第11章 新古典增长理论-索洛模型(讲义版)
新古典增长理论
评论
1．主要结论 （1）无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数。 （2）在其他外生变量相似的条件下，人均资本低的经济有更快的人均资本的提高，人均收入低的经济有更高 的增长率。 （3）人均产出（Y/L）的增长来源于人均资本存量和技术进步，但只有技术进步才能够导致人均产出的永久 性增长。 （4）通过调节储蓄率可以实现人均最优消费和最优资本存量的“黄金律”增长。 （5）储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响；储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的 产出变化只有较小的影响，且作用缓慢。 2．批评 （1）未能够解释长期经济增长的真正来源。把技术进步（劳动的有效性）看成为外生给定的，而这恰恰是长 期经济增长的关键。因此，索洛模型是通过“假定的增长”来解释增长的。
G=a △K/K+（1－a）△L/L+△T/T
上式中△T/T代表技术进步。索洛模型和之后的索洛－米德模型不仅体现了凯恩斯主义，而且体现了新古典 学派的经济思想，常被称为新古典增长模型，该模型所阐述的增长理论被称为增人口提供平均的资本装备nk，这被称作“资本的广化”。换句话说，经济中的全部储蓄 转化为投资后，一部分用于提高人均资本拥有量（资本的深化），另一部分则用于为新增人口提供平均数量的资 本装备（资本的广化）。
图中横轴为人均资本拥有量k，纵轴为人均收入f（k）。集约生产函数曲线f（k）表明随着人均资本拥有量 的增加而增加，人均产量即人均收入f（k）也相应增加。人均储蓄曲线sf(k)位于人均收入曲线f(k)的下方，因 为储蓄只是收入的一部分。
基本信息
新古典增长理论（New-Classical Theory of Economic Growth）
新古典增长理论主要是指美国经济学家索洛所提出的经济增长的理论。索洛以柯布－道格拉斯生产函数为基 础，推导出一个新的增长模型。这个模型假定：第一、资本－产出比率是可变的；资本和劳动可以互相替代；第 二、市场是完全竞争的，价格机制发挥主要调节作用；第三、不考虑技术进步，技术变化不影响资本－产出比率， 因而规模收益不变。用a和1－a分别代表资本和劳动对总产出的贡献，△K/K为资本增长率；△L/L为劳动增长率， 该模型用公式可以表示为：
索洛的新古典增长模型
索洛的新古典增长模型
索洛的新古典增长模型是一种经济增长模型，它通过分析生产过
程中的资源配置和技术进步等影响因素，来揭示经济增长的本质和规律。
这一模型被广泛应用于各个领域，成为现代经济学研究中的重要
工具。
新古典增长模型的一个核心观点是，在生产过程中，生产要素
（如土地、劳动力、资本等）的配置和技术进步是经济增长的核心驱
动力。
其中技术进步对经济增长的贡献更为重要，这是因为技术的进
步能够有效地提高生产效率，从而促进经济增长。
而在资源配置方面，新古典增长模型认为，完全竞争市场机制是资源配置的最佳方式，通
过市场机制同类资源的价值会得到充分的体现，从而提高资源配置效率。
在新古典增长模型中，生产要素的投入和产出的关系可以用生产
函数来表示，该函数是指生产要素与产出之间的一种数学关系。
而在
生产函数中，技术进步的作用可以通过引入技术系数来体现，这可以
促进生产过程的自动化和信息化，从而提高生产效率。
与此同时，在新古典增长模型中，资本积累也是经济增长的重要
推动力。
通过投资获得资本，可以促进生产力的提升和技术进步，从
而实现经济增长。
但是，新古典增长模型也强调，在资本积累的过程
中要注重资源的节约和环境保护，才能实现可持续发展。
总之，新古典增长模型对于经济增长的分析和预测具有重要的指导意义。
它强调了资源配置和技术进步对经济增长的影响，提出了完全竞争市场机制和资本积累的重要性，为现代经济学的研究提供了重要的思路和方法。
同时，由于新古典增长模型对可持续发展的关注，也促进了经济发展与环境保护相结合的研究和实践。
索洛模型
n, g , , s
政策最有可能影响的是储蓄率
34
（三）参数变化的影响
