2014年安徽省合肥市高考文科数学二模试题及答案解析
安徽省合肥八中等2014届高三上学期联考(二)数学文试题含答案
安徽省合肥八中等2014届高三上学期联考（二）数学文试题本试卷分第I 卷（选择题）和第11誊（非选择题）两部分。
本卷满分 钟。
所有答案均在答题卷上，否则无效。
考试结束后只交答题卷。
第I 卷选择题（共50 分）、选择题（本题包括 10小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个选项符合题意。
答案填涂在答题卷的相应位置 ）2已知数列｛a n ｝的通项公式是a nn sin （1.已知平面向量 a (1,2),b (2, m),且a Pb ，贝U m=A . 1B .—C .1D .二2222已知集合M ｛ 2, 1,0,1,2}, N {x|x2x 8,xR},则 M INA . {— 1, 0, 1}B . {0 , 1} C.{0 , 1 , 2}D . {1 , 2} 数列 {a n }是首项a 1=4的等比数列，且4a 1, 35,—2a 3成等差数列，则其公比为A . 1B .— 1C . 1或—1D .已知 x , y , z 均为复数，则x z 2y 是x z 2y 0成立的什么条件A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件右ab 0,则下列不等式中总成立的是( )1 , 11 , 1A . a b —B . a b -b aa bb b 12a b aC .D .a a 1a 2b b将函数y =sin2x的图象向左平移4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是A . y=cos2xB .2y=2cos xC .y 1 si n(2x4）D . y 2sin 2x()(3.(4. (5.6. (7.150分，考试时间：1 20分 请把正确A . 116 cos( ) 32.2n 1 …)，则 aia 2 a 3在区间(a, a+1) (a Z)上有零点，则a=( ) A . 2 或一6B .1 或—7C . 2 或—7D .1或一6210.已知函数f(x) x mx m1nx ，以下四个命题中正确的个数有几个()①当m 0时，函数y f (x)有零点 ②若函数y f (x)有零点，贝U m 0 ③ 存在m 0 ,函数y f (x)有唯一的零点 ④ 若函数y f (x)有唯一的零点，贝U m 1 A . 1个B .2个C .3个D . 4个第H 卷非选择题(共100 分)二、填空题(本大题包括 5小题，每小题5分，共25分。
2014年高考真题精校精析纯word可编辑·2014高考真题解析2014·安徽卷(文科数学)
2014·安徽卷(文科数学)1． [2014·安徽卷] 设i 是虚数单位，复数i 3＋2i1＋i ＝( )A ．－iB ．iC ．－1D ．11．D [解析]i 3＋2i1＋i＝－i ＋2i （1－i ）2＝1.2． [2014·安徽卷] 命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否．定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2<0B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥02．C [解析]易知该命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”． 3． [2014·安徽卷] 抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．A [解析]因为抛物线y ＝14x 2的标准方程为x 2＝4y ，所以其准线方程为y ＝－1.4． [2014·安徽卷] 如图1-1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )图1-1A ．34B ．55C ．78D ．894．B [解析]由程序框图可知，列出每次循环过后变量的取值情况如下： 第一次循环，x ＝1，y ＝1，z ＝2； 第二次循环，x ＝1，y ＝2，z ＝3； 第三次循环，x ＝2，y ＝3，z ＝5； 第四次循环，x ＝3，y ＝5，z ＝8； 第五次循环，x ＝5，y ＝8，z ＝13； 第六次循环，x ＝8，y ＝13，z ＝21； 第七次循环，x ＝13，y ＝21，z ＝34；第八次循环，x ＝21，y ＝34，z ＝55，不满足条件，跳出循环． 5． [2014·安徽卷] 设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b5．B [解析]因为2>a ＝log 37>1，b ＝21.1>2，c ＝0.83.1<1，所以c <a <b .6． [2014·安徽卷] 过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π3C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π36．D [解析]易知直线l 的斜率存在，所以可设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0.因为直线l 圆x 2＋y 2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l 的距离|3k －1|1＋k 2≤1，即k 2－3k ≤0，解得0≤k ≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.7． [2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin2x ＋cos2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π47．C [解析]方法一：将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8.8． [2014·安徽卷] 一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是( )图1-2A.233B.476C ．6D ．7 8．A [解析]如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V ＝8－2×13×12×1×1×1＝233.9． [2014·安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或8 9．D [解析]当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.10． [2014·安徽卷] 设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( )A.2π3B.π3C.π6D ．0 10．B [解析]令S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，则可能的取值有3种情况：S 1＝2＋2，S 2＝＋＋2a ·b ，S 3＝4a ·b .又因为|b |＝2|a |.所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2()a －b 2>0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2>0，S 2－S 3＝(a －b )2>0，所以S 3<S 2<S 1，故S min ＝S 3＝4a·b .设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4a·b ＝8|a |2cos θ＝4|a |2，所以cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.11． [2014·安徽卷] ⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________.11.278 [解析]原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫234－34＋log 3⎝⎛⎭⎫54×45＝⎝⎛⎭⎫23－3＝278. 12． [2014·安徽卷] 如图1-3，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；….依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．图1-312.14 [解析]在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，由题易知A 1A 2＝a 3＝12AB ＝1，…，A 6A 7＝a 7＝⎝⎛⎭⎫123·AB ＝2×⎝⎛⎭⎫123＝14.13． [2014·安徽卷] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．13．4 [解析]不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，S △ABD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12×2×(2＋2)＝4.14． [2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝______．14.516 [解析]由题易知f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－316＋sin π6＝516. 15． [2014·安徽卷] 若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(i)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(ii)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧．则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①直线l ：y ＝0在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3；②直线l ：x ＝－1在点P (－1，0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)2； ③直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ； ④直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ； ⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1，0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x .15．