直线一定平行，故本选项正确；①连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故本选项正确；所以正确的有①①①，故选:C．【点睛】此题主要考查了平行公理以及其推论和垂线的定义等，正确把握相关定义是解题关键. 6．A【分析】根据平行公理及其推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可求解．【详解】①根据“同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”判定：若//,//,a b b c 则//a c ；故说法正确；①若//,,a b a c ⊥则b c ⊥，故说法正确；①根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”判定：若,,a b b c ⊥⊥则a c ⊥；说法错误；①若a c ⊥且c 与b 相交，则a 与b 不一定相交，故说法错误故正确的有：①①故选：A【点睛】本题主要考查平行公理及其推论，解题的关键是熟练掌握同一平面内两直线的位置关系． 7．B【分析】根据平行线的判定定理分析即可．【详解】A 、①A 和①ACE 是AB 与CE 被AC 所截形成的内错角，则①A ＝①ACE 时，可以推出AB ①CE ，不符合题意；B 、①B 和①ACE 不属于AB 与CE 被第三条直线所截形成的任何角，则①B ＝①ACE 时，无法推出AB ①CE ，符合题意；C 、①B 和①ECD 是AB 与CE 被BD 所截形成的同位角，则①B ＝①ECD 时，可以推出AB ①CE ，不符合题意；D 、①B 和①BCE AB 与CE 被BD 所截形成的同旁内角，则①B +①BCE ＝180°时，可以推出AB ①CE ，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查平行线的判定，理解并熟练运用平行线的判定定理是解题关键．8．A由作图可得同位角相等，根据平行线的判定可作答．【详解】解：由图形得，有两个相等的同位角，所以依据为：同位角相等，两直线平行．故选：A．【点睛】本题考查的是作平行线，熟知过直线外一点，作已知直线的平行线的方法和平行线的判定定理是解答此题的关键．9．C【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可．【详解】选项A：因为①1＝①2，所以EF①DC，故本选项能判断EF①DC；选项B：因为①4＝①C，所以EF①DC，故本选项能判断EF①DC；选项C：因为①1+①3＝180°，所以ED①BC，故本选项能不判断EF①DC；选项D：因为①3+①C＝180°，所以EF①DC，故本选项能判断EF①DC，故选：C【点睛】本题考查了平行线的判定定理的应用，考查了数学推理论证能力．10．D【分析】a b．利用三角形板的特征可确定12∠=∠，然后根据内错角相等，两直线平行可判断//【详解】解：如图，由题意得12∠=∠，a b．根据内错角相等，两直线平行可得//【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握内错角相等，两直线平行．11．A【分析】由″内错角相等，两直线平行″即可求解．【详解】解：①①1=①2，①CD①AB．故选：A．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线判定定理是解题的关键．12．D【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析．【详解】解：A、根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定AB①CD，故此选项不合题意；B、根据“同位角相等，两直线平行”可判定AB①CD，故此选项不合题意；C、根据“内错角相等，两直线平行”可判定AB①CD，故此选项不合题意；D、①1与①2属于直线AB和CD的内错角、同位角、同旁内角，无法判定AB①CD，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．13．A【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即得答案．【详解】解：A 、1∠与2∠不是直线BD 与AE 被BC 所截的同位角或内错角，若12∠=∠，不能判定//BD AE ，故本选项符合题意；B 、若34∠=∠，则可根据内错角相等，两直线平行判定//BD AE ，故本选项不符合题意；C 、若D DCE ∠=∠，则可根据内错角相等，两直线平行判定//BD AE ，故本选项不符合题意；D 、若180A ABD ∠+∠=，则可根据同旁内角互补，两直线平行判定//BD AE ，故本选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的判定，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 14．A【分析】同位角相等，则两直线平行；内错角相等，则两直线平行 ；同旁内角互补，则两直线平行；根据这三点对四个选项逐一判断．【详解】A 、①AED ＝①ACD ，不能判定DE ①BC ，不符合题意；B 、①ADE ＝①B ，同位角相等，则两直线平行，能判定DE ①BC ，符合题意；C 、①EDC ＝①DCB ，内错角相等，则两直线平行，能判定DE ①BC ，符合题意；D 、①DEC +①ACB ＝180°，同旁内角互补，则两直线平行，能判定DE ①BC ，符合题意． 故选：A ．【点睛】本题考查两直线平行的判定，掌握相关角度之间的关系推断平行时本题解题关键． 15．A【分析】根据平行线的判定定理逐一判断，排除错误答案．