1.储蓄率增加的影响方向分析（定性）； 2.储蓄率增加的影响程度分析（定量）； 3.最优储蓄率——资本的黄金规则水平。
分三个角度来观察： 1.旧的稳态点
2.新的稳态点
其中：有效劳动AL，有效劳动人均资本k=K/AL， 有效劳动人均产量y=Y/AL，总产量Y=AL· f(k)
8
（一）模型的基本假定
进一步假设：
f k 0 f k 0
边际报酬递减
满足稻田( Inada )条件： lim f k lim f k 0
经济增长理论之
索洛模型
1
70法则
如果任意变量每年以g%的速度增长，则该变量值翻 倍时间大约是70/g年。
yt y0e gt 2 y0 y0 e
gt *
t * log 2 / g 0.7 / g g % 1%和5%时，t * 70和14年。
2
预备知识：技术进步的类型
Y=F(K,AL)（哈罗德型，资本增进型） Y=F(AK,L)（索洛型，劳动增进型）
gt At A0e
12
（一）模型的基本假定
投入品的指数增长： 假设时间t是连续的（非离散的） （1）劳动力的增长： L(t ) / L(t ) [dL(t ) / dt ] / L(t ) n
（2）知识的增长： A(t ) / A(t ) [dA(t ) / dt ] / A(t ) g 其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为外 生参数，表示不变增长速度
n g k t
sf k
第11章 新古典增长理论-索洛模型(讲义版)
第十一章 新古典增长理论——索洛模型（3）本次授课框架：总结波动理论，引出增长理论。
增长方程推导及对增长因素的讨论（包括索洛剩余）（1） 增长方程推导（总量形式），假设条件（2） 人均形式生产函数（3） 总量与人均量之间的关系索洛稳态方程推导过程（1） 索洛稳态定义（2） 根据均衡条件的推导（3） 稳态条件的存在性讨论（生产函数假设，INADA 条件）（4） 储蓄线和投资持平线（补偿线）相互关系的讨论解释稳态调整路径 比较静态分析（1） 储蓄率增加情况（2） 人口增长率增加情况总结“新古典增长理论”的关键结论（影响总量、人均增长率的因素（结合储蓄率）与各国收入趋同论）新古典增长理论评价一、增长方程推导假设生产函数：N N N K AF N N K AF N K K N K AF K N K AF K A A YY N K AF Y ∆∂∂*+∆∂∂*+∆=∆=),(),(),(),(),( 假设 产品市场、要素市场完全竞争，规模收益不变1。
根据欧拉定理：1 对规模收益不变（Constant Return of Scale ，简称CRS ）的理解。
第一，经济规模足够大，以至于来自专业化分工的收益（gains from specialization ）已不存在。
当资本和劳动增加一倍时，只能重复原有的工作效率和工作方式，使产出翻倍而不能带来更多；第二，强调资本和劳动对产出的重要性，其他因素如自然资源的相对次要地位。
本章的一道作业题也表明这种假设的合理性，自然资源对经济增长的制约阻碍在一定程度上是可以被逾越的。
总量表达式2 N N K K A AY YN K AF N N K AF N N K AF K N K AF K ∆-+∆+∆=∆-=∂∂*=∂∂*)1(1),(),(),(),(θθθθ 总量与人均量的关系N N k k K K N N y y Y Y∆+∆=∆∆+∆=∆人均量表达式 kk A A y y ∆+∆=∆θ索洛发现：技术进步、劳动供给增加和资本积累按此顺序是GDP 增长的重要决定因素，而技术进步和资本积累是人均GDP 增长的重要因素。
第十一章经济增长理论经济增长概论经济增长因素的分析哈罗德多马模型新古典经济增长模型新剑桥经济增长模型
稳态分析(续）
y yA yB
（n +d）k f （k ）
sf（k） A
O 图11—1
kA 经济增长的稳态
k
三、储蓄率的增加
y （n +d）k C` s’f（k）
C
sf（k）
O
k0 图11—2
k` 人均生产函数曲线
k
y (a) y0 O 图11—5 G (b) O 图18—5 t0 t1 t t0 t1 t
一、新古典增长模型的基本方程
Δ Κ = Ι -dK
