角平分线与线段中垂线
角平分线与线段中垂线
教学目标：整理基础知识与基本方法，巩固典型题型。
教学重点：典型题目的解答与变型。
教学过程：
一、基础知识汇总（10分钟）（学生填，学生纠正，教师规范）
1、角平分线上的点到相等
2、线段中垂线上的点到相等
3、到角两边距离相等的点一定在上
4、到线段两端点距离相等的点一定在上
5、作出下列角的平分线与线段的中垂线（保留作图痕迹）
6、三角形内角平分线交点到距离相等，是三角形的圆心.
7、三角形三边中垂线交点到距离相等，是三角形的圆心.
二、典型题目
1、请做出△ABC的外接圆与△DEF的内切圆（5分钟）（学生做图，教师巡视）
2、如图：请在直线AB上找一点P，使PC＋PD的长度最短。（5分钟）
3．已知：如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.
求证：P在∠A的平分线上．（5分钟）
4、在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分对边BC为3cm和4cm的两部分. 求：平行四边形ABCD的周长.（5分钟）
5、如图已知在△ABC 中，∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线PQ 相交于点P ，过点P 分别作PN ⊥AB 于N ，PM ⊥AC 于点M ． 求证：BN ＝CM ．（5分钟）
三、小结：阅读与巩固第一部分知识点，梳理本节例题思路。（5分钟）
课后作业：
1、如图：BP 、CP 是△ABC 的角平分线，过点P 作BC 的平行线分别交AB 、AC 于点D 、E ，AB ＝10，AC ＝8,则△ADE 的周长为 .
2、如图：已知BP 、CP 是△ABC 的角平分线，∠A ＝80°. 则∠P 的度数为
3、如图：已知在△ABC 中，MD 垂直平分AB 于M ，交BC 于D ，NE 垂直平分AC 于N ，交BC 于E ，若∠BAC ＝135°，则∠DAE ＝_______
4、如图：∠AOB=60°,OC 为角平分线，OD ＝6，E 、F 分别为OC 、OB 上的两动点， 求：DE ＋EF 的最小值.
5、如图，OC 平分∠AOB ，P 是OC 上一点，D 是OA 上一点，E 是OB 上一点，且PD=PE.求证：∠+∠=?PDO PEO 180。
*6、已知：AD 是等边△ABC 的高，AB=6，某人沿AD 以每秒2个单位的速度前进到E ，然后再从E 点每秒一个单位的速度直线前进到B ，问当AE 为多少时，这个人从A 到E 再到B 所用的时间最短？
A
B
C
P
M N
Q
C
A
B
E D
M N
线段垂直平分线和角平分线(经典)
七年级线段的垂直平分线与角平分线 一、线段垂直平分线 (一）、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 例题 1、如图，已知AB = AC = 14cm ，AB 的垂直平分线交AC 于D 。 1）若△DBC 的周长为24cm ，则BC = （ ） cm ； 2）若BC = 8cm ，则△BCD 的周长是（ ）cm 。 课堂练习 1、在△ABC 中，BC=10，边BC 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点E ，D ，BE=6，则△BCE 的周长是 ． （1题图） （2题图） （3题图） 2、如图,AB 是△ABC 的一条边，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ，并交BC 于点D ，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA=____. 3、如图，在△ABC 中，AB=AC=16cm ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果BC=10cm ，那么 △BCD 的周长是_______cm. 4、如图，已知点D 在AB 的垂直平分线上，如果AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC 的周长是 cm 。 5、如图（2），在ABC Rt ?中，090=∠ABC ，030=∠B ，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，则图中等于060的角有 个，分别是： . C B A D E 300 D E B C A 图（2）
6、如图（3），在ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点N ，则 . 7、如图，∠ABC=50°，AD 垂直且平分BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数是( ) 8、已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线 交AC 于D ，垂足为E ．若∠A=30°，DE=2，求∠DBC 的度数和CD 的长． 9、如图，已知P 点是∠AOB 平分线上一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足为C 、D ， （1）∠PCD=∠PDC 吗？ 为什么？ （2）OP 是CD 的垂直平分线吗？ 为什么？ 10、如图所示，点A 、点B 和点C 三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个 工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P ，请给予说明理由。 A B C 500B C N A 图（3）
