八年级数学上册 单元清5 (新版)新人教版
(人教版)佛山市八年级数学上册第五单元《分式》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．已知分式24x x+的值是正数，那么x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x ＞-4C ．x ≠0D ．x ＞-4且x ≠0 2．化简221x x x ++÷(1－11x +)的结果是（ ） A ．11x + B ．11x - C ．x+1 D ．x-13．分式293x x --等于0的条件是（ ） A ．3x = B ．3x =- C ．3x =± D ．以上均不对 4．若关于x 的分式方程3211m x x =---有非负实数解，且关于x 的不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解，则满足条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9-B ．8-C ．7-D ．6- 5．关于x 的分式方程5222m x x +=--有增根，则m 的值为（ ） A ．2m =B ．2m =-C ．5m =D ．5m =- 6．计算233222()m n m n -⋅-的结果等于（ ） A ．2m n B ．2n m C ．2mn D ．72mn 7．计算()3222()m m m -÷⋅的结果是（ ） A ．2m -B ．22mC ．28m -D ．8m - 8．要使分式()()221x x x ++-有意义，x 的取值应满足（ ） A ．1x ≠ B ．2x ≠- C ．1x ≠或2x ≠- D ．1x ≠且2x ≠- 9．下列分式中，最简分式是（ ）A ．211x x +-B ．2211x x -+C ．2222x xy y x xy -+-D ．21628x x -+ 10．2a ab b a++-的结果是( )． A ．2a - B ．4a C ．2b a b -- D ．b a-11．在代数式2π，15x +，221x x --，33x -中，分式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 12．化简214a 2a 4---的结果为（ ） A ．1a 2+ B ．a 2+ C ．1a 2- D ．a 2-二、填空题13．新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店抓住商机购进甲、乙、丙三种口罩进行销售．已知销售每件甲种口罩的利润率为30%，每件乙种口罩的利润率为20%，每件丙种口罩的利润率为5%．当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为1：3：2时，药店得到的总利润率为20%；当售出的甲、乙、丙口罩件数之比为3：2：2时，药店得到的总利润率为24%．因丙种口罩利润较低，现药店准备只购进甲、乙两种口罩进行销售，若该药店想要获得的总利润率为28%，则该药店应购进甲、乙两种口罩的数量之比是______．14．计算22a b a b a b-=-- _________． 15．计算：22x x xy x y x-⋅=-____________________． 16．观察给定的分式，探索规律：（1）1x ，22x ，33x ，44x ，…其中第6个分式是__________； （2）2x y ，43x y -，65x y ，87x y-，…其中第6个分式是__________； （3）2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…其中第n 个分式是__________（n 为正整数）． 17．化简：（﹣2y x）3÷（223⋅y x x y ）＝_______________． 18．分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为0，则m =______________． 19．要使分式2x x 1+有意义，那么x 应满足的条件是________ ． 20．计算：22824x x -=+-__________． 三、解答题 21．（1）计算：1301|6|(2)(2)3π-⎛⎫-÷--⨯- ⎪⎝⎭； （2）先化简，再求值：(3)(2)()x x y x y x y +-++，其中1x =-，2y =．22．轻轨3号线北延伸段渝北空港广场站的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.1万元，付乙工程队工程款1.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：（方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成；（方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用5天；（方案三）若由甲、乙两队合作做4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．（1）请你求出完成这项工程的规定时间；（2）如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？说明理由．23．解方程：813(3)x x x x x ++=--． 24．“圣诞节”前期，某水果店用1000元购进一批苹果进行销售，由于销售良好，该店又以2500元购进同一种苹果，第二次进货价格比第一次每千克贵了1元，第二次所购进苹果的数量恰好是第一次购进苹果数量的2倍．求该水果店第一次购进苹果的单价．25．（提示：我们知道，如果0a b ->，那么a b >．）已知0m n >>．如果将分式n m 的分子、分母都加上同一个不为0的数后，所得分式的值比n m是增大了还是减小了？请按照以下要求尝试做探究． （1）当所加的这个数为1时，请通过计算说明；（2）当所加的这个数为2时，直接说出结果；（3）当所加的这个数为0a >时，直接说出结果．26．计算（1）2152224-⨯+÷； （2）()()30201821 3.14413π-⎛⎫-⨯---+- ⎪⎝⎭； （3）()2222322xy x y x y xy ⎡⎤---⎣⎦； （4）()()()3323231333x x x x ⎛⎫-+--⋅ ⎪⎝⎭．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D【分析】 若24x x +的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x ＋4＞0，且x≠0，因而能求出x 的取值范围．【详解】 解：∵24x x+＞0， ∴x ＋4＞0，x≠0，∴x ＞−4且x≠0．故选：D ．【点睛】 本题考查分式值的正负性问题，若对于分式a b（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式a b（b≠0）＜0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式． 2．A解析：A【分析】首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．【详解】解：原式=22211(1)1(1)1(1)1x x x x x x x x x +-+÷=⋅=++++ ， 故选A.【点睛】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解题的关键． 3．B解析：B【分析】根据分式等于0的条件：分子为0，分母不为0解答．【详解】由题意得：290,30x x -=-≠，解得x=-3，故选：B ．【点睛】此题考查分式的值等于0的条件，熟记计算方法是解题的关键． 4．D解析：D先根据方程3211m x x =---有非负实数解，求得5m ≥-，由不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解求得3m ≤，得到m 的取值范围53m -≤≤，再根据10x -≠得3m ≠-，写出所有整数解计算其和即可．【详解】 解：3211m x x =--- 解得：52m x +=， ∵方程有非负实数解，∴0x ≥即502m +≥， 得5m ≥-；∵不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解， ∴12x m -≤≤-，∴21m -≥-，得3m ≤，∴53m -≤≤，∵10x -≠，即502m +≠， ∴3m ≠-，∴满足条件的所有整数m 为：-5，-4，-2，-1,0,1,2,3，其和为：-6，故选：D ．【点睛】此题考查利用分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解的情况求参数，正确掌握方程及不等式组的解的情况确定m 的取值范围是解题的关键． 5．D解析：D【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程，即可求解．【详解】5222m x x+=-- 去分母得：52(2)x m +-=-，∵关于x 的分式方程5222m x x+=--有增根，且增根x=2， ∴把x=2代入52(2)x m +-=-得，5m =-，即：m=-5， 故选D ．【点睛】本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义：使分式方程的分母为零的根，叫做分式方程的增根，是解题的关键．6．A解析：A【分析】根据整数指数幂的运算法则进行运算即可．【详解】解：原式=43431222m m m n n m nn---=⋅=⋅= 故选：A ．【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键 7．C解析：C【分析】先分别计算积的乘方运算，再利用单项式除以单项式法则计算即可．【详解】解：()3222()mm m -÷⋅ ＝()468m m -÷＝()468m m -÷ ＝28m -，故选：C ．【点睛】本题考查单项式除以单项式，积的乘方运算．在做本题时需注意运算顺序，先计算积的乘方，再算除法．8．D解析：D【分析】根据分式有意义的条件得出x +2≠0且x ﹣1≠0，计算即可．【详解】解：要使分式()()221x x x ++-有意义，必须满足x +2≠0且x ﹣1≠0，解得：x ≠﹣2且x ≠1，故选：D ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，能根据分式有意义的条件得出x +2≠0且x ﹣1≠0是解此题的关键．9．B解析：B【分析】最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分；【详解】A 、()()21111111x x x x x x ++==-+-- ； B 、2211x x -+ 的分子分母不能再进行约分，是最简分式； C 、()()22222x y x xy y x y x xy x x y x --+-==-- ； D 、()()()24416428242x x x x x x +---==++ ； 故选：B ．【点睛】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题，在解题中一定要引起注意；．10．C解析：C【分析】根据分式的加减运算的法则计算即可．【详解】222()()a a b a b a b a b b a a b a b a b+-++=-=-----. 故选：C【点睛】本题考查了分式加减运算的法则，熟记法则是解题的关键．11．B解析：B【分析】根据分式的定义逐个判断即可得．【详解】 常数2π是单项式， 15x +是多项式， 221x x --和33x -都是分式， 综上，分式有2个，故选：B ．【点睛】 本题考查了分式的定义，掌握理解分式的定义是解题关键．12．A解析：A【分析】根据分式的减法可以解答本题．【详解】 解：()()214a 241a 2a 4a 2a 2a 2+--==--+-+， 故选：A ．【点睛】本题考查异分母分式的减法运算，解答本题的关键是明确公分母．二、填空题13．【分析】设甲乙丙三种口罩的进价分别为xyz 根据题意可分别求出甲乙丙三种口罩的利润再根据当销售出的甲乙丙口罩件数之比为1：3：2时的总利润为20和当销售出的甲乙丙口罩件数之比为3：2：2时的总利润为2 解析：83【分析】设甲、乙、丙三种口罩的进价分别为x 、y 、z ，根据题意可分别求出甲、乙、丙三种口罩的利润．再根据当销售出的甲、乙、丙口罩件数之比为1：3：2时的总利润为20%和当销售出的甲、乙、丙口罩件数之比为3：2：2时的总利润为24%，列出等式，求出x 、y 、z 之间的关系．最后即可求出只购进甲、乙两种口罩，使总利润为28%时的甲、乙两种口罩的数量比．【详解】设甲、乙、丙三种口罩的进价分别为x 、y 、z ，则销售甲口罩的利润为30%x ，乙口罩的利润为20%y ，丙口罩的利润为5%z ．当销售出的甲、乙、丙口罩件数之比为1：3：2时，设甲口罩售出a 件，则乙口罩售出3a件，丙口罩售出2a 件． 根据题意可列等式：30%320%25%20%32a x a y a z a x a y a z++=++， 整理得：x =3z ．当销售出的甲、乙、丙口罩件数之比为3：2：2时，设甲口罩售出3b 件，则乙口罩售出2b 件，丙口罩售出2b 件．根据题意可列等式：330%220%25%24%322b x b y b z b x b y b z++=++， 整理得：9x-4y =19z ．∴y =2z ． 现只购进甲、乙两种口罩，使总利润为28%，设甲口罩售出A 件，乙口罩售出B 件． 则30%20%28%A x B y A x B y +=+，即30%320%228%32A z B z A z B z ⨯⨯+⨯⨯=⨯+⨯． ∴83A B =． 故答案为：83． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用．根据题意列出每一步的分式方程是解答本题的关键． 14．【分析】根据分式运算的性质结合平方差公式计算即可得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了分式平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算平方差公式的性质从而完成求解解析：+a b【分析】根据分式运算的性质，结合平方差公式计算，即可得到答案．【详解】22a b a b a b ---()()22a b a b a b a b a b a b+--===+-- 故答案为：+a b ．【点睛】本题考查了分式、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算、平方差公式的性质，从而完成求解．15．1【分析】先将第二项的分子分解因式再约分化简即可【详解】故答案为：1【点睛】此题考查分式的乘法掌握乘法的计算法则是解题的关键解析：1【分析】先将第二项的分子分解因式，再约分化简即可．【详解】22x x xy x y x-⋅=-2()1x x x y x y x -⋅=-， 故答案为：1．【点睛】此题考查分式的乘法，掌握乘法的计算法则是解题的关键．16．【分析】（1）分子是连续正整数分母是以x 为底指数是连续正整数第六个分式的分子是6分母是x6（2）分子是以x 为底指数是连续偶数分母是以y 为底指数是连续奇数第奇数个分式符号是正第偶数个分式符号为负第六个 解析：66x 1211x y - 31(1)n n n b a-- 【分析】（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x 6（2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x 12，分母是 y 11,（3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个分式的符号是（-1）n , 分子是b 3n-1，分母是 a n ,【详解】解：（1）分子是连续正整数，分母是以x 为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是66x， （2）分子是以x 为底，指数是连续偶数，分母是以y 为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是1211x y-， （3）分子是以b 为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n 个指数是3n-1；分母是以a 为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n 个符号为（-1）n ，所以，第六个分式是31(1)n nnb a -- 【点睛】 本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键17．