①③④ [解析]对于①，因为y ′＝3x 2，y ′x ＝0＝0，所以l ：y ＝0是曲线C ：y ＝x 3在点P (0，0)处的切线，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为y ′＝2(x ＋1)，y ′x ＝－1＝0，所以l ：x ＝－1不是曲线C ：y ＝(x ＋1)2在点P (－1，0)处的切线，②错误；对于③，y ′＝cos x ，y ′x ＝0＝1，所以曲线C 在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，y ′＝1cos 2x，y ′x ＝0＝1，所以曲线C 在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤，y ′＝1x ，y ′x ＝1＝1，所以曲线C 在点P (1，0)处切线为l ：y ＝x －1，又由h (x )＝x－1－ln x (x >0)可得h ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，所以h min (x )＝h (1)＝0，故x －1≥ln x ，所以曲线C在点P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误．16． [2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解：由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝223. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.17． [2014·安徽卷] 某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？ (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图1-4所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．图1-4(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）17．解： (1)300×450015000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合列联表可算得K 2＝300×（165×30－45×60）75×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．18． [2014·安徽卷] 数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .18．解： (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2，从而可得b n ＝n ·3n .S n ＝1×31＋2×32＋…＋(n －1)×3n －1＋n ×3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)3n ＋n ×3n ＋1.②①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n ）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32，所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.19． [2014·安徽卷] 如图1-5所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .图1-5(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．19．解： (1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在平面ABCD 内，所以PO ⊥平面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，所以GK ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面ABCD ，所以GK ⊥EF ， 所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 是OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，所以G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3，故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.20． [2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0.(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．20．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，且x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．21． [2014·安徽卷] 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．21．解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得 |AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2·cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )· (2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k ， 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A . 故△AF 1F 2为等腰直角三角形， 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.。
2014年高考数学二模试卷(文科)
2014年高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）已知复数，则z的虚部为（）3．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面垂直，若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为（）C D4．（5分）函数f（x）=﹣的零点所在区间为（）），），5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的p=5，q=6，则输出的a，i的值分别为（）6．（5分）已知，则sin2α的值为（）．C D．7．（5分）若f （x ）=2cos （ωx+φ）+m ，对任意实数t 都有f （t+）=f （﹣t ），且f （）=﹣1则实数m 的值等8．（5分）（2013•三门峡模拟）设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，．CD ．9．（5分）已知函数f （x ）=a x ﹣2，g （x ）=log a |x|（a ＞0，且a ≠1），且f （2011）•g （﹣2012）＜0，则y=f （x ），y=g．C D ．． π C π D ．11．（5分）（2012•菏泽一模）直线4kx ﹣4y ﹣k=0与抛物线y 2=x 交于A 、B 两点，若|AB|=4，则弦AB 的中点到直线x+=0的距离等于（ ） ．D 12．（5分）已知函数f （x ）=e x+alnx 的定义域为D ，关于函数f （x ）给出下列命题： ①对于任意函数a ∈（0，+∞），函数f （x ）是D 上的减函数； ②对于任意函数a ∈（﹣∞，0），函数f （x ）存在最小值； ③存在a ∈（0，+∞），使得对于任意的x ∈D ，都有f （x ）＞0． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）利用独立性检验来判断两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定X 和Y 有关系可信度，214．（5分）已知实数x ，y 满足不等式组若目标函数z=y ﹣ax （a ∈R ）取最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a 的取值范围是 _________ ．15．（5分）已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为_________．16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，b=1，△ABC的面积为，则的值为_________．三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n＞0，S n是数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，有2S n=2a n2+a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=，P为AB的中点且△ABC与矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．（1）求证：AD∥平面PCE；（2）求三棱锥P﹣ACE的高．19．（12分）（2013•郑州一模）某高校组织自主招生考试，共有2000名优秀学生参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195，205），第二组[205，215），…，第八组[265，275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分（含260分）以上的同学进入面试．（I）估计所有参加笔试的2000名学生中，参加面试的学生人数；（II）面试时，每位考生抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A类资格；其它情况下获B类资格．