《线段的垂直平分线》教案
《线段的垂直平分线》教案 教学目标 知识与技能： 1、能用多种方法作出线段的垂直平分线并说明其正确性. 2、掌握线段垂直平分线的性质定理，能够证明线段垂直平分线的性质定理.并能用定理解决一些实际问题. 过程与方法： 1、通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力. 2、体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． 情感与价值观要求： 1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重难点 重点：线段垂直平分线性质定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 难点：线段垂直平分线的性质定理的内涵和证明. 教学方法 引导探索 教学过程 一、忆一忆，由旧引新 1、什么叫做轴对称图形？又什么是轴对称？ 2、线段是轴对称图形吗？对称轴有几条？(引出垂直平分线) 3、你能画线段的垂直平分线吗？它又有什么性质？ 二、动手操作，合作交流 1．已知线段AB，画出它的垂直平分线. A B 说出你的作图思路.议一议：能否说出这种画法的依据，小组讨论交流一下. 2．线段垂直平分线的作法 ①折纸法：(学生动手，教师引导) ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线；(学生动手，教师引导) ③尺规法：(师生一起动手) (1)分别以点A、B为圆心，以大于1 2 AB长为半径画弧(为什么？)交于点E、F； (2)过点E、F作直线. 则直线EF就是线段AB的垂直平分线.
(为什么直线EF是线段AB的垂直平分线呢？这就要证明OA=OB且∠AOE=900或∠BOE= 900，请同学们思考、讨论、交流，最后老师给出证明) 证明：分别连接AE、AF、BE、BF，则AE=AF=BE=BF Array在△AEF和△BEF中 AE=BE AF=BF EF=EF ∴△AEF≌△BEF (SSS) ∴∠AEF=∠BEF 在△AOE和△BOE中 AE=BE ∠AEF=∠BEF ∴△AOE≌△BOE(SAS) ∴ OA=OB∠AOE=∠BOE OE=OE ∵∠AOE+∠BOE=180° ∴∠AOE=∠BOE =90° 即直线EF垂直平分线段AB 三、合作探究 1.探索线段垂直平分线性质定理 问题1：已知：如图，直线EF是线段AB的垂直平分线，垂足为O，在EF上任取一点P，连结P A、PB；测量P A、PB的长，你能发现什么？ 测量时要求学生变换P点的位置，看看P点到线段两个端点的距离的大小？面向全班提问：不难得到：P A=PB，在引到学生用语言表达猜想：线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等. 猜想：线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等. 此时让学生说说该猜想的题设(线段垂直平分线上的点)与结论点(这一点与线段两端的距离相等)，并用数学式子来表达： 已知：如图，直线EF是线段AB的垂直平分线，垂足是O，P是EF上任意一点，连结P A、PB. 求证：P A=PB 此时要做好分析，证明线段相等，通常是证明这两条线段所在的三角形全等，如果不能，再用别的方法，引导学生思考后再证明，可以让学生上黑板板演，教师点评) 证明：∵EF⊥AB (已知)
初中数学三角形(二)三角形的角平分线和中垂线
三角形的角平分线和中垂线 姓名时间 【教学目标】 1．要求学生掌握角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这四个定理解决一些简单问题。 2．理解角平分线和中垂线的性质定理和判定定理的证明 3．能够作已知角的角平分线，和已知线段的中垂线，并会熟练地写出已知、求作和作法. 【教学重点】 角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理。 【教学难点】 掌握角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理并进行证明。 【本节知识点】 1、垂直平分线性质及判定定理 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 2、角平分线性质及判定定理 判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 定理：三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三条边距离相等. 3、用尺规作图画线段垂直平分线，已知角的平分线. 【经典练习】 三角形的角平分线的性质及定理 一、判断题 1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上 3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合 4.角平分线是角的对称轴 二、填空题 1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF. 2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.
