第三章序列效用分析法
合集下载
(西方经济学)第3章效用论
02
通过实验模拟消费者的购买决策过程，验证其是否符合效用最
大化原则。
数学证明法
03
通过建立数学模型，运用数学工具证明效用最大化原则的正确
性。
效用最大化原则的应用
价格变化对消费者需求的影响
当商品价格发生变化时，消费者会根据效用最大化原则调整自己的购 买量。
收入变化对消费者需求的影响
当消费者收入发生变化时，也会根据效用最大化原则调整自己的购买 量。
用。
价格变化法
通过观察消费者对价格变化的 反应，来间接测量序数效用。
问卷调查法
通过问卷调查的方式，了解消 费者对不同商品组合的偏好程
度和排序。
序数效用论的应用
消费者行为分析
序数效用论可以用于分析消费者的购买行为和偏好，帮助企业更 好地了解市场需求和消费者需求。
市场细分
序数效用论可以用于市场细分，将消费者按照偏好程度进行分类， 针对不同类别的消费者提供不同的产品和服务。
(西方经济学)第3章效 用论
contents
目录
• 效用论概述 • 基数效用论 • 序数效用论 • 消费者行为理论 • 效用最大化原则
01
效用论概述
效用的定义
效用
效用与偏好相关
是指消费者从消费某种物品或服务中 得到的满足程度，是衡量消费者从消 费行为中获得的主观上的利得或利益。
消费者的偏好决定了他们对物品或服 务的效用评价，偏好不同导致效用评 价的差异。
企业可以根据消费者的需求和偏好，制定 合理的价格策略，以最大化销售量和利润 。
产品开发
营销策略
企业可以通过研究消费者的偏好和需求， 开发出更符合市场需求的产品和服务。
企业可以通过了解消费者的行为和心理， 制定更有效的营销策略，提高销售量和品 牌知名度。
8经济学基础-序数效用论3
13
三、消费者均衡
序数效用论将无差异曲线和预算线结合在一起来分析消费者均衡。在序数 效用论中，无差异曲线代表消费者对商品组合的偏好。由于欲望的无穷性，消 费者面临无数的无差异曲线，且总愿意选择远离原点的无差异曲线，以获得更 大的满足。而消费者的购买愿望要受其收入水平和商品价格的约束，由消费者 的收入和商品价格决定的预算线只有一条。既定的预算线与其中的一条无差异 曲线的相切点，是消费者均衡点。在均衡点上，消费者所购买的商品组合是最 偏好的商品组合，是效用最大的商品组合，也是耗尽既定收入的商品组合。
7
无差异曲线
8
二、预算线
影响消费者购买选择的主因之二是商品价格，与商品价格密切关联的是消 费者的收入水平，即预算约束。预算约束可用预算线来说明。
预算线亦称为预算约束线、消费可能线、价格线或等支出线。预算线是指 消费者在收入和商品价格既定的条件下，用全部收入所能购买到的各种商品最 大可能数量组合的轨迹。为简化分析，假定消费者用既定收入购买两种商品X 和Y，I为消费者既定收入，Px、Py分别为两种商品的价格，x、y分别为两种商 品的购买数量。
假定两种商品能相互替代，且可无限细分，则消费者可通过两种商品此 消彼长的不同组合来达到同等的满足程度。
5
无差异曲线具有如下4个方面的特征
第一、同一条无差异曲线上，各点所代表的数量组合不同，但对消费者 来说效用都是相同的。在保持效用不变的条件下，一种商品数量的增加必然 导致另一种商品数量的减少。
第二、在同一坐标平面中，可以有无数的无差异曲线。同一条无差异曲 线代表相同的效用，不同的无差异曲线代表不同的效用。离原点越远的无差 异曲线代表的效用越大；离原点越近的无差异曲线代表的效用越小。
想一想:当你到商场选购服装时，影响购买选择的主要因素是什么？
三、消费者均衡
序数效用论将无差异曲线和预算线结合在一起来分析消费者均衡。在序数 效用论中，无差异曲线代表消费者对商品组合的偏好。由于欲望的无穷性，消 费者面临无数的无差异曲线，且总愿意选择远离原点的无差异曲线，以获得更 大的满足。而消费者的购买愿望要受其收入水平和商品价格的约束，由消费者 的收入和商品价格决定的预算线只有一条。既定的预算线与其中的一条无差异 曲线的相切点，是消费者均衡点。在均衡点上，消费者所购买的商品组合是最 偏好的商品组合，是效用最大的商品组合，也是耗尽既定收入的商品组合。
