罗默《高级宏观经济学》第版课后习题详解第章索洛增长模型
罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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增长率的基本性质。
利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明：（a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则（b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t t =，则（c ）如果()()Z t X t α=，则()()()()//Z t Z t X t X t α=g g证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式： 再简化为下面的结果：则得到（a ）的结果。
（b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：再简化为下面的结果:则得到（b ）的结果。
（c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：又由于()()ln ln X t X t αα⎡⎤=⎣⎦，其中α是常数，有下面的结果： 则得到（c ）的结果。
假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。
（a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。
（b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。
答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。
从0时刻到1t 时刻X 的增长率为常数且等于a （0a >），为图形中的第一段。
X 的增长率从0上升到a ，对应于图中的第二段。
从2t 时刻之后，X 的增长率再次变为a 。
图1-1 时间函数X 的增长率（b ）注意到ln X 关于时间t 的导数（即ln X 的斜率）等于X 的增长率，即：因此，ln X 关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到1t 时刻，ln X 的斜率为a （0a >），在1t 时刻，()X t 的增长率出现不连续的变化，因此ln X 的斜率出现扭曲，在t时刻至2t时刻，ln X的斜率由0逐渐变为a；从2t时刻1之后，ln X的斜率再次变为a（0a>）。
图1-2 ln X关于时间的图形描述下面的每一种变化（如果存在的话）怎样影响索洛模型的基本图中的持平投资与实际投资线。
（a）折旧率下降。
（b）技术进步率上升。
（c）生产函数是柯布—道格拉斯型，()=，并且资本份额α上升。
f k kα（d）工人们发挥更大的努力，使得对于单位有效劳动的资本的既定值，单位有效劳动的产出比以前更高。
答：（a）折旧率下降的影响由于持平投资线的斜率为()++，当折旧率δ下降后，持平投资线的n gδ斜率下降，持平投资线向右转，而实际投资线则不受影响。
从图1-3可以看出，平衡增长路径的资本存量水平从k*上升到k*。
NEW图1-3 折旧率下降的影响（b）技术进步率上升的影响由于持平投资线的斜率为()++，当技术进步率g上升后，会使持平n gδ投资线的斜率变大，持平投资线向左转，而实际投资线则不受影响。
从图1-4可以看出，平衡增长路径的资本存量水平从k*下降到k*。
NEW图1-4 技术进步率上升对稳态人均资本存量的影响（c）生产函数是柯布—道格拉斯型的()f k kα=，并且资本份额α上升的影响由于持平投资线的斜率为()n g δ++，因此α上升对持平投资线没有影响。
由于实际投资线为()sf k ，而()f k k α=，因此ln sk sk k ααα∂=∂。
当资本份额α上升时，实际投资线的变化需要分情况讨论：对于01α<<，如果ln 0k >，或者1k >，则/0sk αα∂∂>，即实际投资线sk α随α增加而上升，则新的实际投资线位于旧的实际投资线之上；反之，如果ln 0k <，或者01k <<，/0sk αα∂∂<，则新的实际投资线位于旧的实际投资线之下；对于1k =，则新的实际投资线与旧的实际投资线重合。
除此之外，α上升对于k *的影响还受到s 和()n g δ++的大小的影响。
如果()s n g δ>++，α的上升会使k *上升，如图1-5所示。
图1-5 资本份额α上升的影响（d ）工人们发挥更大的努力，使得对于单位有效劳动的资本的既定值，单位有效劳动的产出比以前有更高的影响：如果修改密集形式的生产函数形式为：()sBf k ，0B ＞，则实际投资线为()sBf k 。