3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________. 4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=___度. 5.如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm. （4）（5） 三、选择题 1.下列各语句中，不是真命题的是 A.直角都相等 B.等角的补角相等 C.点P在角的平分线上 D.对顶角相等 2.下列命题中是真命题的是 A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等 B.相等的角是对顶角 C.余角相等的角互余 D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等 3.如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 4.如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF ②△BDF≌△CDE ③D在∠BAC 的平分线上，以上结论中，正确的是 A.只有① B.只有② C.只有①和② D.①，②与③ 四、解答题
《角平分线的性质》导学案
《角平分线的性质》导学案 教学目标 ：1． 掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用。 2． 理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题． 3． 渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。 教学重点和难点 ：角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点． 性质定理和判定定理的区 别和灵活运用是难点． } 如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ， 沿着AC 画一条射线AE ，AE 就是∠BAD 的角平分线， 你知道 为什么吗 用直尺和圆规作角的平分线 已知：∠AOB 求作：射线OC 使∠AOC =∠BOC ] 做法： 探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察 两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论 (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E 、 求证: PD=PE 几何书写 在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，则： ⑴图中相等的线段有哪些相等的角呢 ⑵哪条线段与DE 相等为什么 - ⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6， 求BE ，AE 的长和△AED 的周长。 P A O 》 B C E D 1 |
在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长。 | 如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ； 求证：CF=EB 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢 已知：如图,QD ⊥OA ，QE ⊥OB ， （ 点D 、E 为垂足，QD ＝QE ． 求证：点Q 在∠AOB 的平分线上． D ） B A C D ~ E B F
最新角平分线、垂直平分线(含答案)
5.角平分线、垂直平分线 知识考点： 了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。 精典例题： 【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。 分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。 分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。 例题图1 F E C B A 例题图2 G F E C B A 分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。 以上三种分析的证明略。 例题图3 D F E C B A 问题图 3 2 1E D C B A 探索与创新： 【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，△ABC 中，AD 是角平分线。求证： AC AB DC BD = 。 分析：要证 AC AB DC BD = ，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式 AC AB DC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明 AC AB DC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。 证明：过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E
线段的垂直平分线的性质教学设计(公开课)
《线段的垂直平分线的性质》教学设计 教学目标： 1.经历探索线段垂直平分线性质的过程，理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理。 2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。 3. 体验解决问题策略，发展实践能力和创新精神。 教学重点、难点： 重点：理解线段的垂直平分线的性质，并能运用性质解决相关问题。难点：线段垂直平分线的实际应用。 教学过程： 一、创设问题情境 如图，两个小区分别为中建芙蓉嘉苑小区和丽发新城小区，为了便于两个小区的居民看病，政府计划在环保西路上修建湘雅五医院，使它到两个小区的距离相等，那么医院应建在什么位置？ 二、温故 我们上节课学习了线段的垂直平分线，那么线段的垂直平分线是怎样定义的呢？