7
无差异曲线
8
二、预算线
影响消费者购买选择的主因之二是商品价格，与商品价格密切关联的是消 费者的收入水平，即预算约束。预算约束可用预算线来说明。
预算线亦称为预算约束线、消费可能线、价格线或等支出线。预算线是指 消费者在收入和商品价格既定的条件下，用全部收入所能购买到的各种商品最 大可能数量组合的轨迹。为简化分析，假定消费者用既定收入购买两种商品X 和Y，I为消费者既定收入，Px、Py分别为两种商品的价格，x、y分别为两种商 品的购买数量。
假定两种商品能相互替代，且可无限细分，则消费者可通过两种商品此 消彼长的不同组合来达到同等的满足程度。
5
无差异曲线具有如下4个方面的特征
第一、同一条无差异曲线上，各点所代表的数量组合不同，但对消费者 来说效用都是相同的。在保持效用不变的条件下，一种商品数量的增加必然 导致另一种商品数量的减少。
第二、在同一坐标平面中，可以有无数的无差异曲线。同一条无差异曲 线代表相同的效用，不同的无差异曲线代表不同的效用。离原点越远的无差 异曲线代表的效用越大；离原点越近的无差异曲线代表的效用越小。
想一想:当你到商场选购服装时，影响购买选择的主要因素是什么？
序数效用分析_微观经济学（微课版）_[共17页]
![序数效用分析_微观经济学（微课版）_[共17页]](https://img.taocdn.com/s3/m/6d093352ec3a87c24028c4d9.png)
75 消费者行为理论第三章图3-4 消费者剩余需要注意的是，消费者对一件商品效用的评价完全是主观的，所愿意支付的最高价格也是主观的，所以消费者剩余只是消费者心理上满足的感觉，并不意味着消费者增加了实际的货币收入，消费者剩余为负数也不是实际货币收入的减少。
而且，这些主观特性也使得购买同样一种物品，不同的消费者得到的消费者剩余也不同。
最后，消费者剩余反映了消费者通过消费商品时所感受到的状态的改善，因此，消费者剩余常被用来度量和分析消费者得到的经济福利的大小。
第三节序数效用分析序数效用论是如何运用无差异曲线来分析消费者行为的？序数一词和基数一样，也是来自数学。
但序数与基数不同，它既不能衡量大小也不能加总求和。
它是指第一、第二、第三……只是用来表示顺序或等级，至于第一、第二和第三本身各自的数量具体是多少，是没有意义的。
一、序数效用论的基本观点及假定（一）序数效用论的基本观点到了20世纪30年代，大多数西方经济学家普遍采用序数效用的理论来研究消费者行为。
序数效用论者认为，效用是主观的，类似于香、臭、美、丑等概念。
而主观的东西是无法具体衡量的，所以消费者在消费商品时感觉到的满足程度的高低也无法用“1、2、3……”等基数来计量它的大小，更不能求和。
但可以对满足程度的高低通过排序来比较，即用“第一、第二、第三……”来表示满足程度的高低。
序数效用论回答的是消76 微观经济学（微课版） 费者偏好哪一种消费，哪一种消费的效用排第一，哪一种消费的效用排第二。
或者是说，要回答的是消费者宁愿看一场电影大片，还是宁愿去听一场音乐会。
序数效用论者反对将不可计量的效用附着于普通物品的消费上，还认为，与现代需求理论有关的只是序数效用的原则，即使不用基数效用的理论也很容易推导出需求曲线。
因此，序数效用论者在分析消费者行为时，考察的是商品组合的偏好顺序，回答的问题是“A 组合是否比B 组合值得偏好？”基数效用论和序数效用论是两种研究消费者行为的理论。
基数,序数效用理论
五,消费者均衡
1,按照序数效用理论分析:消费者最 ,按照序数效用理论分析: 佳购买行为为无差异曲线和预算线相切 之点(同时满足两个特点:效用最大, 之点(同时满足两个特点:效用最大, , 消费得起) 消费得起)
B C E D A F
PX MRS= PY
END
�
三,商品边际替代率
涵 义
概念(MRS)是指消费着在保持原有的效用水平 或满足程度不变的前提下,增加一单位某种商 品消费时,而需要放弃另一种商品的消费数量.
