华师一附中自招考试数学试题
2022年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学自主招生数学试题(专县生)
2022年华师一附中专县生数学试卷理科综合测试题时限:100分钟满分:150分数学部分(100分)一、选择题(共6小题，每小题5分，共30分)1.新冠疫情对某地区的经济发展造成了巨大影响，为了改善该地区经济发展的现状，政府部门对该地区的经济进行了为期一年的宏观调控，使得该地区的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解调控前后该地区的经济收入变化情况，统计了该地区宏观调控前后的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）。
A.宏观调控后，服务业收入减少B.宏观调控后，农业收入增加了一倍以上C.宏观调控后，工业收入增加了一倍D.宏观调控后，工业收入与其它收入的总和超过了经济收入的一半2.已知a=√2023−√2022,b=√2022−√2021,c=√2021−√2020,则a，b，c的大小关系为（）。
A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a(k⟩0)的图象的交点的横坐标为2，则关于x的不等3.已知二次函数y=ax²+1(a>0)的图象与反比例函数y=kx+ax2+1<0的解集是（）。
式kxA.x < -2B.-2< x< 0C.0<x<2D.x>24. 如图,四边形ABCD 中,∠A=∠C=90°,,32,2,30,90===∠=∠=∠CD AD ABC C A oo则BD=（）。
A.338 B.3394 C.74 D.845、如图1，点G 是BC 上靠近点C 的三等分点，点H 在AF 上，动点P 以每秒1cm 的速度沿图1的边线运动,运动路径为:G-C-D-E-F-H,相应的△ABP 的面积y(cm²)关于运动时间t(s)的函数图象如图2，若AB=4cm ，则下列四个结论中正确的个数有（）。
①图1中的BC 长是9cm;②图2中的M 点表示第6秒时y 的值为18cm²;③图1中的CD 长是3cm;④图2中的N 点表示第19秒时y 的值为14cm².A.1个B.2个C.3个D.4个6、如图,△ABC中∠ACB=90°,点D 在CA 上,CD=1,AD=4,∠BDC=3∠BAC,则BC=（）。
20-10年华师一附中自主招生数学试题
（2）记两次朝上的面上的数字分别为m、n,若把m、n分别作为点P的横坐标和纵坐标,
求点P（m,n）在双曲线y＝ 上的概率.
23．如图20,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合）,点E在射线BC上,且PE=PB.
20．如图20,在矩形ABCD中, 点E为边BC的中点, AE⊥BD,垂足为点O, 则 的值等于。
20．不等式3x－3m≤－2m的正整数解为1,2,3,4,则m的取值范围是。
20．如图20,是一次函数y=kx+b与反比例函数 的图像,则关于x的方程kx+b= 的解为。
20. 已知,⊙ 的半径为6,⊙ 的半径为8,且⊙ 与⊙ 相切,则这两圆的圆心距为．
数 学 模 拟 试 卷 答 题 纸
一、选择题：（每小题4,共10小题,共计40分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、填空题：（每小题4分,共8小题,共计32分）
三、解答题：（共6小题,共计78分）
2020年漳州市高中自主招生四校联考
数 学 模 拟 试 卷 答 案
命题人——诏安县南城中学：沈文水
一、选择题：（每小题4,共10小题,共计40分）
A． B． C． D．
4．用6个球（除颜色外没有区别）设计满足以下条件的游戏：摸到白球的概率为 ,摸到红球的概率为 ,摸到黄球的概率为 ．则应准备的白球,红球,黄球的个数分别为（ ）
A. 3,2,1 B. 1,2,3
C. 3,1,2 D.无法确定
5.数学家发明了一个魔术盒,当任意实数对（a,b）进入其中时,会得到一个新的实数：a2+b+1.例如把（3,－2）放入其中,就会得到32+(–2)+1=8.现将实数对(–2,3)放入其中得到实数m,再将实数对（m,1）放入其中后,得到的实数是( )
武汉华师一附中高中招生试题(语文、数学)
武汉华师一附中高中招生试题（语文、数学）华中师大一附中高中招生文科素质测试卷语文部分考试时间80分钟，卷面满分75分一、选择题（11分）1、选出下列句子中加点的词语的书写及注音、解释全都正确的一项（2分）答案[ ]A、校团委、校学生会组织同学们向河北省张家口市张北、尚义两县地震灾区捐款振灾[振：振济，用钱或衣服、粮食等救灾（灾民）振，音zhèn。
]B、华中理工大学博导王能超教授于1998年3月15日下午莅临我校作学术报告，题为“千古绝技割圆术”。
[莅临：书面语，来到；来临（多用于贵宾）。
莅，音lì]C、在当代，信息在不断“激增”，要学要懂的东西越来越使人眼花缭乱，目不暇接。
[目不暇接：东西太多，眼睛看不过来。
暇，音jiá]D、1997年11月24日，国务院副总理李岚清第二次到华师一附中视察。
在校电视演播室，李副总理以赞赏的眼光观看同学们娴熟地操作摄像机等设备。
[娴熟：熟练，文雅。
娴，音xián]2、选出下列没有语病、句意明确的一项（3分）A、雅琪将士用不屈的斗志和协作的团队精神化作战斗力，使得劲旅申花怏怏而归。
B、梨园绿化广场是武汉市创建山水园林城市的重要项目之一。
该广场位于武昌徐东路、东湖路、环湖路三条交通干道的交汇处。
C、1970年3月18日凌晨，“诺曼底”号邮船在英伦海峡沉没。
船上有28名船员，1名女服务员，31名乘客，12名妇女。
D、外国朋友来武汉作客，往往会盛情约请他们品尝一下汉味小吃。
3、选出文言句子翻译正确的一项（3分）A、“吾与汝毕力平险，指通豫南，达于汉阴，可乎？”译文：“我和你们尽全力铲除险峻的大山，一直通向豫州的南部，到达汉水北岸，可以吗？”B、斯是陋室，惟吾德罄。
译文：这是简陋的屋子，只是我（住屋的人）的品德好（就不感到简陋了）。
C、小大之狱，虽不能察，必以情。
译文：大大小小的监狱，虽然不能一一察看，但一定按照实情处理。
D、孰知赋敛之毒有甚是蛇者乎？译文：谁知道搜刮百姓的毒害有的如同蛇一样厉害呀。
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萧绯 初升高自主招生收藏卷
15．（12 分）（2005•河南）某公司为了扩大经营，决定购进 6 台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两
种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机
器所耗资金不能超过 34 万元．
甲
乙
பைடு நூலகம்
价格（万元/台）7
是
．
纸笔测试
实践能力
成长记录
甲
90
83
95
乙
88
90
95
丙
90
88
90
9．已知点 A 是一次函数 y=x 的图象与反比例函数 y= 的图象在第一象限内的交点，点 B 在 x 轴的负半
轴上，且 OA=OB（O 为坐标原点），则△AOB 的面积为
．
10．如果多项式 x2+px+12 可以分解成两个一次因式的积，那么整数 P 的值是
17．如图所示等腰梯形 ABCD 中，AD=BC，AB∥CD，对角线 AC 与 BD 交于 O，∠ACD=60°，点 S、 P、Q 分别是 OD、OA、BC 的中点． 求证：△PQS 是等边三角形．
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萧绯 初升高自主招生收藏卷
18．如图，直线 OB 是一次函数 y=2x 的图象，点 A 的坐标是（0，2），点 C 在直线 OB 上且△ACO 为 等腰三角形，求 C 点坐标．
萧绯 初升高自主招生收藏卷
湖北省武汉市华师一附中自主招生考试数学试卷
一、选择题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分） 1．下列图中阴影部分面积与算式|﹣ |+（ ）2+2﹣1 的结果相同的是（ ）
华师一附中2020年自主招生(分配生)数学试题(word版附答案)
华中师大一附中2020年自主招生(分配生)数学试题考试时间：90分钟卷面满分：100分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效，其中，将所有选择题答案用2B铅笔也相应位置涂黑。
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1．在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2﹣a﹣2＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（）个A．4 B．3 C．2 D．12．已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（）A．2B．24 C．2D．123．5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：根据该统计图，下列说法错误的是（）A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量4．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2 B．0≤m≤C．﹣2≤m≤﹣D．m≤﹣5．如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为（）A．3B．C．D．第5题图第6题图6．如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（）A．24 B．20 C．12 D．10二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7．2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为________．8．在△ABC中，AB＝AC，若cosA＝，则＝________．9．如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是________．(结果用m，n表示)10．