线段的垂直平分线：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫做线段的中垂线）。 注意：1.线段的垂直平分线是直线。 2.这条直线经过线段的中点。 3.这条直线垂直于这条线段。 三、知新 我们知道了线段的垂直平分线的定义，现在请同学们根据定义，利用直尺和铅笔作图，画一条已知线段的垂直平分线。动动手，画一画。 下面我们来看一看这条线段的垂直平分线上的点有什么特点？ 右图中，直线L 垂直平分线段AB,在L 上任取点P 1、P 2、P 3，连接P 1A 、P 1B,P 2A 、P 2B,P 3A 、P 3B 的长，你发现了什么？你有什么猜想吗？ 猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 那我们猜想出来以后，就可以直接运用了吗？嗯，我听到有同学说需要证明，很好，那我们看看应该怎样证明呢？如果证明的话，应该先怎样呢？（把文字语言转化成符号语言） A B l P P P
等腰三角形、角平分线、中垂线doc资料
等腰三角形、角平分线、中垂线 一、角平分线、中垂线 例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ．若 ABC ?的周长为 28，BC=8，则BCE ?的周长为 ． 例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ．求证：BE=CF 例3 如图，在ABC ?中，ο108=∠A ，AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD 例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF 交DE 于F ．求证：AF 为DE 的 垂直平分线． 例5 如图，在ABC ?中，C ABC ∠=∠3，
21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BD 训练一下： 1．如图，在ABC Rt ?中，ο90=∠C ，BE 平分ABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE=1cm ，则AC= cm. 2．如图，在ABC ?中，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，过D 作DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F ．求证：EF=BE-CF 3．如图，在ABC ?中，AB=AC ，ο36=∠A ，21∠=∠，E 为AB 中点，ED 、BC 延长线交于点F ．求证：AB=CF
4．如图，ABC ?中，21∠=∠，AB=2AC ，DA=DB ．求证：AC ⊥CD 5．如图，在ABC ?中，ο 90=∠ABC ，ο 60=∠ACB ， BAC ∠和ABC ∠的平分线AD ，BE 相交于点F ．求证：EF=DF 二、等腰三角形、等边三角形 （1）求角的度数 例1、如图所示,已知AB=AC, D 、E 分别在AC 和AB 上,且BD=BC,AD=DE=BE,求∠A 的度数. （2）证明角相等
角平分线的性质定理和判定定理(含答案)
几何专题2：角平分线的性质定理和判定定理 一、 知识点(抄一遍)： 1. 角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线. 2. 角平分线的性质定理： 角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. 3. 角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 二、 专题检测题 1. 证明角平分线的性质定理. （注意：证明文字性命题的三个步骤：①根据题意，画出图形；②写出已知和求证；③写出证明过程.） 2. 证明角平分线的判定定理. 3. 定理的几何语言表示 （1）角平分线的性质定理： ∵ ， ∴ . （2）角平分线的判定定理： ∵ ， ∴ . 4. 已知：如图所示，BN 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，BN 、CP 相交于O 点，连接AO ，并延长交BC 于M 求证：AM 是∠BAC 的角平分线. 5. 如图，已知BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，点E ，F 为垂足，D 是BE 与CF 的交点，AD 平分∠BAC. 求证：BD=CD. B
6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC. AD 是∠CAB 的平分线. 求证：AB=AC+CD. 7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB. 8. 如图,已知P 是∠AOB 平分线上的一点.PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是点C ，D ，CD 与OP 交于点M. 求证：（1）∠PCD=∠PDC ； （2）OP 是CD 的垂直平分线； （3）OC=OD. O
几何专题2：角平分线的性质定理和判定定理答案 1. 证明角平分线的性质定理. 已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上， PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E 求证: PD=PE 证明：∵OC 平分∠ AOB ∴ ∠1= ∠2 ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴∠PDO= ∠PEO 在△PDO 和△PEO 中 ∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2 OP=OP ∴△PDO ≌ △PEO(AAS) ∴PD=PE 2. 证明角平分线的判定定理. 已知：如图,PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，PD ＝PE ． 求证：点P 在∠AOB 的平分线上 证明: 经过点P 作射线OC ∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴ ∠PDO ＝∠PEO ＝90° 在Rt △PDO 和Rt △PEO 中 PO ＝PO PD=PE ∴ Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ） ∴ ∠ POD ＝∠POE ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 3. 定理的几何语言表示 （1）角平分线的性质定理： ∵ OP 平分∠AOB ，DP ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴ DP=EP. （2）角平分线的判定定理： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD ＝PE ． ∴ OP 平分∠AOB ． O O
垂直平分线与角平分线典型题#(精选.)