几 何 意 义
特 点
斜率为负的无差异曲线存在边际替代率 任意两种商品的边际替代率等于该 无差异曲线上任意一点的商品替代率等于 递减规律, 递减规律,它是指在保持效用水平不变的 两种商品的边际效用之比. 放弃Y商品 无差异曲线在该点斜率的绝对值. 无差异曲线在该点斜率的绝对值. 条件下,为得到单位X商品的增加, 条件下,为得到单位X商品的增加,放弃Y 数量是递减的. 数量是递减的.
负效用对消费者产生不适及痛苦 负效用对消费者产生不适及痛苦
2,基数效用:按1,2,3,4等基数 来衡量效用的大小,按照绝对数衡 量效用的方法.
例如:一个面包有 5个效用,一个馒头有 4个效用(针对不同 商品的效用定义)
3,序数效用:指按第一,第二 等序数来反映效用的序数或等 级,这是一种按偏好程度进行 排序的方法. 例如消费第一个面包的效用为5 个,第二个面包的效用为4个.
四,消费者预算线 1,概念:也称消费者可能线,预算 约束线,它是在消费收入和商品价 格既定的条件下,消费者的全部收 入所能购买的各种商品的数量组合
2,形成过程:
M=XPX+YPY
Y E C D X
3,预算线的移动 ,
《序数效用理论课程》PPT课件
精选ppt
12
3.边际效用分析与无差异曲线分析的关系
（1）边际效用分析用数学表达式表示消费者均衡的条
件：
MUX MUY
PX
PY
或
MU X PX MUY PY
（2）无差异曲线用图形（见图3—7）表示消费者均衡 的条件，两者在本质上是相同的。
证明如下：
根据消费可能线有
OB M
PY
OA M PX
在C点上，消费者购买的商品组合为（XC , YC）， 所获得的效用也由无差异曲线I3决定，也为U3；
在E点上，消费者购买的商品组合为（Xe , Ye）， 所获得的效用由无差异曲线I2决定，为U2；
因为：效用U2大于效用U3 ，所以消费者用M的
货币量在E点所购买的消费组合实现了效用最大化，
即在E点上达到消费者均衡。
精选ppt
13
在E点的斜率为：
OB M/PY PX OA M/PX PY
即：
MRSXY
X Y
X 0ddyx
PX PY
则：MRSXY
PX PY
设U（X，Y）为追踪效用函数，
U
U
MUX X ; MUY Y
X U ;Y U
M UX
M UY
精选ppt
14
MRXSY
X Y
U/MUY U/ MUX
见P63图3—6
精选ppt
9
P63图3—8
精选ppt
10
1． 消费者可能线与无差异曲线的关系 见P64图3—7
图3—精选7 ppt
11
当商品的市场价格PX ，PY既定时，消费者用全
部货币收入M购买商品：
在F点上，消费者购买的商品组合为（Xf , Yf）， 所获得的效用由无差异曲线I3决定，为U3；
西方经济学第三章02序数效用论
了无差异曲线是凸向原点
k2
O
2020/1/16
X1
13
三、商品的边际替代率
1、边际替代率
在维持效用水平不变的前提下，消费者增加 一单位的某种商品的消费数量时所需要放弃的另 一种商品的消费数量，被称为商品的边际替代率。
MRS12
X 2 X1
MRS12
Lim X 2 X 0 X1
X2
O
2020/1/16
U(X1, X2 ) U2 U1
X1
6
X2
O
2020/1/16
无差异曲线可以看作效用 曲面边界在平面上的投影
U2= f (X1, X2 ) U1= f (X1, X2 )
X1
7
X2
O
2020/1/16
无差异曲线可以看作效用 曲面边界在平面上的投影
U2= f (X1, X2 ) U1= f (X1, X2 )
U2
MRS=a/b
U1
U0
0 2 4 6 镜片
(片)
2020/1/16
20
完全互补品效用函数 U（x1，x2）=min｛ax1， bx2｝ MRS=a/b