﹣【分析】按照先乘方再乘除的运算顺序进行计算即可得到结论；【详解】解：原式＝﹣÷＝﹣•＝﹣故答案为：﹣【点睛】本题考查分式的混合运算按照正确的运算顺序进行运算并及时化简是解题的关键解析：﹣25y x按照先乘方再乘除的运算顺序进行计算即可得到结论；【详解】 解：原式＝﹣36y x ÷y x＝﹣36y x •x y＝﹣25y x， 故答案为：﹣25y x． 【点睛】本题考查分式的混合运算，按照正确的运算顺序进行运算并及时化简是解题的关键． 18．3【分析】要使分式的值为0必须分式分子的值为0并且分母的值不为0【详解】解：要使分式由分子解得：或3；而时分母；当时分母分式没有意义所以的值为3故答案为：3【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件要 解析：3【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．【详解】解：要使分式由分子(1)(3)0m m --=．解得：1m =或3；而3m =时，分母23220m m -+=≠；当1m =时分母2321320m m -+=-+=，分式没有意义．所以m 的值为3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．19．【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案【详解】由题意得：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零解析：1x ≠-【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．【详解】由题意得：10x +≠，解得：1x ≠-，故答案为：1x ≠-．本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 20．【分析】根据异分母分式的加减法则解答即可【详解】解：原式=故答案为：【点睛】本题考查了分式的加减属于基础题目熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键 解析：22x - 【分析】根据异分母分式的加减法则解答即可．【详解】解：原式=()()()()()()()()()()22242222222282222x x x x x x x x x x x x +++-+-+=--==++--． 故答案为：22x -． 【点睛】本题考查了分式的加减，属于基础题目，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 三、解答题21．（1）10；（2）22x y --；-5【分析】（1）实数的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，如果有小括号，先算小括号里面的；（2）整式的混合运算，注意先算乘法，然后再算加减进行合并同类项的化简计算，最后代入求值【详解】解：（1）1301|6|(2)(2)3π-⎛⎫-÷--⨯- ⎪⎝⎭=63(8)1÷--⨯=2+8=10（2）(3)(2)()x x y x y x y +-++=2223(22)x xy x xy xy y +-+++=222323x xy x xy y +---=22x y --当1x =-，2y =时，原式=22(1)2145---=--=-【点睛】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．22．（1）完成这项工程的规定时间是20天；（2）选择方案三，理由见解析．【分析】（1）设完成这项工程的规定时间为x 天，则甲工程队需x 天完成这项工程，乙工程队需（x+5）天完成这项工程，根据由甲、乙两队合作做4天，剩下的工程由乙队单独做，即可得出关于x 的分式方程，解之并检验后即可得出结论．（2）根据总费用=每天需付费用×工作天数，分别求出方案一、三需付的工程款，比较后即可得出结论．【详解】（1）设完成这项工程的规定时间为x 天， 由题意得1144155x x x x -⎛⎫++= ⎪++⎝⎭． 解得：20x ．经检验，20x 是原方程的解，且符合题意．答：完成这项工程的规定时间是20天．（2）选择方案三，理由如下：方案一：所需工程款为20 2.142⨯=（万元）；方案二：超过了规定时间，不符合题意；方案三：所需工程款为4 2.120 1.538.4⨯+⨯=（万元）．∵42＞38.4，∴ 选择方案三．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）由甲、乙两队合作做4天，剩下的工程由乙队单独做，列出关于x 的分式方程；（2）根据数量关系列式计算．23．2x =-【分析】原分式方程两边同乘以x(x-3)，即可去分母将原方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后即可完成解此分式方程．【详解】 解：813(3)x x x x x ++=-- 去分母，得2283x x x x ++=-，解此方程，得2x =-，经检验，2x =-是原方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤以及利用了转化的思想是解题的关键，并切记解分式方程要检验．24．4元【分析】利用第二次进货价格比第一次每千克贵了1元，设该水果店第一次购买苹果的单价为x 元，第二次进货价格（x+1）元，利用等量关系：第二次所购进苹果的数量恰好是第一次购进苹果数量的2倍构造方程．解之即可．【详解】解：设该水果店第一次购买苹果的单价为x 元，则1000250021x x ⨯=+， 解得：4x =，经检验，4x =是分式方程的根，答：该水果店第一次购买苹果的单价是4元．【点睛】本题考查可化为一元一次方程解应用题，掌握列方程解应用题的方法和进价、花费钱数与水果数量之间关系，抓住第二次进货价格比第一次每千克贵了1元设未知数，抓住第二次所购进苹果的数量恰好是第一次购进苹果数量的2倍构造方程是解题关键．25．（1）所得分式的值比原来增大了，计算说明见解析；（2）增大；（3）增大．【分析】（1）先求出11n n m m +-+，通分化简，然后根据0m n ->，0m >判断即可； （2）先求出22n n m m +-+，通分化简，然后根据0m n ->，0m >判断即可； （3）先求出n a n m a m+-+，通分化简，然后根据0m n ->，0m >，0a >判断即可． 【详解】解：（1）由题意得： 11n n m m+-+， (1)(1)(1)(1)m n n m m m m m ++=-++， (1)mn m mn n m m +--=+， (1)m n m m -=+， ∵0m n >>，∴0m n ->，0m >，10m +>， ∴0(1)m n m m ->+， ∴101n n m m+->+，11n n m m+∴>+，即所得分式的值比原来增大了； （2）22n n m m+-+ (2)(2)(2)(2)m n n m m m m m ++=-++ 22(2)mn m mn n m m +--=+ ()2(2)m n m m -=+同理可得()20(2)m n m m ->+， ∴22n n m m+>+，即所得分式的值比原来增大了； （3）n a n m a m +-+ ()()()()m n a n m a m m a m m a ++=-++ ()mn ma mn na m m a +--=+ ()(2)a m n m m -=+∵0m n ->，0m >，0a >，∴()0(2)a m n m m ->+ ∴n a n m a m+>+，即所得分式的值比原来增大了． 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是掌握分式运算的法则． 26．（1）5；（2）-42；（3）222xy x y +；（4）67x ．【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；（2）根据负指数整数幂、零指数幂、绝对值的意义及乘方，计算即可； （3）去括号，然后合并同类项即可；（4）根据积的乘方、幂的乘方运算法则计算即可．【详解】解：（1）2152224-⨯+÷ =115522-+=； （2）()()30201821 3.14413π-⎛⎫-⨯---+- ⎪⎝⎭=271161-⨯-+ =2716142--+=-；（3）()2222322xy x y x y xy ⎡⎤---⎣⎦ =22223242xy x y x y xy +-- =222xy x y +； （4）()()()3323231333xx x x ⎛⎫-+--⋅ ⎪⎝⎭ =6633192727x x x x -+-⋅ =67x ．【点睛】 本题主要考查有理数的混合运算、整式的混合运算，解题的关键是熟练运用运算法则．。
三角形知识归纳与题型突破(10类题型清单)(解析版)—2024-2025学年八年级数学上册单元记巧练
三角形知识归纳与题型突破（10类题型清单）01 思维导图02 知识速记一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．三、三角形的分类1.按角分类：ìïìííïîî直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：ìïìííïîî不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接作∠BAC 的平分线AD ，交BC 1．AD 是△ABC 的高．1．AD 是△ABC 的中线．推理语言因为AD 是△ABC 的高，所以AD ⊥BC ．(或∠ADB ＝∠ADC ＝90°)因为AD 是△ABC 的中线，所以BD ＝DC ＝12BC ．因为AD 平分∠BAC ，所以∠1＝∠2＝12∠BAC ．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．六、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．七、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD 是△ABC 的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．八、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．九、多边形内角和n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；十、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．题型一 三角形的稳定性例题：（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（ ）(3)2n n -(2)180n n-g °360n°03 题型归纳A．全等性B．对称性C．稳定性D．灵活性【答案】C【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答．【详解】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性，故选；C．巩固训练1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是（）A．三角形的不稳定性B．三角形的稳定性C．四边形的不稳定性D．四边形的稳定性【答案】B【分析】本题主要考查了三角形的特性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性；根据三角形的稳定性进行解答即可．【详解】解：港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是：三角形的稳定性．故选：B．3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是.【答案】三角形的稳定性【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性，即可求解．【详解】解：松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，其中的数学道理是三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性．4．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是因为三角形具有．【答案】稳定性【解析】略例题：（23-24七年级下·江苏盐城·期末）下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位：cm)，其中能搭成三角形的是（）A．4，5，10B．5，5，10C．5，8，10D．5，10，15【答案】C【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．【详解】解：A、4510+<，长度是4，5，10的小木棒不能搭成三角形，故本选项不符合题意；+=，长度是5，5，10的小木棒不能搭成三角形，故本选项不符合题意；B、5510+>，长度是8，5，10的小木棒能搭成三角形，故本选项符合题意；C、5810+=，长度是15，5，10的小木棒不能搭成三角形，故本选项不符合题意．D、51015故选：C．巩固训练1．（23-24七年级下·海南儋州·期末）下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（）A．1，3，5B．2，4，6C．1，2，3D．3，4，5【答案】D【分析】题目主要考查了三角形三边关系，理解题意，熟练运用三角形三边关系是解题关键．根据“三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，依次判断即可．+<，不能构成三角形；【详解】解：A、135+=，不能构成三角形；B、246+=，不能够组成三角形；C、123+>，能构成三角形．D、345故选：D．2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）甲同学对下列三角形的边长分别进行标注，那么他标注错误的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．根据三角形的三边关系求解即可．+>，故标注正确；【详解】A．∵234+>，故标注正确；B．∵335+=<，故标注错误；C．∵1345+>，故标注正确．D．∵536故选：C．3．（2024·河北邯郸·二模）将一根吸管按如图所示的位置摆放在单位长度为1的数轴（不完整）上，吸管左-”处，右端对应数轴上的“5”处．若将该吸管剪成三段围成三角形，第一刀剪在数轴上的端对应数轴上的“8“5-”处，则第二刀可以剪在（ ）A ．“4-”处B ．“3-”处C ．“1-”处D ．“2”处【答案】C【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，有理数与数轴，分别求出第二刀位置在四个选项中的位置时三段的长，再根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可．【详解】解：A 、第二刀剪在“4-”处时，则剪成的三段的长分别为()()()583451,549---=---=--=，，∵319+<，∴此时不能构成三角形，不符合题意；B 、第二刀剪在“3-”处时，则剪成的三段的长分别为()()()583352,538---=---=--=，，∵328+<，∴此时不能构成三角形，不符合题意；C 、第二刀剪在“1-”处时，则剪成的三段的长分别为()()()583154,516---=---=--=，，∵346+>，∴此时能构成三角形，符合题意；D 、第二刀剪在“2”处时，则剪成的三段的长分别为()()583257,523---=--=-=，，∵337+<，∴此时不能构成三角形，不符合题意；故选：C ．题型三 已知三角形的两边长，求第三边的取值范围例题：（23-24七年级下·重庆·期末）已知ABC V 两边长分别为4与5，第三边的长为奇数，则第三边的长的最大值为 ．