线段的垂直平分线与角平分线(1) 知识要点详解 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上 . 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 图1 图2
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题： 例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 课堂笔记： 针对性练习： ：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果 BC=8cm ，那么△EBC 的周长是 3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是 例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。 课堂笔记： 针对性练习： 已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 求证：点O 在BC 的垂直平分线 例3. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底 B D E B A C O N A
作线段的垂直平分线教案
第2课时作线段的垂直平分线 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 能够作出轴对称图形以及轴对称的对称轴,明确对称轴是直线. 【过程与方法】 1.经历探索、猜测、动手操作的过程,进一步发展学生的动手操作能力; 2.体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神. 【情感、态度与价值观】 通过积极参与数学学习活动,在数学活动中获得成功的体验,建立学习的自信心. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 画轴对称图形的对称轴. 【教学难点】 作轴对称图形. ◇教学过程◇ 一、情境导入 我们知道某些图形是轴对称图形,你能想出除折叠外其他画出对称轴的方法吗? 二、合作探究 探究点1垂直平分线的尺规作图 典例1如图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则直线DE是() A.∠A的平分线 B.AC边的中线 C.BC边的高线 D.AB边的垂直平分线
[解析]分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则DA=DB,EA=EB,所以点D,E在线段AB的垂直平分线上. [答案]D () A.过已知点作一条直线与已知直线相交 B.过已知点作一条直线与已知直线垂直 C.过已知点作一条直线与已知直线平行 D.不确定 [答案]B 探究点2画对称轴 典例2用刻度尺分别画下列图形的对称轴,可以不用刻度尺上的刻度画的是() A.①②③④ B.②③ C.③④ D.①②所有 [解析]①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴. [答案]A ,对称轴条数是四条的图形是() [答案]A 三、板书设计 作线段的垂直平分线 轴对称图形 ◇教学反思◇ 本节的内容是画轴对称图形的对称轴,在设计上可以通过给出轴对称图形让学生画对称轴的方式,让学生通过小组合作交流,探究、讨论,归纳出画对称轴的方法,体现学生自主学习和合作交流的学习方式,空间想象能力得到加强,创新意识得到培养,并且体验到成功的快乐.
角平分线性质定理及逆定理的证明
角平分线的性质与判定 教学目标： 1、 能够对角平分线的性质定理及逆定理进行严密的证明。 2、 能够灵活运用两个定理进行相关问题的计算或者证明。 教学重点：定理的证明及应用。 教学难点：定理的证明。 教学过程： 一.复习引入： 在第二章，我们利用角的轴对称性质，通过实验的方法，探索出了角平分线的性质。 你还记得角平分线的性质吗？你能用推理的方法证明它们的真实性吗？ 角平分线的性质：___________________________________________________ 角平分线的性质的逆命题是： 二、新课学习： 知识点一、证明：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 已知：OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D 求证：CF ＝DF. 证明： 应用格式： 例 1.已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A 内一点，PB=PC ， PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。求证：PE=PF 知识点二、证明：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 已知：如图5，点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，PC ＝PD 求证：点P 在∠AOB 的平分线上. 证明： 应用格式： 例2. 已知： PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ，求证：BP 为∠MBN 的平分线。 知识点三. 关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 已知：如图6，AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线 求证：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 证明： 三、课堂总结：总结本节课的收获 四．课堂检测 1、有一点P 到三角形三条边的距离相等，则点P 一定是 的交点 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则= 图4
中垂线与角平分线
中垂线 判断 ( )1.三角形两边的垂直平分线交点在三角形一边上，则该三角形为等边三角形. ( )2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形内. ( )3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点. ( )4.四边形ABCD中共有一点P，使PA=PB=PC=PD，则∠A+∠C=180°. ( )5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点. ( )6.和线段两端相等的点不一定在线段上. 选择 1.到三角形三个顶点距离相等的是( ) A.三条中线交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中垂线的交点 2.线段AB外有两点C，D(在AB同侧)使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°, ∠CAD=10°,则∠ACB=( ) A.90° B.100° C.110° D.120° 3.BD为CE的中垂线，A在CB延长线上，∠C=34°,则∠ABE=( ) A.17° B.34° C.68° D.136° 4.O为△ABC三边中垂线的交点，则O称为△ABC的( ) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 5.若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为( ) A．钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 6. 如图,△ABC中，∠ACB=90°, ∠A=30°AC的中垂线交AC于E.交AB于D，则图中60°的角共有( ) A．6个 B.5个 C.4个D3个 填空 1.△ABC中，AB=AC，P为形内一点，PB=PC，则P在的中垂线上，P还在∠的平分线上. 2.△ABC中，AB=AC=14，腰AB的中垂线交AC于D，△BCD周长为4cm,则BC= . BE= . 3.△ABC中，AB=AC，∠A=120°,AB中垂线交BC于E，则 BC 4.正△ABC内一点O到三边距离相等，且OA=OB=OC.则∠BOC= . 5.△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则∠A= . 6.若PA=PB，DA=DB，则PD是AB的. 角平分线同步练习 判断题 1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上 3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合 4.角平分线是角的对称轴 填空题 1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF. 2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP. 3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.
