高数2-1导数的概念

∆ s = s 1 − s 0 = s (t 0 + ∆ t ) − s (t 0 )
园切线的定义：与园曲线只有一个交点的直线。 园切线的定义：与园曲线只有一个交点的直线。 该定义不适合于一般曲线，例如 y=x2 与两坐标轴都只有一个 该定义不适合于一般曲线， = 交点，而只有 轴是它的切线 轴是它的切线。 交点，而只有x轴是它的切线。 c p 切线的一般定义： 切线的一般定义： t 是连续曲线c上的一个定点 是曲线上另一点， 设p是连续曲线 上的一个定点，q是曲线上另一点，过点 与点 是连续曲线 上的一个定点， 是曲线上另一点 过点p与点 q作一条直线 ，称pq为曲线 的割线，当点 沿着曲线 趋于定 作一条直线pq， 为曲线c的割线 沿着曲线c趋于定 作一条直线 为曲线 的割线，当点q沿着曲线 的极限位置pt称为曲线 上点p处的切线 点p时，割线 的极限位置 称为曲线 上点 处的切线。 时 割线pq的极限位置 称为曲线c上点 处的切线。 2、平面曲线的切线斜率 设曲线的方程为 y = f ( x)， 求此曲线上点（ x 0 , f ( x 0 )）处的 切线斜率。 切线斜率。
5
二、导数的定义 p49 函数在点x 处的导数定义： 1、函数在点 0处的导数定义： 定义： 定义： 设函数 y = f ( x )在 x 0的某一邻域 U ( x 0 , δ )内有定义， 内有定义，
自变量在 U ( x 0 , δ )内从 x 0变化到 x 0 + ∆ x时，相应的函数有增量 ∆y 的极限存在， 的极限存在， ∆ y = f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ).如果 ∆ x → 0时，比式 ∆x 处可导， 则称函数 f ( x )在 x 0 处可导，并称这个极限 值为函数在 x 0 处的 导数 . 记作 : f '( x0 ), 或 ' y
是割线P 的斜率 的斜率k 是割线 0P的斜率
α O
x0
（3）当 ∆ x → 0时 , 点 P 沿 P1 , P2 ⋯ 无限逼近 P0，割线 P0 P 的极限 位置就是切线 P0 T
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆y （4） 若极限 lim = lim 存在 , ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x 的斜率。 这极限就是切线 P0T的斜率。
∆y =0 ∆x
f ′ (x
)=
∆x→ 0
lim
∆y = 0 ∆x
(c)′ = 0
9
例3求函数 求函数 解
f ( x ) = x n (n为正整数 )在x = a处的导数。 处的导数。
xn − an f ( x ) − f (a ) = lim f ′(a ) = lim x→a x →a x−a x−a
4
q
y
（1） 当 x 0 有增量 ∆ x时，
f ( x0 + ∆x)
P1 • P2•
•
P
T
y = f ( x )有增量 ∆ y = f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 );
（2）比值
f ( x0 )
P0
ϕ
•
N
x0 + ∆x
x
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆y = ∆x ∆x
注：导数公式的其他表示形式： 导数公式的其他表示形式： f (x0 + h) − f ( x0 ) f '( x0 ) = lim 0 h→ h f ( x) − f (x0 ) f '( x0 ) = lim x→x0 x − x0 2.单侧导数： 2.单侧导数： 单侧导数 f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆y 左导数: 左导数: 若极限 lim − 存在， = lim − 存在， ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x − 处的左导数。 则称这极限为 f ( x )在 x = x 0 处的左导数。记为 f ' ( x 0 ). f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆y 若极限 lim + = lim + 存在， 存在， 右导数: 右导数: ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x + 处的右导数。 则称这极限为 f ( x )在 x = x 0 处的右导数。记为 f ' ( x 0 ). 3.导数存在的充要条件： 3.导数存在的充要条件： 导数存在的充要条件
第二章
导数与微分
1
第一节
直线运动的速度
导数的概念
左、右导数
抽象出
导数的定义 导数的几何意义
切线问题
函数的可导性与连续性的关系
2
第一节
一、几个实例 1、变速直线运动的瞬时速度 运动方程: 运动方程:
导数的概念
s s1 ∆s s0 O t0
s = s(t )
s = s(t )
（1） t 0变化到 t 1时有增量 ∆ t , ∆ t = t1 − t 0
O
x
f '(0− ) ≠ f '(0+ )
13
点不可导， 点连续。 该函数在 x=0点不可导，但前面已知这个函数在 x=0点连续。 点不可导 点连续
例2 证明
处连续，但不可导。 证明 f ( x ) = 3 x 在 x = 0处连续，但不可导。
∵ 0是初等函数
3
3
x 定义域内的点 ∴ 3 x 在x = 0处连续
(x )
µ
′
= µxµ−1
( )
1 1 −1 1 − 1 1 2 2 x = ( x )′ = x = x = 2 2 2 x
10
′
1 2
例4
∆x sin 2 sin( x + ∆ x ) − sin x ∆x 解：(sin x )' = lim = lim cos x + ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x 2 ∆x 2 = cos x
ah − 1 = a x lim = a x ln a . h→ 0 h
− ax h
(a )′ = a
x
x
lna.