如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边三角形BDG，若四边形BCDG(图中阴影部分)的面积为6，则五边形ABDEF的面积为________．第10题图第11题图第12题图11．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，点E、F分别是边AB、BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B′始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为________．12．如图，点A 是反比例函数y =kx 的图象上位于第一象限的点，点B 在x 轴的正半轴上，过点B 作BC ⊥x 轴，与线段OA 的延长线交于点C ，与反比例函数的图象交于点D ，若直线AD 垂直OC ，且使得AC=2OA ，则sinC ＝________．三、解答题(本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程) 13．(本小题满分12分)(1)已知关于x 的方程x 2﹣(2k ﹣1)x+k 2＝0有两个实根x 1，x 2，且满足x 1x 2﹣|x 1|﹣|x 2|＝2，求实数k 的值；（2）已知a ＜b ＜0，且+＝6，求()3的值．14.(本小题满分14分)如图，在ABC ∆中，BA BC =，90ABC ∠=︒，以AB 为直径的半圆O 交AC 于点D ，点E 是弧BD 上不与点B ，D 重合的任意一点，连接AE 交BD 于点F ，连接BE 并延长交AC 于点G ．（1）求证：ADF BDG ∆≅∆；（2）取弧AE 的中点H ，若四边形OBEH 为菱形，求EAB ∠的大小；（3）若4AB =，且点E 是弧BD 上靠近点B 的一个三等分点，求线段DG 的长．15．(本小题满分12分)习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：类型占地面积可供使用幢数造价(万元)A 15 18 1.5B 20 30 2.1(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：y＝，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？(精确到0.1)16．(本小题满分14分)如图①，已知抛物线y＝ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A坐标为(﹣1，0)，点C坐标为(0，)，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．(1)求a，c的值；(2)求线段DE的长度；(3)如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？华中师大一附中2020年自主招生(分配生)数学试题参考答案与试题解析一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的)1．解：根据题意得：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，则①a2﹣a﹣2＝(a﹣2)(a+1)＞0；②∵|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣b+c＝﹣a+c，|a﹣c|＝﹣a+c，∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0，∴(a+b)(b+c)(c+a)＞0；④∵|a|＞1，1﹣bc＜1，∴|a|＞1﹣bc；故正确的结论有②③，一共2个．故选：C．2．解：∵点P(﹣1，)在“勾股一次函数”y＝x+的图象上，∴＝﹣+的一次函数，即a﹣b＝﹣c，又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条变长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4，∴ab＝4，即ab＝8，又∵a2+b2＝c2，∴(a﹣b)2+2ab＝c2，∴(﹣c)2+2×8＝c2，解得c＝2，故选：A．3．解：对于A，由柱状图可得5月份出货量最高，故A正确；对于B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B正确；对于C，根据曲线上数据可得仅仅4月5月比同比高，其余各月均低于2018，且明显总出货量低于2018年，故C正确；对于D，可计算得2018年12月出货量为：3044.4÷(1﹣14.7%)＝3569.05，8月出货量为：3087.5÷(1﹣5.3%)＝3260.3，因为3260.3＜3569.05，故12月更高，故D错误．故选：D．4．解：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，∴m≤﹣；∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣﹣[1﹣(﹣)]＝﹣2时，y＝1，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；∴﹣2≤m≤﹣．故选：C．5．解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，∴AB ＝＝＝4，∵△AOB 绕顶点O 逆时针旋转到△A ′OB ′处， ∴AO ＝A ′O ＝4，A ′B ′＝AB ＝4， ∵点E 为BO 的中点，∴OE ＝BO ＝×8＝4，∴OE ＝A ′O ＝4，过点O 作OF ⊥A ′B ′于F ， S △A ′OB ′＝×4•OF ＝×4×8，解得OF ＝， 在Rt △EOF 中，EF ＝＝＝， ∵OE ＝A ′O ，OF ⊥A ′B ′，∴A ′E ＝2EF ＝2×＝，∴B ′E ＝A ′B ′﹣A ′E ＝4﹣＝；故选：B ．6．解：由图2知：AB+BC ＝10，设AB ＝m ，则BC ＝10﹣m ，如图所示，当点M 在BC 上时，则AB ＝m ，BM ＝x ﹣m ，MC ＝10﹣x ，NC ＝y ， ∵MN ⊥AM ，则∠MAB ＝∠NMC ，tan ∠MAB ＝tan ∠NMC ，即，即，化简得：y ＝﹣x 2+x ﹣10，当x ＝﹣＝时，y ＝﹣(10+m 2)2+·﹣10＝23，解得：m ＝6，则AM ＝6，BC ＝4，故ABCD 的面积＝24，故选：A ． 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 7．解：根据题意画图如下：共有20种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有12种， 则最后确定的主持人是一男一女的概率为＝．故答案为：．8．解：过B 点作BD ⊥AC 于点D ， ∵cosA ＝，∴，设AD ＝4x ，则AB ＝5x ，∴， ∵AB ＝AC ，∴AC ＝5x ，∴CD ＝5x ﹣4x ＝x ， ∴BC ＝，∴，故答案为：．9．解：由图可得，2个这样的图形(图1)拼出来的图形中，重叠部分的长度为m ﹣n ， ∴用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度 ＝2020m ﹣2019(m ﹣n)＝m+2019n ，故答案为：m+2019n ． 10．解：如图，连接GC 并延长交BD 于点H ，连接AE ， ∵ABCDEF 正六边形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝AF ，∠F ＝∠FAB ＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEF ＝120°，∴∠CBD ＝∠CDB ＝30° ∵△BDG 是等边三角形，∴BG ＝DG ＝BD ，∠GBD ＝∠GDB ＝60°， 又CG ＝CG ，∴△BCG ≌△DCG （SSS ）， ∵∠GBC ＝∠DBC ＝60°﹣30°＝30°，∴△GBC ≌△DBC （SAS ），∴S △BCG ＝S △DCG ＝S △BCD ＝3，∴S △AEF ＝3， 设CH ＝x ，则BC ＝CG ＝2x ，BH =√3x ，∴BD ＝2√3x ，∴12CG •BH ＝3， 即12×2x ·√3x ＝3，∴√3x 2＝3，∴S 四边形ABDE ＝AB •BD ＝2x •2√3x ＝4√3x 2＝12， ∴五边形ABDEF 的面积为：3+12＝15． 11．解：如图，作AH ⊥CD 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴AB ∥CD ， ∴∠D+∠BAD ＝180°，∴∠D ＝60°， ∵AD ＝AB ＝4，∴AH ＝AD •sin60°=2√3， ∵B ，B ′关于EF 对称，∴BE ＝EB ′， 当BE 的值最小时，AE 的值最大，根据垂线段最短可知，当EB ′=AH =2√3时，BE 的值最小， ∴AE 的最大值＝4−2√3，故答案为4−2√3． 12．解：如图，作AE ⊥BC 于点E ，设A （a ，b ），则C （3a ，3b ），∴OB ＝3a ，BC ＝3b ， ∴D （3a ，13b ），∴AE =2a ，CE =2b ，DE =23b ，又∵AD ⊥AC ，∴AE 2=CE ·DE ，∴(2a)2＝2b ·23b ，∴b 2＝3a 2， 又∵Rt △BOC 中，OC =√OB 2+BC 2=3√a 2+b 2， ∴sinC =OBOC =3a 3√a 2+3a 2=3a 3×2a =12．故答案为：12．三、解答题(本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程) 13．解：（1）根据题意得△＝(2k ﹣1)2﹣4k 2≥0，解得k ≤；（2）x 1+x 2＝2k ﹣1，x 1x 2＝k 2， ∵k ≤，∴x 1+x 2＝2k ﹣1≤0，而x 1x 2＝k 2≥0，∴x 1≤0，x 2≤0，∵x 1x 2﹣|x 1|﹣|x 2|＝2，∴x 1•x 2+x 1+x 2＝2，即k 2+(2k ﹣1)＝2， 整理得k 2+2k ﹣3＝0，解得k 1＝﹣3，k 2＝1，而k ≤，∴k ＝﹣3；（3）∵+＝6，∴a 2+b 2＝6ab ，∴(a+b)2＝8ab ，∴(b ﹣a)2＝(a+b)2﹣4ab ＝4ab ，∴()2＝＝2，∴＝±， ∵a ＜b ＜0，∴a+b ＜0，b ﹣a ＞0，∴＜0，∴＝﹣，∴()3＝﹣2．答：()3的值为﹣2．14．