线段的垂直平分线教案.doc
线段的垂直平分线教案 线段的垂直平分线教学内容: 线段的垂直 平分线教学目的: 1、使学生理解线段的垂直平分线的性质定 理及逆定理,掌握这两个定理的关系并会用这两个定理解决有关几何 问题。 2、了解线段垂直平分线的轨迹问题。 3、结合教学内 容培养学生的动作思维、形象思维和抽象思维能力。教学重点: 线段的垂直平分线性质定理及逆定理的引入证明及运用。教学难 点: 线段的垂直平分线性质定理及逆定理的关系。教学关键: 1、垂直平分线上所有的点和线段两端点的距离相等。 2、到线段 两端点的距离相等的所有点都在这条线段的垂直平分线上。教 具:投影仪及投影胶片。教学过程: 一、提问 1、角平分 线的性质定理及逆定理是什么? 2、怎样做一条线段的垂直平分线? 二、新课 1、请同学们在课堂练习本上做线段ab的垂直平分线 ef(请一名同学在黑板上做)。 2、在ef上任取一点p,连结pa、 pb量出pa=?,pb=?引导学生观察这两个值有什么关系? 通过学生 的观察、分析得出结果 pa=pb,再取一点p'试一试仍然有p'a=p'b, 引导学生猜想ef上的所有点和点a、点b的距离都相等,再请同学把 这一结论叙述成命题(用幻灯展示)。定理:线段的垂直平分线上 的点和这条线段的两个端点的距离相等。这个命题,是我们通过 作图、观察、猜想得到的,还得在理论上加以证明是真命题才能做为 定理。已知:如图,直线ef⊥ab,垂足为c,且ac=cb,点p在ef上
求证:pa=pb 如何证明pa=pb学生分析得出只要证 rtδpca≌rtδpcb 证明:∵pc⊥ab(已知) ∴∠pca=∠pcb(垂直的定义) 在δpca和δpcb中∴δpca≌δpcb(sas) 即:pa=pb(全等三角形的对应边相等)。反过来,如果 pa=pb,p1a=p1b,点p,p1在什么线上? 过p,p1做直线ef交ab于c,可证明δpa p1≌pb p1(sss) ∴ef是等腰三角型δpab的顶角平分线∴ef是ab的垂直平分线(等腰三角形三线合一性质) ∴p,p1在ab的垂直平分线上,于是得出上述定理的逆定理(启发学生叙述)(用幻灯展示)。逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。根据上述定理和逆定理可以知道:直线mn可以看作和两点a、b的距离相等的所有点的集合。线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。 三、举例(用幻灯展示) 例:已知,如图δabc中,边ab,bc的垂直平分线相交于点p,求证:pa=pb=pc。证明:∵点p在线段ab的垂直平分线上∴pa=pb 同理pb=pc ∴pa=pb=pc 由例题pa=pc知点p在ac的垂直平分线上,所以三角形三边的垂直平分线交于一点p,这点到三个顶点的距离相等。四、小结正确的运用这两个定理的关键是区别它们的条件与结论,加强证明前的分析, 找出证明的途径。定理的作用是可证明两条线段相等或点在线段的垂直平分线上。五、练习与作业练习:第87页 1、2 作业:第95页 2、3、4 《教案设计说明》线段的垂直平分线的性质定理及逆定理,都是几何中的重要定理,也是一条重要轨迹。在几何
角平分线的性质定理及其逆定理 教学设计
角平分线的性质定理及其逆定理教学设计教学设计思想 通过前面的学习已经探究出角平分线上的点所具有的性质，本节学习对这个性质进行证明。让学生完成对三角形全等的判定公理的推论的证明，进而应用这个公理完成对角平分线性质定理的证明，对于平分线的性质定理的逆定理仿照上节课处理线段垂直平分线逆命题的思路，引导学生解决与定理和逆定理的有关问题。对于尺规作角平分线，要让学生明白每步做法的依据。最后通过例题的学习来巩固这些知识点。 教学目标 知识与技能 总结角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明； 说出用尺规作角平分线的依据； 能够熟练地按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明。 过程与方法 经历用尺规作角平分线的过程； 经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力； 情感态度价值观 通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略； 愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见。 教学重点和难点 重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用； 难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用。 解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出做题的方法。 教学方法 启发引导、小组讨论 课时安排 １课时 教具学具准备 投影仪或电脑、三角板 教学过程设计 （一）角平分线的性质定理
