2011-10-23 第3讲-位值原理和数的进制(数论综合)
位值原理的概念及基本应用
位值原理的概念及基本应用1. 位值原理的定义位值原理是计算机科学中的一个基本概念。
它是指数字中不同位置上的数字所表示的数值是不同的，这是由位的位置所决定的。
在计算机中，我们使用二进制来表示数字，其中每一位上的数字只能是0或1。
每一位上的数字的权值是根据位的位置决定的。
2. 位值原理的基本原理位值原理是基于二进制数系统的。
在二进制数系统中，每一位上的数字都代表了某个权值。
例如，在一个字节（8位）中，最右边的位的权值是20=1，依次向左，每一位的权值都是前一位的2倍。
因此，第二位的权值是21=2，第三位的权值是2^2=4，以此类推。
3. 位值原理的基本应用3.1 数字表示位值原理在计算机中用于数字的表示。
通过不同位置上的数字的权值，我们可以在二进制数中表示各种数字。
例如，一个字节可以表示的数字范围是从0到255，根据位值原理，我们可以使用不同位置上的数字的权值相加来表示不同的数字。
3.2 逻辑运算位值原理在逻辑运算中也有广泛的应用。
例如，计算机的逻辑门电路中，每个输入和输出都是由二进制数字表示的。
通过对不同位置上的数字进行逻辑运算，我们可以实现各种复杂的逻辑操作。
3.3 存储和传输位值原理也被广泛应用于计算机的存储和传输中。
计算机的存储器通常以字节为单位进行存储，每个字节都由8位二进制数组成。
通过位值原理，计算机可以将数据以二进制的形式存储在存储器中，并在需要时进行读取和处理。
在计算机的通信中，也使用二进制表示数据，通过不同位置上的数字进行传输和解析。
3.4 图形显示位值原理在图形显示中也有应用。
计算机中的图像可以通过像素点的颜色来表示。
每个像素点的颜色都可以使用RGB格式表示，其中每个颜色分量都使用8位二进制数字来表示，通过位值原理，我们可以表示各种丰富的颜色。
4. 总结位值原理是计算机中的一个基本概念，它是我们理解二进制数系统和计算机运算的基础。
通过位值原理，我们可以实现数字的表示、逻辑运算、存储和传输以及图形显示等功能。
五年级数学奥数讲义-位值原理与数的进制(学生版)
“位值原理与数的进制”学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，=1二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
【试题来源】【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba 的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。
【试题来源】【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？【试题来源】【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。
位值原理与数的进制
位值原理与数的进制位值原理是指在其中一进位制数中，每一位的权值是逐位递增的，即从低位到高位，每一位的权值所代表的数值是上一位权值的进位操作，通常以10进制作为例子进行说明。
数的进制则是指用多少个不同的数位来表示一个数的概念。
常见的进制有二进制、八进制、十进制和十六进制等。
一、位值原理（以十进制为例）在十进制中，每一位的数值是上一位的数值乘以10的权值次方。
即从右到左，第1位权值为10^0=1，第2位权值为10^1=10，第3位权值为10^2=100，第4位权值为10^3=1000，以此类推。
例如，数值5274在十进制中，表示为：5*10^3+2*10^2+7*10^1+4*10^0即：5000+200+70+4=5274二、数的进制1.二进制：使用0和1来表示数值。
每一位的权值是上一位权值的2倍。
例如，数值1011表示为：1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0即：8+0+2+1=112.八进制：使用0到7的八个不同数位来表示数值。
每一位的权值是上一位权值的8倍。
例如，数值231表示为：2*8^2+3*8^1+1*8^0即：128+24+1=1533.十六进制：使用0到9的十个数位和A到F的六个字母来表示数值。
每一位的权值是上一位权值的16倍。
例如，数值ABC表示为：10*16^2+11*16^1+12*16^0即：2560+176+12=2748三、进制转换在进制转换中，下面的方法可以用来将一个数从一种进制转换为另一种进制：1.从十进制转换为其他任意进制：使用除数取余法将十进制数依次除以进制数，直到商为0为止，将每次的余数逆序排列即可得到结果。
2.从其他进制转换为十进制：将每一位数的权值乘以对应的进制数，再将结果相加即可得到十进制数。
3.在其他任意进制之间转换时，可以先将数值转换为十进制，再由十进制转换为目标进制。
四、应用场景不同的进制在计算机科学和信息技术中有着广泛的应用。
其中，二进制在计算机内部用于数据的存储和处理，八进制和十六进制则常用于表示和调试二进制数，简化了长二进制数的书写方式。