工人们更加努力的劳动，则单位有效劳动的产出比以前提高，即表现为B 上升，B 的上升会使实际投资线()sBf k 上升；持平投资线()n g k δ++并不受影响，此时，k 也从k *上升到NEW k *，如图1-6所示。
图1-6 单位有效产出比以前更高的影响考虑一个具有技术进步但无人口增长的经济，其正处在平衡增长路径上。
现在假设工人数发生了一次跳跃。
（a ）在跳跃时刻每单位有效劳动的产出是上升、下降还是保持不变？为什么？（b ）在新工人出现时，每单位有效劳动的产出发生初始变化（如果存在的话）之后，单位有效劳动的产出是否存在任何进一步的变化？如果发生变化，其将上升还是下降？为什么？（c ）一旦经济再次达到平衡增长路径，此时的每单位有效劳动的产出是高于、低于还是等于新工人出现之前的每单位有效劳动的产出？为什么？答：（a ）假定在0t 时刻，工人数量发生了一次离散的上升，这使得每单位有效劳动的投资数量从k *下降到NEW k 。
从/k K AL =这一式子中可以看出，由于L 上升，而K 和A 则没有变化，因此，k 会下降。
因为()0f k '＞，所以每单位有效劳动的投资数量的下降会降低每单位有效劳动的产出。
在图1-7中，y 从y *下降到NEW y 。
图1-7 单位有效劳动数量降低的影响（b ）在NEW k 处，每单位有效劳动的投资超过了每单位有效劳动的持平投资，即：()()NEW NEW sf k g k δ+＞。
在NEW k 处，经济中储蓄和投资超过了折旧和技术进步所需要的投资数量，因此k 开始上升。
随着每单位有效劳动的资本上升，每单位有效劳动的产出也会上升。
因此，y 从NEW y 返回到y *。
（c ）每单位有效劳动的资本会持续不断的上升，直到返回到原先的资本水平k *。
在k *处，每单位有效劳动的投资恰好与持平投资相等，即：每单位有效劳动的投资抵消了折旧和技术进步所需要的投资数量。
一旦经济返回到平衡增长路径，k 便会返回到k *处，从而每单位有效劳动的产出也会返回到原先的水平。
所以，一旦经济再次达到平衡增长路径，每单位有效劳动的产出等于新工人出现之前的产出。
设生产函数是柯布—道格拉斯型的。
（a ）找出作为模型参数s 、n 、δ、g 和α的函数的k *、y *与c *的表达式。
（b ）k 的黄金律值是什么？（c ）获得黄金律资本存量所需的储蓄是什么？解：（a ）下式描述了每单位有效劳动的资本的动态方程式：定义柯布—道格拉斯生产函数为：()f k k α=，将其代入上式，有下式： 在平衡增长路径处，每单位有效劳动的投资恰好与每单位有效劳动持平投资相等，从而k 保持不变，则有下面结果：从上式可以解出：()()1/1k =s /n+g +αδ-*⎡⎤⎣⎦（1）下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平y *：将方程（1）代入()f k k α=，则可以解出平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平y *：()()/1*/g y s n ααδ-=++⎡⎤⎣⎦（2）下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平c *。
将方程（2）代入()1c s y **=-，则可以求得平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平为：()()()/11/*c =s s n g ααδ--++⎡⎤⎣⎦（3）综合上述方程（1）、（2）和（3）可以解出k *、y *与c *关于模型参数s 、n 、δ、g 和α的函数表达式。
（b ）黄金率的资本存量水平是指每单位有效劳动的消费水平达到最大化时的资本存量水平。
考察这一指标的意义在于考察社会的福利水平，这也是经济学一切分析的核心所在，比考察资本、产出等经济变量更有意义。
由方程（1）可以解出s ，即：()1s =n+g +k αδ*-（4）将上式代入方程（3），有下式：上式可以简化为：()***c =k n+g +d k α-（5）即每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的产出减去每单位有效劳动的实际投资，而均衡状态时，每单位有效劳动的实际投资等于每单位有效劳动的持平投资。
下面求*c 关于*k 的最优化，可以由（5）得出：再简化为：()*1=a ak n+g +δ- （6）方程（6）的定义暗含了黄金规则的资本水平。
其中，方程（6）左边，因为()*1*a k f k α-'=，则，()()*f k n g δ'=++表明生产函数的斜率等于持平投资的斜率。
可以由方程（6）解出黄金规则要求的最佳资本水平，即k 的黄金律值：()()1/1*GR k /n+g +ααδ-=⎡⎤⎣⎦（7）（c ）将方程（7）代入方程（4）即可以得到黄金规则所要求的资本水平：进一步简化为：GR s α=（8）由方程（8）可以得出：对于柯布—道格拉斯生产函数，黄金规则所要求的储蓄率等于产出的资本弹性，也即资本的产出份额。