根据I=S=sY，上面的式子可以写成：
Δ Κ = sY-dK
该式两边同时除以劳动数量N，可得：
Δ Κ /N = sy –dk
新古典增长模型的基本方程
k K N K K k n n k KN K Kk
再对等式两边同除以N,可得： Δ Κ /N=Δ k+nk 将 Δ Κ /N = sy –dk 式 和 上 式 合 并 ， 消 去 Δ Κ /N，则可得到： Δ k =sy-（n +d）k 新古典增长模型的基本方程可以表述为： 资本深化 = 人均储蓄 - 资本广化
如果G＞GW
1、假定s=sd
G = s/ c GW = sd/ cr
∴ 如果G>GW, 则必然有c<cr
这时，资本家增加投资以使资本-产出达到合 意水平，所以投资增加，其结果刺激了经济 的繁荣。
2、假定c=cr
G = s/ c GW = sd/ cr
如果G>GW, 则必有s>sd,
这就意味着实际储蓄率大于意愿的储蓄率，个 人、企业减少储蓄以使得储蓄率达到合意的水 平。储蓄的减少就是消费、投资的增加，从而 刺激了经济的繁荣。
新古典增长模型
索洛－斯旺模型）索洛－斯旺模型是哈罗德―多马模型的发展，发展点是改变了的生产函数，改为可以平滑替代的生产函数，又称为新古典增长模型。
（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（二）稳定状态（三）动态分析（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（一）新古典增长理论的分析目的、基本假定（1.分析目的：新古典增长理论分析资本积累、人口增长及技术进步对经济增长的作用，着重分析储蓄对资本存量变化的影响，揭示经济长期增长的产出水平和资本水平实现稳态均衡的条件，以及如何从当时的状态向稳态均衡状态调整。
2.模型的假设索洛－斯旺模型保留了哈罗德―多马模型的假设，不同之处两点，生产函数不同，资本折旧率不再是0。
（1）新古典生产函数假定 ①新古典生产函数的性质：),(L K F Y ，有连续的一阶和二阶导数。
ⅰ各要素的边际产出大于0且递减，即一阶导数大于0二阶导数小于020,0F F K K∂∂<>∂∂ 3.1a 20,0F F L L ∂∂><∂∂ 3.1bⅱ规模报酬不变，即生产函数有一次齐次性 ).(),(L K F L K F λλλ=，0 λ成立 )()1,()1,/(),(k f L k F L L K F L L K F Y ⋅=⋅=⋅==3.2 显然L K k /=为人均资本 令L Y y /=，人均产出，则3.2式为)(k f y =ⅲ稻田条件（Inada Conditions ）资本（或劳动）趋向于0时，其边际产出趋向于无穷大。
资本（或劳动）趋向于∞时，其边际产出趋向于零。
0→k ，∞→∂∂K F 3.3a0→L ，∞→∂∂KF 3.3b 上两式可写成∞==→→L L k k F F lim lim 00∞→k ，0→∂∂K F∞→L ，0→∂∂K F上两式可写成0lim lim ==∞→∞→L L k k F F②固定折旧比例假定 假设资本以一个固定比例折旧，0δ>，为常数，如总资本为K ，则折旧为K δ。
索洛增长模型名词解释
索洛增长模型名词解释
一、概念
索洛增长模型，又称作新古典经济增长模型或外生经济增长模型，是 Solow 于 1956 年首次创立的经济增长模型。
该模型旨在说明储蓄、资本积累和经济增长之间的关系，是分析以上三个变量关系的主要理论框架。
二、原理
索洛模型对经济总体的增长贡献被设定为由劳动、资本和技术进步三者组成。
该模型假设边际生产递减的一次齐次的总生产函数，满足稻田条件，储蓄率一定，技术进步为外生等条件。
在此基础上，得出了政府政策对于经济增长的作用是无效的结论。
三、应用
索洛模型的应用十分广泛，可以用于分析国家和地区的经济增长情况，为企业和政府制定经济政策提供理论依据。
例如，通过索洛模型可以分析资本积累、技术进步、劳动力等因素对经济增长的贡献，以及各种政策对经济增长的影响。
四、影响
索洛模型的创立对经济增长理论产生了深远的影响。
一方面，该模型提出了储蓄、资本积累和技术进步是经济增长的重要因素，为经济增长理论研究提供了新的视角和思路。