解：（1）证明：如图1，BA BC =，90ABC ∠=︒，45BAC ∴∠=︒ ∵AB 是⊙O 的直径，90ADB AEB ∴∠=∠=︒，90ADF BDG ∴∠=∠=︒， 90DAF BGD DBG BGD ∴∠+∠=∠+∠=︒，DAF DBG ∴∠=∠，90ABD BAC ∠+∠=︒，45ABD BAC ∴∠=∠=︒，AD BD ∴=，()ADF BDG ASA ∴∆≅∆；（2）连接OH ，EH ，点H 是弧AE 的中点，OH AE ∴⊥，90AEB ∠=︒，BE AE ∴⊥， //BE OH ∴，四边形OBEH 为菱形，12BE OH OB AB ∴===， 1sin 2BE EAB AB ∴∠==，30EAB ∴∠=︒． （3）如图2，连接OD 、OE ，点E 是弧BD 上靠近点B 的三等分点，∴∠DOE ＝23∠DOB ， 由(1)知△ADB 是等腰直角三角形，∴∠DOB ＝2∠DAB ＝90°，∴∠DOE ＝60°，∴∠DBE ＝30°，∴DG ＝BD ·tan30°， 又∵AB ＝4，∴BD ＝2√2，∴DG ＝2√2×√33＝23√6．15．解：（1）设建造A 型处理点x 个，则建造B 型处理点（20﹣x ）个． 依题意得：，解得6≤x ≤9.17，∵x 为整数，∴x ＝6，7，8，9有四种方案；设建造A 型处理点x 个时，总费用为y 万元．则：y ＝1.5x+2.1（20﹣x ）＝﹣0.6x+42， ∵﹣0.6＜0，∴y 随x 增大而减小，当x ＝9时，y 的值最小，此时y ＝36.6（万元）， ∴当建造A 型处理点9个，建造B 型处理点11个时最省钱； （2）由题意得：每吨垃圾的处理成本为（元/吨），当0≤x ＜144时，＝（x 3﹣80x 2+5040x ）＝x 2﹣80x+5040，∵0，故有最小值，当x ＝﹣＝﹣＝120（吨）时，的最小值为240（元/吨），当144≤x ＜300时，＝（10x+72000）＝10+，当x ＝300（吨）时，＝250，即＞250（元/吨），∵240＜250，故当x ＝120吨时，的最小值为240元/吨，∵每个B 型处理点的垃圾月处理量是A 型处理点的1.2倍且A 型处理点9个，建造B 型处理点11个，∴每个A 型处理点每月处理量＝×120×≈5.4（吨），故每个A 型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低． 16．解：（1）将A(﹣1，0)，C(0，)代入抛物线y ＝ax 2+x+c(a ≠0)，，∴a ＝﹣，c ＝ （2）由(1)得抛物线解析式：y ＝﹣x 2+x+， ∵点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，C(0，)，∴D(2，)，∴DH ＝，令y ＝0，即﹣x 2+x+＝0，得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A(﹣1，0)，B(3，0)，∵AE ⊥AC ，EH ⊥AH ，∴△ACO ∽△EAH ，∴，即，解得：EH＝2，则DE＝2；（3）找点C关于DE的对称点N(4，)，找点C关于AE的对称点G(﹣2，﹣)，连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP＝GF+PF+PN最小，∴直线GN的解析式：y＝x﹣，由(2)得E(2，﹣)，A(﹣1，0)，∴直线AE的解析式：y＝﹣x﹣，联立解得，∴F(0，﹣)，∵DH⊥x轴，∴将x＝2代入直线GN的解析式：y＝x﹣，∴P(2，)∴F(0，﹣)与P(2，)的水平距离为2过点M作y轴的平行线交FP于点Q，设点M(m，﹣m2+m+)，则Q(m，m﹣)(＜m＜)；∴S△MFP＝S△MQF+S△MQP＝MQ×2＝MQ＝(﹣m2+m+)﹣(m﹣)，S△MFP＝＝∵对称轴为：直线m＝，又∵开口向下，＜m＜，∴m＝时，△MPF面积有最大值为.。
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2025届高三六校第一次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，BC =M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+，则MB MA ⋅=（ ）A ．4B ．72-C ．52-D ．12-2．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,13．下列命题是真命题的是（ ）A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2011x -≤；C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；D ．命题“若()110xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”.4．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）． A ．2π B ．3π C ．512π D ．712π 5．已知点(m ,8)在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，设,(ln ),()m a f b f c f n n π⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b6．命题“(0,1),ln xx ex -∀∈>”的否定是（ ）A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤B ．000(0,1),ln x x ex -∃∈>C ．000(0,1),ln x x ex -∃∈< D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤7．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．9．已知集合2{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则 A ．{|0e}A B x x =<< B ．{|e}A B x x =< C ．{|0e}A B x x =<<D ．{|1e}AB x x =-<<10．()()()()()*121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ）A ．3n CB ．21n C +C ．1n n C -D ．3112n C + 11．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A ．2?B ．103C ．10?D ．2212．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
华师一自主招生考试数学试卷
自主招生考试数学试卷一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．飞形棋中有一正方体骰子，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么a+b的为（）A．11 B．7 C．8 D．32．如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额=车票收入﹣支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格．下面给出四个图象（如图所示）则（）A．①反映了建议（2），③反映了建议（1）B．①反映了建议（1），③反映了建议（2）C．②反映了建议（1），④反映了建议（2）D．④反映了建议（1），②反映了建议（2）3．已知函数y=3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程3﹣（x﹣m）（x﹣n）=0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n ＜b4．记S n=a1+a2+…+a n，令，称T n为a1，a2，…，a n这列数的“理想数”．已知a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，那么8，a1，a2，…，a500的“理想数”为（）A．2004 B．2006 C．2008 D．20105．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB=10，则CB的长为（）A．B．C．D．46．某汽车维修公司的维修点环形分布如图．公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）A．15 B．16 C．17 D．18二、填空题（共7小题，每小题6分，满分42分）7．若[x]表示不超过x的最大整数（如等），则=_________．8．在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AE=2CE，BD=2CD，AD、BE交于点F，若S△ABC=3，则四边形DCEF的面积为_________．9．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面，在每种颜色的旗帜上分别标有号码1、2、3，现任意抽取3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是_________．10．已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为_________．11．三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为_________．12．如图，已知点（1，3）在函数的图象上．正方形ABCD的边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点，函数的图象又经过A、E两点，则点E的横坐标为_________．13．按下列程序进行运算（如图）规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若x=5，则运算进行_________次才停止；若运算进行了5次才停止，则x的取值范围是_________．三、解答题（共5小题，满分72分）14．