【详解】解：A 、正确，根据内错角相等，两直线平行；B 、错误，由内错角相等，两直线平行，得出AB //CD ，而不是//AD BC ；C 、错误，①1＋①2＝①3＋①4，即①ABC ＝①ADC ，无法说明//AD BC ；D、错误，①A＋①C＝180°，但这两个角不是同旁内角，所以无法说明//AD BC．故选：A．【点睛】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．16．B【分析】根据平行线的性质与垂线的定义进行逐一判断即可．【详解】解：①一条直线的垂线能画无数条，此说法错误；①垂直于同一直线的两条直线互相平行，此说法错误；①平面内，过线段AB外一点有且只有一条直线与AB垂直，此说法正确；故选B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．17．D【分析】根据垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行，逐条分析每个命题的真假即可．【详解】解：A、若a①c，b①c，则a①b，是真命题；B、若a①c，b①c，则a①b，是真命题；C、若a①b，b①c，则a①c，是真命题；D、若a①c，b①c，则a①b，原命题是假命题；故选：D．【点睛】本题主要考查同一平面内两条直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．18．D【分析】分别根据对顶角、邻补角、平行线的判定方法即可解答．【详解】①对顶角相等，正确；①在同一平面内，若//a b ，c 与a 相交，则b 与c 也相交，正确；①邻补角之和为180°，所以它们平分线的夹角为180=902︒︒，即邻补角的平分线互相垂直，正确；①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直，正确．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线定理，两直线位置关系和对顶角、邻补角等知识，熟练掌握定理并灵活运用是解题关键．19．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 第三条直线平行 平行 //a c【分析】根据平行公理以及平行公理的推论解答即可．【详解】（1）平行公理是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）平行公理的推论是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行，即三条直线,,a b c ，若//,//a b b c ，则//a c ． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；第三条直线平行，平行，//a c ． 【点睛】本题主要考查了平行公理以及平行公理的推论，属于基础题，掌握平行公理以及平行公理的推论是解题的关键．20．①①【分析】根据平行线的判定与性质，平行公理及推论进行逐一判断即可．【详解】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①错误；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；若b ①c ，a ①c ，则b ①a ，故①正确；若①1=40°，①2的两边与①1的两边分别平行，则①2=40°或140°，故①正确；若在同一平面内，b ①c ，a ①c ，则b ①a ，故①错误．所以其中正确的是①①．故答案为：①①．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．21．①①①【分析】根据同旁内角的定义，对①进行判断；根据三角形的面积公式，对①进行判断；根据垂线的性质对①进行判断；根据平行线的性质，对①进行判断【详解】解：B 与C ∠是直线AB 和AC 被直线BC 所截的同旁内角，故①错误；①AB AC ⊥，AD BC ⊥，3AC =，4AB =，5BC =，①三角形ABC 的面积=12AB ⨯AC==1⨯AD ①3⨯4=5⨯AD ，①AD=2.4①点A 到直线BC 的距离=AD=2.4，故①正确；①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，①过点A 仅能作一条直线与BC 垂直，故①正确①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①过直线AC 外一点有且只有一条直线与直线AC 平行，故①正确故答案为：①①①【点睛】本题考查了点到直线的距离、同旁内角、平行线的性质、垂线的性质，解决本题的关键是熟练掌握相关的知识．22．b ①c ．【分析】根据平行线的判定得出即可．【详解】①同一平面内三条直线a 、b 、c ，a ①b ，a ①c ，①b ①c ，故答案为：b ①c ．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理及推理的应用，能熟记知识点（平行于同一直线的两直线平行）是解此题的关键．23．①①①【分析】根据同位角、对顶角、平行线的性质、垂线的性质即可依次判断．【详解】①两直线平行，同位角相等，故错误；①对顶角相等，正确；①在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故错误；①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；①如果直线,a b c d ⊥⊥，那么a,c 的位置关系不确定，故错误；①垂线段最短，正确；①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误．