现已知某中学有三人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为，求恰有一位同学获得该高校B类资格的概率．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，在x轴上的两个端点分别为A，B．且四边形F1AF2B是边长为1的正方形．（1）求椭圆C的离心率及其标准方程；（2）若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异的两点MN，且=3，求实数m的取值范围．21．（12分）已知a∈R，函数（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；（2）是否存在实数x0∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．四、解答题（请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分)22．（10分）（2012•泰州二模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．23．（2011•大同一模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．24．（2012•长春模拟）选修4﹣5；不等式选讲已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．2014年高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）已知复数，则z的虚部为（）=复数的虚部为﹣3．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面垂直，若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为（）C DAC=PA=4．（5分）函数f（x）=﹣的零点所在区间为（）），），））的符号，结合函数零点的存在性定理和函数=（=（==，是单调递减函数，是单调减函数，故存在唯一零点5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的p=5，q=6，则输出的a，i的值分别为（）6．（5分）已知，则sin2α的值为（）．C D．）））×+1=，7．（5分）若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），且f（）=﹣1则实数m的值等t+）（t+））8．（5分）（2013•三门峡模拟）设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，．CD ．分别是双曲线离心率9．（5分）已知函数f （x ）=a x ﹣2，g （x ）=log a |x|（a ＞0，且a ≠1），且f （2011）•g （﹣2012）＜0，则y=f （x ），y=g ． C D ．．πCπD．，所以O===11．（5分）（2012•菏泽一模）直线4kx﹣4y﹣k=0与抛物线y2=x交于A、B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于（）．D，故可知直线恒过定点（的焦点坐标为（=x+=0=12．（5分）已知函数f（x）=e x+alnx的定义域为D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意函数a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数；②对于任意函数a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值；③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0．=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）利用独立性检验来判断两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定X和Y有关系可信度，214．（5分）已知实数x，y满足不等式组若目标函数z=y﹣ax（a∈R）取最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围是（1，+∞）．15．（5分）已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为．的值，由此求得|两个向量的夹角公式求得向量与+2向量，||=2||=1，则=|||×=+4|=2与+2的夹角为=，16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，b=1，△ABC的面积为，则的值为2．，c=解：∵2A+=，可得的面积为S=bcsinA=，即×c=根据正弦定理，得=三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n＞0，S n是数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，有2S n=2a n2+a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．的通项公式代入∴为首项，∴）由为首项为．公比为的等比数列．∴18．（12分）如图所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=，P为AB的中点且△ABC与矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．（1）求证：AD∥平面PCE；（2）求三棱锥P﹣ACE的高．ACB=，BC=PC=，，sinA=，的面积为CE=2，，等积法得．的高为19．（12分）（2013•郑州一模）某高校组织自主招生考试，共有2000名优秀学生参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195，205），第二组[205，215），…，第八组[265，275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分（含260分）以上的同学进入面试．（I）估计所有参加笔试的2000名学生中，参加面试的学生人数；（II）面试时，每位考生抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A类资格；其它情况下获B类资格．现已知某中学有三人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为，求恰有一位同学获得该高校B类资格的概率．分以上的同学的概率，类资格的概率为20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，在x轴上的两个端点分别为A，B．且四边形F1AF2B是边长为1的正方形．（1）求椭圆C的离心率及其标准方程；（2）若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异的两点MN，且=3，求实数m的取值范围．=3构造关于（b=c==，其标准方程为，=∵=3）•时，∵=3＜﹣，或＜，﹣21．（12分）已知a∈R，函数（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；（2）是否存在实数x0∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．，函数）∵+=（）时，．又四、解答题（请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分)22．（10分）（2012•泰州二模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．23．（2011•大同一模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．的参数方程为）因为化为普通方程为，24．（2012•长春模拟）选修4﹣5；不等式选讲已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．。
合肥八中2014届高三二模适应性考试卷文科数学试题含解析
合肥八中2014届高三二模适应性考试卷数学（文科）试卷参考答案命题 钱海新 审题 吴勇智一．选择题 1．复数21i i-+（其中i 是虚数单位,满足21i =-）的实部与虚部之和为（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 【答案】A 【解】2(2)(1)13131(1)(1)222i i i i i i i i ----===-++-,故其实部和虚部分别为13,22- 2．已知全集U R =,且{}12A x x =->，{}2680B x x x =-+<。
则()U C A B =（ ） A ．[)4,1-B ．()3,2C ．(]3,2D ．()4,1-【答案】C【解】{}13u C A x x =-≤≤，{}24B x x =<<，{}()23u C A B x x =<≤ 3．“22≤≤-m ”是“实系数一元二次方程012=++mx x 无实根”的 （ ）A. 必要不充分条件B.充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A4.已知(2,)a m = ，(1,)b m =- ，若(2)a b b -⊥ ，则||a＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解】因为(2a b b -⊥ )，所以(20a b b -⋅=)，即250m -+=，即25m =，所以||3a =，故选B ．5．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ） A ．15 B ．29 C ．31 D ．63 【答案】C【解】本题可以用列举法得B=316. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图所示）。
为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500，3 000）月收入段应抽出多少人A ．5B ．50C ．25D ．250 【答案】C【解】由图可得月收入在[2 500，3 000）的频率为0.0005×500＝0.25，所以在[2 500，3 000）月收入段应抽取100×0.25＝25（人）。