第三讲 数论专题 - 学生版
一、带余除法的定义及性质：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
(1)当 时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
(2)当 时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商
【例2】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______。
【例3】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。
【巩固】学前班有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们尽可能地平均分给每位小朋友。余下的苹果、饼干、糖的数量之比是1∶2∶3，问学前班有多少位小朋友？
【例4】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是
570，求这个自然数。
【拓展】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条
件的自然数最小为____。
【例5】已知a=20082008…2008，问：a除以13所得的余数是______。
2008个2008
例如对上面的问题加上限制条件满足上面条件最小的自然数那么我们可以计算270321245235723????????得到所求如果加上限制条件满足上面条件最小的三位自然数我们只要对最小的23加上357即可即23105128
第三讲数论专题
重点知识点：
一、整除性质
①如果自然数a为M的倍数，则ka为M的倍数。(k为正整数)
【例3】一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数。满足条件的两位数为_____。
位值原理教案
位值原理教案一、教学目标1、让学生理解位值原理的基本概念和重要性。
2、帮助学生掌握运用位值原理解决数学问题的方法。
3、培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二、教学重难点1、重点：位值原理的概念和运用方法。
2、难点：如何引导学生将复杂的数学问题转化为位值原理的应用。
三、教学方法1、讲授法：讲解位值原理的概念和相关知识。
2、练习法：通过练习题让学生巩固所学内容。
3、讨论法：组织学生讨论问题，激发学生的思维。
四、教学过程1、导入通过一个简单的数字谜题引入位值原理的概念，比如：一个两位数，十位数字是 5，个位数字是 3，这个数是多少？让学生思考数字在不同位置上的意义。
2、知识讲解（1）解释位值原理的定义：每个数字在数中的位置不同，所表示的数值也不同。
以三位数为例，如 321，百位上的 3 表示 3 个百，即300；十位上的 2 表示 2 个十，即 20；个位上的 1 表示 1 个一，即 1。
所以 321 就是 300 ＋ 20 ＋ 1 ＝ 321 。
（2）举例说明位值原理的应用，如：一个三位数，它的百位数字比十位数字大 2，十位数字比个位数字大 3，个位数字是 4，这个三位数是多少？3、练习巩固（1）给出一些简单的练习题，让学生根据位值原理写出数字的组成。
例如：47 是由（）个十和（）个一组成的。
（2）给出一些稍微复杂的题目，让学生运用位值原理解决问题。
比如：一个两位数，个位数字与十位数字之和是 8，个位数字比十位数字大 2，这个两位数是多少？4、小组讨论将学生分成小组，讨论以下问题：（1）在生活中，还有哪些地方用到了位值原理？（2）位值原理对于数学学习有什么重要意义？5、课堂总结（1）回顾位值原理的概念和应用方法。
（2）强调位值原理在数学中的重要性。
6、作业布置（1）完成课本上关于位值原理的练习题。
（2）让学生自己编写一道运用位值原理解决的数学问题，并解答。
五、教学反思在教学过程中，要注重引导学生思考，让他们通过自己的努力理解位值原理。
位值原理与数的进制
【例 9】将4个不同的数字排在一起,可以组成24个不同的四位数( ).将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数;按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3０00～４000之间.求这2４个四位数中最大的那个．
【巩固】如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加 ，这里A表示一个看不清的数码,求这个数和A。
【巩固】某八位数形如 ,它与3的乘积形如 ,则七位数 应是多少?
【例 7】一个六位数 ,如果满足 ,则称 为“迎春数”(例如 ,则102564就是“迎春数”)．请你求出所有“迎春数”的总和．
【巩固】(2０08年“华杯赛”决赛）设六位数 满足 ，请写出这样的六位数.
