4第四节高阶系统分析报告

推导单位阶跃响应（当所有闭环极点互不相等，且0 l 1 ）
Y (s)
A0 s
n1 j 1
Aj s pj
n2 l 1
Bl (s l nl ) Clnl 1 l 2
ห้องสมุดไป่ตู้
s2
2
l nl s
2 nl
3.4.2 高阶系统的瞬态响应
Y (s)
A0 s
A n1 j
j1 s p j
n2 l 1
3.4 高阶系统的时域分析
3.4.1 三阶系统的瞬态响应 3.4.2 高阶系统的瞬态响应 3.4.3 闭环主导极点
3.4.1 三阶系统的瞬态响应
在控制工程中，几乎所有的控制系统都是高阶系统，即 用高阶微分方程描述的系统。
对于不能用一、二阶系统近似的高阶系统来说，确定其 动态性能指标是比较复杂的。
n2 p3 2ns n2 )(s
p3 )
1 s
A0 s
s2
A1s A2
2ns n2
A3 s p3
式中：A0 [sY (s)] |s0 1
由
Y
( s)( s 2
2
ns
n2 )
|
s
jn
1
2
( A1s
A2 )
|
s
jn
1 2
可得：A1
2
2 ( ( 2)
2) 1
A2
[2 2 ( 2) 1]n 2 ( 2) 1
4.阻尼系数对三阶系统的影响与对二阶系统的影响相似。
3.4.1 三阶系统的瞬态响应--单位阶跃响应
y(t)
1.4
1.2
2
1
p3 n
0.8 4
1
0.6
0.4
0.2
0
nt
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
图中 ，表示无实极点。由图可见，加入实极点后，当不变 时，超调量下降了，但调节时间增加了。
p1
p1 n jn 1 2
p2 n jn 1 2
n p3
Im jn 1 2
Re
p3
1 T
p2
jn 1 2
这相当于在典型二阶系统的基础上增加了一个惯性环节，或 增加了一个实极点。
3.4.1 三阶系统的瞬态响应--单位阶跃响应
三阶系统的单位阶跃响应的表达式：
Y (s)
(s2
p3 n
表示实极点和共 轭复极点的相对 位置。
同理： A3
[( s
p3)Y (s)]
|s p3
1
2 (
2)
1
3.4.1 三阶系统的瞬态响应--单位阶跃响应
三阶系统的单位阶跃响应如下：
e p3t
y(t) 1 2 ( 2) 1
ent
2 ( 2)
{
1
2 (
2) c osd t
[
2( 1
2)
2
1] sindt}，t
0
三阶系统的单位阶跃响应的紧凑形式如下：
y(t)
1
2
e
(
p3t
2)
1
式中： d n 1 2
1
2
ent 2(
2)
1
s in(d t
),t
0
tg 1
( 2) 2(
1 2
2) 1
3.4.1 三阶系统的瞬态响应--单位阶跃响应
为参变量时三阶系统的单位阶跃响应曲线
Bl (s l nl ) Clnl 1 l 2
s2
2 l nl s
2 nl
A0是Y(s)在输入信号极点(s=0)处的留数，Aj是Y(s)在实数极
点(s=-pj)处的留数。Bl和Cl分别为Y(s)在共轭复数极点处留数
的实部和虚部。
m
A0
lim sY (s) s0
b0 a0
n1
kg zi
C e lnlt l
sin nl
l 1
l 1
由此可见：
1 l 2 t，t 0
⒈高阶系统的阶跃响应由简单函数项组成，即由一阶、二
阶系统的响应组成。
⒉ y(t)不仅与闭环极点 p j、 l nl j
3.4.2 高阶系统的瞬态响应
高阶系统分析:
(s) Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H (s)
设：G(s) A(s)，H (s) C(s)
B(s)
D(s)
(s)
A(s)D(s)
A(s)C(s) B(s)D(s)
R(s)
Y (s)
G(s) H (s)
闭环传递函数的零点由前向传递函数的零点和反馈传 递函数的极点构成。
工程上常采用闭环主导极点的概念对高阶系统进行近似 分析从而得到高阶系统动态性能指标的估算公式。
对于不能简化为低阶系统的高阶系统，可采用数值计算 的方法进行仿真，得出系统的瞬态性能指标。
3.4.1 典型三阶系统的瞬态响应
传递函数：(s)
Y (s) R(s)
(Ts
1)(s2
n2 2ns
n 2
)
当 0 < < 1 时，极点分布如下：
3.4.2 高阶系统的瞬态响应
高阶系统传递函数的一般形式为：
(s)
bmsm an s n
bm1sm1 ... b0 an1sn1 ... a0
mn
写成零极点形式：
m
kg (s zi )
(s) n1
i1 n2
(s p j ) (s2 2 kk s k2 )
j1
k 1
n1 2n2 n，m n
i 1
n2
pj
2 nl
j 1
l 1
Aj
lim (s
s p j
pj )Y (s)，j
1，2，...，n1
Bl和Cl的计算略。
3.4.2 高阶系统的瞬态响应--单位阶跃响应
高阶系统的单位阶跃响应
y(t) A0 n1 Aj e p jt j 1
n2
n2
B e lnlt l
c os nl
1l2t
y(t)
1.2
1
54
0.8
3
0.6
2
1: 0.5
1
2 : 1.0
0.4
3 : 2.0
0.2
p3 4 : 4.0
0
n 5 :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
nt
当＝无穷大时，即负实极点远离虚轴时，三阶系统即为典 型二阶系统的瞬态响应曲线。在一般情况下，0<<无穷大， 因此具有负实极点的三阶系统，比较二阶系统而言，其瞬态
响应的振荡性减弱，超调量减小，调节时间增加，也就是相
当于系统的惯性增加了。
3.4.1 三阶系统的瞬态响应--单位阶跃响应分析
y(t)
1
2
e (
p3t
2)
1
1
2
ent 2(
s in(d t 2) 1
),t
0
[分析]：三阶系统的单位阶跃响应由三部分组成：稳态项，共 轭复极点形成的振荡分量，实极点构成的衰减指数项分量。
⒈当>>1时，表示实极点远离虚轴，共轭复极点离虚轴近， 系统的瞬态特性主要由共轭复极点决定，呈二阶系统的特性， 即系统的特性由二阶系统的特征参数和n决定。
⒉当<<1时，表示实极点离虚轴近，共轭复极点离虚轴远， 系统的瞬态特性主要由实极点决定，呈一阶系统的特性。
⒊一般情况下三阶系统的阶跃响应与实极点和共轭复极点的 相对位置有关。