数模算法之最优控制模型(结合例子讲解,经典讲义)

tf
J u ( t )
即求：
C u (t), t H x (t), t dt .
t0
u * (t) U
使得：
J u * min J u ( t )
s.t. 上述约束。 （ii）求管理中的最优生产率 u ( t ) ――控制变量（决策变量） ， 使：生产率尽可能接近理想的生产率 u d ( t ) 库存量尽可能接近理想的库存量 x d ( t ) 理想水平 u d , x d 是一个理想的平衡状态： 如有干扰（扰动或条件变化） ，例如，市场销售量的突然变化破坏了这种平衡，则应尽 快通过控制变量 u ( t )（调整生产率） ，使该系统回到理想的平衡状态，此时的目标泛函应为： 由生产能力 和经验数据测定
J u ( t )
k x (t) x
tf t0
d (t)
2 h u (t) －u d (t) 2 dt 最小， k,
u ( t )U
h 为常数。
即求： u* U ，使 J u * ( t ) min J u ( t ) s.t.
( t ) u ( t ) s( t ) x 上述约束： x ( t 0 ) x 0 u ( t ) U
Remark： （评注）上述最优控制的离散模型：
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求 u * (i), x * (i) ，使得：
J u * (i) min
s.t.
k x (i) x (i)
n i 1 d
2
h u (i) u d (i
2

x (i 1) x (i) u (i) s(i) x ( 0) x 0 x ( i 1 ) x f (i) u (i) U
控制问题也称为泛函极值问题， 所以常用的方法即变分法、 极大值原理、 动态规划等。 注意：Ⅱ性能指标(或目标泛函)的不同提法：按照系统设计者不同着眼点来考虑给出： tf 一般形式为： J u ( ) x ( t f ), t f L x (t), u(t), t dt
dx 1 ( t ) t时刻速度 dt x 2 ( t ) dx ( t ) 状态方程： 2 u(t) g t时刻加速度 dt dm ( t ) t hf ( t ) h const t时刻飞船重量的变化 x 1 ( t 0 ) x 1 0 初始状态： x 2 ( t 0 ) x 2 0 m ( t ) M F 0
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月球
f (t) 实现软着陆 m
x(t) x 1 (t)
为飞船离月球的高度 ( t 时刻)
dx 1 ( t ) x 2 ( t ) 为飞船在 t 时刻的速度 dt m(t) M F(t) 为飞船在 t 时刻的重量
于是为约束方程：
f (t) 从而设计出推进力 f ( t ) 的程序） ，使所 m( t )
消耗的燃料 F 最少（即 m M F 最多能带多少燃料） 。 即： Ⅱ.
J u * ( t ) max m( t f )
uU
生产―库存―销售最优管理问题： 库存量 销售量要保持在一个合理的水平上，即最优管理问题，即如何
于是物体在 t 时的运动状态可描述成为：
dx 1 ( t ) dt x 2 ( t ) 状态方程： dx 2 ( t ) u ( t ) g dt
同时应满足初始状态：
f(t) u ( t ) （f 为控制函数） f m a a m
终端状态：目标集 S
初始高度 初始速度
x 1 ( t f ) 0 S：x 2 ( t f ) 0 m ( t ) F ( t ) f 1 f
控制约束： u ( t ) k 控制力 f m a m u ( t ) 受一定限制。
问题是：寻求一个合适的控制函数 u ( t ) （ u ( t )
而且使所用的时间最短，即： J u * min J ( u ) min
uU

tf
t0
dt min( t f 是存在的，则说 u * ( t ) 是该系统的最优控制(或极值控制)，而把对应的状态
u * ( t ) 叫做该系统的最优轨线(或极值轨线( u * ( t ) ， x * ( t ) )叫最优对， J ( u*) 叫最优性能指
u(t)
u(t) k
k const
问题： 是要寻找一个合适的作用力 u ( t ) 的变化规律， 使得 M S 最快的速度达到地点， 而且： 已知 elevation 的初始状态在 t t 0 时， M 离开地面的高度为 x ( t 0 ), M 的垂直运动速
(t 0 ) 。 度为 x 解：物体 M 应满足的运动规律（即与时间变量 t 有关的动态过程） ，因此，为描述物体运动 的状态，令： x 1 ( t ) x ( t ) ：为物体 M 离开地面的高度（ t 时刻） x 2 (t) dx 1 ( t ) ：为物体 M 在 t 时刻的速度 dt
转 移 到 终 端 状 态 ( 目 标 集 ：
S x ( t ) x ( t ) R n , g i ( x ) 0, h i ( x ) 0 )