另一方面，该模型得出的政府政策无效论使人们意识到，政府政策并非万能，经济增长还需要依靠市场机制和内在动力。
然而，需要注意的是，索洛模型存在诸多假设条件，如边际生产递减、储蓄率一定等，这些假设条件在现实经济中并不完全符合。
因此，在应用索洛模型进行分析时，需要结合实际情况进行调整和改进，以更好地解释和预测经济增长。
总之，索洛增长模型作为一种重要的经济增长理论框架，对于分析和理解经济增长的基本原理和机制具有重要意义。
经济增长理论新古典增长模型的解释
经济增长理论新古典增长模型的解释经济增长理论：新古典增长模型的解释经济增长是一个国家或地区总体经济发展的关键指标，也是衡量国家或地区经济繁荣程度的重要标志之一。
为了更好地理解经济增长的机制和影响因素，经济学家们提出了不同的增长理论。
其中，新古典增长模型被广泛应用于探讨经济增长、产出变动和技术进步等方面的问题。
一、新古典增长模型的基本假设新古典增长模型假设一个封闭的经济系统，其要素包括资本、劳动、技术和产出。
该模型基于一系列假设，包括经济中的资源有限、市场竞争完全、效用函数和生产函数连续可导等。
在新古典增长模型中，以生产函数为核心的生产关系被认为是经济增长的基础。
生产函数描述了如何将劳动力和资本投入转化为产出。
通常，生产函数是一个关于劳动力、资本和技术的函数，表达为 Y =F(K,AL)，其中 Y 表示产出，K 表示资本存量，A 表示技术水平，L 表示劳动力。
二、新古典增长模型的要点分析1. 资本积累与经济增长新古典增长模型认为，资本积累是经济增长的关键驱动因素之一。
通过提高资本存量和投资水平，可以促进经济的生产效率和产出水平的提高。
2. 技术进步与经济增长在新古典增长模型中，技术进步扮演着非常重要的角色。
技术的进步可以提高效率，使得同样的投入能够得到更多的产出，从而推动经济增长。
技术进步可以通过提高研发投入、知识积累和创新等途径实现。
3. 人力资本与经济增长人力资本是指劳动者的知识、技能和经验等方面的投资。
新古典增长模型认为，人力资本的积累可以提高生产力水平，促进经济增长。
通过教育、培训和职业技能的提升，人力资本的投资可以改善劳动力素质，进而推动经济的发展。
4. 增长率与稳定状态新古典增长模型将经济增长分为两个阶段：短期增长和长期增长。
短期增长主要由技术进步和资本积累推动，而长期增长则依赖于技术进步。
稳定状态是指经济增长达到长期均衡状态，其中投资、储蓄、产出和资本存量等各要素之间处于平衡状态。
三、新古典增长模型的局限性和拓展尽管新古典增长模型在解释经济增长方面具有一定优势，但它仍存在一些局限性。
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第十一章 新古典增长理论——索洛模型（3）本次授课框架：总结波动理论，引出增长理论。
增长方程推导及对增长因素的讨论（包括索洛剩余）（1） 增长方程推导（总量形式），假设条件（2） 人均形式生产函数（3） 总量与人均量之间的关系索洛稳态方程推导过程（1） 索洛稳态定义（2） 根据均衡条件的推导（3） 稳态条件的存在性讨论（生产函数假设，INADA 条件）（4） 储蓄线和投资持平线（补偿线）相互关系的讨论解释稳态调整路径 比较静态分析（1） 储蓄率增加情况（2） 人口增长率增加情况总结“新古典增长理论”的关键结论（影响总量、人均增长率的因素（结合储蓄率）与各国收入趋同论）新古典增长理论评价一、增长方程推导假设生产函数：N N N K AF N N K AF N K K N K AF K N K AF K A A YY N K AF Y ∆∂∂*+∆∂∂*+∆=∆=),(),(),(),(),( 假设 产品市场、要素市场完全竞争，规模收益不变1。
根据欧拉定理：1 对规模收益不变（Constant Return of Scale ，简称CRS ）的理解。
第一，经济规模足够大，以至于来自专业化分工的收益（gains from specialization ）已不存在。
当资本和劳动增加一倍时，只能重复原有的工作效率和工作方式，使产出翻倍而不能带来更多；第二，强调资本和劳动对产出的重要性，其他因素如自然资源的相对次要地位。
本章的一道作业题也表明这种假设的合理性，自然资源对经济增长的制约阻碍在一定程度上是可以被逾越的。
