河北省故城县高级中学2016-2017学年高二上学期期中考

河北省故城县高级中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.【题文】设集合()(){}|120A x x x =+-<,集合()(){}|130B x x x =-->, 则A B =（ ）A ．{}|13x x -<<B ．{}|11x x -<<C ．{}|12x x <<D ．{}|23x x << 【答案】A 【解析】{1A B x =-考点：集合的运算. 【结束】2.【题文】设()256,229M a a N a a =-+=-+,则有（ ）A ．M N >B ．M N ≥C ．M N <D ．M N ≤ 【答案】C 【解析】试题分析：通过作差得到N M a a a N M <∴<-+-=---=-,0411)21(322. 考点：作差法比较大小. 【结束】3.【题文】已知数列{}n a 的首项29a =,且()1412n n a a n -=+≥,则3a 为（ ） A ．37 B ．38 C ．39 D ．40 【答案】A 【解析】试题分析：令3=n 直接得到371941423=+⨯=+=a a . 考点：递推关系的应用. 【结束】4.【题文】在ABC ∆中, a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若222,b a c -==,则A = （ ）A ．30B ．60 C.120 D ．150 【答案】A 【解析】试题分析：,2323322cos 222=-=-+=bc bc bc bc a c b A 6),,0(ππ=∴∈A A .考点：正、余弦定理的应用. 【结束】5.【题文】在等差数列{}n a 中，100610111,3a a ==，则{}n a 的前2016项和2016S =（ ） A ． 1008 B ．2016 C.4032 D ．8064 【答案】C 【解析】试题分析：由等差数列的性质4311011100620161=+=+=+a a a a ，1201620162016()1008440322a a S +∴==⨯=．考点：等差数列的性质，等差数列求和. 【结束】6.【题文】若0,0a b ≥≥,且()41log 2a b +=,则22a b +的最小值为（ ）A ．3 C.2 D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：12a b 42,+==222222a b a b 4, 2.a b +≥+=∴+≥（）（） 考点：指对互化，不等式求最值. 【结束】7.【题文】满足以下条件的三角形无解的是（ ）A ．3,4,30b cB === B ．5,8,30a b A ===C. 6,60c b B === D ．9,12,60c b C === 【答案】D 【解析】试题分析：A 项，b B c <=⨯=2214sin ，所以角C 有两个解，故A 项不符合题意；B 项，a A b <=⨯=4218sin ，与A 项同理，角B 也有两个解，故B 项不符合题意；C 项，b B c ==⨯=33236sin ，所以角C 是直角，仅有一个解，故C 项不符合题意；D 项，c C b >=⨯=362312sin ，所以无解，故D 项符合题意．故本题正确答案为D. 考点：利用正弦定理解三角形. 【结束】8.【题文】已知数列{}n a 中，12213,6,n n n a a a a a ++===-,则2016a =（ ） A ．6 B ．6- C. 3 D ．3- 【答案】B 【解析】试题分析：n n n a a a a a -===++1221,6,3，6,3,3543-=-==a a a ，6,3,3876=-=-=a a a ，∴周期为6,即n n a a =+6.∴6a 5533562015-===+⨯a a .所以B选项是正确的.考点：根据数列递推关系求某一项. 【结束】9.【题文】已知,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩,若z y ax =-取得最小值的最优解不唯一，则实数a 的 值为（ ） A ．12或1- B ．2或12C. 2或1 D ．2或1- 【答案】D 【解析】试题分析：由题中约束条件作可行域如下图所示，将ax y Z -=化为,Z ax y +=，即直线,Z ax y +=的纵截距取得最大值时的最优解不唯一.当2>a 时，直线,Z ax y +=经过点)2,2(--A 时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意；当2=a 时，直线,Z ax y +=与,22+=x y 重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故符合题意；当21<<-a 时，直线,Z ax y +=经过点)2,0(B 时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意；当1-=a 时，直线,Z ax y +=与,2+-=x y 重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故符合题意；当1-<a 时，直线,Z ax y +=经过点)0,2(C 时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意.综上，当2=a 或1-=a 时最优解不唯一，符合题意.故本题正确答案为D.考点：线性规划求最值. 【结束】10.【题文】若ABC ∆的三边长,,a b c 成公差为2的 ，则这个三角形的面 积为（ ）A ．154 B ．4 C. 4 D ．4【答案】B 【解析】试题分析：根据题意设三角形的三边，x x x 2,,2+-最大角为A ,60>A ,则,21cos ,23sin -==A A 由三角形两边之和大于第三边知，x x x 22+>-+即4>x ,由余弦定理得428)2(28)2(2)2()2(cos 2222=--=--=-+--+=x x x x x x x x x x x A 42)8(+-=-x x ,计算得出: 5=x .∴三角形的三边分别为.7,5,3该三角形的面积为:.4315235321sin 5321=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯A 所以B 选项是正确的. 