安徽省“江南十校” 2014届高三第二次模拟考试文科数学试卷(带解析)
安徽省“江南十校” 2014届高三第二次模拟考试文科数学试卷（带解析）1．若3(,,)1xyi x y R i i=+∈+为虚数单位，则复数x yi +的模是（ ）A. D. 【答案】C 【解析】因为(1)(1)1(1)(1)222x x i x i x x i i i i --===-++-， 所以3,22x xy ==-，解得：6,3x y ==-||x yi +==故选C【考点】复数的运算. 2．设集合(3)(2){|21}x x A x +-=<，2{|lg(43)}B x y x x ==-+，则()R A C B =( )A.[1,2)B.(1,2]C.(3,3]-D.(3,3)- 【答案】A 【解析】(3)(2)(3)(2)0{|21}{|22}{|(3)(2)0}(3,2)x x x x A x x x x x +-+-=<=<=+-<=-22{|lg(43)}{|430}(,1)(3,)B x y x x x x x ==-+=-+>=-∞+∞所以[1,3]R C B = 所以()[1,2)R AC B =故选A【考点】集合间的运算.3．从集合{1,2,3,4}中以此有放回地随机抽取2次，每次抽取1个数，则2次抽取数之和等于4的概率为（ ） A.416 B.316 C.216 D.116【答案】B【解析】由1+3=3+1=2+2=4，即2次抽取数之和等于4有3种，总共有2416=，所以2次抽取数之和等于4的概率316P = 故选B【考点】概率统计.4．执行如图所示的程序框图，输出的S 是（ ） A.9 B.10 C.-9 D.-10【答案】D【解析】(1)1S S n n S n n =---=-+-当100n ≤时，(01)(12)(23)(99100)10S =-+-+-+⋅⋅⋅+-=- 故选D【考点】框图的识别.5．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A.85ππ+ B.75ππ+ C.825ππ+ D.725ππ+【答案】B【解析】由三视图知，几何体为底面半径为1，高为3的圆柱挖去一个与圆柱同底，高为2的圆锥，所以几何体的表面积22123257522S πππππ⎛⎫=⨯+⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭故选B【考点】几何体的三视图；几何体的表面积.6．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：21815330a a a -+=，且810a b =，则317b b =（ ）A.9B.12C.16D.36【答案】D【解析】由21815330a a a -+=得：281151158333()32a a a a a a =+=+=⨯，即28860a a -=因为8100a b =≠，所以86a =，106b =10231736b b b ==故选D【考点】等差数列及等比数列的基本计算.7．已知抛物线24x y =的准线与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相切，且该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2,则椭圆的离心率是（ ）A.【答案】C【解析】抛物线24x y =的准线为1y =-又抛物线24x y =的准线与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相切，所以1b =，且切点为下顶点因为该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2，所以12122c ⨯⨯=，即得2c =由222a b c =+得a =所以5c e a == 故选C【考点】抛物线和椭圆的简单几何性质；椭圆的离心率. 8．下列命题中假命题有 （ ）①m R ∃∈，使2431()(2)m m f x m x m -+=++是幂函数； ②R θ∃∈，使3sin cos 5θθ=成立；③a R ∀∈，使220ax y a ++-=恒过定点； ④0x ∀>，不等式24ax x+≥成立的充要条件2a ≥. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【答案】B【解析】①中，令121m m++=，即210m m ++=，其1430∆=-=-<，所以方程210m m ++=无解，故①错；②中，由3sin cos 5θθ=得：6sin 215θ=>不成立，故②错； ③中，由220ax y a ++-=得：(1)220x a y ++-=，所以220ax y a ++-=恒过定点(1,1)-，故③正确；④中，当2a ≥时，24a x x +≥≥成立，反之，当24ax x+≥成立，则22242(1)2a x x x ≥-+=--+恒成立，所以2a ≥，故④正确.故选B【考点】命题的真假判断.9．定义在R 上的函数()f x 满足()(1)f x f x =-，且当12x ≥时，()sin cos 1x f x e x x =+++，则有（ ）A.1()(1)(1)2f f f <<-B.1()(1)(1)2f f f <-<C.1(1)(1)()2f f f -<<D.1(1)(1)()2f f f <-<【答案】A【解析】因为()(1)f x f x =-，所以函数()f x 关于12x =对称 当12x ≥时，()sin cos 1xf x e x x =+++，有12()cos )04xxf x e x sinx e x e π'=+-=--≥->，即函数()f x 在1[,)2+∞上单调增， 又(1)(2)f f -=所以1()(1)(2)(1)2f f f f <<=-故选A【考点】函数的对称性；函数单调性的应用.10．已知向量a ，b 满足||3a =，||1b =，且对任意实数x ，不等式||||a xb a b +≥+恒成立，设a 与b 的夹角为θ，则tan2θ=（ ）C.-D.【答案】D【解析】因为对任意实数x ，不等式||||a xb a b +≥+恒成立 所以22210x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立 所以0∆≤，即()224(21)0a ba b ⋅+⋅+≤又||||cos 3cos a b a b θθ⋅=⋅=所以212cos 4(23cos 1)0θθ++≤，即23cos 23cos 10θθ++≤2(3cos 1)0θ+≤，解得3cos 3θ=-又0θπ≤≤，所以6sin θ=，所以tan θ=2- 因为22tan tan 21tan θθθ=-，所以tan 222θ= 故选D【考点】三角函数求值；恒成立问题；平面向量的数量积.11．已知()f x 是R 上的奇函数，若()()4g x f x =+，且(2)3g -=，则(2)g =.【答案】5【解析】由(2)(2)(2)4(2)48g g f f +-=++-+=，所以(2)5g = 故答案为5【考点】函数求值.12．如图所示是函数()sin()(0,||)f x x ϖϕϖϕπ=+><的部分图像，则()f x 的解析式为.【答案】()sin(2)3f x x π=+【解析】由图像得函数周期4()126T πππ=+=又2T πϖ=，所以2ϖ=，即()sin(2)f x x ϕ=+由图像知()112f π=,所以2()62k k Z ππϕπ+=+∈，解得2()3k k Z πϕπ=+∈又||ϕπ<，所以3πϕ=故答案为()sin(2)3f x x π=+【考点】三角函数的性质；三角函数的解析式.13．设变量.x y 满足的约束条件102030x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为.【答案】11【解析】如图不等式组表示可行域为ABC ∆的内部及边界其中13(,)22A ，(5,3)B -，(4,3)C -- 因为2z x y =-是斜率等于12的一组平行线，z 的几何意义是直线20x y z --=在x 轴的截距，所以在点B 处取得最大值11 故答案为11【考点】线性规划.14．设函数22,0()|2|,0x bx x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩，(4)(0)f f -=，则函数()ln(2)y f x x =-+的零点有个.【答案】4【解析】由(4)(0)f f -=得4b =所以242,0()|2|,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩由()ln(2)f x x =+，在同一坐标系内作()y f x =和ln(2)y x =+图像，可知有4个交点.故答案为4【考点】函数的解析式；函数与方程.15．设0,0a b >>，且221a b +=，则下列结论中正确的是(填上所有正确结论得序号) ①12ab >；②2a b +≤；③114a b +≥；④21()()322a b a b++≥+；⑤22a ab b a b ++≥+.【答案】②④⑤【解析】由2212a b ab +=≥，所以12ab ≤，故①错； 由22222()212a b a b ab a b +=++≤++=，所以2a b +≤取2a b ==，则11224a b+=<，故③错； 由()2123322b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+⎪⎝⎭63a b ==确；由22()1()(1)(1)a ab b a b ab a b a b ++-+=+-+=--，又0,0a b >>，且221a b +=，所以01a <<，01b <<，所以(1)(1)0a b -->，即得22a ab b a b ++>+，故⑤正确. 故答案为②④⑤【考点】基本不等式的应用.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 文科数学 解析版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）试题第I 卷（选择题 共50分）一.选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设i 是虚数单位，复数321iii++=（ ） i - B. i C. 1- D. 1命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）0||,2<+∈∀x x R x B. 0||,2≤+∈∀x x R xC. 0||,2000<+∈∃x x R x D. 0||,2000≥+∈∃x x R x3.