我们已经探究出角平分线上的点所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？ 角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 证明角平分线的性质定理时，我们将用到三角形全等判定公理的推论： 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 做一做 证明三角形全等判定公理的推论。 注：让学生独立按照证明的格式完成对“AAS”定理的证明，作为证明本节定理的依据。 证明略。 利用上面你已经证明的推论，可以对角平分线的性质定理给出如下的证明。 已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。 求证：PD=PE。 证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)， ∴∠1=∠2(角平分线的定义)。 ∵PD⊥OA，P E⊥OB(已知)， ∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)。 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO (已证)， ∠1＝∠2(已证)， OP＝OP(公共边)， ∴△PDO≌△PEO (AAS)。 ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)。 （二）角平分线性质定理的逆定理 做一做 1.请写出角平分线性质定理的逆命题。
中考专题：垂直平分线与角平分线
线段的垂直平分线 知识要点详解 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相 等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝ BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段 的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于 点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的 定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的 距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直 平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题： 例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 针对性练习： 已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直 平分线交AB 于点D ，交BC 于点 A
角平分线的性质定理教案
角平分线的性质定理教案 慧光中学：王晓艳 教学目标：（1）掌握角平分线的性质定理； （2）能够运用性质定理证明两条线段相等； 教学重点：角平分线的性质定理及它的应用。 教学难点：角平分线定理的应用； 教学方法：引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法 教学过程： 一，新课引入： 1．通过复习线段垂直平分线的性质定理引出角平分线上的点具有什么样的特点 操作：（1）画一个角的平分线； （2）在这条平分线上任取一点P，画出P点到角两边的距离。 （3）说出这两段距离的关系并思考如何证明。 2．定理的获得： A、学生用文字语言叙述出命题的内容，写出已知，求证并给予证明， 得出此命题是真命题，从而得到定理，并写出相应的符号语言。 B、分析此定理的作用:证明两条线段相等； 应用定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离。 3．定理的应用 二．例题讲解： 例1：已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。 求证：PE=PF （此题已知中有垂直，缺乏角平分线这个条件）
例2：已知：如图，⊙O与∠MAN的边AM交于点B、C，与边AN交于点 E、F， 圆心O在∠MAN的角平分线AQ上。 求证：BC=EF （此题已知中有角平分线，缺乏垂直这个条件） 三：课堂小结： ①应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂 直距离; ②若图中有角平分线,,可尝试添加辅助线的方法:向角的两边引垂线段.四：巩固练习 1．已知：如图，△ABC中，D是BC上一点，BD=CD，∠1=∠2求证：AB=AC 分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌△ACD，所以必须添加一些线帮助解题。
垂直平分线与角平分线(讲义及答案).