考点：等差数列，余弦定理，三角形面积.【思路点晴】本题给出三角形中三条边成公差为2的等差数列，利用等差中项巧设三边，x x x 2,,2+-这样只引入了一个变量x ，根据三角形中大边对大角，则最大角A 为边2+x 所对的角，根据21428)2(28)2(2)2()2(cos 2222-=--=--=-+--+=x x x x x x x x x x x A ，得到5=x ，从而得到三边分别为.7,5,3.4315235321sin 5321=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=∴A S 【结束】11.【题文】若数列{}n a 满足()111211121,31,2n n n n n a a a a a n a a a -+-++=-==≥，则n a =（ ） A ．21n + B ． 22n + C. 23n⎛⎫⎪⎝⎭D ．123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 试题分析：,112111111+-+-+-+=+=n n n n n n n a a a a a a a}1{n a ∴为等差数列，121131,a 2a ==， 211231a 112=-=-=∴a d ，)1(21)1(2111+=-+=∴n n a n ，12+=∴n a n .考点：求数列的通项.【思路点晴】本题考查的是根据数列的递推关系求数列的通项公式，关键是第一步可以看出等式右边可以拆分成两项的和,11211+-+=n n n a a a 加上数列中对通项的理解及等差中项判定数列成等差，可以得到}1{n a 为等差数列，其中首项为11a ，公差为211a 112=-=a d ，求得)1(21)1(2111+=-+=n n a n ，进而求得12+=n a n . 【结束】12.【题文】在ABC ∆中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 点G 是ABC ∆内的一点，若0GA GB GC ++=，且30aGA bGB cGC ++=，则角A =（ ） A ．90B ．60 C. 45 D ．30 【答案】D 【解析】考点：共面向量基本定理，余弦定理.【方法点晴】本题的关键是由三角形的重心G 满足性质：0=++GC GB GA ，得到c b a 33==，向量的基本运算及基本概念不熟导致易错；据共面向量基本定理知，不共线的两个非零向量的和向量为零向量必定有两个向量的系数为零，重心与三角形的三个顶点构建三个向量的和向量为零向量，平时学习要多积累常见的结论. 【结束】第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.【题文】在各项均为正数的等差数列{}n a 中，48642,2a a a a ==+，则8a 的值是__________.【答案】10 【解析】试题分析：,242468d a a a ===-2=∴d ，10242448=⨯+=+=d a a . 考点：等差数列的基本运算. 【结束】14.【题文】 在ABC ∆中，cos b c A =，则ABC ∆的形状为__________. 【答案】直角三角形 【解析】ABC ∆是直角三角形.考点：正弦定理、余弦定理的应用. 【结束】15.【题文】若关于x 的不等式26x x m -≥对任意[]0,1x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】5m -≤ 【解析】试题分析：9)3(6)(22--=-==x x x x f y 是开口向上的二次函数,且对称轴为3=x ,由二次函数的图象可知函数26y x x =-在区间)1,0( 上是减函数,所以当1=x 时,5y min -=，所以5m -<.考点：不等式恒成立，二次函数求最值.【方法点晴】本题考查的不等式恒成立问题，m x x x f ≥-=6)(2恒成立,即min )(x f m ≤所以问题转化为二次函数9)3(6)(22--=-==x x x x f y 在区间)1,0(上的最小值问题，9)3(6)(22--=-==x x x x f y 是开口向上的二次函数,且对称轴为3=x ,由二次函数的图象可知函数26y x x =-在区间)1,0( 上是减函数,所以当1=x 时, 5y min -=，所以5m -≤.【结束】16.【题文】数列{}n a 和{}n b 中，数列{}n a 的通项公式25n a n =-+数列 {}n b 的通项公式2n n b =，则数列{}n n a b 的前n 项和为n T =_________. 【答案】142)27(1--+n n 【解析】试题分析：设n n n n n b a c 2)52(+-==，用乘公比错位相减法数列求和n n n S 2)52(2)1(2123321+-++⋅-+⋅+⋅= ，14322)52(2)1(21232++-++⋅-+⋅+⋅=n n n S ，相减得：13212)52(2)2(2)2(2)2(23++---++⋅-+⋅-+⋅=-n n n n S 再求和即可.考点：错位相减法数列求和.【方法点晴】本题考查的是乘公比错位相减法数列求和，设n n n n n b a c 2)52(+-==,项的特征是一个等差数列和一个等比数列中的对应项相乘得到的新数列，这种求和有三个关键步骤：乘公比（乘以原等比数列的公比）、错位（新的和中的第k 项和原和中的第1+k 项相对应）、相减（原和和新对应位置上的项作差），得到的新和再分组求和（一般情况下是一个新等比数列和另外两项的和），要注意最后的化简. 【结束】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【题文】（本小题满分10分）解不等式组：()()()2132702174088m m m m ⎧--->⎪⎨---+<⎪⎩.【答案】27m >. 【解析】试题分析：由已知得⎩⎨⎧>><2725m 9m m 或 ,27m >∴.试题解析：由已知得⎩⎨⎧>><2725m 9m m 或 ,27m >∴.考点：不等式的解法，集合的运算. 【结束】18.【题文】（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为31n -, 求数列{}2na 的前n 项和. 