抛物线241x y =的准线方程是（ ） A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x 【答案】A 【解析】试题分析：题中抛物线的标准形式为24xy =，则其准线方程为1y =-，故先A.考点：1.抛物线的准线方程.4.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A.34 B.55 C.78 D.895.设 1.13.13log 7,2,0.8a b c ===则（ ）A.c a b <<B.b a c <<C.a b c <<D.b c a <<6.过点(P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A.]60π，（B.]30π，（C.]60[π，D.]30[π，【答案】D 【解析】试题分析：如下图，要使过点P 的直线l 与圆有公共点，则直线l 在PA 与PB 之间，因为1sin 2α=，所以6πα=，则23AO B πα∠==，所以直线l 的倾斜角的取值范围为]30[π，.故选D.考点：1.直线的倾斜角；2.直线与圆的相交问题.7.若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A.8π B.4π C.83π D.43π8.一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（）A.233B.476C.6D.79.若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为（ ） A.5或8 B.1-或5 C. 1-或4- D.4-或8 【答案】D 【解析】10.设,a b 为非零向量，2b a =，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b的夹角为（ ） A.23π B.3π C.6π D.0第I I 卷（非选择题 共100分）二.选择题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.34331654+log log 8145-⎛⎫+=⎪⎝⎭________.12.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =________.不等式组20240320x yx yx y+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为________.【答案】4若函数()()R x x f ∈是周期为4的奇函数，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，则_______641429=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f .15.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3yx =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内 16.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1b c ==，ABC ∆，求cos A 与a 的值.17、（本小题满分12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）（Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）90；（2）0.75；（3）有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【解析】由频率分布直方图得12(0.1000.025)0.75-⨯+=，该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率为0.75.由（2）知，300位学生中有3000.75225⨯=人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得2300(456030165)100 4.762 3.841752252109021K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯. 有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.考点：1.频率分布直方图的应用；2.列联表的画法及2K 的求解.18.（本小题满分12分）数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n N ++==+++∈证明：数列{}n a n是等差数列； 设3n n b ={}n b 的前n 项和n S12123333n n n S n +-=+++-⋅113(13)(12)333132n n n n n ++⋅--⋅-=-⋅=-. 所以1(21)334n n n S +-⋅+=. 考点：1.等差数列的证明；2.错位相减法求和.19（本题满分13分）如图，四棱锥ABCD P -的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为172.点HF EG ,,,分别是棱PC CD AB PB ,,,上共面的四点，平面⊥GEFH 平面ABCD ，//BC 平面GEFH . 证明：;//EF GH若2=EB ，求四边形GEFH 的面积.再由PO ∥GK 得12GK PO =，即G 是PB 的中点，且142GH BC ==.由已知可得6OB PO ====，所以3GK =，故四边形GEFH 的面积4831822GH EF S GK ++=⋅=⨯=. 考点：1.线面平行的性质定理；2.平行的传递性；3.四边形面积的求解.20（本小题满分13分）设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >讨论()f x 在其定义域上的单调性；当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值.因为0a >，所以120,0x x <>.4a ≥时，21x ≥，由（1）知，()f x 在[0,1]上单调递增，所以()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值.②当04a <<时，21x <.由（1）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减，因此()f x 在2x x ==处取得最大值.又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x在0x =和1x =处同时取得最小只；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值.考点：1.含参函数的单调性；2.含参函数的最值求解. 21（本小题满分13分） 设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ； 若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率.。
2014年安徽省高考数学文科试卷(带解析)
2014年安徽省高考数学文科试卷（带解析）2014年安徽省高考数学文科试卷（带解析）第卷（选择题共50分）一. 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．[2014•安徽卷] 设i是虚数单位，复数i3＋2i1＋i＝( )A．－i B．i C．－1 D．1 1．D [解析] i3＋2i1＋i＝－i＋2i（1－i）2＝1. 2．[2014•安徽卷] 命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( ) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0 2．C [解析] 易知该命题的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20<0”． 3．[2014•安徽卷] 抛物线y ＝14x2的准线方程是( ) A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x ＝－2 3．A [解析] 因为抛物线y＝14x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1. 4．[2014•安徽卷] 如图11所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( ) 图11 A．34 B．55 C．78 D．89 4．B [解析] 由程序框图可知，列出每次循环过后变量的取值情况如下：第一次循环，x＝1，y＝1，z＝2；第二次循环，x＝1，y＝2，z＝3；第三次循环，x＝2，y＝3，z＝5；第四次循环，x＝3，y＝5，z＝8；第五次循环，x＝5，y＝8，z＝13；第六次循环，x＝8，y＝13，z＝21；第七次循环，x＝13，y＝21，z＝34；第八次循环，x＝21，y＝34，z＝55，不满足条件，跳出循环． 5．[2014•安徽卷] 设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( ) A．b<a<c B．c<a<b C．c<b<a D．a<c<b 5．B [解析] 因为2>a＝log37>1，b＝21.1>2，c＝0.83.1<1，所以c<a<b. 6．[2014•安徽卷] 过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( ) A.0，π6 B.0，π3 C.0，π6 D.0，π3 6．D [解析] 易知直线l的斜率存在，所以可设l：y＋1＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－1＝0.因为直线l圆x2＋y2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l的距离|3k－1|1＋k2≤1，即k2－3k≤0，解得0≤k≤3，故直线l的倾斜角的取值范围是0，π3. 7．[2014•安徽卷] 若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.3π4 7．C [解析]方法一：将f(x)＝2sin2x＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin2x＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y轴对称，可知sinπ4－2φ＝±1，即sin2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ2＋3π8，k∈Z，又φ>0，所以φmin＝3π8. 