如图，在Rt△ABC中，斜边AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b厘米，a＞b，且a、b是方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两根，（1）求a和b的值；（2）若△A′B′C′与△ABC开始时完全重合，然后让△ABC固定不动，将△A′B′C′沿BC所在的直线向左移动x厘米．①设△A′B′C′与△ABC有重叠部分，其面积为y平方厘米，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；②若重叠部分的面积等于平方厘米，求x的值．15．（2006•宁波）已知⊙O过点D（4，3），点H与点D关于y轴对称，过H作⊙O的切线交y轴于点A（如图1）．（1）求⊙O半径；（2）sin∠HAO的值；（3）如图2，设⊙O与y轴正半轴交点P，点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合），连接并延长DE，DF交⊙O于点B，C，直线BC交y轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sin∠CGO的大小怎样变化？请说明理由．16．青海玉树发生7.1级强震，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风．刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发前往距营地30千米的A镇，二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再往A镇参加救灾．一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路．已知一分队的行进速度为b千米/时，二分队的行进速度为（4+a）千米/时．（1）若二分队在营地不休息，问要使二分队在最短时间内赶到A镇，一分队的行进速度至少为多少千米/时？（2）若b=4千米/时，二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？17．如图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E，F，如图4．求证：AE2+BF2=EF2；（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图6，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．18．定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出8个不同的向量：、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）．（1）作两个相邻的正方形（如图一）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2），试求f（2）的值；（2）作n个相邻的正方形（如图二）“一字型”排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（n），试求f（n）的值；（3）作2×3个相邻的正方形（如图三）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2×3），试求f（2×3）的值；（4）作m×n个相邻的正方形（如图四）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（m×n），试求f（m×n）的值．参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．分析：由图一和图二可看出看出1的相对面是5；再由图二和图三可看出看出3的相对面是6，从而2的相对面是4．解答：解：从3个小立方体上的数可知，与写有数字1的面相邻的面上数字是2，3，4，6，所以数字1面对数字5，同理，立方体面上数字3对6．故立方体面上数字2对4．则a=3，b=4，那么a+b=3+4=7．故选B．2．分析：观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据题意得；（1）不改变车票价格，减少支出费用，则收支差额变大，解答：解：∵建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；也就是y增大，车票价格不变，即平行于原图象，∴①反映了建议（1），∵建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格，也就是图形增大倾斜度，提高价格，∴③反映了建议（2）．故选B．3．分析：首先把方程化为一般形式，由于a，b是方程的解，根据根与系数的关系即可得到m，n，a，b之间的关系，然后对四者之间的大小关系进行讨论即可判断．解答：解：由3﹣（x﹣m）（x﹣n）=0变形得（x﹣m）（x﹣n）=3，∴x﹣m＞0 x﹣n＞0或x﹣m＜0 x﹣n＜0，∴x＞m x＞n或x＜m x＜n∵a b是方程的两个根，将a b代入，得：a＞m a＞n，b＜m b＜n或a＜m a＜n，b＞m b＞n，综合一下，只有D可能成立．故选D．4．分析：本题需先根据得出n×T n=（S1+S2+…+S n），再根据a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，得出T500的值，再设出新的理想数为T x，列出式子，把得数代入，即可求出结果．解答：解：∵∴n×T n=（S1+S2+…+S n）T500=2004设新的理想数为T x501×T x=8×501+500×T500T x=（8×501+500×T500）÷501==8+500×4 =2008 故选C5．分析：作AB关于直线CB的对称线段A′B，交半圆于A′，连接AC、CA′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．解答：解：如图，若，且AB=10，∴AD=4，BD=6，作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，可得A、C、A′三点共线，AC=A′C，AD=A′D′=4，A′B=AB=10．而A′C•A′A=A′D′•A′B，即A′C•2A′C=4×10=40．则A′C2=20，又∵A′C2=A′B2﹣CB2，∴20=100﹣CB2，∴CB=4．故选A．6．分析：现根据题意设未知数，再根据公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件，在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行列方程组求解．解答：解：设A到B调x1件，B到C调x2件，C到D调x3件，D到A调x4件，这里若x i（i=1，2，3，4）为负数，则表明调动方向改变．则由题意得：，解得：，则调动总件数为|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=|x1|+|x1+5|+|x1+1|+|x1﹣10|，它的最小值为16．故选B．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分42分）7．若[x]表示不超过x的最大整数（如等），则=2000．分析：根据[x]表示不超过x的最大整数，[]=[]=[1+]=1，[]=[]=1，…[]=[]=1，从而得出答案．解答：解：∵[x]表示不超过x的最大整数，∴=[]+[]+…+[]，=[1+]+[1+]+…+[1+]，=1+1+…+1，=2000．故答案为：2000．8．分析：连接DE，根据相似三角形的判定定理得出△DCE∽△ABC，进而判断出AB∥CD、△DEF∽△ABF，再根据相似三角形的性质即可进行解答．解答：解：连接DE，∵AE=2CE，BD=2CD，∴=，且夹角∠C为公共角，∴△DCE∽△ABC，∴∠CED=∠CAB，∴AB∥DE，则==，且∠EDA=∠BAD，∠BED=∠ABE，∴△DEF∽△ABF，∴==，∴设S△DEF=x，则S△AEF=S△BDF=3x，S△ABF=9x，∴x+3x+3x+9x=3﹣，解得：x=，∴S△DEF=，∴S△DEF+S△CDE=+=．故答案为：．9．分析：抽取3面旗，总共的情况计算思路为：第一面旗有9种，第二面有（9﹣1）即8种，第三面有（9﹣1﹣1）即7种，则总的情况有9乘以8乘以7等于504种；要求颜色和号码都不同的情况计算思路为：第一面旗还是有9种情况；第二面旗的情况为：除去第一面已选的颜色外，还剩另外2种颜色本来是6种情况，但是第一面旗肯定能确定一个号码，所以剩下的2种颜色中与第一面旗选的号码必须不一样，则选了第一面旗后，第二面旗的选择就只有4种情况了；而第一面旗和第二面旗选定后，第三面旗就已经确定唯一了，即轮到第三面旗的时候就没的选了，前面2面旗已经把颜色和号码都定死了．解答：解：根据乘法公式可知：任意抽取3面旗，一共有9×8×7=504种情况，三面旗颜色与号码都不一样的情况一共有9×4×1=36种情况∴它们的颜色与号码均不相同的概率是=．故答案为：．10．分析：首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x=2，又由作点C关于x=2的对称点C′，直线AC′与x=2的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．解答：解：∵抛物线经过点A（4，0），∴×42+4b=0，∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为x=2，∵点C（1，﹣3），∴作点C关于x=2的对称点C′（3，﹣3），直线AC′与x=2的交点即为D，因为任意取一点D都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD ﹣CD|＜AC．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；设直线AC′的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．故答案为：（2，﹣6）．11．分析：根据题意可以得到当三角形纸片内有1个点时，有3个小三角形；当有2个点时，有5个小三角形；当n=3时，有7个三角形，因而若有n个点时，一定是有2n+1个三角形．