故答案为：①①①．【点睛】此题主要考查同位角、对顶角、平行线的性质、垂线的性质，解题的关键是熟知各自的性质及特点．24．a①c【分析】根据平行公理推论，即可求解．【详解】①a ，b ，c 是直线，且a①b ，b①c①a①c故答案为：a①c【点睛】本题考查了平行公理及推论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．∠=∠（答案不唯一）25．BEF EAC【分析】根据平行线的判定，即可求解．【详解】∠=∠，解：①BEF EAC①//AC EF（同位角相等，两直线平行），也可以写：AFE CAD∠=∠．∠=∠（答案不唯一）．故答案为：BEF EAC【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．26．①3=①F同位角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定定理可得．【详解】解：若①3=①F，则CE①DF，理由是：同位角相等，两直线平行，故答案为：①3=①F，同位角相等，两直线平行．（答案不唯一）【点睛】本题考查了平行线的判定定理，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．27．同位角相等（答案不唯一）同位角相等（答案不唯一）【分析】根据平行线的判定定理解答即可．【详解】两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．这个判定方法可简述为：同位角相等，两直线平行．故答案为：同位角相等，同位角相等．【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，属于基础题，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． 28．内错角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定方法解决问题即可．【详解】解：由作图可知，12∠=∠12∠=∠，a //b ∴（内错角相等两直线平行），故答案为：内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查作图，平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键，属于中考常考题型．29．65ABF ∠=︒【分析】根据平行线的判定条件求解即可.【详解】解：①AD ①BC①①A =①ABF =65°故答案为：①ABF =65°.【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的判定条件. 30．C CBD ∠=∠（答案不唯一，只要正确即可得分）【分析】根据平行线的判定方法即可解答．【详解】解：①C CBD ∠=∠①//AC BD （内错角相等，两直线平行）．故答案为：C CBD ∠=∠（答案不唯一，只要正确即可得分）．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．31．AB CD 内错角相等，两直线平行 BCD 同旁内角互补，两直线平行 3 2 内错角相等，两直线平行 ABC 同位角相等，两直线平行【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行得出即可；（2）根据同旁内角互补，两直线平行得出即可；（3）根据内错角相等，两直线平行得出即可；（4）根据同位角相等，两直线平行得出即可．【详解】解：（1）14∠=∠（已知），//AB CD ∴（内错角相等，两直线平行），（2）ABC ∠+∠BCD 180=︒（已知），//AB CD ∴（同旁内角互补，两直线平行），（3）∠3=∠2（已知），//AD BC ∴（内错角相等，两直线平行）（4）5∠=∠ABC （已知），//AB CD ∴（同位角相等，两直线平行），故答案为：AB；CD；内错角相等，两直线平行；BCD；同旁内角互补，两直线平行；3；2；内错角相等，两直线平行；ABC；同位角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定，能正确运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定有：①同位角相等，两直线平行，①内错角相等，两直线平行，①同旁内角互补，两直线平行．32．内错角相等两直线平行内错角相等两直线平行 2 8 同旁内角互补两直线平行同旁内角互补两直线平行 2 5【分析】（1）根据“内错角相等，两直线平行”回答即可；（2）根据“同旁内角互补，两直线平行”回答即可．【详解】解：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行．这个判定方法2可简述为：内错角相等，两直线平行．几何语言表述为：如图，①①2=①8，①AB//CD；（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行．这个判定方法3可简述为：同旁内角互补，两直线平行．几何语言表述为：①①2+①5=180°，①AB//CD．故答案为：内错角相等；两直线平行；内错角相等；两直线平行；2；8；同旁内角互补；两直线平行；同旁内角互补；两直线平行；2；5．【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握“内错角相等，两直线平行”以及“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．33．AD BC同旁内角互补，两直线平行【分析】根据平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行）回答即可．