【答案】7【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先设第三边长为x ，根据三角形的三边关系可得5454x -<<+，再解不等式可得x 的范围，然后再确定x 的值即可．【详解】解：设第三边长为x ，由题意得：5454x -<<+，解得：19x <<，∵第三边的长为奇数，∴3x =、5或7，∴第三边的长的最大值为7．故答案为：7．巩固训练1．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）已知三角形的两边长为3和4，则第三条边长可以为 ．（请写出一个符合条件的答案）2．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）一个三角形的两边长为2和6，第三边为奇数，则这个三角形的周长为 ．【答案】13或15【分析】根据三角形三边的关系确定出第三边的取值范围，再根据第三边为奇数结合三角形周长公式进行求解即可．本题主要考查了三角形三边的关系的应用，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．【详解】解：∵一个三角形的两边长为2和6，设第三边长为x ，∴6262x -<<+，即48x <<∵第三边为奇数，∴第三边长为5或7当第三边长为5时，该三角形的周长是25613++=；++=；当第三边长为7时，该三角形的周长是27615综上所述，这个三角形的周长为13或15．故答案为：13或15．3．（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）一个三角形的两边长分别为5和7，若x为最长边且为整数，则此三角形的周长为．题型四 判断是否三角形的高线例题：下列各图中，正确画出AC边上的高的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案．V中AC边上的高即为过点B作AC的垂线段，该垂线段即为AC边上的高，四个选项中【详解】解：ABC只有选项D符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段叫三角形的高．巩固训练1．下面四个图形中，线段BD 是ABC V 的高的图形是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【分析】根据三角形的高的定义逐项分析即可解答．【详解】解：A ．线段BD 是BDA △的高，选项不符合题意；B ．线段BD 是ABD △的高，选项不符合题意；C ．线段BD 是ABD △的高，选项不符合题意；D ．线段BD 是ABC V 的高，选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查三角形的高的定义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．2．（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在ABC V 中，A Ð是钝角，下列图中作BC 边上的高线，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据三角形的高的定义判断即可．【详解】解：在ABC V 中，A Ð是钝角，BC 边上的高线就是过点A 作BC 边的垂线得到的线段，如图，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．掌握定义是解题的关键．3．如图，AD BC ^，EC BC ^，CF AB ^，点D ，C ，F 是垂足，下列说法错误的是（ ）A ．ABD △中，AD 是BD 边上的高B ．ABD △中，EC 是BD 边上的高C ．CEB V 中，EC 是BC 边上的高D ．CEB V 中，FC 是BE 边上的高【答案】B 【分析】根据三角形高的定义依次判断即可．【详解】解：A 、ABD △中，AD 是BD 边上的高，故此选项正确，不符合题意；B 、ABD △中，EC 不是BD 边上的高，故此选项错误，符合题意；C 、CEB V 中，EC 是BC 边上的高故此选项正确，不符合题意；D 、CEB V 中，FC 是BE 边上的高，故此选项正确，不符合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查了三角形高的概念，应熟记三角形的高应具备的两个条件：①经过三角形的一个顶点，②垂直于这个顶点的对边．题型五 根据三角形的中线求面积A ．4B 【答案】B 【分析】根据三角形中线平分三角形面积，先证明【详解】解：如图所示，连接F Q 为CE 中点，1S S 2BFC BEC \=V V .同理可得，1S S 2CDE ADC =V V 1S S S S 2CDE BDE BCE \+==V V V 1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）如图，AD BE 、是ABC V 的中线，则下列结论中，正确的个数有（ ）（1）AOE COE S S =V V ；（2）AOB EODC S S =V 四边形；（3）2BOC COE S S =V V ；（4）4ABC BOC S S =V V ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】如图，首先证明AOE COE S S =V V （设为λ），BOD COD S S =△△（设为μ）；进而证明2AOB COB S S m ==V V ，2AOC BOC S S m ==V V ，得到2AOC BOC S S m ==V V ，进而得到l m =，此为解决问题的关键性结论，运用该结论即可解决问题【详解】解：∵AD BE 、是ABC V 的中线，∴AE CE BD CD ==，；∴AOE COE S S =V V （设为λ），BOD COD S S =△△（设为μ），ABE CBE S S =V V ，∴2AOB COB S S m ==V V ；同理可证：2AOC BOC S S m ==V V ，即22l m =，l m =；∴选项（1）、（2）、（3）均成立，选项（4）不成立，故选：C ．【点睛】该题主要考查了三角形中线的定义、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用等底同高的两个三角形的面积相等这一规律，来分析、判断、推理或解答．2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，BD 是ABC V 的中线，点E 、F 分别为BD CE 、的中点，若AEF △的面积为22cm ，则ABC V 的面积是________2cm ．【答案】8【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．【详解】∵点F 是CE 的中点，AEF △的面积为22cm ，∴224cm ACE AEF S S ==△△．∵点E 是BD 的中点，∴ADE ABE S S =V V ，CDE CBE S S =△△．【答案】36【分析】根据三角形中线与面积的关系，等高模型进行求解即可．【详解】设AEF△的面积为x，∵13AE AD=，13AF AC=，【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的面积，熟练掌握三角形的中线与面积的关系是解题的关键．题型六 与平行线有关的三角形内角和问题例题：（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知AB ED ∥，80EDC Ð=°，53ECD Ð=°，105B Ð=°，那么ACB =∠ ．1．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形ABC 中，点D ，H ，E 分别是边AB ，BC ，CA 上的点，连接DE ，DH ，F 为DH 上一点，连接EF ，若12180Ð+Ð=°，365B Ð=Ð=°，52C Ð=°．则FEC Ð的度数为 °．【答案】63【分析】由12180Ð+Ð=°，1180DFE Ð+Ð=°，得到2DFE Ð=Ð，根据平行线的判定，得到AB FE ∥，根据平行线的性质，得到FEC A Ð=Ð，根据三角形内角和定理，求出A Ð的度数，即可求解，本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．【详解】解：∵12180Ð+Ð=°，1180DFE Ð+Ð=°，∴2DFE Ð=Ð，∴AB FE ∥，∴FEC A Ð=Ð，∵180180655263A B C Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，∴63FEC A Ð=Ð=°，故答案为：63．2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，AN 平分BAM Ð，BM 平分ABN Ð，AN BM ^于点C ，25MBN Ð=°，则下列说法：①90BCN Ð=°；②AM BN P ；③50DAM Ð=°；④60MAN Ð=°，其中正确的是 ．（填序号）∴90BAN ABM Ð+Ð=°，∴()2290180BAM ABN BAN ABM Ð+Ð=Ð+Ð=´°=°，∴AM BN P ，故②正确；∵25MBN Ð=°，BM 平分ABN Ð，∴50ABN Ð=°，∵AM BN P ，∴50DAM ABN Ð=Ð=°，故③正确；∵90BCN Ð=°，∴90902565ANB MBN Ð=°-Ð=°-°=°，∵AM BN P ，∴65MAN ANB Ð=Ð=°，故④错误；综上所述，正确的说法有①②③．故答案为：①②③．3．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB 上，其中3045OMN OCD Ð=°Ð=°，．将三角尺OCD 绕点O 以每秒10°的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t 秒．在旋转的过程中，边CD 恰好与边MN 平行，t 的值为 ．【答案】10.5或28.5【分析】本题考查了旋转性质以及平行线的性质，三角形的内角和为180度，先根据旋转的方向，再逐一把满足条件的图作出来，再结合图形以及运用平行线的性质列式计算，即可作答．【详解】解：如图：当11C D 与边MN 平行时，∵3045OMN OCD Ð=°Ð=°，，∴1903060MNO Ð=Ð=°-°=°，19045D CDO OCD Ð=Ð=°-Ð=°，∴()12180180115D Ð=°-°-Ð+Ð=°，即19015105DOD Ð=°+°=°，∵将三角尺OCD 绕点O 以每秒10°的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t 秒．∴10105t °=°，∴10.5t =；如图：当22C D 与边MN 平行时，∵3045OMN OCD Ð=°Ð=°，，∴3903060MNO Ð=Ð=°-°=°，29045D CDO OCD Ð=Ð=°-Ð=°，∴()14180180315D Ð=°-°-Ð+Ð=°，即2901575DOD Ð=°-°=°，∵将三角尺OCD 绕点O 以每秒10°的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t 秒．∴1036075t °=°-°，∴28.5t =；综上：边CD 恰好与边MN 平行，t 的值为10.5或28.5故答案为：10.5或28.5题型七 与角平分线有关的三角形内角和问题例题：（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在ABC V 中，AD 平分BAC Ð，过点A 作EF BC ∥．若40EAB Ð=°，80C Ð=°，则ADC Ð= ．1．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在ABC V 中，125BDC Ð=°，如果ABC Ð与ACB Ð的平分线交于点D ，那么A Ð= 度．2．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，在ABC V 中，BD CD 、分别平分,ABC ACB BG CG ÐÐ、、分别平分三角形的两个外角,48EBC FCB G ÐÐÐ=°、，则D Ð= °．3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在ABC V 中，30B Ð=°，70C Ð=°，AE 平分BAC Ð，AD BC ^于点D ．(1)求BAE Ð的度数．(2)求EAD Ð的度数．题型八 三角形的外角的定义及性质例题：（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在ABC V 中，点D 在BC 的延长线上，70A Ð=°，120ACD Ð=°，则B Ð= °．【答案】50【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和即可解题．【详解】解：由三角形的外角性质得：ACD A B Ð=Ð+Ð，70,120A ACD Ð=°Ð=°Q ，1207050B ACD A \Ð=Ð-Ð=°-°=°，故答案为：50．巩固训练1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知直线12l l ∥，154Ð=°，2100Ð=°，则A Ð= 度．【答案】46【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等，外角等于不相邻的两个内角的和求解即可．【详解】解：12l l Q ∥，154Ð=°，2100Ð=°154ABC \Ð=Ð=°2A ABC \Ð=Ð+Ð，即21005446A ABC Ð=Ð-Ð=°-°=°故答案为：46．2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，ABC V 的两个外角的平分线交于点P ．若64BPC Ð=°，则A Ð= ．3．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知直线 12l l ∥，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若2140Ð=°，则1Ð= ．题型九 多边形的内角和与外角和例题：（23-24七年级下·江苏镇江·期末）足球的表面是由 12个正五边形和20个正六边形组成的.如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的一个正五边形展开放平，则图中的 ABC Ð= ．【答案】132°/132度【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，熟知多边形内角和计算公式是解题的关键．根据多边形内角和公式进行求解即可．【详解】Q 正五边形内角和为()18052540°´-=°正六边形内角和为()18062720°´-=°\正五边形每个内角度数为108°，正六边形每个内角度数为120°360108120132ABC \Ð=°-°-°=°故答案为：132°巩固训练1．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，3Ð和4Ð是四边形ABCD 的外角，若1120Ð=°，275Ð=°，则34Ð+Ð= ．2．（23-24八年级下·江西萍乡·期末）一个多边形的内角和是它的外角和的1.5倍，则这个多边形的边数为 ．【答案】5/五【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形内角和的公式是解题的关键．设这个多边形的边数为n ，根据多边形内角和公式和外角和为360°列方程求解即可得出答案．【详解】解：设这个多边形的边数为nQ n 边形的内角和为()2180n -´°，多边形的外角和为360°()2180360 1.5n \-´°=°´解得5n =\这个多边形的边数为5故答案为：5．3．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知59MON Ð=°，正五边形ABCDE 的顶点A 、B 在射线OM 上，顶点E 在射线ON 上，则NED Ð的度数为 ．