解答：解：根据题意有这样的三角形的个数为：2n+1=2×100+1=201，故答案为：201．12．分析：把已知点的坐标代入函数解析式即可求出k的值，把k的值代入得到函数的解析式，然后根据正方形的性质设出A和E的坐标，因为函数图象过这两点，把设出的两点坐标代入到函数解析式中得到①和②，联立即可求出a和b的值，得到E的坐标．解答：解：把（1，3）代入到y=得：k=3，所以函数解析式为y=，设A（a，b），根据图象和题意可知，点E（a+，），因为y=的图象经过A、E，所以分别把点A和E代入到函数解析式中得：ab=3①，（a+）=3②，由②得：+=3，把①代入得：+=3，即b2=6，解得b=±，因为A在第一象限，得到b＞0，所以b=，把b=代入①求得：a=，所以点E的横坐标为a+=．故答案为：．13．分析：把x=5代入代数式求值，与244比较，若大于244，就停止计算，若结果没有大于244，重新计算直至大于244为止，根据运算顺序得到第4次的运算结果和第5次的运算结果，让第4次的运算结果小于244，第5次的运算结果大于244列出不等式求解即可．解答：解：（1）x=5．第一次：5×3﹣2=13第二次：13×3﹣2=37第三次：37×3﹣2=109第四次：109×3﹣2=325＞244→→→停止（2）第1次，结果是3x﹣2；第2次，结果是3×（3x﹣2）﹣2=9x﹣8；第3次，结果是3×（9x﹣8）﹣2=27x﹣26；第4次，结果是3×（27x﹣26）﹣2=81x﹣80；第5次，结果是3×（81x﹣80）﹣2=243x﹣242；∴由（1）式子得：x＞2，由（2）式子得：x≤42＜x≤4．即：5次停止的取值范围是：2＜x≤4．故答案为：4；2＜x≤4．三、解答题（共5小题，满分72分）14．分析：（1）首先根据一元二次方程根与系数的关系，得出用含m的式子表示a+b与ab的式子，然后由勾股定理得出一个关于m的方程，求出m的值，进而得出a和b的值；（2）①由于S△BCM=×BC′×CM，即y=x×CM．所以首先用含x的代数式表示CM，然后代入，即可求出y与x之间的函数关系式，并根据题意求出x的取值范围；②把y=代入函数解析式，即可求出x的值．解答：解：（1）∵a、b是方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两根，∴a+b=m﹣1，ab=m+4，又∵a、b是直角△ABC的两直角边，∴a2+b2=c2=25，∴（m﹣1）2﹣2（m+4）=25，解得m1=8，m2=﹣4（舍去）．∴原方程为x2﹣7x+12=0，解得a=4，b=3．（2）①y与x之间的函数关系式为：y=（4﹣x）2，（0≤x≤4）．②代入=（4﹣x）2，得x1=3，x2=5（舍去）．∴x的值为3．15．分析：（1）因为点D在圆上，根据点D的坐标利用勾股定理即可求得OD的长，即半径；（2）连接HD交OA于Q，则HD⊥OA，连接OH，则OH⊥AH，根据同角的余角相等可得到∠HAO=∠OHQ，根据已知可求得sin∠OHQ的值，则sin∠HAO的值也就求得了；（3）设点D关于y轴的对称点为H，连接HD交OP于Q，则HD⊥OP，根据角平分线的性质及垂径定理可得到∠CGO=∠OHQ，则求得sin∠OHQ的值sin∠CGO也就求得了．解答：解：（1）点D（4，3）在⊙O上，∴⊙O的半径r=OD=5；（1分）（2）如图1，连接HD交OA于Q，则HD⊥OA，连接OH，则OH⊥AH，∴∠HAO=∠OHQ∴sin∠HAO=sin∠OHQ==；（3）连接DH交y轴于点Q，连接OH交BC于点T（如图2）．∵D与H关于y轴对称，∴DH⊥EF，又∵△DEF为等腰三角形，∴DH平分∠BDC，∴OT⊥BC，∴∠CGO=∠QHO，∴当E、F两点在OP上运动时，sin∠CGO的值不变．16．分析：（1）根据二分队的行进速度为（4+a）千米/时与路程为10，得出二分队到达塌方处（距离营地10KM）需要小时，又一分队用1小时打通道路，所以一分队需要至少（﹣1）小时（以前）到达塌方处，即可得出一分队的行进速度；（2）根据要使二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息a小时，得出等式方程，进而分析得出符合要求的答案．解答：解：（1）根据塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路一个小时后道路畅通，那么我们再看二分队，二分队到达塌方处（距离营地10KM）需要小时，那么在二分队经过小时后到达塌方处的时候，一分队必须清理好塌方，也就是说一分队至少提前一小时到达塌方处（距离营地10KM）而一分队只要保证比二分队提前一个小时到达塌方处再利用一个小时打通塌方，那么当二分队到达塌方处才不会影响时间，而后二分队按照（4+a）千米/时的速度前行与一分队无关，这样就很好算了，路程10KM，二分队速度：（a+4）KM每小时，那么二分队到达塌方处需要小时，所以一分队需要至少（﹣1）小时（以前）到达塌方处，这样路程10KM，一分队所用时间（﹣1）小时，一分队的行进速度至少为=千米/时；当a=0时，一分队的行进速度至少为千米/时；（2）要使二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息a小时．根据题意得：+1=+a，解得：a=（+9）/4或a=（不合题意舍去）这样a=（+9）/4大于3，不符合题意．∴当二队不休息，也就是=，解得：a=0，∴二分队应在营地休息0小时．17．分析：（1）连CD，由条件得到点D为AB的中点，则CD=AD，∠4=∠A=45°，易证△CDF ≌△ADE，△CED≌△BFD，得到CF=AE，CE=BF，而CE2+CF2=EF2，因此得到结论．（2）把△CFB绕点C顺时针旋转90°，得到△CGA，根据旋转的性质得到CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，易证△CGE≌△CFE，得到GE=EF，即可得到结论AE2+BF2=EF2仍然成立；（3）把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABP，点N的对应点为Q，根据旋转的性质得到∠4=∠2，∠1+∠3+∠4=90°，BP=DF，BQ=CN，AF=AP，又△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，得到EF=BE+DF，则EF=EP，证得△AMQ≌△AMN，得到MN=QM，易证得∠QBN=90°，于是有BQ2+BM2=QM2，从而得到BM2+DN2=MN2．解答：证明：（1）连CD，如图4，∵两个等腰直角三角形的相似比为1：，而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边，∴点D为AB的中点，∴CD=AD，∠4=∠A=45°，又∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠3=∠1，∴△CDF≌△ADE，∴CF=AE，同理可得△CED≌△BFD，∴CE=BF，而CE2+CF2=EF2，∴AE2+BF2=EF2；（2）结论AE2+BF2=EF2仍然成立．理由如下：把△CFB绕点C顺时针旋转90°，得到△CGA，如图5∴CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，∴∠GAE=90°，而∠3=45°，∴∠2+∠4=90°﹣45°=45°，∴∠1+∠2=45°，∴△CGE≌△CFE，∴GE=EF，在Rt△AGE中，AE2+AG2=GE2，∴AE2+BF2=EF2；（3）线段BM、MN、DN能构成直角三角形的三边长．理由如下：把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABP，点N的对应点为Q，如图∴∠4=∠2，∠1+∠3+∠4=90°，BP=DF，BQ=DN，AF=AP，∵△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，∴EF=BE+DF，∴EF=EP，∴△AEF≌△AEP，∴∠1=∠3+∠4，而AQ=AN，∴△AMQ≌△AMN，∴MN=QM，而∠ADN=∠QBA=45°，∠ABD=45°，∴∠QBN=90°，∴BQ2+BM2=QM2，∴BM2+DN2=MN2．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角；也考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用．18．分析：（1）根据图形，即可求得f（2）的值；（2）首先求f（1），f（2），f（3），f（4），所以得到规律为：f（n）=6n+2；（3）根据图形，即可求得f（2×3）的值；（4）先分析特殊情况，再求得规律：f（m×n）=2（m+n）+4mn．解答：解：（1）作两个相邻的正方形，以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数f（2）=14；（2）分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形（如图1）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同的向量个数，找出规律，∵f（1）=6×1+2=8，f（2）=6×2+2=14，f（3）=6×3+2=20，f（4）=6×4+2=26，∴f（n）=6n+2；（3）f（2×3）=34；（4）∵f（2×2）=24，f（2×3）=34，f（2×4）=44，f（3×2）=34，f（3×3）=48，f（3×4）=62∴f（m×n）=2（m+n）+4mn．。
2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷-普通用卷
