1第一章导论_gying-201403

O(g(n)) 定义2.2： f(n) (g(n))
定义2.1：f(n) 定义2.3：
f(n) (g(n))
n表示 问题的规模 f(n) 表示 算法的计算时间 g(n)是在事前分析中确定的某个形式简单的 函数
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定义2.1

如果存在两个正常数c和n0，对于所有的n n0，有

26个英文字母全排列，它的排列数为
26！≈4×1026

以每年365天计算，共有
365×24×3600＝3.1536×107秒。

以每秒能完成107个排列的超高速电子计算机来做 这项工作，需要 4×1026/(3.1536×107×107)≈1.2×1012 年。
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算法分析研究的范畴

在理论上能够由计算机解决的一些问题，需要设 计或选择较好的、可行的算法（占用资源少，时 间及空间效率高、复杂性低）。

掌握这些策略，设计出更多的好算法。
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如何表示算法

设计的算法要用恰当的方式地表示出来
采用结构程序设计的方式 SPARKS程序设计语言——简单明了
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如何确认算法

算法确认(algorithm validation)——证明该 算法对所有可能的合法输入，都能给出正确答案 算法确认的目的——确保该算法能正确无误地工 作
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现实世界的两个问题
问题能解决吗？(可计算性) 问题解决的好吗？
(计算复杂性)
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可计算性研究的范畴
计算机虽然神通广大，还是在人的控制下工作。 计算机并非什么都能做，有的事情理论上它根 本做不了。 讨论哪些事计算机能做，哪些事计算机做不了， 属于可计算性理论研究的范畴。

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一个满足可计算性的问题

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非数值计算问题
几个典型的非数值计算问题

巡回推销员问题 n皇后问题 背包问题
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巡回推销员问题

[动态规划] 设有n个城市，已知任意两城市间之 距离，现有一推销员想从某一城市出发巡回经过 每一城市（且每城市只经过一次），最后又回到 出发点，问如何找一条最短路径。试一试求出最 短路径。
参考书目： 计算机算法设计与分析 王晓东 计算机算法设计与分析 苏德富
电子工业 电子工业
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本课程在教学体系中的位置
可计算性与计算复杂性 算法设计与分析
数据结构
问题能解决吗？

假设某一负责人交给你一个很难的任务，几天后询问 你问题解决了没有。可能会发生如下图这样的情况：
问：“交给你的问题，解决方法想出来了吗？” 答：“我找不到一个有效的方法来解决它，没能完成任 务。”
分治法 贪心方法 动态规划 回溯法 分支－限界法
基本算法分析方法 NP-难度和NP-完全问题

（第十章）
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学习目标

掌握基本的算法设计方法 掌握算法分析的基本方法（时间、空间复杂 度分析） 灵活运用基本的算法设计方法，解决实际问 题

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教材及参考书目
教材： 计算机算法基础 余祥宣等 华中科技大学出版社
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n皇后问题

[回溯法] 这是高斯1850年提出的一个著名问题： 国际象棋中的“皇后”在横向、竖向、和斜向都 能走步和吃子，问在n×n 格的棋盘上如何能摆 上n个皇后而使她们都不能互相吃。

当n很大时，问题很难。 对于n=8，现已知此问题共有92种解，但只有12种 是独立的，其余的都可以由这12种利用对称性或旋转 而得到。设n=4，试一试。
算 法
什么是算法
算法的重要特性 计算过程与算法的区别


问题的求解过程
算法学习的基本内容
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什么是算法

算法是解决一确定类问题的任意一种特殊的方法。 算法的非形式描述：算法就是一组有穷的规则， 它规定了解决某一特定类型问题的一系列运算。

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算法的五个重要特性
确定性：每一种运算必须要有确切的定义，无 二义性 能行性：运算都是基本运算，原则上能在有限 时间内完成 输 入：有0个或多个输入 输 出：一个或多个输出 有穷性：在执行了有穷步运算后终止