题型十 在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积´的网格，每一小格均例题：（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为79V．为正方形，已知ABCV中BC边上的中线AD；(1)画出ABCV中AB边上的高CE．(2)画出ABCV的面积为_________．(3)直接写出ABC【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)6．【分析】（1）取BC的中点D，连接AD，即为所求；（2）取格点E，连接CE，CE即为所求；（3）用直接利用面积公式进行求解即可．【详解】（1）解：如图所示，AD即为所求；（2）如图，CE即为所求；(1)画出ABCV中边BC上的高(2)画出ABCV中边AB上的中线(3)直接写出ACE△的面积为______（2）如图，线段CE即为所求；（3）12442ACES=´´= V．故答案为：4．2.（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在方格纸内将ABC V 水平向右平移4个单位得到A B C ¢¢¢V ．(1)画出A B C ¢¢¢V ；(2)若连接AA ¢，BB ¢，则这两条线段之间的关系是_________；(3)画出AB 边上的中线CD ；（利用网格点和直尺画图）(4)图中能使ABC PBC S S ＝△△的格点P 有_________个（点P 异于点A ）．（2）连接AA ¢，BB ¢，根据平移性质可知，这两条线段之间的关系是平行且相等；故答案为：平行且相等．（3）解：如图，CD 即为所求．（4）解：如图，过点A 作BC 的平行线，所经过的格点1P ，2P ，3P 即为满足条件的点，共有3个．故答案为：3．3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形边长均为1，在方格纸内将ABC V 的点C 平移至点C ¢得到A B C ¢¢¢V ．(1)画出A B C ¢¢¢V ；(2)线段AC 和A C ¢¢的关系是_______．(3)借助方格画出AB 边上的中线CE ；(4)四边形 ACC A ¢¢面积为_______．【答案】(1)见详解(2)平行且相等(3)见详解(4)23【分析】（1）观察发现，C ¢点是由C 点先向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到的，因此只需将A 点和B 点也按相同的方式平移即可得到A ¢和B ¢，再顺次连接A ¢、B ¢、C ¢即可．（2）根据“平移前后对应点的连线平行且相等”即可得解．（3）根据三角形的中线，高线的定义画出图形即可；（4）四边形ACC A ¢¢的面积2ACA S ¢=V ，利用割补法求解即可．（2）解：根据平移的性质可得：线段AC 故答案为：平行且相等（3）解：如（1）图，线段CD ，CE 即为所求；（4）解：2257(ACA ACC A S S ¢¢¢==´´-V 四边形故答案为：23【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的中线，高线等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用割补法求三角形面积．。
八年级数学上册 单元清5 (新版)湘教版
单元清检测内容：第4章 一元一次不等式(组)得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．把不等式x ＋2＞4的解集表示在数轴上，正确的是( B )2．若a >b ，则下列不等式一定成立的是( C )A ．a －b <0 B.a 3<b 3C ．－b >－aD ．－1＋a <－1＋b3．在解不等式1－x 3＜5x ＋1－2时，其中最早错误的一步是( A ) ①去分母，得2(x －1)＜3(5x ＋1)；②去括号，得2x －2＜15x ＋3；③移项，得2x －15x＜3＋2；④合并，得－13x ＜5；⑤解集为x ＞－513. A ．① B ．② C ．③ D ．⑤4．不等式x －5＞4x －1的最大整数解是( A )A ．－2B ．－1C ．0D ．15．现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨．若安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排( C )A ．4辆B ．5辆C ．6辆D ．7辆6．若a ＜1，则(a －1)x ＋1＞0的解集为( D )A ．x ＞1a －1B ．x ＜1a －1C ．x ＞－11－aD ．x ＜11－a 7．(2015·杭州模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2<3x －6，x<m 无解，那么m 的取值范围是( D ) A ．m >2 B ．m <2 C ．m ≥2 D ．m ≤28．某电脑用户计划用不超过530元的资金购买单价为70元的单片软件和80元的盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( C )A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种9．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4－a ，x －y ＝3a ，其中－3≤a≤1.给出下列结论：①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－1是方程组的解；②当a ＝－2时，x ，y 的值互为相反数；③当a ＝1时，方程组的解也是方程x ＋y ＝4－a 的解；④若x≤1，则1≤y≤4.其中正确的是( C )A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①③④10．若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －m ＜0，7－2x ≤1的整数解共有4个，则m 的取值范围是( D ) A ．6＜m ＜7 B ．6≤m ＜7 C ．6≤m ≤7 D ．6＜m ≤7二、填空题(每小题3分，共24分)11．当a ＝__1__时，不等式x 2a －1＜3是一元一次不等式．12．(2014·娄底)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋4<2，x －3≤2的解集是__2<x ≤5__． 13．(2014·义乌)写出一个解为x≥1的一元一次不等式__2x －2≥0(答案不唯一)__．14．能使不等式12(3x －1)－(5x －2)＞14成立的最大整数值是__0__． 15．若x －y ＞x ，x ＋y ＜y ，则xy__>__0(填“>”或“<”)．16．某商品的进价是500元，标价为750元，若商店要求以利润率不低于5%的售价打折，则售货员最低可以打__8.7__折出售此商品．17．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ＜1，x －2b ＞3的解集是－1＜x ＜1，那么(a ＋1)(b －1)＝__－6__． 18．小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸的体重为69千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈的一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地，后来小宝借来一个质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被翘起离地，若小宝的体重为整数，则小宝的体重是__22__千克．三、解答题(共66分)19．(8分)解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：(1)3(1－x)＜2(x ＋9); (2)x ＋52－1≤3x ＋22. 解：(1)x ＞－3，解集在数轴上表示略； (2)x≥12，解集在数轴上表示略20．(7分)(2015·永州模拟)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x －1>3（x ＋1），1＋2x 3≥x－1，再求出它的整数解． 解：不等式组的解集为2＜x≤4.它的整数解为3，421．(9分)已知关于x 的方程2x －ax ＝3的解是不等式5(x －2)－7＜6(x －1)－8的最小整数解，求代数式4a －14a的值． 解：解不等式得x ＞－3，∴其最小整数解为x ＝－2.将x ＝－2代入方程得a ＝3.5，则4a －14a＝1022．(10分)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝－4＋a ，2x ＋y ＝2－3a 的解中，x 为非正数，y 为正数，求a 的取值范围．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝－4＋a ，2x ＋y ＝2－3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－a 2，y ＝3－2a.∵x 为非正数，y 为正数，∴x ≤0，y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a 2≤0，3－2a ＞0，解得－1≤a ＜3223．(10分)将一筐苹果分给若干个小孩，若每人分5个，则多余1个；若每人分6分，则最后一个小孩能分到苹果，但不够3个，问有多少个小孩和多少个苹果？解：设有x 个小孩，则有(5x ＋1)个苹果．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋1－6（x －1）>0，5x ＋1－6（x －1）<3，解得4<x<7.∵x 为正整数，∴x ＝5或6.因此有5个小孩，26个苹果或6个小孩，31个苹果24．(10分)若不等式(2a －b )x ＋3b －4a ＜0的解集是x ＞73，求不等式(a －4b )x ＋2a －3b ＜0的解集．解：由题意可知2a －b<0，不等式(2a －b )x ＋3b －4a<0的解集可表示为x>4a －3b 2a －b ，∵不等式(2a －b )x ＋3b －4a<0的解集是x>73，∴4a －3b 2a －b ＝73，∴a ＝－b.∴2a ＋a<0，a<0.∴(a －4b )x ＋2a －3b ＝5ax ＋5a<0，∴x>－1.25．(12分)(2015·金溪县模拟)某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种优惠方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按9.5折优惠，已知小敏5月1日前不是该商店的会员．(1)若小敏不购买会员卡，所购的商品的价格为200元时，实际应付多少元？(2)请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？解：(1)实际应付200×0.95＝190(元)；(2)设所购买商品的价格为x 元．若方案一更合算，则0.95x>0.8x ＋168，解得x>1 120.故所购买商品的价格在1 120元以上时，采用方案一更合算。
(人教版)石家庄市八年级数学上册第五单元《分式》检测(包含答案解析)
一、选择题1．某市铺设一条长660米的管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天铺设的管道长比计划增加10%，结果提前6天完工，求实际每天铺设管道长度及实际施工天数，小明列出方程：660660(110%)x x -+=6，题中x 表示的量为（ ） A ．实际每天铺设管道长度B ．实际施工天数C ．计划施工天数D ．计划每天铺设管道的长度 2．下列命题中，属于真命题的是（ ）A ．如果0ab =，那么0a =B ．253x x x -是最简分式C ．直角三角形的两个锐角互余D ．不是对顶角的两个角不相等3．如果分式2121x x -+的值为0，则x 的值是（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．±1 4．若关于x 的方程1044m x x x --=--无解，则m 的值是（ ） A ．2-B ．2C ．3-D ．3 5．关于代数式221a a+的值，以下结论不正确的是（ ） A ．当a 取互为相反数的值时，221a a +的值相等 B ．当a 取互为倒数的值时，221a a +的值相等 C ．当1a >时，a 越大，221a a +的值就越大 D ．当01a <<时，a 越大，221a a+的值就越大 6．计算233222()m n m n -⋅-的结果等于（ ） A ．2m n B ．2n m C ．2mn D ．72mn 7．在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为1a ，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为2a ，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为()3,,1a n ⋅⋅⋅+条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为n a ，若121111011111n a a a ++⋅⋅⋅+=---，则n =（ ） A ．10 B ．11 C ．20 D ．218．将0.50.0110.20.03x x +-=的分母化为整数，得（ ） A ．0.50.01123x x +-= B ．5051003x x +-= C ．0.50.01100203x x +-= D ．50513x x +-= 9．化简232a b c a b c c b a b c a c b c a b -+-+--++--+--的结果是（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2(2)b c c a b --- 10．下列各式中错误的是（ ）A ．2c d c d c d c d d a a a a -+-----== B ．5212525a a a +=++ C ．1x y x y y x -=--- D ．2211(1)(1)1x x x x -=--- 11．如果关于x 的不等式组0243(2)x m x x -⎧>⎪⎨⎪-<-⎩的解集为1x >，且关于x 的分式方程1322x m x x -+=--有非负整数解，则符合条件的所有m 的取值之和为（ ） A ．8-B ．7-C ．15D ．15- 12．化简214a 2a 4---的结果为（ ） A ．1a 2+ B ．a 2+ C ．1a 2- D ．a 2-二、填空题13．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米，甲同学先步行600米然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校，已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的12，公交车速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校结果甲同学比乙同学早到2分钟，若甲同学到达学校时，乙同学离学校还有m 米，则m =________．14．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：3(1)441111a a a a a +-+==+---，212(1)332111a a a a a -+-==-+++．参考上面的方法，解决下列问题：（1）将1a a +变形为满足以上结果要求的形式：1a a =+_________；（2）①将321a a +-变形为满足以上结果要求的形式：321a a +=-_________；②若321a a +-为正整数，且a 也为正整数，则a 的值为__________． 15．如果实数x 、y 满足方程组30233x y x y +=⎧⎨+=⎩，求代数式（xy x y ++2）÷1x y =+_____． 16．计算22111m m m---，的正确结果为_____________． 17．化简分式：2121211a a a a +⎛⎫÷+= ⎪-+-⎝⎭_________． 18．当2x =，3y =-时，代数式22222-⋅++x y x x x xy y 的值为________． 