【答案】)19(21-n. 【解析】试题分析：先根据前n 项和求n a 再用等比数列求和公式求和.试题解析：13n 321-=++++n a a a a ,）（2n 131-1-n 321≥-=++++∴n a a a a , 两式相减得:11n n 3233--⋅=-=n n a , 又2a 1=满足上式 ,1n 32-⋅=n a ，1n 222n 9434--⋅=⋅=∴n a)19(2191)91(4999141n 22n232221-=--=++++=++++-nn a a a a ）（ ,即数列}{2n a 的前n 项和为)19(21-n. 考点：根据前n 项和求n a ，等比数列求和. 【结束】19.【题文】（本小题满分12分）某公司一年需购买某种货物800吨，平均分成若干次进行购买, 每次购买的运费为5000,一年的总存储费用数值（单位：万元）恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，求每次购买该种货物的吨数. 【答案】20.试题分析：先把实际问题转为数学模型x x400+，再用不等式知识得到取最小值时的x . 试题解析：设每次购买该种货物的x 吨，则需要购买x 800次，则一年的总运费xx 4005.0 800=⨯万元，一年的总存储费用为x 万元，所以一年的总运费与总存储费用为404002 400=⋅≥+x xx x ，当且仅当x x 400=，即20 =x 时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨. 考点：数学建模，均值不等式的应用. 【结束】20.【题文】（本小题满分12分）在ABC ∆中, 内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，S 为ABC ∆的面积，设a =且56A π=,求3cos cos S B C +的最大值，并指出此时B 的值. 【答案】3，12π. 【解析】试题分析：先由正弦定理和面积公式得到C B S sin sin 3=，再求3cos cos 3cos()S B C B C +=-的最值.试题解析：由已知得21sin =A ，又正弦定理及3=a ，得:CBC a ABa A bc S sin sin 3sin sin sin 21sin 21=⋅⋅==， )cos(3)cos cos sin (sin 3cos cos 3C B C B C B C B S -=+=+∴，当C B =，即122ππ=-=AB 时，C B S cos cos 3+∴取最大值3.考点：正弦定理，面积公式，两角差的余弦公式.【方法点晴】本题的目标式是3cos cos S B C +，为了逆用两角和差的余弦公式，所以应该有把S 表示成C B sin sin 的思路引领，而在ABC ∆中有A 角及其对边，很自然会想到用正弦定理，表示b 边和c 边，于是得到C B C a AB a A bc S sin sin 3sin sin sin 21sin 21=⋅⋅==，)cos(3cos cos 3C B C B S -=+∴，记得看清要求，并求此时B 的值，避免不必要的丢分.【结束】21.【题文】（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前5项和为20 且3a 是2a 与7a 的等比中项，若{}n a 是公差不为零的等差数列，且2n an b =,求数列{}n b 的前n 项和为n S .【答案】2818-n . 【解析】试题分析：先根据条件求得⎩⎨⎧=-=321d a ，求得53-=n a n ，1841 -⨯=n n b ，再用等比等比数列求和公式求和. 试题解析：由题意知⎩⎨⎧++=+=+)6)(()2(2010 511211d a d a d a d a ，解得⎩⎨⎧=-=321d a ，)(53*∈-=∴N n n a n ，15384122 --⨯===n n a n n b ∴数列}{b n 是首项为41，公比为8等比数列，281881)81(41-=--=n n n S . 考点：求数列的通项公式，等比数列求和.【结束】22.【题文】（本小题满分12分）如图所示，甲船以每小时的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于1A 处的北偏西105方向的1B 处，此时1120A B nmile =，当甲船航行20min 到达2A 处时，乙船航行到1A 处的北偏西60方向的2B 处,此时12AB =.（1）此时两船相距多少nmile ？（2）乙船每小时航行多少nmile ？【答案】（1）；（2）nmile 230.【解析】试题分析：（1）根据2121B A A A =， 60212=∠B A A 判断212B A A ∆是等边三角形，从而得；（2）根据方位角判断 45211=∠B A B ，在121B B A ∆中，由余弦定理求解. 试题解析： ）（1 如图，连结22B A ，由题意知:,21021nmile B A =,,210602023021nmile A A =⨯= 所以2121B A A A =,又因为 60212=∠B A A ,所以212B A A ∆是等边三角形,所以,2102122nmile A A B A ==,故此时两船相距为,210nmile .）（2由题意知,,2011nmile B A = 4560105211=-=∠B A B ,在121B B A ∆中，由余弦定理，得: 45cos 22111221211221⋅⋅-+=B A B A B A B A B B 200222102022102022=⨯⨯⨯-+=）（, 所以,21021nmile B B =,因此，乙船速度的大小为)/(2306020210h nmile =⨯. 即乙船每小时航行多少nmile 230.考点：解三角形在实际问题中的应用，方位角，余弦定理.【方法点晴】本题考查的是解三角形在实际问题中的应用，关键是建立起正确的数学模型，充分利用方位角得到三角形中的角，其中在第一问中得到212B A A ∆是等边三角形，轻松拿到边长，第二问中得到45211=∠B A B ，利用余弦定理求得,21021nmile B B =一定注意审清题目要求，这题没有问速度，而要求的是每小时航行多少nmile. 【结束】。