清华附中2012-2013学年初二第二学期期末数学试卷

清华附中2012-2013学年初二第二学期期末试卷数学（清华附中初11级） 2013．7一、选择题：（每题3分，共24分）1． ）A ．BCD ．272．下面计算正确的是（ ）A ．3=B 3=C 35=D ．2=-3．一个矩形的两条对角线的夹角为60°，且对角线的长度为8cm ，则较短边的长度为（ ）A ．8cmB ． 6cmC ．4cmD ． 2cm 4．下列图形中是中心对称图形，但不是．．轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2210x x+= B ．20ax bx c ++=C ．223253x x x --=D ．(1)(2)1x x -+=6．顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是（ ）A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形7．关于x 的方程240x x a -+=有两实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a ≤B ．4a <C ．4a >D ．4a ≥8．Rt △ABC 中，AB =AC ，点D 为BC 中点．∠MDN =90°，∠MDN 绕点D 旋转， DM 、DN 分别与边AB 、AC 交于E 、F 两点，下列结论 ： ①()2BE CF BC +=；② 14AEFABCS S ≤；③S 四边形AEDF =AD ·EF ；④ AD ≥EF ；⑤ AD 与EF 可能互相平分，其中正确结论的个数是 （ ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题：（每题3分，共24分） 9x 的取值范围是 ． 10．＝ ．11．关于x 的方程220x mx m -+=的一个根为1，则m 的值为 ． 12．若关于x 的方程290x kx ++=有两个相等的实数根，则k = __________． 13．如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转80°得到△OCD ，若∠A =110°，∠D =40°，则∠α的度数是 。

14．如图，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO ′B ′，则点B ′的坐标为 ．15．如图，正方形ABCD 中，点E 在DC 边上，DE ＝2，EC ＝1，把线段AE 绕点A旋转，使点E 落在直线．．BC 上的F 点，则F 、C 两点间的距离为 ．第13题图第14题图 第15题图16．如图，在直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…、A n B n C n C n -1的顶点A 1、A 2、A 3、…、A n 均在直线y ＝kx ＋b 上，顶点C 1、C 2、C 3、…、C n 在x 轴上，若点B 1的坐标为（1，1），点B 2的坐标为（3，2），那么点A 4的坐标为 ，点A n 的坐标为 ．三、解答题：（17～20，23题每题5分，21，22每题6分，24题7分，25题8分，共52分，如无．．特别说明，．．．．．解答题中的填空均直接写答案．．．．．．．．．．．．．） 17．解方程：2450x x --=18．01)19．已知：a = 1，求222013a a -+的值．20．求证：a 取任何实数时，关于x 的方程()213210ax a x a --+-=总有实数根．21．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AC ⊥AB ，AB =2，且AC ︰BD =2︰3．(1) 求AC 的长； (2) 求△AOD 的面积．22．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，恰好用完，试求AB的长，使矩形花园的面积为300m2．23．5个同样大小的正方形纸片摆放成“十”字型，按图1所示的方法分割后可拼接成一个新的正方形．按照此种做法解决下列问题：（1）5个同样大小的矩形纸片摆放成图2形式，请将其分割并拼接成一个平行四边形．要求：在图2中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个．．符合条件的平行四边形即可）；（2）如图3，在面积为1的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．则平行四边形MNPQ的面积为__________（在图3中画图．．说明）．24．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）证明：△A BM≌△EBN（2）当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM＋BM＋CM的最小值为1时，则正方形的边长为．E25．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分EF线分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE，求证：四边形AFCE为菱形；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t＝．②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则a与b满足的数量关系式为．附加题(每题4分，共20分)26．若2，m ，4＝ ．27．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．28．设0>>m n ，若()22-=m n mn，则22m n mn-＝ ． 29．关于x 的方程()28810x k x k -++-=有两个整数根，则整数k ＝ ． 30．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C ．设AC 中点为E ，A′B′中点为P ，AC ＝2，连接EP ，当θ= °时，EP 长度最大，最大值为 ．初二第二学期期末试卷数学答题纸一、选择题：（每题3分，共24分）二、填空题：（每题3分，共24分）（1）（2）平行四边形MNPQ 的面积为24． （1） （2）（3）正方形的边长为．EA（1）（2）①t＝．②a与b满足的数量关系式为．附加题(每题4分，共20分)初二第二学期期末试卷数学参考答案一、选择题：（每题3分，共24分）二、填空题：（每题3分，共24分）261-2-=321020．当a ＝0时，原方程为－x －1＝0，x ＝－1，此时方程有实根； ……1分当a ≠0时，原方程为一元二次方程，()()2221342196184a a a a a a a ∆=----=-+-+⎡⎤⎣⎦()222110a a a =-+=-≥ ，原方程有实根， ……4分综上所述，a 取任何实数时，原方程总有实数根. ……5分 21．解：（1）如图∵平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，∴OA =12AC ，OB =12BD …………… 1分∵AC ︰BD =2︰3，∴OA ︰OB =2︰3 .设OA =2x (x >0)，则OB =3x .∵AC ⊥AB ， ∴∠BAC =90°.在Rt △OAB 中，OA 2+AB 2=OB 2.…… 2分 ∵AB =2，∴(2x )2+22=(3x )2 .解得x =±255(舍负).∴AC =2OA = 855. ………………………………… 4分（2）∵平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，∴OB =OD .∴S △AOD = S △AOB = 12 AO ·AB = 12×455×2= 455. ………… 6分22．解：设AB=x m ，则BC=（50﹣2x ）m ． ………… 1分 根据题意可得，x （50﹣2x ）=300， ………… 3分 解得：x 1=10，x 2=15， ………… 4分 当x =10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x 1=10（不合题意舍去）， ………… 5分 答： AB 的长为15米． ………… 6分23．（1）如图2所示：拼接成的四边形是平行四边形；；…………………… 2分（2）正确画出图形（如图3）…………………… 4分故平行四边形MNPQ的面积为：15…………5分24．解：（1）∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN，即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………3分（2）如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小. (4)理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形，∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长……………….……6分（3……………….……7分F B C过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ，∴∠EBF ＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x ，则BF ＝23x ，EF ＝2x . 在Rt △EFC 中，∵EF 2＋FC 2＝EC 2，∴)222122x x x ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得，x ＝2（舍去负值）.∴正方形的边长为225．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC ∴CAD ACB ∠=∠，AEF CFE ∠=∠ ∵EF 垂直平分AC ，垂足为O ∴AOE ∆≌COF ∆ ∴OA OC = ∴OE OF = ∴四边形AFCE 为平行四边形又∵EF AC ⊥ ∴四边形AFCE 为菱形….……4分 (2)①4t =秒 ……….……6分显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上，也不能构成平行四边形. 因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形 ∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC QA = ∵点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒 ∴5PC t =，124QA t =- ∴5124t t =-，解得43t =∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，43t =秒.②a 与b 满足的数量关系式是12a b +=……….……8分A BCDEFOQ由题意得，以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时， 点P 、Q 在互相平行的对应边上，分三种情况：i)如图1，当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时，AP CQ =，即12a b =-，得12a b += ii)如图2，当P 点在BF 上、Q 点在DE 上时，AQ CP =， 即12b a -=，得12a b += iii)如图3，当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时，AP CQ =，即12a b -=，得12a b += 综上所述，a 与b 满足的数量关系式是12a b +=(0)ab ≠附加题(每题4分，共20分)Q图1图2图3。