表示a单位x2必须和b单位x1一起消费； 完全互补品任何一种产品多余都没有意义， 因此用最小化的形式。 2片镜片（ x1）需要一副眼镜框（x2）则可 写成 U (x1, x2)= min{ x1, 2x2 }
O
2020/1/16
X1商品
10
2、无差异曲线的基本特征
1）通常假定效用函数是连续的，因此在同一坐标 平面上的任何两条无差异曲线之间，可以有无数条 无差异曲线。
离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越高； 离原点越近的无差异曲线代表的效用水平越低。
k2
O
2020/1/16
X1
13
三、商品的边际替代率
1、边际替代率
在维持效用水平不变的前提下，消费者增加 一单位的某种商品的消费数量时所需要放弃的另 一种商品的消费数量，被称为商品的边际替代率。
MRS12
X 2 X1
MRS12
Lim X 2 X 0 X1
X2
O
2020/1/16
U(X1, X2 ) U2 U1
X1
6
X2
O
2020/1/16
无差异曲线可以看作效用 曲面边界在平面上的投影
U2= f (X1, X2 ) U1= f (X1, X2 )
X1
7
X2
O
2020/1/16
无差异曲线可以看作效用 曲面边界在平面上的投影
U2= f (X1, X2 ) U1= f (X1, X2 )
U2
MRS=a/b
U1
U0
0 2 4 6 镜片
(片)
2020/1/16
20
完全互补品效用函数 U（x1，x2）=min｛ax1， bx2｝ MRS=a/b
表示a单位x2必须和b单位x1一起消费； 完全互补品任何一种产品多余都没有意义， 因此用最小化的形式。 2片镜片（ x1）需要一副眼镜框（x2）则可 写成 U (x1, x2)= min{ x1, 2x2 }
O
2020/1/16
X1商品
10
2、无差异曲线的基本特征
1）通常假定效用函数是连续的，因此在同一坐标 平面上的任何两条无差异曲线之间，可以有无数条 无差异曲线。
离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越高； 离原点越近的无差异曲线代表的效用水平越低。
西方经济学第三章效用论
第三章 效用论
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
效用论概述 无差异曲线 预算线
在本章中，我们将深 入分析需求曲线特征 形成的原因 ……
消费者均衡
价格变化和收入变化对消费者均衡的影响
替代效应和收入效应
从单个消费者的需求曲线到市场需求曲线
第三章 效用论
1
第一节 效用论概述
一、效用论概述
b
(1)MU>0 =>TU↑ (2)MU<0 =>TU↓ (3)MU=0 =>TU达到
最大值
a
0
Q
U1234567
10 8 6 4 2 0 2
第三章 效用论
Q 1234567
M13U
2、边际效用递减规律
在一定时间内，在其他商品的消费数量保持 不变的条件下，随着消费者对某种商品消费 量的增加，消费者从该商品连续增加的每一
第三章 效用论
7
金子和玉米面饼的效用
某地闹水灾，在一棵大树上，地主紧紧地抱着一盒金子 ，长 工则提着一篮玉米面饼。
几天过去了，四处仍旧是白茫茫一片。长工饿了就吃几口饼， 地主饿了却只有看着金子发呆。地主舍不得用金子去换饼， 长工也不愿白白地把饼送给地主。
又几天过去了，大水悄悄退走了。长工高兴地爬到树下，地 主却静静地躺着，永远留在大树上了。
15
钻石和木碗
有个穷人四处流浪，他只有一只旧木碗。 一天，穷人在渔船上帮工时遇到了特大风浪，被海水冲
到一个小岛上，岛上的酋长看见穷人头顶的木碗，感到 非常新奇，便用一大口袋珍珠宝石换走了木碗，派人把 穷人送回了家。 富翁听说木碗换回这么多宝贝，也想去碰碰运气。富翁 装了满满一船山珍海味和美酒，运到小岛。 酋长高兴地接受了富人送来的礼物，声称要送给他最珍 贵的东西。