算法的执行时间就是构成算法的所有语句的执行时 间总量之和
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依赖机器、程序 设计语言、编译 程序
例：计算语句xxy在下面三个程序段中的频率计数
begin x x y end
FC:1
begin for i1 to n do xx y end
FC:n
begin for i1 to n do for j1 to n do xx y end FC:n2
| f(n) | c|g(n)|，则记做f(n) O(g(n)) . 当n充分大时， f(n)有上界，一个常数倍的g(n)是 f(n)的一个上界。
f(n)的阶不高于g(n)的阶。 在确定f(n)的数量级时，总是试图求出最小的g(n)。 有关证明中，找出c和n0是关键。
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例子 判断 f(n) O(g(n)) ？
f(n) 3n,
g(n) 4n f(n) n1024, g(n) 1025n f(n) 2n2 11n10, g(n) 3n2 f(n) n2, g(n) n3 反例： f(n) n3, g(n) n2
1) c0=1,n0=1 2) c0=1,n0=1 3) c0=1,n0=10 4) c0=1,n0=1

——针对同一问题的不同算法的有效性作出比较。
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时间复杂性的形式化定义
算法的时间复杂性T(n)； 算法的空间复杂性S(n)； 其中n是问题的规模。

最坏情况下： Tmax(n) =max{ T(I) | size(I)=n }
最好情况下： Tmin(n) = min{ T(I) | size(I)=n }
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基本运算
时间限于常数的运算

加、减、乘、除整数算术运算 浮点算术、字符比较、对变量赋值、过程调用等
每种运算所用时间虽然不同，但都只花费一
个固定量的时间
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复杂运算
由一些更基本的任意长序列的运算组成 如：两个字符串的比较运算

一系列字符比较指令


一个字符的比较时间——常数
语句的数量级是指执行它的频率计数之和 算法的数量级是指算法的所有语句的执行频率之和 确定一个算法的数量级十分重要，因为它在本质上 反映了算法所需的计算时间。
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计算时间的基本特性
准确分析出算法数量级的多项式表达式是很困难的， 因此，我们对事前分析的计算时间进行渐进表示。
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计算时间的渐进表示
小结

本课程针对可计算的问题，学习基本的算法 设计方法


学习算法分析的基本方法
提升：灵活运用基本的算法设计方法，解决 实际问题
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第二章 导 引与基本数据结构
2.1 2.2 2.3 2.4 算法 分析算法及数学基础 用SPARKS语言写算法 基本数据结构（略）
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2.1

确定每条语句的执行次数。 求出该算法的一个时间限界函数(一些关于参数 的函数)
事后测试(a posterior testing)
收集此算法的实际执行时间和占用空间的统计 资料

算法的执行时间

由算法就可直接确定， 与所用的机器无关， 且独立于程序设计语 言。
同一条语句在一个算法中的执行次数 (frequency count )称为频率计数 语句的时间总量频率计数执行一次该语句所需要 的时间
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2.2 分析算法
算法分析目的 算法分析的准备工作
计算时间的渐进表示
一些证明方法
作时空性能分布图
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算法分析的目的

算法分析(analysis of algorithms)是对一个算法需要 多少计算时间和存储空间作定量的分析。 ——确定算法在什么样的环境下能够有效地运行。 分析在最好、最坏和平均情况下的执行情况。 ——针对不同输入数据，对同一算法性能作出比较。
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背包问题

有一旅行者要从3种物品中选取不超过50公斤重 的行李随身携带，要求总价值最大。 物品1重10千克，价值60元；物品2重20千克， 价值100元；物品3重30千克，价值120元。


[动态规划]物品不可分割的前提下，求总价值最大。 [贪心算法]物品可以分割的前提下，求总价值最大。
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O性质
对于非负的f(n)和g(n)，根据定义2.1，有如下性质： 1. O(f(n)) O(g(n)) O(max(f(n), g(n))) ; 2. O(f(n)) O(g(n)) O(f(n) g(n)) ； 3. O(f(n)) O(g(n)) O(f(n) g(n)) ； 4. 如果g(n) O(f(n)) ，则O(f(n)) O(g(n)) O(f(n)) ； 5. O(cf(n)) O(f(n)) ，其中c是一个正的常数； 6. f(n) O(f(n))。

源于程序正确性的证明还没有取得突破性进展。 用各种给定数据执行调试后的程序 测定计算时间和空间 印证之前的分析是否正确 指出实现最优化的有效逻辑位置

时空分布图

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第二章 导 引
2.1 2.2 2.3 2.4 算法 分析算法及数学基础 用SPARKS语言写算法 基本数据结构
仅仅有穷还不够，还要在现 代计算机上有效才行。
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计算过程与算法的区别
计算过程可以不满足算法的性质(5)有穷性。 例如操作系统，当没有任务时，操作系统并 不终止，而是处于等待状态，直到有新的任 务启动，因而不是一个算法。