考虑一个正处在平衡增长路径上的索洛经济。
为了简化分析，假设不存在技术进步并且现在人口增长率下降。
（a ）每个工人平均资本、每个工人平均产出与每个工人平均消费等的均衡增长路径的值发生了什么变化？描述这些经济变量移向其新平衡增长路径的路径。
（b ）描述人口增长的下降对产出（即总产出而非每个工人平均产出的）路径的影响。
答：（a ）由于不存在技术进步，这里可以不考虑技术因素，将每单位有效劳动简化为平均劳动，定义：/y Y L =，/k K L =。
由于持平投资线的斜率为()n δ+，因此，人口增长率n 的下降会使持平投资线的斜率变小，持平投资线更加平坦。
每个工人平均资本的动态方程为：由于n 下降，这会导致k g 变为正数（在平衡增长路径上，k g为0，即资本存量处于最佳水平）。
在*k 处，每个工人平均实际投资()*sf k 超过了每个工人平均持平投资()*NEW n k δ+，因而，*k 会增加，移向*NEW k ，如图1-8所示。
索洛增长模型
由于K / AL k , L/ L n, A/ A g , K sY (t ) K (t ),则， sY (t ) K (t ) Y (t ) k (t ) k (t )n k (t ) g s k (t ) nk(t ) gk(t ) A(t ) L(t ) A(t ) L(t ) 应用Y / AL f (k ), 有 k (t ) sf (k (t )) (n g )k (t )
储蓄率增加与经济增长
y
s1y1
(n+g+δ)k
s1f(k) sf(k)
C1
sy0
C0
0
k0
k1
k
•上图显示，由于人们增加了储蓄，体现 为储蓄倾向的增大，经济从最初的稳定 状态转变为新的稳定状态，使得人均资 本和人均产量都增加了。
•但是需要说明的是，上图两个均衡点都 是稳态中的均衡点，而这个稳态的均衡 点，从长期来看，只不过是受人口增长 率(有效劳动增长率)水平的决定。因此 最终来看，储蓄率的提高有水平效应， 但是没有增长效应，它改变了经济的平 衡增长路径，因而改变了任一时点上每 工人的平均产量水平，但是并不影响处 于平衡增长路径时每工人平均产量的增 长率。
K (t ) K (t ) k (t ) ( A(t ) L(t ) L(t ) A(t )) 2 A(t ) L(t ) ( A(t ) L(t ))
K (t ) K (t ) L(t ) K (t ) A(t ) A(t ) L(t ) A(t ) L(t ) L(t ) A(t ) L(t ) A(t )
储蓄率变动对消费的影响 若将家庭引入模型，其福利将取决于消费而非产量， 因此在许多情况下，我们可能只关心消费变动而非产 量变动。 每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的平均产 量乘以该产量中用于消费的部分1-s，当s增加时，消 费会有猛烈下降，然后随着k的上升，在s的更高值不 变的情况下，消费会逐渐上升。
罗默宏观CH3 索罗增长模型
k 0
sf(k) A
k*
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k
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索洛－斯旺模型
3、稳态时的增长：平衡增长
在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变：
y* f (k*)
结论：索罗模 型意味着，无 论起点在何处， 经济总会收敛 于一个平衡增 长路径：模型 中的每个变量 都以一个不变 的速率增长。
根据单位有效 工人产出的定 义可以计算出 总产出的增长 速度：
k k k k *
(1 )( x n )
在稳态的邻域内，产出和资本具有相 同的增长速度。
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七、索罗模型与增长理论的核心问题
索罗模型中人均产出(Y/L)差别的两个来源： 人均资本（K/L）的差异 劳动效率或技术A的差异 索罗模型的核心结论：资本积累的差异不能解释收 入的巨大差别。 直接解释：如果两国人均产出差别为X倍，则人均 资本差别为X1/α倍。这与现实不符。 间接解释：在竞争市场，资本的收入等于其边际产 出，人均资本的差别意味着资本报酬的巨大差别， 即穷国的资本报酬远远高于富国，资本将流向穷国。 这与现实不符。
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假设的含义
根据规模报酬不变假设可以得到 生产函数的紧凑形式：
f(k) c
f(k)
y=f(k)