x 1 (t f ) 0 x(t f ) 0 )， x (t ) ( 此 问 题 中 x(t f ) 2 f
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于是有以下条件来描述该系统的情况： 状态方程：
(t) x
初态： 终态： 约束：
dx ( t ) u ( t ) s( t ) dt
x(t 0 ) x 0 x ( t f ) 未知 0 u(t) U
决策目标： （指标泛函）有两种提法： （i） 求管理中的最优生产率――控制变量 （决策变量） ， 使生产费用和储存费用之总和最小。 生产费用 C ：与生产率 u ( t ) ，时间 t 有关，故记作： C u ( t ), t ； 库存费用 H ：与库存量 x ( t ) ，时间 t 有关，故记作： H x ( t ), t ； 于是最优管理问题：是求最优的生产率 u ( t ) 使总费用 J u ( t ) 最小，
一般最优控制问题也可分为：线性、非线性、连续和离散型。

t0
例如：上述同一个问题可解释为：登月飞船的软着陆问题： 问题：登月飞船 着陆问题： 设 ①飞船自重 M ，所带燃料为 F ，即
f g M M+F=m
m M F (飞船自重 M 燃料F )月球重力加速度为 g ；
② 飞船登陆月球时要先靠发动机产生一个与月球重力 方向相反的推力 f 所产生的加速度 u ( t ) （即登上月球时的速度为零） 问题：是如何选择最好的发动机推力程序 f ( t ) ，使燃料消耗最少。 解：约束条件及假设同升降机问题，即设
问题：生产量
组织或控制生产量，使库存量与销售量保持平衡。 分析：库存量大 则 库存量小 则 1. 积压资金周转；2. 库存费，损耗大。 1. 使商品脱销失去多获得利润的机会； 2. 用户因不能按合同提货，则厂方产品有被退货的风险，同样有失 去市场和赚钱的机会。 量化： x ( t ) ：表示在 t 时刻的实际库存量； ； u ( t ) ：表示在 t 时刻的实际生产速度（生产率） ； s( t ) ：表示在 t 时刻的实际销售速度（销售率）
x 1 ( t 0 ) x 1 0 初始高度 初始速度 x 2 ( t 0 ) x 2 0
路径条件(终值状态)：
x 1 ( t f ) 0 终端高度 终端速度 x 2 ( t f ) 0
控制约束：
u ( t ) k (k const)
目标函数：寻找一个 u ( t ) U (闭的函数类)，使你所用的总时间 t f t 0 最短，即使
标。 注意：1.上述的极值问题，求 J u * ( t ) min J u ( t ) ，函数 J () 的定义域是函数类 u ( t ) U ， 因此 J () 是泛函。因此，求 u* U ，使 J u * min J ( u ) 是求泛函的极值问题，故最优
uU
u ( t )U
x 1 (t) 或者说：在容许控制的函数类 U 中，找一个控制函数 u * ( t ) U ，使状态 x ( t ) x (t) 2
从 初 始 状 态
x 1 (t 0 ) x(t 0 ) x (t ) 2 0
J J u ( t )

tf
t0
dt t f t 0
取最小值
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或：寻求一个 u * ( t ) U ，使得：
J u * ( t ) J u ( t )
或：寻求一个 u * ( t ) U ，使得：
J u * ( t ) min J u ( t )
六、最优控制模型： （动态优化模型， DP ――Dynamical programming） Ⅰ. 最速升降问题（或登月飞船软着陆问题） 问题：① 设有一个物体 M（例如：直升飞机、升降机、 电梯）作垂直升降运动（设物体 M 的质量为 m） ； ② M 内部装有一个控制器，产生一个控制作用力 ，用以控制 M 的上下运动，由 u ( t ) （时间的函数） 于作用力 u ( t ) 大小有限，故满足一个约束不等式： M g x(t) x