2016—2017学年度第一学期期末检测试题

高三数学试题Ⅰ 第1页（共6页）
2016—2017学年度第一学期期末检测试题
高 三 数 学 2017.01
试 题Ⅰ
（全卷满分160分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1．已知集合{0}A x x =≤，{1012}B =-，，
，，则A B = ▲ ．
2．设1i i 1i
a b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab = ▲ ．
3．某学校共有师生3200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 ▲ ． 4．如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的x 的值为5，
则输出的y 的值为 ▲ ．
5
．已知直线:20l x -=与圆22C :x +y =4交于,A B 两点，
则弦AB 的长度为 ▲ ．
6．已知,A B {}3,1,1,2∈--且A B ≠，则直线10Ax By ++=的斜率
小于0的概率为 ▲ ．
7．若实数,x y 满足10
101x y y x x +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩
，则23z
x y =+的最大值为 ▲ ． 8．若正四棱锥的底面边长为2（单位：cm ），侧面积为8（单位：2cm ），
则它的体积为 ▲ （单位：3cm ）.
9．已知抛物线2
16y x =的焦点恰好是双曲线
22
2112x y b
-=的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．
（第4题图）
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10．已知1cos(
)3
3π
α+=
()2
π
α<<0，则sin()πα+= ▲ ． 11．已知1,5x x ==是函数()()()cos 0f x x ωϕω=+>两个相邻的极值点，且()f x 在
2x =处的导数()20f '<，则()0f = ▲ ．
12．在正项等比数列{}n a 中，若4321226a a a a +--=，则56a a +的最小值为 ▲ ． 13．已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满
足21
33
AQ AP AC =+，则BQ 的最小值是 ▲ ．
14．已知一个长方体的表面积为48（单位：2
cm ），12条棱长度之和为36（单位：cm ），
则这个长方体的体积的取值范围是 ▲ （单位：3
cm ）．
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）
在ABC ∆中，6AB =
，AC =18AB AC ⋅=-． （1）求BC 的长；
（2）求tan 2B 的值． 16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点. （1）求证：EF ∥平面P AB ；
（2）若AP =AD ，且平面P AD ⊥平面ABCD ，证明：AF ⊥平面PCD .
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17．（本小题满分14分）
如图，矩形ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在∆ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方.经测量得知：AD =6米，AE =6米，AP =2米，4
MPN π
∠=.记EPM θ
∠=（弧度），监控摄像头的可视区域∆PMN 的面积为S 平方米．
（1）求S 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；（参考数据：5
tan 34
≈） （2）求S 的最小值.
18．（本小题满分16分）
如图，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>，圆222:O x y b +=，过椭圆C 的上顶点A 的直线
l :y kx b =+分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P 、Q ，设AP PQ λ=．
（1）若点(3,0),P -点(4,1),Q --求椭圆C 的方程； （2）若3λ=，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．
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19．（本小题满分16分）
已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意n *∈N ，
112()n n n n a a b b ++-=-恒成立． （1）若21,2n A n b ==，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =及
3124122334
11
3
n n n b b b b a a a a a a a a ++++++
<成立，求正实数1
b 的取值范围；
（3）若12,a =2n n b =，是否存在两个互不相等的整数,s t (1)s t <<，使
11,,s t
s t
A A A
B B B 成等差数列？若存在，求出,s t 的值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分16分）
已知函数()()()f x g x h x =⋅，其中函数()x g x e =，2
()h x x ax a =++．
（1）求函数()g x 在()1,(1)g 处的切线方程；
（2）当02a <<时，求函数()f x 在[2,]x a a ∈-上的最大值；
（3）
当0a =
时，对于给定的正整数k ，问函数()()2(ln 1)F x e f x k x =⋅-+是否有零点？
请说明理由．（参考数据 1.649, 4.482,ln 20.693e ≈≈≈≈）
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2016—2017学年度第一学期期末检测试题
高 三 数 学 2017.01
试 题Ⅱ
（全卷满分40分，考试时间30分钟）
21．（本小题满分10分）
已知,a b ∈R ，若点(1,2)M -在矩阵14a b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
A 对应的变换作用下得到点(2,7)N -，求矩阵A 的特征值.
22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2
cos 1sin x y α
α=⎧⎨=+⎩
（α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4
π
θ=，
试求直线l 与曲线C 的交点的直角坐标.
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23．（本小题满分10分）
为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的.
（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；
（2）设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X 的分布列和数学期望()E X .
24．（本小题满分10分）
已知010011
(1)C ()(1)C ()(1)C (),()n n n
n n n n F x f x f x f x n *=-+-+
+-∈N ()(0)x >，
其中i ()f x {}(i 0,1,2,,)n ∈是关于x 的函数.
（1）若i
i ()=f x x (i )∈N ，求21F ()，20172F ()的值；
（2）若i ()=(i )i
x
f x x+∈N ，求证：!=
(1)(2)()
n n F x x x x n +++()()n *∈N .。