y=Y/AL单位有效劳动的产出 k=K/AL 单位有效劳动的资本 稻田条件意味着，在资本存量充 分小时资本的边际产出十分大， 当资本存量很大时，其会变得很 小。其作用在于确保经济的路径 不发散。 根据假设1得到： f (0) 0
(t ) 0 k (t ) 0 k
罗默高级宏观经济学讲义 第一章
AL AL
人均资本k=K/AL，有效劳动人均产量 y=Y/AL，则y=f(k),总产量Y=ALf(k) 3）边际产品递减： f(k)满足f(0)=0, f’(k)>0, f’’(k)<0, f (k)是资 本的边际产品
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1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的 开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按
PCBA
键
开关 键
传统机械按键设计要点： 1.合理的选择按键的类型， 尽量选择平头类的按键，以 防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键设计 间隙建议留0.05~0.1mm， 以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计 算累积公差，以防按键手感
•
•
k
( k(k) k
k k*)(k k*)
[ K (k*) 1](n g )
•
k(t) [1 K (k*)](n g )[k(t) k*]
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五、评价
1.技术进步 为什么资本差异不能解释经济增长水平 2.技术如何进步没有解答 3.学术地位 是增长理论的基准模型
23
谢谢！
(n g )k(t)
8
二、索洛模型的动态学
2.稳态均衡
定义“稳态”：一种其中各种数量
都以不变速度增长的状况，即
•
k
(t=) 0。
当sf (k=*(t)) (n时 g， =)k0*(（t) 储蓄k• (等t) 于投
资），即实际投资与持平投资相等。
无论k从何处开始，它都收敛于k*。
《宏观经济学》课后练习题参考答案6
第6章经济增长一、选择题二、名词解释1、索洛增长模型：索洛增长模型是表明储蓄、人口增长和技术进步如何影响一个经济的产出水平及其随着时间推移而实现增长的一种经济增长模型。
它的基本假定是：（1）社会储蓄函数为S=sY，式中，s是作为参数的储蓄率；（2）劳动力按照一个不变的比例增长；（3）生产的规模报酬不变。
其主要思想是：人均投资用于资本扩展化和资本深化，当人均投资大于资本扩展化时，人均产出就会增长；当人均投资等于资本扩展化时，经济达到稳定状态，人均产出不再增长，但总产出会继续增长，增长率等于人口增长率。
索洛增长模型以经济学家罗伯特·索洛（Robert Solow）的名字命名，是在20世纪50—60年代提出来的。
1987年，索洛由于在经济增长研究中的贡献而获得了诺贝尔经济学奖。
2、稳定状态：索洛模型的稳定状态指的是长期中经济增长达到的一种均衡状态，在这种状态下，投资等于资本扩展化水平，人均资本存量维持不变，即△k=sf(k)－δk=0。
这个维持不变的人均资存量k*，叫做稳定状态人均资本存量。
在稳定状态下，不论经济初始位于哪一点，随着时间的推移，经济总是会收敛于该资本水平k* 。
在稳定状态，由于人均资本存量保持不变，所以人均产出也保持不变，即人均产出增长率为零。
3、资本的黄金律水平：资本的黄金律水平是指稳定状态人均消费最大化所对应的人均资本水平，由经济学家费尔普斯于1961年提出的。
他认为如果一个经济的发展目标是使稳态人均消费最大化，稳态人均资本量的选择应使资本的边际产品等于劳动的增长率。
黄金分割率具有如下的性质：（1）在稳态时如果一个经济中人均资本量多于黄金分割率的水平，则可以通过消费掉一部分资本使每个人的平均资本下降到黄金分割率的水平，就能提高人均消费水平。
（2）如果一个经济拥有的人均资本少于黄金分割的数量，则该经济能够提高人均消费的途径是在目前缩减消费，增加储蓄，直到人均资本达到黄金分割率的水平。
罗默《高级宏观经济学》(第1和2版)笔记和课后习题详解
罗默《高级宏观经济学》(第1和2版)笔记和课后习题详解本文深入讨论罗默《高级宏观经济学》(第1和2版)，旨在为学习者提供出色的笔记、精彩的课后习题解析，并对概念、理论和应用进行认真的细致分析，从而增加理解深度，完成更深层的知识探索。
《高级宏观经济学》是由罗默编写的经济学经典，既有第一版，也有第二版。
该书深入探讨了有关宏观经济的一系列概念，从而帮助学习者更好地理解宏观经济学和实践中的问题。
本文主要记录了罗默《高级宏观经济学》的笔记和课后习题详解。
一、《高级宏观经济学（第一版）》笔记：1.什么是宏观经济学？宏观经济学是研究几个最基本的经济活动，如消费、、政府支出、出口和多国贸易等，以及它们如何影响整体经济活动的经济学分支。