【详解】∠=︒∠=︒，解：①162,2118∠+∠=︒，①12180AD BC（同旁内角互补，两直线平行），①//故答案为：AD；BC；同旁内角互补，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解决本题的关键．34．a1①a100；【分析】从已知两直线的位置关系，运用平行线的性质，观察分析得几条特殊直线与a1的位置关系为a1①a4，a1①a5；a1①a2，a1①a3；且a1与a n的位置关系是4为周期进行循环，下角标的余数为0或1时与a1平行，下角标的余数为2或3时与a1垂直，计算100=4×25，余数为0判定两直线的位置关系为a1①a100．【详解】解：在同一平面内有直线两直线的位置，关系是相交或平行，如图所示：①a1①a2，a2①a3，①a1①a3，又①a3①a4，①a1①a4，又①a4①a s，①a1①a5，又①a5①a6，①a1①a6，又①a6①a7，①a1①a7，…。
2022-2023学年人教版七年级数学下册《5-2平行线及其判定》同步练习题(附答案)
2022-2023学年人教版七年级数学下册《5.2平行线及其判定》同步练习题（附答案）一．选择题1．在下列4个判断中：①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（）A．4B．3C．2D．12．如图，∠1和∠2分别为直线l3与直线l1和l2相交所成角．如果∠1＝62°，那么添加下列哪个条件后，可判定l1∥l2（）A．∠2＝118°B．∠4＝128°C．∠3＝28°D．∠5＝28°3．若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2B．如果∠2＝30°，则有AC∥DEC．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE4．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个5．在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相（）A．平行B．垂直C．共线D．平行或共线6．如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（）A．垂线段最短B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短D．平行于同一条直线的两条直线平行7．如图，①∠B+∠BFE＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5．能判定AB∥EF 的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．下列画出的直线a与b不一定平行的是（）A．B．C．D．二．填空题9．在同一平面内，直线a、b、c中，若a⊥b，b∥c，则a、c的位置关系是．10．如图，用直尺和三角尺作出直线AB、CD，得到AB∥CD的理由是．11．如图，共有组平行线段．12．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝时，CD∥AB．13．下列四种说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；③相等的角是对顶角；④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．其中，错误的是（填序号）．14．如图：PC∥AB，QC∥AB，则点P、C、Q在一条直线上．理由是：．三．解答题15．如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？16．如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠1＝∠2，AB与DG平行吗？为什么？17．证明：两直线平行，同位角的角平分线互相平行．18．如图1，已知AC∥BD，点P是直线AC，BD间的一点，连接AB，AP，BP，过点P作直线MN∥AC．（1）MN与BD的位置关系是什么，请说明理由；（2）试说明∠APB＝∠PBD+∠P AC；（3）如图2，当点P在直线AC上方时，（2）中的三个角的数量关系是否仍然成立？如果成立，试说明理由；如果不成立，试探索它们存在的关系，并说明理由．19．如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？你能说明理由吗？20．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．21．如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠2+∠1＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度数．22．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）：（1）若∠DCE＝35°，求∠ACB的度数；（2）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；（3）请你动手操作，现将三角尺ACD固定，三角尺BCE的CE边与CA边重合，绕点C 顺时针方向旋转，当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故①错误，②正确；在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交故，③错误，④正确．