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
效用论概述 无差异曲线 预算线
在本章中，我们将深 入分析需求曲线特征 形成的原因 ……
消费者均衡
价格变化和收入变化对消费者均衡的影响
替代效应和收入效应
从单个消费者的需求曲线到市场需求曲线
第三章 效用论
1
第一节 效用论概述
一、效用论概述
b
(1)MU>0 =>TU↑ (2)MU<0 =>TU↓ (3)MU=0 =>TU达到
最大值
a
0
Q
U1234567
10 8 6 4 2 0 2
第三章 效用论
Q 1234567
M13U
2、边际效用递减规律
在一定时间内，在其他商品的消费数量保持 不变的条件下，随着消费者对某种商品消费 量的增加，消费者从该商品连续增加的每一
第三章 效用论
7
金子和玉米面饼的效用
某地闹水灾，在一棵大树上，地主紧紧地抱着一盒金子 ，长 工则提着一篮玉米面饼。
几天过去了，四处仍旧是白茫茫一片。长工饿了就吃几口饼， 地主饿了却只有看着金子发呆。地主舍不得用金子去换饼， 长工也不愿白白地把饼送给地主。
又几天过去了，大水悄悄退走了。长工高兴地爬到树下，地 主却静静地躺着，永远留在大树上了。
15
钻石和木碗
有个穷人四处流浪，他只有一只旧木碗。 一天，穷人在渔船上帮工时遇到了特大风浪，被海水冲
到一个小岛上，岛上的酋长看见穷人头顶的木碗，感到 非常新奇，便用一大口袋珍珠宝石换走了木碗，派人把 穷人送回了家。 富翁听说木碗换回这么多宝贝，也想去碰碰运气。富翁 装了满满一船山珍海味和美酒，运到小岛。 酋长高兴地接受了富人送来的礼物，声称要送给他最珍 贵的东西。
西方经济学第三章02序数效用论
西方经济学第三章02序数效 用论
• 序数效用论概述 • 消费者偏好与无差异曲线 • 预算线与消费者均衡 • 序数效用论的局限性与发展
01
序数效用论概述
定义与特点
定义
序数效用论是一种经济学理论，它认为消费者在选择商品时 ，会根据自己的偏好程度对商品进行排序，而不是用具体的 效用数值来衡量。
特点
序数效用论强调消费者对于商品的主观感受和偏好程度，而 不是商品的客观属性和效用。消费者会根据自己的偏好程度 对商品进行排序，选择最符合自己偏好的商品。
相对性
偏好是相对于不同商品或服务 而言的，同一商品或服务在不 同情境下可能有不同偏好。
可变性
偏好会随着时间、环境等因素 的变化而发生改变。
无差异曲线的绘制方法
确定不同商品或服务的组合，并标注在坐标系中。
连接各点形成的曲线即为无差异曲线。
注意：同一无差异曲线上的点代表相同的效用水平，不同无差异曲线代表不同效用 水平。
无差异曲线的特性
互斥性
无差异曲线上的商品或服务组合 是互斥的，即不能同时增加某一 商品或服务的数量而不减少其他
商品或服务的数量。
凸性
无差异曲线凸向原点，即随着某 一商品或服务数量的增加，为了 维持相同的效用水平，其他商品
或服务的数量需要相应减少。
可传递性
如果点A的无差异曲线优于点B的 无差异曲线，且点B的无差异曲 线优于点C的无差异曲线，那么 点A的无差异曲线必然优于点C
的无差异曲线。
无差异曲线与消费者偏好的关系
无差异曲线反映了消费者对不同 商品或服务的偏好程度，离原点 越远的无差异曲线代表效用水平
越高。
消费者在消费过程中会选择效用 水平最高的无差异曲线所对应的
• 序数效用论概述 • 消费者偏好与无差异曲线 • 预算线与消费者均衡 • 序数效用论的局限性与发展
01
序数效用论概述
定义与特点
定义
序数效用论是一种经济学理论，它认为消费者在选择商品时 ，会根据自己的偏好程度对商品进行排序，而不是用具体的 效用数值来衡量。
特点
序数效用论强调消费者对于商品的主观感受和偏好程度，而 不是商品的客观属性和效用。消费者会根据自己的偏好程度 对商品进行排序，选择最符合自己偏好的商品。