它重点关注经济中的总体现象，这些总体现象包括：一般内需、总计计划、工业产出、通货膨胀和未来经济增长。
2.宏观经济学的重要概念宏观经济学的重要概念包括：货币与兴贸易政策。
货币政策包括由中央银行控制的货币和信贷供应，而贸易政策包括贸易壁垒、补贴和关税等。
此外，宏观经济学还关注大规模的经济转换，如通货膨胀、失业和衰退。
3. 宏观经济学中的重要理论宏观经济学中的重要理论包括：需求管理理论、金融结构理论、宏观经济政策理论以及经济增长理论。
它们都被广泛应用于实践中，有助于帮助政府改善国民经济的表现。
二、《高级宏观经济学（第二版）》笔记：1.经济增长的关键因素经济增长的关键因素包括资本形成、技术进步和劳动力。
资本形成是指为生产加倍而积极的活动；技术进步指科学技术的发展；劳动力是指劳动力技能和可用劳动力水平的增加。
这三个因素是推动经济增长的关键因素。
2.宏观经济政策宏观经济政策分为货币政策和财政政策。
货币政策是由中央银行控制的货币及信贷供应的政策，其目的是稳定经济和利率，达到最佳的经济增长；而财政政策则指政府通过征税、支出和债务管理来调节经济的政策。
3.货币策略货币策略主要通过操作利率和货币供应来实现宏观经济目标。
索洛增长模型高宏
含义 资本存量 劳动力 知识或技术 有效劳动 总产出
平衡增长速度 n+g n g n+g
备注证明 k=K/AL
F(cK,cAL)=cF(K,AL) n+g n+g 0 g 0 g 0 g 0 c=(1-s)f(k) y=f(k)=Y/AL C=(1-s)Y
总消费 有效劳动的平均资本 人均资本 有效劳动的人均产出 人均产出 有效劳动的人均消费 人均消费 资本产出比
k=k*时各变量比例的变动：
Y / K：不变； Y / L：以速率 g增长； K / L：以速率 g增长。
证明
K的增长率：
(t ) (t ) (t ) L (t ) A (t ) k K K (n g ) k (t ) K (t ) L(t ) A(t ) K (t )
lim FK lim FL
满足这三个条件的 生产函数被称为新 古典生产函数。 因此，索洛增长模 型又被称为新古典 增长模型。
K 0 L 0 K
lim FK lim FL 0
L
（一）模型的基本假定
通常使用CD生产函数（索洛）：
Q AL K A0 0 1 0 1
（三）参数变化的影响
索洛模型中，主要参数有：
ห้องสมุดไป่ตู้
n, g , , s
政策最有可能影响的是储蓄率
（三）参数变化的影响
1.储蓄率增加的影响方向分析（定性）； 2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平； 3.储蓄率增加的影响程度分析（定量）。
1.储蓄率增加的影响方向分析
y
y
new
(n g )k
5-罗默高级宏观经济学
我们在求导的时候注意 是一个常数， 表示的是家庭在两个时期转换消费的消费意愿， 越小，随着消费的上升边际效用下降的越慢，家庭越愿意跨期消费。
2.2企业行为和家庭行为
资本要素完全竞争---利率=资本的边际产出
工资=劳动的边际产出
宏观经济学的起点——凯恩斯1936年的通论
高级宏观经济学的起点——将我们的动态最优的分析方法，1928年开始提出，196几年的时候才开始运用，现在宏观经济学运用最多的就是这个模型
这样的争论是，资本的所有者是否应该
资本存量的增长率先是增加，然后增加的逐渐下降，
资本存量的变化率
资本存量本身是一定是往上走的，是递减的增加
和资本存量的增长率相对应
劳均资本的增长率和资本存量的增长率是同步的
变动，因为技术进步率是不变的
劳军产出的对数值
每单位劳动的平均消费是怎么变化
取决于产出怎么变
也取决于劳动怎么变
投资先快速下滑，然后回归到新的均衡
我们经济学是先提出假定，然后在这个基础上发展框架
政治经济学中资本对劳动的剥削，只要你进行劳动，就有剩余
资本对劳动存在剥削，
因为只有劳动创造价值，其他因素不占有价值，其他要素获取剩余价值，所以就有对劳动的剥削
劳动者得到工资L——w
资本所有者得到利息K——r(一定是来自于劳动者的贡献)—所以这就应该是剥削
考虑一个变量对另一个变量的影响，
最基本的方式就是求导；
还有一个是弹性的概念总产出增加2%，储蓄增加X%。
有一个基本的方程，如果卡住了，把那个公式写到一遍，就一定能得到启发
如果储蓄率一定的话，经济会收敛到唯一的一个均衡点
考察经济收敛的速度，核心的变量就是资本存量
罗默《高级宏观经济学》【教材精讲+经典考题串讲】讲义(第1~3章)【圣才出品】
罗默《高级宏观经济学》【教材精讲+经典考题串讲】讲义第1章索洛增长模型第一部分重难点解读“一旦人们开始思考（经济增长）问题，他将很难再顾及其他问题。
”——罗伯特·卢卡斯（Robert Lucas，1988）1.1模型假设投入与产出生产函数采取如下形式：()()()()(),Y t F K t A t L t =其中，t ：时间，A ：有效劳动．．．．——劳动增加型．．．．．的或哈罗德中性．．．．．。