垂直平分线与角平分线（讲义） 知识点睛 1.垂直平分线相关定理： ①线段垂直平分线上的点到这条线段___________________； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上． 2.角平分线相关定理： ①角平分线上的点到这个角的_____________________； ②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上． 精讲精练 1.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC于点 E，垂足为点D．若BE+CE=12，BC=8，则△ABC的周长为___________． 第1题图第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB 的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．若DE=1，则线段AC的长为________． 3.如图，在△ABC中，DE，GF分别是AC，BC的垂直平分线， AD=8，BG=10．若AD⊥CD，则DG的长为_______．
4.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE． 求证：OE垂直平分BD． 5.如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AB=8，BC=6．若 S△ABC=14，则DE=__________． 第5题图第6题图 6.如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD，点E 在射线OA上，若∠AOB=60°，∠OPE=80°，则∠AEP的度数为_________． 7.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交 于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E． 求证：OD=OE．
8.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于 点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 9.如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在x 轴正半轴上，且OC=OB，点D位于x轴上点C的右侧，连接BC，∠BAO和∠BCD的平分线AP，CP相交于点P，连接BP，则∠PBC的度数为__________．
线段的垂直平分线 优质课教案
A 小区 B 小区 C 小区 线段的垂直平分线 【教学目标】 1．经历线段垂直平分线性质的发现过程，初步掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，体会辨证思想； 2．能运用线段垂直平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题； 3．通过从操作实验到演绎推理的数学活动，认识实验归纳和演绎推理的作用。 【教学重难点】 重点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理；难点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理的应用。 【教学准备】 课件，三角尺，学案 【教学过程】一、情景引入1．引例： 区政府为了方便居民日常生活，计划开一家大超市，为了使该超市到A ，B ，C 三个居民小区的距离相等，请同学们设计一下，这个超市应该建在哪里呢？ 2．回顾，导入 提问1：线段是不是轴对称图形？ 如果是，那么请说明它的对称轴在哪里？ 提问2：如图，线段AB 关于直线MN 对称，在直线MN 上任取一点P ，分别联结PA 、PB ，那么线段PA 与PB 一定相等吗？ 揭示课题：线段的垂直平分线 二、学习新知 （一）探究新知 1．线段的垂直平分线的性质定理 操作：以直线MN 为折痕将这个图形翻折，观察点P 的位置动不动？ P M N C B A
点A与点B是否重合？你得到哪些线段相等？ 归纳：如果一个点在一条直线的垂直平分线上，那么分别联结这点与线段两个端点所得的两条线段相等。 验证：证明这个命题，写出已知和求证。 已知：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为点C，点P在直线MN上。 求证：PA＝PB． 分析：如图，当点P不在线段AB上时，要证明PA＝PB，只需要 证△PCA≌△PCB．由直线MN是线段AB的垂直平分线，可知CA=CB， ∠PCA=∠PCB，再加上PC为公共边，三角形全等即可得到。 特别地，当点P在线段AB上时，P点与C点重合，此时PA=PB 当然也成立。 证明： ∵MN是线段AB的垂直平分线（已知） ∴MN⊥AB，AC=BC（线段垂直平分线的定义） 设点P在线段AB外时， ∵MN⊥AB（已证） ∴∠PCA=∠PCB=90o（垂直的定义） 在△PCA和△PCB中， AC=BC（已证） ∠PCA=∠PCB（已证） PC=PC（公共边） ∴△PCA≌△PCB（S.A.S） ∴PA=PB（全等三角形对应边相等） 当点P在线段AB上时， 点P与点C重合，即PA=PB 归纳线段垂直平分线的性质定理： 文字语言：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。 符号语言：∵点P在线段AB的垂直平分线上 ∴ PA=PB 辨析练习： 1．如图（1）：若AC垂直平分BD，则AB=____________ 2．如图（2）：若BD垂直平分AC，则AB=____________ 3．如图（3）：若AC、BD互相垂直平分，则AB=__________ 4．如图（4）：PD、PE分别垂直平分线段AB、BC，则PA_______PC P M N C B A