2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2−a−2<0；②|a−b|+|b−c|=|a−c|；③(a+b)(b+c)(c+a)>0；④|a|<1−bc.其中正确的结论有()个A. 4B. 3C. 2D. 12.已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C=90°，我们把关于x的形如y=ac x+bc的一次函数称为“勾股一次函数”.若点P(−1,√33)在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是()A. 2√6B. 24C. 2√3D. 123.5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：根据该统计图，下列说法错误的是()A. 2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B. 2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C. 2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D. 2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量4.已知函数y=x2+x−1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是−54，则m的取值范围是()A. m≥−2B. 0≤m≤12C. −2≤m≤−12D. m≤−125.如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=4，BO=8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E 的长度为()A. 3√5B. 12√55C. 9√55D. 16√556.如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN=y，图2表示的是y 与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是()A. 20B. 18C. 10D. 9二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）7.2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为______．8.在△ABC中，AB=AC，若cosA=45，则BCAB=______．9.如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是______.(结果用m，n表示)10.如图，在平面直角坐标系中，矩形MNPQ的顶点M，N分别在x轴，y轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN=8，PN=4，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为______．11.如图，已知直线y=kx(k>0)分别交反比例函数y=1x 和y=4x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y=1x的图象于点C，连接AC.若△ABC是等腰三角形，则k 的值是______．12.如图，在正方形ABCD中，AB=4，点M在CD边上，且DM=1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为______．三、解答题（本大题共4小题，共52.0分）13.(1)已知关于x的方程x2−(2k−1)x+k2=0有两个实根x1，x2，且满足x1x2−|x1|−|x2|=2，求实数k的值；(2)已知a<b<0，且ab +ba=6，求(a+bb−a)3的值．14.习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：类型占地面积可供使用幢数造价(万元)A1518 1.5B2030 2.1(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：y={13x3−80x2+5040x,0≤x<14410x+72000,144≤x<300，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？(精确到0.1)15.已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H．(1)当直线FH与⊙O相切时，求AE的长；(2)当FH//BE时，求AE的长；(3)若线段FH交⊙O于点G，在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由．16.如图①，已知抛物线y=ax2+2√3x+c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与3y轴交于点C，点A坐标为(−1,0)，点C坐标为(0,√3)，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．(1)求a，c的值；(2)求线段DE的长度；(3)如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据题意得：a <−1<0<b <c <1， 则①a 2−a −2=(a −2)(a +1)>0；②∵|a −b|+|b −c|=−a +b −b +c =−a +c ， |a −c|=−a +c ，∴|a −b|+|b −c|=|a −c|；③∵a +b <0，b +c >0，c +a <0， ∴(a +b)(b +c)(c +a)>0； ④∵|a|>1，1−bc <1， ∴|a|>1−bc ；故正确的结论有②③，一共2个． 故选：C ．根据数轴上各数的位置得出a <−1<0<b <c <1，依此即可得出结论．本题考查了数轴、绝对值和有理数的大小比较；弄清数轴上各数的大小是解决问题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵点P(−1,√33)在“勾股一次函数”y =ac x +bc 的图象上，∴√33=−a c+b c的一次函数，即a −b =−√33c ，又∵a ，b ，c 分别是Rt △ABC 的三条变长，∠C =90°，Rt △ABC 的面积是4， ∴12ab =4，即ab =8， 又∵a 2+b 2=c 2， ∴(a −b)2+2ab =c 2， 即∴(−√33c)2+2×8=c 2，解得c =2√6， 故选：A ．依据题意得到三个关系式：a −b =−√33c ，ab =8，a 2+b 2=c 2，运用完全平方公式即可得到c 的值．考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．3.【答案】D【解析】解：对于A ，由柱状图可得5月份出货量最高，故A 正确； 对于B ，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B 正确；对于C ，根据曲线上数据可得仅仅4月5月比同比高，其余各月均低于2018，且明显总出货量低于2018年，故C 正确；对于D ，可计算得2018年12月出货量为：3044.4÷(1−14.7%)=3569.05， 8月出货量为：3087.5÷(1−5.3%)=3260.3， 因为3260.3<3569.05， 故12月更高，故D 错误． 故选：D ．根据图象逐一分析即可．本题考查了学生合情推理能力，考查数据分析与图表分析能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵函数y =x 2+x −1的对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12时，y 有最小值，此时y =14−12−1=−54， ∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最小值是−54， ∴m ≤−12；∵当x =1时，y =1+1−1=1，对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12−[1−(−12)]=−2时，y =1，∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最大值是1，且m ≤−12； ∴−2≤m ≤−12． 故选：C ．先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是−54，得出m ≤−12；再求得当x =1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m 的下限．本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵∠AOB =90°，AO =4，BO =8， ∴AB =√AO 2+BO 2=√42+82=4√5， ∵△AOB 绕顶点O 逆时针旋转到△A′OB′处， ∴AO =A′O =4，A′B′=AB =4√5， ∵点E 为BO 的中点， ∴OE =12BO =12×8=4， ∴OE =A′O =4， 过点O 作OF ⊥A′B′于F ，S △A′OB′=12×4√5⋅OF =12×4×8，解得OF =8√55， 在Rt △EOF 中，EF =√OE 2−OF 2=(8√55)=4√55，∵OE =A′O ，OF ⊥A′B′， ∴A′E =2EF =2×4√55=8√55， ∴B′E =A′B′−A′E =4√5−8√55=12√55； 故选：B ．由勾股定理求出AB ，由旋转的性质可得AO =A′O ，A′B′=AB ，再求出OE ，从而得到OE =A′O ，过点O 作OF ⊥A′B′于F ，由三角形的面积求出OF ，由勾股定理列式求出EF ，再由等腰三角形三线合一的性质可得A′E =2EF ，然后由B′E =A′B′−A′E 代入数据计算即可得解．本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积等知识；熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：由图2知：AB +BC =9，设AB =m ，则BC =9−m ， 如图所示，当点M 在BC 上时，则AB =m ，BM =x −a ，MC =9−x ，NC =y ，∵MN ⊥AM ，则∠MAB =∠NMC ， tan∠MAB =tan∠NMC ，即BMAB =CNCM ， 即x−m m=y 9−x ，化简得：y =−1mx 2+9+a ax −9，当x =−b2a =9+m 2时，y =−9+(9+m m )24m=45，解得：m =5， 则AM =5，BC =4， 故ABCD 的面积=20， 故选：A ．