二、数的进制
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外,还有其他的大于１的自然数进位制。比如二进制，八进制,十六进制等。
二进制:在计算机中,所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是１、21、２2、23、……,二进制数也可以写做展开式的形式，例如１00110在二进制中表示为:(10011０)2=１×２5+0×24＋０×23+1×2２+1×２1+０×２0。
【巩固】一辆汽车进入高速公路时，入口处里程后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问:再行多少小时,可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。
【巩固】将四位数的数字顺序重新排列后,可以得到一些新的四位数．现有一个四位数码互不相同,且没有0的四位数 ,它比新数中最大的小3８34,比新数中最小的大４３38.求这个四位数.
位值原理
2
知识要点屋
2. 按位计算 ⑴ 数字整体出现，可不拆开。 ⑵ 利用倍数关系，推导数字。（整除）
【例5】 (★★★) 求一个三位数 它等于抹去它的首位数字之后剩 求一个三位数，它等于抹去它的首位数字之后剩 下的两位数的4倍与25之差。 求原来的三位数。
知识大总结
1. 位值原理 ⑴ 相同数字在不同数位表示不同数值. 同 字在 同 表 同 值 ⑵ 用途，拆开按位计算.如： abc 100a 10b c 2. 按位计算 ⑴ 数字整体出现，可不拆开。 ⑵ 利用倍数关系，推导数字。（整除）
3
(★★) 【课前小练习】 2 一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大4，求这 2、 一个两位数 各位数字的和的5倍比原数大4 求这 个两位数。
1
【例1】 (★★) 在一个两位数的两个数字中间加一个0 那么所得的 在一个两位数的两个数字中间加一个0，那么所得的 三位数比原数大8倍，求这个两位数。
【例2】 (★★☆) 把 个两位数的个位数字与其十位数字交换后得 把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得 到一个新数，新数与原数的和恰好是某个自然数 的平方，那么这个和是多少？ 平 ，那
【例3】 (★★★) 证明：判断一个多位数 证明：判断 个多位数 abcde 能否被9整除，只要 能否被9整除 只要 判断该多位数的数字和能否被9整除即可。
【例4】 (★★★★) 有一个三位数 有 个三位数，把它的个位数移到百位上，百位和 把它的个位数移到百位上 百位和 十位上的数码相应后移一位成了一个新的三位数， 原三位数的2倍恰好比新三位数大1，求原来的三位 数。
位置原理
本讲主线
1. 简单位值原理介绍. 1 简单位值原理介绍 2. 与整除结合的推导.
位值原理
数的整除综合 质数与合数（ ） 质数与合数（一） 质数与合数（二） 因数与倍数（一） 因数与倍数（二） 余数问题——带余除法 同余 不定方程 余数问题 余数问题——物不知数 物不知数 完全平方数 整除问题 余数问题 约倍质合（一） 约倍质合（二） 数论综合（一） 数论综合（二）
超难数论技巧-费马小定理 超难数论技巧-余数为负数 数论型组合（ ） 数论型组合（一） 数论型组合（二）
例3
某些自然数 恰等于它的各位数字之和的16倍 求所有这样的自然数之和 某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍．求所有这样的自然数之和
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1234+2341+3412+4123
例1
例4 例2
1234+2341+3321+1242 将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到 将四位数的数字顺序重新排列后 可以得到一些新的四位数 些新的四位数．现有 现有一 个四位数码互不相同，且没有 的四位数 ，它比新数中最大的小 ，比新 数中最小的大 ．求这个四位数．
例5
小明打算做一个两位数乘以三位数的乘法，但粗心的他在计算时遗留掉了 小明打算做一个两位数乘以三位数的乘法 但粗心的他在计算时遗留掉了 乘号，从而将两位数直接放在三位数的左边，形成了一个五位数，该五位 数恰好为应得的乘积的9倍，问：原来的两个数的乘积是多少？ 应得 乘 ， 原来 个 乘 多少
2
位值原理
课程的目的 横扫一切小学奥数数论题 横扫 切小学奥数数论题 从最基础的知识点一直讲到全国最高难度
大纲与配套资料
讲次 1 2 3 4 讲名称 位值原理 数的整除特征（一） 数的整除特征（二） 进位制
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3. 某校的学生总数是一个三位数，平均每个班35人。统计员提供的学生总数比实际 总人数少270人。原来，他在记录时粗心地将这个三位数的百位与十位的数字对调了。 这个学校学生最多是多少人？
专题六 位值原理和数的进制
六 、挑战自己（难度等级 ※※※※）
专题七 数字迷与数阵图
一 、专题知识点概述
数字迷加减法
专题七 数字迷与数阵图
二 、重点难点解析
1. 加减乘数运算的规律和性质 2. 拆分数字推理其他数字的方法和思想 3. 与数论的结合
三 、竞赛考点挖掘 1. 横竖式的数字迷（个位律、借位进位） 2. 数阵图的单和与总和（特殊格点） 3. 杯赛中经常会出现数字谜的问题，但是小升初的考试中很少见到
专题七 数字迷与数阵图
专题六 位值原理和数的进制
一 、专题知识点概述
数的进制 n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”， n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右； 有括号时先计算括号内的。 进制间的转换：如右图所示。
八进制
十进制
二进制
十六进制
专题六 位值原理和数的进制
二 、重点难点解析
四 、习题讲解
【例1】（难度等级 ※※） 有一个五位数，在某一位数字后加上一个小数点，得到一个小数，再 把这个小数和原来的五位数相加，得数79358.73，求这个五位数?