生产函数生产函数是规模报酬不变的：()(),,F cK cAL cF K AL =，对于所有0c ≥规模不变结合两个不同的假设：第一是经济规模足够大，以至于专业化的收益已被全部利用。
第二是除资本、劳动与知识以外的其他投入相对不重要。
把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的函数：()1,1,⎛⎫= ⎪⎝⎭K F F K AL AL AL定义/=k K AL ，/=y Y AL 以及()(),1=f k F k ，得：()=y f k 关于()f k 的假设：（1）()00=f ，()0'>f k ，()0''<f k （如何推导？比较重要！）（2）稻田条件（Inada condition）：()0lim →'=∞k f k ，()lim 0→∞'=k f k 柯布一道格拉斯函数：()()1,,01ααα-=<<F K AL K AL 。
根据规模报酬不变假设，整理可得：()α=f k k ，图示如图1.1所示。
图1.1柯布-道格拉斯生产函数生产投入的演化给定资本、劳动与知识的初始水平，劳动与知识以不变的增长率增长：()()∙=L t nL t ()()∙=A t gA t 其中，n 与g 是外生参数。
求解以上两微分方程，可得：()()0=ntL t L e()()0=gtA t A e 假设：用于投资的产出份额s 是外生且不变的，则有资本动态积累方程：()()()δ∙=-K t sY t K t 其中，δ为资本折旧率。
罗默《高级宏观经济学》(第4版)课后习题详解
目录分析
第2章无限期模型 与世代交叠模型
第1章索洛增长模 型
第3章内生增长
第4章跨国收入差距
第5章实际经济周期 理论
第6章名义刚性
第7章动态随机一般 均衡周期模型
1
第8章消费
2
第9章投资
3
第10章失业
4
第11章通货膨 胀与货币政策
5
第12章预算赤 字与财政政策
作者介绍
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罗默《高级宏观经济学》（第 4版）课后习题详解
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目录
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罗默
刚性
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理论
习题
习题
第版 模型
收入
罗默
差距
消费
经济周期
内生
周期
动态随机
内容摘要
本书是罗默《高级宏观经济学》教材的配套电子书，参考大量相关资料对罗默《高级宏观经济学》（第4版） 教材每章的课后习题进行了详细的解答，并对个别知识点进行了扩展，特别适合应试作答和临考冲刺。
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罗默《高级宏观经济学》第版课后习题详解第章索洛增长模型
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增长率的基本性质。
利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明：（a ）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若()()()Z t X t Y t =，则（b ）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若()()()Z t X t t =，则（c ）如果()()Z t X t α=，则()()()()//Z t Z t X t X t α=证明：（a ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式： 再简化为下面的结果：则得到（a ）的结果。
（b ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：再简化为下面的结果:则得到（b ）的结果。
（c ）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：又由于()()ln ln X t X t αα⎡⎤=⎣⎦，其中α是常数，有下面的结果： 则得到（c ）的结果。
假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >，在1t 时刻下降为0，在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ，在2t 时刻之后不变且等于a 。
（a ）画出作为时间函数的X 的增长率的图形。
（b ）画出作为时间函数的ln X 的图形。
答：（a ）根据题目的规定，X 的增长率的图形如图1-1所示。