19．计算35232()()()a a a ⎡⎤-÷-⋅-⎣⎦＝__．20．某公司生产了A 型、B 型两种计算机，它们的台数相同，但总价值和单价不同．已知A 型计算机总价值为102万元；B 型计算机总价值为81.6万元，且单价比A 型机便宜了2400元．问A 型、B 型两种计算机的单价各是多少万元．若设A 型计算机的单价是x 万元，请你根据题意列出方程________．三、解答题21．己知A 、B 两地相距240千米，甲从A 地去B 地，乙从B 地去A 地，甲比乙早出发3小时，两人同时到达目的地．已知乙的速度是甲的速度的2倍．（1）甲每小时走多少千米？（2）求甲乙相遇时乙走的路程．22．先化简，再求值：2213242x x x x x x -+÷--+，其中x 与2，4构成等腰三角形的三边． 23．秋冬来临之际，天气开始慢慢变冷，某商家抓住商机，在十一月份力推甲、乙两款儿童棉服．已知十一月份甲款棉服的销售总额为8400元，乙款棉服的销售总额为9000元，乙款棉服的单价是甲款棉服单价的1.2倍，乙款棉服的销售数最比甲款棉服的销售数量少6件．（1）求十一月份甲款棉服的单价是多少元?（2）十二月份，为了加大推销力度，该商家将甲款棉服的单价在十一月份的基础上下调了%a ，结果甲款棉服的销量比十一月份多卖了24件；乙款棉服的单价在十一月份的基础上下调3%2a ，结果乙款棉服的销量比十一月份多卖了50件．要使十二月份的总销售额不低于22200元，求a 的最大值，24．先化简，再求值：22131x x x x x ---+-，其中2x =． 25．（提示：我们知道，如果0a b ->，那么a b >．）已知0m n >>．如果将分式n m的分子、分母都加上同一个不为0的数后，所得分式的值比n m是增大了还是减小了？请按照以下要求尝试做探究． （1）当所加的这个数为1时，请通过计算说明；（2）当所加的这个数为2时，直接说出结果； （3）当所加的这个数为0a >时，直接说出结果．26．先化简，再求值：2222631121x x x x x x x ++-÷+--+，其中2x =-．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据计划所用时间-实际所用时间=6，可知方程中未知数x 所表示的量．【详解】解：设原计划每天铺设管道x 米，则实际每天铺设管道()110%x +， 根据题意，可列方程：6606(110%)660x x -=+， 所以小明所列方程中未知数x 所表示的量是计划每天铺设管道的长度，故选：D ．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是依据所给方程还原等量关系． 2．C解析：C【分析】根据有理数的乘法、最简分式的化简、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可．【详解】解：A. 如果 ab=0，那么a=0或b=0或a 、b 同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意； B. ()2555==333x x x x x x x ---，故253x x x-不是最简分式，本选项说法是假命题，不符合题意；C. 直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；D. 不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉教材中的性质定理．3．D解析：D【分析】直接利用分式的值为零的条件，即分子为零，分母不为零，进而得出答案．【详解】解：∵分式2121x x -+值为0， ∴2x+1≠0，210x -=，解得：x=±1．故选：D ．【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分子为零分母不为零是解题关键． 4．D解析：D【分析】 根据方程1044m x x x--=--无解，得出方程有增根，利用增根的定义可求得x ＝4，并把x ＝4代入转化后的整式方程m ＋1−x ＝0，即可求出m 的值．【详解】解：去分母得：m ＋1−x ＝0， ∵方程1044m x x x--=--无解， ∴x ＝4是方程的增根，∴m ＝3．故选：D ．【点睛】 本题考查了分式方程无解问题，解题的关键是理解增根的定义，并能准确求出增根． 5．D解析：D【分析】根据相反数的性质，倒数的性质以及不等式的性质来解决代数式的值即可；【详解】当a 取互为相反数的值时，即取m 和-m ，则-m+m=0，当a 取m 时，①222211=m a a m++ ，当a 取-m 时，②()()222222111a m m a m m +=-+=+- ， ①=②，故A 正确； B 、当a 取互为倒数的值时，即取m 和1m ，则11m m ⨯= ， 当a 取m 时，①222211=m a a m ++，当a 取1m 时，②2222221111m 1m a m a m ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭①=②，故B 正确；C 、可举例判断，由a ＞1得，取a=2，3（2＜3） 则22112=424++＜ 22113=939++ ， 故C 正确； D 、可举例判断，由01a ＜＜得，取a=12，13（12＞13） 2222111111=4+=924391123⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜ ， 故D 错误；故选：D ．【点睛】本题考查了相反数的性质，倒数的性质，不等式的性质和代数式求值的知识，正确理解题意是解题的关键．6．A解析：A【分析】根据整数指数幂的运算法则进行运算即可．【详解】解：原式=43431222m m m n n m nn---=⋅=⋅= 故选：A ．【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键 7．C解析：C【分析】根据直线相交得到交点个数的规律，再利用裂项法进行有理数的运算即可解题．【详解】根据题意得，2条直线最多将平面分成4个区域1=4a ，3条直线最多将平面分成7个区域2=7a ，4条直线最多将平面分成11个区域3=11a ，5条直线最多将平面分成16个区域4=16a则11=3=1+2a -， 21=6=1+2+3a -，31=10=1+2+3+4a -，41=15=1+2+3+4+5a - 1=1+2+3+4+51n a n ∴-++12111111n a a a ∴++⋅⋅⋅+--- 111=1+21+2+31+2+3++(n+1)++⋅⋅⋅+ 111=(1+2)2(1+3)3(1+n+1)(n+1)222++⋅⋅⋅+⨯⨯11122334(1)(2)n n ⎡⎤=+++⎢⎥⨯⨯++⎣⎦ 1111112233412n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥++⎣⎦ 11222n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦ 2n n =+ 121111011111n a a a ++⋅⋅⋅+=--- 10211n n ∴=+ 2101211n ∴-=+ 21211n ∴=+ 222n ∴+=20n ∴=经检验n=20是原方程的根故选：C ．【点睛】本题考查相交线，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．8．D解析：D【分析】根据分式的基本性质求解．【详解】 解：将0.50.0110.20.03x x +-=的分母化为整数，可得50513x x +-=． 故选：D ．【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键． 9．A解析：A【分析】通过变号，把分母变成同分母，相加即可．【详解】 原式＝232a b c a b c c b a b c a b c a b c -+-+---+-+-+-， ＝23()(2)a b c a b c c b a b c -+--+--+-， ＝232a b c a b c c b a b c-+-+--++-， ＝0.故选：A【点睛】本题考查了分式的加减，先把分母通过变号变为同分母是解题关键．10．C解析：C【分析】按同分母分式加减法则计算即可.【详解】 A.2c d c d c d c d d a a a a -+-----==，正确； B.52521252525a a a a a ++==+++，正确；C.x y x y x y x y y x x y x y x y +-=+=-----，错误； D.222111(1)(1)(1)1x x x x x x --==----，正确. 故选：C【点睛】此题考查同分母分式的加减法的法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减. 11．B解析：B【分析】解出不等式组，求出不等式组的解集，确定m 的取值范围，再解出分式方程，找到分式方程的非负整数解，进而求出m 的值即可．【详解】 解：0243(2)x m x x -⎧>⎪⎨⎪-<-⎩①②，解不等式①得：x m >，解不等式②得：1x >，不等式组的解集为1x >，∴1m ；1322x m x x -+=-- 方程两边同时乘以()2x -得：()132x m x --=-； 解得：52m x +=， ∴25m x =-，1m ，∴251x -≤，∴3x ≤，分式方程有非负整数解且20x -≠，∴x 的值为：0，1，3，此时对应的m 的值为：5-，3-，1，∴符合条件的所有m 的取值之和为：()5317-+-+=-．故选：B ．【点睛】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，求得m 的取值范围以及求出分式方程的解是解题的关键．12．A解析：A【分析】根据分式的减法可以解答本题．【详解】 解：()()214a 241a 2a 4a 2a 2a 2+--==--+-+， 故选：A ．【点睛】本题考查异分母分式的减法运算，解答本题的关键是明确公分母．二、填空题13．600【分析】设乙骑自行车的速度为x 米/分钟则甲步行速度是x 米/分钟公交车的速度是2x 米/分钟根据题意找到等量关系：甲步行的时间+甲公车时间=乙的时间-2分钟列方程即可得到乙的速度甲同学到达学校时乙解析：600【分析】设乙骑自行车的速度为x 米/分钟，则甲步行速度是12x 米/分钟，公交车的速度是2x 米/分钟，根据题意找到等量关系：甲步行的时间+甲公车时间=乙的时间-2分钟，列方程即可得到乙的速度，甲同学到达学校时，乙同学离学校还有2x 米,即可得到结论；【详解】解：设乙骑自行车的速度为x 米/分钟，则甲步行速度是12x 米/分钟，公交车的速度是2x 米/分钟，根据题意得 600300060030002122x x x -+=- ， 解得：x=300米/分钟，经检验x=300是方程的根，则乙骑自行车的速度为300米/分钟．那么甲同学到达学校时，乙同学离学校还=2×300=600米．故答案为：600．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 14．2或6【分析】（1）根据材料中分式转化变形的方法即可把变形为满足要求的形式；（2）①根据材料中分式转化变形的方法即可把变形为满足要求的形式；②令可先求出a 与x 是整数时的对应值再从所得结果中找出符合条解析：111a -+ 531a +- 2或6 【分析】 （1）根据材料中分式转化变形的方法，即可把1a a +变形为满足要求的形式； （2）①根据材料中分式转化变形的方法，即可把321a a +-变形为满足要求的形式；②令325311a x a a +==+--，可先求出a 与x 是整数时的对应值，再从所得结果中找出符合条件的a ，x 的值，即可得出结论．【详解】 解：（1）1111111a a a a a +-==-+++； 故答案为：111a -+； （2）①323(1)553111a a a a a +-+==+---； 故答案为：531a +-； ②∵323(1)553111a a a a a +-+==+--- 令531x a =+-， 当x ， a 都为整数时，11a -=±或15a -=±，解得a ＝2或a ＝0或a ＝6或a ＝-4，当a ＝2时，x ＝8；当a ＝0时，x ＝-2；当a ＝6时，x ＝4；当a ＝-4时，x ＝2；∵x ， a 都为正整数，∴符合条件的a 的值为2或6．故答案为：2或6．【点睛】此题考查了分式的加减及求分式的值等知识，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键．15．1【分析】先进行分式计算再解方程组代入即可求解【详解】解：原式==xy+2x+2y 解方程组得：当x=3y=﹣1时原式=﹣3+6﹣2=1故答案为：1【点睛】此题考查了分式的化简求值熟练进行分式化简解出解析：1先进行分式计算，再解方程组，代入即可求解．【详解】解：原式=()22xy x y x y x y++⋅++=xy +2x +2y ， 解方程组30233x y x y +=⎧⎨+=⎩得：31x y =⎧⎨=-⎩， 当x =3，y =﹣1时，原式=﹣3+6﹣2=1．故答案为：1．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练进行分式化简，解出二元一次方程组是解本题的关键． 16．【分析】根据分式的加减法运算法则平方差公式因式分解计算即可解答【详解】解：===故答案为：【点睛】本题考查分式的加减运算平方差公式因式分解熟记公式掌握分式的加减运算法则是解答的关键 解析：11m - 【分析】根据分式的加减法运算法则、平方差公式因式分解计算即可解答．【详解】 解：22111m m m --- =22111m m m +-- =1(1)(1)m m m ++- =11m -， 故答案为：11m -． 【点睛】本题考查分式的加减运算、平方差公式因式分解，熟记公式，掌握分式的加减运算法则是解答的关键．17．【分析】先计算括号内的加法再将除法化为乘法再计算乘法即可【详解】解：===故答案为：【点睛】本题考查分式的混合运算掌握运算顺序和每一步的运算法则是解题关键 解析：11a -先计算括号内的加法，再将除法化为乘法，再计算乘法即可．【详解】 解：2121211a a a a +⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭ =2112211a a a a a +-+÷-+- =211(1)1a a a a +-⋅-+ =11a -， 故答案为：11a -． 【点睛】本题考查分式的混合运算．掌握运算顺序和每一步的运算法则是解题关键．18．-5【分析】根据平方差公式完全平方公式和分式运算的性质先化简代数式；再将代入到代数式计算即可得到答案【详解】∵∴故答案为：-5【点睛】本题考查了乘法公式分式运算代数式的知识；解题的关键是熟练掌握分式 解析：-5【分析】根据平方差公式、完全平方公式和分式运算的性质，先化简代数式；再将2x =，3y =-代入到代数式计算，即可得到答案．【详解】22222-⋅++x y x x x xy y 2()()()x y x y x x x y +-=⋅+ x y x y-=+ ∵2x =，3y =- ∴22222-⋅++x y x x x xy y x y x y-=+ 2(3)23--=- 5=-故答案为：-5．本题考查了乘法公式、分式运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握分式运算、乘法公式的性质，从而完成求解．19．【分析】首先计算积的乘方再计算中括号内的同底数幂的乘法最后计算单项式除以单项式即可得出答案【详解】解：===故答案为：【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法以及单项式除以单项式熟练掌握运算法则是解答此 解析：7a ．【分析】首先计算积的乘方，再计算中括号内的同底数幂的乘法，最后计算单项式除以单项式即可得出答案．【详解】解：35232()()()a a a ⎡⎤-÷-⋅-⎣⎦=1526()a a a -÷-=158()a a -÷-=7a ．故答案为：7a ．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法以及单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 20．