【分析与解】 由于是整数与小数相加，所以73是这个五位数的后两位， 列横式倒推法得原数78573
专题七 数字迷与数阵图
四 、习题讲解
专题六 位值原理和数的进制
四 、习题讲解
【例2】（难度等级 ※※）
【例3】（难度等级 ※※）
专题六 位值原理和数的进制
四 、习题讲解
【例4】（难度等级 ※※）
【例5】（难度等级 ※※）
专题六 位值原理和数的进制
四 、习题讲解
【例6】（难度等级 ※※※）
专题六 位值原理和数的进制
四 、习题讲解
数字迷乘除法
专题七 数字迷与数阵图
一 、专题知识点概述
数阵图 1、从整体和局部两种方向入手，单和与总和 2、区分数阵图中的普通点（或方格），和关键点（方格） 3、在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些 关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围 4、运用已经得到的信息进行尝试（试数）
第3讲
专题六：位值原理和数的进制 专题七：数字迷和日 周四
电话：400-810-2680
专题六 位值原理和数的进制
一 、专题知识点概述
位值原理 位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的 数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外， 还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一， 写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则， 称为写数的位值原理。 位值原理的表达形式：以六位数为例：
1．对于数位概念的理解与运用。 2．位值原理的一般表示方法以及在实际问题中的灵活应用。 3．各进制间的互化与四则混合运算。 4．进制与位值原理的关联在于各进制都是位置值。 三 、竞赛考点挖掘 1．位值原理中代数思想的引入以及与进位、计数等知识点的综合运用。 2．解题中与同余等其它相关数论知识点的结合。
a b cd ef
=a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
专题六 位值原理和数的进制
一 、专题知识点概述
数的进制 二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。 因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……， 二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为： (100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。 二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”， 乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
【例7】（难度等级 ※※※※）
专题六 位值原理和数的进制
五 、课后思考
1. 有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可得到一个三位数， 如果把1加写在它的后面，那么也可以得到一个三位数， 而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。 2. 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的 反序数)，新数比原数大8802。求原来的四位数。
【例2】（难度等级 ※※）
【例3】（难度等级 ※※）
专题七 数字迷与数阵图
四 、习题讲解
【例4】（难度等级 ※※※）
专题七 数字迷与数阵图
四 、习题讲解
【例5】（难度等级 ※※※）
专题七 数字迷与数阵图
五 、课后思考
专题七 数字迷与数阵图
五 、课后思考
专题七 数字迷与数阵图
六 、挑战自己（难度等级 ※※※※）
专题六 位值原理和数的进制
四 、习题讲解
【例1】（难度等级 ※※）
a 某三位数 a b c 和它的反序数 c b a 的差被99除，商等于 与 的差；b 与 的差被9除，商等于 与 的差；b 与b a 的和被11除，商等于 与 的和。 a
ba
【分析与解】 本题属于基础型题型。我们不妨设a＞b＞c。①( a b c - c b a ）÷99=[(100a+10b+c)-(100c +10b+a)]÷99=(99a-99c)÷99=a-c；②( a b - b a ）÷9=[(10a+b)-(10b+a)]÷9=(9a-9b)÷9 =a-b； ③( a b + b a）÷11=[(10a+b)+(10b+a)]÷11=(11a+11b)÷11=a+b。