故正确判断的个数是2．故选：C．2．解：∠1＝62°，要使l1∥l2，则需∠3＝62°（同位角相等，两直线平行），由图可知，∠2与∠3是邻补角，则只需∠2＝180°﹣62°＝118°，故选：A．3．解：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠1＝∠3，故A错误．∵∠2＝30°，∴∠1＝∠3＝60°∴∠CAE＝90°+60°＝150°，∴∠E+∠CAE＝180°，∴AC∥DE，故B正确，∵∠2＝45°，∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，∵∠E+∠3＝∠B+∠4，∴∠4＝30°，∵∠D＝60°，∴∠4≠∠D，故C错误，∵∠2＝50°，∴∠3＝40°，∴∠B≠∠3，∴BC不平行AE，故D错误．故选：B．4．解：①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；③∵∠2+∠5＝180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；④∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．故选：C．5．解：如图所示：不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，内错角相等，或同旁内角互补，那么另一边互相平行或共线．故选：D．6．解：由题意得，这样做的理由是：两点之间线段最短，故选：C．7．解：①当∠B+∠BFE＝180°时，由同旁内角互补，两直线平行得AB∥EF，故①符合题意；②当∠1＝∠2时，由内错角相等，两直线平行得DE∥BC，故②不符合题意；③当∠3＝∠4时，由内错角相等，两直线平行得AB∥EF，故③符合题意；④当∠B＝∠5时．由同位角相等，两直线平行得AB∥EF，故④符合题意；综上所述，能判定AB∥EF的有3个．故选：C．8．解：A．直线a与b不一定平行，故本选项符合题意；B．根据同旁内角互补，两直线平行可得a∥b，故本选项不符合题意；C．根据平行线的定义可得a∥b，故本选项不符合题意；D．根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，故本选项不符合题意；故选：A．二．填空题9．解：∵c∥b，a⊥b，∴c⊥a．故答案为c⊥a10．解：用直尺和三角尺作出直线AB、CD，得到AB∥CD的理由是同位角相等，两直线平行；故答案为：同位角相等，两直线平行．11．解：图中的平行线段有AD∥EF；BD∥EF；DE∥FB；DE∥FC；DF∥AE；DF∥EC；DE∥BC；DF∥AC；EF∥AB．共有9对．故答案为：9．12．解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，∴∠BAD＝60°+90°＝150°；故答案为：150°或30°．13．解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴①错误；∵在同一平面内，两条不相交的线段可能在一条直线上，说两线段是平行线段不对，∴②错误；∵相等的角不一定是对顶角，∴③错误；∵在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，正确，∴④正确；故答案为：①②③．14．解：∵PC∥AB，QC∥AB，∵PC和CQ都过点C，∴P、C、Q在一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行），故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．三．解答题15．解：（1）（2）如图所示，（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．16．解：结论：AB∥DG．理由：∵AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∴AD∥EF，∴∠1＝∠BAD，∵∠1＝∠2，∴∠BAD＝∠2，∴AB∥DG．17．解：已知：如图，AB∥CD，HI与AB，CD分别交于点M、N，EM，FN分别是∠AMH，∠CNH的平分线．求证：EM∥FN．证明：∵AB∥CD，∴∠AMH＝∠CNH（两直线平行，同位角相等），∵EM，FN分别是∠AMH，∠CNH的平分线，∴∠1＝∠AMH，∠2＝∠CNH，∴∠1＝∠2，∴EM∥FN（同位角相等，两直线平行）．18．解：（1）平行；理由如下：∵AC∥BD，MN∥AC，∴MN∥BD；（2）∵AC∥BD，MN∥BD，∴∠PBD＝∠1，∠P AC＝∠2，∴∠APB＝∠1+∠2＝∠PBD+∠P AC．（3）答：不成立．它们的关系是∠APB＝∠PBD﹣∠P AC．理由是：如图2，过点P作PQ∥AC，∵AC∥BD，∴PQ∥AC∥BD，∴∠P AC＝∠APQ，∠PBD＝∠BPQ，∴∠APB＝∠BPQ﹣∠APQ＝∠PBD﹣∠P AC．19．解：共线．因为过直线AB外一点C有且只有一条直线与AB平行，CD、DE都经过点C且与AB平行，所以点C、D、E三点共线．20．证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）∵∠1＝∠4（对顶角相等）∴∠2+∠4＝180°（等量代换）∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）又∵∠3＝∠B（已知）∴∠B＝∠ADE（等量代换）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）21．