8．[2014•安徽卷] 一个多面体的三视图如图12所示，则该多面体的体积是( ) 图12 A.233 B.476 C．6 D．7 8．A [解析] 如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V＝8－2×13×12×1×1×1＝233.9．[2014•安徽卷] 若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( ) A．5或8 B．－1或5 C．－1或－4 D．－4或8 9．D [解析] 当a≥2时， f(x)＝3x＋a＋1（x>－1），x＋a－1－a2≤x≤－1，－3x－a－1x<－a2. 由图可知，当x＝－a2时，fmin(x)＝f－a2＝a2－1＝3，可得a＝8. 当a<2时，f(x)3x＋a＋1x>－a2，－x－a＋1－1≤x≤－a2，－3x－a－1（x<－1）. 由图可知，当x＝－a2时，fmin(x)＝f－a2＝－a2＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，a的值为－4或8. 10．[2014•安徽卷] 设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成，若x1•y1＋x2•y2＋x3•y3＋x4•y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6 D．0 10．B [解析] 令S＝x1•y1＋x2•y2＋x3•y3＋x4•y4，则可能的取值有3种情况：S1＝2＋2，S2＝＋＋2a•b，S3＝4a•b.又因为|b|＝2|a|.所以S1－S3＝2a2＋2b2－4a•b＝2a－b2>0，S1－S2＝a2＋b2－2a•b＝(a－b)2>0，S2－S3＝(a－b)2>0，所以S3<S2<S1，故Smin ＝S3＝4a•b.设a，b的夹角为θ，则Smin＝4a•b＝8|a|2cos θ＝4|a|2，所以cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 11．[2014•安徽卷] 1681－34＋log354＋log345＝________. 11.278 [解析] 原式＝234－34 ＋log354×45＝23－3＝278. 12．[2014•安徽卷] 如图13，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；….依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________．图13 12.14 [解析] 在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2 2，所以AB＝AC＝a1＝2，由题易知A1A2＝a3＝12AB＝1，…，A6A7＝a7＝123•AB＝2×123＝14. 13．[2014•安徽卷] 不等式组x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________． 13．4 [解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，S△ABD＝S△ABD＋S△BCD＝12×2×(2＋2)＝4.14．[2014•安徽卷] 若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝x（1－x），0≤x≤1，sin πx，1<x≤2，则f294＋f416＝______． 14.516 [解析] 由题易知f294＋f416＝f －34＋f－76＝－f34－f76＝－316＋sin π6＝516. 15．[2014•安徽卷] 若直线l与曲线C满足下列两个条件： (i)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧．则称直线l在点P处“切过”曲线C. 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3；②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2；③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y ＝sin x；④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tan x；⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝ln x. 15．①③④[解析] 对于①，因为y′＝3x2，y′x＝0＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0，0)处的切线，画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧，①正确；对于②，因为y′＝2(x＋1)，y′x＝－1＝0，所以l：x＝－1不是曲线C：y＝(x＋1)2在点P(－1，0)处的切线，②错误；对于③，y′＝cos x，y′x＝0＝1，所以曲线C在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧，③正确；对于④，y′＝1cos2x，y′x＝0＝1，所以曲线C在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C在点P附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤，y′＝1x，y′x＝1＝1，所以曲线C在点P(1，0)处切线为l：y＝x－1，又由h(x)＝x－1－ln x(x>0)可得h′(x)＝1－1x＝x－1x，所以hmin(x)＝h(1)＝0，故x－1≥ln x，所以曲线C在点P附近位于直线l的下侧，⑤错误．16．[2014•安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为2.求cos A与a的值． 16．解：由三角形面积公式，得12×3×1•sin A＝2，故sin A＝2 23. 因为sin2A＋cos2A＝1，所以cos A＝±1－sin2A＝±1－89＝±13. ①当cos A＝13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a＝2 2. ②当cos A＝－13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×－13＝12，所以a＝2 3.17． [2014•安徽卷] 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)． (1)应收集多少位女生的样本数据？ (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图14所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．图14 (3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d） 17．解：(1)300×450015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据． (2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75. (3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时 45 30 75 每周平均体育运动时间超过4小时 165 60 225 总计 210 90 300 结合列联表可算得K2＝300×（165×30－45×60）275×225×210×90＝10021≈4.762>3.841. 所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．18．[2014•安徽卷] 数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n ＋1)，n∈N*. (1)证明：数列ann是等差数列； (2)设bn＝3n•an，求数列{bn}的前n项和Sn. 18．解： (1)证明：由已知可得an＋1n＋1＝ann＋1，即an＋1n＋1－ann＝1，所以ann是以a11＝1为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)得ann＝1＋(n－1)•1＝n，所以an＝n2，从而可得bn＝n•3n. Sn＝1×31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1＋n×3n，① 3Sn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)3n＋n×3n＋1.② ①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n•3n＋1＝3•（1－3n）1－3－n•3n＋1＝（1－2n）•3n＋1－32，所以Sn＝（2n－1）•3n＋1＋34. 19．[2014•安徽卷] 如图15所示，四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH. 图15 (1)证明：GH∥EF； (2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积． 19．解：(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH ＝GH，所以GH∥BC. 同理可证EF∥BC，因此GH∥EF. (2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK. 因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO⊥平面ABCD. 又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH. 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD. 又EF⊂平面ABCD，所以GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB＝14DB＝12OB，即K是OB的中点．