相对性
偏好是相对于不同商品或服务 而言的，同一商品或服务在不 同情境下可能有不同偏好。
可变性
偏好会随着时间、环境等因素 的变化而发生改变。
无差异曲线的绘制方法
确定不同商品或服务的组合，并标注在坐标系中。
连接各点形成的曲线即为无差异曲线。
注意：同一无差异曲线上的点代表相同的效用水平，不同无差异曲线代表不同效用 水平。
无差异曲线的特性
互斥性
无差异曲线上的商品或服务组合 是互斥的，即不能同时增加某一 商品或服务的数量而不减少其他
商品或服务的数量。
凸性
无差异曲线凸向原点，即随着某 一商品或服务数量的增加，为了 维持相同的效用水平，其他商品
或服务的数量需要相应减少。
可传递性
如果点A的无差异曲线优于点B的 无差异曲线，且点B的无差异曲 线优于点C的无差异曲线，那么 点A的无差异曲线必然优于点C
的无差异曲线。
无差异曲线与消费者偏好的关系
无差异曲线反映了消费者对不同 商品或服务的偏好程度，离原点 越远的无差异曲线代表效用水平
越高。
消费者在消费过程中会选择效用 水平最高的无差异曲线所对应的
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3-7 訊息經濟學
1.不對稱訊息 指買者與賣者對ㄧ交易有不同之訊息，在不對稱 訊息下，易造成逆選擇與道德風險問題。 2.逆選擇: 即某些個人特質難以觀察，例如二手車市場， 改善的方法是透過傳訊機制(signal)提供產品保證。 3.道德風險: 即個人是否善盡義務難以觀察，改善的方 法是加強監督及實施考評制度(screening) 。
3-5 價格效果
價格效果 以 P 為例 = 替代效果 + 所得效果
正常財 + + + 劣等財 ห้องสมุดไป่ตู้ or + 季芬財 + #季芬財ㄧ定是劣等財，劣等財不一定是季 芬財
3-6 顯示性偏好理論
1.顯示性偏好 如存在A，B兩種消費組合，若消費者購買 A組，其原因不外乎 (1)A組比較便宜 (2)A組合偏好於B組合 2.顯示性偏好的弱性公理(WARP) 如A組合直接顯示偏好於B組合，則B組合 就不可能又直接顯示偏好於A組合。
2.邊際替代率(MRS) 維持效用不變，消費者為了多使用依單位的X， 所願意放棄y的數量。 MRS = -△Y = MUx △X MUy
3-2 無異曲線(續)
3.邊際替代率遞減法則 維持效用不變，邊際替換率隨著X財貨使 用量的增加，而呈遞減的趨勢。 4.無異曲線的特性 a.負斜率 b.凸向原點 c.離原點愈遠，效用愈大。 d.任意兩條無異曲線不得相交
(2)完全互補
(3) 完全替代
3-3 預算線
1.預算線 財貨價格已知下，維持名目所得不變，兩 種財貨X，Y之購買可能組合軌跡。 預算線方程式 Px X +Py Y = M
3-4 消費者均衡
1.ㄧ般情況
均衡條件: MRS=Px/Py Px X + Py Y = M 2.完全互補時 U = min X/α，Y/β 均衡條件: X/α = Y/β Px X + Py Y = M
3-2 無異曲線(續)
5.偏好改變對無異曲線的影響 當無異曲線變陡，表對X偏好提高。 當無異曲線變平，表對Y偏好提高。 6.效用函數單調轉換後並不改變其偏好 如何判斷兩函數為單調轉換函數，可直接算 兩者的MRS，若MRS相同，可知為單調轉換 函數。
3-2 無異曲線(續)
7.無異曲線形狀 (1)ㄧ般情況(C-D)
第三章 序列效用分析法
序列效用分析之基本假設 無異曲線 預算線 消費者均衡 價格效果 顯示性偏好理論 訊息經濟學
3-1 序列效用之基本假設
1.理性消費者 2.效用無法用數字衡量 3.符合消費者行為公理 a.唯一性 b.遞移性
3-2 無異曲線
1.無異曲線 維持消費者效用不變，兩種財貨x，y之各種可能 組合的軌跡。