证明：（1）∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，又∵∠AGE＝∠DGC，∴∠A＝∠D，∴AB∥CD；（2）∵∠1+∠2＝180°，又∵∠CGD+∠2＝180°，∴∠CGD＝∠1，∴CE∥FB，∴∠C＝∠BFD，∠CEB+∠B＝180°．又∵∠BEC＝2∠B+30°，∴2∠B+30°+∠B＝180°，∴∠B＝50°．又∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD，∴∠C＝∠BFD＝∠B＝50°．22．解：（1）∵∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，∴∠DCB＝90°﹣35°＝55°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+55°＝145°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°，理由：∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+∠DCE＝90°+90°＝180°；（3）存在，当∠ACE＝30°时，AD∥BC，当∠ACE＝∠E＝45°时，AC∥BE，当∠ACE＝120°时，AD∥CE，当∠ACE＝135°时，BE∥CD，当∠ACE＝165°时，BE∥AD．。
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平行线及其判定基础练习题
1．下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是
A．B．
C．D．
2．同一个平面内，若a⊥b，c⊥b，则a与c的关系是
A．平行B．垂直
C．相交D．以上都不对
3．如图，直线a，b被直线c所截，∠1=55°，下列条件能推出a∥b的是
A．∠3=55°B．∠2=55°
C．∠4=55°D．∠5=55°
4．如图为平面上五条直线L1，L2，L3，L4，L5相交的情形，根据图中标示的角度，判断下列叙述何者正确
A．L1和L3平行，L2和L3平行B．L1和L3平行，L2和L3不平行
C．L1和L3不平行，L2和L3平行D．L1和L3不平行，L2和L3不平行
5．如图，要使AB∥CD∥EF，则需∠BAC＋∠ACE＋∠CEF等于
A．360°B．270°C．200°D．180°
6．如图是一个风车，当风车的一片叶子AB旋转到与地面MN平行时，叶子CD与地面MN__________(填“平行”或“不平行”)，理由是__________．
7．如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是__________，理由是__________．
8．如图，已知∠1=50°，∠2=130°，且BD∥CE，AC与DF平行吗？为什么？
9．如图，46
⊥．问CD AB
∥吗？为什么？
∠=︒，CE CD
∠=︒，136
ACE
BAF
10．如图，MN、EF分别表示两面镜子，一束光线AB照到镜面MN上，反射光线为BC；光线BC经过镜面EF反射后的反射光线为CD，此时有∠1=∠2=∠3=∠4．试判断AB与CD的位置关系，你是如何思考的？
11．如图，AB∥CD，直线EF交AB、CD于点G、H．如果GM平分∠BGF，HN平分∠CHE，那么，GM 与HN平行吗？为什么？
12．某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是A．第一次左拐30°，第二次右拐30°
B．第一次右拐50°，第二次左拐130°
C．第一次右拐50°，第二次右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐120°
13．学习了平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．
观察图(1)～(4)，经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；
③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．
A．①②B．②③
C．③④D．①④
14．（2018郴州）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b
A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180°
C．∠5=∠4 D．∠1=∠3
15．（2018湘潭）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为__________．（任意添加一个符合题意的条件即可）
参考答案
1. B
2. A
3. A
4. C
5. A
6.不平行；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
7.EF∥CD；平行于同一直线的两直线互相平行.
8.AC∥DF
9.平行，理由如下：
∵∠ACD=360°–90°–136°=134°，∠BAC=180°–46°=134°，
∴∠ACD=∠BAC，
∴CD AB
∥（内错角相等，两直线平行）．
10.AB∥CD．
11.GM∥HN，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BGH=∠CHG，
∵GM平分∠BGF，HN平分∠CHE，
∴∠NHG=1
2
∠CHG，∠MGH=
1
2
∠BGH，
∴∠NHG=∠MGH，
∴GM∥HN．
12.A
13.C
14.D
15.故答案为：∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE．（答案不唯一）。