再由PO∥GK得GK＝12PO，所以G是PB的中点，且GH＝12BC＝4. 由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，所以GK＝3，故四边形GEFH的面积S＝GH＋EF2•GK＝4＋82×3＝18.20．[2014•安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性； (2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值． 20．解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2. 令f′(x)＝0，得x1＝－1－4＋3a3， x2＝－1＋4＋3a3，且x1<x2，所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．当x<x1或x>x2时，f′(x)<0；当x1<x<x2时，f′(x)>0. 故f(x)在－∞，－1－4＋3a3和－1＋4＋3a3，＋∞内单调递减，在－1－4＋3a3，－1＋4＋3a3内单调递增． (2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a<4时，x2<1，由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f(x)在x＝x2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0<a<1时，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值． 21．[2014•安徽卷] 设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝35，求椭圆E的离心率． 21．解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝8. 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5. (2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得 |AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得 |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|•|BF2•cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－65(2a－3k)• (2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k，于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A. 故△AF1F2为等腰直角三角形，从而c＝22a，所以椭圆E的离心率e＝ca＝22.。
2014年安徽省高考文科数学试卷及参考答案(word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（文科） 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设i 是虚数单位，复数iii ++123=（ ）．（A ）i - （B ）i （C ）－1 （D ） 1（2）命题“02≥+∈∀x x R x ，”的否定是（ ）． （A ）02<+∈∀x x R x ， （B ）02≤+∈∀x x R x ， （C ）02000<+∈∃x x R x ，（D ）02000≥+∈∃x x R x ，（3）抛物线241x y =的准线方程是（ ）． （A ）1-=y （B ）2-=y （C ）1-=x （D ）1-=x （4）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）． （A ）34 （B ）55 （C ）78 （D ）89 （5）设7log 3=a ，1.12=b ，1.38.0=c ，则（ ）．（A ）c a b << （B ）b a c << （C ）a b c << （D ）b c a <<（6）过点）－1,3(-P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）．（A ）]60(π， （B ）]30(π， （C ）]60[π， （D ）]30[π， （7）若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）．（A ）8π （B ）4π（C ）83π （D ）43π（8）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）．（A ）323（B ）647 （C ）6 （D ）7 （9）若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为（ ）． （A ）5或8 （B ）-1或5 （C ）-1或-4 （D ）-4或8（10）设a ,b=，两组向量4321,,,x x x x 和4321,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成．若44332211y x y x y x y x ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（ ）．第（4）题图第（12）题图31（A ）32π （B ）3π （C ）6π （D ）0 第II 卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）=++⎪⎭⎫⎝⎛-54log 45log 81163343． （12）如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边22=BC ．过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作AC 的垂线，垂足为3A ；．．．，以此类推．设1a BA =，21a AA =，321a A A =，．．．，765a A A =，则7a = ．（13）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥-+02304202y x y x y x 表示的平面区域的面积为 ．（14）若函数)(x f （R x ∈）是周期为4的奇函数，且在]2,0[上的解析式为⎩⎨⎧-=,sin ),1()(x x x x f π2110≤<≤≤x x ，则=+)641()429(f f ．（15）若直线l 与曲线C 两个满足下列条件：（i ）直线l 在点),(00y x P 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）． ①直线l ：0=y 在点)0,0(P 处“切过”曲线3x y C =：； ②直线l ：1-=x 在点)0,1(-P 处“切过”曲线2)1(+=x y C ：； ③直线l ：x y =在点)0,0(P 处“切过”曲线x y C sin =：； ④直线l ：x y =在点)0,0(P 处“切过”曲线x y C tan =：； ⑤直线l ：1-=x y 在点)0,1(P 处“切过”曲线x y C ln =：．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分）设ABC △的内角C B A ,,对边的长分别是a ,b ,c ，且3=b ,1=c ,ABC △的面积为2．求A c o s 与a 的值． （17）（本小题满分12分）第（17）题图某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）． （I ）应收集多少位女生的样本数据？（II ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（III ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=（18）（本小题满分12分）数列{}n a 满足11=a ，)1()1(1+++=+n n a n na n n ,*N n ∈．（I ）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是等差数列； （II ）设n nna b ⋅=3，求数列{}n b 的前n 项和n S ． （19）（本小题满分13分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为172．点H F E G ,,,分别是棱PC CD AB PB ,,,上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH ．（I ）证明： EF GH ∥；（II ）若2=EB ，求四边形GEFH 的面积． （20）（本小题满分13分）设函数32)1(1)(x x x a x f --++=，其中0>a ． （I ）讨论)(x f 在其定义域上的单调性；（II ）当][1,0∈x 时，求)(x f 取得最大值和最小值时的x 的值． （21）（本小题满分13分）设1F ,2F 分别是椭圆12222=+by a x E ：（0>>b a ）的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，B F AF 113=．第（19）题图A（I ）若4=AB ，2ABF △的周长为16，求2AF ； （II ）若53cos 2=∠B AF ，求椭圆E 的离心率． 数学（文科）试题参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）D （2）C （3）A （4）B （5）B （6）D （7）C （8）A （9）D （10）B 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分25分． （11）827 （12）41 （13）4 （14）165 （15）①③④ 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分） 解：由三角形面积公式，得2sin 1321=⋅⨯⨯A ，故322sin =A ．∵1cos sin 22=+A A ，∴31981sin 1cos 2±=-±=-±=A A ． ① 当31cos =A 时，由余弦定理得83131213cos 222222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， ∴22=a ．