(e )
x
′
= ex .
11
例6 求函数 y = ln x 的导数 解： ∀x ∈ (0,+∞)
当x 0时, 时 Ln(1+x)~x
ln( x + ∆ x ) − ln x (ln x )' = lim ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x ln( 1 + ) x = lim x = 1 = lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x x ∆x
y
x≥0 x y= x = 例1 x<0 − x f (∆x ) − f (0) − ∆x − f ' (0 ) = lim− = −1, = lim− ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x f (∆x ) − f (0) ∆x + f ' (0 ) = lim+ = lim+ =1 ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x
∀ 即: 对 x > 0,
1 (ln x)' = x
例7 设 f ( x ) = x sin x , 求 f ′(0 ).
x sin x − 0 f ( x ) − f (0 ) = lim =0 解 f ′(0 ) = lim x→0 x→0 x x−0
12
三.可导与连续的关系 处连续。 定理1 定理 若 y = f ( x )在点 x 0 处可导 , 则 y = f ( x )在点 x 0 处连续。 证明： 证明： lim ∆ y = lim ∆ x
n −1 = lim x n −1 + ax n− 2 + ⋯ + a n −1 = na .
x→a
(
)
f ' ( x ) = nx n −1 在上面的例子中， 在上面的例子中，将 a 换成 x 得 即 xn ′ = nxn−1
( )
更一般地， 更一般地，对于幂函数 y = x µ (µ为常数 )，有
x=x
dy , 或 , dx x=x
df . 或 dx x=x
即
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆y = lim f '(x0 ) = lim 0 x 0 ∆x→ ∆ ∆x→ ∆x
当上述极限不存在时， 称函数 ( x)在 0不可导。 f x 不可导。 当上述极限不存在时， ∆y x0 处的导数为无穷大 = 特别地， 特别地，若 lim = ∞ 则称 y= f ( x) 在 6 ∆x → 0 ∆ x 点
的导数。 求函数 y = sin x的导数。
(sin x)′ = cos x,
解
Hale Waihona Puke (cos x)′ = −sin x.
x+h
的导数。 例5 求函数 f ( x ) = a x , (a > 0 , a ≠ 1 )的导数。
a f ( x + h) − f ( x ) = lim f ′( x ) = lim h→ 0 h→ 0 h
∆x → 0 ∆x → 0
由定义知
f ( x )在点x0处连续
∆y ∆y = lim ∆ x lim = 0 • f ′( x 0 ) = 0 ∆x → 0 ∆ x ∆ x ∆x → 0
反之不真。 反之不真。
f ( x )在x 0点可导 ⇒ f ( x )在x 0点可导 ⇐
f ( x )在x 0点连续。 点连续。 f ( x )在x 0点连续。 点连续。
3 3 − 2 3
f ′(0) = lim
0 + ∆x − 0 ∆y ∆x = lim = lim = lim ∆x ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x