总量表达式2 N N K K A A Y Y N K AF N N K AF N N K AF K N K AF K ∆-+∆+∆=∆-=∂∂*=∂∂*)1(1),(),(),(),(θθθθ总量与人均量的关系N N k k K K N N y y Y Y∆+∆=∆∆+∆=∆ 人均量表达式 kk A A y y ∆+∆=∆θ索洛发现：技术进步、劳动供给增加和资本积累按此顺序是GDP 增长的重要决定因素，而技术进步和资本积累是人均GDP 增长的重要因素。
在大部分历史中，两个重要的要素，当推资本积累3（实物与人力）与技术进步。
我们对增长理论的研究重点集中于这两个因素。
索洛剩余 产出增长中不能通过资本积累和劳动投入来解释的部分，可以理解为技术进步（AA ∆）带来的增长。
A 4有时也被称作“全要素生产率”（TFP ），这是一个比“技术进步”更为中性的术语。
实证研究表明：技术进步在产出增长中的贡献大约为80%左右。
由于产出和劳动、资本投入可以直接观察到，而A 却不能，经济学家测量“索洛剩余” A 利用：])1[(K K N N Y Y A A∆+∆--∆=∆θθ二、稳态分析2在发达国家如美国，资本的收入份额θ是0.25，劳动的收入份额θ-1是0.75。
这意味着，资本年增长率如果为3个百分点，导致产出增长率还不到1个百分点。
3 如果将资本进一步细化为实物资本和人力资本（H ），生产函数将转化为：),,(N H K AF Y =。
曼昆、罗默等一篇颇有影响的文章指出，生产函数中实物资本K 、非熟练劳动力N 和人力资本H 的要素份额各占1/3。
4 A 被定义为“全要素生产率”的说法，只是针对),(N K AF Y =这种生产函数形式的，这种技术进步类型在历史上也被称作“hicks-neutral ”（希克斯中性）；如果生产函数形式为),(AN K F Y =，这是的技术进步被称作劳动增广型（labor-augmenting ）技术进步或“harrod-neutral ”（哈罗德中性）。
如果采用这种生产函数形式，也可以推导出类似的增长方程以及索洛稳态方程。
当n N N A A =∆=∆,0时，按照前面推导出的增长方程（不停地迭代下去），产量增长率会怎样变化？例如，是否会有这样一个稳态点，在这一点上人均产量和人均资本都变得固定？如果有这样的稳态点，在这一点上，又具有什麽特征？（稳态特征）现在考虑这个稳态点所具备的状态特性。
已知人口以速度n 增长，为使人均资本保持不变，即经济达到上述定义的稳态，则资本必须和人口以相同速度增长。
即：0=∆=∆=∆=∆=∆kk y y n Y Y K K N N关键的稳态特征是三个变量N 、K 、Y 以相同速度n 增长，人均资本水平k 固定。
下一个问题是：那个固定的人均资本水平k 为多少？利用波动理论中的供需平衡条件求出k 。
在一个没有政府的封闭经济体中，均衡条件：S I =稳态方程 )()()(k sf k d n sYK d n sYdK K =+=+=+∆问题：如何能保证该稳态方程有解存在（k 的存在性）？借助几何图形释义（解释初始条件）。
其中f(k)为人均产量表达式)1,()(),(),(k F k f y NN N K F N Y N K F Y ====当f(k)存在边际报酬递减规律时，经济会进入索洛假定的长期稳态。
（解释f(k)边际报酬递增时，k 不稳定的理由）k 的稳定性问题：稳态时，储蓄正好提供了充足的投资来抵消折旧和为新增的劳动力装备资本设备。
如果储蓄sy 超过(n+d)k ，导致人均资本上升，人均收入上升；反之，如果sy 不足补充(n+d)k ，则人均资本下降，人均收入下降。
(稳定点判定)作图三、几点讨论（1） 储蓄率增加提高了稳态人均收入水平和人均资本水平。
总产量增长率达到稳态时为n,只是在动态调整过程中上升。
（长期增长率独立于储蓄率）各种路径分析（k 、y 、K 、Y 的增长率路径以及k 、y 的水平路径）。
（作图）附：收敛速度的讨论及储蓄率上升导致稳态人均资本量、人均产出量的变化度和变化方向判断。
至于储蓄率变化对稳态人均消费的影响讨论将在下一章提及。