由图2知：AB +BC =9，设AB =m ，则BC =9−m ，则tan∠MAB =tan∠NMC ，即BMAB =CNCM ，即x−m m=y9−x，化简得：y =−1m x 2+9+a ax −9，当x =−b 2a=9+m 2时，y =−9+(9+m m )24m=45，即可求解．本题考查的是动点的图象问题，涉及到一次函数、二次函数、解直角三角形等知识，从图2中，确定AB +BC =9是本题解题的关键．7.【答案】35【解析】解：根据题意画图如下：共有20种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有12种， 则最后确定的主持人是一男一女的概率为1220=35． 故答案为：35．根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.【答案】√105【解析】解：过B点作BD⊥AC于点D，∵cosA=45，∴ADAB =45，设AD=4x，则AB=5x，∴BD=√AB2−AD2=3x，∵AB=AC，∴AC=5x，∴CD=5x−4x=x，∴BC=√BD2+CD2=√9x2+x2=√10x，∴BCAB =√10x5x=√105，故答案为：√105．过B点作BD⊥AC于点D，设AD=4x，根据三角函数和勾股定理用x表示AB与BD，BC，然后求结果便可．本题主要考查了解直角三角形和，勾股定理，腰三角形的性质，关键是正确构造直角三角形．9.【答案】m+2019n【解析】解：由图可得，2个这样的图形(图1)拼出来的图形中，重叠部分的长度为m−n，∴用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度=2020m−2019(m−n)=m+2019n，故答案为：m+2019n．用2020个这样的图形(图1)的总长减去拼接时的重叠部分2019个(m−n)，即可得到拼出来的图形的总长度．本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．10.【答案】4+4√2【解析】解：如图，取MN 的中点E ，连接OE ，PE ，OP ，∵∠MON =90°，∴Rt △MON 中，OE =12MN =4，又∵∠MQP =90°，MN =8，PN =4，NE =4， ∴Rt △PNE 中，PE =√PN 2+NE 2=4√2， 又∵OP ≤PE +OE =4+4√2， ∴OP 的最大值为4+4√2，即点P 到原点O 距离的最大值是4+4√2， 故答案为：4+4√2．取MN 的中点E ，连接OE ，PE ，OP ，根据勾股定理和矩形的性质解答即可． 此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和勾股定理解答．11.【答案】2√55或√22【解析】解：∵点B 是y =kx 和y =4x 的交点，y =kx =4x ， ∴点B 坐标为(√k 2√k)，同理可求出点A 的坐标为(k √k)， ∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为√k ，纵坐标为12√k ，∴BA =√1k +k ，AC =√1k +k4，BC =32√k ，∴BA 2−AC 2=34k >0， ∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①当AB =BC 时，则√1k +k =32√k ， 解得：k =±2√55(舍去负值)；②当AC =BC 时，同理可得：k =√22；故答案为：2√55或√22． 根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A 、B 、C 的坐标(用k 表示)，再讨论①AB =BC ，②AC =BC ，即可解题．本题考查了点的坐标的计算，考查了一次函数和反比例函数交点的计算，本题中用k 表示点A 、B 、C 坐标是解题的关键．12.【答案】5【解析】解：如图，连接BM ．∵△AEM 与△ADM 关于AM 所在的直线对称， ∴AE =AD ，∠MAD =∠MAE ．∵△ADM 按照顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ， ∴AF =AM ，∠FAB =∠MAD ． ∴∠FAB =∠MAE ，∴∠FAB +∠BAE =∠BAE +∠MAE ． ∴∠FAE =∠MAB ． ∴△FAE≌△MAB(SAS)． ∴EF =BM ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC =CD =AB =4． ∵DM =1， ∴CM =3．∴在Rt △BCM 中，BM =√32+42=5， ∴EF =5， 故答案为：5．连接BM.先判定△FAE≌△MAB(SAS)，即可得到EF =BM.再根据BC =CD =AB =4，CM =3，利用勾股定理即可得到，Rt △BCM 中，BM =5，进而得出EF 的长．本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．13.【答案】解：(1)根据题意得△=(2k −1)2−4k 2≥0，解得k ≤14；(2)x1+x2=2k−1，x1x2=k2，∵k≤14，∴x1+x2=2k−1≤0，而x1x2=k2≥0，∴x1≤0，x2≤0，∵x1x2−|x1|−|x2|=2，∴x1⋅x2+x1+x2=2，即k2+(2k−1)=2，整理得k2+2k−3=0，解得k1=−3，k2=1，而k≤14，∴k=−3；(2)∵ab +ba=6，∴a2+b2=6ab，∴(a+b)2=8ab，∴(b−a)2=(a+b)2−4ab=4ab，∴(a+bb−a )2=(a+b)2(b−a)2=2，∴a+bb−a=±√2，∵a<b<0，∴a+b<0，b−a>0，∴a+bb−a<0，∴a+bb−a=−√2∴(a+bb−a)3=−2√2．答：(a+bb−a)3的值为−2√2．【解析】(1)利用判别式的意义得到△=(2k−1)2−4k2≥0，然后解不等式可得k的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2=2k−1、x1x2=k2，结合x1x2−|x1|−|x2|=2，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可求实数k的值；(2)先通分可得a2+b2=6ab，再根据完全平方公式的变形可得a+bb−a 的值，进而可得(a+bb−a)3的值．本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−ba，x 1x 2=ca .也考查了判别式的值．14.【答案】解：(1)设建造A 型处理点x 个，则建造B 型处理点(20−x)个．依题意得：{15x +20(20−x)≤37018x +30(20−x)≥490，解得6≤x ≤9.17， ∵x 为整数，∴x =6，7，8，9有四种方案；设建造A 型处理点x 个时，总费用为y 万元．则：y =1.5x +2.1(20−x)=−0.6x +42， ∵−0.6<0，∴y 随x 增大而减小，当x =9时，y 的值最小，此时y =36.6(万元)， ∴当建造A 型处理点9个，建造B 型处理点11个时最省钱；(2)由题意得：每吨垃圾的处理成本为yx (元/吨)，当0≤x <144时，y x =1x (13x 3−80x 2+5040x)=13x 2−80x +5040， ∵13>0，故yx 有最小值，当x =−b 2a =−−802×13=120(吨)时，yx 的最小值为240(元/吨)，当144≤x <300时，y x =1x (10x +72000)=10+72000x，当x =300(吨)时，yx =250，即yx >250(元/吨)， ∵240<250，故当x =120吨时，yx 的最小值为240元/吨，∵每个B 型处理点的垃圾月处理量是A 型处理点的1.2倍且A 型处理点9个，建造B 型处理点11个， ∴每个A 型处理点每月处理量=9×19×1+11×1.2×120×19≈5.4(吨)，故每个A 型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．【解析】(1)首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积<等于370m 2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y 与A 型处理点的个数x 之间的函数关系，进而求解；(2)分0≤x <144、144≤x <300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而求解．本题考查了二次函数、反比例函数和一元一次不等式组的应用，题目有效地将现实生活中的事件与数学思想联系起来，弄懂题意、列出函数关系式是解题的关键．15.【答案】解：(1)如图1，连接EF，FA，∵CE为圆的切线且又和EB垂直，∴CE//AF∴∠CEF=∠AFE；又∵∠AFE=∠FEB，∴∠CEF=∠BEF，∴EF为∠BEC的平分线；∵∠EFB=90°，∴EF⊥BC，∴BE=CE∴△BEC为等腰三角形，∴BF为BC的一半；∵EA//CF，∴四边形CEAF为平行四边形，即AE=CF=2.5；(2)解：∵FH//BE，FH⊥CE，∴BE⊥CE，∴∠AEB+∠DEC=90°，∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠DEC，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△CDE，∴ABDE =AECD，∵AB=2，AD=5，∴CD=AB=2，∴25−AE =AE2，∴AE=1或AE=4．(3)连接EF、OF、OG，如图3所示：则∠BFE =90°，设AE =x ，则EF ，=AB =2，BF =AE =x ，CF =DE =5−x ， 若△OFG 是等腰直角三角形，则∠FOG =90°， 连接BG 、EG ，设BG 、EF 交于点K ， ∴△BFK 和△EGK 都是等腰直角三角形，∴BF =KF =x ，BK =√2x ，EK =2−KF =2−x ，在等腰直角△EGK 中，根据勾股定理得：GK =EG =√22(2−x)，BG =GK +BK =√22(2+x)，又∵∠EBG =∠EFG =∠FCH ， ∴△BEG∽△CEF ， ∴BG BE=FCEF，即√22(2+x)√22(2−x)=5−x 2，解得：x =9−√572，或x =9+√572，∴AE 的长度是9−√572或9+√572．