【分析】设A 型计算机的单价是x 万元/台则B 型计算机的单价是（x-024）万元/台根据单价=总价÷数量即可得出关于x 的分式方程此题得解【详解】解：设型计算机的单价是万元/台则型计算机的单价是万元/台根 解析：10281.6x x 0.24=- 【分析】设A 型计算机的单价是x 万元/台，则B 型计算机的单价是（x-0.24）万元/台，根据单价=总价÷数量即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【详解】解：设A 型计算机的单价是x 万元/台，则B 型计算机的单价是()x 0.24-万元/台， 根据题意得：10281.6x x 0.24=-． 故答案为：10281.6x x 0.24=-． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据数量关系单价=总价÷数量列出关于x 的分式方程是解题的关键．三、解答题21．（1）40千米；（2）80千米【分析】（1）设甲每小时走x 千米，则乙每小时走2x 千米，根据题意列出分式方程，即可求解； （2）设相遇时甲出发t 小时，根据相遇时甲乙路程和为240千米列出方程，求解即可．【详解】解：（1）设甲每小时走x 千米，则乙每小时走2x 千米， 根据题意可得：24024032x x-=， 解得40x =，经检验得40x =是原分式方程的解，∴甲每小时走40千米；（2）设相遇时甲出发t 小时，由（1）可得乙每小时走80千米，根据题意可得：()40803240t t +-=,解得4t =，此时乙走的路程为()804380⨯-=千米．【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系，并列出方程是解题的关键． 22．13x -，1． 【分析】 先计算分式的除法，再计算分式的加法，然后利用三角形的三边关系定理、等腰三角形的定义可得x 的值，最后代入求值即可得．【详解】2213242x x x x x x -+÷--+， ()()()122223x x x x x x x +=+⋅--+-， ()()()()312323x x x x x -=+----， ()()3123x x x -+=--， 13x =-， ∵x 与2，4构成等腰三角形的三边，∴4x =或2x =（此时224+=不满足三角形的三边关系定理，舍去）， 则原式111343x ===--． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值、三角形的三边关系定理、等腰三角形的定义，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．23．（1）十一月份甲款棉服的单价是150元；（2）20【分析】（1）设十一月份甲款棉服的单价是x 元，则十一月份乙款棉服的单价是1.2x 元，根据题意列方程即可得到结论；（2）根据不等量关系，列出关于a 的不等式，即可得到结论．【详解】（1）设十一月份甲款棉服的单价是x 元，则十一月份乙款棉服的单价是1.2x 元，根据题意得，8400900061.2x x-=， 解得：x ＝150，经检验：x ＝150是原方程的根， 答：十一月份甲款棉服的单价是150元；（2）由题意得：150（1-%a ）（8400÷150+24）+1.2×150（1-3%2a ）（8400÷150-6+50）≥22200，解得：a≤20，∴a 的最大值为20．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意，列出方程和不等式，是解题的关键．24．()11x x -，12【分析】 此题需先根据分式的混合运算顺序和法则把22131x x x x x ---+-进行化简，然后把x 代入即可．【详解】解：原式=()13(1)(1)1x x x x x x ---++- =()(1)(1)(3)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x ----+-+- =22(1)(11)23x x x x x x x -+--++1x x -当2x =时，原式12=【点睛】此题考查了分式的化简求值，分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．25．（1）所得分式的值比原来增大了，计算说明见解析；（2）增大；（3）增大．【分析】（1）先求出11n n m m +-+，通分化简，然后根据0m n ->，0m >判断即可； （2）先求出22n n m m +-+，通分化简，然后根据0m n ->，0m >判断即可； （3）先求出n a n m a m+-+，通分化简，然后根据0m n ->，0m >，0a >判断即可． 【详解】解：（1）由题意得： 11n n m m+-+， (1)(1)(1)(1)m n n m m m m m ++=-++， (1)mn m mn n m m +--=+， (1)m n m m -=+， ∵0m n >>，∴0m n ->，0m >，10m +>， ∴0(1)m n m m ->+， ∴101n n m m+->+， 11n n m m+∴>+，即所得分式的值比原来增大了； （2）22n n m m+-+ (2)(2)(2)(2)m n n m m m m m ++=-++ 22(2)mn m mn n m m +--=+(2)m m +同理可得()20(2)m n m m ->+， ∴22n n m m+>+，即所得分式的值比原来增大了； （3）n a n m a m +-+ ()()()()m n a n m a m m a m m a ++=-++ ()mn ma mn na m m a +--=+ ()(2)a m n m m -=+∵0m n ->，0m >，0a >，∴()0(2)a m n m m ->+ ∴n a n m a m+>+，即所得分式的值比原来增大了． 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是掌握分式运算的法则．26．21x +，-2 【分析】 先将分式的分子分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再计算分式的乘法，最后计算分式的减法即可．【详解】 解：2222631121x x x x x x x ++-÷+--+ 222(3)(1)1(1)(1)3x x x x x x x +-=-⋅++-+ 22(1)11x x x x -=-++ 21x =+， 当2x =-时，原式222211===--+-． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题的关键．。
(人教版)杭州市八年级数学上册第五单元《分式》测试卷(答案解析)
一、选择题1．下列命题中，属于真命题的是（ ） A ．如果0ab =，那么0a = B ．253xx x-是最简分式 C ．直角三角形的两个锐角互余D ．不是对顶角的两个角不相等2．世界上数小的开花结果植物是激大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花架，质做只有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示正确的是（ ） A ．-60.7610⨯ B ．-77.610⨯C ．-87.610⨯D ．-97.610⨯3．如果分式11m m -+的值为零，则m 的值是（ ） A ．1m =- B ．1m = C ．1m =±D ．0m =4．计算233222()mn m n -⋅-的结果等于（ ）A ．2mnB ．2n mC ．2mnD ．72mn5．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4102x -=+的根为2；③方程11224=-x x 的最简公分母为2(24)-x x ；④1111x x x+=+-是分式方程．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．大爱无疆，在爆发新冠病毒疫情后，甲，乙两家单位分别组织了员工捐款．已知甲单位捐款7500元，乙单位捐款9800元，甲单位捐款人数比乙单位少10人，且甲单位人均捐款额比乙单位多20元，若设甲单位的捐款人数为x ，则可列方程为（ ） A ．7500980020x x 10-=- B ．9800750020x 10x-=- C ．7500980020x x 10-=+D ．9800750020x 10x-=+ 7．从7-、5-、3-、1-、3、6这六个数中，随机抽取一个数，记为k ，若数k 使关于x 的分式方程3211k x x +=--的解为非负数，那么这6个数中所有满足条件的k 的值之和是（ ） A ．4-B ．0C ．3D ．68．下列式子的变形正确的是（ ）A ．22b b a a =B ．22+++a b a b a b=C ．2422x y x yx x--=D ．22m nn m-=- 9．下列各式计算正确的是（ ） A ．()23233412a b a b-=-B ．()222(2)2224x xy y x y xy x --++=+-C ．()2422842a ba b b -÷=-D ．()325339a ba b -=-10．22()-n b a （n为正整数）的值是（ ）A ．222+n n b aB ．42n n b aC ．212+-n n b aD ．42-nn b a11．下列各式中正确的是（ ）A ．263333()22=x x y y B ．222224()=++a a a b a bC ．22222()--=++x y x y x y x y D ．333()()()++=--m n m n m n m n 12．如果关于x 的不等式组0243(2)x mx x -⎧>⎪⎨⎪-<-⎩的解集为1x >，且关于x 的分式方程1322x mx x -+=--有非负整数解，则符合条件的所有m 的取值之和为（ ） A ．8-B ．7-C ．15D ．15-二、填空题13．当m=______时，解分式方程1m 233(2x 1)2x 1+=--会出现增根． 14．已知3m n +=．则分式222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭的值是_________． 15．计算22a b a b a b-=-- _________．16．已知关于x 的分式方程239133x mx x x ---=--无解，则m 的值为______． 17．计算：112a a-＝________． 18．符号“a b c d”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a b c d＝ad ﹣bc ，请你根据上述规定求出下列等式中x的值．若2111111x x=--，那么x＝__．19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米（0.0000000025千米）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．2.5微米用科学记数法表示为________千米．20．如果分式126xx--的值为零，那么x＝________ ．三、解答题21．先化简，再求值：（1－22a-）÷228164a aa-+-，其中a＝0(2021)π-22．列分式方程解应用题：刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？刘峰：我查好地图，你看看李明：好的，我家门口的公交车站，正好又一趟到野生动物园那站的车，我坐明天8:30的车刘峰：从地图上看，我家到野生动物园的距离比你家近10千米，我就骑自行车去了李明：行，根据我的经验，公交车的速度一般是你骑自行车速度的3倍，那你明天早上8:00从家出发，如果顺利，咱俩同时到达23．①先化简，再求值：12(1)yx y x y⋅--+÷221y x-，其中x=y+2020．②解方程：23 9x--11 2626x x=-+．24．（1）先化简，再求值：22228424m mm m m m+-⎛⎫+÷⎪--⎝⎭，其中m满足2430m m++=．（2）如图，在等边ABC中，D．E分别在边BC、AC上，且//DE AB，过点E作EF DE⊥交BC的延长线于点F．若3cmCD=，求DF的长．25．先化简，再求值：21122m m m m ⎭-+÷-⎛⎫ ⎪-⎝，其中12m =-．26．（1）计算：0)4π+-（2）解不等式：452(1)x x +≤+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据有理数的乘法、最简分式的化简、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可． 【详解】解：A. 如果 ab=0，那么a=0或b=0或a 、b 同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意；B. ()2555==333x x x x x x x ---，故253x x x-不是最简分式，本选项说法是假命题，不符合题意；C. 直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；D. 不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉教材中的性质定理．2．C解析：C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】0.000000076=87.610-⨯， 故选：C 【点睛】此题考查了科学记数法，注意n 的值的确定方法，当原数小于1时，n 是负整数，n 等于原数左数第一个非零数字前0的个数，按此方法即可正确求解3．B解析：B 【分析】先根据分式为零的条件列出关于m 的不等式组并求解即可． 【详解】 解：∵11m m -+=0 ∴m-1=0，m+1≠0，解得m=1． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键，同时分母不等于零是解答本题的易错点．4．A解析：A 【分析】根据整数指数幂的运算法则进行运算即可． 【详解】解：原式=43431222m m m n n m n n---=⋅=⋅=故选：A ． 【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键5．B解析：B 【分析】根据分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义解答． 【详解】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误； 方程4102x -=+的根为x=2，故②正确； 方程11224=-x x 的最简公分母为2x(x-2)，故③错误； 1111x x x +=+-是分式方程，故④正确； 故选：B ． 【点睛】 此题考查分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义，熟记各定义及正确解方程是解题的关键．6．C解析：C【分析】由设甲单位的捐款人数为x，甲单位捐款人数比乙单位少10人，得到乙单位人数为（x+10），根据甲单位人均捐款额比乙单位多20元列得方程．【详解】解：由题意得：7500980020 x x10-=+，故选：C．【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系，由此列得方程解决实际问题是解题的关键．7．C解析：C【分析】先对分式方程进行求解，即用含k的代数式表示分式方程的解，然后根据题意可进行求解．【详解】解：由3211kx x+=--可得：52xk=+，∵分式方程的解为非负数，且1x≠，∴52k+≥且512k+≠，解得：5k≥-且3k≠-∴满足条件的有5-、1-、3、6，∴它们的和为51363--++=；故选C．【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的解法是解题的关键．8．C解析：C【分析】根据分式的性质逐一判断即可．【详解】解：A.22b ba a=不一定正确；B.22+++a ba ba b=不正确；C. 2422x y x yx x --=分子分母同时除以2，变形正确； D.22m nn m-=-不正确； 故选：C ． 【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．9．A解析：A 【分析】根据单项式乘单项式，幂的乘方，单项式除单项式，单项式乘多项式运算法则判断即可． 