② 当31cos -=A 时，由余弦定理得12)31(31213cos 222222=-⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ，∴32=a ．（17）（本小题满分12分） 解：（I ）90150004500300=⨯，∴应收集90位女生的样本数据．（II ）由频率分布直方图得75.0)025.0100.0(21=+⨯-，∴该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．（III ）由（II ）知，300位学生中有22575.0300=⨯人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又∵样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，∴每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合联表可算得841.3762.4211009021022575)2250(30022>≈=⨯⨯⨯⨯=K ．∴有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． （18）（本小题满分12分） （I ）证：由已知可得111+=++n a n a n n ，即111=-++nan a n n ． ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是以111=a 为首相，1为公差的等差数列． （II ）解：由（I ）得n n na n=⋅-+=1)1(1，∴2n a n =．从而n n n b 3⋅=． nn n S 3333231321⋅++⋅+⋅+⋅= ， ①13233)1(32313+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ． ②①－②得：233)21(331)31(33333211121-⋅-=⋅---⋅=⋅-+++=-+++n n n n n n n n n S ．∴433)12(1+⋅-=+n n n S ．（19）（本小题满分13分）（I ）证：∵PBC BC GEFH BC 平面，平面∥⊂，且平面GH GEFH PBC =⋂平面， ∴BC GH ∥． 同理可证BC EF ∥． 因此EF GH ∥．（II ）解：连接BD AC ,交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接GK OP ,． ∵PC PA =，O 是AC 的中点，∴AC PO ⊥，同理可得BD PO ⊥． 又O AC BD =⋂，且BD AC ,都在地面内，∴⊥PO 底面ABCD ．又∵平面GEFH ⊥平面ABCD ，且⊄PO 平面GEFH ，∴PO ∥平面GEFH ．∵平面⋂PBD 平面GK GEFH =，∴GK PO ∥，且GK ⊥底面ABCD ，从而EF GK ⊥．∴GK 是梯形GEFH 的高．由2,8==EB AB 得4:1::==DB KB EB AB ，∴OB DB KB 2141==，即K 为OB 的中点． 再由GK PO ∥得PO GK 21=，即G 是PB 的中点，且421==BC GH ，由已知可得63268,2422=-=-==OB PB PO OB ，∴3=GK ．第（19）题图故四边形GEFH 的面积1832842=⨯+=⋅+=GK EF GH S ． （20）（本小题满分13分）解：（I ）)(x f 的定义域为),(+∞-∞，2321)(x x a x f --+='．令0)(='x f ，得2121,3341,3341x x a x a x <++-=+--=．∴))((3)(21x x x x x f ---='．当1x x <或2x x >时，0)(<'x f ；当21x x x <<时，0)(>'x f ． ∴)(x f 在()1,x ∞-和()+∞,2x 内单调递减，在()21,x x 内单调递增． （II ）∵0>a ，∴0,021><x x ．① 当4≥a 时，12≥x ．由（I ）知，)(x f 在][1,0上单调递增．∴)(x f 在0=x 和1=x 处分别取得最小值和最大值． ② 当40<<a 时，12<x ．由（I ）知，)(x f 在][2,0x 上单调递增，在][1,2x 上单调递减． ∴)(x f 在33412ax x ++-==处取得最大值．又1)0(=f ,a f =)1(，∴当10<<a 时，)(x f 在1=x 处取得最小值； 当1=a 时，)(x f 在 处和1=x 处同时取得最小值； 当41<<a 时，)(x f 在0=x 处取得最小值．（21）（本小题满分13分）解：（I ）由4,311==AB B F AF 得：1,311==B F AF ．∵2ABF △的周长为16，∴由椭圆定义可得82,16421==+=a AF AF a ．故538212=-=-=AF a AF ．（II ）设k B F =1，则0>k 且k AB k AF 4,31==， 由椭圆定义可得ka BF k a AF -=-=2,3222．在2ABF △中，由余弦定理可得BAF BF AF BF AF AB 22222222cos 2∠⋅-+=，即)2()32(56)2()32()4(222k a k a k a k a k -⋅---+-=， 化简可得)3)((=-+k a k a ，而0>+k a ，故k a 3=．于是有k BF AF k AF 5,3212===，因此22222ABAF BF +=，可得AF A F 21⊥，故21F AF △为等腰直角三角形． 从而a c 22=，∴椭圆E 的离心率22==a c e ．。
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2014年安徽省合肥市高考文科数学二模试题及答案解析
数学文试题
（考试时间：120分钟，满分150分）
第I 卷（共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、若21i
Z
i
-=
+（i 为虚数单位），则Z 的共轭复数为（ ） A.
1322i + B.1322i -+ C.3322i + D.3322
i - 2.若全集{0,1,2,3,4,5}U
=，且{*|13}U C A x N x =∈≤≤，则集合A 的真子集共有（ ）
A.3个
B.4个
C.7个
D.8个 3.抛物线2
1
2
x
y =
的焦点坐标为（ ） A.1(
,0)2 B.1(0,)2 C.1(,0)8 D.1(0,)8
4.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A.12+
B.18+
C.28
D.20+
5.已知圆2
21:()(2)4C x a y -++=与圆222:()(2)1C x b y +++=相外切，则ab 的最大值为
（ ）
A.
2
B.32
C. 94
D.
6.从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（ ） A.
13 B.512 C.12 D.712
5.函数sin(2)3
y
x π
=+的图像经过下列平移，可以得到偶函数图像的是（ ）
A.向右平移
6π个单位 B.向左平移6
π
个单位 C.向右平移
512π个单位 D.向左平移512
π个单位 8.已知函数2,0
()(1)1,0
x x f x f x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则(2014)f =（ ）
A.2014
B.
40292 C.2015 D.4031
2
9.若实数,x y 满足02,02x y <≤<≤，且使关于t 的方程220t xt y ++=与2
20t yt x ++=均
有实数根，则2x y +
有（ ）
A.最小值2
B.最小值3
C.
最大值2+ D.
最大值4+
10.设|
|2,||3,60AB AC BAC ==∠=，2,(1),[0,1]CD BC AE xAD x AB x ==+-∈，则AE 在
AC 上的投影的取值范围是（ ）
A.[0,1]
B.[0,7]
C.[7,9]
D.[9,21]
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.命题:p 对0x ∀≥，都有3
10x -≥，则p ⌝是____________________.
12.函数
212
()log (2)f x x x =-的定义域是_____________.
13.设直线210x y +
-=的倾斜角为α，则sin(2)4
π
α+=___________.
14.执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和为_____________.
15.对于两个图形12,F F ，我们将图形1F 上的任意一点与图形2F 上的任意一点间的距离中的最小值，叫做图形1F 与图形2F 的距离.若两个函数图像的距离小于1，陈这两个函数互为“可及函数”.给出下列几对函数，其中互为“可及函数”的是_________.（写出所有正确命题的编号） ①
()cos ,()2f x x g x ==； ②()x f x e =，()g x x =；
③
2
2()log (25)f x x
x =-+，()sin
2g x x π
=； ④2
()f x x x
=+，()ln 2g x x =+；
⑤
()f x =，315
()44
g x x =
+.
三、解答题（75分）
16、（本小题满分12分）
如图，
（I ）求函数f （x ）的解析式；
（II）求函数f（x）在上的值域。
17.（本小题满分12分）
合肥市环保总站对2013年11月合肥市空气质量指数发布如下趋势图：
（I）请根据以上趋势图，完成表1并根据表1画出频率分布直方图，
（II）试根据频率分布直方图估计合肥市11月份AQI指数的平均值．
18.（本小题满分12分）
已知正项数列的前n项和Sn满足：
（I）求证：Sn＝n2＋2n；
（II）求数列的前n项和Tn.
19.（本小题满分13分）如图，三棱台ABC-DEF中，CF⊥平面DEF,AB⊥BC.
（I）设平面AEC∩平面DEF=a，求证DF//a ;
（II）若EF=CF=2BC,试同在线段BE上是杏存在点G,
使得平面DFG⊥平面CDE，若存在，请确定G点的位置；若不存在，说明理由．
20.（本小题满分13分）
已知
（I）求函数f(x)的单调区间；
〔II）当m=1
2
时，对于任意,总存在，使得成立
求实数a的取值范围．
21.（本小题满分13分）已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的右焦点为F （1，0)，设左顶点
为A，上顶点为B，且，如图所示．
（I）求椭圆C的方程；
(II）已知M，N为椭圆C上两动点，且MN的中点H在圆x2＋y2=1上，求原点O到直线MN 距离的最小值。