【解析】(1)连接EF ，FA ，由CE 为圆的切线且又和EB 垂直，可知CE//FA ，推出∠CEF =∠AFE ，而∠AFE =∠FEB 可得∠CEF =∠BEF ，所以EF 为∠BEC 的平分线．又因为∠EFB 为直角可知EF ⊥BC ，所以△BEC 为等腰三角形，得到BF 为BC 的一半，又因为EA//CF ，可知四边形CEAF 为平行四边形，即AD =BF =2.5；(2)根据平行线的性质得到BE ⊥CE ，由余角的性质得到∠ABE =∠DEC ，证得△ABE∽△CDE ，根据相似三角形的性质即可得到结论；(3)连接EF ，由圆周角定理得出∠BFE =90°，设AE =x ，则EF ，=AB =2，BF =AE =x ，CF =DE =5−x ，由已知条件得出点G 在点F 上方，连接BG 、EG ，设BG 、EF 交于点K ，得出△BFK 和△EGK都是等腰直角三角形，得出BF =KF =x ，BK =√2x ，EK =2−KF =2−x ，GK =EG =√22(2−x)，BG =GK +BK =√22(2+x)，证明△BEG∽△CEF ，得出BG BE =FCEF ，得出方程，解方程即可．本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、切线的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是(2)、(3)中，需要证明三角形相似才能得出结果．16.【答案】解：(1)将A(−1,0)，C(0,√3)代入抛物线y =ax 2+2√33x +c(a ≠0)， {a −2√33+c =0c =√3，∴a =−√33，c =√3(2)由(1)得抛物线解析式：y =−√33x 2+2√33+√3∵点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，C(0,√3) ∴D(2,√3)， ∴DH =√3， 令y =0，即−√33x 2+2√33x +√3=0，得x 1=−1，x 2=3， ∴A(−1,0)，B(3,0)， ∵AE ⊥AC ，EH ⊥AH ， ∴△ACO∽△EAH ， ∴OC AH=OA EH=即=√33=1EH，解得：EH =2√3， 则DE =2√3；(3)找点C 关于DE 的对称点N(4,√3)，找点C 关于AE 的对称点G(−2,−√3)，连接GN ，交AE 于点F ，交DE 于点P ，即G 、F 、P 、N 四点共线时，△CPF 周长=CF +PF +CP =GF +PF +PN 最小，∴直线GN 的解析式：y =√33x −√33，由(2)得E(2,−√3)，A(−1,0)， ∴直线AE 的解析式：y =−√33x −√33，联立{y = √33x −√33；y =−√33x −√33 ； 解得{x =0y =−√33 ∴F(0,−√33)， ∵DH ⊥x 轴，∴将x =2代入直线AE 的解析式：y =−√33x −√33，∴P(2,√32) ∴F(0,−√33)与P(2,√32)的水平距离为2过点M 作y 轴的平行线交FH 于点Q ， 设点M(m,−√33m 2+2√33m +√3)，则Q(m,√33m −√33)(1−√172<m <1+√172)；∴S △MFP =S △MQF +S △MQP =12MQ ×2=MQ =(−√33m 2+2√33m +√3)−(√33m −√33)， S △MFP =−√3m 2+√3m +4√3=−√3(m −1)2+17√3 ∵对称轴为：直线m =12， ∵开口向下，1−√172<m1+√172，∴m =12时，△MPF 面积有最大值为1712√3..【解析】(1)：(1)将A(−1,0)，C(0,√3)代入抛物线y =ax 2+2√33x +c(a ≠0)，求出a 、c 的值；(2)由(1)得抛物线解析式：y =−√33x 2+2√33+√3，点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，C(0,√3)，所以D(2,√3)，DH =√3，再证明△ACO∽△EAH ，于是 OCAH =OAEH =即=√33=1EH ，解得：EH =2√3，则DE =2√3；(3)找点C 关于DE 的对称点N(4,√3)，找点C 关于AE 的对称点G(−2,−√3)，连接GN ，交AE 于点F ，交DE 于点P ，即G 、F 、P 、N 四点共线时，△CPF 周长=CF +PF +CP =GF +PF +PN 最小，根据S △MFP =−√33m 2+√33m +4√33=−√33(m −12)2+1712√3，m =12时，△MPF 面积有最大值1712√3． 本题考查了二次函数，熟练运用相似三角形的性质与二次函数图象的性质是解题的关键．。
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2015华师一附中自招考试数学试题
考试时间：80分钟 卷面总分：150分
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的)
(2015华一高自招)1.如果实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式2222a a b c ac a -++-+可以化简为( )
A ．a b c ---
B ．a b c --
C ．a b c ---
D ．a b c +-
(2015华一高自招)2.如图，反比例函数4
y x
=-
的图象与直线y kx b =+交于(1,)A m -、(,1)B n 两点，则OAB ∆的面积为( )
A ．
112
B ．4
C ．
152
D ．
132
(2015华一高自招)3.设12,x x 是一元二次方程230x x +-=的两根，则32
12
415x x -+等于( ) A ．4- B ．8 C ．6 D ．0
(2015华一高自招)4.已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三边长，且满足44422222222a b c a c b c ++=+，则ABC ∆是( ) A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形
(2015华一高自招)5.在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为40mm 的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样
一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径．．为( ) (单位：mm )
A ．802
B ．4010
C ．2517
D ．100
(2015华一高自招)6.如图，ABC ∆为⊙O 的内接三角形，36BC =，60A ∠=︒，点D 为BC 上一动点，BE DO ⊥于E ，
当点D 由B 点沿BC 运动到点C 时，点E 经过的路径长为( )
A ．123π
B ．83π
C ．273
D ．54
二、填空题(本大题共7小题，每小题7分，共49分)
(2015华一高自招)7.方程3164(1)x x x +=+的所有根的和为
(2015华一高自招)8.在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，随机地从这5瓶饮料中取2瓶，取到至少．．
有1瓶过保质期的饮料的概率为
(2015华一高自招)9.关于x 的方程
211
a
a x =--无解，则a 的值是
(2015华一高自招)10.一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，分别以各自的速度在甲乙两地间匀速行驶，行驶1小时后，快车司机发现有重要文件遗忘在出发地，便立即返回出发地，拿上文件后(取文件时间不计)立即再从甲地开往乙地.结果快车先到达乙地，慢车继续行驶到甲地.设慢车行驶时间为x (h )，两车之间的距离为y (km )，y 与x 的函数图象，如图所示，则a =
(2015华一高自招)11.已知4a ≥，当13x ≤≤时，函数2234y x ax =-+的最小值为23-，则a =
(2015华一高自招)12.如图，在单位为1的正方形网格纸上，123A A A ∆，345A A A ∆，567A A A ∆……，都是斜边在x 轴上、
斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形.若123A A A ∆的顶点坐标分别为1(2,0)A ，2(1,1)A -，3(0,0)A ， 则依图中所示规律，2015A 的坐标．．
为
(2015华一高自招)13.有一张矩形风景画，长为90cm ，宽为60cm ，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大44%，若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为a cm ，左、右边衬的宽都为b cm ，那么ab =
三、解答题(本大题共4小题，共65分)
(2015华一高自招)14.(本题满分14分)已知,m n 是方程2310x x ++=的两根
(1)求162102
(5)3m m m m
-+-
---的值； (2)33m n n m
的值
(2015华一高自招)15.(本题满分15分)如图，ABC ∆中，AC BC =，I 为ABC ∆的内心，O 为BC 上一点，过B 、I 两
点的⊙O 交BC 于D 点，1
tan 3
CBI ∠=，6AB =
(1)求线段BD 的长； (2)求线段BC 的长
(2015华一高自招)16.(本题满分18分)如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，90BCD ∠=︒，6AD =，3BC =，DE AB ⊥于,E AC 交DE 于F
(1)求AE AB 的值；
(2)若4CD =，求AF
FC
的值；
(3)若6CD =，过A 点作AM ∥CD 交CE 的延长线于M ，求ME
EC
的值
(2015华一高自招)17. (本题18分)二次函数242y x mx n =-+的图象与x 轴交于1(,0)A x 、212(,0)()B x x x <两点，与y 轴交于C 点
(1)若2AB =，且抛物线的顶点在直线2y x =--上，试确定m ，n 的值；
(2)在(1)中，若点P 为直线BC 下方抛物线上一点，当PBC ∆的面积最大时，求P 点坐标； (3)是否存在整数m 、n ，使得112x <<和212x <<同时成立，请证明你的结论。