——储蓄率上升导致稳态人均资本量、产出量的变化度和变化方向判断： 0)()()()()()),,((),,()()).,(( k k k k k kk k k f s d n f s s d n s f s d n s f d n s d n d n s sf *********'-+=∂∂∂∂+≡∂∂'++≡ （n+d 为投资持平线斜率，sf ´(k)为稳态点的储蓄线斜率，前者一定大于后者，所以，dk*/ds>0）[][])(1)()(/)(1)(/)()(/)()()()()()()()()()()(0)()()()(),,()(k k k k k k k kk k k k k k k k k y y k k k k k yk k f f f f f f d n d n k f f d n f s d n f f f s s s f s d n f f s d n s f s *************************-='-'='+-+'+='-+'=∂∂'-+'=∂∂'=∂∂αα这说明：稳态人均产出对储蓄率变动的弹性与资本报酬占收入的份额有很大关系。
在多数国家，αk 大致为1/3，因此，可以粗略估计，在长期产出对储蓄率的弹性约为1/2。
如果储蓄率提升10%，则人均产出在长期将会提升约5%。
我们发现储蓄率的大幅度变化将只会带来收入的相对微弱幅度的调整。
——k 趋进稳态资本存量的速度讨论：0)1)()(()()()()()()()()()()()( -+=+-'+=+-'==-=-+≈+-==∆*****=**=*⋅⋅∂∂∂∂**k k k k k k k k k k k k k k kk k d n d n f f d n d n f s k k k kk d n k sf k αλλ其中，)(k k *α为资本收入份额，小于1。
该式表示k 趋近稳态的收敛速度存在规律：离稳态点k*距离越远，收敛速度越快。
（2）人口增长率增加导致(n+d)k 曲线向左上方旋转。
人口增长率的增加降低人均资本稳态水平和人均产量。
人口增长率上升增加稳态时总产量增长率。
各种路径分析（k 、y 、K 、Y 的增长率路径以及k 、y 的水平路径）（作图）四、总结新古典增长理论的四个关键结论（1） 稳态增长率是外生的，独立于储蓄率。
（2） 尽管储蓄率的增加没有影响到稳态增长率，但它提高了稳态人均收入水平。
（3） 当允许生产率增加（即存在技术进步）时，且g AA =∆，在稳态条件下，总产量增长率等于n+g ；人均收入增长率等于g 。
（4） （趋同论）如果两个国家有相同人口增长率，相同储蓄率，相同生产函数，那麽他们最终会达到相同的人均收入水平5。
（引申：如果国与国之间有不同储蓄率，它们会在稳态中达到不同收入水平；但如果它们的技术进步率和人口增长率都相同，那麽它们的稳态增长率也将相同。
）五、新古典增长理论评价（1） 技术进步率外生假定。
（2） 储蓄率外生化且与稳态增长率无关结论受到质疑。
（3） 趋同与实际各国人均收入差距不符6。
这三点与人们对经济增长问题的实证研究经验存在很大差距，因此，在新古典增长理论的基础上，产生内生增长理论，弥补上述的三个缺陷。
关键术语:新古典增长模型 neoclassical growth model边际报酬递减 decreasing marginal return边际报酬不变 constant marginal return索洛剩余 Solow residual作业： 商学院——P55技术题 （4）（6）（8）双学位——P55 技术题（6）（8）5 索洛模型的趋同论观点得到来自Baumol (1986)的实证支持。
参见Baumol 1986，“productivity growth, convergence, and welfare ”， American Economic Review 76 (December),1072-1085;6 De Long 对Baumol 的实证研究进行一番评论，指出其在实证处理过程中的几处疑点。
参见De Long 1988,“productivity growth, convergence, and welfare: comment ”， American Economic Review 78(December),1138-1154;。