【详解】A 、()23233412ab a b -=-，故这个选项正确；B 、()222(2)2224x xy y x y xy x --++=--，故这个选项错误； C 、()24222842a b a b b -÷=-，故这个选项错误； D 、()3263327a b a b -=-，故这个选项错误；故选：A ． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方，单项式除单项式，单项式乘多项式，重点是掌握相关的运算法则．10．B解析：B 【分析】根据分式的乘方计算法则解答． 【详解】2422()-=nn n b b a a． 故选：B ． 【点睛】此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键．11．D解析：D 【分析】根据分式的乘法法则计算依次判断即可． 【详解】A 、2633327()28=x x y y，故该项错误；B 、22224()()=++a a a b a b ，故该项错误； C 、222()()()--=++x y x y x y x y ，故该项错误； D 、333()()()++=--m n m n m n m n ，故该项正确； 故选：D ． 【点睛】此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键．12．B解析：B 【分析】解出不等式组，求出不等式组的解集，确定m 的取值范围，再解出分式方程，找到分式方程的非负整数解，进而求出m 的值即可． 【详解】解：0243(2)x mx x -⎧>⎪⎨⎪-<-⎩①②，解不等式①得：x m >，解不等式②得：1x >， 不等式组的解集为1x >，∴1m ；1322x mx x -+=-- 方程两边同时乘以()2x -得：()132x m x --=-；解得：52mx +=， ∴25m x =-，1m ， ∴251x -≤， ∴3x ≤，分式方程有非负整数解且20x -≠，∴x 的值为：0，1，3，此时对应的m 的值为：5-，3-，1，∴符合条件的所有m 的取值之和为：()5317-+-+=-．故选：B ． 【点睛】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，求得m 的取值范围以及求出分式方程的解是解题的关键．二、填空题13．6【分析】分式方程的增根使分式中分母为0所以分式方程会出现增根只能是x=增根不符合原分式方程但是适合分式方程去分母后的整式方程于是将x=代入该分式方程去分母后的整式方程中即可求出m 的值【详解】解：由解析：6 【分析】分式方程的增根使分式中分母为0，所以分式方程1m 233(2x 1)2x 1+=--会出现增根只能是x=12，增根不符合原分式方程，但是适合分式方程去分母后的整式方程，于是将x=12代入该分式方程去分母后的整式方程中即可求出m 的值． 【详解】解：由题意知分式方程()1m 2332x 12x 1+=--会出现增根是x=12，去分母得7-2x=m 将x=12代入得m=6 即当m=6时，原分式方程会出现增根． 故答案为6． 【点睛】本题考查了分式方程增根的性质，增根使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程．14．【分析】根据分式运算法则即可求出答案【详解】解：===当m+n=-3时原式=故答案为：【点睛】本题考查分式解题的关键是熟练运用分式的运算法则本题属于基础题型解析：13【分析】根据分式运算法则即可求出答案． 【详解】解：222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭=22(2)m n m mn n m m+-++÷=2()m n mm m n +⋅-+ =1m n-+， 当m+n=-3时， 原式=13故答案为：13【点睛】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．15．【分析】根据分式运算的性质结合平方差公式计算即可得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了分式平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算平方差公式的性质从而完成求解 解析：+a b【分析】根据分式运算的性质，结合平方差公式计算，即可得到答案． 【详解】22a b a b a b ---()()22a b a b a b a b a b a b+--===+-- 故答案为：+a b ． 【点睛】本题考查了分式、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算、平方差公式的性质，从而完成求解．16．1或4【分析】先去分母将原方程化为整式方程根据一元一次方程无解的条件得出一个m 值再根据分式方程无解的条件得出一个m 值即可【详解】解：去分母得：2x-3-mx+9=x-3整理得：（m-1）x=9∴当m解析：1或4 【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m 值，再根据分式方程无解的条件得出一个m 值即可． 【详解】解：去分母得：2x-3- mx+9 =x-3， 整理得：（m-1）x=9，∴当m-1=0，即m=1时，方程无解；当m-1≠0时，由分式方程无解，可得x-3=0，即x=3， 把x=3代入（m-1）x=9， 解得：m=4，综上，m 的值为1或4．故答案为：1或4．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键． 17．【分析】根据异分母分式加减法法则计算即可【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查了分式的加减—异分母分式的减法关键是掌握分式加减的计算法则 解析：12a． 【分析】 根据异分母分式加减法法则计算即可．【详解】 原式211222a a a=-=． 故答案为：12a ． 【点睛】本题考查了分式的加减—异分母分式的减法，关键是掌握分式加减的计算法则． 18．4【分析】首先根据题意由二阶行列式得到一个分式方程解分式方程即得问题答案【详解】解：∵=1∴方程两边都乘以x ﹣1得：2+1＝x ﹣1解得：x ＝4检验：当x ＝4时x ﹣1≠01﹣x≠0即x ＝4是分式方程的解析：4【分析】首先根据题意由二阶行列式得到一个分式方程，解分式方程即得问题答案 ．【详解】解：∵211111xx --=1， ∴21111x x-=--， 方程两边都乘以x ﹣1得：2+1＝x ﹣1，解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，x ﹣1≠0，1﹣x≠0，即x ＝4是分式方程的解，故答案为：4．【点睛】本题考查分式方程与新定义实数运算的综合运用，通过观察所给运算式子归纳出运算规律并得到分式方程再求解是解题关键．19．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式其中1≤|a|＜10n 为整数确定n 的值时要看把原数变成a 时小数点移动了多少位n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值＞1时n 是正数；当原数的绝对值＜解析：92.510-⨯【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】2.5微米=92.510-⨯千米，故答案为：92.510-⨯．【点睛】此题考查科学记数法，注意n 的值的确定方法，当原数小于1时，n 等于原数左数第一个非零数字前零的个数，按此方法即可正确求解．20．1【分析】根据分式的值为零可得解方程即可得【详解】由题意得：解得分式的分母不能为零解得符合题意故答案为：1【点睛】本题考查了分式的值为零正确求出分式的值和掌握分式有意义的条件是解题关键解析：1【分析】根据分式的值为零可得10x -=，解方程即可得．【详解】由题意得：10x -=，解得1x =，分式的分母不能为零，260x ∴-≠，解得3x ≠，1x ∴=符合题意，故答案为：1．【点睛】本题考查了分式的值为零，正确求出分式的值和掌握分式有意义的条件是解题关键．三、解答题21．24a a +-；-1 【分析】 先进行括号内的分式减法，再计算分式除法，代入求值即可．【详解】 解：原式＝222a a ---÷2(4)(2)(2)a a a -+- ＝42a a --×2(2)(2)(4)a a a +-- ＝24a a +-； 当a ＝（π－2021）0＝1时， 原式＝1214+=-－1． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值和0指数，解题关键是熟练按照分式化简的顺序与法则进行计算．22．刘峰骑自行车每小时行20千米，李明乘公交车每小时行60千米【分析】设刘峰骑自行车每小时行x 千米，则李明乘公交车每小时行3x 千米，根据他们的行驶时间相差30分钟列出分式方程并解答，注意分式方程的结果要检验．【详解】解：设刘峰骑自行车每小时行x 千米，则李明乘公交车每小时行3x 千米，根据题意列方程得：203030360x x =+ 即201012x x =+ 解这个方程得20x检验：当20x 时，20x ≠所以，20x 是原分式方程的解，当20x 时，332060x =⨯=答：刘峰骑自行车每小时行20千米，则李明乘公交车每小时行60千米【点睛】本题考查分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．23．①x -y ；2020；②原方程无解．【分析】（1）根据分式的运算法则，先化简分式，再代入求值．（2）先变形，再把分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：①12(1)y x y x y ⋅--+÷221y x -=1()()1y x y x y x x y x y -+-⋅⋅-+ =x-y由x=y+2020得x-y=2020；②原方程可化为：3(3)(3)x x +-—112(3)2(3)x x =-+ 方程两边同乘以2（x+3）(x-3)得：6-（x+3）=x-3解得，x=3检验：把x=3代入2（x+3）(x-3）=0所以x=3不是原方程的解，即原方程无解【点睛】本题考查了分式的化简和解分式方程，，掌握运算法则是解决本题的关键．24．（1）()212m +，1；（2）6cm 【分析】(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,将已知方程变形后代入计算即可求出值(2) 先求得CD ＝DE ，然后由Rt △DEF 中30°所对的边等于斜边的一半进行求解即可．【详解】（1）解：原式()2(2)28(2)(2)(2)m m m m m m m m +-⎛⎫+=+÷⎪--+⎝⎭ ()()()()()()()()()()()2222822222222212m m m m m m m m m m m m m m m m +-=⨯-++--=⨯+-+-=+2430m m ++=∴22(2)44341m m m +=++=-+=∴原式1=；（2）∵ABC 是等边三角形，∴60B A ︒∠=∠=，∵//DE AB ，∴60EDC B ︒∠=∠=，60DEC A ︒∠=∠=,∴EDC △是等边三角形．∵EF DE ⊥，∴90DEF ︒∠=，∴9030F EDC ︒︒∠=-∠=；∴26cm DF DE ==．【点睛】本题有两个问题第（1）题考查了分式的化简求值,以及分式的乘除法,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 第（2）题主要考查的是等边三角形的性质和30°所对的边等于斜边的一半，熟练掌握相关知识是解题的关键．25．11m m -+，3-． 【分析】 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将m 的值代入计算即可求出值．【详解】 解：21122m m m m ⎭-+÷-⎛⎫ ⎪-⎝ ()()2212211m m m m m m -+-=⋅-+- ()()()212211m m m m m --=⋅-+- 11m m -=+； 当12m =-时，原式1123112--==--+． 【点睛】考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算． 26．（1）3-；（2）x≤32-． 【分析】（1）原式利用零指数幂法则，绝对值的意义，以及算术平方根性质计算即可得到结果； （2）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可求出不等式的解集．【详解】解：（1）原式=14+-3-；（2）去括号，得4x+5≤2x+2，移项合并同类项得，2x≤-3，解得x≤32-． 【点睛】此题考查了实数的运算和解一元一次不等式，零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
人教版八年级语文上册 单元清 检测内容：第五单元
检测内容：第五单元得分________卷后分________评价________一、积累与运用(27分)1．下列加点字注音正确的一项是( B )(2分)A．沉檀．(tán)天堑．(jiàn)推崇．(cónɡ)重峦叠嶂．(zhànɡ)B．遒．劲(qiú) 匀称．(chèn) 罅．隙(xià) 摩肩接踵．(zhǒnɡ)C．上溯．(sù) 蚋．虫(nà) 轩榭．(xiè) 惟妙惟肖．(xiào)D．黏．土(zhān) 丘壑．(hè) 模．样(mó) 瘦骨嶙．峋(lín)【解析】A.天堑．(qiàn)，推崇．(chóng)；C.蚋．虫(ruì)；D.黏．土(nián)，模．样(mú)。
2．下列词语书写完全正确的一项是( B )(2分)A．点缀签赏自出心裁春寒料峭B．掩映逾越因地制宜长途跋涉C．蔷薇挖掘巧妙绝纶络译不绝D．暄嚣休憩就地取材别具匠心【解析】A.鉴赏；C.巧妙绝伦，络绎不绝；D.喧嚣。
3．阅读语段，按要求完成下面的题目。
(5分)①南昌起义的这道闪电，照亮了革命的夜空，使中国人民在黑暗中看到了革命的希望。
②这是中国共产党人敢于斗争的鲜明写照。
③在南昌市子固路165号，也就是南昌起义贺龙指挥部旧址，大楼三层临街窗口处有 3 个白色箭头，指示着当年弹痕所在位置。
④走近细细查看，通过弹痕清晰可辨，无声诉说着当年战斗的场景，让人感受到打响第一枪的勇气。
⑤这石破天惊第一枪，正是源于革命先辈坚定不移的__B__、敢于斗争的__A__，他们不论遇到什么艰难险阻、生死考验，都矢志不移、初心不变。
(1)请提取画线句的主干，并写在下面空白处。
(1分)闪电照亮夜空。
(2)第②句表达的语气是( A )(1分)A．陈述语气B．疑问语气C．感叹语气D．祈使语气(3)请将下面的语句分别填在第⑤句的横线上。
Unit5【速记清单】-2024-2025学年八年级英语上册单元速记·巧练(人教版)
news
不可数名词
意为＂信息；新闻＂，指公众感兴趣的近来发生的事件，尤其是通过广播、电视、报纸、网络等报道的事件。
information
不可数名词
意为＂信息＂，常指通过学习、阅读、查询等方式获得的。
message
可数名词
一般指口头传递或书写的＂音信＂。
☛We often listen to the morning news.我们常常收听早间新闻。
Unit 5 Do you want to watch a game show？
Unit5
核心话题
娱乐活动
重点词汇
sitcom, news, soap opera, mind ,stand ,educational,plan, hope ,discussion ,happen,expect joke,comedy, meaningless,action,cartoon ,culture, famous ,appear,become ,rich successful, might , main, reason, common, film , unlucky, lose , girlfriend,ready character .etc
【答案】C
【详解】句意：——你认为脱口秀怎么样？——我不介意它们。考查情景交际。Yes, I love them.是的，我喜欢它们；I can’t them.我不介意它们；Because they’re funny.因为它们有趣。根据题干可知，是在提问看法，只有选项C符合语境。故选C。
（2）Never mind.＂不要紧，没关系。＂常用来安慰对方。
【经典练】
1．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期中）—It’s getting cold. Would you mind ________ the window?
八年级数学上册第二章实数《四清导航》单元清试题(含答案)
检测内容：第二章 实数得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共30分) 1、9的值等于( )A.3B.－3C.±3 D 、 32.在－1、414，2，π，3、1·4·，2＋3，3、212212221…，3、14这些数中，无理数的个数为( )A.5个B.2个C.3个D.4个3.已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数2；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个.其中正确的结论是( )A.①②B.②③C.③④D.②③④ 4.下列计算正确的是( )A 、20＝210B 、2·3＝ 6C 、4－2＝ 2D 、（－3）2＝－3 5.下列说法中，不正确的是( )A.3是(－3)2的算术平方根 B.±3是(－3)2的平方根 C.－3是(－3)2的算术平方根 D.－3是(－3)3的立方根 6.若a ，b 为实数，且满足│a－2│＋－b 2＝0，则b －a 的值为( ) A.2 B.0 C.－2 D.以上都不对 7.若（a －3）2＝a －3，则a 的取值范围是( )A.a ＞3B.a≥3C.a ＜3D.a≤3 8.若代数式x －1x －2有意义，则x 的取值范围是( ) A.x≥1且x≠2 B.x≥1 C.x≠2 D.x>1且x≠2 9.下列运算正确的是( )A 、x ＋5x ＝6x B.32－22＝1 C.2＋5＝2 5 D.5x －b x ＝(5－b)x10.2015年4月25号，尼泊尔发生8、1级地震，为了储存救灾物资，特搭建一长方形库房，经测量长为40 m ，宽为20 m ，现准备从对角引两条通道，则对角线的长为( )A.5 5 mB.10 5 mC.20 5 mD.30 5 m 二、填空题(每小题3分，共24分) 11、100的算术平方根是____.12、2－1的相反数是____________，绝对值是_________，倒数是___________. 13.已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是____. 14.若|x －2y|＋y ＋2＝0，则xy 的值为____.15.a 是10的整数部分，b 是5的小数部分，则ab ＝_____________. 16.当x ＝－2时，代数式5x 2－3x －1的值是____.17.计算：20－5＝；(2＋6)÷2＝_______________. 18.观察下列各式：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415…请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来_______________________________.三、解答题(共66分) 19.(8分)化简：(1)(π－2015)0＋12＋|3－2|； (2)16＋3－27＋33－（－3）2、20.(8分)计算：(1)(23－32)2； (2)8＋13－212、21、(8分)实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，请化简：||a －a 2－b 2、22.(8分)y＝x－3＋3－x＋8，求3x＋2y的算术平方根.23.(10分)已知：x＝3＋1，y＝3－1，求下列各式的值：(1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2、24、(12分)细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题.()12＋1＝2 S1＝12()22＋1＝3 S2＝22()32＋1＝4 S3＝32…………(1)推算出S10的值；(2)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；(3)求出S12＋S22＋S32＋…＋S102的值.25.(12分)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b2＝(m＋n2)2(其中a，b，m，n均为整数)，则有a＋b2＝m2＋2n2＋2mn2、∴a＝m2＋2n2，b＝2mn、这样小明就找到了一种把部分a＋b2的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b3＝(m＋n3)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝_____________，b＝_________________；(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n，填空：____＋____3＝(____＋___3)2；(3)若a＋43＝(m＋n3)2，且a，m，n均为正整数，求a的值.参考答案一、选择题(每小题3分，共30分) 1、9的值等于( A )A.3B.－3C.±3 D 、 32.在－1、414，2，π，3、1·4·，2＋3，3、212212221…，3、14这些数中，无理数的个数为( D )A.5个B.2个C.3个D.4个3.已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数2；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个.其中正确的结论是( B )A.①②B.②③C.③④D.②③④ 4.下列计算正确的是( B )A 、20＝210B 、2·3＝ 6C 、4－2＝ 2D 、（－3）2＝－3 5.下列说法中，不正确的是( C )A.3是(－3)2的算术平方根 B.±3是(－3)2的平方根 C.－3是(－3)2的算术平方根 D.－3是(－3)3的立方根 6.若a ，b 为实数，且满足│a－2│＋－b 2＝0，则b －a 的值为( C ) A.2 B.0 C.－2 D.以上都不对 7.若（a －3）2＝a －3，则a 的取值范围是( B )A.a ＞3B.a≥3C.a ＜3D.a≤3 8.若代数式x －1x －2有意义，则x 的取值范围是( A ) A.x≥1且x≠2 B.x≥1 C.x≠2 D.x>1且x≠2 9.下列运算正确的是( D )A 、x ＋5x ＝6x B.32－22＝1 C.2＋5＝2 5 D.5x －b x ＝(5－b)x10.2015年4月25号，尼泊尔发生8、1级地震，为了储存救灾物资，特搭建一长方形库房，经测量长为40 m ，宽为20 m ，现准备从对角引两条通道，则对角线的长为( C )A.5 5 mB.10 5 mC.20 5 mD.30 5 m 二、填空题(每小题3分，共24分)11、100的算术平方根是12、2－1的相反数是，绝对值是，倒数是13.已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是__494__.14.若|x －2y|＋y ＋2＝0，则xy 的值为__8__.15.a 是10的整数部分，b 是5的小数部分，则ab ＝16.当x ＝－2时，代数式5x 2－3x －1的值是__5__.17.计算：20－5＝；(2＋6)÷2＝18.观察下列各式：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415…请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来三、解答题(共66分) 19.(8分)化简：(1)(π－2015)0＋12＋|3－2|； 解：(1)3＋ 3(2)16＋3－27＋33－（－3）2、 解：(2)33－220.(8分)计算： (1)(23－32)2； 解：(1)30－12 6 (2)8＋13－212、解：(2)2＋3 321、(8分)实数a，b在数轴上的位置如图所示，请化简：||a－a2－b2、解：－b22.(8分)y＝x－3＋3－x＋8，求3x＋2y的算术平方根.解：523.(10分)已知：x＝3＋1，y＝3－1，求下列各式的值：(1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2、解：(1)12 (2)4 324、(12分)细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题.()12＋1＝2 S1＝12()22＋1＝3 S2＝22()32＋1＝4 S3＝32…………(1)推算出S10的值；(2)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；(3)求出S12＋S22＋S32＋…＋S102的值.解：(1)S10＝102(2)S n＝n2(3)S12＋S22＋S32＋…＋S n2＝14＋24＋34＋44＋…＋104＝55425.(12分)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b2＝(m＋n2)2(其中a，b，m，n均为整数)，则有a＋b2＝m2＋2n2＋2mn2、∴a＝m2＋2n2，b＝2mn、这样小明就找到了一种把部分a＋b2的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b3＝(m＋n3)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝__m2＋3n2__，b＝__2mn__；(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n，填空：__4__＋__2__3＝(__1__＋__1__3)2；(3)若a＋43＝(m＋n3)2，且a，m，n均为正整数，求a的值.解：(2)4，2，1，1(答案不唯一) (3)由题意得a＝m2＋3n2，4＝2mn, ∵4＝2mn，且m，n为正整数，∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，∴a＝22＋3×12＝7或a＝12＋3×22＝13。
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单元清5
检测内容：第十五章 分式
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列式子是分式的是( )
A.x 2
B.x x ＋1
C.x 2＋y
D.x 3
2．下列约分正确的是( )
A.a ＋y a ＋x ＝y x
B.－a －b a －b ＝－1
C.x －2y x －2y ＝0
D.（b －a ）2（a －b ）3＝1a －b 3．下列四个分式中，为最简分式的是( )
A.2ax 3ay
B.x 2＋2x ＋11＋x
C.a 2＋b 2a ＋b
D.n 2－m 2m －n
4．下列等式成立的是( )
A ．(－3)－2＝－9
B ．0.000 012 8＝1.28×10－4
C ．(－x )－3·(－x )－2＝－x －5
D ．(y －x )÷(x －y )4＝－
1（y －x ）3 5．式子(a －1)0＋1a ＋1
有意义，则a 的取值范围是( ) A ．a ≠1且a ≠－1 B ．a ≠1或a ≠－1 C ．a ＝1或－1 D ．a ≠0且a ≠－1
6．若使分式x ＋2x 2
的值为正数，则x 的取值范围是( ) A ．x ≠0 B ．x >0 C ．x >－2 D ．x >－2且x ≠0 7．若分式方程
k －1x 2－1－1x 2－x ＝k －5x 2＋x 有增根x ＝－1，则k 的值是( ) A ．－1 B ．3 C ．6 D ．9
8．五一期间，部分同学包租一辆面包车出去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设原来的学生共有x 人，则所列方程为( )
A.180x －180x ＋2＝3
B.180x ＋2－180x －2＝3
C.180x －180x －2＝3
D.180x －2－180x
＝3 9．若关于x 的方程m －1x －1－x x －1
＝0无解，则m 的值是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－1
10．关于x 的方程2x ＋a x －1
＝1的解是正数，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞1 B ．a ＞－1且a ≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a ≠－2
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．当x ________________________时，分式x ＋2
x 2－4有意义．
12．当x ＝__________________时，分式|x |－9
x ＋9的值等于零．
13．计算：3y 10x ÷3y
2
5x 2＝________.
14．化简：(－3m 2n 2t )－3÷(3m 2n 2
4t )－2
＝________.
15．方程1x ＝3
x ＋2的解是_________________．
16．已知2x ＋2
x 2－1值为整数，则x 的整数值为_____________．
17．计算x
x 2－1÷x 2
x 2＋x 的结果是________．
18．已知a 2－5a ＋1＝0，则a 2＋a －2＝______________．
三、解答题(共66分)
19．(8分)(1)(1＋4
a 2－4)·a ＋2a ；
(2)(x －2x x ＋1)÷x 2
－2x
＋1
x 2－1.
20．(8分)先化简，再求值：
(1)81－a 2
a 2＋6a ＋9÷9－a 2a ＋6·1
a ＋9，其中a ＝3－3；
(2)已知实数a 满足a 2＋2a －8＝0，求1
a ＋1－a ＋3a 2－1·a 2
－2a ＋1
（a ＋1）（a ＋3）的值．
21.(8分)解方程：
(1)
3x x ＋2－22－x
＝3；
(2)41－4x 2－1x －2x 2＝0.
22．(8分)先化简x 2－4x ＋4x 2－2x ÷(x －4x
)，然后从0，1，2中选择一值求原式的值．
23．(8分)对实数a ，b ，定义运算⊙如下：a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a b
（a >b ，a ≠0），a －b （a ≤b ，a ≠0）.例如：2⊙3＝2－3＝18.计算[2⊙(－4)]×[(－4)⊙(－2)]．
24．(8分)已知(n m )－1＝53，求m m ＋n ＋m m －n －n 2m 2－n 2
的值．
25．(8分)课堂上，李老师出了这样一道题：
已知3x －4（x －1）（x －2）＝A x －1＋B x －2
，求整式A ，B . 本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得A （x －2）＋B （x －1）（x －1）（x －2），已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即：3x －4＝(A ＋B )x －(2A ＋B )，利用多项式相等则对应的系数相等可求得A ，B .
请你根据上面的思路解决下列问题：
已知x ＋3（x －2）2＝A x －2＋B （x －2）2，求A ，B 的值．
26．(10分)金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所
需天数的23
；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙队合作30天可以完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元，工程预算的施工费用为50万元．为缩短工期以减少对住房的影响，拟安排甲、乙两队合做完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
单元清五参考答案
1．B 2.D 3.C 4.C 5.A 6.D 7.D 8.A 9.B 10.D 11.≠±2 12.9 13.
x 2y
14．－nt 6m 2 15.x ＝1 16.3，2，0 17.1x －1
18.23 19．(1)原式＝a a －2
(2)原式＝x 20.(1)原式＝2a ＋3，值为233 (2)原式＝2a 2＋2a ＋1.值为29
21.(1)x ＝4 (2)x ＝12
是增根，原方程无解 22．原式＝1x ＋2.∵x 只能取1.∴原式＝13
23.原式＝[(2－4)×(－4)2]＝124×42＝116
×16＝1 24.4116
25.A ＝1，B ＝5.
26.解：(1)设乙队单独完成这项工程需要x 天，则甲队单独完成这项工程需要23x 天，根据题意得 1023x ＋30(123
x ＋1x )＝1，解得x ＝90，经检验，x ＝90是原方程的解，且符合题意，∴23
x ＝60，即甲、乙两队单独完成这项工程各需要60天和90天 (2)设甲、乙两队合做完成这项工程需要y 天，则有y(160＋190
)＝1，解得，y ＝36，需施工费用36×(0.84＋0.56)＝50.4(万元)，∵50.4>50，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算0.4万元。